（概率论与数理统计专业论文）次线性期望下的一般中心极限定理.pdf

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u n c e r t a i n t y 2 0 b i b l i o g r a p h y 2 8 a c k n o w l e d g e m e n t s ：3 l t h ec o m p l e t e dp a p e r s 3 2 山东大学硕上学位论文 次线性期望下的一般中心极限定理 李敏 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 摘要 受会融中一致风险度量( 参见【2 ，3 】) 与随机波动模型( 例如 1 3 】) 的影 响，抛开经典的概率空间，p e n g 1 4 ，1 6 最近提出了次线性期望的概念。称次 线性期望空间( q ，7 - i ，庄) 中的随机变量x 服从均值为零的g 正态分布( 参见【1 6 ， 1 9 】) ，如果对于x 的任一独立复制y ，下式成立： a x + b y ：d + b 2 x ，v a ，b 0 类似于经典概率论中的正态分布，对于一个g 一正态分布的随机变量x ，我们有 ( 参见 1 6 】) e f 妒( x ) 】= 仳( 1 ，0 ) ， v 妒g ，咖( r ) ， 让( t ，z ) 是下面热方程唯一的粘性解： ，侥u g ( 谚。仳) = 0 ， 1 札i 扛。= 妒， 其中g ( 位) ：= 雪睦q x 2 】。在次线性期望理论中，上而的热方程经常起到类似于 概率论巾特征函数的作用。 在g 正态分布的基础上，可以定义g 一布朗运动，进而可以定义关于g 布朗 运动的相应的随机积分与i t 6 公式( 参见 1 4 ，1 6 】) ，由丁大数定律与中心极限定 理在概率沦中的重要性，p e n g ( 参见 1 5 ，1 7 】) 给出了次线性期望下相应的大数 定律与中心极限定理。这说明了在次线性期望理论中，g - 正态分布起到了类似 丁经典概率论中正态分布的作用。 山东大学硕士学位论文 由于次线性期望在金融学与统计学中的重要性，现在次线性期望理论在纯 粹与应用数学中吸引了越来越多人的注意( 例如：【7 】，【9 】，【2 0 ，【2 2 】，【2 3 】) 。 本文的目的是探究次线性期望理论中一个重要的结果：中心极限定理。到 目前为止，有关次线性期望理论中中心极限定理的结果全都要求随机变量序列 满足独立同分布的假设，类似于概率论中的中心极限定理，一个自然地想法 是：对于次线性期望下的中心极限定理，是否可以去掉同分布的假设? 本文中，在没有同分布的假设下，给出了次线性期望下的两个中心极限定 理，这推广y p e n g 的结果。 关键词：一致风险度量；次线性期望；g 正态分布；中心极限定理 ， 山东大学硕士学位论文 t h ec e n t r a ll i m i tt h e o r e m su n d e rs u b l i n e a re x p e c t a t i o n s m i nl i s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y ， j i n a n ，2 5 0 1 0 0 a b s t r a c t m o u v a t e db yt h ec o h e r e n tr i s km e a s u r e s ( c f 【2 ，3 】) a n du n c e r t a i nv o l a t i l i t ym o d e l s i nf i n a n c e ( s e e ，e g 【1 3 1 ) ，p e n g 【1 4 ，1 6 】r e c e n t l yi n t r o d u c e dt h en o t i o no fs u b l i n e a r e x p e c m t i o nw h i c hi sn o tb a s e do nac l a s s i c a lp r o b a b i l i t ys p a c e u n d e rt h es u b l i n e a r 、 e x p e c m t i o n s ，ar a n d o mv a r i a b l ex i nas u b l i n e a re x p e c m t i o ns p a c e q ，爿，e ) ( f o ri t s d e f i n i t i o n ，s e es e c t i o n2o ft h i sp a p e r ) i ss a i dt ob eo fg n o r m a ld i s t r i b u t i o nw i t hz e r o m e a n ( c f 【16 ，19 1 ) ，i ff o re a c hy w h i c hi sa l li n d e p e n d e n tc o p yo fx ，i th o l d st h a t a x + b y 兰、石丽x ，v a ，b 0 j u s ta st h ec l a s s i c a ln o r m a ld i s t r i b u t i o n si np r o b a b i l i t yt h e o r y , f o rag - n o r m a ld i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l ex ，w eh a v e ( c f 【1 6 】) e p ( x ) 】= 札( 1 ：0 ) ， v 妒g ，l 咖( r ) ， w h e r e 扎( t ，z ) i st h eu n i q u ev i s c o s i t ys o l u t i o nf o rt h ef o l l o w i n gh e a te q u a t i o n a 乱- 乱c i 。：( 。o ：l d 仍, ) = 0 ， w h e r eg ( a ) ：= 雪 a x 2 】- i nt h et h e o r yo fs u b l i n e a re x p e c t a t i o n s ，t h eh e a te q u a t i o n a b o v eo f t e np l a y sar o l eo fc h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o ni np r o b a b i l i t yt h e o r y o nt h eb a s i so fg n o r m a ld i s t r i b u t i o n ，g b r o w n i a nm o t i o nc a nb ed e f i n e d ，a n d t h ec o r r e s p o n d i n gs t o c h a s t i cc a l c u l u sw i t hr e s p e c tt ot h eg b r o w n i a nm o t i o n sa n dt h e r e l a t e di t 6 sf o r m u l ac a na l s ob ee s t a b l i s h e d ( c f 1 4 ，1 6 】) s i n c et h ei m p o r t a n c eo f l a wo fl a r g en u m b e r s ( l l n ) a n dc e n t r a ll i m i tt h e o r e m ( c l t ) i np r o b a b i l i t yt h e o r y , p e n g 【1 5 ，1 7 】h a ss h o w nt h ec o r r e s p o n d i n gl l na n dc l tu n d e rs u b l i n e a re x p e c t a t i o n s ， 山东大学硕士学位论文 w h i c hi n d i c a t et h a tg - n o r m a ld i s t r i b u t i o n sp l a yt h es a m ei m p o r t a n tr o l ei nt h et h e o r y o fs u b l i n e a re x p e c t a t i o n sa st h en o r m a ld i s t r i b u t i o n si nt h ec l a s s i c a lp r o b a b i l i 哆t h e o r y d u et ot h es i g n i f i c a n c eo fs u b l i n e a re x p e c t a t i o n si nf i n a n c ea n ds t a t i s t i c s ，t h et h e - o r yo fs u b l i n e a re x p e c t a t i o n sh a sb e e na t t r a c t i n gm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n si nb o t i lp u r e a n da p p l i e dm a t h e m a t i c s ( s e e ，e g 【7 】，【9 】，【2 0 ，【2 2 】a n d 【2 3 】) t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oi n v e s t i g a t eo n eo ft h ev e r yi m p o r t a n tf u n d a m e n t a l r e s u l t si nt h et h e o r yo fs u b l i n e a re x p e c t a t i o n s - - - c e n t r a ll i m i tt h e o r e m u n t i ln o w , a ut h er e s u l t so nc e n t r a ll i m i tt h e o r e m su n d e rs u b l i n e a re x p e c t a t i o n sr e q u i r et h a tt h e s e q u e n c eo fr a n d o mv a r i a b l e si si n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d a n a l o g o u st o t h ec l ti nt h ep r o b a b i l i t yt h e o r y , an a t u r a lq u e s t i o ni sw h e t h e ro n ec a nw e a k e nt h e h y p o t h e s i so fi d e n t i c a ld i s t r i b u t i o n sf o rt h ec l tu n d e rs u b l i n e a re x p e c t a t i o n s ? i nt h i sp a p e r , w i t h o u tt h eh y p o t h e s i so fi d e n t i c a ld i s t r i b u t i o n s ，w ep r o v et w on e w c e n t r a ll i m i tt h e o r e m su n d e rt h es u b l i n e a re x p e c t a t i o n s ，w h i c he x t e n d s p e n g sr e s u l t s k e yw o r d s ： c o h e r e n tm e a s u r e so fr i s k ；s u b l i n e a re x p e c t a t i o n s ；g - n o r m a ld i s t r i b u t i o n ；c e n t r a l l i m i tt h e o r e m 山东大学硕上学位论文 1 1 一致风险度量 第一章引言 一致风险度量( c o h e r e n tm e a s u r e so fr i s k ) 的概念首先i 扫e a r t z n e r 等人在【l 】中 提出，并在文献【3 】中进行了更系统的阐述与应用，该理论在金融风险度量方面 获得了极大的成功，并被广泛的应用于金融学的各个方面，其一般的的公理化 体系使人们更能够把握风险度量的本质。下面，我们首先给出一致风险度量的 相关概念，其中丰要参考文献【3 】。 定义1 1 若集合4 满足下而的条件： ( i ) 单调性： x 4 y x 号y a (ii)0a，-1ga ( i i i ) i f 齐性： x 4 辛a x 4 ，v a 0 ( i v ) 凸性： x ，y a 兮a x + ( 1 一a ) y 4 ，q 【0 ，l 】 则称么为一致可接受集( c o h e r e n ta c c e p t a b l es e t ) 。 注1 1 由( i i i ) 和( i v ) 可得： ( v ) 次线性： x ，y a 今p x + t , y 么，耻，0 定义1 2 相应于给定町接受集月的风险度量，称泛函p ： p ( x ) = p a ( x ) ：= i n f ( m r ：m + r 4 ) ，x 石 为关于4 的风险度量。 易证，上面定义的p 具有下面的性质： 山东大学硕士学位论文 ( i ) 单调性：若x y ，贝j j p ( x ) p ( y ) ： ( i i ) 保常性：p ( 1 ) = 一j d ( 一1 ) = 一1 ； ( i i i ) 次线性：v x ，y z ，p ( x + y ) p ( x ) + p ( y ) ； ( i v ) 正齐性：p ( , x x ) = a p ( x ) ，v a 0 。 满足上面性质的度量称为一致风险度量。 1 2 次线性期望 近来，在一致风险度量概念的基础上，p e n g 1 4 ，1 6 提出了次线性期颦的 概念，进而发展了次线性期望的相关理论。下面我们将简述一下次线性期望的 概念及其与一致风险度量的联系。 定义1 3 若定义在线性空间冗上的泛函雪：7 - t _ r 具有以下性质： ( i ) 单调性： x y 号e x 】e y 】 ( i i ) 保常性： 吲c 】= c ，v c r ( i i i ) 次町加性： e x + y 】e 【x + e l y 】 ( i v ) 正齐性： e ，x x 】= 入e 】，v a 0 则称其为次线性期望。 若记亩【矧：= p ( 一x ) ，其中p 是上一节定义的一致风险度量，则亩是次线性 期望。 2 山东大学硕士学位论文 注1 2 ( i i i ) + ( i v ) 称为次线性，由此可得亩满足凸性，即 应陋x + ( 1 一q ) y 】q 雪【x 】+ ( 1 一r o e y ，【o ，1 】 例如，若p = 易：0 e 】是可测空间( q ，一上的一族概率测度，令： 显然，应是一个次线性期望。 e 【x 】2 畏警局【x 】仃t 口 下面的表示定理在一致风险度量中起着非常重要的作用， 定理1 1 【3 】若z 表示( q ，厂) 一切有限的风险所组成的集合，脓示定义在z 上的 一致风险度量，则存在( q ，厂) 上的一族概率测度p = 局：p e ) ，使得 p ( x ) 5 嘴驯州 相应的，在次线性期望理论中有如下的表示定理， 定理1 2 1 17 】设应是定义在( 2 ，h ) 上的次线性期望，则存在一族定义在( q ，7 l f ) 上 的线性期望 岛：0 e ) ，使得 e x 】= s u p 易i x 口e 由上面关于一致风险度量与次线性期望的定义可以看出，次线性期望理论 的m 现有着重要的实际背景。鉴于目前风险度量在金融领域中的重要性，次线 性期望理论不仅是非线性概率理论发展的重要突破，同时也会给风险度量的发 展提供更有力的数学工具。 3 山东大学硕士学位论文 第二章次线性期望及其相关性质 这一章中我们将介绍次线性期望的一些基本内容与相关结果。 记q 是一个给定的集合，咒是定义在q 上线性实值函数空间，并且满 足：若x l ，恐，咒，则即g m p ( 舻) ，妒( x l ，x 2 ，) 氕，其 中q 勘，( 彤) 表示全体有界l i p s c h i t z i 奎续的的函数空间。显然，g a ，( 舻) 是一个 线性空间，同时，称爿是一个随机变最空间。 注2 1 特别地，若x ，y 7 - ，贝l l l x l ，x ”7 1 。更一般地，若妒，妒 g ，“p ( 舒) ，则妒( x ) 砂( y ) 7 - 。 2 1 基本定义 定义2 1 给定空间( q ，氕) ，称定义在h 上的泛函雪：7 - t _ r 是次线性期望， 若庄满足下面性质： ( i ) 单调性： x y 号e 【x 】e l y ( i i ) 保常性： e 【c 】= c ，v c r ( i i i ) 次可加性： e x - i - y 】e x 】- t - 啻【明 ( i v ) 正齐性： e 【a x 】= a e f x 】：v a 0 称( q ，7 - t ，雪) 为次线性期望空间。 次线性期望下的随机变量的分布： 定义2 2 设x = ( x l ，k ) 是次线性期望窄间( q ，咒，啻) 中的n 维随机向量，定 义在g 崩p 上的泛函反： 取【纠：= 酬妒( x ) 】 4 山东大学硕上学位论文 称为是x 的分布。 显然，( 俨，g ，“p ，成) 形成一个次线性期望空间。 定义2 3 设x ，与恐是两个分别定义在次线性 和( ，爿：，岛) 上的扎一维随机向量，称它们是同分布的， 雪l 【妒( x 1 ) 】= 岛【妒( 恐) 】，v 妒q ，l 咖( r “) 注2 2 若x 冗的分布良不是线性期望，则称x 具有分布不定性。x 的分布具 有下面的四个参数： 万：= e x i ，肛：= 一应【x 】，- 2 ：= e x 2 】，：= 一亩 一x 2 】 区间坦，_ 】和酽，- 2 】表征了x 的均值不确定性与方差不确定性。 定义2 4 在次线性期望空间( q ，咒，亩) 中，称随机向量y = ( m ，k ) ，k h 独立于x = ( x l i ，) ，五7 - 1 ，若对任意的妒g 矗p ( r “r “) ，有 窟【妒( 置y ) 】_ 宫p 【妒( z ：y ) 】耐 一般地，若y 独立于x ，并不意味着x 也独立于y 。例如：设随机变 量x ，y 是同分布的，且满足亩【x 】= 亩【_ x 】= o ，铲= 虏【x 2 】 芷= 一目一x 2 】， 进一步假设啻【| x | 】= 雪+ + x 一】 0 ，由此知应+ 】 0 。若y 独立于x ，则 应 x y 2 】= 雪【x + _ 2 一x 一，】 0 若x 独立于y ，则啻 x y 2 】= 0 。由此可见，在次线性期望理论中，随机变量之 间的独立性与概率论中随机变量之间的独立性有本质不同，其随机变量的独立 性不再具有对称性关系，而是具有先后顺序关系。 定义2 5 次线性期望空间( q ：咒，亩) 中的随机变量序列 班】茎- 称为是依分布收敛 的，若v 妒a ，l 咖( r ) ，序列 亩陋( 臻) 】篷都是收敛的。 5 e 吼若 恐 问兰 空望为 期记 山东大学硕士学位论文 2 2g 正态分布 这一节，我们将分别给出次线性期望下均值确定的g 正态分布与均值不确 定情况下的g 正态分布的定义，由于次线性期望下的随机变量具有均值与方差 不确定性，其相应的g - 正态分布与经典的正态分布将有所不同。 定义2 6 ( 均值确定的g - 正态分布) 在次线性期望空间( q ，咒，台) 中，称随机 变量x 冗足服从 厂( o ；酽，_ 2 】) 分布的，记为x 一( o ；酽，_ 2 】) ，若 _ 2 = e x 2 】，f = 一应卜- x 2 】 且对任一与x 独立且同分布的随机变量y ，有 a x + b y 一、否丽x ，v a ，b 0 注2 3 由上面的定义知， 以雪【x 】= 亩 x + 明= 2 应【x 】 同时， 压啻f x 】= 雪【一x y 】= 2 雪【- x 】 因此，啻】= 啻【_ x l = 0 ，即x 是均值确定的。 ( 2 1 ) 注2 4 若x 与y 是独市同分布的，且满足( 2 1 ) ，则一x 与一y 也是独立同分布 的，同时有 n ( 一x ) + 6 ( 一y ) 一v - 万+ b 2 ( 一x ) ， v a ，b 0 因此，x 一( o ；殴，_ 2 】) 等价于一x 一( o ；留，_ 2 】) 。 6 下面的定理说明( o ；酽，- 2 】) 是( r ，g ，托p ( r ) ) 唯一确定的次线性分布。令 g ( a ) ：= 三雪陋2 a - 丢( _ 2 q + 一f q 一) ，a 冗 山东大学硕士学位论文 下面的抛物型p d e 称为次线性分布的g - 热方程， a 乱一g ( 魏2u ) = o ，牡i 扛0 = 妒 定理2 1 【1 6 】若x 是服从 厂( o ；酽，_ 2 】) 分布的随机变量，对任意的妒砚，l 印( 冗) ， 定义 u ( ，z ) ：= 雪pg + 以艾) ，( t ，z ) 【o ，) 尼 则有 i t + s ，z ) = 应卜( t ，z + 锈x ) 】， s 0 同时，对任意的t 0 存在常数c ，k 0 ，使得对任意的t ，s 【0 ，t 】与z ，y r ，下面的不等式成立： l 钍( t , x ) - - 乱( t ，y ) l c ( 1 + 坩i + l y l 七) i z - y l ， i 乱( t ，z ) 一仳 + s ，z ) i c ( 1 + i x l 七) l s i 且札是上述的g 一热方程唯一的粘性解。 定理2 2 【1 6 】若随机变量x 与y 均服从( o ；匣2 ，万2 】) 分布，则x = d y 。 定理2 3 【1 6 l 若- 2 = 0 9 ，则( o ；酽，_ 2 】) 退化成经典的正态分布。 特别地，当妒是凸函数时， 阢( x ) 】。砺if 一。蚓e 印( 一驴y 2 ) 由 当妒是凹函数时， 轧( 冽= 砺i f 一。咖) e 印( 一蓦胁 由上面的叙述可以看出g 正态分布与概率论中正念分布的联系。事实上， 当次线性期望退化成线性期望时，g 一正态分布退化成经典的正态分布。 7 1 山东大学硕士学位论文 定义2 7 ( 均值不定的g - 正态分布) 次线性期望空间( q ，咒，句中的一对d - 维随机 向量( 五y ) 称为服从均值不定的g 一正态分布，若对于任意的n ，b20 ，下式成 立： a x + 6 _ 口2 y + 6 2 驴) 兰( v f + b 2 x ，( 。2 + 6 2 ) y ) ， v a ，6 o ， 其中( 叉，r - ) 是( x ，y ) 的独立复制。 定理2 4 f 17 l 假设g ：s ( d ) _ r 是一个在( o ，0 ) 点连续的次线性泛函，若g 满 足：对任意的p ，a ) 与p ，a ) r d s ( d ) 则存在一个次线性期望空间( q ，咒，亩) 中的一对d 维的g - 正态分布的随机变 量( x ，y ) ，使得 g 。，a ) = 亩 三( a 墨x ) + 妇，y ) ，v p ，a ) 序s ( d ) 定理2 5 f 1 7 1 若( x ，y ) 是次线性期望空间( q ，冗，应) 中的一对g - 正态分布的随机 向量。对任意的妒q 工咖( r d ) ，定义： u ( t ，z ) ：= 雪 妒( z + v t x + t r ) ，v ( t ，z ) 【o ：。) r d 则锄是下面抛物型p d e 唯- - - 的粘性解： 其中 a 一g ( 优影，d 。2 口) = 0 ，口l = o = 妒， g ( p ，a ) = 雪匿( a x ，x ) + 细，y ) ，v ( p a ) r d s ( d ) 定理2 6 1 1 4 】若五y 是次线性期望空间( q ，爿，应) 中的两个随机变量，则当l 8 万九n ，i r 嘶。1 耐 们枞舱 、i ， ，l创卜当 慨a ， g d g q 、 # 卜n 斗舢人i a九， 瓦鼽a 一队慨 p g g g 山东大学硕上学位论文 n q o 。，；1 + ：= l 时，有 雪 i x y l s ( # i x l p 】) m ( e i y i q 】) v 4 ， 特别地，当1 p p 时，有 ( 啻【l x i p 】) 1 p ( 彦【l x i ， ) 1 屈 2 3g 布朗运动与条件期望 我们首先给出次线性期望空间中g - 布朗运动的定义，接着介绍一些与g 布 朗运动相关的内容，其中主要参看文献【1 6 l 。 定义2 8 次线性期望空间( q ，咒，官) 中的随机过程 玩) ) 眨。称为g 一布朗运动， 若n ，0 t l k o 满足下而的性 质： ( i ) 玩( u ) = 0 ； ( i i ) v t ，s 0 ，岛+ s b , f j e 从( o ；酽s ，万2 s 】) 分布，且独立于( b t b h ) ，v n ，0 t l 0 ，( 鼠+ 幻一 b t 。) 忿。也是g 一布朗运动。 定理2 7 【1 6 】设( 局) 2 。是次线性期望空间( q j l t ：，应) 中的一个随机过程，若该过 程满足： ( i ) b o = 0 ， ( i i ) v t ，s 0 ，b t 扣一鼠与b 。是同分布的，且独立于( b 。，b 咖，& 。) ，v n n ，0 t l t 。t 。 ( i i i ) 雪【b 。】= 应【一b 。】= 0 ，l i m 扣点2 i b 。1 3 i t 一1 = 0 。 则( b ) t o 是g 驴一布朗运动，其中0 - 2 = 一自一b 】，_ 2 = 亩f 研】。 9 山东大学硕士学位论文 下面的构造说明了次线性期望空间中g - 布朗运动的存在性。 记q = c o ( r 十) 表示所有满足蛐= o 的实值连续轨道( 姚) t r + 组成的空间，定义其 上的距离为： po j 0 , , 2 ) ：2 ；2 一【躐i 啦一枷 l 】 v t 0 ，考虑下面的随机变量空间 咒孚= l ( 乃) ：= x ) = 妒( 忱，u t 。) ，v m 1 ，t l ，t m 【0 ，卅，v 妒g ，肠p ( 舻) ) 显然嘲l o p ( 乃) ，v t t 。记 考虑典则空间，记玩p ) = u ，t 【0 ，o o ) ，u q ，对任意固定的t ，记 l 伽( 厅) ：= 妒( 鼠。，b t 。) ，0 t l t 。l 妒e b ，l 咖( r ) ，扎 给定次线性函数g ( o ) = g 正l ( o ) = ( o + 一盯2 0 一) ，n r 。记是次线性期望 空问( 晓，元，虏) 中服从人厂( o ；【仃2 ：l 】) 分布的随机变量，其中o o r l 。对任意 的x 衅，显然 x = ( b 。一b 。，b 。一鼠。，b 。一鼠。一。) 其中妒c b ，l 伽( r ”) ，0 = t o t l t 。 0 ， n 一n - 一 n l i r a = 1 - - 仃- 2 = - 2 0 ，用v ( ，z ) 表示下面方程的唯一的粘性解 侥y + g ( 2 。v ) = 0 ， ( t ，z ) 【0 ，l + 嘲xr ，y l = l + j l = 妒， ( 3 i ) 其中g ( 0 1 ) = j 1 ( 铲q + 一，q 一) 。由g - 正态分布的定义可知： y ( t ，z ) = 豆 妒( z + 、丁；砚) 特别地， v ( h ，0 ) = e 【妒( ) 】，v ( 1 + h ，z ) = 妒( z ) ( 3 2 ) 由于上面的方程( 3 1 ) 是一致抛物型p d e ，而且g 是一个凸函数，所以由y 的内 正则性( 参看1 2 1 1 中的定理4 1 3 ) 可知，存在常数q ( 0 ，1 ) ，使得下面不等式成 立： i i y 怯+ 弓甜n ( 【0 1 l 。励 付一l = 鬈+ 名) 1 4 山东大学硕士学位论文 其中， 名= o , v ( i a , v 信s , ) a + 互1 磋。y ( i 6 ，垢& ) 碍。6 + 巩yg 瓦而& ) 五+ 。怕， 露= 1 降y ( ( i + p ) 6 ，怕) 一a y ( i 6 ，怕。) 卵6 + 降y ( 瓶瓜+ - ) 一a y ( 礁慨) 卜 + o 0 1 障y ( 绝而& + 卯五十，叼一吃y ( 谚慨) 】7 妒嘶碍。6 因此， 酗斗副 应 y ( 1 ，而& ) y c 。，。，官 喜以 + 雪 萎露 ( 3 3 ) 因为以的第三项是均值确定的，即： 应b y ( 瓶怕& ) 五十- 卅= 亩 一以y ( 碱西& ) k + - 啊= o 以及五+ 1 独立于( x - ，x ) ，我们有 古旧= 卟i y ( 瓶垢& ) 6 + 互1 2 。y ( 瓶怕& ) 碍叫 = 雪 a y ( 碱慨) 6 + 妻 ( 磋。y ( 瓶怕& ) ) + - - 2 。一( 毙y ( 礁怕& ) ) 一9 2 + _ = 豆p ( i 文慨) 巧+ 妻j 滔y ( 瓶俩) ) + - 2 + 心y ( 礁慨) ) 1 ( 露。一- 2 ) 一( 览y ( 瓶而s ) ) 一f + p 2 ( i a ，砺& ) ) 一f 一鳍。) l = 耋亩i ( 照y ( 旗怕& ) ) + ( - - 2 。一铲) + ( 磋。y ( 瓶怕& ) ) 一f 9 2 + ) l 妻( 障。一- 2 i+ l 西t w 1 ) 亩恽y ( 瓶而s ) | 冈为。v 在【o ，l 】r 上关于z 是一致a h o l d e r 连续的，同时，关于是号- h o l d e r 1 5 连续的，所以 山东大学硕士学位论文 i 嚷y ( 瓶砺& ) - o l v ( o ，o ) l c ( i 怕& i 。+ i 掰i 暑) 其中c 是一正常数。又因为 所以 训怕& n l iij房 i 慨i 。v - 亩 ( i 而& lv ) 。 亩 i 慨iv 亩 i 慨i + 1 ( 亩陋 ) 5 + 1 应 i 西& 1 2 = 丢喜应暇 = 丢喜碡 应 障y ( 谚而