（概率论与数理统计专业论文）随机右截断的连续过程生存函数及其函数的估计.pdf

摘要 截断数据是生存分析的重要研究内容，而以往关于 截断数据的讨论往往仅限于离散场合本文将截断数据的 问题推广到连续场合，对右截断下连续过程的生存函数 及其函数的估计进行了讨论，并进一步证明了相应估计的 生质，得到了它们的占s 收敛性 【关键字】截断数据，生存函数遍历定理，a s 收敛，累计 危险率函数，平均生存时间 a b s t r a c t s u r v i v a la n a l y s i sa t t a c h e sm u c hi m p o r t a n c et oc e n s o r e dd a t a ，b u t t h ea n a l y s i so n l yf o c u s e so nt h ed i s c r e t ec o n d i t i o n i nt h i sp a p e r ， w eg e n e r a l i z et h ec e n s o r e dd a t at ot h ec o n t i n u o u sc o n d i t i o n ， d i s c u s st h ee s t i m a t o r so fs u r v i v a lf u n e t i o na n di t sf u n c t i o ni n s u c hc a s ea n dp r o v es o m e p r o p e r t i e so f t h e e s t i m a t o r s 【k e yw o r d s l c e n s o r e dd a t a ，s u r v i v a lf u n c t i o n ，e r g o d i ct h e o r e m ， d s c o n v e r g e n c e ，f a i l u r er a t e ，m e a n s u r v i v a lt i m e 复旦大学硕士毕业论文 第一章引言 生存分析是目前统计学的热门之一，自7 0 年代中期以来，得到迅速的发展， 并渗透到其它学科领域，在现代工业、农业、医学、经济以及生物科学中有着广 泛的应用生存分析的研究最初来源于现代医学、工程等科学研究的大量实际问 题，着重对截断数据进行统计分析研究，因此具有很强的实用性对生存分析来 说，它概括了很多应用领域( 如医疗、可靠性、服务系统、社会经济) 中的实际问 题：它涉及数理统计中原有的参数统计与非参数统计：它结合了一些较深较新的 概率和其他数学工具因而生存分析不仅能妥善地处理现实生活中常见的截断 数据问题，而且在解决实际问题的同时，揭示了一些更为复杂的理论问题，促进 了数理统计理论的发展 生存分析的主要研究对象就是截断数据，而在我们的生活中存在着大量的截 断数据：如灯泡在长达5 0 0 小时的寿命试验中没有毁坏：无线电信号在受到强烈 干扰而无法接收前已经持续了5 分钟：吃了致癌物质的小白鼠到四月二同早晨八 时尚无明显反应：机器从今天上午六时到现在已经出现了3 次毛病等上述问题 中出现的截断都是右截断的，即虽然不知道个体的确切值，但知道它大于等于某 个数实际中，还可能碰到另一种截断，即我们不知道个体的确切值，但知道它 小于等于某个数，这种截断又称为左截断出于截断问题，使我们丢失了数据的 部分信息人们在处理数据的时候如果采用了不恰当的分析方法，那么就可能会 导致不太准确甚至错误的统计分析结果因此我们应考虑截断的影响，充分利用 我们所得的信息来进行统计分析怎样在统计中利用这部分信息昵? 这就是生存 分析所要研究的问题 在生存分析中一般将上述右截断问题归纳成如下的一个数学模型：我们对随 机变量x ，x ：，x 。感兴趣，但是这些x ，却受到了另一列随机变量 x ，y ：，的干扰， 以致我们只能观察到 z ? = x ? a y ? 第1 贝 t 复旦大学硕士毕业论文 点= ，( 置r ) = 。 l0 x ， i 一般我们总假定x 是独立同分布的随机变量，具有分布函数凡x ) ，相应的生 存函数记为联x ) = 1 唯) ，而r 也是独立同分布的随机变量，具有分布函数g 0 ) ，如 何通过( z f ，4 ) 去估计j s u ) 呢? 一般有如下几种方法可以估计s ) ： ( 1 ) 寿命表方法：这是一种重要的非参数估计方法，它不仅有悠久的历史， 而且现在仍有广泛的应用这种方法简单易行，虽然比较粗糙一些，理论 上也缺乏一些根据，但是在许多实际工作中是符合或近似符合客观情况 的 ( 2 ) k a p l a n m e i e r 估i t 1 】：由式( 1 ) 给出的k a p l a n m e i e r 估计是k a p l a n 与m e i e r 于1 9 5 8 年提出的，由于它具有乘积极限的形式，所以又称为乘积极限( p l ) 估计 吼，= 器，( 品) 其中z ( ) 是z 的顺序统计量，哦，) 是z 相应的指示函数 k a p l a n m e i e r 估计具有重要的理论意义，它在生存分析中的地位与经验 分布函数在经典统计中的地位相仿，具有许多优良的性质1 9 7 4 年 b r e s l o w 和c r o w l e y 2 1 证明了过程的弱收敛：1 9 7 7 年p e t e r s o n 3 】证明了a s 收敛性：1 9 8 1 年f 6 1 d e r 和r e j t 6 “3 证明了这种a s 收敛的速度为 d ( 面五石否而) ：同年b u r k e ，c s 6 r 9 6 和h a r v a t h 5 1 等人讨论了它的强收 敛性：1 9 8 3 年g i l l 【6 1 把过程弱收敛推广到整个半直线上去 ( 3 ) a l t s h u l e r 估计【7 j = 1 9 7 0 年由a l t s h u l e r 提出的a l t s h u l e r 估计也是估计s 任) 的一个常用办法，它的定义为 硼p 素i 黯 其中五，) 是z ，的顺序统计量，哦。) 是z ( ，) 相应的指示函数 它的性质与k a p l a n m e i e r 估计的性质类似，具有很好的大样本性质，如一 第2 页 复旦大学硕士毕业论文 致性，重对数收敛速度等等 此外，关于生存函数的函数的估计也有许多学者讨论其中累积危险率函数 和平均生存函数是两个较为重要的生存函数的函数由于累积危险率函数与生 存函数之间存在简单的函数关系，因此利用k a p l a n m e i e r 估计和a l t s h u l e r 估计我 们可以分别得到累积危险率函数的估计，即p e t e r s o n 估计和n e l s o n 估计，它们的 性质可由k a p l a n m e i e r 估计的性质直接导出而对于平均生存函数的估计主要采 用由s u s a r l a 和v a nr y z i n i 踟提出的截尾估计，但是这个估计在实际应用中有着一定 的局限性，因此1 9 8 9 年z h e n gz u k a n g 例对这个估计作了进一步的修改 但是以上生存分析的结果都是基于离散样本的，而用连续时间样本来估计生 存函数至今尚未见到有人讨论如果我们把上面的截断情况推广到连续时间场 合，即假设x = ，f e r ) 和y = ，r 是两个随机过程，我们仅能观察到 z | = x | y l r 1 x ，茎y 4 = i ( x ，r ) = 。 【0 x 。 r 假设置与r 的分布函数与时间f 无关，分别为m ) 和g o ) ，在这种情况下我们又 如何来估计鼬) 呢? 本文首次将截断问题引入随机过程，将生存分析与随机过程 结合起来，考虑了连续时间样本下的截断问题，讨论了生存函数及其函数的估计 并就估计的性质进行了一些探讨 在第一部分中我们给出了在随机右截断的连续时间样本下生存函数的一个 估计式：然后讨论了经验分布函数和子经验分布函数，证明了经验分布函数和子 经验分布函数在一定条件下的a s 收敛；并利用经验分布函数和子经验分布函数 的性质证明了这个估计的订矗收敛：此外我们对生存函数的两个函数即累积危险 率函数和平均生存时间进行了讨论，得到了与生存函数估计相平行的性质 第3 贞 复旦大学硕士毕业论文 第二章随机右截断的连续过程生存函数的估计 以下的讨论都是基于下列假设、记号和定义进行的 ( 1 ) 设= ，r 和y = 亿，r 是定义在概率空间( q ，只p ) 上的两个 非负实可测连续时间随机过程，我们仅能观察到： z t = x t a y t 4 = i ( x ，r ) = 1 ： f一z 0 0 z z ( 2 ) 与】，相互独立： ( 3 ) x ，与r 的分布函数均与时间f 无关，记置的分布函数为月0 ) ，且f ，= i n f x ： 砸) = 1 ，生存函数为s ) = 1 一彤) ：记r 的分布函数为g ( x ) ； ( 4 ) 记z ，的分布函数为h ( x ) = 1 一( 1 一f ( x ) x 1 一g ( x ) ) ，且f 。= i n f x ：坝x ) = 1 ， 生存函数为q ( z ) = p ( z ， x ) ： ( 5 ) 记互的两个子生存函数为 q o ( z ) = 尸( z f x ，4 = 1 ) q l ( x ) = p ( z ， x ，蕾= o ) ： ( 6 ) 记观测到的样本函数为z = z ，fe 【o ，t a a = 瓶，f 【0 ，r 】 ，其中t 0 ， 并记m ，2 邮s u p 】z f 我们称z = z ，t o ) 是被y 随机右截断的连续时问随机过程，简称为截断过 程 定理2 1 设m ) 是连续函数，那么当x 【0 ，- 。) 时有 鼬h x p 等 第4 贝 复旦大学硕士毕业论文 证明：由工与y 的独立性以及z 与r 的分布函数均与时间f 无关可知 q ( r ) = p ( 五 x ) 篡：z 叫 偿- ， = p f x x 1 p f r x 、 、7 = s ( x ) o g ( x ) ) 绋o ) = p ( z f x ，谚= 1 ) = p ( 置 z ，x r ) = p ( “】，) 水( “) ( 2 2 ) = 一噩1 - g ( ) j g s ( ”、 因为唯) 是连续函数，所以对表达式( 2 2 ) 两边微分，得 d q o ( x ) = 1 g ( x ) 】( 坶( x ) ( 2 3 ) 若x 0 ， t - h , ) ，那么可由( 2 1 ) 和( 2 3 ) 得 酉a o o ( x ) = 篙 ( 2 4 ) q )s o ) 从而两边积分得到 f d q o ( u ) ：f c l s ( u ) 。q ( u ) o s ( ”) 即 s ( x ) = e x p ( 。f d q o ( o 。( u ) ) ( 2 5 ) 存 定理2 1 将生存函数瓣) 写成了q ( z ) 和q 0 ( x ) 的函数，利用这个函数表达式， 我们将原来估计s 的问题转化估计q ( x ) 和q o ( x ) 的问题，这比直接估计s 缸) 要 容易得多假设我们观察到( 互，蕾) 在【0 ，刀上的一个样本函数，那么我们就可以 构造如下的经验生存函数岛( z ) 和予经验生存函数磊，( x ) ， 窃o ) = f ，( z ， x ) 西 幺，( x ) = 彳1fj ( z ， x ，谚= 1 ) d t 第5 贝 复旦大学硕士毕业论文 并分别以幺( x ) 和幺，( x ) 作为q o ) 和q 0 ( z ) 的估计，然后用岔( 戈) 和磊，( 戈) 代替 ( 2 5 ) q b l 拘q ( x ) 和骁( 工) 就可以得到5 的一个估计式岛( x ) ，即 s r ( x ) = e x p f 繁j 一帆蚓 b a ， 注：( 1 ) 当没有发生截断时， s r ( x ) = e x p 【r 帮j = e x p ( 1 n 岔( x ) ) = 岔( x ) 即它与经验生存函数重合 ( 2 ) 在离散场合，这个估计就是a l t h u l e r 估计 第6 贝 复旦大学硕士毕业论文 第三章经验生存函数和子经验生存函数的 性质 上一节，我们得到了生存函数的估计，为了证明它的性质，我们将引入遍历 性的概念和有关的引理 本节仍沿用上节中的一些记号在这一节中我们将利用遍历定理“，证明经 验生存函数和子经验生存函数在一定条件下的n 置收敛性首先我们来介绍有关 遍历定理的一些内容 3 1 遍历性 考虑概率空间( q ，只p ) 定义3 1 1 定义概率空间( q ，只p ) 上的可测变换r ：q _ q ，如果对v a f 有 p ( t 。a ) = p ( a ) ， 则称r 为p 的保测变换 现考虑一族保测变换仁亿，20 定义3 1 2 对彳f ，如果对每个t o ，p ( 爿v t , a ) = 0 ，则称4 为r 的不变集 其中，a v b = ( 爿舻) u ( 爿。b ) 定义3 1 3 若对任何不变集a 都有p 似) _ o 或1 ，则称保测变换弘亿，t o 是遍 历的 j l d o o b 在【1 0 】中指出，任意一个严平稳过程u = 妙，f 0 都可以看成是由 保测变换所生成的，即存在( q ，只p ) 上的一个随机变量v 和一族保测变换 弘亿，f o ，使得由 u ；= v ( c a ) ：z ( t , c o ) ，国q 摭7 梃 复旦大学硕士毕业论文 所定义的过程与u = 配，t 0 ) 具有相同的分布特别地，如果可测变换 弘亿，f 0 是遍历的，那么称过程u = 妙，r 0 ) 是遍历的对于遍历的严平稳 过程，可由一条轨道在长时间内的某种平均来计算均值与相关函数等重要的统 计特征，这就是遍历定理 引理3 1 1 ( i r f i i 定理) 设u = 妙。，f 0 是个严平稳可测过程，e 砜l o 以及任 意的“，2 ，。o ，f 0 ，五，x 2 i 一，x n 0 有， j p x 。，x ，： x ：，_ x n ) = p ( 一， 扎置：+ ， x ：，x 。， ) j d ( r x ，r ： x ：，f x n ) = p ( z 。+ ， x ，r ：+ ， x ：，+ ， _ j 因而有， p ( z “ x ，z b x ：，z 。 h ) = p ( 一，、 一，z ：，、气 工：，z 。n r j = p 协b 一， 如，x 。 x n , r x i ， x 2 ， b ) 第8 负 蔓呈奎兰堕圭兰些笙兰 ：p 阮 而，z ， x ：，置。 矗) p ( z 。 而，气 x ：， 吒j 又因为z 与y 相互独立，所以 p 忆 一，互： x ：，互。 矗) = 尸( x 。， x 。，一，+ ， z ：，t ，x 。+ ， x 。) p ( r + ， x 。，z ：+ ， 工：，- ，z 。+ ， j = p 【置。+ ， z ，x ，：+ ， x ：，一，置。+ ， x 。，r 。+ ， x 一，z ：+ ， x z - ，一，z + ， 矗) = p 【_ ”，n + ， _ ，墨：+ ， r ：+ ， x ：，。一，z 。+ ，n + ， j = p 忆，。 一，z ，：。 x ：，z f 。 矗) 因此 z ，t o ) 是严平稳过程 而对过程 z ，4 ，f o 来说， p 忆4 ， x ，互：4 ， x ：，z 。气 h ) = p 忸“ x ，x ，： x 2 ，一，x h ，x hs r ，x ，s r ：，一，x s r ) = 卜j ：尸( 郦r ，呸r ：，幡r 如伍，驰，x 。钮，置钒) = 卜i ：j p ( 邪r 。“：z ：。，呸_ 。如阮+ ，轨，_ 一，置，) = p 忸”， x l ，x ，：+ ， x 2 ，一，x + ， x 。，x ”，s + ，x ，2 + ，墨r ：+ ，一，x 。+ ，s + ，) = p 眩p f 6 p 。 x 、，z 1 + f 6 1 + f x 一，z ”f 6 ”f xn 1 所以过程 z ，点，0 也是严平稳过程 # 下面我们利用遍历性和弱混合的关系来证明 z ，t o 和 z ，瓯，t o j 的遍历 性首先我们给出弱混合的定义和引理3 3 2 定义3 2 1 如果随机过程u = 妙，f o ) 满足 口( “) 2 警。珊，) m n b ) 一p ( 爿) p ( b l 与o ， 日e 口0 ，) 则称u = 妙，t 0 ) 是弱混合的 引理3 2 2 如果随机过程u = u ，0 ) 是弱混合的，那么u = 妙，o ) 是遍历 第9 贞 过程 引理3 2 3 对任意t 0 及“ 0 有 。s u p 。) i p 0 n 曰) 一p 0 妒p 】。：般) i p 0 n b ) 一尸0 ) 尸p 】 8 e a “l + 。) b e a “+ ，) + 僦) 阢n 口) 一p ( 彳) p ( 曰】 8 e a 也+ 。) 证明：对任意a 盯，r ) ，必存在o - ( x , ，r ) 中的互不相交的有限个可测矩形 4 ，i 1 1 ，即对任意i ，i 任意i ，l 且i ， 使 4 盯( 置，r ) a ，n a ，= 其中e = e e ：，b 。e ，b 则由，y 的独立性得 a ，= 如：z ，0 ) b i 。 n 妇：誓0 ) b ：。 = x i l 旧，) n r - ( 岛，) = a ，n a ：， 其中4 ，ex 7 1 ( b ，) 盯) ，a ：。x , - 1 ( b 2 ，) 盯 ) 同样，对任意c 盯( 一。y t + t s ) ，必存在盯。，r + 。) 中的互不相交的有限可测矩形 c ，i ，2 ，即对任意i ，2 任意i ，j ，2 且i 使 c 盯( x 。，r ) c j n q = 复旦大学硕士毕业论文 c = e = 妇：0 ) ，e p ) ) 口) ，e ，ii e l l = b ：z b ) d i 。，r ) d 2 ，) l e ，1 其中d = d f 。d i ：，d 1 ，d f 2 b 则由x ，y 的独立性得 c i = 如：z ) d i ，) n 扫：r ) d 2 ，) = 杆1 ( d l ，) n r 1 ( d 2 ，) = c 1 ，n c ：， 其中c i ，矸1 ( d 。，) 仃陇+ 。) ，c ：，杆1 ( d 2 ，) 盯( z + 。) 于是 p ( an c ) p ( a ) p ( c ) = p ( t e l t 。n 如扪薹 n c ：) 一p ( i 。1 1 。，n 4 ：) p ( 蕃 ，n e ：) l e ，2 2 = p ( ( 莓以 n ( 蕃如 n ( 萎g n ( 蕃 一尸 ( 荨4 。) n ( 蕃4 ：) ) p ( ( 荟g ) n ( 萎c ，： ) 分别记爿，= a 。c f = c i 。，i = 1 ，2 ，则 l p ( a n c ) 一p ( a ) p ( c 】= i p ( 爿n 爿：f l c 。n c ：) 一尸( 爿。n 彳：) 尸( c n c ：】 = i 尸( 一n c , ) p ( a ：f 3 c ：) 一尸( 彳p ( 爿：l p ( c l l p ( 1 已】 - - - i ? ( a n c 。) p 0 ：f 3 c ：) 一p ( a n c , ) p ( a ：) p ( g 】 + i p ( a n c , ) p ( a ：护( c ：) 一p ( a ，) p 0 ：) p ( c ，妒( g 】 = i p ( 爿，f i g 。x p ( a ：f - l c ：) 一p ( 爿：) p ( c 2 ) 】+ l p ( 爿：) p ( c ：) 尸( 爿n c 。) 一p o 。) j p ( c ，) 1 因为 0 j p ( 4n c ) 1 ，0 兰p ( 爿：) p ( c 2 ) 1 所以 i p ( 爿n c ) 一p ( 爿) p ( c 】1 尸( 4 ：n c ：) 一p ( a ：) p ( c ：】十l p 0 n c ，) 一p ( 爿，) p ( c ，】 蔓呈奎兰堡主兰些堡茎 由上知对任意的彳盯陇，r ) 和b 盯( z 。r + 。) ，必存在爿。盯阮l a ：盯 l b 。盯阮+ 。l b ：e 盯( r + 。l 使得 l p ( 爿n b ) 一p ( a ) p ( b 】 x ，巧= l = q o ( f ) 甜 ( 3 1 ) 嬲岔( 工) = 。l i m 。1 r 。，亿 石= q ( ，) 蚰 ( 3 2 ) 证明：由条件和引理3 2 1 和引理3 2 3 知 z ，t o 和 z ，4 ，r o 都是严平稳遍历 过程，又因为严平稳遍历过程的任一可测变换也是严平稳遍历过程，所以对任意 的x 【0 ，) ，( z ，匹 x l ，0 ) f ，( z ， x l t 0 是两个严平稳遍历过程再利用引理3 1 1 可直接推得 舰磊，( z ) = l i m l 丁。( ，( z f z ，d , = 1 ) t = q o ( f ) 舭 i m o , ( x ) _ ，l i m 。1 rm ( ，( z f x = q ( f ) 口只# 复旦大学硕士毕业论文 第四章& ( x ) 的相合性 在3 中，我, f l z j l 入了遍历定理，并利用过程的遍历性证明了经验生存函数 参( x ) 和子经验生存函数磊，( x ) 在一定条件下的a s 收敛性，本节在此基础上来 证明，( x ) 的口j 收敛 定理4 1 设x 与y 都是严平稳弱混合过程，若f 连续，那么对任意的x 【0 ，) 有 ，( z ) 尘_ s ( x ) rj0 0 证明：对x i o ，) 有 i l o g s ，o ) - 1 。g s ( j ) i lr d 巍，( “) 2 卜酉百 = ( r 筹一r 訾m 等一d q o ( u ，) 】i f f 帮一r 訾h r 訾 = 沁嚣等加刊f 赤d o o r ( u ) - q o ( u ) ) | ， 将式( 4 2 ) 代入( 4 1 ) 得 i 皆+ r 警剖 i 唑剥+ r 唑掣m 酬z ， 第1 4 页 = 一 q 、b d 上 而憎 复旦大学硕士毕业论文 l o g 岛( x ) - l o g s ( x ) l r 裂d 讪，叫呜产 + r 紫m 删 ( 4 3 ) 分别记式( 4 3 ) 右边第一至第三项为蜀、易、马， 由定理3 3 1 和0 x ) 的极限存在，那么称a ( 工) 为危险 率函数 定义5 1 2 设a ( x ) = r a 0 ) 咖，那么称a ( x ) 为累积危险率函数 因为累积危险率函数和生存函数存在如下的一个关系式： a ( x ) = 一l o g s ( x ) ， 从这个关系式中可以看出，假如已知生存函数鼬) ，那么就可以立即求出累积危 险率函数人( x ) ，所以利用生存函数的估计，我们很容易得到累积危险率函数a ( z ) 的估计： = - l o gr 一r 筹一 o 相应地，它的性质可由生存函数的估计的性质直接导出 定理5 1 1 设x 与j ，都是严平稳弱混合过程，f 连续，那么对任意的x o ，“) 有 凡r ( x ) _ ! ：二_ a ( x )7 ， 并且有，对任意的m o ，“) ，当r 寸m 时，有 摊s o p 。 。r g ) 一a ( x l - , o a s 兰呈查兰堡主兰些笙窒一 一 证明：由定理4 1 和定理4 2 可以直接得证 5 2 平均生存时间的估计 在生存分析中，平均生存时间对我们来说是一个非常重要的参数这里，我 们假设a 是有限的 注意平均生存时间可以写成如下的一个形式： = 一f 工豳g ) = r s g ) 出 ( 5 2 1 ) 一个很自然的想法就是用s 的估计代入( 5 2 1 ) ，得到的估计丘，也就是 丑= f 岛( x ( 5 2 2 ) 但是遗憾的是s h ) 的估计g ) 在尾点往往有麻烦，这将导致积分( 5 2 2 ) 的发散为 此我们利用c l a s sk 方法【“】来得到理想的平均生存时间的估计，其原理是用 f = 4 萌( 互) + ( 1 4 溉( 互) 来代替一，即对置进行调整，然后用霄+ = 吾f x ? 础作为的估计，办，识是不依 赖于f 的非负连续函数，满足积分方程 e g 0 ) 酝) + r 欢t 0 = y ， 我们称满足上述条件的函数对铴，破) 属于c l a s s k ，记为渤，唬) k 命题5 2 1 当慨，疵) k 时，有e x ：= e x = 1 当g 已知时，由遍历定理可以得到如下的结论 定理5 2 1 设x 与y 都是严平稳弱混合过程，f 连续，那么当t 寸。o 时有 a x ：x 啼“ q s 证明：由条件和引理3 2 1 和引理3 2 3 知 z ，t o 是严平稳遍历过程， 又因为严平稳遍历过程的任一可测变换也是严平稳遍历过程，所以缸? ，o 也 是严平稳遍历过程，利用引理3 1 1 和e f = t 可直接推得 t 复旦大学硕士毕业论文 又： x ：由q 丁山 。 第1 8 贝 复旦大学硕士毕业论文 参考文献 【1 】e l k a p l a n ，pm e i e r , n o n p a r a r n e t r i ce s t i m a t i o nf r o mi n c o m p l e t eo b s e r v a t i o n s ， j a s a ，5 3 ( 1 9 5 8 ) ，4 5 7 4 8 1 2 1n e b r e s l o w , j c r o w l e y , al a r g es a m p l es t u d yo f t h el i f et a b l ea n d p r o d u c tl i m i t e s t i m a t o ru n d e rr a n d o m c e n s o r s h i p ，a n n s t a t i s t ，2 ( 1 9 7 4 ) ，4 3 7 4 5 3 【3 】a vp e t e r s o n ，e x p r e s s i n gt h ek a p l a n m e i e re s t i m a t o ra saf u n c t i o no fe m p i r i c a l s u b s u r v i v a lf u n c t i o n s ，j a s a ，7 2 ( 1 9 7 7 ) ，8 5 4 - 8 5 8 【4 】4a f 6 1 d e s ，l r e j r 6 ，al i lt y p er e s u l tf o rt h ep r o d u c tl i m i te s t i m a t o r ，z w ， 5 6 ( 1 9 8 1 ) ，7 5 - 8 6 5 im d b u r k e ，s c s & g o ，l h o r v d t h ，ac o r r e c t i o nt oa n di m p r o v e m e n to