（应用数学专业论文）随机非齐次聚合分解过程.pdf

上海交通大学博士学位论文 r a n d o mh e t e r o g e n e o u s c o a g u l a t i o n f r a gm e n t a t i o np r o c e s s a b s t r a c t i n t h i sp a p e r ，w es t u d yt h eh c t e r o g e n c o u sc o a g u l a t i o n f r a g m e n t a t i o nm o d e l b ys t o c h a s t i cp r o c e s st h e o r ym a i n l 3 ， f j i | s t w es e tu pt h eh e t e r o g e n e o u sc o a g u l a t i o n f r a g m e n t a t i o ns t o c h a s t i cm o d e l s t r k t l y ，a n dt h e np r o v et h a tt h e r ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ef e l l e rp r o c e s s w h i c hc o r r e s p o n d i n gt ot h ei n f i n i t ed i m e n s i o n mc o a g u l a t i o n - f r a g m e n t a t i o nb yt h e t o o lo fs o l u t i o no fm a r t i n g a l ep r o b l e m u n d e rs o m ec o n d i t i o no nc o a g u l a t i o nk e r n e l sa n df r a g m e n t a t i o nk e r n e l s ，w en o to n l yp r e s e n tt h ec l o s e df o r mo ft h ei n v a r i a n t m e a s u r eo ft h eh e t e r o g e n e o u sc o a g u l a t i o n f r a g m e n t a t i o np r o c e s s ，b u ta l s og i v eo u t s o m ep r o p e r t i e so ft h ei n v a r i a n tm e a s u r eu n d e rt h ec o n d i t i o no fe q u i l i b r i u m ，w h i c h i sav e r yi m p o r t a n tr e s u l tf o rp h y s i c i s t a tt h es a m et i m e ，i ti st h eb a s i co ft h e s t u d yo ft h eh y d r o d y n a m i cl i m i to ft h eh e t e r o g e n e o u sc o a g u l a t i o n f r a g m e n t a t i o n w h e nt h et o t a ln u m b e ro ft h ep a r t i c l e snl a r g ee n o u g h ，w ep r o v et h a tt h ec o r r e l a - t i o nb e t w e e nd i f f e r e n ts i z ec l u s t e r si sv e r yw e a k ，a n dt h ed i s t r i b u t i o no ft h en u m b e r o ff i n i t es i z ec l u s t e rc o n v e r g e n c et ot h ep o i s s o nd i s t r i b u t i o n 。 s e c o n d ，w ep r o v et h a tt h eh e t e r o g e n e o u sc o a g u l a t i o n f r a g m e n t a t i o np r o c e s s m a yh a v es o m ek i n do ft h eh y d r o d y n a m i cl i m i tu n d e rw e a kl i n f i tb yt o o lo fc o r - r e l a t i o nf u n c t i o n ，a n da l s op r e s e l kt h ei n t e g r a le q u a t i o no ft h eh y d r o d y n a m i c l i m i t t h i sr e s u l tp r e s e n tt h em a i n l 3 ，d i f f e r e n c eb e t w e e nh e t e r o g e n e o u sc o a g u l a t i o n f r a g m e n t a t i o na n dh o m o g e n e o u sc o a g u l a t i o n f r a g m e n t a t i o n f o rt h eh o m o g e n e o u s c o a g u l a t i o nf r a g m e n t a t i o n ，i ti s n om e a n st os p e a kt h eh y d r o d y n a m i cl i m i tu n d e r t h es c a l ec h a n g i n go ft i m eo rs p a c e f i n a l l y , w es t u d yt h ep o l y m e rm o d e lc o r r e s p o n d i n gt ot h eh e t e r o g e n e o u sc o - a g u l a t i o nf r a g m e n t a t i o n i faf r a g m e n t a t i o ns t r e n g t hi sp r e s e n t e do nt h ef r a g m e n - t a t i o nk e r n e l w ep r o v et h a tt h e r ei sac r i t i c a lc u r v ef o rt h eo c c u r r e n c eo fg e l a t i o n a st h es a m eo fi n v a r i a n tm e a s u r e ，c r i t i c a lb e h a v i o ri sa l s oai n t e r e s t i n gp r o b l e m i i i a b s t r a c t o fp h y s i c i s to fp a r t i c l es y s t e m ，s oo u rr e s u l ti sv e r yi m p o r t a n tt ot h es t u d yo f t h em i c r o s c o p i cm o d e l s w h e nt h et o t a ln u m b e ro ft h ep a r t i c l e sn g ot oi n f i n i t e ，w ep r o v et h a tt h ed i s t r i b u t i o no ft h en u m b e ro fs m a l l ，m e d i u ma n dl a r g e s t c l u s t e r sc o n v e r g et og a u s s i a n ，p o i s s o na n d1 0d i s t r i b u t i o ni nt h es u p e r c r i t i c a l ( p o s t g e l a t i o n ) ，r e s p e c t i v e l y t h i sp a p e rc o n t a i n ss i xs e c t i o n s i ns e c t i o n 1 ，w eg i v es o m ei n t r o d u c t i o n o na l lk i n d so fc o a g u l a t i o n f r a g m e n t a t i o nm o d e l i ns e c t i o n 2 ，w es h o wt h a t t h e r ei sau n i q u ef e l l e rp r o c e s sc o r r e s p o n d i n gt ot h eh e t e r o g e n e o u sc o a g u l a t i o n f r a g m e n t a t i o nm o d e li ni n f i n i t ed i m e n s i o n a l i ns e c t i o n3 ，w eg i v eo u tt h ec l o s e d f o r mo ft h ei n v a r i a n tm e a s u r ea n ds o m ep r o p e r t i e so ft h ei n v a r i a n tm e a s u r eo ft h e r a n d o mh e t e r o g e n e o u sc o a g u l a t i o n f r a g m e n t a t i o np r o c e s s i ns e c t i o n4 ，w ep r o v e t h a tt h eh y d r o d y n a m i cl i m i to ft h et h eh e t e r o g e n e o u sc o a g u l a t i o n f r a g m e n t a t i o n p r o c e s s i ns e c t i o n5 ，w ec o n s i d e rt h ea s y m p t o t i cp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o no fs i z e o ft h er e v e r s i b l er a n d o mh e t e r o g e n e o u sc o a g u l a t i o n f r a g m e n t a t i o np r o c e s s i nt h e l a s ts e c t i o n ，w el i s ts o m ep r o b l e m so nt h eh e t e r o g e n e o u s c o a g u l a t i o n f r a g m e n t a t i o n m o d e lw h i c hw ew i l lc o n t i n u et os t u d y k e yw o r ds c o a g u l a t i o n f r a g m e n t a t i o n i n v a r i a n tm e a s u r e ，h y d r o d y n a m i cl i m i t ，m a r t i n g a l es o l u t i o n ，f e l l e rp r o c e s s ，h y d r o d y n a m i cl i m i t ，c o r r e l a t i o n f u n c t i o n ，c r i t i c a lb e h a v i o r i v 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，足本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除论文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或者集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的 研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 日期：2 0 0 7 年1 2 月 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文 保密口，在一年解密后适用本授权书 本学位论文属于 不保密i 以 ( 请在以上方框内打“) 学位沦文作者签名：指导教师签名： 日期：2 0 0 7 年1 2 月2 日日期： i i 2 0 0 7 芷1 2 月2 日 第零章绪论 0 1 聚合分解模型 聚合分解模型是近几年较受关注的数学模型之一，其已被广泛用于大气物理 学，宇宙物理学，高分子化学，以及生物学等领域聚合分解模型最初主要用于研 究相互作用的粒子系统中不同大小粒子团数目随时问和空间变化的规律大部分 对此模型的研究者主要时寻求这种变化所满足的微分或积分方程，或足证明聚合 分解方程的解的存在性，唯一性等 聚合分解模型可分为确定性和随机性两大类目前从理论上对聚合分解模型 的研究主要限于是二项聚合分解的模型，即聚合反应时是两个粒子团参加反应形 成较大的粒子团，分解反应时是一个较大的粒子分解为两个小的粒子团这方面的 理论最初始于m v s m o l u c h o w s k i ( 1 9 1 6 ) 9 9 】的关于确定性的纯聚合模型的研究 m v s m o l u ( h o w s k i 推导出了粒子团密度满足的随时间变化的微分方程，即如果 用u k ( t ) ，k = 1 ，2 ，表示单位体积内的k 一阶( k - c l u s t e r ) 粒子团的密度，则 u 惫( ) ，k = 1 ，2 ，满足下列微分方程 ，1 k 一1o 。 丢u 七( z ) 2 壶础) u ( ) _ e ，g k , i u k ( 州) ，k = 1 2 2 ( 0 1 1 ) 方程( o 1 1 ) 被称为m v s m o l u c h o w s k i 纯聚合方程为后来， m o n t r o l l 和 s i m h a 9 0 】在1 9 4 0 提出并研究了纯分解模型对于同时具有聚合与分解的模型探 讨，应该始于b l a t z 和t o b o l s k y 1 6 ( 1 9 4 5 ) 的对在特定的常值速度下的高分子反应 系统的研究常值速度，在这里指的是聚合速度，分解速度都是不依赖时间和粒子团 的质量的常数以后便是b a r r o w 【1 1 1 ( 1 9 8 1 ) ，v a nd o n g e n 和e r n s t ( 1 9 8 3 ，1 9 8 4 ) 1 0 8 1 ， 【1 0 9 ， i 1 0 】等对此模型进行了更详细的研究自此，方程( o 1 1 ) 才得以推广为聚 合分解方程，即下列方程( 0 1 2 ) ， k 一1 爰u 础) = 去( 蚝u 舡) 睢m ) 一f i , k - i u k ) 一( k k , i u 惫( t ) u t ( t ) 一r ，池+ 南( ) ) ，k = 1 ，2 ， ( o 1 2 ) t = l 其中k j 只，j 分别为聚合核和分解核，都是非负的常数，且满足 k i ，j = 一e ，j = 弓，t 1 上海交通大学博士学位论文 方程( 0 1 2 ) 的前两项表示由于小粒子团的聚合成七一阶( k c l u s t e r ) 粒子团和 七一阶( k - c l u s t e r ) 的分解为小粒子团的变化速度，后两项是由于k 一阶( k - c l u s t e r ) 粒子团与其他粒子团的聚合和大于k 一阶( k c l u s t e r ) 粒子团的粒子团分解后生成 了七一阶( k - c l u s t e r ) 粒子团的变化速度 以上是关于空间齐次的聚合分解模型，即忽弱了粒子的扩散运动的影响实 际上，在多维空间里的热聚合情况下，粒子团间的反应和运动是受扩散控制的， 而由于场的作用，如粒子之间的电场，粒子系统外部的电场，磁场，以及重力和离 心力的作用粒子团的运动会被提升或足减弱如果粒子是悬浮于气体或是流体 等介子中，则这些中间介子的运动也会影响粒子团的聚合与分解 关于空间非齐次的模型，主要是f l a v i u sg u i a s 5 8 ( 2 0 0 1 ) 对带扩散的聚合分 解模型的研究，在这里他证明了非齐的聚合分解方程局部解的存在性，即下列的 方程( 0 1 3 ) = d k a u k ( t ) + 毒k 卜跳( t ) u k 一1 ( ) 一心凫( ) 玩t ( ) 一i = l = 1 o ok - 1 + r t ( ) 一专f k 惫( ) ，庇= 1 ，2 ， ( 0 1 3 ) 其中也是扩散系数，是l a p l a c e 算子 另外就是h e r b e r ta m a n n 3 ( 2 0 0 0 ) 关于质量连续型的聚合分解方程的解，在 一定条件下，h e r b e r ta m a n n 证明了下列方程( 0 1 4 ) 的解的存在性和唯一性 a 札+ a ( x ，t ，y ) u = t ( x ，t ，y ，乱) ， z r n ，t 0 ， ( o 1 4 ) u ( x ，0 ，y ) = u o ( x ，可) ， z r n 这里a 是扩散算子，r 是反应算子，u 同前面的定义，即粒子大小的分布函数 z 表示粒子所处空间位置，秒表示粒子团的大小或质量刻画系统的热动力行为 是反应项 r ( x ，t ，y ，u ) = c ( z ，t ，y ，u ) + ( x ，t ，y ，u ) + h ( x ，t ，y ) 其中聚合项 出 舭) ：= 三z k ( 州，秒) u ( y - y ) 乱( 可确秒 一u ( 秒) z o 。k ( z ，t ，可，可7 ) u ( ) d 可7 2 第零章绪论 分解项 厂( z ，可，u ) ：= z f ( z ，可7 ，可) u ( 可7 ) d y 一“( 可) 刍z 可f ( z ，t ，可，可7 ) u ( 矽) d 可7 注意：这里的聚合核k ( x ，t ，y y 7 ，可，) 分解核f ( x ，t ，y 7 ，可) u ( 可) 都是时间t ， 位置z ，以及质量y 的函数，而且分解项是多项分解，即质量大小为y 的粒子可以 分解为2 个以上的小粒子团 最后一项h ( x ，t ，y ) 表示在位置z 处新诞生的或系统外迁入的大小为可的粒子 数目的函数因此，方程( 0 1 4 ) 对应的模型要比( o 1 3 ) 对应的模型来得更广泛 些 0 2随机聚合分解过程的一些理论结果 从数学理论上对聚合分解相关问题的研究有两个方向；一是从确定性的模型 出发，去研究相对应的实际问题，如聚合分解方程的局部解，全局解的存在性和唯 一性，凝胶现象等二足建立随机模型，研究其随机过程的相关性质，或是用随机 过程的理论导出聚合分解方程，讨论其凝胶现象，凝胶时间的估计，以及对聚合分 解方程的解进行随机模拟等 1 随机聚合分解过程的构造 对随机纯聚合模型，d a v i dj a l d o u s 2 ( 1 9 9 7 ) 给出了关于几种常见的聚合核 的随机聚合的图示构造，以及对应于方程( o 1 1 ) 的解这里我们主要介绍一下质 量连续的j f ck i n g m a n 7 7 】( 1 9 8 2 ) 随机纯聚合模型的图示构造设( & ，k 2 ) 是一列相互独立的服从参数为( 5 ) 的指数分布的随机变量序列，因为e 罗& = o 。21 ( 5 ) = 2 ，所以我们可以定义随机时间勺= o 七o ：j + 1 & ，显然有 0 乃 您 1 设( ，j 1 ) 是服从( 0 ，1 ) 上的均匀分布的随机变量序列对每个j ，从( ，乃) 向( u j 0 ) 作一直线，见( f i 9 1 ) 3 上海交通大学博士学位论文 i lii 纵轴表示时间，当时间勺 t 乃一1 时，这样的构造将( 0 ，1 ) 分成。7 个子区 间，其分点为 o ，1 ，u 1 ，u j 一1 ) f i g1 表示在时间t = 0 5 时，( 0 ，1 ) 由5 个子 区间构成记x ( t ) 为t 时刻时所有子区间的长度的集合，则x = ( x ( ) ，t 0 ) 表 示随机聚合核为心，掣= 1 的随机纯聚合过程 质量离散的随机聚合分解模型可用如下的连续时间马氏过程描述 设 蛳( ) ，t o ) 是状态空间f 2 n = 矗 o ，1 ，2 ， ：k n k = ) 上的 m a r k o v 过程其转移速度为 其中， q 溯，= 圣l ：鍪蓁要三薹耋七f 砧= n o ，n l ，礼南一1 ，吼一l ，n k “+ 1 ，n n 如果k f 元刍= ? 2 0 ，n l ，竹七一2 ，t 1 2 k + 1 ，n n )如果k = l n 。k l = 他o ，n l ，扎凫+ 1 ，一，n l + l ，一，t t k + f 一1 ，亿)如果 七f n 。k l = n o ，n l ，礼惫+ 2 ，一，n 2 k 一1 ，n )如果k = l 一般情况下，要求妣，l i 仇，z 是对称的非负函数，并满足下列条件 0 咖知，z = f ，七，0 妒七，f = 嘲，屉，k ，f = 1 ，2 ， 马氏过程： 蛳( 亡) ，t o ) 对应的无穷小生成元可以写成 l g f ( g ) = 专m 元+ g ) 一，( 元) ) 】 t + 7 0 的条件下，他们证明了方程( 0 1 2 ) 有唯一平稳解， u ( z ) = 丽1 e 砒 2 凝胶现象( g e l a t i o n ) 由于粒子系统在对应于方程( o 1 2 ) 的相互作用的或动力条件下，既没有新粒 子的产生，也没有粒子的消失因此，应该有粒子密度的保守性即，如果我们假 定 m ，j ( u ) ：= k ，j u i u j 一只，j u i + j 则应该有 舰z 萎i ，互。( 郇肿s _ o 但是，在一定环境下，这种保守性并不总是成立一个最明显的例子就是纯聚合反 应，即，假定 只j = 0 ，k ，j = ( i j ) q i j = 1 2 e m h e n d r i c k s ，m h e r n s t 【6 9 ( 1 9 8 3 ) 证明了当q 主1 时，在有限时间内，粒子密 度的保守性将遭到破坏这种现象被解释为出现无穷大的粒子团，或称为出现凝 胶现象无论是从数学理论方面还是从物理，高分子化学等实际问题方面来看，聚 m i i 例坐腊 u厂厶眦 件条衡 平 致细是 劬 足 2 满 入 匕 中 际 其 实 第零章绪论 合分解模型的凝胶现象都是令人十分感兴趣的问题 对凝胶问题的研究，一般都限于对具体的聚合分解核的讨论对于一般的聚 合分解核，d o n gh a n 6 2 ，【6 4 】， 6 5 ( 1 9 9 5 ，2 0 0 3 ) 讨论了可逆的随机聚合分解的高 分子模型的平稳分布的形式；在这里他假定聚合分解核满足如下条件； a 只，j ( i4 - j ) = k ，j f ( i ) f ( j ) ， a 0 ( 0 2 6 ) 即赋予分解核一分解强度入 d o n gh a n ( 1 9 9 5 ) 6 2 】给出这个模型不变测度的显式，即 p j v ( 元) = 芝i 七n ：1 n ) ，( 忌) 】n 礼七! ， 其中 孙= 血 ( 万n ) m 旷伽小 由于不变测度的配分函数是参数入的函数，因此可以研究其临界行为值作 者讨论了确定临界值的条件即，如果记f 是f ( x ) ：= ef ( k ) x 知的收敛半径，并 假定 f 7 ( f ) + 。c ，f “( f ) = + 目 需= 一l i m 棚舄。 则临界值入。，由 a 。= f f ( f ) 确定 i n t a ej e o n 7 3 ( 1 9 9 8 ) 则给出了方程的( o 1 2 ) 凝胶解，并对满足一定条件的一 类凝胶核，给出现随机凝胶时间上界 另外，对于多项聚合分解过程，v a s s i l i n k o l o k o l t o v 【7 8 1 ( 2 0 0 4 ) 对七一( k22 ) 项聚合分解模型的流体动力极限做了一定的研究，但这里讨论的不是粒子密度场 的收敛问题 7 上海交通大学博士学位论文 聚合分解模型无论从确定性方向去研究还是从随机性方向去研究，都还有许 多问题有待于去研究a l d o u s ( 1 9 9 7 ) 在 2 】就给出了1 3 个开问题本文主要是研 究方程( o 1 3 ) 对应的随机模型，即非齐次随机聚合分解模型我们将考虑如下一 些问题： ( 1 ) 关于过程的存在性和唯一性； ( 2 ) 此过程的不变测度； ( 3 ) 流体动力极限； ( 4 ) 临界现象 8 第一章无穷维非齐次聚合分解过程的存在性和唯一性 1 1引言 随机聚合分解模型首先是由s m o l u c k o w s k if 9 9 ( 1 9 1 6 ) 提出的，他在研究b r o w - n i a n 运动的碰撞是提出的，并导出了关于碰撞聚合变化的微分方程自此，这个模 型被广泛推广d o n g e n ，e r n s tf 1 0 8 】， 1 0 9 ，f 1 1 0 ( 1 9 8 3 ，1 9 8 4 ) 和s p o u g ef 9 8 1 ( 1 9 8 4 ) 将s m o l u c h l o v s k i 聚合模型推广到聚合分解模型，即通常说的齐次聚合分锯模型 j e o nf 7 3 ( 1 9 9 8 ) 利用有限维的m a r k o v 过程的鞅性及鞅收敛性得到了s m o l u c k o w s k i 聚合分解方程的弱解。 非齐次聚合分解模型是指空间上的非齐次性，及粒子系统的变化除了聚合分 解外，备粒子团还在作扩散运动利用分析方法，a m a n n 3 ( 2 0 0 0 ) 和g u i a s 5 8 】 ( 2 0 0 1 ) 得出下列带扩散的聚合分解方程； 知一1 o oo 。 七一1 面d 乱屉= d k a u k + k 卜i u i u k 一1 一u 七玩，t + r ，t u t 一互1 r ，i u k ， 0 = 1z = ll = 詹十l0 2 l 其中d 七表示扩散系数大多数关于聚合分解模型的文章主要是考虑粒子团大小 的分布是不是能够作为时间和空间的函数满足某各聚合分解方程的解但对于这 样一个问题：当给定一个对应于聚合分解核的无穷小生成元，是否存在一个f e l l e r 过程与之对应呢? 及过程的存在性在这一章我们将利用马尔科夫过程的鞅问题 的解这一工具证明，存在唯一的f e l l e r 过程对应于给定的聚合分解模型的无穷小 生成元而且，从下节的定义1 1 中将会看到，我们所讨论的模型相对于g u i a s 5 8 】( 2 0 0 1 ) 的模型，要来得更广些 非齐次聚合分解模型可用下图示( f i ga ) ： 9 上海交通大学博士学位论文 f l 膏 k | l 敖 聚8 1 2符号及基本知识 在这一部分中我们将给出一些记号和相应的一些基本知识我们假设粒子系 统是在整数格子点上运动，并将每个格子看成一个小容器，在每个格子里，两个单 个粒子可以聚合成粒子团，这些粒子团进一步可以聚合成更大的粒子团，或者分 解成较小的粒子团或者单个的粒子另外所有的粒子团或者单个粒子可以跳到相 邻的位置去。 1 - 2 1 记号 设z d 是d 维整数格子点，n = o ，1 ，2 ) n + = 1 ，2 ) e = 4 ：a n z d x n + ) ，其中a = ( a ( x ，k ) ：a ( x ，k ) n ，z z d ，k n + ) ，因此月可以看成标记 取在z d n + 的矩阵，对每个z z d ，用a t ( z ，k ) 表示在位置z ，时刻t 的粒 子团大小为k 的数目，记n ( z ，k ) = a o ( x ，尼) 设l ，i 是z d n + 上的矩阵满足， o ( z ，i ) = 1 ，而其余元素均为0 的矩阵对a e ， 我们记 a i ，：= a + 毛，k l ，k ，如果i z y i = 1 ； a l j ：- - - - - a + i z 。i + j i z l i 。j a i t ，：= a l ，i + j + 厶，i + l ，j ； a 。：= ( a ( x ，1 ) ，o ( z ，2 ) ，) 1 0 第一章存在性和唯一性 这里，a t ，掣表示有一个七一阶粒子团从位置z 漂移到位置y ，a 刍巧在位置z ，发生 聚合反应，即 a ( x ，i ) + a ( x ，j ) 一a ( x ，i + 歹) ； a i 玎表示在位置z 发生分解反应： a ( x ，i + j ) _ o ( z ，i ) + o ( z ，歹) ； a 。表示在z 处不同粒子团的数目的大小分布 设有限子集z 知cz d ，且当_ o 。时，z 兔下z dx n ，m = ( a ：z z ；i ，七k a ( x ，k ) m ) ， x = uu x n ，m = lm = 1 在x m 上定义范数 i = 丽1 凸( z ，忌) ， i i a i i f _ j j 乞 o 。 z z 膏 其中乞是z d _ 兄+ 的函数满足条件：存在常数m 使得对任意的z z d 有 屯m l z 暑，： 曼，一z 6 例如，乞= e - i 圳就能满足上述条件因此我们所讨论的过程的状态空间是 x = a ：a x ，l ii a i i i f o 。】 自然地，对任意的a ，a 7 x ，定义空间上刘的距离 d ( a ，a ，) = a 一钏i f = i 一a z l l l 2 可以证明( 对，d ( ) ) 是一个完备可分的距离空间记岛为在范数j l j i 下的l i p - s c h i z 函数空间，即，满足条件。对任意的a ，b x 2 ，存在l 使得 l f ( a ) 一 厂( b ) i b l l l a b i i i t 的函数f ：x 2 _ 兄的空间 现在我们给出模型的无穷小生成元： 11 上海交通大学博士学位论文 l f ( a ) = l d ，( a ) + l k ，( 4 ) + l f f ( a ) ， ，c f ，a x 2 ，( 1 2 1 ) 具中 l d f ( a ) = 南9 ( 。( z ，七) ) ，( a ：) 一，( a ) 】， y , x ：l x - y l = l k l k f ( a ) = k ，j g ( n ( z ，i ) ) 夕( ( nx ，歹) ) 一 ，( a 翱一，( 觚 l f f ( a ) = r ，j g ( 口( z ，i + 删，( a i 巧) 一，( 觎 ( 1 2 2 ) g ( ) ：n _ 兄+ 是扩散速度， 。，j 和r ，分别为聚合分解核；我们规定夕( 0 ) = o ； e ，= r 翥z 从上面可以看出l d ，l k ，l f 分别表示扩散，聚合和分解核。从( 1 2 2 ) ) 中，我们 知道( 1 2 1 ) 有三个转移速度： ( i )a _ a ! ，掣的速度为夕( o ( z ，庇) ) ： a a 妄玎的速度为蚝，j 夕( n ( z ，t ) ) 夕( o ( z ，j ) 一瓯，j ) ； a _ a i 嵇的速度为e ，j g ( a ( x ，i + j ) ) 定义1 1 如果存在对应于无穷小生成元( 1 2 1 ) 的m a r k o v 过程， m a r k o v 过程为非齐次随机聚合分解过程，简记为h c f p 为了证明无穷维的非齐次随机聚合分解过程的存在性和唯一性， 一些有关的基本知识 1 2 2 基本知识 则我们称此 我们先给出 设d ( 【o ，t ) ，x 。) 表示所有具有右连续，左极限的函数空间，即从 o ，t 到距离 空间( x 。，d ( ) ) 的函数，记莎是d ( o ，丁】，x ) 上的最小的盯一代数，并装配标准 的盯- 流磊= a a ( s ) ：s 班则d ( o ，丁) ，x 2 ) 在s k o r o h o d 拓扑下是完备可分的 空间( 见s n e t h i e ra n dt g k u r t z 4 5 ( 1 9 8 6 ) ) 我们定义m a r k o v 过程以及一个算子己的鞅问题的解如下( 参见t m l i g g e t t 8 5 】1 9 8 5 ) 1 2 第一章存在性和唯一性 定义1 2 具有下列性子的d ( 【o ，丁) ，x 2 ) 上一族概率测度 p a ，a x 0 称为m a r k o v 过程； ( 1 ) 对任意的a x 2 ，有尸a 【a ( ) d ( o ，丁) ，x 2 ) ：a ( 0 ) = a 】= 1 ( 2 ) 对每个o 夕，映射a _ 尸a ( p ) 是可测的 ( 3 ) 对每个a x 2 和p 莎，有p 1 4 ( s + ) o l 玩 = p a ( 8 ) ( p ) a sp a 定义1 3 空间d ( o ，丁 ，x ) 上的一个概率测度p 称为算子l 的鞅问题的解，如果 ( a ) 对任意a 刘，有p ( a o = a ) = l ； ( b ) 对任意的f d ( l ) ，f ( a c ) 一厝l f ( a ( s ) ) d s 是一个关于舅的p 一鞅，其 中口( l ) 表示的定义域如果对任意的a x 2 ，鞅问题的解存在并且唯一，则 称算子l 的鞅问题足适定的( w e l lp o s e d ) 通常简单记p a 表是示l 的从a 出发 的鞅问题的解 1 3主要结论和证明 给定下列假定条件： h 1 ：夕( ) 是n + 上的满足 夕木：= s u pl g ( k + 1 ) 一g ( k ) i o 。， 南0 的单调不减函数； h 2 ： s u p ，夕( q ( z ，七) ) 乞 0 0 ， a e x a s u e x p l 莓莓蚝拶 ( 2 ，。”咖扛。) - - 6 i , j ) 2 “孵 ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) s u p 莩e f i 删z ，i 圳k ， ( 1 3 4 ) 则我们有下列结论： 1 3 上海交通大学博士学位论文 定理1 1 对任意的a x o ，由( 1 2 1 ) 给出的算子l 的鞅问题的解p a 是适 定的( w e l lp o s e d ) 定理1 2 对应于( 1 2 1 ) 的算子l ，存在唯一的一个f e l l e r 过程 p a ，a x 0 满足 l j 署堕巡必：l f ( a ) ， a x 2 (135)t上0 、 我们称f e l l e r 过程 p a ，a x 0 为非齐次的聚合分解过程 为了证明定理1 1 和定理1 2 ，我们需要证明下面一些引理 首先，我们引入l n 。m 对于给定的和m ，我们定义，对任意的f c f ， l n ，m y ( a ) z g , m f ( a ) l 衢m 厂( a ) l 另m ，( a ) =l 舅，m ，( a ) + 己衢，m ，( a ) + l 焉，m ，( a ) ( 1 3 6 ) = 刍夕( 。( z ，尼) ) ，( a ! ，可) 一，( a ) ， 毫，z z 夤，：i z 一掣i = 1k m = k ，j 夕( 凸( z i ) ) 夕( ( o2 7 , j ) ) 一瓯，j ) ，( 镶，) 一，( a ) 】 z e z j vi , j m = r ，j 夕( 凸( z ，i + 删，( j ) 一，( 斜 z z j ：r2 0 ，存在- y 0 使得 1 ，i m s u pp n ，m 【a d ( o ，丁】，x n ，m ) ：u a ( 7 ) r 】r ， n 口_ o o 其中u a ( 1 ) 定义如下， u a ( 7 ) ：= i n “f 。m i a x n 。，s 仁u 。一p ，。) d ( a ( s ) ，a ( 。) ) ， ( 1 3 7 ) 下确界取所有对给定的n 1 的分割 t i ：0 i 礼) 使得 o = 芒o 1 一1 ：a n , m ( s ) a n , m ( s 一) ) ，n 1 则表示a n , m ( t ) 连续跳的时刻现在设 o i