（概率论与数理统计专业论文）条件阿基米德copula.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 捅要 随机变量之间的相依性是概率论与数理统计学中研究的最广泛的内容之 一。c o p u l a 理论的日趋完善，使其应用也更加广泛，在很多实际问题中，我们 可能已经知道了一些变量间的相依性关系，如何利用这些已知的关系来研究未 知的变量间所蕴含的相依机制，或者说这些已知的关系对未知的变量会造成什 么影响，如何影响未知关系等等成了我们十分关注的问题。鉴于此，本文主要 讨论了几种与条件分布函数对应的条件c o p u l a 的相依性关系，讨论了条件 c o p u l a 与无条件c o p u l a 之间的关系，哪些相依性关系是不变的，哪些是变化的， 是如何变化的等等。 本文重点讨论了几种条件c o p u l a 的性质，得出了一系列重要的结论：第二章 得出了条件c o p u l a c e 洲( “，v ) 也是阿基米德c o p u l a ，并且其生成元的逆元为： 矽一】( f ) = 尘竺型旦三兰刿并具体研究了形w 条件下的条件 c o p u l a 的性质，包括( 1 ) 有序性：当w z 时，对任意的( “，1 ，) o ，1 2 有： ： c 【。，w 】( “，y ) q o ：】( “，1 ，) 及条件c o p u l ac 。】( 甜，y ) 保持原来的序关系； ( 2 ) 有界性：条件c o p u l a c 。，叫( “，v ) 保持f r e c h e t h o e f f d i n g 上界： ( 3 ) 收敛性：当矽疋口时( o 口 f 与m a x ( x ，】，) f 条件下的条件c o p u l a 的性质，并发现此种条件 a r c h i m e d e a nc o p u l a 与第二章的条件a r c h i m e d e a nc o p u l a 的相似之处。 关键词：c o p u l a a r c h i m e d e a nc o p u l a 条件c o p u l a 分布函数相依性 a bs t r a c t d e p e n d e n c er e l a t i o n sb e t w e e nr a n d o mv a r i a b l e si so n eo f t h em o s tw i d e l ys t u d i e d s u b j e c t s i n p r o b a b i l i t y a n ds t a t i s t i c s t h et h e o r yo fc o p u l ai sm o r ea n dm o r e p e r f e c t ，a n di su s e dm o r ea n dm o r ew i d e l y w em a yh a v e k n o wt h ed e p e n d e n c e r e l a t i o no fs o m ev a r i a b l e s ，b u th o wt ou s et h ek n o w nd e p e n d e n c er e l a t i o nt od e t e c t d e p e n d e n ts t r u c t u r e o ft h eu n k o w nv a r i a b l e so rt h e e f f e c to nt h e u l l k o w n v a r i a b l e s a n dh o wt h ek n o w nv a r i a b l e sh a v ea l le f f e c to nt h eu n k o w nv a r i a b l e sa n d s oo n ，w h i c ha r ea l lo u rc o n c e m e dq u e s t i o n s s oi nt h i sa r t i c l e ，w em a i n l yt a l ka b o u t s e v a r e lt y p e so fd e p e n d e n c er e l a t i o nb e t w e e nt h ec o n d i t i o n a ld i s t r i b u t i o nf u n c t i o n s a n dt h ec o r r e s p o n d i n gc o n d i t i o n a lc o p u l a s ，c o n d i t i o n a lc o p u l a sa n du n c o n d i t i o n a l c o p u l a s ，w h i c ha r ev a r i a b l ea n di n v a n a b l e ，a n d h o wt h e yv a r y i nt h i sa r t i c l e ，w em a i n l yd i s c u s st h ep r o p e r t i e so fc o n d i t i o n a lc o p u l a s ，a n dg e t s o m ei m p o r t a n tc o n c l u s i o n s i nt h es e c o n dc h a p t e r , w eg e t t h i sc o n c l u s i o n ：t h e c o n d i t i o n a la r c h i m e d e a nc o p u l a s c 训( “，y ) a r e s t i l la r c h i m e d e a n c o p u l a s a n d t h ei n v e r s e g e n e r a t e r i s “水f ) 坐掣掣k 。 c o n s i d e rt h ec o n d i t i o n a l a r c h i m e d e a nc o p u l a sa n dt h e i rp r o p e r t i e s u n d e rt h e c o n d i t i o n 形w ，i n c l u d i n g ( 1 ) o r d e m e s s ：w h e nw z ，c 【。，w 】( “，v ) - - q 】( “，v ) a n d c o n d i t i o n a lc o p u l a sp r e s e r v e st h ec o n c o r d a n c er e l a t i o nb e t w e e nt w oa r c h i m e d e a n c o p u l a s ； ， ( 2 ) b o u n d n e s s ：c o n d i t i o n a lc o p u l a sp r e s e r v e st h ef r e c h e ru p p e rb o u n d ； ( 3 ) c o n v e r g m c e ：w h e n 矽屯( o z fa n dm a x ( x ，y ) f ，w e a l s of i n dt h e s i m i l a r i t yb e t e e nt h ec o p u l a su n d e rt h e s e c o n d i t i o n sa n dt h e c o n d i t i o n a la r c h i m e d e a nc o p u l a si nt h es e c o n dc h a p t e r k e yw o r d s ：c o p u l a ， a r c h i m e d e a nc o p u l a ，d i s t r i b u t i o nf u n c t i o n s ，c o n d i t i o n a l c o p u l a s ，d e p e n d e n c e 西南交通大学曲南艾遗大罕 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 保密 2 不保 年解密后适用本授权书； 使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“ ) 学位论文作者签名：余c j 、彩乞 日期：妒旦。6 二 指导老师虢 9 毒 日期：搠厂咎 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导f 独立进行研冗工作所 得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中作了明确的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： 1 条件c o p u l a c 卅( 材，1 ，) 也是阿基米德c o p u l a ，并且其生成元的逆元为： o - 1 o a ( 沪坐掣掣 2 具体研究了w w 条件下的条件c o p u l a 的性质，包括( 1 ) 有序性： c o p u l ac o w l ( u ，y ) 保持原来的序关系：( 2 ) 有界性：条件c o p u l a c 。，叫( 甜，1 ，) 保持 f r e c h e t - h o e f f d i n g 上界；( 3 ) 收敛性：当足口时( 0 x l y y 1 下，它反映了在股票市场的一种股票高 涨后，是否会引起另一种股票上涨。用概率的语言来讲就是当随机变量y v 时， x z 的概率是多少，当五y 相当大时，就是我们通常所说的x ，y 尾部相关性。 鉴予此，本文主要讨论了几种与条件分布函数对应豹条件c o p u l a 的相依性关系， 讨论了条件c o p u l a 与无条件c o p u l a 之间的关系，哪些相依性关系是不变的， 哪些是变化的，是如何变化的等等。而且c o p u l a 理论可以很容易推广到条件 c o p u l a 的情形，故在金融时闽序列的分析中，条徉c o p u l a 起到了很重要的作用。 c o p u l a 函数中一类被称为a r c h i m e d e a nc o p u l a 的函数族具有其他c o p u l a 函数 不具备的优点，比如形式简单具有美感、对称性、可结合性等，从它的构造特 点出发，可以较容易的得到众多相关性质。因此本文主要研究了条件 a r c h i m e d e a nc o p u l a 的性质。 本文所做的工作是：第一章介绍了c o p u l a 函数的发展过程和本文的研究意义 及相关的预备知识，第二章具体研究了矽w 条件下的条件c o p u l a 及性质，包 括有序性、有界性、收敛性帮尾相依性，并把这些性质推广到了多维的情形。 第三章介绍了形嚣w 条件下的条件c o p u l a ，得出了此类条件c o p u l a 的上界可以 得到有效的改善，从所有的c o p u l a 的f r e c h e t - h o e f f d i n g 上界m ( u ，v 1 改进为 蟛( 群，y ) = 兰等有雳的结论。第四章讲述了m i n ( x ，y ) t - 毫m a x ( x ，y ) f “十v w 条件下的条件c o p u l a 的性质，并发现此释条件a r c h i m e d e a nc o p u l a 与第二章 的条件a r c h i m e d e a nc o p u l a 的相似之处。 1 。3c o p ula 的定义及相关性质 在前蘧的l 。l 节中我 知道c o p u l a 是二个连接函数，它将分布丞数与其边 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 缘函数连接起来，这里给出确切的c o p u l a 的数学定义： 定义1 3 1 一个二元函数c 称为c o p u l a ，如果c ：1 2 - - ) i = 【o ，l 】，满足 1 ) 边缘条件v u ，v i , c ( u ，o ) = c ( o ，v ) = o ，c ( u ，1 ) = 豁，c ( 1 ，v ) = v 2 ) 二增性条件对于任意毪，群2 ，v l ，屹川昱满足致 u z ，k x ，y y 】，其一维边缘生存函 数为 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 1 一_ i 一一_ - - 一- 一_ 一- 一一一l l _ _ _ - _ - _ _ - _ i _ - - _ - - i - - _ - _ _ _ - _ - _ _ 一 ( x ) = p 【x x 】= 西( 毛一) ，否( 岁) = 尸【y y 】= 万( 一，罗) 则 _ _ 一 曩( x ，罗) 等l f ( x ) 一g ( y ) + ( 与y ) = f ( 工) + 虿( y ) 一1 + c ( ，( x ) ，g ( y ) ) = ( 茗) + 虿( 罗) 一i c r ( 1 一( 石) ，1 - g ( y ) ) 所以， i ( 而y ) = a ( ( x ) ，否( y ) ) 反解可得： a ( “，v ) 黧百( 。1 ( 材) ，召卅1 ( y ) ) 1 。4 阿基米德c o p u la 的定义及性质 令函数矽：【o ，1 卜专【o ，】，是连续的，严格单减的凸函数，且矽( o ) - - o o ，矽( 1 ) = 0 ， 而沙是所有满足上述条件的的集合。 定义1 4 1 对任意的痧y ，存在逆函数矿： o ，卜专【o ，1 】令 c ( 豁，y ) = 矿1 ( 矽( 嚣) + ( v ) ) o 豁，y l ( 1 4 1 ) 可以验证( 1 - 4 - 1 ) 满足边缘条件和= 增性条件因此是c o p u l a ，我们把具有 ( 1 - 4 1 ) 形式的c o p u l a 称为阿基米德c o p u l a ，其中砂称为阿基米德 c o p u l a c ( u ，v ) 的生成元。 这里，生成元豹条件可以放宽一些，( o ) 不一定要等予，如果痧o ) 0 ，那么c 痧也是c 的生成元。 定理1 4 3假定c o p u l ac ( u ，1 ，) 满足结合律，并且对任意的材( o ，1 ) 有 疋( “) w ) 的条件e o p u t aq 取，】( 豁，v ) 的生成元的逆为 一训( r ) = 竺垒= 掣；( x , r l 矿s w ) 的条件c o p u l a q j ( 材，) 的生成 元为呱川( f ) = 妒( w f ) 一妒( w ) a 证明：在定理2 王2 中令口= w ，6 = l 得矿1 【训= 令口= o ，6 = w 得矿1 陬司( r ) = 掣 旷z ) 一1 ”多( w ) ) 。 l w 令y = 妒l 。胡( ) 则y 撺= 多一( ( w ) ) j ( y 渺) = ( w ) 等黧( y 拶) 一多( w 所以求得讯卅( f ) = ( 纠) 一妒( w ) 例2 。1 ( c 1 a y t o n 族c o p u l a ) 。c ( 嚣，y ) = ( 材护+ v - p - i ) ? 生成元妒( f ) = t 一1 ) ( 移。) ，舜o ，胡( f ) = ( 埘) 一( w ) = w - 雳t 一一1 ) 与( ) 只相差正的常数倍疗，因 西南交通大学硕士磷究生学谴论文第 2 贾 此q o ，卅( 纵，v ) = c ( “，v ) 眦2e 嗡。曲榔巾一卅+ 掣_ 一研， 生裁元多芒芝一链音拶喾o ，呱潮砖拦爹锹一妒谬 庐恻一| 端一触万i ，因此q o w 1 ( 龆，v ) 仍然是f r a n k 族c o p u l a ，参数由原来的矽变为 秽w 。 淞3 洲i k h a i l 柏p 族c o 叫a ) e ( ) 然而而 生残元尝毡掣咎磁卜薹，i ，啦硝爹嚣多磁) 一镎 妇塑坠掣 因诧 吲)仍然是 a t i - m i k h m 城p族 c o p u l a ，参数内原来的拶变为秽w l 一秽+ 秽w ) 一。 扶上蓬熬褥子翟激看塞菇，y 形冬叫懿条董孛c o p u l a c o 迭f 麓v 有黧与琢来 的c o p u l a c ( u ，v ) 相简，有的和原来酶c o p u l a 在同一族中，有的既不相阊，也 不在同一羧中，例如取妒) 搿粼如( 1 一t 一) 黟毯o ，1 1 ，呱嘲) 拳多( 埘一妒w ) 篇绷遮l 一谢) 警) 一粼s 穗( 1 一妒 就属予运释情况。那么在行么样静祷况下 卅( v ) 与原来的c o p u l a c ( u ，v ) 相同昵? s u n g e r 在参考文献e 3 回答了这个 闯题： 定理2 - 1 t 4 假定c ( 弘，v ) 是阿基米德c o p u l a ，生成元为爹( f ) ，则，砖( 敬v ； 蒜o ( 羧v 懿楚分努要荣律是e f 敞p 是獯立c o p u l a ，或者是c l a y t o n 族c o p u t 鑫鹰 m _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ m _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ m - 一一 蟊南交通大学硕士研究生学位论文第 3 页 定理酶证骧可以在后霞的参考文献3 j 率歪到，这里不再叙述。 2 。2 q o ，w 】( 豁，y ) 的性质 在这节里我 l 丁主要讨论( x ，y l 形w ) 的条件c o p u l a c o 。t ( 材，v ) 的性质，主 要从有序性、有界性、收敛性、和尾相依性方面去讨论。本节中的弓| 理2 2 1 、 2 2 3 、2 2 6 来自于参考文献 1 ，为了方便读者把它们分别列入在本节的主要 定理翦萄。 引理2 。2 。1 假设q ，c 2 是阿基米德c o p u l a ，生成元分别是竣，廷，如果磊，睫在 ( 织1 ) 上连续可导，且玲在( 织1 ) 上是不减的邈数，那么 奠。 定瑗2 - 2 2 假设阿基米德c o p u l a c 沁v ) 的生成元鲍) 满足 ) ( 1 ) 是凸函 数，剥当w z 时，对任意的( 豁，y ) 毯【。，l 】2 有，q 仉川( 嚣，v ) q 饥：“材，v ) 。 碱勰黜烈捌瓣谰揣烹帮孝一个不减的溅 讲。1 一lzjz 留一lz 邸证明删蔫锱是一个不减熊虽数，求饕得 武归业耸一， 因此只嚣证明彬2 ( 识) 矿( z t ) - z 1 ( 涮) 2 ( 2 t ) 20 眦明帮帮，吲咖帮删只需证蚓壮于堤 不增的函数， 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 删啦_ ，= 地= 一一垫迎1 兰塑 钏垆办) - 帮一一一篱 = 鲁赫小咖沁) ) 因为1 ) ( 滓凸硪眦：嬷于t 是不减的丞数，即9 2 ( x ) 关乎菇是不增的函数，命题得证。 在这个定理中，令z = l ，有q ”1u ，y ) = e ( “，v ) ，郎对任意的w l 有 q 。w l ( u ，v ) g c ( v ) 。换句话说，在( 置y i w 。l 。i 卅m 矽妒( ( u 群x ) ) = x ，鼯边关于工求导可得 瓣帮u 一缎一l 熙帮帮= 一一i 。一8 。叶。西f 黻 谚f 掰1 。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 7 页 j l i 壤型孚垒掣l i 璎掣要= 吲x 一酬令u x - u , 参1 兰丝銎尘戈啦= 一窿￥一酬 ”。o 矿( 淑) “枷矽( 甜)1 i - r a v 印( 豁1 ) 一 j 鞫帮u 粤籍u 一叫( 刚) q + o 妒( 1 )q o 一口( 1 ) 7 、77 、7、 因为( f ) = f 一掰t ( t ) 矽1 ( t ) - - o ! t 吖( f ) ( f _ o ) j 一吲一州l ( t )( 一o ) 命题得证。 定理2 2 1 0 假设c 是阿基米德c o p u l a ，生成元妒( f ) 可导，并且妒足聪( 这里 o x | y y ) 反映了在股票市场的 _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - _ _ 一_ 群粽 腑7 孙一咖 1 1 0 一 对一 躲 (一蟹 = 盟叫 越埘娃舢 明 汪 西南交通大学硕士研究生学位论文第侣页 种股票高涨后，是否会引起另一种股票上涨。用概率的语畜来讲就是当随机变 量y y 对，x 菇浆概率是多少，当x ，y 糖当大时，就是我稍逶常新说髂置y 尾 都褶关性。下蚕孳 进尾相关系数： 定义2 2 设隧槐变量置y 的联合分毒函数茭嚣而y ) ，边缘分布函数分别是 f ( 石) ，g y ) ，x ，y 对应的e 。p u l a 为c ，称名= l 。i 。m 。p 。f ( 、x ，) 甜l g ( y ) 砧】为x ，y 的上尾相关系数a 鬣定c 毙阿基米德c o p u l a ，设生成元鸯痧( f ；则哥以进步写成 冀= 磐p 妒( x ) 豁陬y ) 豁】= l 。i 嘶m c ( 搿u , u ) - 拳熟等坳= 墼等臀 肚l 洲i m 户ph i g ( y p “】= 烛掣小磐警 = 2 一l 溉塑粤掣 x - - + o 1 一矿( x ) 另辨我稍可以得爨艿= l 主越1 - 2 u + c ( u , u ) = i i m c ( 1 - u , 1 - u ) 掣至丝盟懿 u - - + l 1 一u ”_ l i 一材 f o t c o p u l a c 的上尾相关系数等于其生存c o p u l a a 的下尾相关系数。 下面我们将讨论唧，蝴( 甜，y ) 的尾相关系数： 定瑾2 。2 12 稷设e 涛阿蓦米德c o p u 羔鑫，怠生成元筠) ，并且其下尾耦关系 数名存在，如果对任意的露釜钆鸦f l i m x - - b a 。孑专= l ，则蝴( 辑v ) 的下尾相关 毋l lr 疗l t j 系数五。稍等于c 的下尾相关系数五，即丸一= 元。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 9 页 证明：久o,w-l，ira噼碑o。，叫-一(2xx)=坚罂渊 ：些苎兰三5 ；斟! 受弓三三三丢蒙：旯彳 一卜掣广矿肿纵卜“1 矬纠受锎= 磐耥圳一证。 定理2 2 1 3 假设c 为阿基米德c o p u l a ，且生成元为矽( f ) 可导，并且其上尾相 关系数万存在，则c 【。卅( 甜，v ) 的上尾相关系数4 。w 】= o 。 矾一二躲鳃以躲盏 = 2 2 l i m 鱼幽= 2 2 = o 命题得证。 棚( 川( x + 矽( w ) ) 2 3 ( x ，y i 形w ) 的条件c o p u iac 。，w 】( 甜，1 ，) 在多维下的扩充 令函数矽：【o ，1 】一【o ，】，是连续的，严格单减的凸函数，且 ( o ) = ，( 1 ) = 0 ，让矽一1 表示妒的逆函数且( 一1 ) 7 ( 矽一1 ) ，) ( f ) o ，i = 0 ，1 ，2 ， c ”u ，甜：，) = 矽- 1 ( 妒( 毡) + ( 甜：) + + 矽( 吒) ) 是行维阿基米德c o p u l a 。假定 斟 姒h 一 a 正 墨 x = ( x 1 ，五，) ，形= ( 形，) ，且五，五，砟，都服从 o ，l 】 上的均匀分布，其联合分布是p + g 维阿基米德 c o p u l a c ( 而，恐，o ，w l ，w 2 ，) ，并设其生成元为 矽 ，令 口= ( q ，a 2 ，) ，6 = ( 岛，6 2 ，岛) a = 口1 ，6 l 】 呸，6 2 】 气， 考虑在矿a 条件下的分布固数： h a ( 五，而，) = p ( x i x a ，x 2 x 2 ，x p 讳l 形a ) 币两1 卜缈广恸小言北) ) 妒( w 眇叱 则一维条件边缘分布函数只( 而) = p ( x 1 - x a w a ) = , r - a ( x q , 1 ，1 ) 万1 丽卜妒广+ 喜n ) 拇多1 ) ( w ，m o 叱 因此运用多维s k l a r 定理可得( x 。，x 2 。) ，即 i i m 鬻， c 卫 那么l i r ac q ( ) = c 伊1 ( 叩) 。 证明：在前面的绪论中我们知道，如果矽( f ) 是阿基米德c o p u l a c 的生成元，那 么对任意常数c o ，印也是c 的生成元。根据此得知峻w ) _ 1 ( c f ) 与晚q 1 ( f ) 生成 同样的阿基米德c o p u l a ，取c = ( w ) 则 娥峻川1(矽cw，)=慨石而i歹=坚量竺若兰高等三尹旦 西南交通大学硕士研究生学位论文第翻页 却州l i m 掣铲却+ 1 ) - 1 ( 川向+ 1 ) 倒 属于c l a y t 。魏族生成元的逆元，并且参数为旦丛。命题得证。 p 下面考虑c ! 以( 掰，v ) 的尾相关系数： 定理3 2 6 假设e 为阿基米德c o p u l a ，设生成元为妒( f ) ，并且其下尾相关系数 咒存在，如果矽卅满足l i m 妒卅( 工) 徽0jl i m ( 妒- 1r ( 工) = 0 ，并且对任意的口0 ， # ” 一 ， 有觋端乩扣) 晶下尾相关系数” 碱揶咖m 嘲谗错拦磐锱 一! 受烈 h ”( 矿1 ) o 卜每) “”( 。1 ) ( x + ) i 黼 。l i m 妒- 1 ( 工) = o 掌墅( 矿1 ) 。( z ) 嚣o ，运用洛比塔法则五田= 三彳曰 兰墼捌= 磐锱i 墨一“川x + 鲁1 一妒1 y j ，+ 西南交通大学硕士研究生学位论文第笠页 吲受铡= 粤矧_ 磐稍一。 定理3 。2 。7 假设c 为阿基米德c o p u l a ，且生成元为妒( f ) 可导，并且其上尾相 关系数万存在，则q w ( 掰，v ) 的上尾襁关系数点畸= o 。 碱8 w = 2 - 2 姆锑澍 = 2 2 l i 搬缈= 2 2 揣。 命题得证。 一。( 妒q ) 江( o ) 西南交通大学硕士研究生学位论文 第页 _ _ l _ i i i l l _ l _ _ _ l _ - ll - i l i l - _ _ - l - - - i l - _ _ l _ - _ l _ l - - _ l _ _ l - _ _ 。- _ 第四章m i n ( x ，y ) f 或m a x ( x ，y ) f 条件下的 条件c o p u ia 4 1 m i ( x ，】，) t 或m a x ( x ，y ) f 条件下的条件c o p u ia 的定义 及性质 考虑一对可交换的非负的随机变量( x ，y ) ， 令生存函数 万( 石，y ) = p ( x x ，y y ) ，其边缘生存函数否( 石) = 万( x ，o ) = 尸( x x ) 。假定 石( x ) 是连续的严格降的函数，并且否( o ) = 1 ，则随机变量( x ，】厂) 的生存c o p u l a k ( 甜，y ) = 歹 否。1 ( 甜) ，否。1 ( v ) 】，这里为了简单起见，我们考虑k ( “，v ) 是阿基米德 c o p u l a 的情况，并设其生成元为( f ) ，且满足妒( 1 ) = 0 矽( o ) = 一 ( 一1 ) 7 ( 妒一1 ) 门( 0 - - o ，i = 1 ，2 所以k ( “，v ) = 矽一1 ( 矽( “) + 矽( “) ) 因此 f ( x ，y ) = k ( 否( 工) ，否( y ) ) = 矽一1 ( 矽( 否( z ) ) + 矽( 虿( y ) ) ) 令形= 矿1 ，r ( 工) = 痧( 否( 石) ) 贝j j f ( x ，少) = 形( 尺( x ) + 尺( y ) ) ，- 6 ( x ) = ( 工，o ) = 形( r ( z ) ) 。 现考虑在曲( x ，】，) f 条件下的条件c o p u l a k , ( “，v ) ，对任意的t 0 ，令 剩余生存函数 孤垆尸x t + x , y t + y 岫删 r ) = 铲 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 4 页 形( r ( x + f ) + 尺( y + ，) ) = w ( 2 r ( t ) 广 ) 氧0 ) - px t + x i 血n ( 删 r ) = 帮 =旦群，令彤(x)=旦等专兰芸占手产，墨(石)=尺(，+工)一只(，) 那么万，x ，y ) = 形( b ( 工) + 弓( y ) ) ，_ f ( 工) = 彬( b ( 工) ) ，所以对应的条件c o p u l a 墨( 甜，v ) = - ， 否r - 1 ( “) ，否r 。1 ( v ) 】= 形( b ( 否r 1 ( 厶) ) + r ( _ r 卅( v ) ) )