（概率论与数理统计专业论文）组合信用衍生品定价.pdf

摘要 摘要 本文主要给出了组合信用衍生品定价的两种模型。第一个模型在各个参考实 体的面值和回复率相等的假设下，利用违约传染机制刻画实体之间违约的相关 性，给出了刻画违约实体个数的方法以及特定时刻违约实体个数的分布函数，并 进一步给出了c d o 和n 次违约c d s 的定价公式。第二个模型考虑当各个参考实体 的面值和回复率不同时，如何给出在特定时刻资产池的资产损失分布。我们对单 个信用实体的违约用简约模型来刻画，并通过简约模型中违约强度的相关性来刻 画信用实体之间违约的相关性，具体地，我们采用单因子模型来描述违约强度的 相关性。最后我们给出了在违约过程为p o i s s o n 双随机过程以及违约强度为c i r 过 程时c d o 定价的具体方法。 关键词：组合信用衍生品，c d o ，仿射过程，分支过程，单因子模型 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ei n t r i d u c et w om o d e l sf o rp o r t f o l i oc r e d i td e r i v a t i v e sp r i c i n g o n e d e s c r i b e st h ec o r r e l a t i o no fd e f a u l t sw i t hac o n t a g i o nm e c h a n i s m , w i t ht h ea s s u m p t i o n t h a te v e r yr e f e r e n c ee n t i t i e sh a v et h es a n l ep a rv a l u ea n dd e f a u l tr e c o v e r y w eg i v e t h ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o no fd e f a u l tn u m b e ri nag i v e nt i m e ，a n dt h ep r i c i n gf o r m u l ao f c d oa n dn t h t o d e f a u l tc d s a n o t h e rc o n s i d e r sam o r eg e n e r a ls i t u a t i o nw h e r ep a r v a l u ea n dd e f a u l tr e c o v e r ya r ed i f f e r e n t w em o d e lt h es i n g l ee n t i t yd e f a u l tw i t ht h e r e d u c e df o r mm o d e l ，a n dd e s c r i b et h ec o r r e l a t i o nb e t w e e nd e f a u l t st h r o u g ht h ec o r - r e l a t i o nb e t w e e nd e f a u l ti n t e n s i t yp r o c e s s e s ，i nw h i c hw eu s es i n g l ef a c t o rm o d e l i n t h ea s s u m p t i o no fc i ra n dd o u b l es t o c h a s t i cd e f a u l ti n t e n s i t yp r o c e s s e s ，ac a l c u l a t i o n m e t h o di s # v e nf o rc d o p r i c i n g k e yw o r d s ：p o r t f o l i oc r e d i td e r i v a t i v e s ，c d o ，a f l i n ep r o c e s s ，b r a n c h i n gp r o c e s s ，s i n g l e f a c t o rm o d e l 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：彳寸违孑 髟年厂月7 。e t 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 用f + l l v , 用嵋公司债券的价 值可以表示为 b ( t ，丁)= e f p r ( r - o d l 咿d + p 叫卜力峙1 y r s di = e f p r ( r - o d + e - r ( 卜力( 蜥一d ) i h s dl = e - r ( 卜o d b l e - r ( 卜0 ( d v r ) + i 由此可见，公司股票价值可以通过一个标的资产为公司资产，到期日为r ，执行价 格为d 的欧式卖出期权得到，因此可以用b l a c k - s c h o l e s 期权定价方法。 m e r t o n 模型没有考虑交易费用，破产损失，税收问题。并假设交易能连续进 行，借贷利率为常值，- ，并且公司资产值与其资产结构无关( m m 定理) 。 b l a c k & c o x ( 1 9 7 6 ) 最早考查了一个公司可以在任意时刻违约的模型，即首次 到达模型( f i r s t - p a s s a g em o d e l s ) 。首次到达模型假设公司资产价值低于某一个外生 的下界后发生违约，从而使得违约可能在任何时刻发生。具体来说，我们假设公 司的资产值低于“违约边界”易( f ) 皇e - - , a 卜f ) 置后公司违约，即公司的违约时间f 为 下圭i n f t ：易( 力，0 。+ e - v r l v r s 。】 6 第一章引言 l e l a n d ( 1 9 9 4 ) 、l e l a n d & t o f t ( 1 9 9 6 ) 及之后的一系列文章则在b l a c k & c o x ( 1 9 7 6 ) 的基础上进一步从股票持有者的角度来考虑违约边界最有化的问题。l o n g s t a f f & s c h w a r t z ( 1 9 9 5 ) 的文章则进一步考虑了利率随机情况下违约时间及债券和相关 衍生品的定价问题。z h o u 的一系列文章则考虑了公司资产过程带跳的情形。 1 2 2 简约模型 简约模型对相应参考实体( 如公司) 的违约时间直接进行建模，在建模时并 不考虑参考实体的价值过程或仅仅把价值过程当作一个辅助的状态变量。通常的 做法是给出一个p o i s s o n 过程和相应的强度过程，并用该p o i s s o n 过程的首次跳来表 示参考实体的违约时间。值得注意的是，在简约模型中，相应的违约回复率并不 能从违约模型中得出，从而要进行单独假设。 简约模型并不像结构模型那样有直观的背景，但有更多的优势。一是计算复 杂性比结构模型低很多，因为结构模型有时很难给出违约时间的精确形式；二是 简约模型更容易进行校正，而且与实际数据更相符。简约模型和结构模型对违约 时间刻画的一个重要不同是结构模型下的违约时间是可料的，而简约模型使用 了p o i s s o n 过程来模拟违约时间，使得违约不可料，这看起来更符合实际。 关于简约模型的文献有l a n d o ( 1 9 9 4 ，1 9 9 8 ) ，j a r r o w & t u m b u l l ( 1 9 9 5 ，2 0 0 0 ) ， 以及d u f f l e s i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) 等。 1 2 3 篮子模型 在实际中我们通常考虑一个投资组合而不是单个参考实体。在考虑此类问题 是，除了单个参考实体的违约之外，实体与实体之间违约的相关性变得比较重要， 刻画这种相关性的实用方法是c o p u l a 模型。 假设有n 个参考实体，其违约时间分别记为r 1 ，吃，。我们作如下变换 x i 圭n - 1 【q f 纯) 】， 其中1 是正态分布的逆分布函数，麓是乃的分布函数。这是一个从r i n x t 的“比例 映射，即n 中概率分布为5 的点映射到n 中概率分布为5 的点( 即而= 一1 6 4 5 ) ；勺中 概率分布为1 0 的点映射到乃中概率分布为1 0 的点( 即而= 一1 2 8 2 ) ；依此类推。 经过这个变化后得到的工l ，x 2 ，而是n 个标准正态随机变量，我们假设它们 服从相关系数为p 的多元正态分布，并通过而与x j 2 _ n 的相关性来刻画t 与勺之间 7 第一章引言 的相关性，即 p ( r l f 1 ， 岛) 圭p ( x l a l ，而 嘞) ， 其中俄叁_ 1 q f ( 哟。这样的相关性可以称为高斯c o p u l a 相关性，相应的模型称为 高斯c o p u l a 模型。 c o p u l a 模型最早出现在l i ( 2 0 0 0 ) q b ，此后l a u r e n t & g r e g o r y ( 2 0 0 3 ) 、h u l l & w h i t e ( 2 0 0 4 ) 等一系列文章又对该模型作了详细研究。 8 第二章简约模型下的c d o 定价 第二章简约模型下的c d o 定价 本章我们以公司债券为例，考察合成式c d o 的定价问题，采用简约模型来刻 画单个公司的违约状况，公司之间违约的相关性则通过公司违约强度的相关性来 刻画。这类似于h u r d & k u z n e t s o v ( 2 0 0 4 ) 的模型，他们通过假设公司在不同的信 用等级之间转移来定价c d o 。 2 1 定价问题的提出 假设c d o 的到期日为丁，资产池中有m 个不同的( o 息票) 债券，第f 个债券的面 值为d i 。记资产池的总面值为d - - 警ld f 。 单个债券的违约用简约模型来刻画。给定初值为。的计数过程 靠= 研，) ， 0 t t ，在条件只v 筋下，m m 服从参数为f 屯砒的p d 细以分布，则称是 由 舅：t 0 ) 驱动的双随机而妇咒过程。 在双随机p o i s s o n 过程的假设下，公司债券之间的违约相关性就转化成之间 的相关性。记西圭( 1 一r f ) d f ，磊 癍垒西。+ + 如。我们有下面的定理： 定理2 1 对于期日为丁的合成c d o 分券0 ，纠c ( 0 ，1 】以及任意的z 1 ，2 ，刀) ， 1 0 第二章简约模型下的c d o 定价 有 k = 善l ( 口d 捌( 丸o 【6 d 一九一e p 盱枷k ，如】， ( 2 5 ) 吧= 善m l , b o j ( d i 咄) 【协一九办】e p 铲h 幽( 1 a , i q 。j t - - k 矗) ( 2 6 ) 其中a ：1 a 圭磷1 o ) n 毋o n 毒“1 = o 1 3 n 毽= o l ，并且 e p 嘲小= e 【p 一铲幽1 a 苎i 矗】= e 卜h 咖1 j = l ( h 剁幽) 皿mg 剁幽】， e 陋幽吣j = le 力幽) 毋删幽】 证明：首先求解k ，由k 的定义知 e = e ”栅眦) 】 =e p 岔h d u ( b d 一三( 之) ) + 一( a d l ( t a ) + 】1 = e ep e 叫讯胁一以咖+ 一以珈+ 】i h ，o a d ，k n + ，k 2 叁s u p k ：k d b d ，k n + l ，则 2 2 1 单因子模型 一1 ) 】 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 假设短期利率 r f l 与债券的违约强度相互独立，并且我们通过单因子模型来 刻画，i 1 ，2 ，m ) 之间的相关性。设= a t + 衅，i 1 ，2 ，m l ，其 中a r 表示宏观经济因素引起的违约强度，鸠表示第f 个公司特有的违约强度，并 且，鸠，f 1 2 ，m 之间相互独立，记曰( o ，力圭e 【口一嘶胁】。我们有下面的结 论： 以及 定理2 3 对于事件a p 。一，有 e ”吨卜毗，凰m e p 础叫 扑呻肛一幽 ，善叶艏如 ) 亿9 ， e p 、矗卜，凰me p 以1 扑邝e - f f z - i ( m - k + p ) l k d u 】，邑p e _ f t z - i a d u ) ( 2 加， 证明：由定理1 知， e p 咖a 扩卅 诎珥k ( h 剁幽) ! l m 已剁幽 1 3 e 暂 舶】 + 摩幽 j i = 气k + lp 一驴a l + 础幽1) 1j i 叫 钻 q 砭 ，堵呻 q 诎 h 七， 肌 带 r-l 叫佃 1 j 互 泖 制 肌 协 m 瞄 力 槲 “ 兀 l ， d 虼 嘲 悃 圳 m 以 枞憨麓：i = = 吃 暖 肘兀；l“ 1 ， d r 幽 p 兀科 尸 驴 o p 扫嘶 ，、 ， u t11 、_ 0 七兀脚。舢 出 幽 e e e 一 一 一 口 f g -_-_。_-_-_l r-_-_-_-_l r_。-_-_-l e e e = i i = 第二章简约模型下的c d o 定价 = e 训鱼e p 2 叫 外k 邝e - g z ( m - k + p ) a , d u ，乏叶艏如】 ：即向ep 础1= 即f z ) 兀ep 岔舶i 喜 c 叫p e 卜一岔“挑幽】，量臼e 卜一铲摩如 e p 拙l ：小= 2 2 2c i r 过程的情形 即廖。e 垆础叫 磐妒ee - , - t ( m - k + p ) a u d u l ，毛叶p 中摩咖】) - 口 我们进一步假设过程，a ；，f 1 ，2 ，m j 均为带跳的c i r ( 仿射) 过程形 式，即 jd a r - 胛一a r ) d t + 矿厕+ d ( 冬l 酝) ， ( 2 1 1 ) 【a o2 o o ， 和 掣；篡( 一硝) 出+ 一擂删， ( 2 1 2 ) 【= 铭， 、 其中b ，o = 1 ，2 ，加是m + 1 个相互独立的标准b r o w n 运动，( j i ，t o ) 是 强度为f 的p o i s s o n 过程，e i ( i = 1 ，2 ，3 ，) 是期望为c 独立同分布的指数随机变量。 方程( 2 1 1 ) 中的p ，0 ，仉0 0 ，方程( 2 1 2 ) 中蛳，伊，一，以及f ，c 都是确定的常数2 。 由于方程( 2 11 ) q b 的是1 ，五的每一次跳都会引起过程a = a f 的一次正 跳，从而可能引起多个公司违约，即可以刻画短时间内大量公司违约的现象。方 程( 2 1 2 ) 中对不同的i 用了相同的参数，这是因为信誉好的公司短时间内违约的 2 方程( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 实际上是特殊的仿射过程，关于仿射过程的具体讨论可以参见d i l 伍ee t a 1 ( 2 0 0 3 ) 1 4 第二章简约模型下的c d o 定价 可能性较小，而长时间后信誉往往有所下降；而信誉差的公司短时间内违约的可 能性较大，但是随着时间的增长信誉状况会有所上升。对过程a = a ，) 有下面的 结果3 ： 定理2 4 假设函数口( f ) ，t i f f ) 满, g , r i c c a t i 方程 f 掣= - 1 4 8 ( 0 + 彬( 力一1 ， 掣= p o f l ( t ) + f 尚， ( 2 1 3 ) ia ( o ) = 卢( o ) = 0 ， 则 e e 一，a ( u k i u 吲= p 口卜力喇洲力 证明：记 g ( 五力皇e e - ra ( u ) d u i a , = x l ， 则g 力满足f e y n m a n k a c 方程 ， g 烈( z ，d c r 2 z + ( x ，蛳( p 一力+ ( z ，t ) - g ( x , t ) x + fg ( x + y ，t ) - g ( z ，t ) f e - y * d y = 0 ， ig ( x ，z ) = 1 ， 由仿射过程的性质知，存在函数口( f ) ，f l ( t ) 使得 e e - f f a ( u u l a t = 司= e a ( 卜蝴卜咖， 故只须证明口( 力，f l ( t ) 满足定理中的条件。取 g ( x ，力= e e l 卜。坝r 一帆， 则 g x ( x ，力= 卢( r f ) 已顽r f ) + 觑r f ) 工， 如力= 【1 d a ( t 厂- t ) d f l ( t 出- t ) x j 芦堋卜啦， g 聪( 工，力= f i a ( r f ) p 畎7 。力觑r 一咖， 3 过程i n 和过程 鸠l 有类似的结果 1 5 第二章简约模型下的c d o 定价 o f g ( 工力叫圳 丢p 啪咖 = 几榔一_ e a ( t - t ) + p ( t - t ) x 铲 啪匆 卜一加j 旷p 。方 = e n r f ) 联r 一帆端， 代) f e y n m a n k a c 公式得 2 ( t 一力e a ( t - t ) 坝r f ) 工户x + f l ( t d e t r ( t - t ) + p ( t - t ) - ( p 一曲一r f ) 悄r m x + - 一d o t ( t - t ) 一字d 3 ( t - 习e a ( t - o + j f ( t - o x + e a ( t - t ) + p ( t - t ) x 端= 0 及u 争( h 胁+ 3 ( r 一御一曲寸t d a ( t - t ) 一1 d f l ( t 广- t ) 工+ 黑- o 进一步整理得 笋( 州c r 2 唰一d f l ( t 州- t ) 工+ 卜渺丁d o t ( t - t ) + 黑】= o 由石的任意性知 f 蓑三勰二至密f ) 2 。1 ， i 掣= p 暇f ) + 一1 - 删c 净( t ) ， 给定方程( 2 11 ) 一( 2 1 2 ) q h 的参数，利用上述定理，我们就可以求出k 和毗，从 而得到c d o 中要定价的息票p 。 1 6 第三章分支过程下的组合衍生品定价 第三章分支过程下的组合衍生品定价 组合信用衍生品背后是一个包含很多参考实体( 资产) 的资产池，这些资产 之间的违约存在依赖关系，定价时合理刻画各个资产之间的相关性变得很重要。 一般认为，资产之间的违约性有两种可能的解释：一是每个资产都受到一个或多 个宏观经济因素的影响，当宏观因素变得不利时，就会有一系列资产违约；另一 种可能的解释是资产之间的违约互相“传染 ，即某些资产的违约可能会引起另 外一些资产的违约。本章考虑一个特殊的情形，在每个参考实体的面值和违约回 复率都相等的假设下给出一个违约传染模型。 3 1 模型 考虑一个含有d 个资产的资产池，并特别的取为公司债券。假设各个债券的 面值相等，记为d ，而且恢复率取为同一个常数，记为r 。此时整个资产池中的资 产损失只取决于违约资产的个数。我们假设违约是按如下机制发生：宏观经济因 素或公司自身的原因造成某些公司违约，这些违约的公司进而又引起其它公司违 约。 3 1 1 模型描述 我们称违约时间邻近的公司为同一代，并近似假设这些公司在同一个时间点 违约，而且下一代公司违约是由上一代引起的。给定“分支过程 磊j h 鼠脚，磊j 表 示第i - 1 代的第价违约公司所引起的违约公司的数量，取) 为值域为 1 ，2 ，仃j ，0 口d 的独立同分布的随机变量1 。记 p k 圭p 。j = 助，k 1 ，2 ，仃1 1z l ，j 取为独立同分布的随机变量，具有一定的合理性，因为在现实中资产池中的公司会引 起资产池外的公司违约，资产池外的公司也会引起资产池中的公司违约，而整个经济中公司 的数目庞大，可以认为资产池中违约公司的数目对资产池中其它公司是否违约影响不大。 1 7 第三章分支过程下的组合衍生品定价 用z ；f 表示每一代违约的数量，则 z 1 = z 1 1 ， 磊一1 磊= 乙j ，七= 2 州3 一，n 卢1 截至到第k 代，违约的总数为 七 才= z i ，七= 1 ，2 ，2 ，n i = l 我们用过程1 = ( 狄力) 表示，时刻时已违约公司的代数2 。在t 时刻，违约公司的 总数为 1 7 ( r ) r ) = y z ；f ，0 t t ( 3 1 ) 一 f _ l 此时资产池中违约的总资产值为 3 1 2 资产损失分布 以力= d ( 1 一尺) z 巩力，0 ，7 ( 斗1 ) ) = l p 一肚5 ， 五为某个常数。在国时刻，共有k 代违约的概率为 聊( 加助= 南( p 一) h1 - e - a a s 广 ( 3 3 ) 在各个时刻违约的代数可以用下图表示： 2 如果叩是强度为五= ( a ( f ) 的p o i s s o n 过程，则f 时刻有七代违约的概率为p ( 顼力= d = e - , i t 譬。 1 8 第三章分支过程下的组合衍生品定价 。兰。 2 3 2 1 00 4 3 2 1 o s os 1s 2s 3s 4 t o = 0 t l 图3 1 违约“代”数的二叉树表示p = p 一心，g = 1 一p 记 并定义 g ( 1 ，9 ) 圭e 【p 咆】， g ( k ，回皇e 【( p 一( 七一1 ，d ) z ，七= 2 ，3 ， 五( d 圭e e - 占y 叁t 西】 = e p 管磊e e 嗽陆】) = e p 一一z 器乃- 珏i - - le p 一铊幻】) = e p 踞乃兀e p 蛾” l户lj = e 【p 一目管乃【g ( 1 ，】站1 】 = e p 舒磊e 妒g ( 1 ，d ) 酗h ) = e 卜k - 2 i z l 五轴i - ie 【( e - 一g ( 1 , 0 ) ) z * - u 】， _ e p 五ei ( u i l j = l 。j 1 9 第三章分支过程下的组合衍生品定价 则 = e 已- k - t 2 磊k ( 2 ，回严】 = e 【e 啦 g ( k - 1 ，回】z l 】 = g ( 屯d ( 3 4 ) = e 卜p 驯 =壹e卜劓r(si)=k卜pk=oj = l 沪幼 = e 卜z ： l ( 删= 幼 l i j = 塞eb 一嘻乙，h 审= 幼 = 塞胛) p ( 讹) = 幼 ( 3 5 ) 下面求砂的分布。记 舰，皇p g 梦= 力， i = 1 ，2 ，d 定义m ( 七) 圭口- i - 孑+ 舻，p 皇m i n d ，m ( 幼) ，则 五( 回= p k , o + l a k , l e 一8 + p k , 2 e 一幼+ + 辄兽p 卅 注释3 2 严格来说， f k ( o ) = 移啪+ 舰1 e e + 张2 - 2 口+ + 他艄p 一朋【啪 但是我们的资产池中最多只有d 个资产，因此近似的取为上面的情况。 取p 个不同的数目l ，0 2 ，要求解辄，0 ，豫1 ，只需求解下面的方程组 1 p 呐 p 一晚 p k , o p k , 1 f k ( o o ) 五( 吼) 五( ) ( 3 6 ) 1 嘶 一咄 p p 1 1l 第三章分支过程下的组合衍生品定价 3 3 1n 次违约c d s 定价 3 3 模型应用 n 次违约c d s ( ns 由是信用组合衍生品中的一种，当资产池中的第n 个资产 违约后，卖方向买方支付相应的补偿；在此之前，买方向卖方在t l ，匕，岛时刻定 期支付费用c ，所谓的定价是指找出一个合适的c 使得交易无套利。考虑利率为常 数r 的简单情况，并且每个债券的面值为1 。买方向卖方支付的所有费用折现到零 时刻为 a ( c ) = e p c l 洲 n 】 = e 嘶c p n ) = e 一啦c p ( 2 孵 m l 叩( ) = p p ( 巩f f ) = 助 = e 一哺c pp n ) p ( 叩( ) = 助 n r d k ( n ) j ( ) a n，n 一1、1 = i = lp 嘶c 【k = o 啪+ k = - 其o a k ( n ) + l 防p2 巾讹叫 l其户0 ，j = e 一哺ci p ( 叩( 白) = 幼+ ( p k , o + p t l + + 辄m 1 ) p ( ，7 ( f f ) = 七) i ， i = 1lk = o i = j ( 0 a k ( n ) + l j 其中_ ( d 使得岛= s j ( o ，k ( n ) 圭m a x k ：m ( 助 n l 。反过来，在第n 个债券违约后卖 方支付给买方的补偿折现到零时刻为 b = e 【p 一删( 1 一尺) l 孵t ，如蚋， 】 j = l = 已一嘶( 1 - r ) p p 州 a ( 1 一r ) ) 反过来，在资产池中的资产发生违约时买方向 卖方支付的补偿折现到零时刻为 b = e e - r a i ( u ( ) 一u ( 刚 = y e - 啦( e 【u ( j f 1 ) 】一e 【u ( 品) 】) 。i 。= 。l = 打笺( 高一0 扣呐。咿 叫 r 3 1 0 ) 根据套利定价原则，公平的定价c 应使得a ( c ) = b 参考文献 参考文献 【1 】a p p l e b a u m , d ( 2 0 0 4 ) ：l m v yp r o c e s s e sa n d s t o c h a s t i cc a l c u l u s c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s 【2 】b l a c k , ea n dc o x ，j c ( 1 9 7 6 ) ：v a l u i n gc o r p o r a t es e c u r i t i e s ：s o m ee f f e c t so f b o n di n d e n t u r ep r o c i s i o n s j o u r n a lo f f i n a n c e3 1 ，3 5 1 3 6 7 【3 】b l a c k , ea n ds c h o l e s ，m ( 1 9 7 3 ) ：t h ep r i c i n go f o p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s zp o l i t i c a ze c o n o m 81 ，6 3 7 6 5 4 【4 】c o x ，j ，i n g e r s o l l ，j a n dr o s s ，s ( 19 8 5 ) ：at h e o r yo f t h et e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s t r a t e s e c o n o m e t r i c a5 3 ，3 8 5 4 0 7 【5 】d a i ，q a n ds i n g l e t o n ，k j ( 2 0 0 0 ) ：s p e c i f i c a t i o na n a l y s i so fa f f l n et e r ms t r u c t u r e m o d e l s j o u r n a lo f f i n a n c e5 5 ( 5 ) ，1 9 4 3 1 9 7 8 【6 】d u f f l e ，d ( 2 0 0 4 ) ：c r e d i tr i s km o d e l i n gw i t ha f i i n ep r o c e s s e s w o r k i n gp a p e r g r a d u a t es c h o o lo fb u s i n e s s ，s t a n f o r du n i v e r s i t y 【7 】7d u f f l e ，d ，f i l i p o v i 6 ，d a n ds c h a c h e r m a y e r , w ( 2 0 0 3 ) ：a f f l n ep r o c e s s e sa n d a p p l i c a t i o n si 1 1f i n a n c e a n n a l so f a p p l i e dp r o b a b i l i t y13 ，9 8 4 - 1 0 5 3 【8 】h u l l ，j a n dw h i t e ，a ( 2 0 0 4 ) ：v a l u a t i o no fac d oa n dan t ht od e f a u l tc d s w i t h o u tm o n t ec a r l os i m u l a t i o n p r e p r i n ta v a i l a b l ea th t t p ：w w w d e f a u l t r i s k , c o m 【9 】h 吐t r a n dk u z n e t s o v , a ( 2 0 0 5 ) ：f a s tc d oc o m p u t a t i o ni nt h ea f f l n e m a r k o vc h a i nm o d e l p r e p r i n ta v a i l a b l ea th t t p ：w w w d e f a u l t r i s k c o m 【l o j a r r o w , r a n dt u r n b u l l ，s ( 1 9 9 5 ) ：p r i c i n gd e r i v a t i v e so nf i n a n c i a ls e c u r i t i e s s u b j e c tt oc r e d i tr i s k j o u r n a lo f f i n a n c e5 0 ，5 3 8 5 【11 】j a r r o w , r a n dt u r n b u l l ，s ( 2 0 0 0 ) ：t h ei n t e r s e c t i o no fm a r k e ta n d c r e d i tr i s k z b a n k f i n a n c e2 4 ，2 71 2 9 9 参考文献 【1 2 】k a r a t z a s ，i a n ds h r e v e ，s ( 1 9 9 1 ) ：b r o w n i a nm o t i o na n ds t o c h a s t i cc a l c u l u s ， s e c o n de d i t i o n s p r i n g e r - v e d a g ，n e wy o r k 【1 3 】l a l l r e m ，j - ea n dg r e g o r y , j ( 2 0 0 5 ) ：b a s k e td e f a u l ts w a p s ，c d o sa n df a c t o r c o p u l a s p r e p r i n ta v m l a b l ea th t t p ：w w w d e f a u l t r i s k c o m 【1 4 】l e l a n d , h ( 1 9 9 4 ) ：o p t i m a lc a p i t a ls t r u c t u r e ，e n d o g e n o u sa n k r u p t c y , a n d t h et e r m s t r u c t u r eo fc r e d i ts p r e a d s ，j o u r n a lo f f i n a n c e4 9 ，1 2 1 3 1 2 5 2 【1 5 】l e l a n d ，h a n dt o r t ，k ( 1 9 9 6 ) ：c o r p o r a t ed e b tv a l u e ，b o n dc o v e n a n t s ，a n do p t i m a lc a p i t a ls t r u c t u r e ，j o u r n a lo f f i n a n c e5 1 ，9 8 7 1 0 1 9 【1 6 】l i ，d x ( 2 0 0 0 ) ：o nd e f a u l tc o r r e l a t i o n ：ac o p u l aa p p r o a c h j o u r n a lo ff i x e d i n c o m e9 ，4 3 - 5 4 ， 【1 7 】l o n g s t a f f , ea n ds c h w a r t z ，e ( 1 9 9 5 ) ：as i m p l ea p p r o a c hv a l