（概率论与数理统计专业论文）随机变量组列的极限定理.pdf

中文摘要 本文是我在硕士阶段，在导师张立新教授的悉心指导下完成的全文分两章 第一章，行n a 随机变量组列的完全收敛性 由于n a 随机变量序列在多元统计分析，可靠性理论，渗透性理论中的应用， 它在海洋工程，生物信息学，气象工程，环境工程，医学等领域也有了越来越多的 应用，引起了很多概率极限理论工作者的兴趣，并出现了一些成果m a t u l a ( 1 9 9 2 ) 研究了n a 序列的 o l m o g o r o v 型不等式和三级数定理等 对于行独立随机变量组列，g u t ( 1 9 9 2 ) ，f f a n ge ta 1 ( 1 9 9 3 ) ，h ue ta 1 ( 2 0 0 3 ) 和k u c z m a s z e w s k a ( 2 0 0 4 ) 得到了不同形式的完全收敛定理s u n ge ta 1 ( 2 0 0 5 ) 则建立了形式相对一般的完全收敛定理。 定理1 1 设 瓦，1 ，兰吒，”1 ) 是行独立随机变量组列， 吒，打1 是一列 正常数，满足e 2 。揖。= m ，设对任意的s o 和某些艿 o ，有 l ( i ) a n p ( i 托p s ) o 。， n = li = 1 ( i i ) 存在t ，2 2 ，使得 k ， c t n ( e 碥i _ 肛斟) 。 o 和某些万 o ，定理1 1 的条件( i ) ，( i i ) ( i i i ) 均满足，则有 k 。 p ( 也。p 占) o ”= 1j = 1 第二章，鞅p 型b a n a c h 空间上组列的弱大数律 对于经典的弱大数律，g u t ( 1 9 9 2 ) ，h o n ge ta 1 ( 1 9 9 5 ) h o n ge ta 1 ( 1 9 9 6 ) ，s u n g ( 1 9 9 8 ) ，s u n g ( 2 0 0 5 ) 推广到了实空间上随机变量组列的情况h o n g ( 1 9 9 6 ) ，a d l e re ta 1 ( 1 9 9 7 ) ，t l o n ge ta 1 ( 2 0 0 0 ) a h m e de ta 1 ( 2 0 0 2 ) 将随机变量组列的弱大数律推广到了鞅p 型的b a n a c h 空间上，其中h o n ge ta 1 ( 2 0 0 0 ) 得到了以下结果 定理2 1 设 ，j 1 ，疗1 ) 是定义在实可分鞅p ( 1 p s 2 ) 型b a n a c h 空问上 的随机变量组列， 帆，竹1 ) 是取值为正整数的随机变量序列，对任意的正整数列 毛斗o 。，都有 尸( 虬 吒) = o o ) 令 口w ，1 , n 1 ) 是常数组列，( h ) = 1 m 擎1 4 口i ，使得，当n 。0 0 时， 吒( 盯) = o o ) 设存在一个正的非降序列 g ) ，肌0 ) ，g ( o ) = 0 ，使得 。g p ( m + 1 。) - g p ( m ) = 。( ，( ) 颤) 且牌罂i 1 蔷k 州| i 驯 咖) ) - o 则有 ( - e ( v ：ifn , j - i ) ) o o 其中= ，i 卸( 女。) ) ，f q = 0 - ( 7 ，1 f 0 a n ds o m e 0 ： 。 t 。 ( i ) p ( i 瓦，l s ) m ， ( i i ) t h e r ee x i s i t s j 2s u c h t h a t 。1 ( e 磙k 1 鲫) 。 吒) = o ( 1 ) a s 疗- - o o l e t w ，1 ，” 1 b 。a na r r a yo f 。o n 妣桃趾dl 。m ) = l i m “a 玑xl , s a t i s f y i “g k f 1 ( n ) = o ( 1 ) a sn 一 s u p p o s et h a tt h e r ee x i s t sap o s i t i v en o n d e c r e a s i n gs e q u e n c e g ( m ) ，m 0 ，g ( o ) = 0 ， s u c ht h a t g p ( m + 1 ) - g p ( m ) 卅 m r a = l = o ( f ( n ) k 。) a sn 斗0 ( 3 s u p p o s et h eu n i f o r mc e s h r o t y p ec o n d i t i o n 牌警i l 蔷k m 尸( 1 1 v ji i 咖) ) = 。 h o l d s t h e nw eh a v ew l l n h ( 一e ( ifn , j - i ) ) o o a s 厅斗 j = 1 w h e r e 吃= ， s g ( t 。) ，f = 盯( k ，1 f 蔓j ) ，1 ，”1 ，a n d f 。o = a ，g ，h 1 b ye x t e n d i n gt h e o r e m 2 1 ，w eg e t ： t h e o r e m2 2l e t x 。，“。i 、，n 1 b ea na r r a yo f r a n d o mv a r i a b l e s i nar e a l s e p a r a b l e ，m a r t i n g a l et y p ep ( 1 p 蔓2 ) b a n a c hs p a c e ，w h e r e “。- - 0 0 ，n 1 ) a n d 仉佃，珂1 a r es e q u e n c e so f i n t e r g e r s l e t k ，胛1 ) b eas e q u e n c eo f p o s i t i v ei n t e g e r sa n d a , ，r n i 吒，行1 a na r r a yo f c o n s t a n t ss u c ht h a t 吒斗m a n 唼叫1 ) a s 玎专，w h e r e 巩圳墨h s u p p o s et h a tt h e r ee x i s t sap o s i t i v en o n d e c r e a s i n gf u n c t i o ngo n o ，。) ，s u c ht h a t l 。i r a 如) _ o ，每争( 1 舻d ( 1 ) ， 学 骝普1 k 萎删引睁删 g ( 蝴= 。 h o l d s t h e n i np r o b a b i l i t y w h e r e c 。= e ( x 。， o 。忙g ( h ) i f 一1 ) ，f 。，= o - ( x w ，1 ，f ) ，i 1 ，以1 ， a n d f 。o = o ，q ) ， 1 o斗 )o 一 墨 ( 、 浙江大学硕士学位论文第幸行n a 随机变量组列的完全收敛性 第一章行n a 随机变量组列的完全收敛性 1 1 引言和主要结果 完全收敛性的概念是h s u 和r o b b i n s 在1 9 4 7 年提出的 定义1 1 1 称豫，h 1 ) 完全收敛于常数e 如果对任意 0 ，有 p ( i l - c l s ) o 和某些占 o ，有 t 。 ( i ) p ( f 曩，pg ) o o ， n = li = l ( i i ) 存在j 2 ，使得 i 。 吒( e 咤鄙 ) 。 o 和某些占 0 ，定理1 1 1 的条件( i ) ， ( i i ) ，( i i i ) 均满足，则有 k a e ( i 瓦。l 占) o n = lt = l 另外，在本章的推论中，我们还需要了解下面两个概念： 定义1 1 3 称组列 瓦。，1 i 吒，n 1 在c e s 6 r o 意义下被随机变量x 随机 控制，如果k 0 ，使得对任意的工 o 和所有的n ，有 。 p ( i 瓦，i x ) x ) f = l 定义1 1 4 称组列 以，1 i 吒，n 1 ) 被随机变量x 随机控制，如果存在 常数c 0 ，使得对任意的x 0 p ( 1 五，p x ) 兰c p ( 1 x p x ) 全文中，常数c 在不同的地方可以表示不同的值 浙江大学硕 上学位论文第一章 行n a 随帆变量组列的完全收敛性 i 2 相关引理及其证明 为了定理证明，我们需要如下引理： 引理i 2 1 ( s ue t a 1 ( 1 9 9 5 ) ) 设五，五是列n a 随机变 量，瓯= 0 ，1 i 蔓n ，对p 2 ，存在只依赖于p 的正常数c ，使得 e f 五r - o 引理1 2 3 ( s u n ge ta 1 ( 2 0 0 5 ) ) 设墨，置是独立随机变量，令 s j = ：。坞，1 f ，7 对任意整数j 1 ，t o ，都有 p ( i s i 6 7 f ) c ，p ( m 。a ；x 。i x ，i 矿t ) + d m 。a x p si 万tn 其中c ，d ，是只与j 有关的正常数 y a n g ( 2 0 0 6 ) 中将对称独立随机变量的h o f f m a n n j o r g e n s e n 不等式推广到 了对称n a 随机变量序列的情况，下面我们来证明关于非对称n a 随机变量序列的 h o f f m a n n j o r g e n s e n 不等式 引理1 2 4 对任意 1 ， k ，k z ) 是n a 随机变量序列， 瓦，ke z ) 是独 立的随机变量序列，且每个e 。与墨。同分布那么对任意整数，1 ，都有 p ( s 。u p i x 。x o 。i 兆脚( s 。u p l x 。i 素) + 导r s u 。p 。( 剐塞咖丽x ) ) 2 么 其中珐= ( 云暑) v e t 、( 茄，t z ，c , r - 与j 有关- 7 1 理1 2 4 的证明我们仍然采用y a n g ( 2 0 0 6 ) 中的方法 令k = ( 素m ( 2 - 7 。) 设不等式的右边有限。那么我们有 浙汀大学硕上学何论文第一章 行n a 随机变晕组列的完全收敛性 4 p 翟j 荟“陋) s p ( 靶r e z ，e z 女s f除寺+ p ( s 。u p i 。罗y t 由s h a o ( 2 0 0 0 ) 的比较定理和引理1 2 2 p(supl，ykiies ) 磐lj 吾k m 2 ， 6e z s ， 詈e 鳃l 一羡，kl 一咄熙詈e s 。u p l i mi 一羡，kl 一咄 熙詈e s 。u p l i m i n i 。m a 。xl 一羡，驯叫一l i m l i r a i 们 黝| 一邑驯叫+ l i m l i m i n 曩，m 。a x 一羡，k 卅一l i m l i m l n 丑。m a x ( - - 一羡，珞) 叫+ l i r a l i m 甜丑。m 。a x 。一羡，坛叫一l i r n l i m i l l 丑。m a x ( - - 一差，圪h + l i m l ，+ i m 。i n f 詈e 。m 。a xi 一羡，瑶l s ) + = l i m l ，+ i m 。i 1 1 f 昙f p ( 。m a 。xi 一藐坛巨算) 出 萼n m a x _ pl 丕，驰 注意到尸溜l 砭陋刍) = o ，由引理l 2 3 ，有 刚毫蚶 扣m 。a 酽x ( ( 噻蹦 南尸 因此，由式( 1 2 2 ) 和( 1 2 3 ) ，我们可以得到 ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) p 翟l 丢k 陲占) 等争f s u 。p 。( 剐毫瑶p 云b 出 ( 1 2 t ) 引理1 2 4 得证 羔旦三盔堂堡土堂垡堡塞 篁二童 堑坠堕塑壅量望型塑塞全坚塾竺 ! 1 3 定理证明及相关推论 定理1 1 2 的证明不妨设0 争 + p ( i ( 群+ e x 。( i ) p 詈) = ：i + i i + i i i k 以 。 el k m “ 。 斋) ( 1 3 2 ) e 1 z ，一眨，1 2 e l z ，1 2 2 e 工：“l ；辨+ 2 d 2 p ( i 爿0 p j ) ( 1 3 3 ) 因此，由m a r k o v 不等式，( 1 3 2 ) ，( 1 3 3 ) 和引理1 2 1 ，有 判喜( l 一暖争 1h ) 2 7 e l ( e ，一线，) 1 2 。 6 j - l ) ：，g 艺“e i z ，一e ，i ：，+ ( 艺e ( ，一e 戤) z ) ，) 2 。z ，一e ，1 2 。+ ( e ( ，一e 戤) 2 ) 。 ( 矿q 缸引 斋) k k 。 + c l ( ( e 碍m ) ) 。+ z p ( i 蜀，p 占) ) l = l f _ l 由条件( i ) 和( i i ) 知 ( i i ) 0 0 对于( i ) ，由( i i i ) 知，存在m ，使得当”l 时 l 善瓯l 4 x , i g a l 占) 一0 因此，存在2 ，使得 n z 时， e ( 弘跏旷6 i “j ) “ 占( p ( 以， j ) 一p ( 以。 一万) ) _ 1 ( 1 3 4 ) 浙江人学硕士学位论文第一章 行n a 随机变毒绢列的完全收敛性 占羔i = 1 剐以，p 回 老， 占p ( 1 以，p 艿) 去， l 故，当n m a x 2 时，| ：| ；唧l 詈 因此我们有 圳量砖；，+ 量噬，i ，导) i = 1i = 1 j 由条件( i ) 和( i i ) 知 ( i n ) o o ( 1 3 5 ) 对于( i ) ，首先设 ，1 - i - k 。，h 1 为行独立的随机变量组列，且e 与疋 同分布 令瑶= ( 丢鲁) v ： i 苦) ，取j = 2 由引理1 2 4 知 p ( i ( z ，斟，) p 刍 p ( m 。；a xx ，一凹：，i ! 南 + 导强m a x ( p ( i 塞( ，：一吩陲南尸出 ( 1 。s ) 显然l z 峰上2 4 s + 2 ， 从而l z ：，一眨。峰西。 所以，我们有 、n p瑙 。眨h争 卜 。李 趴 引 引 p 霹 碟 k h 卧 h h 塑坚叁笋硕士学位论文 第一章 行n a 随机变量组列的完全收敛性8 p ( m 。；a h xx _ 哦p 南) = o ( 13 7 ) 由i f i a r k o v 不等式及e 一不等式知 f 6m a x ( 剐高( 一e 瑶) 障面b ) ) 2 出 。m 。a ；x ( e l 篙( 一e 圪) 1 2 ) 。霉( 1 6 。2 4 2 x - 2 j 出 c ( e ( ，：) 2 ) 。 蝴( 砉叫) 2 + 粪e 靠， 靠旁一嘉矗啼) 2 ) 。 一c ( e ( e ，) 2 ) 。 - 去) ) ( 1 8 ) j - il _ l - o 由( 1 3 6 ) ，( 1 3 7 ) ，( 1 3 8 ) 及( i ) ，( i i ) 知 ( i ) 0 和o f 0 ，满足 浙江大学硕士学位论文 第一章 行n a 随机变量组列的完全收敛性 s u pa n ：卜o ( n ) l j 也 i = o ( n “) 令卢一1 且口+ 一1 ，如果 e i 工i ” 。，其中v = m a x l + ( ( 1 + 口+ 卢) y ) ，2 ) 则有 。 e ( i s 。p 占) 。，其中= a n ，k 。 n = ll _ 1 推论1 3 1 的证明我们仍然采用a h m e de ta 1 ( 2 0 0 2 ) 中的方法显然 只要证明推论满足定理1 1 2 的条件即可取= 扩 对( i ) ，i d b ，= 1 1 1 。i ( 令i 0 = o o ) ，# 一表示集合a 中元素的个数，设 l = f i ( 彬) 7 吃， ( ”( ，+ 1 ) ) 7 ) ， 由v o l o d i ne ta 1 ( 2 0 0 5 ) 中引理1 可知，对任意的珑1 ，有 则 捍n ”7 + 1 ) 7 ， c 艺扩( # ) 宝p ( k q x 1 蜥 _ j + 1 ) ；1= l= c c n p p ( 七q 1 , - r 七+ 1 ) k n ( # ，) 【 n a lk = n j = l s j 、m y 一占 陶 啪 弘占 训 w 惨 以 哨 马s 悼占 i 0 p 爿 地 跚 h。 。 。pp。互。哩闩 卢 f 胛 门 。d。西。呓。呓。 ： 一 浙 1 ：大学硕上学位论文 第一章行n a 随机变量组列的完全收敛性 c p ( k i p 七+ 1 ) n ”7 ( 晴” + 1 ) 7 * = 1女；4 6 s c 喜n f ，+ ，”一7 砉t 7 p c t 1 等r 7 t + ， 矿 f c t 7 p ( k l 却打 七+ 1 ) 4 女= l 6 肛1 c 喜肌“雕 l s 。l t r 0 ，满足 xhx s 。u p - - 州 。一。s u p 。而 0 ，有 女。 ( i ) p ( i 瓦，p s ) 。 n = l 仁l 则有 ( i i ) ”存在j 2 ，使得 k ( e 妒( 1 瓦。 1 和1 兰p 吒) = o o ) 令 ，1 ，月1 ) 是常数组列，( 疗) = 1 m 华a x a n ，f ，使得，当胛专。时， k f 1 ( ) = o ( 1 ) 设存在个正的非降序列k ( m ) ，m 0 ) ，g ( o ) = 0 ，使得 g p ( m + 1 ) - g p ( m ) 一o ( f 一( ) t ) m = l m 且舰溜i 1 否k 胛( 1 l 吵g ( 珊”= 0 则有 兰( 一e ( 吃h ，】) ) 与o j = l 浙江大学硕士学位论文第二章 鞅p 型b a n a c h 空间上组列的弱人数律1 3 其中瑶= “忙g ( k ) ) ，f = 盯( ，1 i ) ，l ，盯1 ，且，。= a ，q ) ， 1 受s u n g ( 2 0 0 5 ) 的启发，我们对定理2 1 1 作适当的推广，得到了本章的主 要结果 定理2 1 2 设 邑，“。i k ，n 1 是定义在实可分鞅p ( 1 p 2 ) 型 b a n a c h 空间上的随机变量组列，其中地一。，月1 ) 和饥茎啪，n 1 均为整数 列， b ，n l 是正的整数列， a n 。，“。i y n ，”1 ) 是常数组列，当n jo o 时，满足 吒斗。，且每_ d ( 1 ) ，其中吒圳墨h | ( 2 ) 设存在一个正的非降函数g ( x ) ，x 0 ，满足 嬲如) _ o ，每善烈1 切叫玑 ( 2 m ) 且吾篁业掣- o ( 1 ) ( 2 ) o j = lj 再令 鼍，“。i o n ，h 1 满足 馨p 磐击茎卯( | | 瓦，胗g ( 呦 l ，n l ， 且f 。= a ，q ，”1 浙江大学硕士学位论文第二章 鞅pb a n a c h 空间上组列的弱大数律1 4 2 2 相关引理及其证明 为了定理证明，我们需要如下引理： 引理2 2 1 ( t o e p l i t z 引理) 设 吼。) 是实数组列，“ 是实数列，满足 t - - - x ，( 寸o o ) ，对所有的i 1 1 ，都有 l a n ，i 曼m 1 ，- - - o ，忉甘) i = 1 则有 寸x ，寸o 。) 引理2 2 2 在定理2 1 2 的条件下，我们有 i a n ，1 9e l l 以，1 1 9 ， 州圳= o ( 1 ) j = “” 引理2 2 2 的证明我们仍采用s u n ge ta 1 ( 2 0 0 5 ) 中的方法 由于g ( x ) 是非降函数，故 i a m1 9z l l 瓦，1 1 9 脾帆) a n ，1 9z l l x 。，i i 吲1 ) ) + l a 。，i 9f , i i 五，1 1 9 _ 1 ) 刮邢鲋) l = u 。j = 2 3 ：a l + 鸣 4 = i a n i l 9 e l f a 。= 1 h o h 1 9g p ( 1 j ) ( p ( i i x 。，1 | g ( 1 似+ 1 ) ) ) 一圳，1 1 g o j ) ) ) j = j = 1 ” id 。，1 9 ( 9 9 ( 1 幻一1 ) ) 一g ( 1 j ) ) p ( 1 l 以，1 1 g ( 1 j ) ) 7 = “。= 2 浙江大学硕士学位论文 第二章 鞅p b a n ! 些皇塑圭塑型塑望奎墼堡! ! - 9 9 ( 1 ) j p ( | 1 片。l | g ( 1 ) ) 】 兰hl ，主( g ，o ( j + 1 ) ) 一g ，( i j ) ) p ( i ix ，i i g ( 1 脚 r = “-产2 = e j ( 9 9 0 ( j 一1 ) ) 一9 9 0 j ) ) y aq n i l 9 ( 1 j ) p ( i i x 。1 1 g ( 1 j ) ) 因为屯= 1 s u p1 a 。，i ，所以有 一，每( g 印) + 杰j = l g 叼肋哿溜百1 萎v 卯( | | 瓦川 g ( 呦) 由条件( 2 1 2 ) ，( 2 1 4 ) 可以知道 a 1 = 0 0 ) 。 s 羔兰k ，( j ) ( p ( i ix , 。i i g ( j - 1 ) ) 一p ( i tx 一| 刚”) 悼h j = 2 = 艺i i r g ，( 2 ) p ( i i x , ，1 1 g ( 1 ”一9 9 ( k ) p 硼。，l l g ( k 。) ) + ( 9 9 ( + 1 ) 一9 9 ( 脚圳邑，l i g ( 肋 = 2 v h 9 9 ( 2 ) f 吒，rp ( i i x , ，i t g ( 1 ) ) v * f h i + hr ( 9 9 ( j + 1 ) 一9 9 ( 助删瓦t i i g ( 埘 = ：且+ b 2 岛警鲫驯 g ( 1 ) ) 9 9 ( 2 砑k n 等i 差刖l 以，修g ( 1 ” 由条件( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 和( 2 1 4 ) 知 ， 铝 f( pg p m xe p 啦 o 芦。h = 4 羔型! 苎兰塑兰兰苎堕! ! ! 一 苎三皇墼! 型! ! ! ! ! ! 窒塑圭塑型塑墅查堑堡 ! ! 尽= o ( 1 ) 量篁，坚吐掣j p ( 1 lx ，忪刚) ) 扫“。j = 2j 则) ) 由条件( 2 1 3 ) ，( 2 1 5 ) 和引理2 2 1 可知 垦= o ( 1 ) 因此，a 2 = d ( 1 ) 引理2 2 2 得证 塑酗学硕士学位论文 第二章 鞅p 型b a n a c h 空间上组列的弱大数律 2 3 定理证明及相关推论 定理2 1 - 2 的证明设瓦= 瓦，慨蚓 删a n ，( 工扩) i p s ) p ( | | ( 以一x ：，) 1 1 5 5 - ) + p ( 1 l ( 戤一c m ) j i 要) f 2 。 j 2 ” - 2 ：a i + a 2 4 兰p ( u ( 瓦，z ，) ) f _ 虬 p ( i i x , i i g ( 吒) ) 扫虬 2 寺姜t p ( 1 1 x , i i 她) ) 由条件( 2 1 1 ) 和( 2 1 5 ) 知 4 斗0 ，0 _ ) 由m a r k o v 不等式及e 一不等式知 4 争驯萎吒- ( 疋，一川9 1 7 c i a n i i9 e i i z ，_ 1 1 9 。坶 h c ( hre ( 1 l x 斗+ 1 1c 。n 。t = u ” c ；兰i i ，e i u 扛 再由引理2 2 2 知a 2 哼o ，- - 0 0 ) 定理2 1 2 得证 下面的推论实际上是a d l e re ta 1 ( 1 9 9 7 ) 中定理2 的推广 浙江大学硕士学位论文第二章 鞅p 型b a n a e h 空间上组列的弱大数律 推论2 3 1 设 瓦。，“。i y n ，n 1 ) 是定义在实可分鞅p ( 1 p 2 ) 型b a n a c h 空间上的随机变量组列，溉，m 1 ) 是正的整数列， ，“。i v n ，h 1 ) 是常数列 当胛j 时，满足以斗，且对于某些0 l ，n l 且，。o = a ，q ) ，n 1 推论2 3 1 的证明在定理2 1 2 中取g ( x ) = x “7 ，不妨取屯= 碟”，则条件 ( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) ，( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 很显然成立，我们只需验证条件( 2 1 3 ) 妙薯罕 。1 - p r ，掣( ，+ 1 ) 残( 否半 。 一1i p ， 。砖1 - p r t厶“万jej=2一丢争 一1，= 1j ) 卜 睇，l o 一一 一 p k 脚 鼋j ，、 脚 浙江大学硕士学位论文 第二章 鞅p 型b a n a c h 空间上组列的弱大数律 1 9 纠1 - p rc 筹+ k 驴-