（概率论与数理统计专业论文）正态分布参数的单边模糊假设检验.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 中文摘要 近年来，模糊假设检验引起了许多学者的关注和研究。本文的工作是研究正 态分布参数的单边模糊假设检验，文献 7 】中作者b 绷施耐，彳朋d 肘给出了方差 已知时均值的单边模糊假设检验，本文研究的是另外三种情形：方差未知时均值 的单边模糊假设检验、均值已知时方差的单边模糊假设检验、均值未知时方差的 单边模糊假设检验。主要研究思想是借助经典假设检验的研究思想，即通过建立 统计量以及控制犯两类错误概率的方法来达到检验目的。 关键词：模糊假设检验；隶属函数；正态分布；第一( 二) 类错误概率 a b s t r a c t r e c e n t1 旧a r s ，m 哪，s c h o l a r sh a v es h o 帅谳e r e g t si n 舭r e s e a r c ho f t h et u z z y h y p o t h e s e s h l 1 i sp 印e r w em a 瑚yd i s c u s st l l et e s t i n g0 n e - s i d e d 缸z z yh y p o l e s e sf o r m ep a r 锄e t e ro fn 0 肌a ld i “b u t i o n a si n 【7 删h o rb e n l l l 戚f a m o l d h a v ed l s c u s s e d m et e s t i i l ge x p e c t a t i o nw i ml 【i l 刚mv a i i 孤c e ，t h i sp a p e rm 枷l y c o n 伽n st h eo t l l e rn 们e c 硒e s ： t e s t i n ge x p e c 谢0 n 诵t l l 砌m o 舳v 撕觚c e ，t e s t 啦 v 掘雒c ew t t hk n0 。w n 唧e c t a t i o n ，t c s t i n gv 撕觚c e 埘n lu 1 1 h 嗍le x p e c t a t i o n a n d0 u r l n v e s t i g a t e da p p r o a c h i s 胁i l i a rw i mt h eg e n e r a la p p r o a c h 删c ht e s t sv i ac o i l s 仃u c t i n g as t a t l s t l c a lt e s t l n ga n d 丘x i i l g t l l e p r o b a b i l i t i e s o f n l e 哪r s o f t ) ，p e ia n d k e yw o r d s ：f u z z yh y p o t h e s e s ；m e m b e r s h i pf 衄c t i o n ；n 0 傩a ld i 妤b u t i o n ；1 1 1 e p r o b a b i l i t i e so f m ee n d r so f 聊ei ( i i ) 华中师范火学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： l 司位 日期：砌8 年r 月功日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：甩位 日期：砷年岁月卯日 导师签名：。和潮。 v 日期：1c ，6 缛岁月2d 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。圃耋迨塞握銮厦造厦! 旦坐生i 旦二生；旦三生蕴查! 作者签名：同 侄 日期：砷2 年箩月日 w 泌引肌午汀 脾 名 戳沙 师期 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 1 1 研究背景 第一章引言 随着1 9 6 5 年模糊数学的诞生，统计学也随之产生了一个新的研究领域：模糊 假设检验。我们知道在经典假设检验中，统计模型，统计假设，样本以及检验法则 都有严格的定义，且都是精确的。然而，如果在观察值或假设中引入模糊的概念， 则会面临很多有趣的问题。 近年来很多学者致力于模糊假设检验的研究，且在这一领域主要产生了两种研 究方法：一种是借助贝叶斯方法进行研究，如文献 4 和文献 5 。还有一种是借助 经典假设检验的检验思想来进行研究，如文献 7 就是在精确数据样本下利用经典 假设检验的检验思想研究了正态分布下方差已知时均值的单边模糊假设检验，文献 3 是借助文献 7 的方法讨论了定时截尾下指数分布参数的单边模糊假设检验。 本文的工作是对文献 7 的扩充和完善。我们知道在经典假设检验中对正态分 布参数的假设检验有四种情况：方差已知时对均值的正态检验、方差未知时对均值 的f 一检验、均值未知时对方差的z 2 一检验、均值已知时对方差的z 2 一检验。那么 同样对于正态分布参数的单边模糊假设检验也应该包括这四种情形，文献 7 中作 者晚聊| j l 口耐f 么肌d 肼讨论了第一种情形即正态检验。本文将在他工作的基础上继 续对其它三种情形做出讨论，以使对正态分布参数的单边模糊假设检验这一方面的 讨论完整化。 在讨论过程中，本文和文献 7 不同在于，由于我们研究的是正态分布参数的 另外三种情况，那么关于检验过程中统计量的选取是不一样的，从而导致关于第一 ( 二) 类错误概率和检验方法的讨论也会有所不同。具体情况我们将在第三章和第 四章做出详细讨论。在整篇文章中我们的样本数据是精确的，后面就不再重复说明 了。 1 2 基础知识 下面我们对模糊假设检验及隶属函数这两个概念做个简单介绍。 模糊假设检验 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 在经典的假设检验风：护0 0h 骂：p q 中0 。和 。作为参数空间l s l 的非空 子集是明确的且是不交的，例如风：伊1 停日：p 1 。但在现实生活中却不可避免 的碰到许多带有模糊性的假设检验。例如，要评价一个学生的成绩是“优”是“良 还是“差，那么“优 和“良”的分数界限在哪里，“良”和“差 的界限又在哪 里? 假设9 0 分为优，那8 9 分呢? 仅仅一分之差，9 0 分为优，8 9 分就变为良了， 这合理吗? 9 0 分和8 9 分在“距离”上是那么小，优和良在“距离 上又是如此之 大。类似的还有许多范围不明确的词语，如“年轻 和“年老 ，“高个子 和“矮 个子”等等。还有例如我们观测到一段波长名，要检验风：a 属于红波付且：力属 于绿波，但是我们知道在物理学中并没有一个明确的范围来界定红波和绿波，而且 两者的波长范围是相交的。 象上面那样假设所对应的集合范围不明确而且相交的检验，就是我们要讨论的 模糊假设检验，下面我们给出模糊假设检验的严格定义。 定义1 1 设o 。和0 ，是以参数空间o 为论域的两个模糊子集，则如下假设检验 日o ：p o 付q ：口o l ( 1 1 ) 称为模糊假设检验。 隶属函数 隶属函数是解决模糊假设检验问题的一个必不可少的工具。通俗的说，隶属函 数反映的是一个参数p 属于某个模糊集合0 的程度。这里我们用日( 力表示隶属函 数，它是模糊集合0 到 o ，1 】区间上的一个映射，日( p ) 越接近于l 则p 属于模糊集 合0 的程度越大，反之越接近于o 则秒属于模糊集合 的程度越小，胃( 9 ) = o 表示 p 决不属于模糊集合o ，日( 口) = 1 表示口一定属于模糊集合o 。 至于隶属函数具体形式的确定本身是带有主观色彩的，从而导致了它形式的多 样性。但比较常见的有以下几种【2 】： 1 半梯型：日( p ) = 1 o 9 口l 业q p 口：。= 一 反 o ) 。 4 哥西型：日( 9 ) 2 再扫( 后 1 ) 上面几个式子除9 外，其余均为已知常数。 在解决模糊假设检验风：9 毫0 0 铃蜀：口 时，首先是要在凰和q 上分别建 立一个隶属函数风( 口) 和凰( 田，矾徊) 一般选取为上面介绍的几种形式，而q ( 口) 是通过1 一风( 目) 得到。当检验为经典假设检验时，峨( d 和马( 9 ) 则退化为特征函 数，即 k c 9 ，= 三0 三盖，石c 口，= ：吕茎誓。 对模糊假设检验进行判决时，是分为两种情况的。当p 已知时我们的判决是根 据最大隶属原则，即若风( d q 妒) ，则判决口eo o 即接受日o ，若风( 口) 。) 为已知撇记否= 竽。 2 2 检验方法的介绍 o ，口岛 华，岛 吼+ 万 对于( 2 1 ) 的检验方法，在1 2 节中我们介绍过，当p 已知时我们的判决是根 据最大隶属原则，即若风( p ) 县( 目) ，则接受风，若瓯( p ) ( 2 2 ) ( d = s u p 【匾( d 一风( 口) 】( 1 一g ( l 秒) ) ( 2 3 ) 其中g ( r ，力为检验r 的功效函数。 显然当( 2 1 ) 为经典假设时，由于矾( p ) 和q ( p ) 退化为特征函数，即 即，= 器篙，即，= o 吕茎誓一咿，= 溅卵娜， ( n = s u p ( 1 - g ( 丁，秒) ) ，此为经典假设检验两类犯错误的概率，可见( 2 2 ) ，( 2 3 ) 式恰为经典假设检验两类犯错误的概率的推广。 给出两类犯错误的概率以后，一般可以通过两种方法来检验( 2 1 ) 。一种是当 给定样本时，若要控制第一类犯错误概率口( d = ，则根据( 2 2 ) 控制口= 计 算出c 。第二种是若同时要控制两类犯错误概率，使口( d = ，( 乃屁，则首先 需要找出同时满足这两个条件的最小样本数刀，将刀代入口( 乃= 来确定c ，然后 根据确定的样本数取咒个样本，最后根据样本进行检验，此法称为g 口甜夕( 疗，力检验， 这种方法的优点在于即可以达到控制犯第二类错误概率的目的，又可以取最小样本 数而节省成本。 在下面两章中，我们将在上面介绍的检验方法下对正态分布在方差未知时均值 的单边模糊假设检验，均值已知时方差的单边模糊假设检验，均值未知时方差的单 边模糊假设检验做出讨论。 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第三章方差未知时，均值的单边模糊假设检验 3 1 检验模型的建立 验： 设总体x 服从正态 ，仃2 ) ，其中“和仃2 未知，考虑如下的单边模糊假设检 风：“不比“。大或者大得不多停q ：“比大很多， ( 3 1 ) 建立风和日。的隶属函数矾( “) ，耳( “) 分别为： 凰( “) = l ，”o 华， “o + 万 o ，“球。 华，岛 + 万 记二= 丝譬旦，万 。( 已知) ，其图形如下，实线表示风( ”) ，虚线表示q ( 材) ： l l o 二 + 艿 从图形上可以看出，当“ 甄 ) ，当” “时，风 ) c ) 删功效函数为： 如c 炉 瓜丽学c ) - 1 - ( c + 厕而等) 其中( ) 为自由度为万一l 的f 分布，记相应的密度函数为乙一。( ) 。显然g ( 甩，c ，“) 关 于”单调递增，1 _ g ( 咒，c ，“) 关于“单调递减，则由( 2 2 ) ，( 2 3 ) 得， 嘶) _ 。墨掣( 1 唰c + 厕等) ) 血五 d 5 2 鳃研h - l ( c 一厕面去( 1 - f mo g g么) ( 记扛2 等) ( 3 2 ) 肌) _ ：竺，掣驰+ 厕等) ) ( 弘2 等) 瓤鱼k + 占 。 ， = 淝忆p 一顾丽嘉( 1 + f ”， ( 3 3 ) o g s lz ) 为方便书写我们记口= c 一而砉，6 = 石可喜p o ) ，记( 3 2 ) 和( 3 3 ) 花括号里的两个式子分别为g o ) = f ( 1 瓦一。0 + 6 f ) ) ，| j l ( f ) = f 正一。0 6 f ) 。则口( 刀，c ) ， 声( 疗，c ) 变形为 口( 丹，c ) = s l l pg ( f ) ，( ，l ，c ) = 跚pj l o ) 。 o 口幻o g s i 3 2 验证口( 甩，c ) 的存在性 由第二章介绍的函“( 靠，c ) 检验方法，即先同时控制两类犯错误概率 口q ，c ) = ，o ，c ) s 屁，找出同时满足这两个条件的最小样本数以，将刀代入 口( 疗，c ) = 来确定c 。我们发现由于a ( 胛，c ) 和( ，l ，c ) 的表达式中都含有s ，则必然 7 硕士学位论文 m _ a s t e r st h e s r s 要求事先先获取样本求得s ，否则无法进行关于口( 万，c ) 和( c ) 的计算。所以和文 献 7 中方差已知的情形不一样，我们讨论的方差未知的情形只能采用第一种检验 方法即先给定样本，同时控制第一类犯错误概率口( 力，c ) = ，则根据( 3 2 ) 控制 a ( 刀，c ) = 计算出c 。 为保证口( 刀，c ) 的存在性以及方便关于口( c ) 的计算，我们先给出下面个引理 3 1 证明g ( f ) 在【0 ，佃) 上有的唯一极大值，且记在广处取得。若广 1 ，则 口( 露，力= g ( 1 ) ，若0 f 1 ，则口( 刀，c ) = g o ) 。 引理3 1 ：当胛 2 时，酏) 在【0 ，+ ) 上有唯一的极大值且是最大值( 其中 6 0 ，万 o ) ) 。 证明：因为g ( 0 ) = 0 ，g ( 棚) = 0 ，而且g o ) 在【o ，+ ) 上连续且恒大于等于o ， 所以g ( f ) 在【o ，+ ) 上至少有一个极大值点，假若还有一个极大值点f 2 ，不妨 设 2 时j 每烘在【o ，+ ) 上恒大于零，则g ” ：o 等价于 刀一l + ( 口+ 6 f ) 2 。 9 、 ( 疗一2 ) 6 2 f 2 + 0 4 ) 口所一2 0 l + 口2 ) = o 。显然 当 力 2时， 由于 以一2 o ，厂( o ) = 弋刀一1 + 口2 ) o ( 已知) ，其图形如下，其中实线表示风( 们，虚线表示蜀( 们： 岛 蚕 凭+ 万 从图形上可以看出，当p q ( 口) ，当口 口时，风( 曰) 1 ，则a ( 刀，c ) = 9 ( 1 ) ，若o f l 1 ，则口( 捍，c ) = 妒瓴) 。若乞 l ， 贝4 ( 玎，c ) = 驴( 1 ) ，若o 乞1 ，贝i j ( 咒，c ) = 矽( 乞) 。 l 巧 一 z 一扣 n 一劢一警 器锻 引岛 = 引理4 1 ：当雄 2 时，矿o ) 在【o ，2 昙) 上有唯一的极大值且是最大值( 其中 c o ，艿 o ，弘o ，2 罢 1 ) 。 d 证明：因为驴( 0 ) = o ，l i 啦缈( f ) = o ，而且9 ( f ) 在【0 ， t 口 上连续恒大于等于 。，所以9 ( f ) 在 o ，2 昙) 上至少有一个极大值点，假若还有一个极大值点f 2 ，不 妨设f 1 2 时，由于嚣一2 o ，磊( o ) ：也z 2 时，驴( f ) 在【o ，佃) 上有唯一得极大值且是最大值( 其中 c o ，艿 o ，口 o ) 。 证明：因为( o ) ：o ，( + ) = 0 ，而且驴( f ) 在【o ，佃) 上连续恒大于等于o 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 所以和引理4 1 一样只需证明o ) 在【o ，佃) 上最多有一个根，以下记2 9 = 口。 矽舻c 白一工白嵩， 痧”( f ) = 高五去) 【( 疗- 2 ) 娩2 2 融埘( 以唧幽2 】， 令s o ) = ( 疗一2 ) 占2 f 2 2 艿d + 口万( 刀一6 弘一4 口2 同样由于石车务( _ ) 在 。，佃) 上恒大于零，则”( f ) = 。等价于 s ( f ) = o ，显然当玎 2 时，由于玎一2 o ，s ( o ) = - 4 口2 = 1 一c 一- 9 ， c 一。( ) 为砟。的分布函数。类似4 1 1 节，此节中犯两类错误的概率分别为： 口( 以，c ) ：s u p 让卜c 一，( 当) 】，( 刀，c ) ：s u p 昧。白。 嘲 2 p 一国 。搿翻 2 口+ 毋 我们发现除了自由度不一样外，g ( 刀，c ，p ) ，口( 万，c ) ，( 豫，c ) 的形式与均值已知 时是一样的，则后面的讨论与均值已知时也是基本一样，这里我们就不再予以讨论 了。 1 4 第五章结束语 本文是利用文献【7 仲提出的借助经典假设检验的检验思想研究了正态分布参 数的单边模糊假设检验。实际上，这一方法还可以应用到其它方面的研究，如其它 分布参数的单边模糊假设检验、正态分布参数的双边模糊假设检验等等。 在本文研究正态分布参数的单边模糊假设检验的过程中，选用的是半梯形的隶 属函数，若选取其它形式的隶属函数同样可以仿照介绍的研究方法进行讨论。但值 得提到的是，隶属函数取何种形式对我们的检验法则以及检验结果是有影响的，至 于它们之间有何种影响以及如何根据具体情形选用隶属函数，还需要这方面的专家 进行更严谨，深度的研究。 1 5 参考文献 1 陈希孺数理统计引论( 第一版) m 北京：科学出版社，1 9 8 1 2 3 8 2 5 0 2 贺仲雄模糊数学及其应用 m 天津：科学技术出版社，1 9 8 2 6 4 7 1 3 魏立行，张文修定数截尾样本情形指数分布参数的模糊假设检验 j 模糊系统 与数学，2 0 0 3 ，( 1 ) ：7 7 8 3 4 c a s s l s mr b a y s i a nt e s t i n go ff u z z yp a r a m e t e r i ch y p o t h e s e sf r o mf u z z y i n f o r m a t i o n j r a i r oo p e r a t i o n sr e s e a r c h ，1 9 9 3 ，2 7 ( 2 ) ：1 8 9 1 9 9 5 t a h e rsm ，b e h b o o d i a nj ab a y e s i a na p p r o a c ht of u z z yh y p o t h e s e st e s t i n g j f u z z ys e t sa n ds y s t e m s 2 0 0 1 ，1 2 3 ( 1 ) ：3 9 4 8 6 s a a d ej e x t e n s i o no ff u z z yh y p o t h e s e st e s t i n gw i t hh y b r i dd a t a j f u z z y s e t sa n ds y s t e m s ，1 9 9 4 ，6 3 ( 1 ) ：5 7 7 1 7 b e r n h a r df a r n o l d t e s t i n g z z yh y p o t h e s e sw i t hc r i s pd a t a j f u z z ys e t s a n ds y s t e m s ，1 9 9 8 ，9 4 ( 3 ) ：3 2 3 3 2 7 8 h b a n d e m e ra n ds g o t t w a l d e i n f u h r u n9i nf u z z y m e t h o d e n m b e r l i n ： a k a d e m i ev e r l a g r ，1 9 9 3 2 5 5 9 9 h b a n d e m e r a n dw n i t h e r f u z z y d a t a a n a l y s i s m d o r d r e c h t ：k 1 u w e r a c a d e m i cp u b lis h e r s ，1 9 9 2 1 4 6 6 1 0 s f r ii h w i r t h s c h n a t t e r o nf u z z yb a y e s i a ni n f e r e n c e j f u z z ys e t sa n d s y s t e m s ，1 9 9 3 ，6 0 ( 1 ) ：4 1 5 8 1 1 h r o m m e l f a n g e r e n t s c h e i d e nb e i u n s c h i i r f e m s p r i n g e r ：h e i d e l b e r g ， 1 9 8 8 1 5 5 1 2 w u h l m a n n s t a t i s t i s c h e q u a l i t s k o n t r 0 1 l e m t e u b n e r ：s t u t t g a r t ， 1 9 8 2 2 5 6 1 1 3 h 一j z i m m e r m a n n f u z z ys e tt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n s m d o r d r e c h t ： k 1 u w e ra c a d e m icp u b lis h e r s 19 91 2 4 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 表1 附录 刀c力 c豫 c ( 力，c )( 挖，c )( 甩，d 7 07 6 90 3 2 3 89 71 0 3 9o 2 4 3 81 2 41 3 0 7 6o 2 0 2 3 7 17 8 0o 3 2 1 l9 81 0 4 9 3o 2 4 1 31 2 51 3 1 9 2o 2 0 1 3 7 27 9 0o 3 1 8 29 91 0 5 9 1o 2 3 9 71 2 61 3 2 90 2 0 0 2 7 37 9 9 8o 3 1 4 11 0 01 0 7 0o 2 3 7 91 2 71 3 3 9 8o 1 9 9 1 7 48 0 9o 3 0 9 01 0 11 0 7 9 3o 2 3 5 41 2 81 3 5 0 2o 1 9 8 2 7 58 1 8 90 3 0 6 41 0 21 0 8 8 9o 2 3 2 61 2 91 3 5 9 o 0 1 9 6 6 7 68 2 8 60 3 0 2 81 0 31 0 9 90 2 3 1 51 3 01 3 6 9 3o 1 9 5 2 7 78 3 8 8o 2 9 8 91 0 41 1 0 9 2o 2 3 0 61 3 l1 3 7 8 4o 1 9 4 0 7 88 4 9o 2 9 4 51 0 51 1 1 9o 2 2 9 31 3 21 3 8 7 8o 1 9 2 9 7 98 5 9 1o 2 8 9 91 0 61 1 2 9 1o 2 2 7 81 3 31 3 9 7 9 0 1 9 1 8 8 08 6 8 9o 2 8 6 11 0 71 1 3 8 90 2 2 6 11 3 41 4 0 8 3o 1 9 0 6 8 18 7 8 80 2 8 3 21 0 81 1 4 8 8o 2 2 4 41 3 51 4 1 9 1o 1 8 9 5 8 28 8 8 9 o 2 7 9 61 0 91 1 5 8 6o 2 2 3 21 3 61 4 2 9 30 1 8 8 4 8 39 8 8o 2 7 7 91 1 01 1 6 8 80 2 2 2 11 3 71 4 3 8 8o 1 8 7 5 8 49 0 8 。7o 2 7 5 61 1 11 1 7 9 1o 。2 2 0 91 3 81 4 4 8o 1 8 6 8 8 5 9 1 8 6 o 2 7 3 21 1 21 1 8 9 8o 2 1 9 81 3 91 4 5 7 8o 1 8 5 8 8 69 2 8 8o 2 7 0 51 1 31 2 0 0o 2 1 8 21 4 01 4 6 8 2o 1 8 5 0 8 79 3 8 8o 2 6 7 31 1 41 2 0 9 7 0 2 1 6 31 4