（概率论与数理统计专业论文）随机变量的线性组合及次序统计量的随机比较.pdf

o l o g yo fc h i n a 一一 r sd e q r e e 1 一 s t o c h a s t i cc o m p a r i s o n so fo r d e r s t a t is t ic sandl ine arco mb ina t ion s o fr a n d o mv a r i a b l e s a u t h o r sn a m e ： s p e c i a l i t y ： 叁i u p e r v l s o r ： 1 n t 。i n i s h e dt i m e ： l i c h a o 场 p r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s p r o f e s s o rt a i z h o n gh u a p r i l ，2 0 1 1 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文：是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成果。除 已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成 果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：要垄超签- - 7 - f g q ：三型：! ：兰 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥有学 位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复 印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人提交的电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 矿公开口保密( 年) 作者签名：要垄塑 签字日期： 2 0li i 导师签名： 型h 叁县 一4 一 摘要 摘要 本篇硕士学位论文的主要内容包含两部分第一部分研究了带有相依结构的齐次 与非齐次样本的次序统计量在通常随机序意义下的比较，将m a ( 1 9 9 7 ) 中关于独立样 本的结果推广到相依样本情形第二部分给出均匀分布随机变量线性组合的分散序 结论的一个简化证明该结论表明当均匀分布随机变量的刻度参数在某种超优序下越 大，对应的线性组合在分散序意义下越大其最早的证明是由k o r w a r ( 2 0 0 2 ) 矛1 k h a l e d i k o c h a r ( 2 0 0 2 ) 给出 关键词：齐次样本；非齐次样本；p o i s s o n 二项分布；累进i i 型删失次序统计量；均匀 分布；超优；随机序 j 坠l 一 一 一i i t h i st h e s i sc o n s i s t so ft w op a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，w es t u d ys t o c h a s t i cc o m p a r i s o n so f o r d e rs t a t i s t i c sf r o mah o m o g e n e o u ss a m p l ea n df r o mah e t e r o g e n e o u ss a m p l ei nt h es e n s e o ft h eu s u a ls t o c h a s t i co r d e r t h i sp a r tg e n e r a l i z e dt h em a i nr e s u l to fm a ( 1 9 9 7 ) f r o m i n d e p e n d e n ts a m p l e st od e p e n d e n ts a m p l e s i nt h es e c o n dp a r t ，w ep r e s e n tas i m p l ep r o o ff o r ar e s u l tc o n c e r n i n gt h ed i s p e r s i v eo r d e r i n gb e t w e e nl i n e a rc o m b i n a t i o n so fu n i f o r mr a n d o m v a r i a b l e s t h er e s u l ts t a t e st h a tal i n e a rc o m b i n a t i o no fu n i f o r mr a n d o mv a r i a b l e si sm o r e d i s p e r s e dw h e nt h es c a l ep a r a m e t e r so ft h eu n i f o r mr a n d o mv a r i a b l e sa r cm o r ed i s p e r s e di n t h es e n s eo fm a j o r i z a t i o n i t sf i r s tp r o o fw a sg i v e nb yk o r w a r ( 2 0 0 2 ) a n dk h a l e d ia n dk o c h a r ( 2 0 0 2 ) k e y w o r d s ：h o m o g e n e o u ss a m p l e ；h e t e r o g e n e o u ss a m p l e ；p o i s s o nb i n o m i a ld i s t r i b u t i o n ； b i n o m i a ld i s t l i b u t i o n ：p r o g r e s s i v et y p e i ic e n s o r e do r d e rs t a t i s t i c s ；u n i f o r md i s t r i b u t i o n ； m a j o r i z a t i o n ；s t o c h a s t i co r d e r 一i v 目录 摘要 a b s t r a c t 目录 第一章基本概念 1 1 常见的几个随机序 1 2 超优概念 第二章齐次与非齐次样本的次序统计量比较 2 1 引言 2 2 主要结果 2 3 应用：累进i i 型删失次序统计量 第三章均匀分布随机变量线性组合分散序的一个简化证明 3 1 引言 3 2 新的证明方法 3 3 反例 参考文献 致谢 一v i i i i 2 1 2 3 1 1 3 5 5 6 8 1 l 2 8 l ，l 1 l 一v i 第一章基本概念 第一章基本概念弟一早圣令僦，孓 本篇硕士学位论文主要内容涉及带有相依结构的齐次与非齐次随机变量的次序统 计量的比较，以及给出均匀分布随机变量线性组合的分散序结论的一个简化证明，其 中涉及几个常见随机序以及参数向量的超优序关系，我们在该章对这些概述作简要介 绍 1 1 常见的几个随机序 在本节中，我们给出后面两章将要用到的几个随机序的定义，以及它们之间的相 互关系如果一个随机变量以较大的概率取比较大的值，我们就认为这一随机变量在某 种随机序意义下大于另一随机变量 定义1 1 1 ( s h a k e d s h a n t h i k u m a r ，2 0 0 7 ) 设x 和y 为两个随机变量，其分布函 数分别为f 和g ( 1 ) 如果k ( x ) 0 ( z ) ，vx 巩，或等价地，对任意的单调递增函数，有e 【咖( x ) 】e 妒( y ) 】 成立，则称x 在通常随机序意义下小于y ，记为x 。ty j ( 2 ) 如果- 8 ( t ) y ( t ) 关于t 单调增，则称x 在失效率序意义下小于y ，记为x 0 ) 若x 和y 皆有失效率函数a x ( ) 和a y ( ) ，则x h ，y 等价于a x a y 若x 和】，皆有反 向失效率函数“y ( ) 和“y ( ) ，则x ，hy 等价于“y “y 第一章基本概念 序。： h ，s r h 和l r 是用来比较随机变量的大小的，它们之问有如下的关系： x l ry = = 亭x h ry uu x r hy = 今x s ty 我们经常需要比较两个随机变量的波动程度，以把握随机结果的不确定性的大小 下面介绍的分散序就是其中的一个对任意分布函数f ，定义其右逆f 一1 如下： f 一1 ( u ) = s u p x ：f ( z ) u ) ，u ( 0 ，1 ) 定义1 1 2 ( s h a k c d s h a n t h i k u m a r ，2 0 0 7 ) 设随机变量x 和y 的分布函数分别 为f 和g 如果 f 一1 ( p ) 一f 一1 ( q ) g 一1 ( p ) 一g 一1 ( 口) ， v0 口p 1 ， ( 1 1 1 ) 则称x 在分散序意义下小于y ，记为x 幽dy 分散序较早由d o k s u m ( 1 9 6 9 ) 引入，之后o j a ( 1 9 8 1 ) ，s h a k e d ( 1 9 8 2 ) 等众多文献都对 其进行了深入研究分散序的定义意味着g 的任意两个分位点之间的距离不小于f 的 相应两个分位点之间的距离，即随机变量y 的耿值更分散下面的性质进一步明确了 这一点若x d i s dy ；则 i x l 一拖f 。ti m k i ， 其中x 1 ，恐与x 独立同分布；m ，蚝与y 独立同分布由上式显然可得 v a r ( x ) v a r ( y ) ，e i x l 一x 2 l e l h 一觇i 分散序的一条重要性质如下： x d i s py = 净e h ( x e x ) e h ( y e y ) ， 其中 是任意一个凸( c o n v e x ) 函数，使得上述期望存在有限特别地：x d i s dy 蕴涵 - y e i x e x i e l y e y i 由定义可知 x d i s py 铮一x - - d i s p y 另外，x d i s dy 当且仅当下列任何一条性质成立： ( 1 ) g 一1 ( f ( z ) ) 一z 关于z 单调递增； ( 2 ) 存在咖使得y = 咖( x ) ，其中砂满足( z 7 ) 一咖( z ) z 7 一z ，vz x ； 一2 一 第一章基本概念 1 2 超优概念 超优序是用来比较两个实向量之间各分量的分散程度，超优概念在建立各种不等 式中非常有用 定义1 2 3 ( m a r s h m l o l k i n ，1 9 7 9 ) 设x = ( z 1 ，z ，。) 和y = ( 饥，y n ) 为实向量， x 和y 对应的次序统计量分别表示为z l ：n x 2 ：n x n ：n 和可1 ：n 夕2 ：n ：n 我们称 ( 1 ) y 超优- 7 - x ，记为x5 my ，如果垒l x i ：n = 銎1y i ：n 且 ( 2 ) y 下弱超优于x ，i s ) x5 wy ，如果 ( 3 ) y 上弱超优于x ，记为x5 wy ，如果 定义1 2 4 ( b o n p 莓l t 酗e a ，1 9 9 0 ) 称向量x r 至在p 一序意义下小于另一个向 量y r 2 ，i 己为x py ，女口果 33 z ( ) 蛳j = l 1 佗， i = 1t = 1 g g ( 1 0 9 2 1 ，l o g z n ) 冬w ( 1 0 9 y t ，l o g y n ) k o c h a r x u ( 2 0 1 0 ) 知 x ! my 弓x 三py 但反过来蕴涵关系不成立 以下是几个具体的例子，其q j 每个向量都是n 维的 ( 击，b ：击) 5 m ( 商1 ：而1 ，击o ) 兰m ( ， ，0 0 ) m ( 1 0 ，o ) 一3 一 l一亿1 = k n妙 。础 0 ， 则( 2 2 2 ) 成立 p ( 巩= o l e = 0 ) = 韶，p ( k = o f o = 口) = q 口， 第二章齐次与：职齐次样奉的次序统计量比较 出第一个结果的证明，另外一个证明类似为此，假设p ( 勖= n ) rn e e 【娶肌j 狂圳。- 这蕴涵兀：1 p i p n 因此，对任意p 0 ，我们有 n p ? ( 矿) n ， i = 1 h u p ( 鲂= r i l e = p ) p ( 5 v = , - , l e = p ) ， v 口 0 由引理2 2 i ，得 s u l e = 卅。t 【s v l e = 钆v 口故勖s t 乱- 根据命题2 2 1 ，我们可以得到如下两个结果，其中涉及的随机变量满足多维混合 比例失效率和多维混合反向失效率模型 定理2 2 1 设( x 1 ，k ) 是一个随机向量，具有形如( 2 1 4 ) 式的联合生存函数， 其中f i ( z t i p ) = 同( 托) 】p ，i = 1 ，n j 再设( m ：k ) 是另一个随机向量，具有形 如( 2 1 4 ) 式的联合生存函数，其中f t ( x i l o ) = 【召( z 1 ) 】口，z = 1 ，n 如果隐变量9 的 支撑集为5 咒+ = ( 0 ，) ，则 x 1 ：n s th ：n x k ：n s tk ：n ， v 凫= 2 ，n 证明：对任意z 驼和i l ，仡) ，定义 巩= 1 托 z ) ，k = 1 k z ) ， 且汜勋= ：l 以，乳= 墨l ，其中1 a 表示事件4 对应的示性随机变量，则对任意i ， p ( 矾= 1 1 e = p ) = 【- o i ( z i ) 】p ， p ( k = l l e = 臼) = 【- ( 翰) p 注意到x 1 ：礼。tm ：n 蕴涵 p ( s u = 仡) = p ( x 1 ：。 z ) p ( m ：n 。) = p ( s v = n ) 一7 一 第二章齐次与”二齐次样本的次序统计量比较 由命题2 2 1 ( 1 ) 得，对任意k f 2 ，他】- ， p ( x k ：n x ) = p ( s u n k + 1 ) 2p ( s v 佗一k + 1 ) = p ( 玩：，。 z ) 因此，x k ：n 。t 坎：n 一 类似地，利用命题2 2 1 ( 2 ) ，我们可以证明如下定理 定理2 2 2 设( x 1 ，) 是一个随机向量，具有形如( 2 1 3 ) 式的联合分布函 数，其中r ( 玩1 9 ) = 【g t ( z t ) 】8 ，i = 1 ：，礼j 再设( h ，k ) 是另一个随机向量，具有 形如( 2 1 3 ) 式的联合分布函数，其中尻( 翰i p ) = f g ) 】9 ，i = 1 ，钆如果隐变量e 的 支撑集为瓣+ = ( 0 ，。) ，则 ：n s tk ：n = = 争：n s t 圪：n ， vk = l ，n 一1 由定理2 2 1 和定理2 2 2 ，我们可以得到如下两个推论 推论2 2 1 设噩：k 和h ：，碥由定理2 2 1 中定义， 1 ，佗。当且仅当 硗( z ) f 百( z ) 】n ，v z i = 1 推论2 2 2 i n x l ，和m ，k 由定理2 2 2 中定义， 1 ，仃，当且仅当 g ( z ) 【g ( z ) 】n ，v z 2 3应用：累进i i 型删失次序统计量 则溉：n 。tk ：n ，vk = 则x k ：。s ty k ：n ，vk = 在累进i i 型删失试验中：用礼个元件进行寿命测试，这佗个元件的寿命变量分别记 为x 1 ，在这里对寿命变量x 1 ，之i 铷的相依结构并没有作任何假定在时 刻。时佗个元件投入测试，当第1 次失效发生时，从剩余存活的元件中随机选取r 1 个并 让其退出测试，余下的儿一1 一r 1 个元件继续进行测试，当第2 次失效发生时，从剩余存 活的元件中随机选取r 2 个并让其退出测试依次下去，当第i 次失效发生时，从剩余存 活的元件中随机选取r 个，让这见个元件退出测试，这里i = 1 ，m ，且( 月：1 兄n ) 事先给定，满足仃= m + 冗1 + + 这样，在整个试验中，一共有罂l 兄个元件退 一8 一 第二章齐次与：1 f 齐次样奉的次序统计量比较 到m 个元件的大效这m 个元件的欠效时刻称为累进i i 型删欠次 x ，ns 礁，n 义景m ，n ， 其中r = ( r 1 ，r 竹。) 特别地，当m = n 且r 1 = = r m = 0 时，则 ( x 川x 川，磷：m ，n ) = ( x t ：n ：恐：。) ， 即为通常的次序统计量 关于独立但不同分布情形( 即x 1 ，独立但服从不同分布) 的累进i i 型删失 次序统计量的研究，可以参见b a l a k r i s h n a n c r a m e r ( 2 0 0 8 ) s n f i s c h e r ，b a l a k r i s h n a n & c r a m c r ( 2 0 0 8 ) 关于独立同分布情形的累进i i 型删失次序统计量，可以参见b a l a k r i s h n a n a g g a r w a l a ( 2 0 0 0 ) j f n b a l a k r i s h n a n ( 2 0 0 7 ) 特别地，当x l 独立同分布且有密度 函数，时，( x 川，碟：帆n ) 的联合概率密度函数为 g ( t l ，t m ) = c f ( t i ) ( 南) r ，t l t m 其l 卜c 为正则化常数另外( x m ，x r m ，n ) 也构成一个m a r k o v 链：其转移概率为 啦懈m 圳：( 幕) n 屯暑肛件1 艘 独 独立但不必同分布情形的累进i i 型删失次序统计量可以通过受测试元件寿命变量 对应的通常次序统计量和适当选取得整值随机变量显式表达 命题2 3 2 ( f i s c h e re ta 1 ，2 0 0 8 ；c r a m e r l e n z ，2 0 0 9 ) 设 x 川，礁m ，n 是 基于变量 x 1 i ) 的累进删删失次序统计量，其中对x 1 的联合分布以及 相依结构没有作任何假定，则 ( x 1 r , n 川x ，磷：m ，n ) = d ( x k ，：n x k 2 ：n ，x k 。：n ) ， ( 2 3 1 ) 其中l = k 1 k 2 一 zg n n ：l 布随机变量线性组合分散序的一个简化证明 机变量线性组合分散序的一个简化证明 在统计、概率、运筹学、精算学等领域大量出现，并有 广泛的应用文献中有很多关于随机变量线性组合的随机性质的研究，例如b o c ke ta 1 ( 1 9 8 7 ) ，n a d a r a j a h k o t z ( 2 0 0 5 ) ，k o c h a r x u ( 2 0 1 0 ) ：a m i r ie ta 1 ( 2 0 1 1 ) ，y u ( 2 0 1 1 ) 等但这些研究中多数是在特殊的底分布假定下进行的，如假设底分布分别为指数分 布、w e i b u l l 分布、p a r c t o 分布、伽玛分布、均匀分布，等下面简单回顾一下文献中这 一方面的工作 设x l ，托，是独立同分布的非负随机变量，具有一个共同的分布函数f ，定 义 s ( a l i h ) = 等， ( 3 1 1 ) 其中a l ，a 2 ，a 。是刻度参数( 皆大于o ) 记 入= ( a i ，a ，t ) ，入+ = ( a i ，a 三) ， s ( a ) = s ( a 1 ，a 。) ，s ( x + ) = s ( a ；，a ：) 对于f 为指数分布，b o n p t 苞n e a ( 1 9 9 9 ) 证明了 a + 兰p 入= = 争s ( 入4 ) - - h 。s ( a ) ， z h a ) b a l a k r i s h n a n ( 2 0 0 9 a ，b ) 证明了 入墨w 入= 号s ( 入4 ) l 。s ( 入) 对于f 为形状参数大于等于1 的伽玛分布，k o r w a r ( 2 0 0 2 ) 建立了( 3 1 3 ) 以及 a 45 ”入= 净s ( a + ) - - d i 。ps ( 入) ； k h a l c d i k o c h a r ( 2 0 0 4 ) 证明了 入45 p 入弓s ( 入+ ) s h r 【 d i s p 】s ( 入) ， 该式强于( 3 1 4 ) ，因为入+ ! w 入蕴涵入+ 5 p 入 一1 1 一 。 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 第二章均匀分布随机变量线性组合分散序的一个简化证明 对于f 为均匀分布，k o r w a r ( 2 0 0 2 ) 证明了 a + 5 wa = 亭s ( 入+ ) h 。 - - d i s p js ( a ) ， ( 3 1 6 ) k h a l e d i & k o c h m ( 2 0 0 2 ) 又将该结果推广为 a + 墨pa = 亭s ( 入+ ) - - h r 【d i 。p js ( 入) ( 3 1 7 ) k h a l e d i k o c h a r ( 2 0 0 2 ) 在建立( 3 i 7 )- - d j s p 序的结果时，利用了该序的定义，直 接验证两个分布函数的逆函数差的单调性证明稍显复杂，不易验证在本章中，我们 将利用分散序的几何直观，给出这一结果的另外一种简化证明另外，进一步讨论了 两个相关问题 3 2 新的证明方法 在给出主要结果的新的证明之前，我们需要两个引理 对任意定义于区间j 晚上的函数h ，h 于j 上符号改变次数定义为 s 一( h ) = s u ps - 【九( z 1 ) ，h ( x 2 ) ，h ( x m ) 】，( 3 2 1 ) 其中s 一【钞1 ，y m 】表示序列秽1 ：矽2 y m 的符号改变次数，在序列中若出现取值为0 的y t ，则在序列中删去该值y t ，( 3 2 1 ) 式中的上确界的范围是 ( z 1 i x 。) ：研，m2 1 ；x l x 2 z 仇) 引理3 2 1 ( s h a k e d s h a n t h i k u m a x ，2 0 0 7 ，定理3 b 1 7 ) 设x 和y 是两个随机变 量，其概率密度函数分别为，和9 如果对任意c 泥， s 一( ，( 一c ) 一9 ( ) ) 2 ，( 3 2 2 ) 且当等号成立时，( 一c ) 一夕( ) 的符号改变顺序为一，+ ，一，则x - - d i 。py 在引理3 2 i 中，( 3 2 2 ) 式的等号成立的几何直观足，考虑，和g 的函数图形，不管， 的图形是如何左右平移，它都是从下方穿过g 曲线，然后再从上方穿过g 曲线该充分 条件也说明了随机变量y 的尾部概率堆积要厚于随机变量x 一12 引理3 2 2 ( s h a k e d s h a n t h i k u m a r ，2 0 0 7 ，定理3 b 9 ) 设x l ：x 2 ，和m ，m ， ，k 是两组独立随机变量序列如果所有的k 和k 都具有对数凹c o n c a v e ) 的概率 密度函数，且 x i 一 2 情形不 欠一般性，假设o 入2 入1 ，0 a ；sa i 且( a i ，a ；) p ( a 1 ，入2 ) ，则 入2 a ；， a l a 2 a i a ； 另一方面，由m a r s h a l l o l k i n ( 1 9 7 9 ) 中的定理5 a 2 ( i i i ) ，我们有 ( 3 2 4 ) 一1+焉1石1十瓦1a1 ( 3 2 5 ) 一+ 焉石十瓦 幔z 5 由k o w o , r ( 2 0 0 2 ) 中命题2 1 得，s ( 入1 ，入2 ) 的概率密度函数为 a 2 。，0 z 击 ， 石1 z 瓦1 十入2 一a 1 a = z ， 击 z 击+ 瓦1 其它 考虑( 3 2 4 ) 和( 3 2 5 ) 式，函数纵。， 。( 茁) 和9 k ，a ；( z ) 的图形有3 种情形，见图3 1 从图3 1 很 容易看出：对任意c 睨， s 一( 9 a ：，a ；( 一c ) 一9 a ，a 。( ) ) s 2 ， 且当等号成立时，外：，遐( 一c ) 一纵，a 。( ) 的符号改变次序为一，+ 一因此，由引理3 2 1 矢口：s ( a ：a ；) d i 。p5 ( 入l ，a 2 ) 一1 3 第二章均匀分布随机变量线性组合分散序的一个简化证明 纵；，m a ； a 2 。 l 心 | g a l ，a 2 少 主寿2 专 i a 主 ( a ) 鲰；，a ； a ； a 2 l | l一 9 h k | 1l111l 焉碍十可 瓦瓦十瓦 ( b ) a ； a 2 。 1li1l1 露可十霹 万 石十瓦 图3 1 纵。，入：( t ) 年h g ；q ，m ( ) 的函数图形，其中参数满足o 入2 a 1 ，o 2 时的结果注意到a + - p 入等价于 ( 1 0 9a i ，l o ga ；，l o ga 三) 5 w ( 1 0 9a l ，l o g 入2 ，l o ga n ) 根据命n 1 2 1 l - j l m a r s h a l l o l k i n ( 1 9 7 9 ) 中命题5 a 9 a ，存在一个实n n ( 1 ，) 撒至，使得 ( 1 0 9 a ；，l o g a 三) 5 m ( 1 0 9 p 1 ，l o g 比n ) 芝( 1 0 9 a 1 ，l o g a n ) a f a 1 ，n w - - d i s pa w 注意到地a t ，所以我们有 垄鲕。p 誓，i - l 丹 西孔话pi 仁k 一k 再注意到均匀分布的概率密度函数是对数凹( c o n c a v e ) 的，由引理3 2 2 得 3 ( a 1 ，：肛n ) - d i s ps ( a 1 ，a n ) 为i i e n ( 3 2 3 ) ，我们仅需证明 ( 1 0 9a ；，t o ga ：) m ( 1 0 9 # ，l o g # n ) 弓s ( a i ，a ：) 0 ，vi 在给出命题3 2 1 的具体证明之前，我们先分析定理3 2 1 中的证明方法是否依然有 效我们考虑他：2 的情形不失一般性，假设o 口1 铝龙 0 2 和p i + 钙= 0 1 + 口2 由前面已知口1 x 1 + 0 2 x 2 的概率密度函数为 l 彘， i 1 觚( 垆 0 x o t 0 1 z 0 2 万1 一看镑，0 2 z 0 1 + 0 2 其它 从图3 2 可以看出 s 一( ：，躬( 一c ) 一如。，0 。( + ) ) = 3 因此，e a l 王- e 3 2 1 已不再可以用于建立口i x l + 钙尥与口l x l + 0 2 x 2 之l 刨的d i s p 序关系 为证明命题3 2 1 ，我们需要如下的一个引理 化证明 图3 2 如。，如( z ) 和肠，躬( ) 的函数图形，其中参数满足o 口l p 2 ：0 铝冬钙 和( 印钙) m ( 口l ，p 2 ) 引理3 2 3 ( k o r w a r ，2 0 0 2 ；s a u n d e r s m o r a n ，1 9 7 8 ) 设f 历，p 0 ) 为一个随机变 量族，历的支撑区间为( 钿，一? 组+ ) ，其分布函数为乃，概率密度为乃，其中0g 昵，则 历d i s p 勿， v 臼，口+ 0 ，口 0 4 ， 当且仅当掣如( 茁) 关于z 单调递减 命题夕2 的证明： 我们将利用引理3 2 3 来证明钟x l + 铝x 2 簋d j 。p0 1 x 1 + 0 2 x 2 设口1 = c 一0 ，如= c + p ，其中0 口 c | 直| 定c ，并将1 x 1 + 口2 托的概率密度函 数如。，如及其分布函数分别简记为如和乃因为 f 南， o z c 一口 剐班 翥1 南一南c - o x 蚴 c + 口 【o ， 其它， 和 f o ，z o l 志，0 x c - o 乃( z ) 2 虿 $ - 4 孚- g f 三乏芊蓊，c p z c + p ( 3 2 国) i一哥孬可， c 一口z c 十f 【， 其它， 所以 。f ：岛，0 锶：ic-x川zc-川afo ( x ) l 厕， c 一口、z c 十口 第二章均匀分布随机变量线性组合分散序的一个简化证明 该函数关于z 并不具有单调性幽引理3 2 3 得；钟x l + 呓恐g d i s p0 1 x 1 + 0 2 x 2 命题证 毕i 事实上，从命题3 2 1 的证明过程可以看出 ( 口；，呓) 5 m ( 0 1 ，0 2 ) 7 兮占；x 1 + 够磁s t 口1 x l + 0 2 x 2 ( 3 2 1 0 ) 这是因为从( 3 2 9 ) 式可以看出，当c z c + o 时，f o ( x ) 关于0 严格递减i 当c 一0 z c 时，乃( z ) 关于0 严格递增 对任意两个具有相同有限的左支撑端点的随机变量us h y ， u d i s pv = 专u s tv ( 见s h a k e d s h a n t h i k u m a r ( 2 0 0 7 ) 中定理3 b 1 3 ) 利用此事实，( 3 2 8 ) 可以从( 3 2 1 0 ) 得 到 3 3 反例 比较节3 1 中的几个对于特殊分布的结果，特别是( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) ，我们有：当f 为 指数分布、形状参数大于等于1 的伽玛分布时，下面的关系成立： 入+ - k m 入弓s ( 入+ ) l ，s ( 入) ( 3 3 1 ) 指数分布、形状参数大于等于1 的伽玛分布以及均匀分布都是具有p f z 性质，即其概率 密度函数是对数凹的p f 2 分布有许多很好的且较为相似的性质人们自然要问：( 3 3 1 ) 式中的蕴涵关系对均匀分布足否成立? k o r w a r ( 2 0 0 2 ) 证明了对均匀分布，该蕴涵关系 是不成立的我们在此给出该结论的更为详细的证明 反例3 3 1 ( 入+ - k m 入且f 为p f 2 务s ( 入+ ) s l ，s ( 入) ) 设x l 和拖独立同分布，共 同分布为区i n ( 0 ：1 ) 上的均匀分布，入1 + 入2 = 入i - t - a ；= 1 且满足0 a a + s1 2 我们 将证明 s ( a + ，1 一a + ) 名l ，s ( 入，1 一a ) 由前面知s ( a ，l a ) 的概率密度函数为 9 ( z ) = ( m i n a ( 1 一a ) z ，a ，1 一入( 1 一a ) z ，) + ， 一1 r 一 如果妥嘉+ 由，则 9 ( z ) f ( x ) 0 z 两1 两1 z f 1 万 亡f z f 1 可摭，f1 嘉+ 由：则 夕( z ) f ( x ) ，页1 z 专十亡弦 嘉+ r 导 z 去+ r l j ， a f 百孤 a a + 两1 z f 1 弦 f 1 f 矿1 ， 该函数也不单调因此，g ( z ) f ( z ) 不是一个单调函数，即s ( a + ，l a + ) 基l ，s ( a ，1 一a ) 司 一1 9 一 产 第二章均匀分布随塑銮兰垡丝! ! ：鱼坌塑壁墼二全堕些堡塑 一2 0 t i o n so fi n d e p e n d e n tg a m m ar a n d o mv a r i a b l e s p r o b a b i l i t yi n 地ee n g i n e e r i n ga n di n f o r m a t i o n a l s c i e n c e s ，2 5 ，5 5 6 9 f 2 】b a l a k r i s h n a n ，n ( 2 0 0 7 ) p r o g r e s s i v ec e n s o r i n gm e t h o d o l o g y ：a na p p r a i s a l ( w i t hd i s c u s s i o n s ) t e s t ，1 6 ，2 1 1 2 9 6 【3 jb a l a k r i s h n a n ，n a n da g g a r w a l a ，r ( 2 0 0 0 ) p r o g r e s s i v ec e n s o r i n g ：t h e o r y , m e t h o d sa n da p p l i c a t i o n s b i r k h a u s e r ，b o s t o n f 4 】b a l a k r i s h n a n ，n a n dc r a m e r ，e ( 2 0 0 8 ) p r o g r e s s i v ec e n s o r i n gf r o mh e t e r o g e n e o u sd i s t r i b u t i o n s w i t ha p p l i c a t i o n st or o b u s t n e s s a n n a l so ft h ei n s t i t u t eo fs t a t i s t i c a lm a t h e m a t i c s ，6 0 ，1 5 1 1 7 1 【5 jb o c k ，m e ，d i a c o n i s ，p ，h u f f c r ，f w c o m b i n a t i o n so fg a r o m ar a n d o mv a r i a b l e s a n dp c r l m a n ，m d ( 1 9 8 7 ) i n e q u a l i t i e sf o rl i n e a r t h ec a n a d i a nj o u r n a lo fs t a t i s t i c s ，1 5 ，3 8 7 - 3 9 5 f 6 】b o n ，i l a n dp 勘t 五n e a ，e ( 1 9 9 9 ) o r d e r i n gp r o p e r t i e so fc o n v o l u t i o n so fe x p o n e n t i a lr a n d o m v a r i a b l e s 三啦t i m ed a t aa n a l y s i s ，5 ，1 8 5 - 1 9 2 【7 】c r a m e r ，e a n dl e n z ，u ( 2 0 0 9 )