（概率论与数理统计专业论文）经济增长模型中的最优税收.pdf

硕士学位论文 ma s i g r s t i i i : s is 在性问题转化为只有政府行为的公共部门机制选择问题， 从而得到最优税 收等的存在性。另外， 我们对效用函数没有光滑性要求， 仅需要它是连续 的。 经典的mi r r l e e s 税做模型是本文在给定状态下的一个特例， 略微不同 的是，mi r r l e e s 将公共商品的花费作为外生给定的、，而在这里，我们把它 作为由 政府选择需要优化的内 生变量。 除了存在性， 本文还得出了 最优收 入税函数在 h i l b e r t 空间的一个闭子集上是下半连续的结论。 关键词:内生经济增长，资本存量，金律税收率，平稳最优增长率 大道性质，随机均衡，公共部门机制 ab s t r a c t t h i s p a p e r e s t a b l i s h e s t w o c l a s s e s o f e c o n o m i c g r o w t h m o d e l a n d s t u d i e s t h e p r o b l e ms o f t h e o p t i m a l t a x b a s e d o n t h i s m o d e l . t h e f i r s t c l a s s o f m o d e l i s t h e e n d o g e n o u s e c o n o m i c g r o w t h mo d e l t h a t b r i n g s t h e g o v e r n m e n t b e h a v i o r s i n t o t h e c l a s s i c a l r a m s e y - c a s s - k o o p ma n s m o d e l . i n t h i s . m o d e l , w e d i s c u s s t h e e f f e c t o f t a x p o l i c y o n e c o n o m i c g r o w t h o n t h e c o n d i t i o n o f m a r k e t c o m p e t i t i v e e q u i l i b r i u m . t w o c h i e f c o n c l u s i o n s a r e d r a w n : f i r s t l y , w h e n t h e g o v e r n m e n t h a s c a r r i e d o u t s t e a d y t a x p o l i c i e s , f o r c o n s u me r s t h e r e e x i s t s u n i q u e o p t i m a l c a p i t a l s t o c k p a t h a l o n g w h i c h e c o n o my c a n g r o w s o s t e n u t o a n d s t e a d i l y ; w h e n t h e t a x p a t h g i v e n b y t h e g o v e r n m e n t c o n v e r g e t o s o m e c o n s t a n t t a x r a t e , t h e r e s t i l l e x i s t s o n e c a p i t a l s t o c k p a t h w h i c h c a n m a k e t h e w h o l e e c o n o m y g r o w g r a d u a l l y a n d c o n v e r g e e v e n l y t o t h e o p t i m a l s t a t e . s e c o n d l y , t h e o p t i m a l t a x p a t h h a s t u r n p i k e p r o p e r t y . t h a t i s , a l l o p t i m a l t a x p a t h s w i l l c o n v e r g e t o t h e g o l d r u l e t a x r a t e ( t h e t a x r a t e w h i c h m a k e s e c o n o m y l i e i n t h e s t e a d y a n d o p t i m a l g r o w t h s t a t e ) , b y w h i c h t h e g o v e r n m e n t m a y a d j u s t t h e t a x p o l i c i e s . wh e n t h e v a l u e o f s o m e t e r m o f t a x p l a n t h e g o v e r n m e n t h a s s e t d o w n i s f a r l o w e r t h a n ( o r f a r h i g h e r t h a n ) t h e g o l d r u l e t a x r a t e , i t b e n e f i t s f o r e c o n o m i c g r o w t h t o i m p r o v e ( o r d e c r e a s e ) p r o p e r l y t a x . t h e s e c o n d c l a s s o f m o d e l i s s t o c h a s t i c e q u i l i b r i u m m o d e l . a s i s w e l l k n o w n , t h e p r o b l e m s o f e c o n o m i c g r o w t h a r e t i e d c l o s e l y u p w i t h t h e g o v e r n m e n t b e h a v i o r s . h o w e v e r , i n t h e d o c u m e n t s a b o u t g o v e r n m e n t o p t i m a l b e h a v i o r s , d e t e r m i n e d m o d e l s a r e t h e m o s t p o p u l a r , s u c h a s t h e c l a s s i c a l mi r r l e e s m o d e l . f r o m t h e s e m o d e l s p e o p l e h a v e d r a w n a s e r i e s o f r i c h 硕士学位论文 i a s i i r, s t i i i s t s t h e o r i e s a b o u t p u b l i c s e c t o r o p t i m a l m e c h a n i s m . h o w e v e r , t h e g o v e r n m e n t b e h a v i o r s a r e a l w a y s o b j e c t e d t o t h e e f f e c t o f m a n y u n c e r t a i n f a c t o r s . t h e r e f o r e , d e t e r m i n e d m o d e l s c a n t r e fl e c t f u l l y t h e e c o n o m i c b e h a v i o r s i n r e a l i t y . i n o r d e r t o k e e p c l o s e r t o t h e r e a l i t y , t h i s e s s a y e s t a b l i s h e s a s t o c h a s t i c e q u i l i b r i u m m o d e l , w h i c h e s s e n c e i s t h e c l a s s i c a l mi r l e e s t a x m o d e l . b a s e d o n t h i s m o d e l , w e s t u d i e s t h e s i m u l t a n e o u s e x i s t e n c e o f t h e a g e n t s o p t i m a l c a p i t a l s t o c k a n d i n c o m e , t h e g o v e r n m e n t s o p t i m a l t a x a n d p u b l i c e x p e n d i t u r e ( we c a l l t h e c o m b i n a t i o n a s a n e q u i l i b r i u m m e c h a n i s m ) , t h i s e s s a y d r a w s t h e e q u i v a l e n t p r o p o s i t i o n o f e q u i l i b r i u m m e c h a n i s m e x i s t i n g a n d c o n v e r t s t h e f o r m e r p r o b l e m i n t o a n o t h e r p r o b l e m o f s e l e c t i n g p u b l i c s e c t o r m e c h a n i s m t h a t o n l y i n c l u d e s t h e g o v e r n m e n t b e h a v i o r . s o t h e e x i s t e n c e o f s u c h a s t h e o p t i m a l t a x h a s b e e n s h o w e d . h e r e , t h e f u n c t i o n a l s m o o t h p r o p e r t y i s n t r e q u i r e d a n d w h a t i s o n l y r e q u i r e d i s i t s c o n t i n u i t y . t h e c l a s s i c a l mi r r l e e s t a x m o d e l i s a p a r t i c u l a r e x a m p l e o f t h i s e s s a y w h e n t h e s t a t e i s g i v e n . b u t t h e r e a r e m i n u t e d i f f e r e n c e s t h a t mi r r l e e s h a s t a k e n t h e p u b l i c s p e n d i n g a s v a r i a b l e s g i v e n e x o g e n o u s l y a n d i n s t e a d i r e g a r d i t a s e n d o g e n o u s v a r i a b l e s t h a t n e e d b e o p t i m i z e d a n d s e l e c t e d b y g o v e r n m e n t . b e s i d e s t h e e x i s t e n c e , t h i s e s s a y a l s o d r a w s t h e c o n c l u s i o n t h a t t h e o p t i m a l i n c o m e t a x f u n c t i o n i s l o w e r s s e mi c o n t i n u o u s o n a c l o s e d s u b s e t o f t h e h i l b e r t s p a c e k e y w o r d s : e n d o g e n o u s e c o n o m i c g r o w t h , c a p i t a l s t o c k , g o l d r u l e t a x r a t e s t a t i o n a r y o p t i m a l g r o w t h r a t e , t u r n p i k e p r o p e r t y , s t o c h a s t i c e q u i l i b r i u m, p u b l i c s e c t o r m e c h a n i s m 硕士学位论文 b 1 a s itr s i i i h s i s 0 引 言 近年来，国内外很多经济学家和应用数学家致力于经济增长理论的研究。 其中， 政府的财政政策对经济增长的影响是该研究领域的热点问题 ( 财政政策 包括税收政策、财政分权、公共花费、政府拨款等) 。在传统的研究公共财政 理论的文献中， 人们往往借助控制理论解动态优化的思想， 定量地给出政府的 最佳行为方案。 但是， 控制理论对效用函数有光滑性的要求， 这一条件在现实 中很难满足。因此， 本文的第一部分工作是在效用函数非光滑的情况下，定性 地刻画最优税收与最优经济增长率之间的关系， 并得出如何调整税收政策才能 实现最优的经济增长。为了客观地描述各种经济行为，本文采用了经典的 r a m s e y - c a s s - k o o p m a n s 模 型， 并 在 此 模 型 的 框 架中 纳 入了 政 府 这 一 主 体， 建 立 了一类新的内生经济增长模型， 在市场均衡的条件下， 给出了最优税收率与最 优经济增长率之间的定量关系，这一关系对政府的决策具有现实的意义。 由于现实中的政府行为要受到诸多不确定因素的影响，比如社会的总效 益、自 然条件、政治环境等， 因此内生经济增长模型不能充分反映现实，由它 得出的最优税收路径恒为一常值的结论， 也与现实中的经济规律不相吻合。 为 了更贴近现实， 本文建立了另一类经济增长模型随机均衡模型， 其实质是 经典的mi r r l e e s ( 1 9 7 1 ) 税收模型。 在此，本文引入概率空间来描述经济中的 随机环境， 此时各类经济变量都是定义在该概率空间上的随机变量，由此模型 得出的最优税收路径依赖于各个时期所发生的状态。 因此， 随机均衡模型能比 较真实全面地反映现实中的经济行为。 本文第二部分工作主要是在此模型的基 础上 ，论证最优税收的存在性。这里，我们对效用函数仍然没有光滑性要求， 仅需要它是连续的。 经典的mi r r l e e s 税收模型是本文在给定状态下的一个特例， 略微不同的是，mi r r l e e s 将公共商品的花费作为外生给定的，而在这里，我们 把它作为由政府选择需要优化的内生变量。 全文分三部分。 第一部分引言; 第二部分内生经济增长模型， 讨论了税收 政策对经济增长的影响，定性地刻画了最优税收与最优经济增长率之间的关 系，并证明了最优税收路径具有大道性质;第三部分随机均衡模型，论证了消 硕士学位论文 h 1 a s per、i i l 1 : s i s 费者的最优资本存量和收入，以及政府的最优税收和公共花费的存在性， 并得 出最优收入税函数在h i l b e r t 空间的一个闭子集上是下半连续的结论。 1 内生经济增长模型 1 . 1基本模型 假设整个经济有三个主体: 有代表性的消费者、生产者和政府. 对于消费者，他的目的是要在政府的预算约束下，合理地选择消费路径 c ( t) 和 资 本 积 累 路 径 k ( t ) 来 最 大 化 他 一 生 的 效 用 】 即s u p 乒 ( c (t ), g (t) e - d t o 这里，u ( -,-) 表示 消费 者的效 用函 数，g ( t ) 表示政 府在第t 期的花费， 消费 者从 政府花费中 获得递增但边际递减的效用;p 为贴现因子表示人们的时间 偏好 率， 当尸 较大时表示人们认为现在消费比 将来消费 好。 消费者的收入来自 资本 投入生产所带来的那一部分收益，另外消费者还必须向政府交纳收入税， 因此 它 的 预 算 约 束 为 竺一 ( 1 一 : )s k 一 。 ， : 为 政 府 的 税 收 率 ， : 为 资 本 的 边 际 生 产 率 。 d t 对于 生产者， 假设 产品由 新古典的 生 产函 数y = f ( k , g ) 生产。 生 产者的目 的是最大化他的 超额 利润，因 此目 标函 数为m a x f ( k , g ) - s k o 假设市 场处于 完 全竞争的 均 衡中， 那么他的超额利润应该为 零， 即s k = f ( k , g ) 。 把生 产者 行 为代入消费者的预算方程，便得到均衡经济问题: s u p f u ( c ( t) , g (t) e - d t d k 卜 万=( i 一t ) .i ( k , g ) 一c at k ( 0 ) 二k . 现在考虑政府行为，假设政府预算平衡仅通过税收来满足它的花费，即 硕士学位论文 m a s t e r s i i 正 s i s g = 了 ( k , g ) ( 1 . 1 . 1 ) 。 又令资本存量的增长率为r ( t ) ，即 = r ( t ) k ( t ) ，因此 约束条件变为r k = f ( k , g ) 一 g 一 。( 1 . 1 .2 ) ， 该式实际上是一个均衡条件， 它是 在考虑消费者的预算约束，政府的预算约束和生产者的最优性条件后所得到 的。由 方 程 ( 1 . 1 . 1 ) 和( 1 . 1 .2 ) 可以 把消费 水 平 c e p 公 共 花费 g 分别 表示为 资 本 存量k 及其增长率， 以 及税收率: 的函数。 因此在广泛的意义上效用函数。 ( c , g ) 可看作是定义在( k , r , 约上的函数。 因此带有政府花费的内 生经济增长模型可被 定义为 s u p b u ( k ( t ) , r ( t ) , r ( t ) e - d t k ( t) = k . e x p 工 r ( s ) d s k ( 0 ) 一 k o 这里k ( t ) 和: ( r ) 分别是状态变量和控制变量。 对于这样一个模型， 它的资 本积累的增长率等于消费水平的增长率， 也等于产出的增长率， 它们对应的公 共的增长率称为经济增长率， 它是本文所讨论的经济增长模型的重要特征。 因 此，税收率对资本存量增长率的影响即为税收率对经济增长率的影响。 1 . 2 主要结论及证明 1 .2 . 1效用函数 如果令,u ( d t ) = e x p ( - e et ) d t ，那么上面所讨论的连续时间最优模型可被重新 定 义 为 : v x (k o ) 一 s u p 肠 (k ( t), r (t ) , r (t ),u (d t) o 假 设 x 和 v 均 是 r 中 的 闭 凸 集 记d二xx v。 消费者的效用要依赖政府制定的税收政策， 那么当政府的税收率给定时， 我们总是假定效用函数满足以下条件: 假设a- i ) ( 连续性)u ( k , r , r ) : d-r v - x 在d 上连续， 并且对所有的 k o e x , v , ( k , ) - 0 0 c 硕士学位论文 ma s t e r s川 i s i s i i) ( 强 凹 性) 存 在 两 个 严 格 正 的 数a 和刀 ， 使 得叭r , z ) + z a lk l， 十 告 川; ， 在d 上 是凹 的( 称函 数f ( x ) + 2 a i x i， 在x上是凹 的， 如果 对 任意的 x x , e x b 。 0 ,1 都 有f ( 如果除了上式，r * ( t ) 还满足; . ( t ) 二 ; ， 那么k ( t ) 就被称作是平稳最优增长路 径， ; 相应地被称为平稳最优增长率。 命题1 是上半连续的 如果f: ( 其中 x- + r u卜哟是不恒等于一 00的a凹函数， 并且在x上 a 0 , x是h i l b e rt空间中的闭凸子集) ，那么存在唯一 的x . 使得对 所有的x e x， 都有.f ( x * ) ? .f ( x ) 成立. 命题1 说明一个上半连续的强凹函数在h i l b e rt 空间的闭凸子集上能取得唯 一最大值。 命 题2 7 如 果f : x一r u 卜 。 ) 是 a 凹 函 数 ， 二 是i 在x 上 的 最 大 值 点 ， 那 么 有 下 式 f ( x ) f ( x . ) 一 i a i x 一 x， 对 所 有 的 x e x都 成 立。 引 理1假 设从k o e x出 发 存在 着一 条 最 优 路 径k ( t ) ， 那么k * ( t ) 及 其 增长 率 r ( t) 一 定 满 足 f i k ( t) i p (d t) 。 和 .c i r (t) i ip (d t) 。 。 硕士学位论文 n t a s 1 c r s t i i r s i s 证明:u ( k , r , z ) 在d 上是连续的，d 是矛” 中的闭凸集，因此一定存在一点 ( k * , r ) e d使得u 在该点处能够取得最大值。从“ 的强凹性假设及命题 2 ，我 们得到 u ( k ( t ) , r ( t ) , z ( t ) ) 、 (“ ， ， () 一 合 a 。“ () 一 “ ” 一 粤 16 1 ， ( ， ) 一 : 艺 对所有的( k ( t ) , r ( t ) ) e d都成立。因此对于任意一条可行路径 k ( !) ，必有 f u (k ( t), r (t ), z ( t) p ( d t ) f u (k , r , z (t ) p ( d t ) - 告 a f .k (t) - 一 、 (d t) - 告 ,6 f ，r (t) - r i p (d t) ( ， 。 假 设 这 两 个 积 分 f i k ( t) i p (d t) 和 f i r (t) i zp (d t) 中 的 一 个 是 无 限 的 ， 不 妨 设 第 一 个 为 无 限 ， 那 么f i k (t ) - k iz n ( d t) 也 无 限 。 从 上 式 可 以 看 出 乒 ( k ( t ), r ( t) , z ( t) f t ( d t ) 二 ， 这 说 明 这 样 的 k ( t) 不 是 最 优 的 。 因 此 最 优 路 径 一 定 满 足 f i k * (t) i p ( d t) 和 f i r (t ) iz p (d t ) k ( t ) ， 所 以 对 几 乎 所 有 的 都 有 k (t ) = k o e x p 工 r (s )d s ， 不 妨 假 设 对 t 处处成立。综上，由h 的定义知( k , r ) e h ， 从而h 是闭集。 i ii ) 由 假设 a - 1 ( i i) 效 用函 数的 强凹 性可知， u ( k , r , r ) + z a i k i + z qi r z 在 d 上 是 凹 的 ， 所 以 f u (k , r , -) ,u ( d t ) 十 l az 户 k iz p ( d t ) + 1 ,i 户 r iz u ( d i ) 在 上 “ 是 凹 的 ， 即 ( k . , r , t ) + i a i k i, + i )6 1 r ; 在 h 上 是 凹 的 ， 其 中 i - 1z 表 示 几 空 间 中的 h i l b e rt范数。 因为上半连续的强凹函数在 h i l b e rt空间的闭子集上能取得最大值 存 在( k * , r * ) h ， 使 得。 ( k * , r * ) 即为从k 。 出 发的 最 优路 径。 = m a x ( k , r ) . h( p ( k , r , z ) 。因 此 、 ( ， ) 二 、 0 e x p 工 : 所以 ( s ) d s 1 . 2 .3最优平稳增长路径 当税收路径恒为常值时， 整个经济有可能实现平稳增长， 定理2 证明了使 经济持续稳定并且最优增长的资本存量路径是存在的。 引 理2对 任 意 的 。 e 0 ,1 ， 存 在a s 0 ,1 s . t y e y 2 e = a y , + ( 1 一 a ) y 2 ， 其 中y i y 2 为 任 意的 正 实 数。 证明: 让1 = y , 1 y 2 ， 令f ( b ) = 1 0 一 一 ( 1 一 a ) = 0 , 解 得a = 1 - 1 叮 1 - 1 。 当0 l - 1 时， 有。 - i - p :5 : 1 - 1 1 ， 所以。 5 a- 1 ; 而当1 ? 1 时， 有一 1 :5 1 - 1 - 1 - 1 1 o ， 所以 0 - a- 1 。综上所述 ，无论 1 为何 正实数 ，均有 0 - a- 1 成立 。所 以 可/ 对一 a y , / y 2 + ( 1 一 a ) ， 即y e y ,- 0y , y 2= a y 、 十 ( 1 一 a ) y 2。 定理2 假设税收路径恒为常值， 即: ( t ) = ,r ， 那么必存在唯一的平稳最优 增长路径。 证明: 令g = ( ( k 0 , r ) e di 对每个t , k ( t ) = k o e e x ) ， 因此优化问 题可被 定 义为: s u p (d ( k 0 , r ,r ) 一 f u ( k ( t ), r , z ) p ( d t ) s . t ( k . , r ) gcr x r i ) 对于每个t , 氏, r ) -( k , e , r ) 是连续函数， 又u ( k e , r , z ) 在d 上连续 u ( k o e , r , r ) 关于( k o , r ) 在g上连续。 又u 在闭 集d 上 存在唯一最大 值点 所以 不妨 硕士学位论文 n l a s t f r s n i i s i j 设 为 ( k o , r ) , 因 此 (d (k o ,r ,z ) 有 上 界 户(k oe , r ,z (d t ) 。 所 以 由 f a to u q i理 ， (d ( k o , r , z ) 在g上是上半连续的。 i i )由 假 设 a - 1 ( i i )效 用 函 数 的 强 凹 性 假 设 可 知 ， u ( k o e , r , r ) + z a i k o e p + l ,8 i r i，在 d 上 是 凹 的 ，所 以 乒 ( k o e , r , r ) ,u ( d t ) + l a f i k o e 12 ,u ( d t ) + z /j f i r 12 u ( d t ) 在 ， 上 是 凹 的 ， 即 (i) ( k o , r , r ) + z a l k (,e rl i2 + l )6 1 r l;在 h上 是 凹的。又对任 给 的 ( k o , , r , ) , ( k 0 2 , r 2 ) s d ，不妨设 r , r 2，对 每 个 固定 的 t ，总 有 i k o ,e l 一 k , e 12 :i k o 、 一 k w 12 i e , 12 ? i k o ， 一 k o e i， 成 立， 因 此由 上 式 及强 凹 性 的 定 义 可 知: (i) ( k o , r , r ) + i a i k o h + 1 ,6 1 r 12 2; 在g 上 是 凹 的 。 i i i ) 同定理 1的证明， g是r x r 中的闭集， 下证 g还是凸集。任给 ( k or , ) , ( k o 2 i r 2 ) e d, b e 0 ,1 ， 由 d 的 凸 性知 0 ( k , , , r , ) + ( 1 - b ) ( k o 2 , r 2 ) e d， 令 y ( t ) = b k o , + ( 1 一 b ) k o 2 e x p b r , t + ( 1 一 b ) r 2 t ， 由 引 理2 知存在a e 0 , 1 使得 a t ) 二 4 , - k o 2 - e e , - e 一 。 m , - y 尸 ( t ) - y 犷 e ( t ) - ( k o , / k o e ) - b ， 其 中 y ,( t ) = k o ,e e x , y 2 ( t ) = k o 2 e e x， 又由 引 理2 知 存在刀 e 0 ,1 ， 使 得y ( t ) 二 脚, ( r ) + ( 1 一 刀 冲 1 ( t ) i 由 x的 凸 性 可知y ( t ) e x , 所以 b ( k o i , r i ) + ( 1 - b ) ( k . z , r ) e g ， 从 而g 是凸 集。 故g是r x r 中的凸闭集。 综上， 由 命 题1 知， (d ( k o , r , 约在g 上存在唯一最大 值点， 即 存在( k r ) e g 使得。 ( k r , r ) =m ax ( k, , ) . 6( d ( k o , r , r ) o假设at ) 是任意一条可行路径， 它从k 。 出发 硕士学位论文 h i a s i p .r s t i i b s i s 并 且增 长 率 为r ( 小 由 定 理1 ， 从k 。 出 发 存 在 着一条 最 优路 径 ， 设 其目 标函 数 值 为 l ， 则由 最 优性的 定 义知(d ( k o , r , r ) _ l ， 不 妨设。 ( k o , r , r ) _中( kr r ( t ) ) ( 1 .2 .4 ) (d ( k , ， r ， : ) _ (d ( k , ， r ( t ) , : )( 1 .2 .5 ) 。 因 为 r ( t ) 在r ” 中 收 敛 到: 等 价 于 常 函 数 列t ( t ) 在弓中 收 敛 到 常 值 函 数 : ， 又 因 为中在g上是连续的，所以 ( l ) 式两边可对t 同时取上极限，得 中 ( k r , l im 厂 ( t ) , l i m r ( t ) ) (d ( kr , l兜r ( t ) ) 硕士学位论文 n t a s i e r s t i i g s i s 即( d ( kr ， ! 嘿r ( ) ， t ) “ (d ( kr , r ) ( 1 .2 .6 ) 同 理( 1 .2 . 5 ) 式两边对t 取下极限得 q ( kr , : ) ? (d ( kl imr ( t ) , r ) ( 1 .2 .7 ) ; 由( 1 .2 .6 ) .( 1 . 2 .7 ) 得中 (k r ，贩r (t) , r ) ( k . 嫂 r ( t), r ) ， 同理( 1 .2 .4 ) , ( 1 .2 . 5 ) 式两边分别对t 取下极限和上极限得 。 ( k l i m r (，) ，: ) _ cp ( k , , 贩r (t) , r ) 。 所 以 q) 伏 r ， 她r ( 1 ) , r )二 q d ( kl i m r ( t ) , r ) = 伏 r * , t ) 。 由 平稳最优路 径的唯一性 可 知l i m r ( t ) = 迹 r ( t ) = r 。 所 以 竖 r ( t ) 一 r ， 即 在 弓 中 常 函 数 列 r * ( t ) 一 r 这 等 价于在r 中; ( t ) -r 。 综上， 厂 ( t ) 即为 满 足: ( t ) - ). 的 唯一的 最 优路 径。 1 .2 . 4平稳最优增长率 这一节重点讨论平稳最优增长率的性质， 及其与政府给定的税收率之间的 关系。 定 理4 平稳 最 优增 长率r 以 及k r 关于: 是 连 续的 ， 并 且 存在: 。 ( 0 ,1 ) ， 使 得 对 所 有: 。 0 ,l 都 有r . _ r 。 证 明 : 任 给: e 0 ,1 ， 假 设 序 列: 。 - t ， 下 证r -r 。 由 定 理2 知 ， 对 于 r 和 : 分 别 存 在 ( kr ) e g 和 ( k r , ) e g 使 得 a t ) 二 k , e 和y ( r ) = k , e “ 都 是 最优的路径 。由最优性的定义知n ( k , , r r ) ? d ( kr , r ) , (d ( k ,， , r ,. , r ) !5; _ o ( k r r )。同定理 3的证明，我们 可 以得到 创 兽“ ， 兴r ,r ) = (d ( 沙 娜 沙r,. , 。 一 (d (k r ,亦因 为 g c x x v 是 r “ “ ” 中 的闭 集， 所以( i i- k , . ， 悠r , 和 ( ii k , 恤r ,. ) 均 在g 中 。 又 由 平 稳 最 优 增 (low , 硕士学位论文 ma s t e r s t i i s i s 长 路径的唯一性知l im 气一 l im k 。 一 “ r ， l i m r r . 一 独rr. 一 r即 !lim k , = k , lim r = 。 所以k r 关于t是连 续的。 既然连续函 数在有界闭 集上能够取得 最大值， 那么一定存在着: 。 0 , 1 ， 使得对所有的: 。 0 , 1 ， 事 实 上扩 不 可 能 等 于。 和i 。 若 t * = 1 ， 则 将 导 致 r . r。 不可能 最优;若t = 0 即政府不收税，那么政府将没有充足的资金投资于公共事业， 此时消费者对政府公共花费的边际效用达到最大， 并且大于私人消费的边际效 用。因此，只要政府稍稍地征收一点税来补充公共投资， 都将导致消费者的效 用有很大地提高。 推 论 任 给二 0 ， 存 在8 0 ， 使 得当 t - t * 1 8 时 ， 总 有i r - r r 1 ( k , r , ) 分别叫做最优效用函数和最优反应函 数。 令 = ( k , , r , ) i t (= 0 ,1 ) ， 对于任给的( k r ) e a ， 我 们作以 下假设: 假设 a - 2 i ) (d ( k , , r , ， : ) 关于: 在 0 , 1 上满足一致l i p c h i z 条件; i i ) 若r , . r ， 则 ( k r , r , , , t ) (d ( krt ) 。 用l 表示(d ( krt ) 所对应的l ip c h i z 常数，则由 假设知 l i o o 0 引理 3 假设【 a - 2 ( i ) 成立。如果折扣因子p满足。 t 2 ) ! l , . i r ， 一 r 2 l r i - t 2 ! 告 p y t 、 一 : 2 ( 1 .2 .9 ) i (d ( k , , r , , r , ) 一 4 d ( k , , , r , , r 2 ) 1:5 l , i : 、 一 : : i (d ( k ,. , r . ,r ) , 由 假设 a - 2 ( i i) 知r , - ， 这与 1 , . 在 0 ,1 上 的 最 大 性 矛 盾。 又 根 据凹 函 数 的 性 质 知 ， 若 。 s t i t 2 t ，则 有(d ( k , , , r , , z i ) (d ( k , , r , , t 2 )所以 r : r , ， 因 此 r 在 0 , z 递 增 ; 同 理 当 z r , r 在 t a l l 递 减。 由定理5 的证明可知，当政府的税收路径为常值时，不仅整个社会的效用 水 平达到 最 优， 而 且经 济的 增长 率也 达到 最 大。 定 理5 给出了 r 与z 的 相关 关 系， t 是使得经济持续稳定并且最优增长的 税收率， 我们把它叫做金律税收率。 硕士学位论文 m a s i i : r s t i i g s i s 当 政 府制 定的 税收 率 低于扩时， r 与: 正 相 关， 此时 增加 税收 有利 于 提高 经济 增长率;当 税收 率高 于t 时， 与: 负 相关， 此时降 低 税收 更 利于 经 济 增长。 1 .2 . 5最优税收路径及大道性质 现实生活中， 市场经济处在一个随机的环境中， 政府制定的税收政策要受 到诸多不确定因素的影响，因此常值税收路径在现实中不可行。也就是说，经 济持续稳定最优增长只是一个理想的状态， 往往达不到。因此我们只能退而考 虑它的次优状态， 即经济能够渐近稳定地增长并且收敛到最优状态， 我们把使 经济达到这种状态的税收路径称为最优税收路径。 定 义税收 路 径z ( t ) 称为 是最 优的， 如 果 在 0 下 存在一