（应用数学专业论文）非线性微分方程边值问题的解及其应用.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 非线性微分方程边值问题的解及其应用 摘要 非线性泛函分析是现代分析数学的个重要分支，因其能很好的解释自然 界中的各种各样的自然现象受到了越来越多的数学工作者的关注其中，非线 性边值问题来源于应用数学和物理的多个分支，是目前分析数学中研究最为活 跃的领域之一本文利用锥理论，不动点理论，k r a s n o s e l s k i i 不动点定理等研 究了几类非线性微分方程奇异边值问题解的情况，得到了一些新结果 根据内容本文分为以下三章： 第一章通过建立特殊的锥，并应用锥上的不动点理论研究了一类奇异m 点边值问题 ( p ( t ) z ( t ) ) 一q ( t ) xc t ) + f ( t ，$ ( t ) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， 州o ) 曲( 0 净，( 0 ) 2 萎叩心) ( 1 - 1 1 ) m - 2 ( 1 ) + d p ( 1 ) 一( 1 ) = 肪( 钔， l = l 正解的存在性，推广了某些已知的结果 第二章通过建立特殊的锥，利用锥拉伸与压缩不动点定理研究了下列一 类p - l a p l a c i a n 算子型的奇异边值问题正解的存在性 似，) ) ，却o ) ，( t 一) + “亡) “t = o 0 “， ( 2 1 1 ) 【u ( o ) = ( 1 ) = 0 ， 其中c p ( x ) = h p - 2 为p 1 记如( z ) 为嘞( z ) 的逆，即如( 。) = 川q - 2 。，；+ ；= 1 建立了边值问题( 2 1 1 ) 存在一个、两个、三个正解的一系列充分条件 第三章应用范数型的锥拉伸与压缩不动点定理，得到了a 的确切区间， 曲阜师范大学硕士学位论文 对于此区间中的任一奇异边值同题 u ( 4 ) ( t ) 一a n ( t ) ，( t ，) = 0 ，0 t l ， a l u ( o ) 一风t ，( o ) = 0 ， n u ( 1 ) + 6 1 d ( 1 ) = 0 ，( 3 1 1 ) a 2 d ( o ) 一岛( o ) = 0 ， 能( 1 ) + 如t ，( 1 ) = 0 ， 至少存在个正解我们的结果包含了奇异和非奇异的情况。推广了许多已知 结果 关键词，不动点定理；边值问题；正解；锥 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e r na n a l y s i s m a t h e m a t i c s ，b e c a u s ei t c a l le x p l a i na l lk i n d so fn a t u r a lp h e n o m e n a ，m o r e a n dm o r em a t h e m a t i c i a n sa r ed e v o t i n gt h e i rt i m et oi t a m o n gt h e m ，t h e n o n h n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mc o m e sf r o mal o to fb r a n c h e so fa p p l i e d m a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s ，i ti sa tp r e s e n to n eo ft h em o s ta c t i v ef i e l d st h a ti s s t u d m di na n a l y t i c a lm a t h e m a t i c s t h ep r e s e n tp a p e re m p l o y st h ec o n et h e o r y , f i x e dp o i n ti n d e xt h e o r y , a n dk r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e ma n d8 0o n ，t o i n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fs o h r t i o n st ob o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fs e v e r a l k i n d so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h er e s u l t so b t a i n e da r ee i t h e rn e w o ri n t r i n s i c a l l yg e n e r a l i z ea n di m p r o v et h ep r e v i o u sr e l e v a n to n e su n d e rw e a k e r c o n d i t i o n s t h et h e s i si s & v i d e di n t ot h r e es e c t i o n sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，b yc o n s t r u c t i n gas p e c i a lc o n ea n da p p l y i n gt h ef i x e di n d e x t h e o r yi nt h ec o n e ，t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o ra c l a s so fs i n g u l a r m - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s + ，( t ，z ( t ) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， 儡z ( ， ()s= l 跏( 铂， i si n v e s t i g a t e d ，w h i c hi m p r o v eo ns o m ek n o w nr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，b yc o n s t r u c t i n gas p e c i a lc o n ea n da p p l y i n gt h et h e o r e m o nc o n ee x p a n s i o na n dc o m p r e s s i o na n daf i x e dp o i n tt h e o r e mo nc o n e ，w e i n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rs o m es i n g u l a rb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mo fp - l a p l a c l a no p e r a t o r 班 0 一 ” 功 咖 w 曲 砌 z ) ， 晰 删 删 ( c a ) ) + o ( t ) ，( t ，+ 6 ( d “岛u ) = o o 1 如= ( 如) 一，；1 + = 1 a s u f f i c i e n tc o n d i t i o n s o fb o u n d a r yv a l _ u ep r o b l e m ( 2 1 1 ) i n c l u d i n go b e ，t w o ，t h r e ep o s i t i v es o l u t i o n s a r eo b t a i n e d i nc h a p t e r3 ，b ym e a n so ft h ef i x e dp o i n tt h e o r e m so ft h ec o n ee x p a n s i o n a n dc o m p r e s s i o no fn o r mt y p e ，a ne x p l i c i ti n t e r v a lf o rai sd e r i v e ds u c ht h a tf o r a n yai nt h i si n t e r v a l ，t h ee x i s t e n c eo fa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o nt os i n g u l a r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m 牡( 4 ( t ) 一a a ( t ) f ( t ，u ，) = 0 ，0 0 ，t ( 0 ，1 ) 本章我们假设有下列条件： ( h 1 ) p c 1 ( 【o ，1 】，( 0 ，o o ) ) ，g e ( o ，1 】 ( 0 ，o o ) ) ( 巩) a ，c 【0 ，o o ) ，b ，d ( 0 ，+ o 。) 且a c + a d + b c 0 ，吼，屈【0 ，o o ) ， 。 1 ，m 一2 ) ( 风) ，c ( ( o ，1 ) ( o ，o o ) ，( o ，o o ) ) 且存在h ( t ) e ( ( o ，1 ) ， o ，o o ) ) ，g ( t ) c ( ( o ，) ，【0 ，o 。) ) ，使得v t ( 0 ，1 ) ，z ( 0 ，o o ) 有 r i y ( t ，z ) ( ) 9 ( z ) ，0 0 ，t 【0 ，1 】 同文【9 】，设 a = m - 2 一啦妒( 矗) i = l m - 2 p 一反妒( 6 ) l = 1 则由l i o u v i l l e 公式知 定义 容易看出 m - - 2 p 一0 l ( i = l m - 2 一反毋( l = l p = p ( o ) i 毋( o ) 妒( o ) 。 “j ( o ) ( o ) i 粥粥 l = 常数 g 扣凇端糍葛蛩 z 0 g ( t ，8 ) g ( s ，s ) ，05s ，t 1 ( 1 2 4 ) 3 第一章非线性奇异微分方程边值问题的正解 问题 引理1 2 2 设( 日l ) 和( 凰) 成立再设0 则对任意的y c o ，1 】 ip ( t ) z ( t ) ) ( t ) 一g ( t ) z ( t ) + y ( t ) = 0 ， t ( 0 ，1 ) ， ，m - - 2m - - 2 卜。) - 泖州。善酬乩础) + d p ( 1 帅) 2 萎酬引 ( 1 2 5 ) 有唯一的解 厂l z ( t ) = g ( t ，s ) y ( s ) d s + a ( y ) 砂( t ) + b ( 可) 毋( t ) ，( 1 26 ) 其中 的) = 去 b ( ) = 五1 r n - - 2 詹g ( 已，s ) y ( s ) d s i = 1 m - - 2 p 一o ，嘛) l = 1 m - - 2仇一2 鼠詹g ( 6 ，s ) y ( s ) d s 一展他) l = ll = l m - - 2 一a 。妒( 6 ) t = 1 ，n 一2 p 一晟妒( t = 1 r n - 2 q 。詹g ，s ) y ( s ) d s t = 1 m - 2 e 岛s o g ( 6 ，s ) y ( s ) d s z = l 引理1 2 3 设( 凰) 和( 王如) 成立又设 m - - 2 r n - - 2 ( 日j ) 0 ，p 一屈妒( 6 ) 0 1 = l z = l 则对任意的y c o ，1 】且y 0 ，问题( 1 2 5 ) 的唯一解x 满足 z ( t ) 0 ，t 【0 ，1 】 4 ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 注1 2 1 由( 1 2 3 ) 式和引理1 2 1 ，对任意t 【o ，1 】，我们有 盟凄：端，o j t 1 ， j 希，o 8 st l ， g ( s ，s ) 【爱3 ，0 t 5 1 ，。i 责b ，0 t s i 令，y = l n i n 焉，赢) ，则c ( t ，s ) 7 g ( 即) ，t s 【0 ，l 】 注1 2 2 因为，y = r a i n 希，击 ，根据妒( t ) 的单调性，可得，ys 布= 器黼，故妒( t ) ，y 妒( 1 ) 同样地，根据咖( t ) 的单调性，我们有 7 s 鑫= 器s 瓣，所以2 w ( o ) 注1 2 3 由( 风) - - t 知，存在r ( 0 ， ) ，使得0 0 ， 存在6 0 ，使得对任意t l ，如【o ，1 】，l t l t 2 l 6 时。有 | g 。 ) _ g ( t 2 曲i 丽嚣r a i n 高g ( s 蒜， ，s ) 眇o i ) 叫 2 ) l 丽研赢而面， 渺o o 叫( t 2 ) l 瓦瓦秀丽。 因此。对任意z d ，t 2 o 1 】，i t l 一屯i 0 ，存在自然数m ，当m m 时，有 ， g(s，s)i厶(8，2；mi8)一厶(驴(8)协 m 可得， l i t u 。一死u 0 ，l 2 0 r e = i j 。g i t , 8 ) 厶( s ，z m ( s ) ) d s + a ( 厶( 8 ，z m ( s ) ) ) 妒( ) + 日( 厶( 8 ，x m ( 8 ) ) ) ( ) r i 一g 0 ，s ) ，n 0 ，x ( s ) ) d s a ( 厶0 ，$ ( s ) ) ) 妒( ) 一b ( 厶1 8 ，z ( s ) ) ) ( ) 】 j 0 r 1 g 0 ，s ) l 厶( s ，z 。( s ) ) 一厶( s ，x ( s ) ) l d 8 j 0 + a “厶( s ，z 。( s ) ) 一厶( s ，z ( s ) ) f ) 妒( 1 ) + s ( i 厶( 岛z 。1 8 ) 一厶( s ，z ( s ) ) i ) 妒( o ) 广1 ( 1 - 4 - a 妒( 1 ) + b e ( o ) ) g ( 8 ，s ) i 厶( 8 ，x m ( 8 ) ) 一厶( s ，x ( s ) ) l d 8 0 和l 0 使得 zg ( s 一忡) d s l ( 1 。2 )2 g ( 驴) 幽 ， 业塑 上( 1 3 2 ) j fz 叶十o 。7 s 蛭l rz 则边值问题( 1 1 1 ) 至少存在一个正解，其中砑= m a x = h 且i + 捌9 ( z ) ，y ，a 和 b 分别由注1 2 1 ，( 1 2 1 4 ) 式和( 1 2 1 5 1 式给出 证明首先，来证明当n 充分大时，有 t z a z ，z a q r ，a 1 ( 1 3 3 ) 事实上，若存在x o o q r 及a o 1 使得a o x o = 死z o ，则对任意n ，有z o ( t ) t z o ( t ) ，t o ，l 】取充分大的n 使得n 去，则我们可得 z o ( t ) s ( 死x o ) ( t ) r l = a ( t ，s ) 厶( s ，z o ( s ) ) d s + a ( 厶( s ，跏( s ) ) ) 妒( t ) + b ( 厶( s ，x o ( s ) ) ) 咖( t ) j 0 ，i 上g ( 8 ，8 ) 厶( 8 ，跏( s ) ) d s + a ( 厶( s ，知( s ) ) ) 妒( 1 ) + b ( 厶( s ，z 。( s ) ) ) 西( o ) ( 1 + a 妒( 1 ) + b e ( 0 ) ) g ( s ，s ) 厶( 8 ，z o ( s ) ) d s ( 1 + 训) + 酬o ) ) z 0 1 忡) 9 ( m a x 传n 州s ) ) ) d s j lj ( 1 + a 妒( 1 ) + b ( o ) ) 彳g ( s ，s ) h ( s ) d s l z ，t 【丁，1 7 - 1 ( 1 3 5 ) 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 取足 兄，y r l 可断定当，l 充分大时 瓦霉妇，v x a q 尉，a ( 0 ，1 】( 1 3 6 ) 若( 1 3 6 ) 式不成立，则存在$ l o q r , 及( 0 ，l 】，使得a 7 z l = t x 1 同样 地，选取充分大的n 使得n 击因此有 z l 【t ) ( 1 二x l _ ) c t ) ， = g ( t ，8 ) 厶0 ，z l ( s ) ) d s + a ( 厶( s ，z l ( s ) ) ) 妒( t ) + b ( 厶( s ，z 1 ( s ) ) ) 毋( t ) j 0 上g ( 。，8 ) 厶( 8 ，z i ( s ) ) d s ，y 上f , 1 g ( 8 ，s ) 厶( s ，石l ( s ) ) d s ，ir p i - - tp l - r l 7 g ( 8 ，s ) z l ( s ) d s l r ，y 2 g ( s ，s ) d 8 j f j t 此与z t a q r , 相矛盾，故( 1 3 6 ) 式成立 另一方面，对任意z a q 凡，我们有 ，l j i t n x l i g ( ，s ) 厶( s ，x ( s ) ) d s + a ( f n ( s ，z ( s ) ) ) 妒( ) + b ( 厶( s ，z ( s ) ) ) 西o ) j 0 ，1 ，1 - 7 g ( ，s ) 厶( s ，x ( s ) ) d s 7 g ( s ，s ) 厶( s ，x ( s ) ) d s ，0j 7 l r 1 一t 芝l ，y g ( s ，s ) x ( s ) d s 芝硝，y 2 g ( s ，s ) d s ，r，r 故i n l i i t n x l i 0 由引理1 1 2 可知，。( t ，q r , ，口) = 0 因此由不动点 指数的可加性可得 l ( 矗，q 彤z k ，q ) = l ( t ，q r , ，q ) 一z ( t ，q 冠，q ) = - i 从而存在z 。q 彤玩，使得矗z 。= z 。 不失一般性，设n n o 令d = n 。是方程( 1 2 1 1 ) 的一列解不 难证明d 是一致有界的下面来证明 z 。 。2 ，o 在【o ，1 】上等度连续很明显 只需证明。魄( z n ( t ) 一( o ) ) = 0 ，t 骢( ( t ) 一z n ( 1 ) ) = o 关于n n o 是一 第一章非线性奇异微分方程边值问题的正解 毁时且征【盯，1 一盯jc 【u 1 ) 是寺发建族日可，再甲盯【0 ，i 2 ) 是仕= 窟：小明 正数 下面我们证明 l i r a + ( z n i t ) 一z n ( o ) ) = o ( 1 3 7 ) 根据( 1 2 9 ) 式可知 ，i x n ( t ) 一( o ) = g ( t ，8 ) f n ( s ，$ ( s ) ) d s + a ( a ( s ，茁( 8 ) ) ) 妒( t ) + b ( ，n ( s ，z ( s ) ) ) ( t ) j 0 一t g ( 。，s ) 厶( 8 ，z ( s ) ) 如一a ( 厶( s ，z ( s ) ) 妒( 。) 一b ( 厶( s ，z ( s ) ) ( 。) = ；( z 。妒扣) 厶( 毛正( s ) ) d s + ；( 妒( 亡) 一妒( 。) ) z 1 妒( s ) 厶( s ，z ( s ) ) d s 一；( 。) z 。妒( s ) 厶( s ，z ( s ) ) d s + a ( 厶( s ，z ( s ) ) ) ( t ) 一妒( 。) ) + b ( ( s ，。( s ) ) ) ( ( t ) 一( o ) ) ；( 。z 。；( s ) h ( s ) 9 ( m a x ：，z ( s ) ) ) d s + ；( 妒( 一砂( 。) ) ，1 ( s ) ( s ) 9 ( m a x 丢，z ( s ) ) ) d s 一；( 。) z 。砂( s ) ( s ) 9 ( m a x 去，z ( s ) ) ) d s + a ( ( s ) g ( m a x 寺，z ( s ) ) ) ) ( 妒( d 一妒( 。) ) + b ( ( s ) 9 ( m a x ：，z ( s ) ) ) ) ( ( 0 ) 一( 功) ；朋j 咖( t ) z 妒( s ) ( s ) 如+ ； 矗( t ) 一妒( 。) ) 1 ( s ) ( s ) d s + ；( 。) 缸z 妒( s ) ( s ) 如+ a 厶 ( t ) 一妒( 。) ) z 1 g ( s ，s ) ( s ) d s + b 尬( 们) 一) ) z 1 g ( s 啪瓠 f 1 3 8 1 曲阜师范大学硬士学位论文 由于 z 。 。 n o 一致有界，故b ( ) 。蛳是有界的因此，存在正常数畅使 得怕( ) l l 0 ，存在j l ( 0 ， ) ，当t l , 坛【0 ，l 】，i t l t 2 i 6 1 时，有 l i t , t g ( 即) 耶) 如j e ( 1 s ) 因此由f 1 2 3 1 及f 1 3 1 3 1 式我们有 ) z 帅) m ) 如o t g ( 耶) m ) 如 e ，t ( 0 m 们) 小啪( s ) d s t l ，有 z 。( 如) 一x n ( t t ) = fg ( t 2 ，s ) 厶( 8 ，z ( s ) ) d s + a ( 厶( s ，z ( s ) ) ) 妒( t 2 ) + 8 ( 厶( 8 ，z ( s ) ) ) 妒( t 2 ) ，0 一g ( t l ，s ) 厶0 ，x ( s ) ) d s a ( 厶( 8 ，z ( 8 ) ) ) 妒( ) 一b ( 厶( s ，z ( s ) ) ) 毋( 1 ) ；( ( t z ) 一( t t ) ) z “妒( s ) 厶( s ，z ( s ) ) d s + ；庐( t 。) z “妒( s ) 厶( s ，。( s ) ) d s + 如。h m ) ) r 如挑小) ) d s 一知) 小珊一圳d s 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 + a ( 厶( s ，z ( s ) ) ) ( 妒( t 2 ) 一妒( t 1 ) ) + b ( 厶( s ，z ( s ) ) ) ( 毋( t 2 ) 一妒( t 1 ) ) ( 1 3 1 5 ) 因为 ；z “妒( s ) ( s ) d ss ：z 1 g ( s ，s ) ( s ) d ，( 1 3 1 6 ) ；f 郎) ) 幽一i o g 啪如 ( 1 3 1 7 ) 沁) r 2 蝴蜒2 g ( s 蜘冲，( 1 , 3 , 1 s ) 知) 2 蝴d s 2 g ( s 啪( s ) d s ( 1 3 1 9 ) 再由( 1 3 1 5 ) 一( 1 ，3 。1 9 ) 式有 眦2 ) 一z n ( t o i 舰( i + a ) ( 北) 一m ) ) 上g ( s s ) ( s ) 如 1，l + 坛( ：+ 剐) 一挪。) ) ：1 g ( s s ) 蜘) 如( 1 3 2 0 ) + 2 坛f g ( s s s ) d s 根据( 玛) ，( 1 3 9 ) - ( 1 3 1 4 ) ，( 1 3 。2 0 ) 式和函数妒( ) 和妒的连续性知，d 在 【盯，1 一o 】上是等度连续的 从以上证明可知，d 在【0 ，1 】上等度连续由a s c o l i a r z e l a 定理序列 z 。) 。帅w - - 4 在【0 ，1 】上一致收敛的子列不失一般性，我们设 z 。) 一致 收敛到茹f 0 ，1 1 根据l e b e s g u e 控制定理知，z 是( 1 1 1 ) 的一个正解 第二章一类奇异边值问题正解的存在性 2 1 引言 考虑下列p - l a p l a c i a n 算子型的奇异边值问题正解的存在性 九! o y + d ，南“) + 6 ( 。) 夕( t ) = o ，o 。 1 记九( z ) 为如( z ) 的逆，即如( z ) = 川4 - 2 z ，；+ ；= 1 此外还假设 ( 鼠) ，g ：【0 ，1 】 0 ，o o ) 寸【0 ，o 。) 连续； ( 岛) 口，b ：( 0 ，1 ) _ 【0 ，o o ) 连续，且o ( t ) ，b ( t ) 在t = 0 ，t = 1 允许是奇异 ( 3 ) a ，b 满足下列积分条件 。 z 5 如( ，5c c r ，+ 。c r ，d r ) 幽+ z 1 庐。( z 8 c 。c r ，+ a c r ，咖) 幽 具有奇性的常微分方程出现在气体力学、流体力学，边界层理论等应用学 科中，非线性微分方程的奇异边值问题是微分方程领域中一个十分重要的研究 领域( 参见文 1 6 - 2 0 ，2 3 1 ) 对于具有p - l a p l a c i a n 算子型的奇异边值问题也有 很好的结果，参见文 1 5 1 6 ，2 1 2 5 】及其参考文献p = 2 时，文【2 0 】在 f ( t ，u ) 三，( u ) ，g ( t ，让) 三g ( u ) 情形下得到s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题( 2 1 1 ) 存 在c 1 【o ，1 】正解的充分必要条件文 2 4 】应用不动点指数定理讨论了一类具 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 p - l a p l a c i a n 算子型奇异边值问题 0 ， 0 ，0 t 0 ，t ( 0 ，1 ) ，且如( “) 在【0 ，1 】上绝对连续 2 2 预备知识 记e = c o ，1 】，0 i i 为e 的最大值范数，在e 中构造锥k 如下： = 扎e ：u c t ) 是e 上非负上凸函数) 定义算子a ：k _ 汹m ，= 膦黧篡黧兰篡溜三 9 1 ( t ) = 9 2 ( t ) 1 7 ( 2 2 2 ) i i i i ，r 、，、， 5 “ 耖 ， m 扛扛 m v 冶 i i 吼 勉 + + ， 汪 y y 芦 、，、， 卿柳。 一 硼 ，_i_r，、_l_l 第二章一类奇异边值问题正解的存在性 的解，其中 夕( t ) = z 妒。( ，( 。( r ) ，( r ，“( r ) ) + 6 ( r ) 夕( r u ( 州) d r ) 出，。t 1 ， 晚( t ) = ，1 。( ，5 ( 8 ( r ) ，( r ，让( r ) ) + 6 ( r ) g ( r ，让( r ) ) ) 出) d s ，。 1 显然，夕i ( t ) 在 o ，1 ) 上连续单调增，r g l ( o ) = 0 ，9 2 ( t ) 在( 0 ，1 】上连续单调 减，且9 2 ( 1 ) = 0 ，故方程夕1 ( t ) = 9 2 ( t ) 在( 0 ，1 ) 有解，并且，如果r 1 ，啦【0 ，l 】， r 1 啦是( 2 2 2 ) 的解，则有n ( s ) ，( 3 ，t ( 8 ) ) + 6 ( s ) g ( 8 ，( 3 ) ) 三0 ，在【叩l ，嘲 上因此这样定义算子a 是合理的容易证明问题( 2 1 1 ) 有解等价于算子a 有不动点，由算子a 的定义，可以证明a ( k ) ck ，( a ) ( t ) 满足问题( 2 1 1 ) 的边值条件且 ( a “) ( 盯) ) _ m a x j ( a 钍) ( 。) 由于 ( a 让) ( t ) = ( 口( s ) ，( s 钍( s ) ) + ( a ( s ) ，( s ，“( s ) ) + 在( 0 ，1 ) 上连续，非增的且( a n ) ( 盯) = 0 ，又 0 t 矾 盯t 0 是常数，且满足l l 珏l l o 0 、，l s s 吐 d 、，、j、)、j s s ，k，l f zl，一 如 如 ，ii-_ic，il【 曲阜师范大学硕士学位论文 i i a u l l = ( a 牡) ( 仃) = z 4 如( ，9 ( 。( r ) ，( r ，钍( r ) ) + 6 ( r ) 夕( r ，乱( r ) ) ) d r ) d s 墨c k q ( m o ) f 0 4 妒。( ，9 ( 。( r ) + 6 ( r ) ) d r ) d s 故a c d ) 在c o ，1 】中有界 ( i i ) 对v 札d ，当0 t l t 2 盯u - t ，有 c a u ) ( 啪叫州蝴i 小( ，4 r ) ，( r 嘶川咖( r ，吣) ) ) d r ) 如 妒。( 朋b ) ，ff 4 ( n ( 。) + 6 ( s ) ) d s lh t 2 f 如( ) 九u ( n ( s ) + 6 ( s ) ) 如弘一2 2 | 当盯st l t 2 时，有 池) - ( 螂：胚f 如( z 。r ) ，( r m m 咖( r 心) ) ) ) 如 s 姒) 妒。( z 1 ( 口+ 6 ( 圳如) | t l _ t 2 i 当t 1 口t 2 时，有 l ( j u ) ( 1 ) 一( a u ) ( t 2 ) i s i ( a 牡) ( t 1 ) 一( a u ) ( 盯) i + l ( a “) ( 仃) 一( a u ) ( t 2 ) i s 小( 小彬( r 嘶川咖( r 心) ) ) 咖) 幽 + z 缸咖。( z ( 口( r ) ，( r ，钍( r ) ) + 6 ( r ) 9 ( r ，“( r ) ) ) d r ) d s s 如( ) 九( z 4 ( 。( s ) + 6 ( s ) ) 如) p t 1 ) + 九( ) 如( z 1 ( 。( s ) + 6 ( s ) ) d s ) 他一口) 5 n n a x ( z 4 ( 口( s ) + 6 ( s ) ) d j ) ，( z 1 ( 。( s ) + 6 ( s ) ) d s ) e b , ( m o ) l t a t - i 第二章一类奇异边值问题正解的存在性 因此a ( d ) 是等度连续的 ca地m，=多：泛：；：；二：芝：l：；：；：三二|二： ( a 仳；) 池) 如( ) z 1 九( ，1 ( 。( r ) + 6 ( r ) ) d r ) d s ( 2 2