（概率论与数理统计专业论文）相伴随机变量序列的极限性质及其应用.pdf

中文摘要 本文是我在硕士阶段，在导师林正炎教授的悉心指导下完成的全文共分三章 第一章，基本概念及其基本性质的简要回顾 一直以来相依随机变量序列的理论研究都是概率极限理论研究者们的热门话题对于正 负相依的基本概念起源于h a r r i s ( 1 9 6 0 ) 在这里我们只考虑正相伴和负相伴两种情形此章 中我们主要回顾了它们的基本概念和主要性质，如： 对p a 随机变量序列，r a o ( 2 0 0 2 ) 给出了如下著名的日可e k r e n y i 型不等式： 设f 墨。n l 是p a 列，且具有有限方差， k ，n 1 ) 是一列正的单调不减的实数则 对垤 0 ，有 p c 骂蓦亡鸯一e 托，l e ，主 薹v a 畸r x j + 。! 善；。掣， 对n a 随机变量序列，m a t u l a ( 1 9 9 2 ) 给出了其部分和的几乎处处收敛性定理： 设 n 1 ) 是一列具有0 均值，有限方差的n a 随机变量如果。0 0 ：l v a r ( e 。) 0 中取正值， 不减而且对每一个竹满足下列条件之一： ( i ) 在区间 0 中，南不减； ( i t ) 在区间z 0 中，南和2 铲都是不增的，且e 矗= 0 此外 n n ，n 1 ) 是常数列，满足0 n 。t 。和甚l ( 百e g 了“玎x nj ! z o o 则当n 斗0 0 ，有 妻皇v a j r x j 曩，掣 o 。， = l o j 七= 1 。 。 和 p ( 1 ( 乃一e x j ) 1 2 托i 一e x d l e ) o o j # k = l i = 1i = 1 则有 p “隅一e x d l n e ) o o 对加权和的稳定性我们有： 设正数列 峨，i 1 ) 满足：t = 墨1 吨t0 0 ，且当n _ + 0 0 时，锯_ 0 ； p a 列 矗，n 1 ) 满足： 其中k = 鲁，n 之1 贝0 当n - - 4 0 ( 3 时， 其中= l ；9 “i 噩，n21 e x = 0 ，l ； p ( i 矗1 k ) o o ； n 2 1 轰击肼争； 崂2 岣u 。c o v ( x ；j ，砖) o o i - i e t n 0 n 5 第三章，具有n a 误差项的多元回归模型中最小二乘估计的强相合性 在这一章中我们考虑多元回归模型： y i = 卢l 孔1 + 岛x i 2 + + 伟z 咖+ e ， ( i = 1 ，2 ，) ， ( 0 3 i ) 在对误差项和设计矩阵限制了一定的条件下建立了具有n ) i 误差项的多元回归模型中系数 的最小二乘估计的强相合性，并且我们进一步得到了a 序列的样本均值的加权和的几乎 处处收敛性的结果 1 l l 我们的主要结果有： 设 ”1 ) 是一a 列，满足e = 0 ，罢1v a r ( e 。) o 。设k 是某一正整数，对每 一个n 1 ，令r 是一个k 维常数向量，当k = 1 时，t 1 ，t 2 ，t - - 是同号序列令 h 。= 坠1t i t , 假设对某正整数m ，h 。是正定矩阵且若对同号常数序列 c n ，n 兰1 ) 有： 墨m + l4 ( 1 + t ：h 暑1 t i ) 0 ， p c 髋i 妾kc k 一抡鲣罐半+ 。轰9 鼍卜 m a t u l a ( 1 9 9 2 ) s t u d i e dt h ea l m o s ts u r ec o n v e r g e n c eo fs u m so fn e g a t i v e l ya s s o c i a t e dr a n - d o r av a r i a b l e s ： l e t ( ，n 芝1 ) b ea as e q u e n c eo fr a n d o mv a r i a b l e sw i t hf i n i t es e c o n dm o m e n t s i f 麓l v a r ( x ) t h e a 墨l ( 瓦一e j ，n ) c o n v e r g e sa s ， a tl a s t ，w eg i v es o m ep r e v i o u sc o n c l u s i o n so ft h es t r o n gc o n s i s t e n c yo ft h el e a s ts q u a r e s e s t i m a t e si nm u l t i p l er e g r e s s i o nm o d e l s i nc h a p t e r2 ，t h em o r eg e n e r a ls t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r s ，t h ec o m p l e t ec o n v e r g e n c ea a d t h es t a b i u t yo fw e i g h t e ds u m sf o rp as e q u e n c ea r ed i s c u s s e d w h a ti sm o r e t h ec h a r a c t e r o ft h i sp a p e ri st ou s et h ei n n o v a t i v em e t h o dw h i c hd e p e n d so nt h eh 8 3 e k r e n y i 一均p e i n e q u a l i t yt op r o v et h e s et h e o r e m s o u rm a i nc o n s l u s i o n sc o n s i s to ft h r e et h e o r e m s f o rt h eg e n e r a ls t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r so fp as e q u e n c e ，w eh a v e l e t ，n 兰1 ) b e ap a s e q u e n c eo fr a n d o mv a r i a b l e s ，a n d 骱( z ) ，n 1 ) b eas e q u e n c e o fe v e nf u n c t i o n s f o re a c h 凡21 ， 甄( z ) ，扎1 1i s p o s i t i v e ，n o n d e c r e a s i n gi n ( 0 ，o 。) a n d s a t i s f i e st h ea l t e r n a t i v ea s s n m p t i o nt h a t ( i ) 南i sn o n 。d e c r e a s i n gi n ( o ，o 。) ； ( i i ) 南a n d 掣a r en o n i n c r e a s i n gi n ( o ，c o ) ，m e a u w h i l e ，e x 。= 0 i na d d i t i o n ，l e t ，n l b eas e q u e n c eo fr e a ln u m b e r sw i t h0 a n 千a n d 县，( 黑野) ； 0 ， 曼学+妻掣o。，j= l j i k = 1 j m a n d p ( i ( 玛一e 玛) 1 芝j e ，1 ( x i e x d i c ) o 。 t h e n p ( i ( x e x d l n e ) o 。 f o rt h es t a b i l i t yo fw e i g h e ds u m so fp a s e q u e n c e w eh a v e l e t u i ，i 1 ) b ea p ap o s i t i v es e q u e n c eo fr e a ln u m b e rw i t hi = 銎1 u ito 。，a n d 嚣 _ 0a s 礼斗c o ；l e t 叉_ ，礼1 ) b ea p a s e q u e n c eo fr a n d o mv a r i a b l e ss u c ht h a t 且瓦= 0 ，n 2i ； p ( 1 i b 。) l 纠! e x o 。； 盱2 “。u 。g o ”( 砖，砖) o 。 w h e r ek = 鲁，n 1 t h e n 瓦e 矗 矾 0o 8 a 8n _ 。 w h e r e 咒= l f 札雌五，扎1 i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h em u l t i p l er e g r e s s i o nm o d e l y i = 卢l 翰l + 卢2 记+ + 纬z 咖+ 自，( i = 1 ，2 ，- ) v l ( 0 3 1 ) w ee s t a b l i s ht h es t r o n gc o n s 塔t e n c yo ft h el e a s ts q u a r e se s t i m a t e si nt h i sm o d e lw i t h n ae r r o r su n d e rs o m ee u s s u m p t i o n so nt h ed e s i g na n ds o m em o m e n tr e s t r i c t i o n so nt h en a e r r o r s 、 n o ww eg i v eo n rm a i nr e s u l t s l e t e n ，n 1 ) b ean as e q u e n c e ，s u c ht h a te c n = 0 ，罂l v a r ( e n ) o 。l e tkb ea p o s i t i v ei n t e g e r f o re a c h 礼1 ，l e tt nb eak - d i m e n s i o n a lv e c t o ra n dh n = 翟1t i t ； w h e n = 1 ，w ea s s u m et h a tn ，t 2 ，兄，i sas e q u e n c eo f s a m es i g nn u m b e r s a s s u m i n g f o rs o m ep o s i t i v ei n t e g e rm ，h mi sp o s i t i v ed e f i n i t e f f 岛，扎l i sa s e q u e n c eo f s a m es i g n n u m b e r sw h i c hs t a t i s f i e s 墨。+ lc ? ( 1 + t ：h 晶t i ) c o t h e n 坠m + lq t t i n t 一1 l ( 骂三t j ( ，) c o n v e r g e s n s f u r t h e rm o r e ，w ec a l lg e tac o r o l l a r yo ft h i sr e s u l t i tr e l a t e st ot h ea l m o s ts u r ec o n v e r - g e n e eo ft h ew e i g h t e ds u m so fs a m p l em e a nf o rn as e q u e n c e b yt h ea b o v er e s u l t ，w eo b t a i nt h es t r o n gc o n s i s t e n c yo ft h el e a s ts q u a r e se s t i m a t e si n m u l t i p l er e g r e s s i o nm o d e l sw i t hn a e r r o r s i nm o d e l ( 0 3 1 ) l e t e i ，i21 b ean as e q u e n c ew i t he e ：= 0 ，墨iv a r ( e i ) 0 ，w i t hp r o b a b i l i t y1 ， 6 n ，一岛= 。( ；ll o g j y f 1 + 5 ) ) a s 扎1 0 0 浙江大学硕士学位论文第一章基本概念厦其基本性质的简要回顾 第一章基本概念及其基本性质的简要回顾 1 1基本概念 在经典的概率论与数理统计的研究中随机变量序列通常都被假设为独立同分 布的，但是在现实生活中情况并非如此，随机变量序列之间总是存在这样或那 样的楣依性，因此一直以来相依随机变量序列的理论研究都是概率极限理论研 究者们的热门话题对于正负相依的基本概念起源于h a r r i s ( 1 9 6 0 ) ，在这里我们 只考虑正相伴和负相伴两种情形， 正相伴( p o s i t i v e l ya s s o c i a t e d 简称p a ) 随机变量序列是由e s a r y ，p r o s c h a n 和 w a l k u p ( 1 9 6 7 ) 首先正式提出的，当时它被称为相伴( a s s o c i a t e d ) 序列，后来的一些 文献中为了区别于其他的相依序列而改称为正相伴( p a ) 序列，其具体定义为： 定义1 1 1定义在某概率空间上的有限族 x l ，玛，) 称为p a 序列，如 果： e 吲 ，( x t ，捣，五) ，g ( x i ，局，) 20 其中，和g 都是定义在r n 上的两个逐点单调不减的且使得上述协方差存在的 函数 一个随机变量序列 墨，托1 称为p a 序列，如果对它的任意一个有限子族 都是p a 的 很多著名的多元分布过程都具有p a 序列的性质，如渗流模型及统计力学中 的i s i n g 模型等由于它的广泛应用性，受到许多学者的青睐目前，它的理论 系统已相当完备接着我们给出比这类相伴序列范围更广的个相依性： 定义1 1 2称随机变量x 和y 是p q d 的，若 p ( x z ，】7 y ) p ( x z ) 尸( y 0 ，有 溉p ( f 瓦x f e ) _ 0 则称随机变量序歹! f 蜀，n 1 ) 依概率收敛到x ，简记为x 。斗，x 如果有 p ( j 骢x n = x ) = 1 则称随机变量序列( x 。，n21 ) 依概率1 收敛到x ，也称随机变量序列f ，n 1 几乎处处收敛到戈简记为墨_ “x 在统计研究中，这种收敛性常被用来评价一个估计的好坏，这便出现了相合 性的概念 定义1 1 5设( 田，骑， 局，口0 ) ) 是可控参数统计结构，x = ( x 1 ，x 2 ，) 是来自该统计结构的一个样本设磊= 靠( 函，x 2 ，弱) 是参数0 的一个估计， 如果当n 。时，有自。- + p 口，则称自。是0 的弱相合估计进一步，如果自。_ “0 ， 则称晶为0 的强相合估计，显然强相合性可以推出弱相合性， 相合性被认为是对估计的一个最基本的要求，如果一个估计量，无论做多少 次试验或有多少个观测值，它都不能把要估计的参数估计到任意指定的精度， 那么这个估计是很值得怀疑的 浙江大学硕士学位论文第一章 基本概念及其基本性质的简要回顾 1 2p a 随机变量序列的极限性质的部分回顾 全文中我们都记部分和为s = 坠。五 n e w m a n 和w r i g h t ( 1 9 8 1 ) 曾指出p a 序列经单调不减函数作用后所得到的随 机变量序列还是p a 的，同时还给出了一个著名的关于尸a 序列的弱不变原理： 定理1 2 1 假设x - ，而，是一非退化的，强平稳的，具有有限方差且是p 的随机变量序列，满足 o o o - 2 = c o y ( x 1 ，x t ) + 2 c o y ( x 1 ，x j ) 。 i = 2 对每一个n = 1 ，2 ，和0 墨t ，定义随机过程 = 去阻+ 恐+ t - + + ( m m ) + 1 - n t e ( x 1 ) 】，罢t 竿 则过程序列哌s 依分布收敛到c o ，t l 上的标准w i e n e r 过程 在上述定理的证明中用到如下重要的结论： 引理1 2 1 设x - ，恐，是有限个p a 随机变量，满足均值为0 ，方差有 限，没豫= m a x ( s t ，岛，) 则 e ( 磺) v a r ( & ) n e w m a n ( 1 9 8 4 ) 对p a 序列获得了如下强大数定律： 定理1 2 2 设 弱，n 1 ) 是一具有有限方差的严平稳正相伴随机变量序列， 且满足：当n 矗o 。时，：。c o v ( x - ，玛) - 0 则 s , - e s , _ 0 。s n 此定理中限制了p a 序列是严平稳的，而b i r k e l ( 1 9 8 9 ) 在不要求严平稳的条件下 得到了如下强大数定律： 定理1 2 3 设 ，n 1 ) 是一具有有限方差的p a 随机变量序列，假设 銎专g o ”( 玛，岛) ( 3 0 贝4 当n _ 。o 时，有 墨二堡墨_ oq 点 n 浙江大学硕士学位论文第一聿基本概念及其基本性质的简要回顾 而r a o ( 2 0 0 2 ) 得出了如下形式的强大数定律： 定理1 2 4 设( ，n 1 ) 是一p a 随机变量序列，满足墨lv a r ( x j ) + 畏， c o v ( x j ，x k ) 。则 ( 玛一e 西) n 兰1 对随机变量序列 蜀，n 芝1 ) 定义 口( 七) - s ，u p 龟 c o v l ( 恐，玛) - 设口 j 1 ，0 0 ( i i ) ，n 之1 ) 为被随机变量凰所界的p a 序列，墨1 口 ( 2 t ) o o 当1 时 假设= 0 ，n 1 如果e l x o l r h ( i x o l ) 0 ，有 至俨。 ( p ( 。m a ! x 。 s j l 狮。) o 。， 塑兰查兰翌兰兰竺塑苎= 主 叁查堡垒垄苎苎查兰堕塑塑墨! 璺 ! 关于p a 序列的加权部分和的强稳定性也有所研究，严继高等( 2 0 0 2 ) 给出了 两两p q d 列的j a m i s o n 型加权部分和的强稳定性如下： 定理1 2 6 设正数列 岫，i 1 ) 满足：w ，n = 坠l 她寸0 0 ，且当几_ o 。时， 畿叶0 ；两两p q d 列 ，n 三1 ) 满足： 嬲e i 瓦f o 。，瓯= o ，n 1 ； p ( i x 。i b 。) o o ； ”1 丧，篆。姚e j 砑- + o ，n - + o 。； 盱2 w j w 。g 伽( 砖，磅) 0 0 n 1j = l 其中6 n = 鲁，礼1 i 则当n _ 0 0 时， 竽寸s 其中瓦= 1 z ) ，比0 ，v n 1 设卢 一1 和正三角组列 a n k = c 。( ：) 4 ( ：) ，1 k 扎，礼1 ) 满足对v n 1 ，1a 。女= 1 ，其中对v 1 k n ，n 1 对某常数c 和c ，满足0 c 冬 冬c 1 ， ( o ) e i x i 旃 o 。，当一1 卢 ； ( e i x i l o g ( 1 + i z l ) 0 ，有 三扩2 p ( 燃l 萎a n i 援j e ) o ) 则 h 。是卢的弱相合估计的充分必要条件是当n _ o o 时，( x ：x 。) - 1 _ 0 a n d e r s o n 和t a y l o r ( 1 9 7 6 a ) 给出了b 。的强相合性的充分必要条件： 定理1 4 2如果在统计模型( 1 4 1 ) 中，矩阵x ：x 。是可逆的，随机误差序列 q ，i 兰1 ) 是i i d g ( o ，盯2 ) 贝0 b 。是卢的强相合估计的充分必要条件是当n 一o o 时，( x ：x 。) - 1 _ 0 l a i ，r o b b i n s 和w e i ( 1 9 7 9 ) 中给出了如下结论： 定理1 4 3在统计模型( 1 4 1 ) 中，矩阵x ：x 。是可逆的，随机误差序列慨i 1 ) 满足： 对所有满足磐。孝 0 ，有 p c 麟l 去娄c 五一硎协，s 撬等+ ，；至如掣一 引理2 1 2 2 8 1 ( g 不等式)设x 与y 是任意两个r 阶矩存在的随机变量则 有 e i x + y f 冬g ；( e i x 7 + e i y l 7 ) 其中当0 0 记群= 弱x 。l s g ) + c i ( x 。 c ) ，如果有： o o e 。瑶 ， n = 1 o oo o v a r ( 磁) + c o w ( x 7 ，x g ) 0 中，南不减； ( 托) 在区间z 0 中，南和掣都是不增的，且e = 0 此外 o 。，n l 是常数列，满足0 a t , t0 0 和 n 萎= l ( 掣良o o ( 筹) o o ，n 叶l ， 则当n 时， x k _ 0 o _ s 证明：由k r o n e c k e r 引理知，要证式( 2 2 2 ) ，只需证明： 譬收敛n - s 因为 鲁，t i , 三1 ) 还是p a 序列，所以对此序列应用引理2 1 4 知， ( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 成立即可，其中c = 1 由式( 2 2 1 ) 知，对充分大的 1 2 ，有 觜g n ( 帮成【o nj肌l o n j 。 所以 薹帮 。 裂 0 时，g n ( x ) 是单调不减的且它还是偶函数，知 p ( | 胁拈l 阻搿咖帮 由式( 2 2 4 ) 知 p j x 1 o 。) 。) + l e x d ( i x i 。) f s 蠢e 甄( ) + 蠢x 1 a g n ( ) d p 丽2 a n e 鼽( ) 所以不论哪个条件被满足由式( 2 2 4 ) 知都有 薹e等21至掣 。o 皿z 。， e 等裂 q ) + 义；厶l 马i s q ) ) ) 由于肌( 茁) 是偶函数，在( 0 ，o o ) 上不减，所以 e 缃帅班日霹丽g j ( x j ) 妣l ，私蔫酬玛) ( 2 2 7 ) 浙江大学硕士学位论文 第二章 p 随机变量序列的日a j e k r e n y i 型不等式的应用 1 1 又对某个n ，函数夕。( z ) 满足条件( i ) ，则在区间川茎a n 中有 j 生竺l ( z ) 。蜘( ) n ：2 鳐( a n ) 。蜘( o 。) f ，姥( z ) 一，9 。( z ) 对于满足条件( 扰) 的鲰( z ) ，在同一区间中，由于学不增，所以 高s 鑫 因此，无论g n ( x ) 满足( i ) 还是( “) ，都有 矿，g n ( z ) 3i 葡 所以 e 霹 隅i 町) 2 玛i 口j 碍咖 茎南2 厶盹毋( 玛) 咖 高吲磷 因此 o e ( 冲) 2 剑( 卯a i q ije g j ( x j ) ) ， 酗1 和渤( 薹1 ( 鬻) ；) ( e ( 等) 2 ) so ( ( 笔导) 3 ) f-“0 j = 却“口， 酗和；鲰 所以结合式( 2 2 7 ) 得 ，霍，e 望a j 翌a k o 。， ( 2 2 8 ) ，笔1 因此，从式( 2 2 6 ) 和式( 2 2 8 ) 可得 薹哳c 等h ，塞。伽c 等，等， = i 曩，g 州等，等， 浙江大学硕士学位论文第二章p 随机变量序列的日可e 一r e n y i 型不等式的应用 1 2 = ，差，e 矍a j 等一，曩，沁等胆壁a k ) 0 ，可得如下推论： 推论2 2 1 设 瓦，n 1 ) 是p a 序列，0 。个。，芒l ( 墨铲) 女 o 。，0 p 2 且当1 o ，0 p 2 且当1 0 ，由昂删p ( i 躁，( 玛一e 玛) f j e ，l 整。( 五一e 五) f 艇) 。 推不出器。p ( i 冬1 ( x ；一e x d i 礼e ) 0 ，有 量学+ i 塞。号掣 o 。，(2z10)j= t j i k = l j“ 和 p ( | ( 玛一目玛) i j e ，1 ( x i e 五) l k e ) o 。 ( 2 2 1 1 ) 则有 p ( i ( 五e 五) i n e ) 0 0 ( 2 21 2 ) 证明：设事件a k = ( i 墨。( 玛一e 玛) i e ) ，则由引理2 t 3 知 ( p ( a m ) ) 2s ( p ( _ t a y ) ) - p ( ua ) k = l k , j = l k = 1 = ( p ( a t ) + p ( a 山) ) p ( u4 e ) ， 浙j 上大学硕士学位论文第二章p a 随机变量序列的| 日a j e k r e n y i 型不等式的应用 所以 ( p ( 4 女) ) ( p ( a k ) 一尸( ua e ) ) 兰( p ( a k a j ) ) p ( ua k ) j # k = l k = l 由于0sp ( u 饕，a j ：) 1 ，所以 ( _ p ( 4 t ) ) ( p ( a k ) 一1 ) ( p ( a 女) ) ( p ( a k ) 一p ( ua k ) ) ( p ( a k a j ) ) p ( ua k ) j c k = l k = l 如果对任意的礼兰1 ，都有；：l p ( a k ) 1 ，则令札_ o 1 ，则 0 ( p ( a 女) ) ( p ( a 女) 一1 ) ( p ( a k a j ) ) p ( ua k ) j # k = l k = l 注意到p ( u 2 ：。a k ) = p ( m a x l k 。i 1i 垒，( x j e x j ) l e ) ，则我们有 p ( 0a k k = t ) 舷j = l 等+ l i # k n 掣) ， 。 ，j 。 事实上， 设y j = ( 玛一e 玛) ，则 k ，n 1 ) 是均值为。的p a 列 令s k = ；：1 ( x j e x j ) ，k 1 ，b o = 0 ，注意到 畏= ( x j e 玛) = j - ( 玛一e 玛) = j 巧= ( ( i 一( i 一1 ) ) ) 巧 = 0 一( i 一1 ) ) ( y j ) 一 0 一 。嘲 巧 。：曼 鼢 一 塑兰苎塑竺堡兰兰! 生竺墨! 三= 兰! 兰型堕竺垦兰生墼! 二璺! 兰型里至堇墨竺些望! ! 宁于i 1 厶k ( 江。一1 ) ) = i ，因此( 掣e ) c ( m a x ，s 鼬j 壕i 巧j 。) 所以 ”“ 因此 得 ( 臻j * c ) 嗡燧噻驰。 r i 叫蟛m 蜓a x n i 著卜j = 1 驰北( 懋f 勃芝 一j = 1 l s l ! n 。：二：一2 7 尸( m 馘l s 坯n i 警j e ) - p ( m a x l i 。i 骂：，y j l 芝；) ，再由c h 。的。h 。u 不等式， p ( t m k a x g n 嘞芝e ) 尸( 瞄j 荟i 巧i ；) 4 主曰( 受黑f 巧f 2 ) 一一 = 1 显然序列 碥，诧1 ) 满足引理1 2 1 的条件，所以 p ( 理罐：j 譬 e ) 万4 e ( ( 巧) z ) 。量磐2 ；晤n 州珊。点! 。毗 2 撼等+ ，点9 等砻，一 o 。 。 o ( 圣p ( 4 t ) ) ( 尸( a ) 一1 ) = i 一1 ：曩。p ( a k a j ) ) 尸( 里 一 o o i ， 主( j c k = p ( f 蚤( 玛e 玛) f 托i 毫陇甄、i i 埘 o 。) 拄1一、 ，、， ( 葛曼= v a 厂r x j + ，差，号掣) 由式( 2 2 1 0 ) 和式( 2 2 ) 知 竺o o o ( p ( a ) ) - ( p ( 4 女) 一1 ) o 。， k = l 七= 1 薹p d 脚e ( x , 一e x , ) i 独) = 主跗n ) 。 ( 2 2 1 4 ) n = l 七=l二一 、一 一 、- i q j 浙江大学硕士学位论文第二聿p a 随机变量序列的h a j e k r e n y i 型不等式的应用。 1 5 因此，综合式( 2 2 1 3 ) 和式( 2 2 1 4 ) ，就可证得式( 2 2 1 2 ) 证毕 上面我们讨论的是p a 序列的部分和的性质，对于满足一定条件的尸a 序列 的加权和的稳定性严继高等( 2 0 0 2 ) 给出了定理( 1 , 2 6 ) ，在此处我们采用另一证明 方法给出如下结论： 定理2 2 3设正数列w i ，i 1 ) 满足：= 坠l 咄1 ( 3 0 ，且当n - 时， 畿_ o ；p a 列 ，礼1 ) 满足： e k = 0 ，n 1 ；( 2 2 ，1 5 ) 尸( i k i 芝k ) l 土b ne x o o ；( 2 2 1 7 ) 盱2 w 3 w , c o v ( 砖，砖) 0 3 ， ( 2 2 1 8 ) n 1i = l 其中b 。= 鲁，n 1 则当n - 0 0 时， 7 , 矿- e t , _ o a s ( 2 2 1 9 ) 眠 。 、7 其中= 。岫x i ，n 1 证明：已知当扎_ 时，斗。，所以由式( 2 2 1 5 ) 及k r o n e c k e r 引理知要证 式( 2 2 1 9 ) 只需证： n 曼= l 些蔷些 7 i 由式( 2 2 1 6 ) 知 o o。 p ( x 2 0 ) = p ( 1 l h ) n = l n = l 所以由b o r e l c a n t e u i 引理知 因此 p ( x ，i o ) = 1 瑚 。 e o 坷 锄 阶 职 生 生 d1 浙江大学硕士学位论文第二章 p a 随机变量序列的日叮e k r e n y i 型不等式的应用 1 6 是l 畿瓦 o o 所以要证式( 2 2 2 0 ) o s 当且仅当墨，畿磅 o o n s 只需证 曼磅 o 。s n = 1 ” 由条件( 2 2 1 8 ) ，就可应用引理2 1 1 及标准子序列方法得到 薹丢i 。n ? b 一瞬) n s _ l ? 一e 砖) o ) ，条件 ( x ：x 。) _ 1 。0 ，当n - o o 时( 3 1 3 ) 是b 。依概率收敛到卢的充分必要条件，同时也证明了在误差t ；是鞅差时b 。的 强相合性 a n d e r s o n 和t a y l o r ( 1 9 7 6 a ) 证明了当误差q 是i i d n ( 0 ，d 2 ) 时，( 31 3 ) 蕴涵了 b 。的强相合性在没有正态分布的假设下，他们( 1 9 7 6 b ) 也证明了：在假设随机 变量q 是i i d 服从广义的g a u s s 分布及当n _ o o 时有 打【( x ：x n ) 1 】_ 。( 赤) ， 的条件下，b 。几乎处处收敛到声 l a i ，r o b b i n s 和w e i ( 1 9 7 9 ) 给出了在误差项序列托，i 1 ) 是弱相依时b 。的强 相台性 在这一章中我们考虑的是误差项序列k ，i 1 ) 是a 序列时b 。的强相合 性 l a i 和w e i ( 1 9 8 2 ) 曾指出：设x 。是( nxp ) 阶矩阵，p ) ，若h ( p ) 使得 x ：x 。可逆( 正定) ，则对n2m ，x ：x 。都是可逆( 正定) 的， 浙江大学硕士学位论文第三章具有n a 误差项的多元回归模型中最小二乘估计的强相合性1 8 下面我们讨论模型( 3 1 1 ) 中的b 。的强相合性首先介绍一些引理 引理3 1 1在定理1 3 1 的条件下，设 c n ，n 1 ) 是一列同号非随机常数且 满足器l 2 o o 则 墨lc 。e 。收敛a s 证明：已知 岛，托1 ) 是均值为0 的n a 随机变量序列，且e 豫) = 仃。2 0 0 ，及 c 札，n 1 ) 是一列同号非随机常数，则 钿，凡1 ) 也是均值为0 的n a 随机变 量序列，且e ( ) 2 = 2 2 0 0 又已知墨lv a r ( e 。) 。o ，所以刍j n ，当礼n 时，v a r ( e 。) 1 ， 因此对上述的n n ，当n n 时，c ：v a r ( e 。) 2 又凳。2 0 0 ，所以 y n r ( e 。) = v a r ( c 。e 。) o o 因此由定理1 3 1 知 墨l e ，i 收敛a s 证毕 引理3 1 2 f 1 2 l给定正整数m ，设 ) 和 n 。) 是两列实数，其中礼m ，a m 0 ， 且满足 妻地i 0 则 妻c n a 。n + 1 。， ( 3 1 5 ) 妻( 曼竿) 2 郧2 。， ( 3 1 6 )