（概率论与数理统计专业论文）两总体最优夏普指数差异的bootstrap区间估计及假设检验.pdf

摘要 随着全球经济一体化进程的加快和全球经济的发展与完善，投资组合选择的理论研究和 应用实践问题，越来越受到世界金融界的关注。经过5 0 多年的发展，投资组合选择的理论研 究和实践已经取得了相当丰富的成果m a x k o w i t z 的均值一方差模型为现代投资组合奠定了理 论基础，1 9 6 7 年由s h a r p e 提出夏普指数( s h a x p er a t i o n ) ，为衡量金融资产的绩效表现提供了 判断指标约束条件下的投资组合问题近年也得到了有效的解决，这些研究是建立在单一总体 的基础之上，而投资活动中，投资者总要面临几个投资总体的选择问题，对于两种不同的投资 总体，我们如何判断这两种投资的最大收益是否相等进而选择较好的投资方案呢? 本文就是在 这样的背景下，利用夏普指数及基于大量计算统计思想的模拟抽样一b o o t s t r a p 方法，在约束 条件下，对两种投资的差异进行了区间估计及检验，最终由假设检验判断出投资是否具有差异 性及哪种投资是较好的投资 本文得出的结论是；当投资者对两种投资进行比较选择时，可以通过b o o t s t r a p 方法对投 资的差异进行估计及假设检验，最终选择使得收益较大的投资方案 关键词：均值一方差模型；夏普指数；约束条件；b o o t s t r a p ；区间估计；假设检验 a b s t r a c t w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fw o r l de c o n o m y i ti sm o r ea n dn l o r ei m p o r t a n tt h a t t h et h e o r ya n dp r a c t i c ei np o r t f o f i os e l e c t i o ns h o u l db es t u d i e dm a r k o w i t z sp o r t f o l i os e l e c t i o n m o d e lh a sb e e nt h eb a s i ct h e o r y , a n di th a sb e e nr e s e a r c h e x ib ym a n yp e o p l es i n c e1 9 5 2 s h a r p e r a t i of o u n d e db ys h a r p ei n1 9 6 7h a sp r o v i d e dc r i t e r i o ni n d e xf o re v a l u a t i n gt h ee f f i c i e n c yo f f i n a n c i a la s s e t t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so ft h eo p t i m a lp o r t f o l i oa n do p t i m a l s o l u t i o nf o rt h es h a r p er a t i ow i t h o u ts h o r ts e l l i n gh a v eb e e ns t u d i e dw e l l a l la b o v er e s e a r c h e s w e r eb a s e do nu n i q u ep o p u l a t i o n ，b u ti ni n v e s t m e n t ，i n v e s t o r sa l w a y sh a v et oc o n f r o n tt h e s e l e c t i o nb e t w e e ns e v e r a li n v e s t m e n tp o p u l a t i o n s f o rt h et w od i f f e r e n ti n v e s t m e n tp o p u l a t i o n s ， h o ws h o u l dw ej u d g ew h e t h e rt h et w om a x i m u mp r o f i t se q u a lo rn o t ，a n dh o wt oc h o o s et h e b e t t e ro n e ? t h ep a p e rm a k e su s eo fs h a r p er a t i oa n db o o t s t r a pm e t h o dt oe s t i m a t ea n d t e s tt h ed i f f e r e n c e so fs h a r p er a t i o sb e t w e e nt w op o p u l a t i o n so fp o r t f o l i ow h i c hc a l lh e l pt h e i n v e s t o r ss e l e c tb e t t e rc h o i c et og a i nm o r er e t u r n s t h ep a p e rc o n c l u d e st h a tt h ei n v e n t o r sc o u l dc h o o s et h ei n v e s t m e i l tp l a nb r i n g i n gb o o t s t r a pm c t h o dt oe v a l u a t et h ei n v e s t m e n td i f f e r e n c ew h e nt h e ym a k ec h o i c et ot w od i f f e r e n t i n v e s t m e n t s ， k e y w o r d s ：p o r t f o l i os e l e c t i o nm o d e l ；s h a r p er a t i o ；s h o r ts e l l i n g ；b o o t s t r a p e s t i m a t e ；t e s t i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：张盘! 虱 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，e p ：东 北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论 文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：勿幽 指导教师签名： 日 期：2 应2 2 日期： 学位论文作 工作单位： 通讯地址： 瘟垃2 | 6 磅 电话： 邮编：e 醢芝趁虚 引言 证券投资组合是投资者依据证券的风险程度和年获利能力，按一定原则进行恰当的选择 组合，是一种低风险的投资策略其目的是取得收益但是证券投资又是一项高收益伴随高风 险的经济活动，收益和风险是证券投资的两个核，5 - 问题指望毫无风险地从证券投资中稳获收 益是不现实的，收益和风险是相伴而行的只有正确分析和把握证券投资风险，投资者才能在 心理上做好应付证券投资带来的风险的准备，从而更好地对风险进行防范，证券投资的基本原 则既投资者的意愿，总是追求收益的最大化和风险的最小化，从而在收益和风险这一对相互作 用、相互矛盾的统一体中寻找某种均衡证券投资的核心和关键是有效地进行分散投资，通过 分散投资，来分散风险，减少总风险 本世纪5 0 年代以前的金融投资活动具有显著的经验性及过分定性化的倾向，二战后，西 方资本主义国家的经济处于复兴和发展阶段，导致金融资产投资活动迅猛发展和大量投资基 金的出现，传统的投资组合理论无法满足投资者的需要，现实呼唤着理论的创新和发展 投资组合的目的并不在于提高收益，而在于分散风险现代投资组合理论建立在西方经济 学的基础上，以投资人是理性的，市场完善投资人最大化效用、投资者具有理性预期等为假 设前提该理论以马科威茨首刨，然后经夏普、林特、托宾、莫辛、罗斯等的拓展研究，使其成 为7 0 年代投资理论的主流 1 9 5 2 年3 月，美国经济学家哈里马科威茨( h a r r y m m a r k o w i t z ) 在金融杂志上发表 了一篇题为证券组合选择的论文，对充满风险的证券市场的最佳投资问题进行了开创性的 研究，并因此获得了1 9 9 0 年诺贝尔经济学奖文中揭示了在不确定条件下投资者如何通过对 风险资产进行组合建立有效边界，如何从自身的效用偏好出发，在有效边界上选择最佳投资决 策，以及如何通过分散投资来降低风险的内在机理，从而开创了现代投资组合理论的先河均 值一方差模型为了分散投资风险并取得适当的投资收益，投资者往往采用证券组合投资方式， 即把一笔资金同时投资于若干种不同的证券投资者最关心的问题有两个；一是预期收益率的 高低，二是预期风险的大小在m a r k o w i t z 建立的这一模型中，预期收益率是证券组合收益率 的期望值，预期风险指证券投资组合收益率的方差m a r k o w i t z 假定投资者厌恶风险，理性的 投资者总是希望在抑制风险的条件下获得最大的期望收益；或在抑制期望受益的条件下使投 资风险达到最小具有这种性质的证券组合称为有效证券组合m a r k o w i t z 均值一方差投资组 合模型可以表示为如下的数学模型： n f i n 0 1 ! k s i nc 这是一个二次规划问题，通过调解下界参数c 来进行求解，能够得到最优的或者有效的投 资组合，既有效边界 或者 m “：1 m fu ! h 0 ( i k ) ，咄= 0 ( i n k ) 不失般性，我们假 设k = l ，埘，矩阵e 相应的分块阵为 = ( i 。1 2 ) 其中，e 1 1 和v 2 2 分别是k k ，一k ) xm k ) 矩阵，1 2 是资产1 ，七和资产k + l ，一 之间的协方差阵，并且有e 1 2 = 琶1 以下就是在约束条件下夏普指数最优解的充分必要条件 l a i ，m ( 2 0 0 4 ) 定理： n 维向量u 是模型( 1 ) 中最优解的充分必要条件是存在一个的子集k ，不妨 设为k = 1 ，) ，使得 j 2 l e 寻( p l f 0 ，f 培一，0 ) 7 ( p k + l p o ，p 。一，上o ) ， i 1 1 ( p l 一，1 0 ，p k p o ) 0 并且，u + = ( p + ) ，叱一。) ，其中 0 4 = z ；i ( u l 一t o ，i 培一，幻) l z z i - ? ( # l 一t o ，p 一t o ) ， 叱一表示全是0 的向量 这个定理为下面求出最大夏普指数提供了理论依据 3 1 2b o o t s t r a p 区间估计 随着当今计算机技术的高度发展，统计研究及其应用跃上了一个新的台阶这不仅提高了 计算的速度，而且把统计学家从求解数学难题中解放出来，并逐渐形成一种面向应用的、基于 大量计算的统计思想一一模拟抽样统计推断，b o o t s t r a p 法就是其中的一种 1 9 7 9 年，e f r o n 提出了b o o t s t r a p 再抽样技术 e f r o n ( 1 9 7 9 ) 】，它是以原始数据为基础的模 拟抽样统计推断法，可用于研究一组数据的某统计量的分布特征，特别适用于那些难以用常规 方法导出对参数的区间估计、假设检验等问题其基本思想是：在原始数据的范围内做有放回 的再抽样，样本含量仍为n ，原始数据中每个观察单位每次被抽到的概率相等，为l 加，所得样 本称为b o o t s t r a p 样本于是可得到参数0 的一个估计值p ( ”，这样重复若干次，记为b 若 b = l 0 0 0 ，就得到该参数的1 0 0 0 个估计值 在采用b o o t s t r a p 方法做区间估计时，具体方法如下： ( 1 ) 对于从总体得到的一组随机样本值z 1 ，z 2 ，z 。，用随机模拟产生n 个z t ，z 2 ，x n 上 离散均匀随机数 ( 2 ) 将此礼个x l ，x 2 ，z 。上离散均匀随机数当作样本，求出参数的估计值a ( 3 ) 独立地重复( 1 ) 和( 2 ) b 次，得到b 个估计值：日。，如，0 s ( 4 ) 将此b 个估计值排序，得到自( 1 ) ，反2 ) ，反口) 则0 的1 - o 置信区间为 自( ；b + 1 ) ，o ( b - g b ) 】 在这里，来自未知总体f 的原样本被视为来自经验分布足，b o o t s t r a p 是在经验分布的基 础上作有放回的抽样，由于r 是f 的非参数估计，故由此产生的方法称为非参数的b o o t s t r a p ， 相应的估计量称为非参数的b o o t s t r a p 估计 b o o t s t r a p 也可以从参数的角度考虑当f 已知为昂时，此时的b o o t s t r a p 样本是从b 中而不是从f c ( 样本) 中随机产生，其余步骤与非参数b o o t s t r a p 相同由于此时f d 是f 的参 数估计，这样的方法称为参数b o o t s t r a p ，相应的估计称为参数的b o o t s t r a p 估计 【e f r o n ( 1 9 7 9 ) k b a t h r e y a ( 1 9 8 7 ) 】和【k e i t h ( 1 9 8 9 ) 】给出了关于b o o t s t r a p 的详细理论陈 述但是，b o o t s t r a p 并不是适用于切场合，【b e r a n ( 1 9 8 2 ) 和阻a r d l ea n dm a t r o n ( 1 9 9 1 ) 】给 出了反例 1 3 区间估计与假设检验 假设检验和区间估计这两个统计推断问题看似完全不同，而实际上两者之间有着非常密 切的联系正因如此，n e y m a n 才可以将n e y m a n 和p e a r s o n 的假设检验理论的基本思想推广 到区间估计 由参数假设检验问题的水平为口的检验，可以得到该参数的置信水平为1 一o t 的置信区 问反之，我们可以由参数的1 一n 置信区间做水平为n 的假设检验 4 5 2b o o t s t r a p 区间估计与假设检验 2 1 非参数一b o o t s t r a p 区间估计与假设检验 假设x = ( 墨，墨) ”f ，不妨设z 】= ( x i ，局，j ) 7 为一个准备投资的总 体，易= ( x m + l k ，x 时1 ，j ，p ) 为另一个准备投资的总体，两个投资总体之间存在 k ( k = 0 ，1 ，m ) 个相同的投资 我们可以分别计算出约束条件下两个投资总体的最大夏瞢指数，记为 ，m 2 ，其中， 2 伽z 考篱，2 一考卷 要判断投资是否具有差异，即要解决下面的检验问题； 1 t o ：埘l = m 2 8 i - 1 1 ：m 1 m 2 如果令t = 尬一肘j ，检验问题转化为， t t o ：t = 0口s 凰：t 0 我们可以首先采用b o o t s t r a p 方法求出t 的区间估计，利用区间估计与假设检验之间的关系， 我们就可以解决上面的检验问题了 着样本z l ，x 2 ，z nl ”i d f ，其中= ( l ，x i 2 ，一，z i p ) 7 ，则盈l = p l 。珏，一，m ) 7 ，锄= ( 戤l 一，一，甄。+ l 一，坼) ，“= 1 ，n ) 由第一部分的定理，有t 的一个自然估计，记为于则有 于2 碧卷一蠢素 其中 u ；2 冒 糍嚣) ，嵋= 。? 糍薏) e l = c o v z , 】，邑= c o v 邑】 p 1 = e 【z 1 】，助= 日【易】 矗= 去墨l 麓l ，疡= 。i - ：。z i 2 毋= ；1 ：l ( 施1 一乃) ( 盏l 一矗) 谚= ：。z i 2 一易) ( ：一元) ， 我们采用非参数b o o t s t r a p 方法，从样本z i ，规，z 。中有放回的随机抽取一个值，重复 进行札次，得到一个b o o t s t r a p 样本，记为z ；，z ；，进而得到个b o o t s t r a p 估计寇， 重复这样的步骤b 次，得到b 个b o o t s t r a p 估计靠，宠( b 为常数) ，将此奇，露，排序， 5 得到) ，2 扫) ，故t 的1 一n 置信区间为i 互每日+ 1 ) ，一g b ) ，对应于上面水平为n 的检验， 当o 【7 强b + 1 ) ，一科】时，接受原假设，说明两种投资不存在差异反之则拒绝原假设，即 这两种投资具有差异 以上是对两类投资总体是否具有差异进行的检验，当确定存在差异后，事实上，我们希望 知道的是具体的，即哪种投资更有价值，也就是说哪种投资的是最优的，仍然用类似的方法， 只是将检验问题做一些小小的变动，此时的检验问题为： h o ：m l 0 8 研：t 0 由于t 的1 - d 置信下限为b + 。) ，则对应于此水平为n 的检验问题，当0 e ( 一o o ，吃口+ 1 ) ) 时，接受原假设反之拒绝原假设，我们便可以认为第一种投资并没有比第二种好 2 2 参数一b o o t s t r a p 区间估计与假设检验 我们假设x = ( j ，l ，) 一( p ，e ) ，若样本卫l ，z 2 ，z 。”l d ( p ，) ，则( 豇，叠) 是 n ( p ，) 的参数估计，其中豇= 孟，宝= i 1 冬l 一牙) ( 以一牙) 。从n ( p ，) 中随机产生n 个样 本，作为个b o o t s t r a p 样本，得到一个b o o t s t r a p 估计，重复b 次，得到b 个b o o t s t r a p 估 计露，宅( b 为常数) ，将此矸，瑶，排序，得到东) ，) ，同样首先作水平为。的差异 性假设检验： ? 相应的区间估计为 h o ：t = 0口s h i ：t 0 脚) ，珞一浏 6 o e 曝b + 1 ) ，犯一号口) 】，则接受原假设反之拒绝原假设，继续作下面的检验问题 h o ：t 0 口s ，凰：t s0 t 的1 一。置信下限为了五1 1 则对应 于此水平为。的检验问题。当0 e ( 一，了五日+ 1 ) ) 时，接受原假设反之拒绝原假设，我们便可 以认为第一种投资并没有比第二种好 3 模拟 假设x 19 勋，z l 磐n c p ，e ) ，其中戤= ( z m z 诅，铂，$ 诟) 7 ，“= 1 ，l o o ) ，取 k = 1 ，则盈l = ( x i l ，。i 2 ，) ，为一个投资总体，钯= ( 茁订，z “，) 7 为另个投资总体 当p = ( 1 0 l o ooo o ， ，并且m = 肋= n 显然，这样两种投资 h o ：t = 0 ”8 玩：t o 3 1 1 非参数差异性检验一 一次b o o t s t r a p 估计对应的r 的直方图如图3 1 ，非参数b o o t s t r a p 估计的置信区间为。 o 7 9 4 6 ，0 5 3 0 2 ，0 ef o 7 9 4 6 ，0 5 3 0 2 ) 重复这样的b o o t s t r a p 估计过程5 0 0 0 次，其中0 在这样 的1 一a 置信区间的百分比为1 0 0 ，故此我们相信原假设为真 3 1 2 参数差异性检验一 作参数b o o t s t r a p 估计时，声= ( 1 0 1 5 2 9 7 4 0 91 0 3 5 79 7 0 4 8 9 ，4 6 2 5 ) ， 8 9 3 7 8 1 6 5 8 70 1 9 3 9 2- 0 6 7 2 41 2 6 2 3 、 l 1 6 5 8 71 0 6 1 40 9 4 7 9 10 5 9 5 4 80 1 0 1 2 2 l e = io 1 9 3 9 2 0 9 4 7 9 19 1 1 60 6 5 0 1 1o 5 0 2 2 4 i i - 0 6 7 2 40 5 9 5 4 8 - 0 6 5 0 1 1 1 1 1 4 6- 0 0 5 0 4 0 3 i 1 2 6 2 3 0 1 0 1 2 2 0 ，5 0 2 2 4 - 0 0 5 0 4 0 31 1 3 4 6 ， 图3 1 图3 2 图3 3 图3 4 8 从( 豇，竞) 中抽取b o o t s t r a p 样本，棚j - - t kb o o t s t r a p 估计，对应的t 的直方图如图3 2 ，相 应的参数b o o t s t r a p 估计的置信区间为t1 - 1 4 4 5 3 ，0 5 5 7 6 ，0 e 【- 1 4 4 5 3 ，0 5 5 7 6 重复进行5 0 0 0 次b o o t s t r a p 区间估计，其中0 在置信区问的百分比为1 0 0 ，所以我们接受原假设 3 2 差异性检验二 址( ；| 弘 并且伽- = 胁= o 显然，这样两种投资 1 1 2 3 9- 0 8 9 1 1 60 8 7 3 4 70 2 9 0 5 70 3 0 2 2 6 、 l o 8 9 1 1 6 1 0 0 8 5- 1 0 8 2 9 - 0 0 4 5 7 5 5- 0 3 1 5 7 7 i e = 10 8 7 3 4 7 - 1 0 8 2 91 0 3 6 3- 0 0 8 2 6 0 40 4 3 1 3 4 l 1 0 2 9 0 5 7- 0 0 4 5 7 5 5 - 0 0 8 2 6 0 40 9 3 8 7 8 - - 0 0 7 5 5 4 3 l 0 3 0 2 2 6 - 0 3 1 5 7 70 4 3 1 3 4 - 0 0 7 5 5 4 30 8 7 1 7 9 、i o 0 o o 1 0 o o 1 o 0 0 m o 0 从( 丘，竞) 中抽取b o o t s t r a p 样本，得到一次b o o t s t r a p 估计，t 的直方图如图3 4 ，x t 差异- f t 检验： g o ：t = 0u 8 h 1 ：t 0 相应的一次b o o t s t r a p 估计的置信区间为： - 4 0 3 2 7 ，一2 0 2 5 8 1 ，o g 【一4 0 3 2 7 ，一2 0 2 5 8 重复操作 5 0 0 0 次，有1 0 0 的比例使得0 不在置信区间内，所以我们拒绝原假设 接下来作检验， 凰：t 0v s h 1 ：t 0 做一次b o o t s t r a p 估计，得到t 的非参数b o o t s t r a p 置信下限为3 8 9 0 1 ，o g ( 一，一3 8 9 0 1 ) 所以拒绝原假设，重复操作5 0 0 0 次，有1 0 0 的百分比使得0 在拒绝域内，即第二种投资比 第一种好 由上面的模拟，我们可以看到，用b o o t s t r a p 方法可以对两种投资的差异进行估计，进而 判断投资是否具有差异性，最终确定投资方案 1 0 4 例子 下面我们就利用这种抽样的b o o t s t r a p 方法来研究一下美国主要产业龙头股票中金融保险 业与银行信托业股票的投资方案下面提供了1 9 9 7 年至2 0 0 6 年a e t ，a f l 、a i g 及b a c ，b b t 的股票收益，其中a e t ( a e t n a ，i n c ) 、a f l ( a f l a ci n c o r p o r a t e d ) a i g ( a m e r i c a ni n t e r n a t i o n a l g r o u p ，i n c ) 为美国金融保险类股票，b a c ( b a n ko fa m e r i c ac o r p o r a t i o n ) ，b b t ( b b & t c o r p o r a t i o n ) 为美国银行信托类股票 特定年份的股票收益定义如下，以1 9 9 8 年股票收益为例； ( ! ! 塑生堕垄熊：f ! ! ! ! 生堕垄丝2 f ! ! 墅生墼：垦2 ( 1 9 9 7 年收盘价) 年份 a e ta f la i gb a cb b t 1 9 9 70 1 0 7 3 7o 2 1 9 4 40 5 0 5 6 60 2 7 2 7 80 8 6 8 9 6 1 9 9 80 1 2 3 8 20 7 4 2 9 30 3 3 6 1 10 0 1 3 0 1 70 3 1 3 3 2 1 9 9 90 2 8 2 2 7 0 0 8 8 0 0 4 0 4 0 1 5 70 1 3 9 9 7 0 2 9 1 2 9 2 0 0 0o 4 9 4 1 50 5 3 9 5 40 3 6 9 8 70 0 4 4 8 2 40 4 1 7 6 1 2 0 0 10 1 9 5 6 9 0 3 1 4 9 4 0 1 9 2 8 20 4 2 6 8 20 0 0 4 3 1 7 5 2 0 0 20 2 4 6 9 60 2 3 6 5 0 2 6 9 3 7 0 1 4 5 6 5 0 0 5 6 3 7 1 2 0 0 30 6 4 4 8 80 2 0 9 2 90 1 5 0 2 40 ，2 0 1 30 0 8 1 1 4 9 2 0 0 40 8 4 6 9 80 1 1 2 0 30 0 0 5 0 9 50 2 1 5 3 60 1 2 8 2 1 2 0 0 50 5 1 2 8 50 1 7 7 2 70 0 4 5 9 3 40 0 2 4 1 10 0 3 3 9 1 1 2 0 0 60 0 8 3 4 2 20 0 0 2 8 4 5 30 0 6 0 5 3 40 2 0 6 8 60 0 8 9 1 3 4 如果我们将a e t ，a f l ，a i g 作为一种投资方式，a i g ，b a c b b t 作为另一种投资方 式，这两种投资中都含有a i g ，比较两种投资的差异性由于我们并不清楚股票收益的分布情 况，我们采用非参数的b o o t s t r a p 方法对两种投资的差异进行估计首先我们做检验： o ：t = 0 v 8 凰：t 0 做一次非参数b o o t s t r a p 估计的置信区间为； - 1 8 8 6 7 ，0 6 3 7 3 ，0 6 【- 1 8 8 6 7 ，o 6 3 7 3 ，对应的t 的直方图如图4 5 进行5 0 0 0 次b o o t s t r a p 区间估计，其中0 在置信区间的百分比为1 0 0 ， 所以我们接受原假设，可以认为两类投资不存在差异 通过计算机模拟及实例的研究，我们看到，利用b o o t s t r a p 方法确实可以对两个投资总体 的最优夏普指数的差异进行估计及检验，为投资者选择最优的投资方案提供方法 图4 5 结论 当投资者对两种投资进行比较时，可以通过b o o t s t r a p 方法对投资的差异进行估计及检 验，最终选择使得收益较大的投资方案文章主要是对独立同分布的数据进行研究，例子中也 是将历年的股票数据当作独立数据进行的估计及检验，但实际上相关数据更为普遍，对于相关 数据，可以用相关数据的b o o t s t r a p 方法，这将作为今后研究的内容 1 3 参考文献 【1 】1 a l e x a n d e rg j a n db a p t i s t aa ，m p r o t f o l i op e r f o r m a n c ee v a l u a t i o nu s i n gv a l u ea tr i s k - t h er e w a r d - t o - v a t r a t i o j o u r n a lo fp o r t f o l i om a n a g e m e n t ( 2 0 0 3 ) 【2 | b e r a nr ，e s t i m a t e ds a m p l i n gd i s t r i b u t i o n s ，t h eb o o t s t r a pa n dc o m p e t i t o r s a n ns t a t i s t ( 1 9 8 2 ) 【3 1e f r o n ，b a n dt i b s h i r a n i ，rj a ni n t r o d u c t i o nt ot h eb o o t s t r a p n e wy o r k ：c h a p m a n h a l l ( 1 0 0 4 ) 【4 1e f r o nb r a d e y b o o t s t r a pm e t h o d s ：a n o t h e rl o o ka tt h ej a c k k n i f e a n ns t a t i 8 t ( 1 9 7 9 ) ( 5 | e l t o n ，e d w i nja n dm a r t i nj g r u b e r p o r t f o l i ot h e o r y , 2 5y e a r sa f t e r ，( e d i t e d ) ，( 1 9 7 9 ) 【6 】h a m i l t o nl c b o o t s t r a pp r o g r a m m i n g s t a t at e c h n i c a lb u l l e t i n ( 1 9 9 1 ) 【7 】h a r d l ew ，m a r r o nj s b o o t s t r a ps i m u l a n e o u se r r o r b a r sf o rn o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o na n ns t a t i s t ( 1 9 9 1 ) 1 8 kb a t h r e y a b o o t s t r a po ft h e1 1 1 e a l li nt h ei l l 6 n i t cv a r i a n c ec a s e a n ns t a t i s t ( 1 9 8 7 ) 【9 】k e i t h o nt h eb o o t s t r a po ft h es a m p l em e a ni nt h ei n f i n i t ev a r i a n c ec a g e a n ns t a t i s t ( 1 9 8 9 ) 【1 0 】l a i ，m s i m p l e ra l g o r i t h m sa n di n t u i t i v ee x p l a n a t i o n sf o rm a r k o w i t z sp o r t f o l i os e l e c t i o nm o d e la n d s h a r p e 8r a t i ow i t h o u ts h o r t - s e u i n gd o c t o r sd e g r e ep a p e r ( 2 0 0 4 ) f 1 1 】l i n t n e rj t h ev a l u a t i o n o f r i s ka s 8 e t s a n d t h es e l e c t i o n o fr i s k y i n v e s t m e n t s i ns t o c kp o r t f o l i oa n dc a p i t a l b u d g e t s r e v i e wo fe c o n o m i ca n ds t a t i s t i c s ( 1 9 6 5 ) 1 2 1m a x k o w i t s ，h a r r ym a n dj o h nt p o r t f o l i os e l e c t i o n j o u r n a lo ff i n a n c e ( 1 9 5 2 ) 【1 3 】