（概率论与数理统计专业论文）几乎处处极限定理.pdf

摘要 本文由三部分组成第一部分研究了强相依平稳高斯向量序列最大 值的几乎处处极限定理主要结论如下： 定理a 设 x 。) 。 1 为d 维标准化平稳高斯向量序列，其相关系数 r 0 ( s ) 满足条件( 2 1 ) ，( 2 2 ) 和( 2 3 ) 则当x r d 时，有 lim雨1翔，(必x)邓一p)(x)nss=l 8 n - - ，o o l o ga s 一 、” 一 第二部分主要讨论了不完全样本下独立同分布序列最大值与最小 值的联合极限分布及其几乎处处极限定理，并在一定条件下将其推广到 弱相依平稳高斯序列情形，得到如下结论： 定理b 设独立同分布序列 蟛) 满足条件a 1 和a 2 ，那么 0 粤巴p ( w n m n a 纭 t , n ，z , n 为独立同分布序列，其公共分布函数为f ( z ) 且满 足条件a 1 若 锄) 。2 1 与 雄) 独立巨满足c o v ( e i ，勺) = 0 ，i j 及( 3 2 ) 那么 溉志去， 叫膏 m ks 磁u k ，z k m l 峨) = e p ( 力+ 亿) e - ( 1 一p ) ( 乃+ 7 - 4 )n s 定理d 设 ) 为标准化平稳高斯序列，其相关系数列 r ( n ) ) 满 足条件r ( n ) l o g n 一0 ，扎一。o 若 ) 与 k 独立且t n 三p ( o ，l 】， 习b 么当x 2 z l ，y 2 y 1 时， l i m p 【一t ( 可2 ) 而 m n 口n ( z 2 ) ，- - u 。( 耄，1 ) m n 冬m n u n ( z 1 ) n _ = e x p ( - p ( e 一却+ e - - y 2 ) ) e x p ( - ( 1 一p ) ( e 一胡十e - - y 1 ) ) ， 其中u n ( 名) = a n z + b 。，z r 定理e 假设条件c a c 3 成立，若x 2 x l ，眈 y x ，那么 。l i m 1 薹1 ，【一牡知( 驰) 衙七五不u k ( 。z ) ，一u 女( 秒) 0 ，使得 1 p k2 ( 1 0 9 k ) 6 1 那么 撬去荟警= 1 们_ 关键询：平稳高斯序列；几乎处处极限定理；最大值；最小值；不完 全佯本；部分和乘积；局部几乎处处极限定理 2 a l m o s tsu r el i m i tt h e o r e m m a j o rlp r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s t u t o r ：p r o f p e n gz u o x i a n g a b s t r a c t s p e c i a l i t y ：p r o b a b i l i t y a u t h o r ：w e n gz h i c h a o t h i st h e s i sf o c u s e so i lt h es t u d yo ft h ea l m o s ts u r eg l o b a la n dl o c a ll i m i t t h e o r e mf o rr a n d o mv a r i a b l e s i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r ，w es t u d yt h ea l m o s t s u r el i m i tt h e o r e m so ft h em a x i m ao fs t r o n g l yd e p e n d e n ts t a t i o n a r yg a u s s i a n v e c t o rs e q u e n c e s t h em a i nr e s u l ti s ： t h e o r e mal e t x 5 s 1b eas e q u e n c eo fd - d i m e n s i o n a ls t a t i o n a r ys t a n - d a r dg a u s s i a nr a n d o mv e c t o r sw i t hc o r r e l a t i o nr t j ( s ) s a t i s f y i n gc o n d i t i o n s ( 2 1 ) ， ( 2 2 ) a n d ( 2 3 ) t h e nw eh a v e 。l i m 1k 妻，；1j ( 学sx ) = c a p 半西p 淞， f o rx r a i nt h es e c o n dp a r t ，a l m o s ts u r el i m i tt h e o r e m so fe x t r e m e so fc o m p l e t ea n d i n c o m p l e t es a m p l e so fi i d s e q u e n c ea r ec o n s i d e r e d t h er e l a t e dr e s u l t sa r e e x t e n d e n dt ow e a kd e p e n d e n ts t a t i o n a r yg a u s s i a ns e q u e n c e f o l l o w i n g sa r et h e m a i nr e s u l t s t h e o r e mbl e t 镌) b eas e q u e n c eo fi n d e p e n d e n ti d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d r a n d o mv a r i a b l e ss a t i s f y i n gt h ec o n d i t i o n sa 1a n da 2 ，t h e n l i mp ( w 。 而二sa 墨u n ， m n a s ) n = e - p ( r j + 7 j ) e 一( 1 p ) ( 7 3 + ，) t h e o r e mc l e t ( 醒) b eas e q u e n c eo fi i d r a n d o mv a r i a b l e sw i t hc o m m o n d i s t r i b u t i o nf u n c t i o nf ( x ) s a t i s f y i n gc o n d i t i o na x s u p p o s et h a tt h ei n d i c a t o r v a r i a b l e s e n 】i n la r ei n d e p e n d e n to f 砖) a n ds a t i s f yc o y ( c i ，勺) = 0f o ri 歹 a n d ( 3 ，2 ) t h e nw eh a v e j l 。i m 。昭1n 喜石1 ，w 七 僦硫 _ u k , z k m ：蛑蚶 = e p ( n + 7 2 ) e - ( 1 一p ) ( r 3 + r 4 )口s t h e o r e mdl e t k b et h es t a n d a r ds t a t i o n a r yg a u s s i a nr a n d o m v a r i a b l e sw i t hc o r r e l a t i o ns e q u e n c e r ( n ) ) s a t i s f y i n gr ( n ) l o gn _ 0a sn o 。 3 s u p p o s e e 。) b ei n d e p e n d e n to f k ) a n d 墨加_ pp ( o ：1 】 t h e nf o ra l l x 2 x 1 y 2 y lw eh a v e l i m n p - u 。( y 2 ) 最。sm n u 。( z 2 ) ，- - u 。( 3 ，1 ) = e x p ( - p ( e 一眈+ e - y 2 ) ) e x p ( - ( 1 一p ) ( e 一规+ e - y 1 ) ) w h e r eu n ( 。) = z + kf o r ：酞 t h e o r e meu n d e rc o n d i t i o n sc 1 一c 3 ，w eh a v e 丢j 一“麻( 耽) 箭 磁牡南( z 2 ) ，一札七( 玑) 仇知sa 靠心血( z ) ) = e x p ( - p ( e 一窜2 + e - y 2 ) ) e x p ( - ( 1 一p ) ( e 一年1 + e v 1 ) ) n 。s f o rx 2 z 1 ，y 2 0 t h e nw eh a v e 口s k e y w o r d s ：s t a t i o n a r yg a u s s i a ns e q u e n c e ；a l m o s ts u r el i m i tt h e o r e m ；m a x i m u m ；m i n i m u m ；i n c o m p l e t es a m p l e ；a l m o s ts u r el o c a ll i m i tt h e o r e m 4 。胁 礼 1 一g o一，jn 找t _ l n = 丝 。m 上岍 骢 独创性声明 学位论文题目：压叠么随b 拯龌远垒 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：缸，迎签字日期如f 。年斗月了 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：系志建 签字日期：知年每月c i 日目 月 弓务1、尹 夯 年 沙d 吖 、l _ - i 一 t 们 2 名 期 签 日 而甲争r 师 字 导 签 西南大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导 师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文 中已经注明引用的内容外，奉论文不含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本义的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：磊悫毽 日期：九lo 年4 月c | f 日 第一章引言 1 1 前言 极值理论主要研究自然界和人类社会的一些极端现象，如洪水、地震等自然 灾害，大型土木建筑的安全性与可靠性及一些经济现象等考虑这些问题可能建 立涉及极值理论的模型 设 x n ) 是独立同分布( i n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d ，筒记为 i i d ) 的随机变量序列，其公共分布函数为f ( z ) 记坛= m a x l 0 为常数。在同类意义下，可将上面三种情况统一写成； g 仕) ：6 ，1 佃) ；e x p 一( 1 + - y x ) 一1 7 ， 其中l + 7 x 0 ，y r 且称7 称为极值指数本论文主要研究极值的几乎处处 极限定理及部分和乘积的局部几乎处处极限定理 1 2 文献综述 极限定理特别是中心极限定理，在概率统计的理论和实际中占有重要的地 位，一直以来都是慨率统计工作者们研究的热点问题令x 1 ，- ，2 ，为i i d 序 列，其分布函数为f ( z ) 若ex 1 = 0 和ex = 1 ，则对任意的z r ，当讥_ 。o 时，有 a 尸( 蠢z ) _ 圣( z ) ， 6 其中= ：1x ，圣( z ) 为标准正态分布 b r o s a m l e r 【4 】和s c h a t t e 【3 0 】首次 在ei x l 2 + 6 0 条件下。证明了独立同分布随机变量部分和的几乎处处 极限定理( a l m o s ts u r el i m i tt h e o r e m ，简称为a s l t ) ：当礼_ o o 时， l 0 9 1n k ，( 袅z ) 叫z ) 们 (12)=l-石 其中j ( ) 表示示性函数l a c e y 和p h i l i p p 【1 6 】在二阶矩有限的条件下，将( 1 2 ) 式推广到函数形式： 去喜丢，( 袅) _ 仁m 脚 们 其中，为满足l i p s c h i t z 条件的有界函数虽然a s l t 是点态的，但是它比中心 极限定理更弱，b e r k e s 等【3 】构造了满足a s l t 但中心极限定理不成立的独立 随机变量列。l b r a g i m o v 和l i f s h i t s 【1 4 】，b e r k e s 和c s 螽k i ( 1 ，f 2 】) 在一定条件下 得到了无界函数的a s l t 对于极值的a s l t 的研究，f a h r n e r 和s t a d t m i i l l e r 【1 0 ，c h e n g 等【6 】首次 在( 1 。1 ) 成立的条件下得到了i i d 序列最大值的a s l t ，即当n 一( 2 0 时， 赤去砸i 1 ( 鸭一玩) z ) _ g ( z ) 们 其中a 靠= m a x l ，为i i d 正随机变量序列当e ( x ) l 为i i d 整值随机变量序列，e 咒= 0 ，i 1 ，瓯= 叁l 五对充分大的k ，瓯的取值为整数a ，则 恕丽1 壹k 等警= 1ns=l 其巾d 。= ：1p s i = n ) c s a k i ，f s l d e s 和r 6 v 6 s zf 8 】i i e 明t 若 而k a p 最 a k 釜s k 孺却( 1 0 酬，一o o ，鲁 2 巩) 别，h 则 腮面1 壹k 耸粼= ， n s 。 (13)=l 其中 五) t l 为i i d 随机变量列，ek = 0 ，el x , 1 3 o 。( i 1 ) ，鼠= 冬1x ， 且a k ，6 知( k 1 ) 满足一o 。sa k 0 b k 。，k = 1 ，2 ，的实数列 g o n c h i g d a n z a nf 1 2 】将( 1 3 ) 推广到p 混合情形赵胜利和彭作祥【3 9 】研究了随 机变量最人值的局部几乎处处极限定理对于部分和乘积的局部几乎处处极限定 理还未有文献提及 1 3 问题及论文安排 本文主要研究了强相依平稳高斯向量序列的最大值的a s l t ，不完全样本下 i i d 序列极值的a s l t 并在一定条件下将其推广到弱相依平稳高斯序列情形 本文最后还讨论了i i d 正随机变量部分和乘积的局部几乎处处极限定理 文章安排如下。 8 第二章研究多维强相依平稳高斯序列最大值的a s l t ； 第三章分析不完全样本下序列极值的a s l t ； 第四章证明部分和乘积的局部几乎处处极限定理 9 第二章强相依高斯向量序列最大值的几乎处处极限定理 设 x 。) 。1 足d 维标准化平稳高斯向量序列，即x 。= ( 墨，咒2 ，k d ) 凡e = + 0 ，v a r 如= l ，相关系数为t o ( i t s i ) = c o v ( x 毹，) ，1 ，j d ，8 ，t 1 假设当让_ o 。时r 0 ( n ) 满足 且 r o ( n ) l o g n _ p o ( 0 ，o o ) ， 1s i ，j d( 2 1 ) s u pi ( n ) i 1 1 曼，j s d n 乏l ( 2 2 ) 令m ，( 。k ) ，1sksn 为序列 x 。h n 中第k 个顺序统计量，则m 0 ) 表示最大 值，m 寥为最小值w i 鱼n i e w s k i 【3 5 】研究了一类等相关的高斯向量序列第k 个 最大值。m 乎的极限分布在( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的条件下，w i 吞n i e w s k i 【3 6 】讨论了 d 一维向量序列 x 。) 1 s 。n 的超过数点过程的极限分布并得到如下结论： 定理g 设置，蜀，是一标准化平稳高斯向量序列且满足条件( 2 1 ) 和( 2 2 ) ， 则对固定的k ，有 警一d 畔+ 互 其中r p = ( 雁) 1 i d ，z 为标准化高斯向量且协方差为c o v ( 磊，乃) = p , j 俪 z 与哗独立且 p ( 蟛动：de x p ( _ e - x i - p i i ) 董譬 本章在此基础上研究了向量序列( x 。) 。1 最大值的a s l t 2 1主要定理 定理2 1 设 五】。2 l 是d 维标准化平稳高斯向量序列，其相关系数r 0 ( s ) 满足 条件( 2 1 ) 和( 2 2 ) ，且当1 i ，j d 时， l r i j ( n ) 一巧( n ) l ( 1 0 9 f 1 ) ( 1 0 9 l o g n ) 1 + 。= 移( 1 ) ( 2 3 ) 则当霉r d 时，有 l i m 础面1 妻s = l8 三，( 警0 = ( a p * ( i ) p 们 1 0 其中t i j m ) = 胁j l o g n ，必= 趔1 1 ，且p = ( p l l ，p 2 2 ，p l d ) 运算木表示卷 积，且 d 人p ( 动= 人( z + p ) ，人( 动= h x p ( - e - z i ) ， = 1 西p ( 劫= 圣( 2 - 1 2 x , a 1 ( p ) ) 垂表示高斯向量y o 的分布函数，且协方差c o v ( 碥) = ( 以j u 百；而) l s ，j s d ， ey o = 0 a 。( 力表示a ( t ) 的逆， a ( 功的表达式在( 2 5 ) 中给出 2 2 相关引理 c o v ( y 2 ：，瑞) = r i # ( o ) ，c o v ( y 囊，k 尹) = 巧( 礼) ， ( 2 4 ) a c 南= ：2 ) j ；毒。 ，b c v ，= 。一三。1 2 ) ；。1 一曼，。，。 c 2 5 ， ( 斗) ，砖) 氅+ ( 露a ( t ( 礼) ) + 露b ( ( 礼) ) ，露a ( t ( n ) ) + 嚣) b ( t ( n ) ) ) ， 其中t ( n ) = ( t l l ( n ) ，( n ) ) ， 舔) ：m o ) u ) 是独立高斯序列且协方差 为 c o v ( 黜= v t 丽如) j ( n ) j 蟛脚 c 嘲忙( 赤然k d 期望为 e 毋= e 舔) = n 证明：见w i 螽n i e w s k i 【3 5 】命题1 口 引理2 2 假设高斯向量序列 ) 。l 满足条件( 2 1 ) 和( 2 2 ) ，且三角阵 玲，1 k 礼) 满足( 2 4 ) 令= z + k ，则 p ( 坛) 一p ( 噱) i d = l1 s ，t ” n j ( i 一s i ) 一玎( 佗) l e x p 一 钍毛+ u 乞 2 ( 1 + u o ( i t s l ，竹) ) 其中u 臼( s ，n ) = m a | ) ( i r o ( s ) l ，幻( n ) ) ，e 是一绝对正常数且逐行改变其数值 证明：由l e a d b e t t e r 等【17 】定理4 2 1 得证 引理2 3 假设条件( 2 1 ) 成i 且4 - = z + k ，则对充分大的扎有 s u pk 1 南 c ( 1 0 9 l o gn ) 一。删 证明：由于t i j ( n ) = p o l o g n ，当他充分大时，由( 2 2 ) 有 o ( 1 ) ：= s u pi , d i j ( m ，2 ) l 1 1 m 1 s n 1 s ，j d 根据l e a d b e t t e r 等【l7 】有当n 充分大时 由于 e x pr t 正乞1 t i ， =k d c u n - 扎 乱耐一( 2 l o g n ) ，1 i d 喜h 叫删e x p 2 ( 1 l n a l i ，j = ls = l d + 七r j 一 t 正毛+ 乱毛 + w i j ( s ，n ) ) 啪h 删唧 _ 采 t i r i j ( s ) 一t u ( n ) l i , j = l8 - = - 1 t o l + 1 = 五十t 2 ， 1 2 e 冲卜赫 口 ( 2 6 ) d 、-，、_， 归d 其中0 q ( 1 一盯( 1 ) ) ( 1 + 仃( 1 ) ) ，则只需估计出乃和正的上界对于死，由 ( 2 6 ) 有 噩s p 戮“旷姒扎， = 叠嚣唧 _ 赫 鬲 譬| 勺( s ) 一幻( n ) i p 摹s n 类似l i n 【1 8 】引理2 1 的证明，当1 i ，j d 时，一致的有 引理证毕 d i i a ：( 1 0 9l o gn ) 一( 1 十引 引理2 4 在引理2 2 的条件下，有 v a r 1 ：， 螈妣) 一 n k = l丢蚓) e ( 1 0 9 n ) 2 ( 1 0 9 1 0 9n ) _ ( ， 1 3 口 证明：由于 恤( k = lh k 帆辄h 川) ) = 喜i 1 。v a r ( 州七妯h 妯) ) t 2 去c o y ( z m l su i ) 一， m ；sl l i ) ，z m js ) 一， 孵u j ) ) 1 l f n 。一 湿然 m i ，j ) d 丢， ， 则 端冬c ( 1 0 9 l 。g j ) 川押+ 4 d 争 ( 2 7 ) 1 4 现估计曩；由于 x 。) 与 y 鼎 相互独立，当i j 几时有 尸g = i p ( m i u i ，m i , j u j ) 十尸( m ；冬u ，m 毛u j ) 。- p ( m , u ) p ( m i j u 歹) 一p ( m ；啦) p ( m 如su j ) i lp ( m isu l ，m i dsu j ) 一p ( m ；s 啦，m b 冬u 3 ) l + i p ( m i u i ) 一p ( m ；u 1 ) | 十i p ( m i , j u j ) 一p ( m i 0su j ) i 十2i p ( m ：啦，m 毛u j ) 一p ( m ；地) p ( m b u j ) i 由正态比较引理得 i p ( m ：u i ，m 易- j ) 一p ( m ：u i ) p ( m * j u 。) l ( 巧) 嚣粽i ( 1 0 9 i ) 1 0 9 纠抵( 1 0 9 n ) ( 2 8 ) i l ，m a 因此由引理2 2 ，引理2 3 及( 2 8 ) 得，当i j n 时 曩；sc ( ( 1 0 9l o gi ) 一( 1 + ) + ( 1 0 9l o g j ) - ( 1 + e ) + 由( 2 7 ) 及( 2 9 ) 得 ( 巧) 带1 0 0 9 i ) l 。g j l 如( 1 。g n ) 1 l ，m 冬d 以= 2 昂1 ( p ( 1 + 蟛) l i j n 。 4 d 去+ c 击( ( 1 0 9 i 。g i ) 一1 十。+ ( 1 0 9 l o g j ) 1 1 十。) l i j n ，1 j n ， + 去( 巧) 彘 0 0 9 i ) l o g 刃赫钿( 1 0 9 n ) 。 1 1 ，m dl i j n 。 = ：只+ r + b 由于埘充分大的n 有 f 1 l o gn c ( 1 0 9 几) 2 ( 1 0 9l o gn ) 一( 1 十5 ) ( 2 9 ) 及 咫冬 ( 1 0 9 _ l o g a + 一p l m i 丽- - ! 而n 竹 ，一l l l ，m dj = 2 i = 1 。曩d 若( 1 0 训赢喜j 高+ 1 。磊d 捣( 1 0 酬赢礼彘 点2荪exp(盘盟笔筹竽)1 f m d 、 口 c e x p ( 一一l o g l o g n ) = c ( 1 0 9 n ) 一2 因此只需估计岛当g , 充分大时，令a 足一整数且满足1 0 9 a 一( 1 0 9 n ) 6 ，其中 0 6 1 因而 凡= c 嘻e 。+ ，辫e 1 弘崦唧广卅垤矿( 1 + c ( 1 0 9n ) 2 ( 1 0 9l o gn ) 一( 1 十引 证毕 引理2 5 设 【) 是一有界随机变量序列若 那么 v a r ( 妄 砭：( 1 o g n ) 2 ( 1 0 9l o gn 广m ) ， 溉击砉丢c r k - - e r k 们 证明：见c s g k i 和g o n c h i g d a n z a n 【9 】引理3 1 的证明 口 口 2 3 定理的证明 定理2 1 的证明：由引理2 5 及定理g ，只需证明 i m k u k ，后1 满足引 理2 5 的条件由伤一不等式得 v a r ( 砉扣辄，) = v a r 1 曩m 七u 七，一喜丢j t m ：su 七，+ 喜丢“m ：su 七) ) s 。2 o r ( 喜丢，t m ：u 知，) 十v a r1 ；，t m ：u 七，) = ：2 ( l t + l 2 ) 儆琚弓i 埋2 4 得l 2se ( 1 0 9 n 厂( 1 0 9 l o g n ) ”卜圆佰计l 1 跗界田号i 埋2 1 ， l 1 可写为 e ( 喜丢c ，t m ：u t ，一p t m ：su | c ，) 2 = e ( 喜洳丽吲u 一心( t ( 纠蚪心) ) ) 一p m 七( u k - - z 牲( t ( 后) ) ) 旷1 ( t ( 七) ) ) ) ) 2 = e e e ( 喜硝州矾 仁 其中 厶= ， 丽七u 七一z a ( t ( 后) ) ) b 一1 ( t ( 南) ) ) 一p m 知( u k z a ( t ( 七) ) ) b 一1 ( t ( 后) ) ) 由于 e ( 喜坷= 喜趣队2 。曩。掣锄慨仁 1 7 易得，当l & f 1 时玩冬，矗 。o 因此只需估计：日2 的上界当七 ， r a i n 碍：勺= 1 ，k 十1 歹礼) ， i n f t l f ( t ) o ， i ，t k ，n 1 ； i ，t k ，n = 0 i ，靠m 1 ； i 厂了x 。= 0 t ，n ，n 1 ； ，n 。= 0 t ，死。1 ； t ，t k n = 0 坻= ：m o ” i n2 ：m o n 蟛= ：n i n = ：而； 令f ( n ) = p 0 ) ) 表示l i m s u p o o | ( n ) 夕( 赡) i 0 ，b 。r 使得( 1 1 ) 成立， n ) 与 霹) 相互独立且满足咒加二p f 0 ，1 】， 礼_ o 。则财切z ： 砂 巧 以 m n n ，-_j(1l【 ，ij lll，iil 0 时， 我们将3 1 的结果推广到平稳高斯序列 3 1 独立情形 首先我们给出随机向量( 心，m n ，鸠，m 二) 的联合极限分布 定理3 1 设i i d 序列 群 满足以下条件： a 1 存在序列 礼n ) ， ) ， ) ， ) 且0 r i o 。，i = 1 ，2 ，3 ，4 ，使得当礼1 时有u n 幻n ，z n w n 且当n _ 0 0 时 n ( 1 一f ( u n ) ) _ n ，n f ( w n ) 一砀，n ( 1 一f ( v 。) ) _ t 3 ，佗f ( 锄) _ 心( 3 1 ) a 2 示性函数列 e n ) 与 端) 相互独立且 鲁三蚓o ，1 1 n _ o o 竹 。 则 证明：由于 l i mp w 。 m n sa g ，z n ? t z n a g ) n t o o = = e p ( r l + r 2 ) e - ( 1 一p ) ( 乜十t _ t ) p m n a 鬈，z n m 。n a 瑶) = p ( 瓦= 七) 【f ( u n ) 一f ( w n ) 】七【f ( ) 一f ( ) 】n 一七 k = 0 对任意0 s e 2 = 2 ( 竹，p ，) = 尸 死= 后) ( f ( u n ) 一f ( w 。) 】南【f ( u n ) 一f ( ) 】n 一知 及 由条件a 2 得l _ 0 ，n _ o o 现只需讨论2 易知下面不等式成立t 2 【f t u n ) 一f ( ) 】“( p 一5 【f ( ) 一f ( z n ) 】“一n 。) p i t n p i e ( 3 3 ) 2 【f ( u n ) 一f ( w n ) 】n ( p 托【f ( ) 一f ( ) 】n n ( p 一5 ) p i 瓦n p i ) ( 3 4 ) 则由( 3 1 ) ，( 3 3 ) ，( 3 4 ) 及瓦礼三p ，有 和 l i r as u pp w n m n a t 上n ，z n m n 纪) 竹o o e 一( p 一5 ) ( r i + 吨) e - ( 1 一p 一) ( 码十q ) l i mi n f p 叫n m 一n a 1 1 n ，z n e - ( p + 5 ) ( 力+ 您) e 一( 1 呻十e ) ( 码十q ) 因此令上0 即得定理结沦 ，一 现给出随机向量( a 纪，m n ，蟛，m ：) 的几乎处处极限定理 口 定理3 2 设 k ) 是i i d 序列，其公共分布函数为f ( x ) 且满足条件a 1 若 t i 示性函数 e 。 与 x g 相互独立且满足 使得t n 三p f o ，1 】则 c o y ( z ，勺) = 0 ，i j 令孔= e 七 k - - - 1 l i m 峭1 。妻，1 m 谳斫_ u k , z k m ：峨纠 ：e p h + 亿) e - 0 一p ) ( 诒十r t ) n s 为证明定理3 2 ，先给出一些引理为简便起见，记缸= i w k 而：峨 乱七，魂 m k 心饥) 引理3 1 在定理3 2 的条件下，对充分大的n ，当1 礼时 ic o v ( 靠l c 等 证明：当1 k n 时有 c o v ( & ，靠) l i b l l + i b 2 i + l 玩i ( 3 5 ) 其中 及 b i = c o v ( i t o k m k 蛑u 知，z k m i 虻v k ， j r t m n 。 u n ，z n m n a g ) b 2 = 一j 叫。 a k 。a t n ， m k ，nsa s 。) ) ， c o v ( w k m k 噬l t k ，z k m k 缮u 豇) ， t w n 而。n u n ，z n m ：，n a 一x ( w n 佩；，。a 纭n u n ， 7 7 i , k ，n a n 秒。) ) b 3 = c o v ( w k m k a 缮u k ，z k m k a 砜) ， ， m + k ，竹i 。仳。， m k ，。a n ) ) 现估计( 3 5 ) 中的b l ，b 2 ，b 3 ：对手b l 有 口l i 2 el ， m n 磁g 扎， m n 蟛， - i w m k 。，。砺u n ， m ；，n 蜂) 1 2 el i w n 磁砺札n 卜i w n m k ，仙砺札n ) + e i j m n 蟛) 一h 锄 m k ，。a 。) i 】 t t j n ) l + el ， m ： ) 一j m ；，。 p 而： 俞：，。) 十p m ： m ：，n ) 类似b e r k e s 和c s 矗k i ( 1 2 ，p 1 2 3 ) 的证明，当15k n 时 p m l m ：，n ) 五k i 】 ( 3 6 ) 1 ( 3 7 ) 因此，只需估计尸 玩i 茄：，n ) 根据m n 的定义得p 沅： 僦川t k ，n = o ) = 0 因而。 p 而： 而：。) = ， = t ) p 死，n = s ) ( 1 一f ( z ) ) 8 d 1 一( 1 一f ) ) 】 ，一 k b - - kp n = 妒 = s ) 南 t = 08 = 0 e ( 亮) e ( 凳) 其中我们约定o o ：= 0 对于任意0 e p 2 ，记p n = e ( 死) n ，由( 3 2 ) 及控制收敛定理知，当 礼_ 商时 p n p 因此 e ( 凳) = e ( 凳厶1 加一骱i 。，) + e ( 凳t l 靠加一骱l q ，) 磁n ) 十p 峨 蛑纠c 墨 又因为 磙) 为独立随机变量序列，所以b a = 0 综上，引理得证 2 3 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 口 s = n，七 7 i l 瓦 n七 而 0 ，使得 ( 喜斟= o ( ( 1 0 9 n 广 则 n l l m 。面1 产k = l 主( 6 一吲= 。s 证明；见f a h r n e r 和s t a d t m i i l l e r 【1 0 1 引理1 口 定理3 2 的证明t 由引理3 2 ，引理3 3 及定理3 1 ，结论成立 口 现假设存在数列a 竹 0 ，c n 0 ，k ，d n r 及t p j a _ t l 分布a ( x ) 和l ( y ) 使得 f n ( a n x 十b 。) _ g ( z ) ，( 1 一f ( 可十如) ) n 一1 一l ( 可) 或 n ( 1 一f ( u n ( z ) ) ) _ 一l o g g ( z ) ，n f ( ( 可) ) _ 一l o g ( 1 l ( 矽) ) ，( 3 1 1 ) 其中乱，；( z ) = z + k ，w n ( ! ，) = c n 可+ 厶由( 3 1 1 ) 知a ( x ) 和l ( 材) 分别为最大 值和最小值的极限分布，详细证明见g a l a m b o s 【1 1 】定理2 1 1 一定理2 1 6 根 据定理3 2 可得以下两个推论 推论3 1 若( 3 1 1 ) 成立，那么当札。0 ) w n (