（概率论与数理统计专业论文）定时截断寿命试验中试验总时间的分布.pdf

摘要： ，、 矿4 8 7 2 9 2 、 l 产品的寿命指标是产品质量指标中非常重要的部分，这直接关系到产品发 挥效用的时间及产品所发挥的价值，所以对于产品的寿命质量的优化是生产中 非常重要的环节。而这其中产品的寿命试验就是要对产品的寿命进行估计，从 而了解到现有生产流程下产品的寿命指标情况。寿命试验中通常采用定时截断 和定数截断两种试验方法，本文主要讨论在定时截断下，寿命试验总时间的分 布及其性质。 g a m m a 分布族是寿命试验中常采用的寿命分布，) 本文通过特征函数逆变换 。_ _ - - - _ 。 u 法得出在产品个体寿命服从g a m m a 分布( 参数为自然数的特殊情况) 时的寿 命总时间的分布，由此得出在寿命服从指数分布族的情况下，试验总时间的分 布及其近似性质，并进一步针对这一分布函数较为复杂的情况，给出了它较为 简化的近似数值算法。本文还讨论了在离散的产品寿命分布( 泊松分布) 情况 下试验总时间的分布。最后进行了一系列在产品寿命服从正态、均匀分布情况 下的实验总时间分布的模拟，并由此推断出这些情况下总时间分布的性质。 关键字：定时截断、试验总时间、分布函数 a b s t r a c t ： t h el i f ei n d e x ，w h i c hd i r e c t l ya f f e c t st h ep r o d u c t sw o r k i n gl i f ea n de f f i c i e n c y , i sac r i t i c a lp a r to ft h eq u a l i t yi n d e xo fp r o d u c t s i ti st h ek e yp o i n tf o ro p t i m i z i n gt h e l i f eq u a l i t y t h eo b j e c t i v eo fl i f et e s ti st oe s t i m a t et h el i f eo fp r o d u c t sb yas e r i e so f e x p e r i m e n t sa n dg a i nt h ea p p r o x i m a t i o no ft h el i f eu n d e rs p e c i f i cc r a f t t h e r ea r et w o m a i ne x p e r i m e n t a lm e t h o d s ：t h et i m ec e n s o r i n ga n dt h eq u a n t i t yc e n s o r i n g m e t h o d s i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s st h ed i s t r i b u t i o na n dp r o p e r t yo f t h et o t a lt i m eu n d e r t i m ec e n s o r i n g g a m m ad i s t r i b u t i o ni saw i d e l yu s e dd i s t r i b u t i o ni nt h el i f et e s t i nt h i sp a p e r , b y t h ei n v e r s et r a n s f o r m a t i o no fc h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n ，t h ed i s t r i b u t i o no fi i f et i m ew i t h i n d i v i d u a l sg a m m aa n de x p o n e n t i a ld i s t r i b u t e dl i f ei so b t a i n e d a n daa p p r o x i m a t e a r i t h m e t i ci sg i v e nu n d e re x p o n e n t i a lc o n d i t i o n f u r t h e rm o r e ，s o m es i m u l a t i o ni s d o n eu n d e rt h ec i r c u m s t a n c eo fi n d i v i d u a l sl o g - n o r m a la n dm e a nd i s t r i b u t i o n k e y w o r d s ：t i m ec e n s o r i n g ，t o t a lt i m e ，d i s 仃i b u f i o nf u n c t i o n 2 第一章绪论 1 1 产品的可靠性 产品的质量指标有很多种，如一台个人电脑的质量指标就有：c p u 快慢， 硬盘大小，显示器质量等，这些都能概括为性能指标，即产品完成规定功能的 能力的指标。除此之外产品的另一种非常重要的质量指标，就是可靠性指标， 它反映了产品保持其性能指标的能力。简单地说，就是产品在正常工作一段时 间后是否能保持有效运行，这其中包括平均寿命、可靠度及失效率等一系列指 标。这两类质量指标的差别主要体现在时间上，性能指标是与时间无关的，而 可靠性指标是与时间，即产品的使用寿命紧密相联的，它是时间性的质量。 产品的性能指标是得到充分重视的，这是非常自然的，但随着科学技术的 发展，产品的可靠性指标也愈来愈被人们所重视，因为许多产品的使用价值是 与其使用寿命长短紧密关联的。有些产品通常要求能长时间连续工作，这种产 品如果老是出现故障就失去了它的使用价值。随着现代科学技术的发展，科技 产品的集成度越来越高，产品都是由许多相互有紧密联系的模块、元件组成， 有些元件可能很小，但是一旦出现不可靠，将导致整个系统的不可靠或失效。 所以即使是对产品的可靠性的要求可以说是达到了产品构造的每个层次。所以 现在产品的可靠性问题越来越多地被提到，可以说它是产品质量问题的首位。 产品的可靠性是有其确切的含义的。 产品可靠性的定义如下：产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定 功能的能力称为产品的可靠性。 这定义中有着四个基本点：“规定的时间”是可靠性定义的核心，因为不谈 时间就无可靠性而言。“规定的条件”指的是产品的工作条件、环境条件、维护 条件等条件，这些对产品的可靠性都会有直接的影响。“规定的功能”是指产品 正常工作应实现的功能，它通过各项性能指标来刻划，是产品的明确的“失效 判据”。“能力”是对产品可靠性的定量的刻划。通常指的就是各种可靠性指标， 常用的有可靠度、平均寿命、失效率等指标，它具有统计学上的意义。 1 2 寿命的定义 产品的可靠性非常地重要，所以我们在生产中就要对产品的质量进行控制。 因为可靠性和寿命的紧密关系，所以首先要对产品的寿命有了估计，然后才能 针对产品寿命数据中的问题进行质量控制。产品从开始工作到首次失效的这段 时间称为寿命。由于产品发生失效是随机的，所以寿命是一随机变量。不同的 产品、不同的环境下，产品寿命所服从的统计规律是不同的。我们的工作目的 就是最好地估计产品的寿命的统计规律。 在可靠性中，寿命的分布函数常称为失效分布函数。确定一种产品的失效 分布函数是一件非常重要和非常基础的工作，因为质量控制所必须的一些统计 推断都是在这个基础上进行的。 实际中，我们总是假设产品寿命服从某一特定分布。要得知产品寿命服从 的分布只能通过寿命试验来做到，即是将一批产品置于工作状态，同时观察他 们的失效时间，由此对产品寿命的分布做出估计。 1 3 截断 在实际中，由于时间和经费的限制，我们的实验时间是有限的，所以不可 能观测到所有试验产品的真实寿命，比如1 0 0 0 个灯泡，我们做1 0 0 0 小时的试 验，1 0 0 0 小时后，有8 0 0 个灯泡先后失效损坏，而有2 0 0 个灯泡的失效时间我 们没有观察到，这时我们观测到的就是截断的数据，具体地说是灯泡的寿命被 1 0 0 0 小时这个时限截断。这种截断我们称之为定时截断，也称为第一类截断。 本文主要讨论在定时截断下的情况。 另一种截断被称为定数截断，就是在实验前先确定一个数字n 或者一个百 分比，当发生第n 个产品失效或者失效产品的百比达到原定百分比时就中止试 验，这种截断方式被称为第二类截断。 第二章产品寿命试验总时间的分布( 连续分布情况) 2 1g a m m a 分布的情况 在寿命试验中，指数分布模型是常用的重要模型。而指数分布族是g a m m a 分布族的子族，所以这里我们来考察在个体的寿命服从g a m m a 分布情况下的 总试验时间。我们假设产品寿命服从g a m m a 分布，参数为，九，在这里我们仅 考虑a 为自然数的特殊情况。 设寿命随机变量x 。，彳：，x 。相互独立，服从参数为a ，九的g a m m a 分布， 其中a 为自然数，其密度函数为 贴；砌) ：j ，分舡，删 10 ， x 0 h 产品的寿命试验总时间t = ( 五 c ) 。 足理1 ：t 的分币密度函效是早点分硒幽鳜和i 分而幽数日可线住组合。 证明：先考虑z l c 的特征函数： e e x p i ( x l c ) f = 一e i 。t f ( x ) 出+ l x - ce i c t f ( x ) a x = p 七( 1 一f ( c ) ) ，其中f ( ) 为x l 的分布函数。 考虑到口为自然数，f ( a ) = 一1 ) ! 。 即，= f 焉，分触出= 焉陆，1 扩 = 焉( 爿广分厶e 砘c 矿叫 = 焉( 去 ( 严屯巾棚高铲 = 焉隆一e 砒( 玎黜+ 譬i ：一争c a - k e - 加2 l + 1 0 k 。= l l 五( 口一七) ! f ：。e 耙f ( x ) 出 咖k = 1 分吲志+ 卵扩分胁研志。 在以下的计算中使用分部积分法， 一。e i x t 似胁惫x a - l e - a x + i x t 出 ：旯。厂工a 一_ 上一沈一厶+ 扛f j r 口1 d咒+ i t = 志 x a - l e - ) x + i x t e - 2 x + i x tc a - 1 ) x a - 2 出 =志ca-e-ac+ict_itc 川，高i t ) p 2 如一珊7，( a ) ( 一 + ) i 、 。( 一旯+ b 。一 ：旦k 一邮手，t 上嵝堕型十丛监业q r ( 口) l智( i t 一丑) ( a 一) ! 。( i t 一五) ：刀。c 卅争。一螳上一+ ( = 芝笙 。k = i ( i t 九) ( a 一七) !( 打一旯) 争c a - k e - 知+ 耙丫u 上一+ 。c ( n 卅争。a 一 篮上一+ 上! ! 兰笙 高 l 旯( 口一t ) 2 k 。= 。l( 打一旯) ( 口一) ! ( i t 一五) 玑巾h ) 驴k f f i l 志 砉+ 器 + 嚣 由定时截断试验的设计可得z f ，i = 1 , 2 ，l 独立同分布，所以 月 。a c ，i = 1 , 2 ， 独立同分布，故r = ( z 。 c ) 的特征函数为 胁帽廿 = p ”柚扩志 越( - 叫1 ) k - * 矿i 嚣丁 制 器h 胪卅扩志( 砉+ 器) = 俨黝器“恪“志( 嘉+ 器丌 = 俨黝器“1 防而1 万1 + 妒k - i 南器丁 = 尸黝器i t 五- n - j “喇p 志器) 售，南玎 很容易看出，t 的特征函数中含t 的部分为 e e j ( “一2 ) ( 打一丑) 一其中j = 0 ，1 ，n ，m = 0 ，1 ，一，c 日， t 的特征函数是上面所有项的线性组合。 在t 的分布函数f ( x ) 的连续点上成立逆转公式： f ( x ) = 去，嘎。骧e 竿砷渺 ( 加) 为t 的特征函数) 当m = 0 时： ( 2 ) 式等于e f c f p j c 2 ，逆转为i ( x j c ) e j c ，其中l ( x 声) 即是质量集中在j c 的退化分布。 当m 0 时： ( 2 ) 的逆转如下： 1 ，l i m ! i mc ：，! - - - = 兰- p 巧( 肛 ( f f a ) 一m 田 2 1 rv _ o 。删上vi t 、7 ：j p 一彬l i ml i r a 一( f f a ) 一“西n e - i t ( y - j c ) _ e - i t ( x - j c ) 2 ；r v + 一m i t 、7 =1e-cj。(川”上2m，氅?臻l坚尘竺翌(1一it2z i t 一“西 、。 y + n ml n 、 无。 因为( 1 一要) 一“是自由度为1 1 2 ，参数为五的r 分布的特征函数，所以上式逆 锄e - c j 2 高以p c ，哟。 这其中我们记f ( x ；n ) 为自由度为”，参数为五的1 1 分布的分布函数。以下 我们记p ( x ；”) 为其对应的密度函数。 所以t 的分布是单点分布函数和r 分布函数的线性组合。 2 2 指数分布的情况 指数分布是寿命试验中常用的分布。而指数分布是g a m m a 分布的特例， 也就是在口= l 时的特殊情况。 当个体寿命服从指数分布时，记t 为总试验时间，在定数截断下 r = 五，) + 0 一r 比，) ，可以证明2 m 服从z 刍分布。这是一个很好的性质，便 于对0 进行估计或推断。在定时截断下它的分布函数，c o x 曾指出，如果发生r 个死亡，t 的分布可能近似z 。但没有看到有关的证明。以下我们给出寿命 服从指数分布情况下t 的分布。 将a = l 代k ( i ) 式，可以得到寿命服从指数分布情况下的试验总时间t 的特 征函数： 薹砉( ： ( ： c 一，7 一t e 4 虹( n 一 ) 五”一7c 一，r ，一n + 7 + e n c ( n 一 ) = + j 我们将之逆转以得到t 的分布函数： 其中止的逆转为i ( x n c ) e 一2 n c ， i 中含t 的部分为e k e ( 1 ) ( a i t ) 一“， 由前面可得，逆转为玎腑而1 p ( x - k c ；n - r ) 。 由此可得t 的分布密度函数为： 磊n - i 考nl t 。n j v l k ，j 、c 棚h e 一胞p ( x - k c ；n - r ) “o 一嘲e 一舭 ( ， 定理2 ：产品寿命服从指数分布的情况下，试验总时间r = ( 一 c ) 的分 j ；l 布密度函数是由一系列参数为五，自由度不同的r 分布的线性叠加。 证明：考察在不同的区间上的t 的密度函数的具体形式。( 以下记只为丁 的分布密度限制在区间 i c ，( i + 1 ) c ) 上) ( 1 ) 当o x c 时，z c 0 ，所以彳和o ( 石) = p ( x ；月) ，啮( x ) 在 o ，c ) 上就是参数为a 自由度为n 的r 分布。 ( 2 ) 一般地，当m c x c 时，存在m 使得 m c x ( m + 1 ) c 成立，此时( 3 ) 式中各求和项中o 一勋) 的最大次数为m ，密度函 数为： m ，= 南i n 一+ 吾m 吾i n 南i 式高n - rc x 喇”_ 面南c 卸e 如 +na石n(z圳川刍(卸e砒k= ll 一k j ：1l ) 、 7 七! 、7 i o = p u + p b + p c 告：茎薹志_，：；c-to器(警”1了1而1p r ( n r t ( k 广 。名乏；( n k ) ! 一r ) lx x 一7 ) 2 考虑这个求和式中的任一求和项，其中i 兰毒最尝是n 的k o + t o 阶 多项式，因为x - x k o c 1 ，所以上式中每一求和项都是无穷小量寸。时) ，同 时由p 6 为有限项求和，得肌相对p 。是无穷小l ( n 寸0 0 时) ，所以当n 比较大 时，p 6 是小项，可以忽略不计a 在儿中，任意t 。l ，求和项为石南而0 - # i 一c ) n - 1 寺( 一1 ) e _ ， 除地等于志( 宰 “寺一酌x - 。k o c “n 上n n 胂对 以下是一些模拟的结果，左面图像为由t 的分布密度函数得到的密度函数 图像，右面为由模拟得出的分布密度( 模拟样本量皆为8 0 0 0 0 ) ( 1 ) 取n = 4 0 ，a ；0 5 ，c = 2 5 ( 2 ) 取n = 3 0 ，兄= 1 3 ，础 jl 可以看到，密度函数的计算结果与按产品寿命的真实情况所进行的模拟的结 果吻合。 2 3 数值计算的简化工作 我们可以看到在寿命服从指数分布情况下，总试验时间的分布密度里的求和 项是的总个数是m 2 数量级的，由于计算的复杂性，所以用手工进行计算是不可 能的，必然要通过计算机的辅助计算。在x 比较大时，我们可以看到计算量是比 较大的，如果实验总的样本个数是n = 4 0 ，则根据m l 时，密度函数的最大值点在 芝! ，并且函数曲线关于最大值点几乎对称，由此得到启发，p - i 以将- 2 + 兰! 作 为上面的n 。 在具体计算试验总时间的分布时，对于任一求和项 ( 朔广7 一扩m 孙孚时，由于这一项较小，可以 将此项忽略，在具体计算时也就不需要计算这一项，忽略这样一些项后的求和式 就是对总时间分布密度函数的近似。 下面我们通过数值计算来看这样近似处理的结果。 我们计算在不同参数下试验总时间的分布密度函数，我们分别按照精确的密 度函数式和近似的密度函数式来求，我们把两个函数图像画在一起以进行比较， 在画函数图像时采用的是散点法做图，也就是在函数定义区间内密集地取一些 点，计算在这些点上的函数值，然后通过将这些点用直线连接而得到大致的函数 图像： ( 1 ) 参数n = 2 0 ，2 = 1 ，c = 5 ，取的散点为0 到1 0 0 间每隔0 5 取一点，共有2 0 1 点。 可以看出近似函数和精确的密度函数只在尾部有些微差异，我们再来看可以 省去的计算，按精确的函数来计算的话，需要计算1 7 9 5 1 项求和项，而按近似算 法的话，只需要求1 2 0 0 0 项，省去了将近1 3 的计算量。 我们通过近似函数和精确的密度函数分布来计算t 的概率分布： 近似值精确值 误差百分比 p ( t 3 5 ) 0 9 9 70 9 9 7 60 0 0 0 6 p ( t 5 0 ) 0 9 9 8 10 9 9 8 80 0 0 0 7 p ( t 7 0 ) 0 9 9 8 80 9 9 9 70 0 0 0 9 可以看到近似算法误差非常小，而省去的计算量是比较大的。 ( 2 ) 参数n = 1 5 ，五= 0 7 ，c = 3 ，取的散点为0 到4 5 间每隔0 3 取一点，共1 5 1 点 。”广7 r o “f 1 叫1 o ，? ：j l j 叫1 。l 。、“j 4 位 亩1 f 葛刍1 矿靠茄_ 两者的计算结果也只是在图像尾部有很小的差别，经过计算机模拟计算可得 两种算法计算量的比为8 2 8 8 ：6 1 4 3 。 数值计算结果如下： 近似值精确值 误差百分比 p ( t 2 5 ) 0 9 9 8 90 9 9 9 00 0 0 0 l p ( t 3 5 ) 0 9 9 9 40 9 9 9 60 0 0 0 2 可以看出这种近似算法下计算结果与精确结果相差无几，而且误差基本都是 在尾部出现。对于某个数n 来说，计算p ( t 2 字时将此点忽略，可以看到，当n 越大， 或者越小时，这个规则越苛刻，也就是说相对来说，忽略的点数就越少，也就是 对于计算量的减少来说贡献越少，这应该说是这种近似算法的缺陷。 4 第三章产品寿命试验总时间的分布( 离散分布情况) 在某些情况下，产品寿命试验无法连续地对产品地状态进行监测，也就是 无法得到连续的产品寿命数据。只能在某些固定的时间点上观察产品是否失效， 比如每隔单位时间观测一次产品的失效情况，这样所得到的产品寿命是离散的。 在这种情况下，我们假设产品寿命服从离散的泊松分布。我们记单位时间为1 ， 则此时定时截断的定时c 不妨设为一整数。 我们来求在这种情况下的试验总时间的分布。 设x ，独立同分布，服从离散的泊松分布， 即 e ( x f “) 2 鲁8 以( 拈o ，l 2 ，p ) 。 x i “c 的特征函数为： e c e “z t c ，= e 一2 ( 盏；e f 舡+ 。委。；e l c 。 总试验时间的特征函数如下： e e l 乃= e z ”( 盏! ； e “b + 。耋。： e l c ” = e z ”盖( ； ( 盏菩e “。 。( 。耋，：；e f c ”一。 ：e a ”笔( ； 笔口，“( 。耋，! ： e f c ”7 = e z “委( ： ( 。妻。告) ”一。叁口z e “，+ c ( ，) ” 在上面的计算中，窆1 = 0 口，名e m 是( 盏等e 出 。的展开。 在上面的计算中， 艺口f 名e m 是i 鲁e 出 的展开。 t = o 根据离散分布特征函数的逆转公式： 尸( z = 七) = 云1e f 柏妒( ，) 出。 寿命试验总时间的分布为： 尸c 丁：，”，= 三；f ：e - t m t e - 2 n 盏( ； ( 。耋。等 ”一7 鬈口，e f ( “_ c ( n 一】) 出 = 去。砌拟。耋。矿扣眇咖卅训出 根据i ( t + c ( n - j ) - m ) t d l = ：万；+ + c 。( n 。一- j ，) - 一m m ：* 。o 时时， 有p c 丁= ，”，= e 一抽砉( ；) ( 。耋。墨k 、) ”一a m - c ( n - j ) 五”一c ( h j ) 。 下面的问题就是求即由于壹1 = 0 口，名e 以是( k 妻= o 等e 出 。的展开，所以我们先 下面的问题就是求a ，由于艺口，名e 以是i 鲁e 出j 的展开，所以我们先 来考虑下面的式子： f 耋钆x t g + 展开为磊c j 叩，。 c 左面式子是，个钆x 相乘，相乘结果中的每一项都应该是从，个c 个项 k = o 的求和式中各取一项相乘，要求有x 也就是要求取出的，个巩x 项的系数相加 等孔舭，为氢珈。 是所有满足如下两条件的项的求和： 1 、所有项都是由，一m p b k ( k o ) 相乘而成 2 、如果 i 中的，一埘项分别为6 捌，b k 2 ，b k ( t m ) ， 则 k l + k 2 + + 女( ，一) = ， 将此结果删嚏等e 出 7 展开的情况洲她= 面1 ，同时 旷烈j 。j 严 。 第四章均匀及对数正态分布下的试验总时间的分布模拟 除了前面所讨论的g a m m a 分布和指数分布外，均匀分布和对数正态分布 也是寿命试验中经常使用的寿命分布。然而在这两种分布下，计算试验总时间 的精确分布都有一定的困难。针对这种情况，我们对这两种分布情况下的试验 总时间做模拟，通过模拟出的频数直方图来分析试验总时间的分布的性质。 4 1 均匀分布的情况 我们这里假设个体的寿命服从【0 ，1 上的均匀分布，也就是x 。i = l ，2 ，n 独 立，且都服从 0 ，1 】上均匀分布。 随机变量墨a c ( o c i ) 的特征函数： e ( g ( x , a c ) ) = ee i x t d x + f 8 缸d x t = 去e 甜f ；+ c z c ，e 耙f = 丢e 把r 一丢+ c ，一c ，s f = ( 砉+ 1 一c ) ( e i c t - 1 ) + 1 一c 。 由独立性可得试验总时间t 的特征函数 ，( f ) = ( 丢+ 1 一c ) ( e 七f 1 ) + 1 一c ”。 将之展开，可以得到它是_ e w 了k l ( ，：o ，1 ，行) 的线性组合，而不论k 为何值， f i t ) 计算这些项的逆变换即要是计算万1 的f o u r i e r 逆变换，这个逆变换比较难得 到。下面我们对寿命服从均匀分布的情况做一些模拟。( 模拟数据量为1 0 0 0 0 0 ) a 、大样本的情况 当n 比较大时，由中心极限定理，这时候试验总时间的密度函数大致是正 态分布。分布的两个参数均值和方差均容易通过个体寿命的分布得到。 b 、小样本的情况 下面是几个小样本情况下的试验总时间模拟的频数直方图。 ( 1 ) 当n = 3 ，c = o 7 时的情况 善0os11 52 _ 2 。 ( 2 ) 当n = 5 ，c = o 5 时的情况 ( 3 ) 当n = 5 ，c = o 6 时的情况 0 0 0 ( 4 ) 当n = 5 ，c = o 8 时的情况 从几个小样本情况的模拟图可以看出，图象在某些点上会有比较明显的异常 变化，我们称之为“突变”。而且都是出现在c 的整数倍点上，例如( 1 ) 中的1 4 点，( 2 ) 中的2 点，( 3 ) 中的2 4 点。由前面我们得到的在指数分布寿命下的分布密 度函数形式可得，这表明密度函数在不同的c 的整数倍区间上 ( 【m c ，( m 十1 ) c 】，m = o ，l ，2 ，) 有不同的表达形式，也就是说在不同的区间上试验总 时间的分布密度是由不同的密度分布项叠加的。我们可以观察到另一个规律：也 就是随着c 的增大( 也就是截断效果的减弱) ，这种突变变得越来越不明显，也 就是说这种密度函数的突变是和截断密切相关的：当截断比较强时，这种突变就 比较明显，当截断比较弱时，这种突变就不明显。 4 2 对数正态分布的情况 当产品的寿命的对数服从正态分布( ，盯2 ) 时，那末这种产品的寿命所服 从的分布称为对数正态分布，常记为l n ( i u ，仃2 ) 。 考虑此时定时截断试验的总时间t = ( 五ac ) ，简单起见，我们假设其中 i = 1 x ，( f _ 1 , 2 ，a ，竹) 独立同服从l n ( o ，1 ) 分布。我们对总时间的分布情况做模拟。和 上面均匀分布的情况相同，在大样本下，试验总时间大致是服从正态分布的，所 以我们只对小样本情况做模拟。在我们以下的模拟中，模拟的量( 也就是模拟出 的寿命试验