（应用数学专业论文）逻辑算子集与模糊集和粗糙集的性质及其相关性.pdf

逻辑算子集与模糊集和粗糙集的性质及其相关性 摘要 本文对逻辑算子集、粗糙集和模糊集三者的有机结合做了一些尝试性研究 主要内容分为以下两大部分 在第一章中，给出了由t 范算子决定的上模糊粗糙近似箅子慨的定义，讨 论了其性质，并解决了其“反问题”，即给出了由上模糊粗糙近似箅子p 构造相 应的t ，使得协= 妒的方法另外，还证明了n e g a t o r 箅子构造定理，接着研究了 对偶的t 范算子和t 余范筲子及相应的上，下广义模糊粗糙近似算子对的性质 最后。给出了广义模糊粗糙近似箅子的分解与合成定理 在第二章中，给出了t 模糊等价关系的定义，讨论了其性质对每个t 范 算子给出了相应的n 阶t 模糊等价矩阵的构造方法及由不同的1 3 阶t 模糊等价 矩阵产生不同的n 阶t 模糊等价矩阵的方法另外，还给出了t 模糊知识基及相 应的t 模期商空间的定义，并讨论了其性质，证明了全体t 模糊等价关系与全体 模糊知识基构成同构的完备格 关键词：逻辑算子，粗糙集，模糊粗糙近似算子，完备格，t 模糊商空间 p r o p e r t i e sa n dr e l a t i v i t yo ft h es e to fl o g i c a lo p e r a t o ra n df u z z ys e t a n dr o u g hs e t a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w et r yt os t u d yt h eo r g a n i cc o m b i n a t i o no ft h et - n o r mo p e r a t o r s e t ，r o u g hs e ta n df u z z ys e t i t sc o n t e n ta r ed i v i d e di n t ot w oc h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no f u p p e rf u z z yr o u g ha p p r o x i m a t i o no p e r a t o r d e d d e db yt - n o r mo p e r a t o r ，d i s c u s si t sp r o p e r t i e s i na d d i t i o n ，w es o l v ei t si n v e r s e p r o b l e m ，t h a ti s ，w eg i v et h ec o n s t r u c t i o nm e t h o do ft - n o r mo p e r a t o rf r o mt h eu p p e r g e n e r a lf u z z yr o u g ha p p r c o d m a t i o no p e r a t o r _ p ，w h i c hc o n t e n t s 妒= 妒n e x t ，w ep r o v e t h ec o n s t r u c t i o nt h e o r e mo fn e g a t o ro p e r a t o r a f t e r ，w es t u d yt h ep r o p e r t i e so fd u a l t - n o r mo p e r a t o ra n dt _ - c o n o mo p e r a t o ra n dt h e i rc o r r e s p o n d i n gg e n e r a lu p p e ra n d l o w e rf u z z yr o u g ha p p r o x i m a t i o no p e r a t o r a tl a s t ，w ew ep r o v et h ed e c o m p o s i t i o n a n ds y n t h e t i z et h e o r e m so fg e n e r a lf i l z z yr o u g ha p p r c o c i m a t i o no p e r a t o r i nc h a p t e rt w o ，w ep r o p o s et h ed e f i n i t i o no ft r f i l z z ye q l f i v a l e n tr e l a t i o na n df l i s n l s s i t sp r o p e r t i e s a n d f o ra r b i t r a r yt - n o r ao p e r a t o r w eg e i v et h ec o n s t n w t i o nm e t h o do f i t sc r r e s p o n d i n gn 几扣矗l z 碍e x l t f i v a l e n tm a t r i x ，a n dt h em e t h o do fn e wn nt - f l m z y o * l l f i v m e n tm a t r i xf r o mt w od i f f e r e n t ，l nt - f l m z yo q l f i v m e n tm a t r i c e s i na d d i t i o n w eg i v et h ed c f i n i t t o no ft - f u z z yk n o w l c d g cb a s ca n di t sc o r r e s p o n d i n gt - f u z z yq u o t i e n t s p a c c ，d i s c u s st h e i rp r o p c r t i c s ，a n dp r o v et h a ta l lt h et - f u z z yc q u i v a l e n tr e l a t i o na n d a l lt h et - f u z z yh m w l c d g eb a s ec o n s t r u c ti s o m o r p h i s mc o m p l e t e l a t t i c o k e yw o r d s i l o g i c a lo p e r a t o r ，r o u g hs e t ，f u z z yr o u g ha p p r o x i m a t i o no p e r - a t o r ，c o m p l e t el a t t i c e ，t - f u z z yq u o t i e n ts p a c e i i 引言 1 9 8 2 年，由波兰数学家z p a w l a k 提出的粗糙集理论【2 j 2 ，是一种处理不精确， 不确定与不完全数据的新的数学方法粗糙集理论认为知识可以用论域中的子集 来表示在给定论域中，当等价关系确定后，就得到一个商空间( 知识基) 任意给 定一个慨念( 论域中的子集) ，人们不一定能用商空间中的元素( 等价类) 的并来精 确地描述对那些不能用商空间中元素的并，即不能用等价类的并表示的概念， 则引入上、下近似的概念，即用一对上，下近似来表示，这就是粗糙集但是，对等 价关系的严格要求限制了粗糙集理论的应用，于是许多学者甩非等价二元关系代 替等价关系等方法从各方面对p a w l a k 粗糙集模型进行了推广【1 0 ，1 2 ，1 3 ，2 02 2 1 在本文中，我们用t 模糊关系代替等价关系，得到了广义模糊粗糙近似算子，并 且研究了其性质目前，粗糙集理论已在医学、生物学，化学、材料学，地理学 和金融等学科中得到了成功的应用 模糊集理论1 是由美国学者l z a d e h 教授于1 9 6 5 年提出来的它通过隶属 度函数把不确定信息用严格的数学公式描述出来，为处理不确定信息提供了一种 有效方法目前，在以模糊推理为核一5 - 的人工智能等领域有成功的应用模糊数 学的产生，把数学的应用范围从精确现象扩大到模糊现象的可能性模糊集理论 和粗糙集理论在处理不完全性和不确定性问题方面都推广了经典集合论二者有 密切的关系和很强的互补性。然而它幻的侧重点不同，它们的有机结合更利于处 理不确定性和不精确性问题，因此又产生了模糊粗糙集理论目前，许多学者在 模糊粗糙集理论方面已作出许多出色的工作。参见文献【5 , 6 ，9 ，1 1 ，1 5 】 随着对不完全与不确定信息的研究的深入，模糊粗糙集理论也日益丰富其 中，我们颇感兴趣的是两方面的研究成果：一方面是a n n am a n i ar a d z i k o w s k a 和 e t i c n n ck k c r r c 6 于2 0 0 2 年在f u z z ys c t sa n ds y s t c m s 杂志上发表的ac o m p a r - 2 t t i v es t u d yo f 缸z 巧r o u g hs e t s 中的关于伴随着逻辑算子的模糊粗糙近似算子的 结果另一方面是，张文修【5 】5 等于2 0 u 3 年在i n f o r v i a t i o ns c i e n c e 上 发表的g e n e r a l i z e df i l z 斜t o n 幽s e t s 中的关于广义模糊粗糙近似的结果我们 在学习和继承以上大师们的思想和方法的基础上，建立了关于伴随逻辑算子的广 义模糊粗糙近似算子的理论，研究了逻辑算子及相应的广义模糊粗楗近似算子的 l 性质及其相关性，得到了相关算子的构造，分解和合成定理 另外，我们把广义模糊近似空间( x ，rr ) 中的模糊等价关系r 推广为t 模 糊等价关系，并给出了相应的t 模糊知识基的定义，研究了相应的t 模糊商空间 理论，这些理论是张铃等 3 】于2 0 0 3 年在软件学报上发表的模糊商空间理论 ( 模糊粒度计算方法) 中的相应结果的推广 2 第一章逻辑算子集与模糊粗糙近似算子的性质及其相关性 第一章内容分两部分 第一节的内容是在【o ，l 】上讨论的 首先，给出了由t 范算子决定的广义模糊粗糙近似算子帆的定义，并讨论 了其性质，这些性质是帆的完全刻画因为我们证明了由f ( y ) 到f c x ) 的映射 妒构造相应的t 范算子的结论即证明了对满足定理1 1 1 的映射妒，则存在相 应的t ，使帆= 妒 另外，我们给出了由单降连续函数构造n e g a t o r 算子的定理它为后文所引 入的对偶的t 范箅子和相应的t 余范箅子及对应的对偶的广义模糊粗糙近似算子 对的构造与研究提供了路径 第二节的内容是在格工上所讨论的 首先，在格上定义了各种逻辑算子及其相应的广义模糊粗糙近似算子，讨论 了它们的性质，接着推广和丰富了由映射妒构造相应的t 范算子的定理 另外，给出了t 范算子等价类集到广义模糊粗糙近似算子集的一一对应 最后，证明了广义模糊粗糙近似算子的分解与合成定理这些定理为如何把 粗糙近似算子提升到广义模糊粗糙近似算子及选择合适的逻辑算子构造有效的 广义模糊粗糙近似算子提供了理论依据 1 1 1逻辑算子集与广义模糊粗糙近似算子集的性质及相关性 1 1 1 基本概念及记号 在全文中。除非特别声明，我们将采用以下记号工是有最大元1 和最小 元0 的格，x 和y 是非空有限集，p ( x ) 表示x 的幂集，x 上的全体模糊子 集记为f ( x ) ，格l 中x 上的全体模糊子集记为f lc x ) 1 1 2t 范算子集与上模糊粗糙近似算子集之间的性质及相关性 定义i , i 1 ( 嘲) 称映射t ：i o ，1 1 l o ，1 】【o ，1 】是t 范算子，若t 满足以下条 件： ( 1 ) t ( z ，口) = t ( u ，z ) ( v z ，【0 ，1 】) ； ( 2 ) t ( x ，1 ) = z ( 比【0 ，1 】) ； 3 ( 3 ) 若y l 啦，则t ( z ，y 1 ) t ( z ，抛) ，( v z ，y 1 ，妇【0 ，1 】) 称t 满足结合律，若对v x ，弘z 【0 ，l 】满足：t ( t ( x ，) ，。) = t ( z ，t ( y ，z ) ) 由定义1 1 j 1 ，我们可以得到以下结论； ( 4 ) t ( x ，0 ) = 0 ( v z 【0 ，l 】) ； ( 5 ) t ( x ，v 执) = vt ( 。，鼽) ( v z ，玑f 0 ，l 】，i 是有限集) ； ( 6 ) t ( x ，g 】z a y ( 地，y 【0 ，1 】) 在本节中，r f ( x y ) 且满足j 。o x ，3 y o y ，使r ( z o ，珈) = 1 定义1 1 2 设t 是t 范算子，r f ( xx y ) ，则称映射忱：f ( y ) + f ( x ) 是由t 决定的广义上模糊粗糙近似算子，如果对 x ，a f ( y ) ，有： 妒( a ) ( 7 ) = 鼽巾( 片( ，) ，a ( v ) ) v y 简便起见。我们把帆简记为妒 定理1 1 1 设，一，矿x ，a 0 ，1 1 ，y 7 ，y 4 ，y p ，y q y ，则妒有下列性质： ( p 1 ) 妒( 瓠) ( z ) = t ( r ( z ，：) ，a ) ( p 2 ) l p ( ) = ( p 3 ) 设矿r 九【0 ，1 ， i ，i 是有限集，则 ( ) - 若x 十v j ，。5 1 1 2 1 ，则妒( 兰2 k ) 2 兰妒( 嚷。) ( ) 若3 r , s i ，使z ”= ，且k k ，则妒( 曩v ) = 妒( ，) v 妒( ) _ ( p 4 ) 若r ( 矿，) = 冗( 一，矿) ，则有；妒( 联) ( ) = 妒( 颤) ( 一) ( p 5 ) 若r ( 矿，) = l ，则有：妒( 城) ( 矿) = ( p 6 ) 妒( 醍( 扩) ) ( ) 2 妒( 9 ；( 。) ) ( 一) ( p 7 ) 设r ( z ，y 4 ) r ( x 3 ，g ) ，则有： l p ( 嘏) ( ) 妒( 颤) ( 一) ( p 8 ) 如果u ，口【0 ，1 】满足：n ( z ，y 4 ) r ( x j ，) ，r ( z k , 矿) r ( ，y q ) ， 那么有； 妒( 掰) ( z ) v 妒( 茹) ( ) 妒( 蝣) ( ) a 妒( 以) ( 矿) 证明：( p 1 ) 由定义1 1 2 和模糊点的定义，我们可以得到； 妒( 以) ( z ) = s u p t ( n ( z ，口) ，瓠( 口) ) = ( r ( z ，：) ，a ) ”r ( p 2 ) 证明略 ( p 3 ) ( i ) 对z x ，由定义1 1 2 和性质( p 1 ) ，我们可以得到；( v 妒( z k ) ) ( 。) = v ( | p ( 反) ( z ) ) = vt ( n ( z ，矿) ，凡) 4 由定义1 。1 2 知：妒( 兰吐。) ( 。) = 蚱s u y p 。( ( 置掣) ，兰矗) ( ) ) = ， 纠v 州 t ( r ( 。，) ， ：i ( ) ) = vt ( 丑( 毛，) ，凡) 由以上两个等式，可知命题成立 z ( ) 对z x ，可以得到；妒( ：；，v ) ( z ) = 妒( 。) ( z ) = t ( n ( z ，) ，k ) 另一方面，有妒( ，) ( 。) = t ( a ( z ，二r ) ，a r ) 和妒( 曩) ( z ) = t ( r ( x ，) ，a ，) 又已 知k 九，所以有妒( z ，r ) v 妒( ) = f ( r ( 毛，) ，凡】由以上两个方程式，可知命 题成立 ( p 4 ) 由性质( p 1 ) 及已知条件，我们可以得到： 妒( 城d ) ( ，) ；t ( r o ，扩) ，a ) = ( r ( 一，圹) ，a ) = 妒( 城) ( 一) ( p 5 ) 由性质( p 1 ) ，我们可以得到；妒( ! ) ) = t ( r ( x i ，y 4 ) ，】) = t ( 1 ，a ) = a ( p 6 ) 由性质( p 1 ) 和定义1 1 1 ，我们可以得到： 妒( 可磊( f ，口r ) ) ( 矿) = ( r ( 矿，8 ) ，r ( x 3 ，1 7 ) ) = t ( r ( x j ，掣7 ) ，兄( 一，可。) ) = 妒( 可矗( 。，一】) ( z ) ( p t ) 由性质( p 1 ) 和定义1 1 1 ，我们可以得到： 妒( ! ) ( f ) = t ( 月( ，】，a ) t ( r ( 一，矿) ，a ) = 妒( 畎) ( 一) ( p 8 ) 由性质( p 1 ) 和定义1 1 1 ，可以得到： 妒( ) ( ，) = t ( 冠( ，一) ，口) s ( u 口) t ( r ( j ，f 7 ) ， ) = 妒( 靠) ( 上) ； 类似地，我们可得到： 妒( 以) ( ) = ( r ( 一，旷) ，u ) t ( v ，u ) ( 冗“。，旷) ，“) = 妒( 以) ( ) 由以上两个方程式，可知命题成立 定理1 1 2 设工= r ( 占，g ) iz x ，y ) ，l u o ) = 舯= l o l l 如 l ，= 1 ，t = dt 是t 范算子) ，m = 训妒：f ( y ) 一f ( x ) 并且满足性质 ( p 2 ) 一( 蹦) ) ，若定义口：t m ，其中口( t ) = 忱，则口是满射 证明：首先，我们由妒构造t ( ) ( 1 ) 若oez t , 口) ，则定义t “f ) = 0 ( 2 ) 若u ， 均不为0 ，且u ，口中有一个属于工一t o ，。则分以下两种情况： ( i ) 若t = 厶= 直( ，y ) ，( 0 i 5 ，一，y x ) ，则令t ( 口) = 妒( 以) ( 一) 由定理 1 1 1 中的性质( p 4 ) 可知定义合理 ( i i ) 否则，令c ( 1 ， ) = ( 弘u ) ( 3 ) 若， 均不为0 ，且u ，口均不属于工一t o ，设： r ( x ，矿) = 三i “ = 工件l = 兄( o 件1 ，矿+ 1 ) ( 0 s 1 ) ； 5 r ( z j ，矿) = 岛 口 = 工j 十1 = 兄( ，十1 ，掣。+ 1 ) ( 0 i s 1 ) ； 则令； t ( t ，”) = 【9 ( 玩) 【) v 妒( 正) ( ) 十妒( 疗1 ) ( 。”1 ) a 妒( 扩1 ) ( + 1 ) 】 注：如果不存在z ，x ，使r ( z ，) = 0 ，则定义r ( z o ，9 0 ) = 0 = 妒( 嘏) ( z o ) 至此由妒构造t ( u ，”) 的工作完成 下面证明t ( u ，口) 是t 范苒子 ( 1 ) 由定义及定理1 1 1 中的性质【筇) ，知道( “，”) = ( ”，) ( 2 ) 由定理1 1 1 中的性质加5 ) ，可得：对枞【0 ，1 1 ，有t ( 1 ，a ) = 妒( 嫒) ( ) = a ( 3 ) 现在我们来证明t ( u ，”) 的单调性，即证： 对任意u ，n ，卢【o ，1 ，若n ，则t ( q “) t ( “，) 容易知道，当n = 0 时，可得到：t ( u ，0 ) = 0s f ( 卢) 当0 a p 时，分以下四种情形讨论 情形一；若u = 0 ，则t ( u ，a j - 0 t ( u ，p ) 情形二：若o 且“l 一( o ) ，可设= 厶= r ( 一，矿) ，其中0 i ss 由前面的定义，知：( u ，o ) = 妒( g ：) p ) 和t ( u ，p ) = _ p ( j ) ( ) 由于a 卢，可知 城靠再由定理1 1 1 中的性质( ) ，可得妒( 以) 妒( 骟) ，从而妒( 蟊) ( ) 兰 妒( 掣刍) ( z ) 。即：t ( u ，o ) t ( 1 上，卢) 情形三：若t 0 且“叠l 一 o ，可设r ，矿) = 厶 u l + i = 兄( 矿，矿+ 1 ) ( 0 i s 一1 ) ，其中0 i s ；z 。，矿+ 1 x ，扩+ 1 y ，在这 种情形下，分以下四部分讨论： ( i ) 若a ，卢l 一 o ，设兄( z j ，矿) = l ，= a 卢= 三i = r ( z ，妙) 因为 o n 所以r ，旷) ，口管l 一 o ，可设o = 岛= r ，矿) ，r ( 一，矿) = “ p 工十1 = 曰( ，扩1 ) 由n 卢和前面的定义，知月，j ，) 月( 一，) 和 ( 1 i ，一) = 【妒( 嵋) ( z 。) v 妒( ! ) ( 丁) 十妒( 矿1 ) ( z 。1 ) a 妒( ：。1 ) ( 丁1 ) 】由定理1 1 1 中 的性质( p 7 ) 和0 ) 8 ) ，知：t ( u ，n ) = 妒( 0 ) ) 妒( 口：) ( 一) t ( u ，卢) ( i i i ) 若“一 o ) ，l 一 o ，可设= = 兄( ，矿) ，r ( 一，矿) = 岛 a 岛十1 = 冗( 十i ，+ 1 ) ，其中0 5 ，o 七3 由于n ，所 以r ( 一，矿) r ( ，矿) ；从而，r ”，矿+ 1 ) r ( 一，矿) 于是，t ( ，d ) 一 【妒( 比) ( z 2 ) v 妒( 靠) ( 一) + 妒( 3 f 1 ) ( ，+ 1 ) a 妒( 耐_ 1 ) ( 一+ 1 ) 】妒( 掣：) ( z ) = t ( p ) 6 ( i v ) 若ag 工一 o ) ，卢工一( o ) ，可设r ( x j ，矿) = 岛 o l j + l = r ( + 1 ，矿+ 1 ) ，r ( 上，扩) = 工k 卢 l k + l = 冗( 。+ 1 ，私+ 1 ) ，其中0 工k 5 1 由前面的定义，可得： t ( u ，n j = p ( 戚) ( 一) v 妒( 矗) 一j 十妒( 城“j ( 1 ) a 妒( 1 ) 0 0 ) j ， t o , ，卢) = 【妒( 站) ( z ) v 妒( p ：) ( z ) + 妒( 口矿1 ) ( 矿+ 1 ) a 妒( 砖+ 1 ) ( + 1 ) 】 由于a 鼠所以冗( ，矿) r ( ，y ) 如果r ( x o ，矿) = r ( ，y ) ，则r “，矿+ 1 】= r ( d “，y ) 于是。妒( 矗) ) = 妒( 此) ( ) ，妒( 矗+ 1 ) ( 一+ 1 ) = 妒( y p l ) ( 一+ 1 ) 由于，妒( 珐) ( ) 妒( 蜘) ( 矿) ，妒( 珐1 ) ( z “1 ) = 妒( 1 ) ( “) 于是，t ( u j st ( u ， 否则，有r ( ，矿) s ( 1 ) 一c ，得f ( c ，1 ) 且满足，- 1 ( f ) = i - 1 ( ，( f ) ) = f 引理1 1 4 设，厂1 ，f 如引理1 , 1 3 中所述，设 i ，( z ) ，0 z s ( z ) = i 广1 ( 矾f 。1 则h ( x ) 是连续的n e g a t o r 算子，并且称h ( x ) 是由，( z ) 衍生出来的 证明；由引理1 1 3 和 ( z ) 的定义，可知h ( z ) 是连续的实函数下面我们要 证明h i = ) 是n e g a t o r 算子 8 ( 1 ) h ( o ) = 1 ( o ) = l ，h ( 1 ) = f “( 1 】= 0 ( 2 ) 设z ， 0 ，1 】且z f - 1 ( v ) = ( ) ( 3 ) 最后，我们证明对v x 【0 ，i 】，有 ( ( z ) ) = z 分以下两种情形讨论 情形一，若z 【0 目，则有，( ，) 陈，l 】因此，有； ( ( r ) ) = ( ，( z ) ) = f - 1 ( ，( ，) ) = z 情形二；若z 匠l 】，则有i - 1 ( z ) 【o ，翻因此，有； ( ( z ) ) = h ( f “( z ) ) = i - 1 ( ，1 ( z ) ) = z 综上所述， ( z ) 是连续的n e g a t o r 算子 定理1 1 5h ( x ) 是n e g a t o r 箅子 = 存在【0 ，1 】上的连续的、严格单调递减的 函数，( z ) ，且满足f ( o ) = 1 并且， ( z ) 是由( z ) 衍生出来的 证明：若h ( x ) 是n e g a t o r 算子，那么h ( x ) 是连续的，并且可得到 ( z ) = h - * ( z ) 由 ( z ) 【0 ，1 可知，存在唯一的 ( 0 ，1 ) 满足f = ( f ) 设 ( z ) ；f ( z ) ， 则有 ( 卫) = ，扛) ，0 z f - i ( 丁) ， z l 易证 ( z ) 是【0 1 1 】上的连续的、严格单调递减的函数，且满足f ( o ) = 1 即 ( z ) 是由，( 。) 衍生出来的 反之，可由引理1 1 4 直接得到 注；定理1 1 5 与文献【8 1 中的n e g a t o r 算子表现定理是不同的，有例子可以证明 这一点 9 1 2格上逻辑算子集与相应的广义模糊粗糙近似算子集的综合研究 1 2 1 逻辑算子集与广义上模糊粗糙近似算子集的性质及相关性 定义1 2 1 ( 8 d 称映射t ：lxl 工是格l 上的t 范算子，如果t 满足下 列条件； ( 1 ) o ( z ，) = t ( u ，z ) ( v x ，y l ) ； ( 2 ) t ( z ，1 ) = z ( v z l ) ； ( 3 ) 若l21 ，2 ，则( 。，y t ) 2t ( z ，y 2 ) ，( v z ，y t ，y 2 l ) 由定义1 2 1 。以得到下列结论； ( 4 ) t ( 0 ) = 0 ( 比l ) ； ( 5 ) t ( z ，) a ( v x ，y l ) 定义1 2 2 ( 【l8 j ) 设t 是格工上的t 范算子，r 见xy ) 且满足j ? o x ，j 珈y 使r ( z o ，珈) = 1 ，则称映射忱：兄( y ) 一见伍) 是格上广义上模糊粗 糙近似算子，如果对任意z x ，a 见( y ) ，有帆( a ) ( z ) = s u p ( r ( 置) ，a ( ) ) f r 简便起见，用妒记妒。 定理1 2 1 设a 厶，一，z ，矿x ；y ，o ，矿，y q y ；则妒有下列性质： ( p 1 ) 妒( “) ( 。) = ( r ( z ，z ) ，a ) ( p 2 ) 妒( ) = 妒 ( p 3 ) 设，y 九l ，l i ，j 是有限集，则 ( i ) 若对均，k i ，一，则妒( v 曩) = v 妒( 矗) ( ) 若3 r , 5 j ，使，= 且k 九，则妒( 气v ) = l p ( ) v 妒( ，) ( p 4 ) 若r ( ，4 ) = r ，) ，则有：妒( 联) ( ，) = 妒( 颤) ( ) ( p 5 ) 若r ( ，) = l ，贝4 有：妒( ! ) ( z ) = a ( p 6 ) 妒( ( 一，矿) ) ( 一) = | p ( g 矗( 。，俨) ) ( f ) ( p 7 ) 设r ( 矿，口4 ) r ( x j ，y 7 ) ，贝0 有；妒( 锻) ( z ) 妒( 目；) ( 一) ( p 8 ) 如果u ，口l 满足；r ( z ，一) u r ，y r ) ，r ( 妒，矿) 口 r ( 矿，矿) ， 那么有； 妒( 积) ( 一) v 妒( 掘) ( ) 妒( 碥) ( 一) a 妒( 以) ( 矿) 证明；证明可参照定理1 1 1 定理1 2 2 设z = r ( ) iz x ，f y ) ，且z 中元与格l 中任意元都是可 以比较的，z u 0 = 0 = 一l o = 一l t 一l 2 己= 1 ) ；t = 秘i t 是格l 上的t 范算子 ；m = ( 刊妒：兄( y ) 一兄( x ) 且满足定理1 , 2 1 中的( p 2 ) 一( 邸) ，我们定 义口：t m ，其中口( t ) = 帆，则j 是满射 1 0 证明：首先，我们由妒来构造( u ，口) ( 1 ) 若0 “，”，则我们定义t ( u ，口) = 0 ； ( 2 ) 若“， 都不等于零，并且至少有一个属于z 一 o ，则有： 若“z t o ) ，则我们可设“= - l = r ( f ，y ) ，其中0 i s ，矿x ，矿y ； 定义( “， ) = 妒( 碥) ( $ ) 由定理1 2 1 中的性质( p 4 ) 知定义合理 否则，设( “，口) = t ( ，) 另外，如果口= r ，矿) ，由定理l 2 1 中的性质( p 6 ) 有： 妒( y k 矿) ) ( 矿) = 妒( 疡矾矿) ) ( 一) ，即：t ( u ，口) = t ( v ，1 ) ( 3 ) 若o ， 0 且， 簪z 一( o ) ，则设；曰( ，矿) = 五 _ l + l = r “，+ 1 ) ；b ( ：r j ，矿) = - ， 己+ 1 = r ( z s “，矿+ 1 ) 我们定义： t ( 仙口) = 妒觚) ( f ) v 妒( 以) ) 另外，若v x x ，v y y ，均有r ( z ，) 0 ；这时可定义： r ( 一，y o 】= 0 = 妒( 以) ( z o ) = 妒( 掣：) ( z o ) 现在，我们来证明t ( u ) 是t 范算子 ( 1 ) 由前面的定义，可知：t ( ，口) = t ( v ， ( 2 ) 由定理1 2 1 中的性质( p 5 ) ，可知对任意埏l ，有；t ( 1 ，a ) = 妒( i ) ( 矿) = a ( 3 ) 下面我们来证明( u ，口) 的单凋性，即；对地，q ，卢l ，如果o n 0 ，则有以下三种情况： ( i ) 若“= 0 ，则( “，o ) = 0 s t ( u ，卢) ( i ) 若 0 且t z f o ，则可设“= _ l = 月( ，矿) ，其中o i ， x ，y l y 由前面的定义，可知：( ，o t ) = 妒( 站) ) 。t ( u ，p ) = 妒( 编) ( ) 由于 n 卢，所以珐 鲔；由定理1 2 1 中的性质( p 3 ) ，可知：| p ( 以) ( z ) 妒( 螗) ( 一) ， 妒( 掣各) ( 。) 妒( 掣刍) ( ) 于是， ( 嵋) t ( t ，) ( h j ) 若u 0 且u 聋z 一 o ) ，则我们可设r ( ，矿) = 瓦 u 己+ l = r ( z ”1 ，扩+ 1 ) ， 其中0 i j ；一，z 件1 ，一x ；矿，矿+ l ，矿y 在这种条件下，我们分以下四种情形讨论 情形一。若n z 一 o ) ，p z 一 o ，则设r ( ，矿) = 己= o t p = 瓦= r ( 一，矿) 由前面的定义，可知：t ( u ，o ) = 妒( 醍) ( z ) 和t ( u ，卢) 一妒( 如) ( ) 已知a p ，则r ( ，矿) r ( ，矿) ；再由定理1 2 1 中的性质( p 7 ) ，可以得到： 妒( 靠( z j ) 妒( 北) ( z ) g p ： t ( “，q ) 曼t ( u ，口) 情形二；若o t z f o ) ，卢g z 一 o ，则设o t = 己= r ( x 3 ，矿) 和r ( z ，矿) = 瓦 口 瓦= 冗( + l ，矿+ 1 ) 由o 卢和前面的定义，可得： r ( 一，矿) r ( ，矿) 与t ( u ，卢) = 妒( 站) ( 一) v 妒( p ：) ( ) 由定理1 2 1 中的性质( p 7 ) 和( p 8 ) ， 可知；t ( u ，j 日) 妒( ：) ( ) 妒( 以) ) = f ( “，口) 情形三；若agz f o ) ，卢z 一 0 ，则设r ( x 3 ，矿) 一t 口 乙+ 1 = r ( z j + 1 ，矿+ 1 ) ，p = 瓦= r ( z k , 口) ，其中0 玉j s ，0 k s 由a p 。可得r ，矿) r ( z ，圹) 因此，有r ( 一“，矿+ ) 墨r ( x ，y ) 由定理1 2 1 中的性质( p 8 ) 可得；t ( u ，a ) = 妒( 让) ( 矿) v 妒( 以) ) 妒( 庙“) ( 一十1 ) 妒( 缱) ( 矿) = t ( t ，卢) 情形四；若qg z 一( o ，卢gz 一 o ，则设：r ( 一，矿) = 己 o 己+ l = r ( 一+ l ，矿+ 1 ) ，r ( ，矿) = 瓦 卢 瓦i i = r ( z 十1 ，+ 1 )其中o j ，克 8 1 ，+ 1 x ， + 1 y 由t ( ， ) 的构造方法，可知： ( “，o ) = 妒( 珐) ( z ) v 妒( “) ( ) ，( ，p ) = 妒( ) ( z ) v 妒( 北) ( z ) 已知o 卢， 则兄( 一，! ，) s r ( z ，矿) 如果兄( 一，矿) = r ( 一，矿) ，则r ( 一“，矿+ 1 ) = 咒( z “1 ，矿“) 从而，妒( 以) ) = 妒( ：) ( ) 由妒( 比) ( z ) 妒( 9 ) ( 矿) ，可知t ( 1 ，a ) t ( u ，口) 否则，若r ( 一，矿) r ( ，矿) ，则r ( x j “，矿+ 1 ) r ( ，矿) 由定理1 2 1 中的性质( p 8 ) ，可得( d ) 妒( 矿1 ) + 1 ) l ，( 北) ( 一) t ( u ，卢) 综上所述，t ( “，u ) 是t 范算子 最后，我们证明帆= 妒，其中帆由t 决定 事实上，设任意a 凡( ，) ，记a = v y a 由定理1 2 1 中的性 质( p 3 ) ，可得忱( a ) = v 竹( p ( ，) 对任意的z x ，由由定理1 2 1 中 y e * u l 印a 的性质( p 3 ) ，可得：忱似) ( z ) = v 忱( 舭“1 ) ( z ) =v t ( r ( z ，) ，a ( 口) ) = v 妒( “( y ) ) ( z ) = 妒( v( 靴( y ) ) ) ( 动= 妒( 4 ) ( 功因此， 忱( a ) = 妒( a ) 由于 帆( ) = = 妒( 毋) ，则我们可以得到帆= t ，即：忧= 妒 综上，则口是满射 定理1 2 3 设a , t 如定理1 2 2 中所述，t l ，t 2 t ，则对任意z x ，口 a l ，有以下结论成立；口( t 1 ) = a ( t 2 ) = 争t l ( r ( z ，y ) ，a ) ；t 2 ( r ( z ，p ) ，a ) 1 2 证明；若“( 冗( z ，p ) ，a ) = t 2 ( r ( z ，y ) ，a ) 。则对任意a f l ( y ) ，我们可得 到：口( t 1 ) ( a ) ( z ) = s u p t l ( r ( x ，v ) ，a ( y ) ) ，c r ( t z ) ( a ) ( x ) = s u p 屯( r ( z ，) ，a ( 9 ) ) 故，有 ，yp e y 口0 1 )