（概率论与数理统计专业论文）波动率建模及其应用.pdf

摘要 波动率在金融衍生产品定价、投资组合风险管理、对冲投资策略中具有重要 作用，在现代金融理论中，广泛地以波动率来代表风险，并可用收益的方差进行 测度。1 9 8 2 年e n g l e 提出了自回归条件异方差( a r c h ) 模型，开创了利用时间 序列工具研究金融波动率时变性和异方差性的时代，在此之后的二十多年的时间 里，a i h 模型的各种变化形式及各方面的应用不断涌现，成为了现代金融计量 学飞速发展的一个重要领域。 本文系统地阐述了一元a r c h 类模型的产生背景、统计特性与建模步骤， 并且比较了a r c h ( m ) 与g a r c h ( 1 ，1 ) 模型的扰动项分别是正态分布与t 分布时的 尾部性质；本文还讨论了一元舢地h 类模型的扩展形式多元g a r c h 模型， 具体地给出了各种二元g a r c h 模型，并且提出了时变相关系数模型；鉴于沪深 3 0 0 股指期货即将推出，而套期保值是期货的三大功能之一，为此论文给出了沪 深3 0 0 股指期货套期保值的实证研究。实证中除了比较各种一元a r c h 类模型， 还引入了多元g a r c h 模型估计时变的最优套期保值比率( o h r ) ，其效果比一 元a r c h 类模型有较大提高。最后使用m a t l a br 2 0 0 8 a 工具对d c c m v g a r c h 模型进行估计，其效果在一定程度上比c c c m v g a r c h 模型有所提高。 关键字：波动率，a r c h 模型，多元g a r c h 模型，股指期货套期保值 a b s t r a c t v o l a t i l i 够h a sb e e np l a y i n ga 1 1i m p o n a n tr o l ei np r i c i n gd e r i v a t i v e s ，p o r t f o l i or i s k m a j l a g e m e n ta n d 如劬r e sh e d g i n gs 仃a t e g y i nm o d e mf i n a n c i a lm e o 巩v o l a t i l i 锣i s w i d e l yu s e dt 0r e p r e s e n tr i s ka n di sa l w a y sm e a s u r e da st h ev 撕a n c eo fr e t u m i n 19 8 2 ，e n g i e 、v a st h ef i r s tp e r s o n 、v ：h 0p u tf o n 锄r dt h ea u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a l h e t e r o s c e d a s t i c i t y ( a r c h ) m o d e l ，w h i c hc r e a t e dan e we r ai nr e s e a r c h i n gv o l a t i l i 西 u s i n gf i n a n c i a lt i m es e r i e sa 1 1 a l y s i s s i n c et h e n ，m o r ee x t e n d e dm o d e l s 、v e r ec r e a t e d a i l dm o r ee m p i r i c a ls m d i e sw e r ep r e s e n t e ds ot h a ta r c hm o d e lb e c a m ea ni m p o r t a m p a no ff i n a l l c i a le c o n o m e t r i c s i nt h i sp a p e r ，f i r s t l y a r c hi n o d e la n do 缸l e re x t e n d e dm o d e l ，i n c l u d i n g b a c k g r o u n d ，姒i s t i cp r o p e r t i e sa n dm o d e l i n gs t e p s ，a r es y s t e m a t i c a l l yi n r o d u c e d b e s i d e s ，s t a t i s t i cp r o p e r t i e so fi l l i l o v a t i o i l sb e 佃e e nn o 肌a ld i s t r i b u t i o na n d 咖d e n t d i 嘶b m i o nw h e nu s ea r c h ( m ) a i l dg a r c h ( 1 ，1 ) w e r ec r e 撕v e l y c o m p a r e d ； s e c o n d l y ，m u l t i v a r i a t eg a r c hm o d e l sa r ea l s oi m r o d u c e d ，w h i c ha r es o m eo f e x p a l l s i o nf o m so fa r c hm o d e l s ，a n dan e wt i m e - v a r y i i l gc o r r e l a t i o nm o d e lw a s p r e s e n t e d ；s i n c eh u s h e n 3 0 0i n d e xf u 咖s 砸l lb ep u tf o n 矾s o o na n dh e d g ei sa v e 巧i m p o r t 觚tf u n c t i o no fm t u r e s ，f i n a l l y t h i sa r t i c l ep r e s e m sae i n p i r i c a ls t u d yo ft h e 如t u r eh e d g e ，a n dc o m p a r en l eh e d g i n ge a e c t 锄o n gt h ec l a s so fa r c h m o d e l s p l u s ， t h i sa r t i c l eu s ean e wm e t l l o d m u l t i 谢a t eg a r c ht 0e s t i m a t eo h r w h i c h p e b 珊a 1 1 c ei ss i g n i f i c a n t l yi m p r o v e d m a t i a br 2 0 0 8 ai sa l s ou s e di 1 1e s t i m a t i n g o h rw h e nu s i n gd c c - m v g a r c hm o d e la n dt 1 1 e p f o m a n c e ，c o m p a r e db y c c c - m v g a r c h m o d e l ，i ss l i g h t l yi l l l p r o v e d k e ，啊o r d ：v r 0 1 a t i l i t y ，a r c hm o d e l ，m u l t i v a r i a t eg a r c h ，s t o c ki n d e xf u m r c l v 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引 用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或 撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：稽锑以 日期：伊o j 年厂月弓日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定 机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢 利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室 被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索， 可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论文。 学位论文作者签名：眵锋咀导师签名：弓西文 日期：仞蛆年厂月弓1 日 日期：枷刀年，月弓1 日 第1 章引言 1 1 波动率的定义与分类 波动率是指价格非预期变化的趋势，即指收益的不确定性或不可预测性。波 动率在金融衍生产品的定价、交易策略以及风险管理中扮演着相当重要的角色。 波动率包括价格的波动率和资产收益的波动率，两种波动率没有本质的区别，资 产收益时间序列一般是平稳的，文中的波动率一律指资产收益的波动率。 关于波动率的分类，至今没有一个统一的说法，也没有一个学者对此作出详 细的论述。一般地，波动率可以分为实际波动率、历史波动率、预测波动率和隐 含波动率。 实际波动率又称未来波动率，它是指对期权有效期内收益率波动程度的度 量，由于收益率是一个随机过程，实际波动率永远是一个未知数。实际波动率是 无法被精确计算的，人们只能通过各种方法估计它。a n d e r s o n ( 1 9 9 8 ，2 0 0 0 ) 1 2 】 提出了一种度量实际波动率的方法，是通过加总某一频率下的口内分时数据的收 益平方来得到实际波动率的估计。 历史波动率是指资产收益率在过去一段时间表现出来的波动率，它由标的资 产市场价格过去一段时间的历史数据反映。一般来说，可以根据标的资产价格的 时间序列数据，然后运用统计推断方法估计收益率的标准差，从而得到历史波动 率的估计值。 预测波动率又称为预期波动率，它是指运用统计推断方法对实际波动率进行 预测得到的结果，并将其用于期权定价模型，确定出期权的理论价值。 隐含波动率是期权市场投资者在进行期权交易时对实际波动率的认识，而- 日 这种认识已反映在期权的定价过程中。简单说，就是将市场上权证交易价格代入 权证理论价格模型，反推出来的波动率数值。隐含波动率又可以理解为市场实际 波动率的预期。 波动率建模及其应用 1 2 波动率的特征瞳1 波动率具有不可观测性，这大大局限了对波动率进行建模。然而探索模型的 设定和选择总是以经验特征事实做指导的，虽然波动率具有不可观测性，但 e n g l e 、b o l l e r s l e v 和n e l s o n 在观测资产收益率序列的经验中总结了波动率的一些 特征7 1 。 1 资产收益率分布的“高峰厚尾”。实证研究表明，金融收益序列往往呈现 出“高峰厚尾”的分布特性，真实分布比标准正态分布具有更高的概率分布密度 函数值。 2 波动率群集性。波动率在一些时间段高，而在另一些时间段低，也就是 说波动率较大的会相对地集中在某一个时间段，较小的会相对地集中在另一些时 间段，即金融时间序列数据的方差呈波动性及丛集性。e n g l e 于1 9 8 2 提出了a r c h 模型7 1 来解析波动率聚类现象，开创了运用时间序列工具对波动率进行建模的时 代。 3 波动率的时变性。波动率以连续方式随时间变化，即波动率跳跃是很少 见的。 4 波动率有限性。波动率在固定的范围内变化，这意味着波动率往往是平 稳的。 5 杠杆效应【l 】o 指股票价格运动和波动率呈负相关，波动率对价格的大幅上 升和价格的大幅下降的反应不同。这种现象首先被b l a c k ( 1 9 7 6 ) 年发现，随后 n e l s o n ( 1 9 9 1 ) ，g a l l 趾t ( 1 9 9 2 ) 和e n g l e ( 1 9 9 3 ) 等对杠杆效应进行了实证研究。 1 3 波动率的测度方法3 波动率的测度方法大致可以分为两类，一类是基于历史样本序列的波动率估 计方法，另一类是基于衍生证券定价模型的隐含波动率估计方法。下面前4 种方 法属于第一类，最后一种方法属于第二类。 1 样本方差法 对于样本收益率序列 ，：) ( ，= 1 ，2 ，) ，其样本方差定义为 2 第l 牵引言 彦z 垒击兰( ，；叼z 一l 鲁 7 其中f = 专姜为序列的均值。序列 ( f = l ，2 ，) 的样本方差是其总体 方差的无偏估计，可以用其估计收益序列的方差。 2 指数移动平均法 样本方差对于不同时期的历史数据进行等权重的平均，然而在金融市场中， 不同时期的历史数据，对未来的波动率有不同程度的影响，一般地，距离越近的 样本，对波动率的影响越大。因此，在计算波动率的时候，应对不同时期的历史 数据赋予不同的权重。 对于收益率序列 ，：) ( ，= l ，2 ，) ，利用指数移动平均法求收益序列方差 e 删垒( 1 一五) 力川( i f ) 2 ( 1 2 ) 其中f 为收益的甲均值。模型中的五称作衰减因子，它反映了历史信息对未 来波动率的影响随时间间隔增大而衰减的速度。 3 a r c h 类模型 a r c h 类模型的提出开创了利用时间序列工具研究金融波动时变性和异方 差性的时代，此后，学者对a r c h 模型又进行了许多改进，这些改进大概分为 两类，一类是将a r c h 模型扩展为非线性形式，另一类是将金融波动率的长记 忆性考虑进去，扩展为长记忆性的a r c h 模型。这两类模型使得a r c h 模型刻 画金融波动率更加准确。与此同时，学者们提出了多元a r c h 模型，有效地刻 画了向量时间序列波动之间的相关关系。 4 s v 模型 s v 类模型是近年金融波动研究中发展迅速的另一类波动率模型，s v 模型与 资产价格的扩散过程相联系，因此它在金融资产定价、金融衍生产品研究中有广 泛应用。与a r c h 模型类似，s v 模型也较好的解析收益分布的“高峰厚尾”特 性、波动群集性、波动的长记忆和持续性、杠杆效应等金融波动特性。 5 隐含波动率 在金融衍生产品研究中，隐含波动率是一个重要的概念，它是指市场中某一 波动宰建模及其应用 衍生产品价格所蕴含的标的证券的波动率，它反映了市场对标的证券价格未来的 波动的预测。隐含波动率的计算依赖于特定的衍生证券定价模型，当定价模型正 确时，隐含波动率可以反映标的证券的波动特性，而当定价模型设定不正确时， 隐含波动率则会偏离标的证券的真实波动特性。 本论文只研究a i k h 类模型测度的波动率。 1 4 波动率模型的结构乜3 用表示资产在f 时刻的对数收益率。一般情况下，；是前后不相关的，但 不是独立的，这正是波动率研究的基本思想，而波动率模型就试图刻画收益率序 列的这种不独立性。 设肼= e ( i f 一) ，砰= 砌，( i e 一，) = 研( ，；一鸬) 21 只一，】 其中只一。为f 一1 时刻已知的信息集，e l 一般由过去收益率的全体线性函数 组成。 一般情况下，服从一个简单的时间序列模型，如平稳的爿尺刎( p ，g ) 模型 pg ，；= 所+ q ，鸬= 唬+ 谚一，一谚口f 一， ( 1 - 3 ) f = l，= l 其中p 和g 都是非负整数 结合上面两条式子，有 z = 胁( ，；忆) = 脚( 口，限)( 1 - 4 ) 波动率模型就是用来刻画砰的演变的，砰随时间的变化的方式可以用不同 的波动率模型来表示。波动率模型一般分为两类：第一类是用确定的函数来刻画 砰演变，称为自回归条件异方差( a r c h ) 类；第二类是用随机方程来描述砰， 称为随机波动率( s v ) 类。 本文只对a i 近h 类模型作出论述。 4 第1 章引言 1 5a r c h 类模型的研究进展州5 3 6 1 自e n g l e 于1 9 8 2 提出a r c h 模型【7 】以来，a r c h 模型得到很大的发展， b o l l e r s l e v 于1 9 8 6 提出了g a r c h 模型引，b o l l e r s l e v 于1 9 8 7 年又提出了t a i 配h 模型，实践中大多数金融数据序列的收益分布较正态分布而言，有”高峰厚尾” 特性，而g a r c h 模型有助于刻画这种现象，由于g a r c h 模型假定条件方差是 过去残差平方的函数，因此残差符号不影响波动，即条件方差对正的价格变化和 负的变化的反应是对称的。实践中，研究人员发现，当坏消息出现时，波动率趋 于增大，当好消息出现时，波动趋于减小。g a r c h 模型不能解析这种现象，这 种现象被称为杠杆效应。为了刻哂消息的不对称影响，n e l s o n ( 1 9 9 1 ) 提出了指 数g a r c h ( e g a r c h ) 模型【9 1 ，g l o s t e n ，j a g a n t h a n 和r u n k l e ( 19 9 3 ) 通过引 入了一个哑元提出了g 瓜模型。 最近几年，g a r c h 类模型在实际应用中得到广泛的应用，如：金融资产收 益模型的研究，虽然平稳的基于正态分布的g a r c h 模型比正态分布有更高的峰 度，但实证研究发现对金融收益数据利用g a r c h 模型进行建模后的残差仍然有 相当的峰度，为弥补彳i 足，在某些文献中对于g a r c h 的更新采用了厚尾分布， 常用的分布有t 分布、广义误差分布( g e d ) ( n e l s 0 n ) 、混合正态分布、g r 锄c h a r l i e 型分布，还有最近被广泛研究的稳定分布f l o l 。 g a r c h 类模型的另外一个扩展是从一元到多元。最早利用类似g a r c h 模 型形式研究向量波动过程，提出了多元g a r c h 模型的向量表示的是 b o l l e r s l e v 【l i 】。在多元g a r c h 模型中，如何保持模型精确度而让参数尽量减少 成为了研究的重点。为了减少参数，提出了对角向量g a r c h 模型，e n g l e 和 鼬蜘e r 于1 9 9 5 年提出了b e k k 模型f 2 4 1 ，还有b o l l e r s l e v 在文献中提出了条件常 相关系数模型( c o n s t 锄dc o n d i t i o m lc o 玎e l a t i o nm u l t i v a r i a t eg a r c h ) 以及e n g l e 和s h e p p a r d 于2 0 0 2 年提出了时变相关关系模型( d y n a r i l i cc o n d i t i o n a lc o n e l a t i o n m u l t i v a a t eg a r c h ) 【1 2 1 。 1 6 本文的内容与结构 本文系统地阐述了金融市场收益率波动率问题及其研究方法，内容的安排都 波动率建模及其心用 是围绕a r c h 类模型而展开的，除了详细地介绍了a r c h 类模型外，还给出了 波动率建模在实际中的用途。 第一章介绍了波动率的背景知识、a i h 类模型的研究进展以及本文的结 构。 第二章介绍了一元波动率建模，重点论述了a r c h 模型的产生背景、统计 特性与建模步骤，最后比较了a r c h ( m ) 与g a r c h ( 1 ，1 ) 模型的扰动项分别是正 态分布与t 分布时的尾部性质。 第三章系统地介绍了多元波动率建模，给出了二元情况下各种具体表达，最 后引入时变相关系数模型。 第四章实证研究波动率建模在股指期货套期保值中的应用，着重比较了各种 一元a r c h 类模型在套期保值中的效果，并且还运用了多元g a r c h 模型对套 期保值进行建模。 第五章总结本论文的主要工作以及展望以后的研究方向。 6 第2 章一元波动率模型 2 1a r c h 模型 2 1 1a r c h 模型的产生与定义 传统的金融计量模型假设扰动项的方差是不变的，但是大量的金融实证研究 表明，如外汇，股票收益率等金融时间序列数据的方差的观测值随时间变化的特 点，现在的收益率受过去收益率的影响。 在对波动率建模研究中，e n g l e 于1 9 8 2 年开创性地提出了自回归条件异方差 ( a l i t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n 址h e t e r o s c e d a 鲥c i 移) 模型，简称a r c h 网。在此之后的 二十多年的时间里，a r c h 模型的各种变化形式及各方面的应用小断涌现，并成 为现代计量经济学飞速发展的一个重要领域。a r c h 模型的基本思想【2 】是：1 均 值修正的资产收益率珥是前后不相关的，但彳、= 是独立的；2 不独立性可以用一个 它的延迟值的二次函数来描述。 通常假定对数收益率服从一个简单的时间序列模型，如彳砌铂( p ，g ) 模型。 i ：鸬+ 口，鸬：死+ 兰谚，；一，一兰只口，一， ( 2 一1 ) ，霉l，= i 其中p 和g 都是非负整数， q ) 是白噪声过程：e ( 口，) = o ，e ( 彳) = 仃2 ， 以q q ) = o ( ，d 。称口f 是均值修正收益率。 从上面的传统的模型可以看出，口，的无条件方差是常数。但是e n g l e 在定义 a i k h 模型时，认为波动率具有时变性，且扰动项是白噪声，虽然是4 i 相关的， 但不是独立的。为了刻画这种不独立性，e n g l e 给出了以下具体模型： q = q 乞，矿= + 蠢， f = l 其中e ( 口，) = o ，e ( q 口f ) = o ( ，f ) ； q ) 是独立同分布的随机变量序列， e ( ) = o ，e ( 彳) = l ， o ，q o ，f = l m ，砰是口，的条件方差。实际中，通 7 波动牢建模及其应用 常假定 q 服从标准正态分布。 从式子( 2 2 ) 可以看出a r c h 模型能够较好拟合波动率的特征： 1 大的过去的 吐。) 二。导出的均值修正收益率q 的条件期望砰也比较大，所 以i 口，i 有取较大值的可能，这解析了波动率的聚类性。 2 波动率的时变性是显然的，并且a r c h 模型给出了现在的波动率跟过去的 均值修正收益率的平方 吐l ：。有关。 3 波动率有限。a r c h 模型为了保证波动率有限，必须在模型的系数瓯加一 些正则性条件。 除了模型( 2 2 ) 的表示方法，a r c h 模型还可以表示成彳的a r ( m ) 形式 q = qq ，彳= + 吐，+ 仍( 2 q )q 2 qq ，听2 + 乙口二，+ 仍【2 1 ) ，= l 其中 仍 是白噪声过程 2 1 2a r c h 模型的性质7 1 1 q 的无条件均值 e ( q ) = e 【e ( 口，lz 一。) 】= e 【q 五( ) 】= o 2 口f 的无条件方差 砌，( q ) = e ( 彳) = e 【e ( 彳i 石一) 】= e ( + 吐，) = + q e ( 元) 因为口，是平稳过程，且e ( q ) = o ，所以哳( q ) = 哳( 口，) = e ( 彳) ，f ， 所以 胁( q ) = 1 一q ，= i 由于砌，( q ) o ，所以q 3、。 【砌r ( 口f ) 】2( 1 一q ) ( 1 3 )簖l 一3 口? 这个性质对a r c h ( m ) 模型也成立。假设q 服从正态分布，q 是严甲稳的或 者四阶矩平稳的，且e ( 吐吒) = 0 ( f ) 。有 肿脚 e ( 彳) = 研e ( 彳l 曩，) 】- 3 研爵+ 2 q 吐，+ 2 嘭哆年，吐，+ 砰吐，】 设= e ( 彳) ，从而 从而q 的峰度是： 3 簖( 1 + q ) ( 1 一q ) ( 1 3 口? ) 9 波动牢建模及其应用 聊，：器：蔫掌：3 筹 3 ( 2 7 ) 说明q 的分布的尾部比正态分布的尾部厚。也就是说，服从a r c h ( m ) 模型 的q 比白噪声更容易产生异常值。这与实验结果一致，一般情况下，资产收益率 中出现异常值的可能性比白噪声出现异常值的可能大，且资产收益率的分布都具 有“高峰厚尾”的特征。 2 1 3a r c h 模型的建立 建立一个a r c h 模型包括三个步骤1 2 1 ：( 1 ) 对收益率序列建立一个经济计量 模型，如回归或a r m a 模型，以分离出数据中的任何线性相关成分，并用该模 型的残差序列检验a r c h 效应；( 2 ) 确定a r c h 模型的阶，并估计参数；( 3 ) 仔细 检验所拟合的a r c h 模型，并对它改进及预测。 2 1 3 1a r c h 模型存在性的检验1 3 3 对一个经济计量模型的残差序列，如何检验是否存在a r c h 效应至关重要， 通常采用l j u n g b o x 检验和l a g r a i l g e 乘子检验。 1 l j u n g b o x 检验 原假设风：局= 肛= = 成= 0 ，备选假设日l ：j f l ，2 ，聊) ，尼0 。 检验统计量为： p | 。 7 ( 一一i ) ( 一_ ，一i ) r ( 薯一i ) 2 ，= 1 0 ， o ，o ，岛o ，( q + 孱) o ，o ，历o ，( q + 局) 1 j = l j 从上式可以看出，g a r c h ( p ，q ) 模型的第二种形式的本质就是彳的 a r m a ( p ，q ) 形式。 g a r c h 模型的性质，模型的存在性检验，模型的定阶，模型的估计，模型 的预测【1 5 】【1 6 1 【1 7 1 都与a r c h 模型类似。g a r c h 模型具有很强的概括能力，是 1 4 第2 章一元波动字模型 a r c h 模型个很重要的推广。g a r c h 模型在一定程度上解决了6 眦h 模型的 一些缺陷，但与a r c h 模型同样不能解析杠杆效应，即波动率对正和负的收益 率的反应不同的现象。 2 3 i g a r c h 模型 如同a r c h 模型可以表示成彳的a r 形式和g a r c h 模型可以表示成z 的 剐怂缎形式样，i g a r c h 模型可以表示成彳的a m a 形式。也就是i g a r c h 模型就是有单位根的g a r c h 模型。当g a r c h 模型的估计参数有 兰q + 兰层：1 时，就称为单整g a r c h 模型，记为i q 姣c h 模型【1 8 】。同样， ，毒lj ；l i 叫t c h ( 1 ，1 ) 模型可以写成如下两种形式： 1 i g a r c h ( 1 ，1 ) 模型的第一种表示形式： q = q ，z = + 届蠢i + ( 1 一层) 蠢，( 2 2 1 ) 其中 ) 是独立同分布的随机变量序列，其均值为0 ，方差为l ，一般是标 准正态分布，o 届 l ； 2 i g a r c h ( 1 ，1 ) 模型的第二种表示形式： q = q 乞，彳= + 吐l + 仍( 2 2 2 ) 其中矗) 与上面一致。 当= o 时，i g a r c h ( 1 ，1 ) 模型经常运用于风险管理。原因是此时的向前， 步预测为： 群( ，) = 幺( 1 ) + ( ，一1 ) = 蠢( 1 )( 2 - 2 3 ) 2 4 g a r c h _ m 模型 资产的收益率一般依赖于它的波动率。g a r c h m 模型正好能表示此种性 质。g a r c h m 模型【1 8 】的形式如下： 波动牢建模及其应用 其中和c 是常数，参数c 称为风险溢价参数。c 为正值意味着收益率与它 过去的波动率成正相关。 2 5 e g a r c h 模型 n e l s o n ( 1 9 9 1 ) 提出了指数g a r c h ( e x p o n e n t i a lg a r c h ，e g a r c h ) 模型1 引， 其条件方差函数为 q 1 i l z = 口+ a g ( b 一。) + 哆l i l 蠢 ( 2 _ 2 5 ) 七= l = l 且 q = q 乞，g ( q ) = 够+ 厂【i q l e l q l 】 其中g ( ) 满足e l g ( 岛) 】_ o 。可以看出，当秒 0 时，在波动率大小相同的 情况下，未来条件方差在负波动率下的增幅大于正波动率下的增幅，体现了不对 称性，便于描述金融价格的波动。 e g a r c h 模型克服了g a r c h 模型的3 个局限性： 1 在g ( ) 中， i 乞i - e i 毛l 】反映了q 的大小变化对条件方差砰的影响，而如 反映出砰与蜀符号有关。例如当，= o ，秒 o 则g ( 乞) 7 。 t 一3 署善彳 ，一q = 酏，= 器= 镏等 1 ，一2 = j 一 ，一4 簖+ 2 西 l 一q ，= i d 2 ，f = 1 ，2 ， 一知 1 3 鲁善彳 v 一| j 显然有小等式3 三丢! 一 所以k ( q ) k 。( q ) 。 彳 l 一( q ) 2 3 号一( ， 4 ) ， 、 1 3 ( ) 2 ，= l 毒 ，吒 # 等m y 簟 。五 哳 = 一| 卜 有 贿 聪 黝 扎 譬 波动率建模及其应用 说明当自由度v 4 时，基于t 分布的a r c h ( m ) 模型o 一4 r c 日( 朋) ) 比基于正 态分布的a r c h ( m ) ( 刀d ，聊一彳r c h ( 垅) ) 模型有更高的峰度和更厚的尾部。同理 可以证明基于t 分布的g a r c h ( p ，q ) 模型o g 么r c 日( p ，g ) ) 比基于正态分布的 g a r c h ( p ，q ) 模型( 刀d 朋一g r c 丑( p ，g ) ) 也有史局的峰度和史厚的尾邵。争买上， 对于g a r c h ( 1 ，1 ) 模型有以下结果。 1 服从标准正态分布时，有 u 口，) = 3 击编 ( 2 _ 3 1 ) 2 当服从标准t 分布时，有 u 班3 鲁毒掣b q _ 3 2 ) 2 6 3 基于t 分布的a r c h ( m ) 模型的估计 当毛服从标准t 分布时，q 的条件似然函数为 地+ ，州哪卜，垂。器扣南广州m c 2 删 其中江o ，l ，朋。在实际运用中，学生分布的自由度一般取3 到6 之间的 正整数。对上述条件似然函数取对数，如果学生t 分布的自由度是事先给定的， 那么就可以得到条件对数似然函数： 慨小州哪) = _ f 耋【孚1 n ( 1 + 南) 畦1 1 1 ( 嘲p 2 ( 2 1 4 ) 如果把1 ，当作一个参数，那么包含自由度v 的对数似然函数为 小，帅班( 丁训岬( 半) ) _ l n ( r ( 抄扣( v - 2 ) 列 + ，( + i ，吩iq ，q ，f = 0 ，1 ，聊) ，v 2 、， 0 ，g o ，一= e ( cic 一，) 是，；在给定过去信息f 一。下的条件期望， q = ( 口l ，口蔚) 是序列在f 时刻的扰动。 定义3 6 ：，= c d ，( 口，jf 一。) ，称，为给定正一。下4 的条件协方差矩阵。 多元波动率建模实际上就是对，指定一个随时间演变的模型，称这个模型 为收益率序列j ：的波动率模型。收益率的条件协方差矩阵，是矩阵形式，4 、= 便于 建模，为此我们需要把z ，参数化【1 4 】成为向量形式。 c h o l e s h y 定理2 0 l ：若矩阵，是正定的，则一定存在一个具有单位对角元素 的下三角矩阵厶和具有正对角元素的对角矩阵q ，满足 ，= 厶g ，( 3 1 2 ) 对于二维的情形 设，：f ， l 口2 i f 由关系，= g ，可以解得 ，卜r 跏：，酗：，一堕蜀l ，电l ，确u2 蔷名2 2 ，电2 ，f 一蔷 波动牢建模及其应用 考虑简单的线性回归 满足 满足 = 伽i ，+ 6 2 ， 其中6 2 ，表示扰动项。由最小二乘法，有 胁( 6 2 ，) = 助( 口2 ，) 一2 助( 口1 f ) = ：，一鲁= 9 2 2 ， 所以，2 2 矩阵，的c h o l e s k ) ，分解相当于从口，到匆进行的一个正交交换， 盼匕删 即勿= 1 口，或q = 厶鸟，且匆的协方差矩阵为g r 。 同理，对于高维的情形，后七维矩阵相当于从口，到匆进行的一个正交变换， 0 哪纠 即匆= 与1 口f 或口f = 厶以，且勿的协方差矩阵为g ，。 因此可以利用c h 。l e s l ( ) ，分解为，参数化为丛冬坐维向量 玩c 办( ，) = ( g i l ，如，9 2 l ，鲰l ，吼2 ，吼l ，鲰( 七- l ) ( 3 1 3 ) 3 3 多元g a r c h 模型 现代金融市场中，不同市场，或不同资产、影响因子之间，往往存在着波动 的相关关系，随着世界金融市场的飞速发展，这种联系愈加紧密。为了分散、化 解金融风险，需要对多个资产进行组合，进行风险的对冲，而这是建立在对多个 变量波动的相关分析基础之上，因此，需要研究多个变量的波动与风险特性，需 要把一元a r c h 类模型向多变量过程扩展。常用的是m u l t i v 撕a t eg a r c h ( 多 元g a r c h 或m v g a r c h ) 模型，有以下几种主要形式。 2 4 第3 章多元波动率建模 型为 3 3 1 向量g a r c h 模型( v e 洲g a r c h ) b o l l e r s l e v 扩展了向量a r c h 模型，提出向量g a r c h ( p ，q ) 模型【2 。该模 玩c 办( ，) ：+ 圭4 比如( q 。口：一，) + 兰e 玩如( 硝) ( 3 一1 4 ) f = 1扛l 其中为华黼e 均为掣华方阵，且4 和e 使 ，正定。 设玩c ( ；) = l 氏i ( 以下同 墨 = 囊 + 耋耋耋 ( q 塞， + 茎i 差荟 ( 差三 c 3 一t 5 ， 3 3 2 对角向量g a r c h 模型( d i a g o n a l 州g a r c h ) 在式子( 3 一1 4 ) 中，若系数矩阵4e 均为对角矩阵，则称为对角向量g a r c h 模型l l 】。这时模型表示为 波动率建模及其虑用 阮如( ，) = + 纰“吲附+ 1 ) 胎幽( 仃，一f 吐，) + 硪昭仇6 ，+ i ) 肌砌( ，- 1 ) 其中幽昭以，+ i ) ) 和折昭俺，哆+ l 髟) 表示4 与e 对角元素构成的 乏 = ( 毫 + 鼍1 丢曼 q 妻一。 + 善丢曼 ( 茎三 c 3 一，7 ， 3 3 3b e k k 模型 b e k k 模型即b e k k - g a r c h 模型，是e n g l e 和o n e “1 9 9 5 ) 在综合b a b a ， e n g l e ，胁r 和心o n e r 的工作的基础上提出的并以四人名字的第一个字母命名的 一类向量g a r c h 模型【2 1 】【2 2 1 。 fr 令4 = ( 五p 五) ，骂= ( 苏 瓦) 七= i七= l 其中五或为k 维方阵，固表示矩阵的n e c k e r 积。则与向量g a r c h ( p ， q ) 模型相对应的b e k k 模型为 玩c 办( ，) ：+ 羔兰( 五圆五) 。瞻如( ，口j + 圭羔( 或。或) 玩c j l z ( h ) ，害l 七= l ，= l 七= l ( 3 一1 8 ) b e l 张模型的优点在于它容易满足矩阵，正定性的要求，并日相对于向量 g a r c h 模型，它具有相对较少的模型参数。但是，模型中参数的经济涵义不如 向量g a r c h 模型明确。 第3 章多兀波动率建模 b e l 张模型除了用i ( r o n e c k e r 积表示外，还有一种直观的表示方法，如下 其中c 是上三角矩阵。 特别地，二元b e l 模型可以写成如下具体形式： 盼( o 纵。州：龇盘，气等贱 + ( 乏乏 ( 2 _ ：= ：2 ：) ( 乏：乏 在e n g l e 的文献中，详细证明了b e k k 模型在特定条件下就是向量g a r c h ( 1 ， 1 ) 和对角向量g a r c h ( 1 ，1 ) 模型，具有很好的普遍使用性，并且给出了b e l 张模 型的参数估计方法。 3 3 4 条件常相关系数向量g a r c h 模型( c c c 州g a r c h ) 在向量g a r c h 模型中，协方差矩阵，是具有时变性的。设 岛t ，； 譬( o 岛j 钏 ( 3 - 2 0 ) 岛t ，2 了露考募u s 岛j s 、j 二u 歹 在一般的向量g a r c h 模型中岛，是时变的，常相关向量g a r c h 模型中假 定岛，是常数岛【1 1 【2 3 1 。 特别地，对于条件常相关系数二元g a r c h 模型有以下具体形式： z ，= m o + m l 雒l + n l z ，1 ( 3 1 1 ) 其中以。= ( 元一，畦h ) ，m 。是一个二维正向量，m 。和n 。是2 2 非负定矩阵a 具体地，模型可以表示为 = + 漉烈豺眨烈列c 3 嘲 其中q o ，口2 0 o 。 仿照一元g a r c h 模型，二元g a l 配h ( 1 ，1 ) 模型还可以表示成群的 艮一 七笆 圭纠 + 如一 口 一 口4 圭闻茁捌 +cc = 波动牢建模及其应用 a r m a ( 1 ，1 ) 的形式 彳= m o + ( m l + n 1 ) l + q ，一n l q ，1( 3 - 2 3 ) 其中 q f ) 是序列不相关的随机向量序列，其均值为0 ，协方差矩阵为正定矩 阵。通常q ，服从多元正态分布。 同理，仿照多元时间序列性质，可以得出以下性质： 1 若m 。+ n ，所有的特征值都是正的，并小于1 ，则彳的二元a r m a ( 1 ，1 ) 模型是弱平稳的。4 的无条件协方差矩阵存在，且4 元素无条件方差矩阵 ( 砰，霹) = ( ，一m l n 1 ) 。1 m o ( 3 _ 2 4 ) 2 若q ：= 届：= o ，则q ，的波动率不依赖于口2 ，过去的波动率；若 呸。= 屐。= 0 ，则嘭，的波动率不依赖于q ，过去的波动率。 3 若m ，和n 是对角的，则此模型可以简化为两个一元g a r c h ( 1 ，1 ) ，称 这两个波动率过程不是动态相关的。 4 在预测原点厅的1 步向前波动率预测为 z ( 1 ) = m o + m l 彳+ n l z ( 3 - 2 5 ) ，步向前波动率预测为 z ( ，) = m o + ( m l + n 1 ) z ( ，一1 ) ，