（概率论与数理统计专业论文）混合鞅线性过程的泛函中心极限定理.pdf

摘要 在过去的二十多年中，计量经济学在其各个领域内都取得了重要的发展。这 不仅使计量经济学自身成为一门同趋重要的边缘学科，也使得它在现代经济学 和金融学中起着越来越重要的作用。计量经济学的发展主要归因于最新的统计 理论的进展。然而，遗憾的是，目前大部分的研究中比较经典的结果是基于误差 项为独立同分布的情形或者鞅差序列情形，关于较为一般的相依情形研究相对 较少。 由于在大部分的实际应用领域中，尤其是在计量经济时间序列中，创新项通 常不相互独立，许多研究者寻求各种方法刻划创新项之间的相依性。鞅差序列和 混合序列是最早被提出来的。然而，鞅差序列太特殊，不足以涵盖一般情形。同 时我们也注意到，基于混合序列的无穷个滞后项或预期项的函数所构成的序列 通常不满足混合性质。本论文将应用概率极限理论的相关工具，对由混合鞅序列 产生的线性过程的极限性质进行讨论。 混合鞅的定义最初是由m c l e i s h 仿照鞅的定义给出的，之后由a n d r c w s 给出推广。令 ，r t 1 ) 为定义在概率空间( q ，莎，汐) 上的随机变量序列。 设 。，死1 ) 为莎的子盯。域序列，它关于礼递增。对于p 0 ，令i l x i i p = ( e l x i p ) 1 p 和鼠( x ) = e ( x f 磊) 定义0 1 令p 1 ，称 ，罗，佗1 为l p 。混合鞅，如果存在非负实数序 列 c n ) 和 肛( m ) ) ，满足下列条件：p ( 仇) _ 0 ( m _ 0 0 ) ，且对于所有的n 1 和m 0 ，成立 ，i i 玩一m k i l p 肛( m ) c n ， 1 1 一鼠+ m k b u ( m + 1 ) c n 。 本文主要讨论由l 2 混合鞅产生的线性过程的弱收敛性质。 在第一章中，我们将介绍混合鞅的泛函中心极限定理，并且给出混合鞅序列 加权和的弱收敛性以及证明，这对于第二章中证明由混合鞅产生的线性过程的 部分和过程的弱收敛性具有很重要的作用。第一章的最后简要介绍一下混合鞅 的其他研究结果。 线性过程的泛函中心极限定理对于刻划各种从计量经济模型的统计推断问 题中所导出的检验统计量的分布，起着至关重要的作用。有相当多的文献关于这 一课题作了深入而细致的讨论，其中主要针对有关创新项的相依性和模型系数 的各种不同假设条件下，部分和过程的极限分布形式。在第二章中，我们先介绍 关于线性过程的一些经典研究结果。 在第二章第二节中，我们讨论了如下线性模型 o o 磊= 如五勘 ( 1 ) j = o 其中 咒，一o 。 t l ， k ，莎，r t 1 w i l lb ec a l l e d l p - m i x i n g a l e ， i ft h e r ee x i s tn o n n e g a t i v es e q u e n c e c n ) a n d p ( m ) ) ，w h e r ep ( m ) _ 0 ( m _ ) ，s u c ht h a tf o ra l ln 1a n dm 0 ， i l 鼠一仇i i p 肛( m ) c n ， i i k 一玩+ m k i i p p ( m + 1 ) c n w ew i l li n t r o d u c et h ew e a kc o n v e r g e n c ea n do t h e rc l a s s i c a lr e s u l t so ft h e m i x i n g a l ei nc h a p t e r1 t h ef u n c t i o n a lc e n t r a ll i m i tt h e o r yo ft h el i n e a rp r o c e s sp l a y sa ni m p o r t a n t r o l ei nt i m es e r i e sa n a l y s i s av a s ta m o u n to fl i t e r a t u r ei sd e v o t e dt ot h es t u d yo f t h ea s y m p t o t i c sf o rl i n e a rp r o c e s su n d e rv a r i o u sa s s u m p t i o n so nt h ei n n o v a t i o n s a n dt h ec o e f f i c i e n t s i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s sal i n e a rp r o c e s sd e f i n e db y 磊= ：易咒0 ， ( 2 ) j = o w h e r e x ，一o o t l ，称 k ，爵，n 1 ) 为厶一混合鞅，如果存在非负实数 序列 ) 和 弘( m ) ，m o ) ，满足下列条件：u ( m ) _ 0 ( m _ o o ) ，且对于所有 的n l 和m 0 ，成立： l l b 一m 0 p p ( m ) c n ， i i x 一鼠+ m i i p 肛( m + 1 ) c n 混合鞅的定义最初是由m c l e i s h 仿照鞅的定义给出的，之后由a n d r e w s 给 出推广。 当对于所有的m 1 ，有u ( m ) = 0 ，定义1 1 中定义的随机变量序列即为 厶- 鞅。 通常c n 是随机变量相对大小的一种衡量，比如范数i i | | p ，我们有 i i k | l 鼠i l p + i | 一玩| l p ( p ( o ) + p ( 1 ) ) ( 1 1 ) 若对于某个e 0 ，u ( m ) = o ( m 以叫) ，则称( p ( m ) ) 的“大小”为一a 。进 而，如果定义1 1 中的 p ( m ) 的“大小”为一入，相应地，我们称 ，n 1 ) 是“大小”为一久的混合鞅。 下面我们给出随机阵列的混合鞅定义。令( i ：i = 1 ，2 ，n = 1 ，2 ，) 是- - n 定义在概率空间( q ，莎，p ) 上的零均值随机变量阵列。 定义1 2 我们称阵列 k l ，i = 1 ，2 ，n = 1 ，2 ，) 满足岛一混合鞅的条 件：如果对于某个o r 一代数序列z 。i ，只缸关于i 单调递增，存在一列正常数序列 i 以及 p ( m ) ，仇o 满足下列条件p ( m ) _ o ( 当m _ o o 时) ，对于所有的 礼1 ，i 1 ，m 0 ，有 i i e ( x t i 磊，t m ) i l p p ( m ) c 砸，( 1 2 ) 浙江人学硕士学位论文 t e ( k i l 民，件m ) l l p p ( m + 1 ) c 砸( 1 3 ) 鞅差序列、零均值m 一相依序列、l p ( p 1 ) 有界( s u p i 1e i x i i p 0 ) 的标准正态分布， 即 w z n 】= 高上。e - u 2 2 t p o t 砒，o ， 1 ( 1 4 ) 对于t = 0 ，则有w z o = 0 】= 1 ( 2 ) 随机过程 z t ：o t 1 ) 在分布w 下具有独立增量，即如果 0 t o t l “1 ，( 1 5 ) 则 z t l z t o ，z t 2 一z c l ， ，z t k z “一1( 1 6 ) 在分布w 下相互独立。 1 2 2 混合鞅的部分和的泛函中心极限定理 m c l e i s h ( 1 9 7 7 ) 在参考文献 2 1 中，证明了关于混合鞅阵列部分和的泛函 中心极限定理。 定理1 1对于混合鞅阵列 i ，磊t ：1 i ，死1 ) - ，令( ) 是一列 在【0 ，k n ) 取整数值的非降的右连续函数，我们定义一个随机函数 k n ( t ) ( ) = k i ( 1 7 ) i = l 假设对定义1 2 中的己2 混合鞅阵列 i ，玩i ：1 i k n ，死1 ) ，t 。o ，有 一2 一 浙江大学硕士学位论文 ( 2 ) 一致可积， ( 3 ) s u p l i p 婆盥 ， s t tn o 。t s 孥；，2 ，；妯( t ) ) m 呸、c n _ 0 ， h ( ? ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) ( 志) 毛 o o ，(1ii)k = ln = o 7、。7 ( 5 ) 对于任意s t u ，有 k ( u ) e i e ( k 1 ) 2 i 磊剐s ) ) 一( 乱一亡) i o ，佗_ o o ， ( 1 1 2 ) i = k n ( c ) 则彬，( ) 弱收敛到一个标准w i e n e r 过程。 为了本文需要，我们根据定理1 1 推论出混合鞅序列的泛函中心极限定理。 推论1 1 若随机变量序列 k ，玩，佗1 ) 为定义1 1 中定义的己2 混合 鞅，令k n ( t ) 是在【0 ，n 】上取整数值的非降的右连续函数。我们定义一个随机函数 h ( t ) 眠( 艺) = z 1 x ， ( 1 1 3 ) 一“i = 1 其中，2 = e 砩，最= ：lx 假设t o 。，以下条件成立： ( 1 ) 一致可积， ( 3 ) 删i 嬲p 糍 o o ， 睾删，2 ；i 洲珊 ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) ， m a x ，、 _ 0 ， ( 1 1 6 ) i 七n ( t ) 、 7 3 一 浙江大学硕士学位论文 ( 4 ) k - - - - i ( n = 0 志) 呜 。， ，_ 。， ( 5 ) 对于任意s 亡 0 ，有 l i m m ne x p 一6 2 2 ”2 n t 2 u t 2 】 = 0 ， n+。oo t = l l i mm a xl a t _ _ j l ：0 。 7 1 - - - - 0 01 n o n 去喜。舭。 ( 1 3 5 ) ( 1 。3 6 ) ( 1 3 7 ) 为了证明定理1 4 ，我们需要先引入下面的引理。 引理1 1 ( 参考文献 1 0 】) d n ，磊，扎) 是一个鞅差序列，假设l d i i d i 一6 0 i | 2 几 l u k 脚 n n 甄 n l f 0 一 p xe n 盯 星 浙江大学硕士学位论文 几乎处处成立，则对于任意的6 0 ，有 p ( i d l i 6 ) 2 e x p 一6 2 ( 2 霹) ，v n 1 ( 1 3 8 ) i = l i = 1 足理1 4 的证明 瓦：产堕 石 = 兰 五一e ( 托i 玩+ 一) ) 一1 v n 十t = l 券 e ( x 川托i 坟) l 舅+ r n - - 1 ) 一e ( x 州恐i 6 。) 玩一m n ) ( 1 3 9 ) + t = l 券 ( e ( 咒，( i x , i 6 t ) i 舅+ 一，) 一e ( x j ( i x , i 6 t ) i 玩一) ) + 兰e ( k l 玩一) + 一1 ”n = ：砭1 + 砭2 + 砰+ 砑) 为了证明死三0 ，我们只需证明对于i ：1 ，2 ，3 ，4 ，硝) 二0 均成立。 对于任意的 0 ，9 根据m a r k o v 不等式、m i n k o w s k i 不等式以及混令鞅 的定义，我们有 尸( 碟1 ) ) 一p e l 尝( 咒一e ( 托i 一。) f p e 一( 妻l 。a d ，l lx t e ( x t l 玩+ m 。一1 ) 1 1 p ) p 0 4 0 ) 一p 燃掣( c 。) pm1 n ) ) p ， t 7 1 、， 。 根据假设2 以及4 ，我们有一1 ) 三0 一7 一 浙江人学硕士学位论文 类似地，我们有 p ( 砭4 ) e 呻历 当e ( 咒l 玩- m n ) l p t = l 。7 e - p | ( i 兰川e ( x 只一m 。) 1 1 p ) - p ( 1 4 1 ) t = l 。7 。 e p 您蒉i ai ( 善- , l c ) p ( m n ) ) p ， 、l n 仃n 、厶一、 ”“ 所以根据假设2 以及4 ，我们有一4 ) 三0 下面我们证明砰) 三0 对于任意的s 0 ，根据m 口r 尼d 秒不等式以及假设 l ，对于某个7 ，l ，我们有 p ( 7 1 3 ) 2 - - 1 1 尝e l 托j 州咒f 6 。) i = 篓型耋篓 删 1 t n ( k - 一贸一1 。1 裟掣铲 t n ( h ：，硝一1 2 一l1 陇掣( “( o ) + p ( 1 ) ) p 留酲一， n ”、7 、“ i 尝( e ( x , z ( t x t t 巩) f 玩+ 歹) 一e ( x j ( i x d 6 t ) f 幺切一) ) l 2 a _ _ 型t l b t ，( 1 4 4 ) 一8 一 玩 r 州 咒 刚 剐。僦 e dn觐幽呱妻僦黑 浙江大学硕士学位论文 根据引理1 1 ，我们有 p ( 砭2 e ) p i 罢f e ( x d ( 1 x , l b t ) l , 乒t + j ) j = - m n + 1 t = l 一 一e ( x , i ( 1 x d b t ) l , - 乒t + i 1 ) i 亮) 2 ( 2 叫e x p - 圭( 去) 2 ( 4 和- 1 ) 4 m ne x p 一2 2 伊么m n 2 8 2 溉2 】) 由假设3 知碟2 三0 ，于是有去翟。o 。x t 三0 ( 1 4 5 ) 1 4 混合鞅的其他研究 1 4 1 混合鞅的中心极限定理 混合鞅已经引起了很多学者的兴趣。对于混合鞅的各种性质，都有一些比 较好的研究结果。这罩我们主要介绍一下混合鞅的中心极限定理。r o b e r tm 和 d ej o n g ( 1 9 9 7 ) 在参考文献f 2 6 中给了混合鞅阵列的中心极限定理。 设 t ，i = 1 ，2 ，n = 1 ，2 ， 为l 2 一混合鞅阵列，定义k 和b n 为非 降正整数序列，使得b n k + 1 ，z n 1 ，6 n 几，以及z n _ 。o ， 2 n 6 n _ 0 令r n = n 6 n 】，定义磊= ：t 一1 ) k + j 。+ 1k ，同时假设e x n i = 0 定理1 5 假设下列条件满足 ( 1 ) ：，。k + lx t 三0 ， ( 2 ) 翟l 厶t ( ：i - ( 1 ) b n ) + 6 州i n 溉t 三0 ， ( 3 ) 銎。e ( 磊；l 磊，i - 1 ) 三0 ， ( 4 ) 翟l ( 磊。一e ( z n t i 玩， ) ) 三0 ， ( 5 ) 翟。( e ( 玩j 磊， ) 一e ( 乙i 玩，) ) 2 三0 ， ( 6 ) 对于比 0 ，当r z _ 。时，有 r n e ( e ( 磊t l 磊，t ) 一e ( f 磊 i - ) ) 2 ，( f e ( 磊一玩，i ) 一e ( 玩l 玩卜t ) i e ) _ 0 ， 则有：。t 依分布收敛于n ( 0 ，1 ) 一9 一 浙江人学硕十学位论文 1 4 2 混合鞅的极大矩不等式 m c l e i s h ( 1 9 7 5 ) 【1 9 卜。文中，讨论了“大小”为一；的2 一混合鞅序列的部分 和极大二阶矩不等式。 定理1 6 令 x 是大小为一互1 的2 一混合鞅，& = 銎1x i ，则存在一个 仅依赖于 p ( m ) ) 的有限常数，使得 e ( 篱g ) k ( 善考) ( 1 4 6 ) 成立。 推论1 2 令 五) 是满足 弘( m ) ) 的大小为一吾的l 2 一混合鞅，且 墨1 碍i 2 o 。，则s n 一0 a 8 第二章由混合鞅序列产生的线性过程的泛函中心极限定理 2 1 引言 线性过程在时间序列模型中具有非常重要的地位，有大量的文献都讨论了 线性过程的各种性质，它对于经济、工程以及物理学科都有着极其广泛的应用。 因此很多学者致力于研究线性过程的创新项满足不同条件时，线性过程的极限 定理。考虑如下模型 0 0 磊= 岛x 小 j = o 其中 x t ，一o o t o 。，是均值为零的随机变量序列， 满足 i o j l 姒 j = o ( 2 1 ) 岛，j o 为实数序列， ( 2 2 ) 2 1 1 由独立同分布随机变量序列产生的线性过程 李云霞博士论文( 2 0 0 5 ) ( 参考文献f l5 ) 讨论了由独立同分布随机变量序列 产生的线性过程的中心极限定理及其收敛速度。 定理2 1 假设 x ；一。 i 1 ，记& = ：1 磊， 且 仇；一。o i 。o ) 为实数序列满足江0 0 一l o i i 1 ，其中 仇；一o o i ) 为 满足墨一o 。 。的实数序列， x ；一o o i o 。) 为满足e x l = 0 以及 e x 。oi i d 的随机变量序列。记= ：l 互，假设e i x l l 3 0 0 ，那么 s u pi p ( s n 7 - z 而) 一p ( n z ) l c n m e i x l l 3 ， o o x c l o ( 2 4 ) 其中，表示一个服从标准正态分布随机变量。 2 1 2 线性过程的强逼近 陆传荣，邱瑾在参考文献【1 7 】中对形如( 2 1 ) 的线性过程建立了泛函重对数 律和强逼近结果。 设 五，一o o t o o ) 是独立同分布随机变量序列，e x l = 0 ，e x = 1 浙江大学硕十学位论文 假设磊为由 五) l 生成的线性过程，定义如( 2 1 ) 式，其中 ( 2 5 ) 记盯2 = a 2 口支，其中啾= v a r ( x i ) 。定义函数磊( 亡) 如下 k 磊( t ) = z j a x 2 nl o g l o gn ，t = 七n ，k = 1 ，九， ( 2 6 ) i = l 以及磊( o ) = 0 ，在其他值处对磊( t ) 进行线性插值。 用记f o ，l 】上绝对连续且满足( ，7 ( z ) ) 2 d x 1 的函数厂( z ) 全体，彬( 礼) 为标准w i e n e r 过程。 定理2 3 设( 咒，t 1 ) 是独立同分布随机变量序列，e x l = 0 ，e 研= 1 线性过程 磊，t 1 ) 定义如式( 2 1 ) ，且满足 则 五，0 t 1 ，n 3 ) 概率为1 地相对紧且极限点集是k ( 2 7 ) 定理2 4 设 咒) 为独立同分布随机变量序列， z d 如( 2 1 ) 式定义， a = 器。岛0 ， ( i ) 若e i x i p 2 ，e x = 1 且凳1 ) i i 岛i 0 ，对于l t i t o ，有e e 。x t 0 0 ，e 砰= 1 ，且 础0 0 引岛i o o ，则 邑一a w ( n ) = o ( 1 0 9 n ) n s ( 2 9 ) j = 1 2 1 3 由相依随机变量序列产生的线性过程 在很多实际情况中，线性过程的创新项往往不是独立的。不少研究者对由 相依随机变量序列产生的线性过程做了深入的研究。例如，w a n g e t a l ( 2 0 0 2 ) 考虑了创新项为鞅差序列的情形：k i m 和b a e kf 2 0 0 1 ) 对创新项为l p q d ( 1 i n e a rp o s i t i v e l yq u a d r a n td e p e n d e n t ) 序列的情形进行了研究；l “( 2 0 0 3 ) 讨 论了负相伴( n a ) 序列产生的线性过程：d a v i d s o n ( 2 0 0 2 ) 考虑了近邻相依的情 形：邱瑾在参考文献f 2 8 1 中考虑了强近邻相依的情形。 一1 2 一 o * 岛 舢 | | 4 岛 伽 c ) l 玩一1 ) = 0 ， c - o o t e z 和 e ( 砰i 玩一1 ) = 仃2 ， vt z8 s 易) 满足( 2 1 1 ) 式，则( 2 1 2 ) 式成立。 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) f a k r e z a k e r i 和s a n g y e o l 在参考文献【9 中假设 五，玩，t z 是一个 鞅差序列的条件下，研究了 互；t 1 ) 部分和过程的弱收敛性，得到： 定理2 7 设 x ，只t z ) 是一个鞅差序列，使得 e ( x tj 玩一1 ) = 0 ，e ( 霹i 玩一1 ) = 沪，a s ( 2 1 5 ) 定义z t = 器一易咒响t 1 ，& = ：。毛，7 - 2 = ( t 2 ( 器一o 。0 5 ) 2 ，其中 【岛，歹z ) 满足( 2 1 1 ) 式。对n 1 ，定义随机过程 厶( 札) = n - 1 2 丁一1 ( s + ( 乱n r ) 墨+ 1 ) ，r n 让( r + 1 ) n ，( 2 1 6 ) 此处r = 0 ，1 ，n 一1 令 心；咒1 】- 是- - n 取正整数值的随机变量列， 为一随机变量，满足p ( o n ) = 1 ，并且n 几二，则过程 鼠( 乱) ；0 乱1 弱收敛到c o ，1 上的w i e n e r 测度，其中c 0 ，l 】表示 0 ，1 上连续函数所组成的空间，并赋予上确界范数。 0 * 易 钐 一 浙江大学硕士学位论文 2 1 4 由鞅差产生的非平稳线性过程的泛函中心极限定理 鞅差序列是特殊的混合鞅序列。韩玉、杨晓云、董志山在f 1 1 】中给出了由鞅 差产生的线性过程的泛函中心极限定理。 定理2 8 设 五 是由( 2 1 ) 式定义的线性过程，其中 0 ，则 l i mp ( s ：1 & 。 b ) ：垂( z ) ：( 2 7 r ) 一l 2i - z e x p ( 一百y 2 ) 咖， 一 j 一 o 其对于任意的z 都成立，其中s n 2 = 彻r 2 ( 暑。易) 2 若令 n ( ) = s ：1 ( s + 墨十l ( t n r ) ) ， r 讫t ( r + 1 ) n ， ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 这里r = 0 ，1 ，n 一1 ，则靠( 亡) 所有的有限维分布在概率尸b ( ) 下收敛到标 准w i e n e r 过程w 的有限维分布，即任给正整数f 以及实数t 1 ，t 2 ，缸，满足 0 。t 1 t 2 t z 1 ，在概率如( ) 下，有 ( 靠( t 1 ) ，厶( 亡2 ) ，n ( 白) ) 兰( w ( t 1 ) ，w ( 亡2 ) ，w ( 岛) ) ，n _ o 。， ( 2 2 2 ) 这里，p b ( a ) = p ( a i b ) ，a 莎 2 2 由混合鞅产生的线性过程的泛函中心极限定理 在这一节里，我们将给出由混合鞅序列产生的线性过程部分和的泛函中心 极限定理。 记最= l 仁r l 一。，以= e 甓令 、【蜓】 磊( ) = 五， 。礼t = l 其中磊如( 2 1 ) 式定义，蠢= 喵2 u n 2 ，u p = 器。如0 ( 2 2 3 ) 定理2 9 假设 咒，玩，一。o t 。o ) 如定义1 1 中定义的的零均值的弱 平稳的l 2 一混合鞅序列。记e 粥= 政 。o ，冀= n - 。咒，k i = x ， 玩= 器件l 易。假设2 = e 酲存在，且_ 。o ( n _ o 。) ，慨，一o o t ) 一1 4 0 * 办 伽 岛 倒 浙江大学硕士学位论文 是一列j 下常数序列， m 。) 是一列正整数序列，( 亡) 为在【0 ，n 】上取正整数值的 非降右连续函数，t 0 0 ，下列条件成立： 一致可积， 删t 恕p 糍 o o ， _ 等；n ：1 ，2 ，；i k ( 丁) ) q m a x c i 叶0 i t k n ( t ) ( t n ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 4 ) o 。k 1 荟( 薹志户一， ( 2 2 7 ) ( 5 ) 对于任意s t 札，有 k n ( 牡) v e i e ( 鲁) 2 l 玩小) 卜( u 一亡) 卜o ，佗_ o o ， ( 2 2 8 ) i = k 。( t ) ( 6 ) 当n _ o o 时， 以下条件至少满足一条： ( a ) e ：一c 2 b - 1 = o ( 1 ) ， ( b )对于所有的一0 0 t 0 ，有 。，l i m m ne x p ( 一6 2 2 【m n 2 ( 磅6 ；) ) = 0 ， ( 2 2 9 ) no。j = 一 则( 2 2 3 ) 式定义的磊( f ) 弱收敛于一个标准w i e n e r 过程。 证明： 浙江大学硕十学位论文 因为对于每一个整数佗1 ，根据线性过程的分解，我们有 其中冠 t = l n = v of 托+ 二j = 1 n = 坳 t = l n = v of j ：一 t = l x + ( o j ) x t 一( o j ) x 一t i = oj = i + li = 0j = i + t 玩灶i 一玩溉一t x t + x o x n = ：i i ( n ) + 已( n ) + 厶( 他) ， = 罢。仇玛一t 对于任意的【0 ，1 】，我们有 ， 【t i 翻 磊( ) = 五= r 9 1 j r l ( 【n 】) + 巧1 厶( 【佗】) + 巧1 厶( 【n 翻) 。n t = l 由的定义，我们有 所以由推论1 1 可知， 注意到_ o o ， 下面我们证明 【n f 】 百1 ( n 】) = 簖1 x ， t=l 膏1 厶( h 】) 兮w ( ) 乇( 【】) 同n 无关，易知 首先由于器。岛收敛，所以有 厶( 【礼纠) r n 厶( 佗】) r n 三0 _ p0 _ 0 ( 佗_ o o ) 一1 6 一 ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) n 浙江大学硕士学位论文 对于某个固定的正整数咒以及k ，有 凫 r 七：= t = 0 七 ：f j ：一， i = 0 晚一i 盯n 尝 一t e ( 一玩讲m 。- 1 ) ) + 壹兰 e ( 。( 1 一 i 址圳玩讲m 一) 一e ( 一；1 ( i x 一。i + 兰 e ( 一 川一；i k 一；) i 玩讲一。) 一e ( k t 1 ( i x 一 i 1 = 0 。访 e - 塾b l 磊- - i - - r a n ) i - - - - 0 。n ：砖? + 砖 + 砖 + 。f 。 n ( 4 ) k t ) i 磊一t m 。) 6 n t ) l 磊一t m 。) ( 2 3 5 ) 为了证明r 七二0 ( 七一。o ，n _ 。o ) ，我们只需证明对于i ：1 ，2 ，3 ，4 ， 碟三0 ( 忌_ 0 0 ，n _ 。) 均成立。 对于任意的 0 ，根据m a r k o v 不等式、m i n k o w s k i 不等式以及混合鞅 的定义，我们有 p ( 硝? ) e - 2 e l赛戛c = t e c 一玩讲m 一汗 七 g - - 2 i = 0i p ji i x _ , - e ( k i i 玩讲- ) 1 1 2 ) 2 一2 、m i a 。x1 雩8 兰 i ( 、。：n 一七c t ) p ( m n ) ) 2 吨 z 嚣 c ) 卢( 仇n ) ) 2 ， 根据假设( 6 ) 中 以及( 2 3 4 ) 式，我们有磋：三0 1 7 ( 2 3 6 ) n 一 ( t 慨i 浙江人学硕士学位论文 类似的，我们有 尸( 碟) e 一2 e i 娄戛e ( ) 厶一i l 一i 一，n 。) 1 2 e m 。a u x m 。a u x m 。a u x 固g nt = 产n - 七挑】2 燃一c t 俐，2 粤c 。塾俐) 2 ( 2 3 7 ) 所以根据假设( 6 ) 中 以及( 2 3 4 ) 式，我们有碟三0 下面我们证明f , n n 3 七) 三0n ，k _ o o ) 对于任意的 0 ，根据m a r k o v 不等 式和假设( 6 ) ，我们有 或者有 p ( 曩i e ) 2 e 一1妻知洲c 刚地圳 2 5 一- 瓣世o r 壹炉e l 五i r ， i o n 兰! 。 k p ( 删e ) 2 e - 1 i i = 0翱i 川文舻i b n i ) i q 宴舡删酬地_ 2 一1 2 e 一1 2 e 一1 七 i = 0 七 = 0 1 0 i i ( e i 一i i ) 2 瓦瓦j 1 0 i f f i k 一, 1 1 ； 一o n ；= 2 e - 1m a x 幽 i o 于是我们可以得到。f n n ( 3 七) 三0 ( 弘( o ) + 弘( 1 ) ) 2 2 一i 记 i = 0 n ( p ( o ) + p ( 1 ) ) 2 孝6 f 1 ， t = - - c o 一1 8 一 ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) 浙江大学硕士学位论文 其次，我们注意到 丹 _ 尝 e ( k 川x l 6 t ) i 玩勺一1 ) 一e ( x t i ( i x i 阮) l 磊押) ) ，1 亡n ) 是一个鞅差序列，且对于所有的1 t n 有 l 吴( e ( x ，( i x d ，y 0 和 厶= 譬= t n t s , , - 1 。茅1 1 2 ， 如、n 2 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 浙江大学硕士学位论文 其中饥为风的标准差的估计值，具有表达式 ( 3 7 ) “为毛的方差j 2 的最小二乘估计，具有表达式 1 n 晶= i 与( k 一风m 一) 2 ( 3 8 ) 。t = l 根据定理2 9 以及连续映射定理，我们得到检验统计量的极限分布如下。 定理3 1 对于模型( 3 1 ) ，假设 ，磊) 是定义1 1 中的零均值弱平稳 的己2 一混合鞅序列，设单位根过程由( 3 1 ) 式定义，其中五由( 2 ，1 ) 式定义， k ，磊) 满足定理2 9 中条件，且存在叩 0 ，e x 2 + 叼存在，则有： ( 1 )仡以：1 堙l 今仃曼u ；詹( 钆) 2 d u ； ( 2 ) 佗一1 冬lk 一1 ( k k 一1 ) 令孔1u x 2 啪2 ) ( w ( 1 ) 2 7 ) ； ( 3 ) 礼( 菇一1 ) 令 ( w 2 ( 1 ) 7 ) ( 詹w 2 ( u ) d u ) ； ( 4 )菇三1 ； ( 5 ) 磊兮；, - 1 2 ( w 2 ( 1 ) 一7 ) 詹w 2 ( u ) d ) 1 2 ； 其中7 = 墨。嘭2 啪2 ， 证明：因为 x ，一o o t o 。) 为零均值弱平稳过程，仿照参考文献【2 3 】 中证明，易得 n，n 扎q 霉三吱鳄 i = l j = o 首先证明( 1 ) ，根据定理2 9 和连续映射定理，我们有： ( 3 9 ) = 佗。2 艰， 甜喜( 二，n 孑1 啊2 ，办 圳 = 盯2 k ( r ) 2 d r 令仃2 w ( r ) 2 d r ，n 叶o 。 一2 1 一 胆 拉， 2 ok n 埘 如 = 氟 嚯 n 脚 下面证明( 2 ) 所以有 由此， & 一l 五= ( & 一五) 五 = & ( & 一& 一) 一霉 = 簧一( & 一。- t - 邑) & 一l 一霉 = 母一s 置，一z 一& 一t 磊 s t 一1 z t =去( 研一观。一霉) 几。m 一( k k 一) t - - - - 1 = 佗。1 & 一磊 t - - - - - 1 = ( 2 佗) 。1 ( 簧一踉- 一霉) t - - - - 1 = ( 2 n ) 。砩一( 2 佗) 。z = ( 0 2 2 ) x n ( 1 ) 2 一( 2 n ) 。 根据连续映射定理和( 3 9 ) 式，有 n n 。f j ：一 t = l 礼 哎 z 二_ 一 o t = l m 一1 ( k k 一。) 令( o 2 ) ( w o ) 2 一，y ) 仿照张立新在参考文献 2 9 中的证明，易得 f l ( k ( r ) 2 d r ， j o n ( 1 ) 2 ，礼。1 霉) 令( z 1 w ( r ) 2 机w o ) 2 ， 由连续映射定理易证( 3 ) 、( 4 ) 和( 5 ) o o 砍鳄) j = o ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 参考文献 a n d e r s o nt w ，w a l k e ra m ，o nt h ea s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o no ft h ea u t o c o r r e l a t i o n so fas a m p l ef r o mal i n e a rs t o c h a s t i cp r o c e s s a n n m a t h s t a t i s t ，v 0 1 3 5 ，1 2 9 6 - 1 3 0 3 a n d e r s o n ，t w ，t h es t a t i s t i c a la n a l y s i so ft i m es e r i e s w i l