（气象学专业论文）wrfensrf同化技术及与3dvar的对比研究.pdf

摘要 资料同化是数值天气预报质量提高的一个重要方面。随着观测资料的增多和观测质量 的提高，资料同化技术的进步和发展依赖于对背景场和观测场不确定信息的描述上，集合 卡尔曼滤波方法可以从集合样本统计出随大气形势变化的误差协方差，从而逐渐成为当前 资料同化领域一个新的研究热点。 本文围绕w r f e n s r f 同化系统，讨论其中关键问题的解决方案，重点研究协方差局 地化对于同化质量的影响，以期为集合同化系统在国内实现业务化运行提供有价值的参考。 本文首先在试验的基础上，考察水平局地化距离的选取对同化效果的影响；然后引入更先 进的自适应局地化分级的集合同化技术，将白适应局地化引入w r f e n s r f 系统。进 行水平局地化“s c h u r ”函数、自适应局地化两种协方著局地化方案的在实际探空资料同化 试验中的比较，考察白适应局地化方法在e n s r f 同化系统中的可行性。分析结果表明，当 局地化距离取为9 0 0 k m 时，同化效果显示一定优势。在l o r e n z 9 6 简单模式下在集合成员为 4 0 时，分组为4 组时，均方根误差均方根离散较小，同化效果较好。也即合适的自适应 局地化集合分组方案对同化结果是有益的。在w r f - e n s r f 同化实际探空资料试验中，各个 层次上的高度和温度场预报误差在4 0 个成员时分为8 组时较其他分组情况普遍要小。进一 步，通过数值预报的试验，对集合卡尔曼滤波和三维变分两种系统的同化能力进行了比较， 得到以下结论：集合卡尔曼滤波相比三维变分对背景场的调整幅度要大，降水预报的效果普 遍要优于三维变分同化后的效果，但是在8 0 r n m 级别的t s 评分低于三维变分的得分。造 成差异的根本原因是三维变分无法实现更新误差协方差，而集合卡尔曼滤波的误差协方差 是随流犁演变的。目前三维变分业务同化系统已经实现了多重嵌套的同化，而本文所用合 卡尔曼滤波由于受集合成员的、背景误差协方差计算等运算成本的限制，只尝试了做单层 同化能力的开发，预报改善效果受剑限制。 关键词：集合资料同化集合平方根滤波协方差局地化三维变分 a bs t r a c t d a t aa s s i m i l a t i o ni si m p o r t a n tf o rt h ei m p r o v e m e n to fn u m e r i c a lw e a t h e rp r e d i c t i o n w i t h t h ea u g m e n to fo b s e r v a t i o nd a t aa n dt h ei m p r o v e m e n to fo b s e r v a t i o nq u a l i t y , t h ea d v a n c e m e n t a n dd e v e l o p m e n to fd a t aa s s i m i l a t i o nt e c h n i q u er e l yo nt h ed e s c r i p t i o no ft h eu n c e r t a i n i n f o r m a t i o no fb a c k g r o u n da n do b s e r v a t i o n t h ee n s e m b l ek a l m a nf i l t e r ( e n k f ) c a no b t a i nt h e f l o w - d e p e n d e n tb a c k g r o u n de r r o rc o v a r i a n c eb ys t a t i s t i co ft h ee n s e m b l es a m p l e ss ot h a ti ti s b e c o m i n gan e wr e s e a r c hf o c u si nt h ec u r r e n td a t aa s s i m i l a t i o nf i e l d a so n eo ft h ee n s e m b l ed a t aa s s i m i l a t i o nt e c h n o l o g y , e n s e m b l es q u a r er o o tf i l t e r ( e n s r f ) h a sa r o u s e dm o r ep e o p l e sa t t e n t i o na n db e c o m et h eh o t s p o to ft h ec u r r e n ta s s i m i l a t i o nm e t h o d r e s e a r c hb e c a u s ei ti sa p tt op r o g r a m c o m p a r e dw i mt h et r a d i t i o n a lv a r i a t i o nd a t aa s s i m i l a t i o n m e t h o d ，e n s r fh a st h ef e a t u r et h a tt h eb a c k g r o u n d - e r r o rc o v a r i a n c ei sf l o wd e p e n d e n t ，w h i c hi s t h es a n l ea st h ec o m m o ne n s e m b l ea s s i m i l a t i o nt e c h n o l o g y i ta l s oh a st h ea d v a n t a g e st h a ti tc a n b ec o m b i n e dw i t ht h ee n s e m b l ef o r e c a s ta n dd o e s n tr e q u i r ea d j o i n tm o d e l s f u r t h e r m o r e ， c o m p a r e dw i t he n s e m b l ek a l m a nf i l t e r , e n s r fd o e s n tn e e dt oa d ds t o c h a s t i cp e r t u r b a t i o nt o o b s e r v a t i o na n di tc a no v e r c o m et h ep r o b a b l es a m p l i n ge r r o r w h e nt h eo b s e r v e dd a t ad o e s n t h a v ec o r r e l a t i o n ，i td o e s n tn e e dt os o l v ei n v e r s em a t r i xa n di sa p tt op r o g r a m t h et h e s i s ，f o c u s i n go nt h ee x i s t i n gw r f e n s r fd a t aa s s i m i l a t i o ns y s t e m ，d i s c u s s e st h e s o l u t i o n so ft h ek e yq u e s t i o n s i tp l a c e st h ee m p h a s i so nt h ep r o j e c to ft h e c o v a f i a n c el o c a l i z a t i o n f i r s t l y , t h et e s ti sb a s e do nar a i n f u l lp r o c e s st os t u d yt h es e l e c t i o no fd i s t a n c eu n d e rt h e t r a d i t i o n a ls c h u rp r o d u c to nt h ea s s i m i l a t i o ne f f e c t a n dt h e nw ei n t r o d u c eam o r ea d v a n c e d m e t h o d - t b es e l f - a d a p t i v el o c a l i z a t i o n ah i e r a r c h i c a le n s e m b l ef i l t e ri n t ol o r e n z 9 6a n dw r f t h er e s u l t ss h o wt h a tt h el o c a l i z a t i o nd i s t a n c e9 0 0 k mh a sas i g n i f i c a n t l ya d v a n t a g et h a no t h e r t w om e t h o d si e 7 0 0 k ma n d1lo o k r n a f t e ri n t r o d u c i n gt h es e l o a d a p t i v el o c a l i z a t i o n - a h i e r a r c h i c a le n s e m b l ef i l t e rt ot h es i m p l el o r e n z 9 6m o d e l ，t h ea s s i m i l a t i o ne f f e c tc h a n g e d f o rac o l l e c t i o no f4 0m e m b e r s ，w h e nc h o o s e4g r o u p s ，t h er m s ei ss m a l lt h e no t h e rc a s e so f d i v i s i o n n e x ti nt h ep r o c e s so fr e a lo b s e r v a t i o n sa s s i m i l a t i o ne x p e r i m e n t s ，w ec o n d u c t e ds o m e f e a s i b i l i t yv e r i f y i n gt e s t sa n dt r a d i t i o n a ls c h u rp r o d u c te x p e r i m e n t sb a s e do n 哪- e n s r f t h e r e s u l td i s p l a y e dt h a td i v i d i n g4 0n u m b e r si n t o8 9 r o u p si ss u p e r i o rt o4g r o u p sa n do t h e rc a s e s ， e s p e c i a l l yi nt h el o wl e v e l f u r t h e r , t h ec a p a c i t yo fe n s e m b l ek a l m a nf i l t e ra n d 3 d v a ra s s i m i l a t i o nw e r ec o m p a r e di ns o m e t e r m s t h ec o n c l u s i o n sa r c , ( 1 ) t h e3 d v a ra s s i m i l a t i o nt e s ta n de n s e m b l ek a l m a nf i l t e rt e s tb o t h h a v eac e r t a i ni m p a c to nt h ew i n da n dh e i g h tf i e l d so ft h eb a c k g r o u n d c o m p a r e dt ot h et e s to f 3 d v a r , t h ee n s e m b l ek a l m a nf i l t e rt e s ts e e m st oa j u s tt h eb a c k g r o u n dm u c hm o r ed i s t i n c t l y ( 2 ) i n t h ea s p e c to fp r e d i c t i o no fr a i n f u l l ，t h ee x p e n s r fs e e mt ob e t t e ri nl o m ma n d3 0 r a mg r a d e s ， b u tn o ts u p e r i o rt o3 d v a re x p e r i m e n ti n8 0 m mg r a d e t h ef u n d a m e n t a lr e a s o ni st h a t3 d v a ru s e t h eg i v e ne r r o rc o v a r i a n c ew h i l ee n s r fc a l c u l a t et h eo n et ou p d a t e 3 d v a ra s s i m i l a t i o ns y s t e m h a sa c h i e v e dm u l t i p l en e s t e da s s i m i l a t i o np r o g r a mi np r a c t i c a lw o r ka l r e a d yw h i l ek a l m a nf i l t e r u s e di nt h i sa r t i c l ei sn o tn e s t e dd u et ot h el a r g ec o s ti nc o m p u t a t i o nt h ec o l l e c t i o no fm e m b e r s a n dt h ec a l c u l a t i o no f b a c k g r o u n de r r o rc o v a r i a n c e ，f o rw h i c ht h ee f f e c ti sl i m i l e d k e yw o r d s ：e n s e m b l e d a t aa s s i m i l a t i o ne n s r fc o v a f i a n c el o c a l i z a t i o n3 d v a r 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意。 作者签名：l 丝她 日 期：2 型 尘工：厶6 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规 定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论 文的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制 并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有 关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密 的学位论文在解密后适用本规定。 一f 一 作者签名：i 吃舡妹 日期：三门i 。、3 ：l 七 第一章绪论 第一章绪论 物理学家b j e r k n e s q 曾把天气预报归结为初值f 7 题，要得到准确的数值天气预报，就 要具备两个条件，一个是准确的初值，另一个是准确的大气运动规律。随着模式的不断发 展完善，对初始条件的精确性要求也日趋提高，而资料同化就是利用多种观测资料准确地 表述大气当前状态的一种有效方法，并且能为数值预报提供在物理和动力学上协调一致的 大气运动实况分析初值，因而对提高资料分析质量以及数值预报的准确率都有重大意义。 在过去的四十年中，由于观测资料的增多，计算机性能的大人提升，资料同化技术进步， 还有数值模式分辨率的提高，以及物理参数化方案的完善2 1 ，数值预报已经有了较人的改 善。但是由- 丁种种原因，数值预报技术还有待于进一步的提高，而改进数值模式的初始场 是我们数值预报水平提高的一个重要方面，也即资料同化技术的提高对改进数值预报准确 性起着至关重要的作用。 1 1 资料同化的概念和主要方法 1 1 1 资料同化的概念 自从2 0 世纪2 0 年代r i c h a r d s o n 开创性的数值天气预报试验以来，数值天气预报( n w p ) 作为一种预报手段已经在天气预报中扮演着越来越重要的角色。气象预报准确率的提高很 大程度上依赖于数值天气预报水平的提高。而制约数值预报结果准确性进一步提高的关键 因素有两个：一是预报模式对大气动力和物理过程的刻划和反映程度，即数值预报模式本 身的准确程度；二是用作模式积分的初始条件的好坏。随着数值预报模式的不断完善，模 式所考虑的物理过程日趋完备，初始条件的优劣对短期数值天气预报结果的影响日益突出。 而大气资料同化的任务之一就是根据分布在不规则观测点上的气象观测资料得到规则网格 点上的大气变量分析值。因此，大气资料同化的必要性是显而易见的。 1 1 2 资料同化的主要方法 资料同化发展到今天，从最初的线性插值或多项式插值以及逐步订正法等发展到今天 1 第一章绪论 的最优插值、三维变分、四维变分以及众多的k a l m a n 滤波方法，已经走过了几十年的历 程。随着计算机的诞生和发展，依赖人工的“主观分析”也发展到依靠计算机的“客观分 析”。在“同化”一词在数值预报广泛使用之前，客观分析的主流方法先后经历了多项式拟 合、逐步订正法、最优插值三个阶段： ( 1 ) 多项式拟合。p a n o f s k y t 3 1 1 9 4 9 年提出该方法，开创了客观分析的新纪元。它是用 一个多项式展开去拟合包含数个分析点一小块分析区域中的所有观测点。展开系数用最小 二乘法拟合确定。客观分析的平滑度可由展开系数的个数控制，根据假定的精度加权观测。 然而，这种方法的区域多项式拟合并不稳定，站点资料的小变化就会引起多项式在测站之 间点上值很大变化，当资料缺测时更是如此，而且导致分析在拟合的各区域之间不连续。 ( 2 ) 逐步订正法。该方法的原理是从每个观测中减去背景场得到观测增量，通过分 析观测增量得到分析增量，然后将分析增量加到背景场得到最终分析。每个分析格点上的 分析增量通过其周围影响区域内观测增量的线性组合而加权，观测权重与观测位置和格点 之间的距离成反比。c r e s s m a n 于1 9 5 9 年在这种方法的基础上采用的迭代求解方法，形成 了逐步订正法【4 1 。逐步订正法引入了背景场的概念，解决了多项式拟合在资料稀少地区的 “不连续”问题。然而，逐步订正法的权重函数仅仅依赖于测站到格点的距离，而与测站 的分布无关，在统计意义上不是最优的。 ( 3 ) 最优插值。最优插值法这是一种从统计意义上米说均方差最小的线性插值方法。 最优插值比逐步订正法最大的改进就是权重考虑了背景场和观测误差的统计特征，即包含 了观测、预报和分析之间的内在关系。 最优插值比逐步订正法最大的改进就是权重考虑了背景场和观测误差的统计特征，即 包含了观测、预报和分析之间的内在关系。该方法在六十年代初由g a n d i n 等开始用剑气象 资料资料同化领域里5 1 。七十年代中后期，最优插值在世界上得到广泛应用，成为业务天 气数值预报用的最多的一种客观分析方法。尽管客观分析是资料同化的一个主要内容，也 是资料同化的起源，但资料同化并不完全等同于客观分析。 在六十年代初期，随着卫星资料等非常规资料的出现，开始考虑在客观分析中引入非 常规资料尤其是卫星资料的问题。当时有一些学者把这个引入过程叫做“同化 2 第一章绪论 ( a s s i m i l a t i o n ) ” 6 1 1 7 。六十年代后期，d a n a r d 8 j 等指出“气象和海洋客观分析所面i 临的问 题就是如何同化不同来源的信息”，同化开始作为科学问题提出。n l o m p s o n 【9 1 在他1 9 6 9 发 表的一篇文章中，分析当时客观分析方法中所谓的“动力”处理方法时，指出该方法同样 有“单一时刻的资料同化”所存在的缺陷。所以，必须要在“整个时间序列的分析过程中 保持变量的动力协调”。这其实已经把“初始化”的概念引入到同化范畴中来，至此，四维 资料同化的基本思想已经成型。而资料同化的内容已经超出了原先的单纯客观分析的范围。 d a l e y 1 0 1 指出，“一个同化循环的内容应该包括质量控制、客观分析、初始化和为下一次同 化的背景场所做的短期预报”。从目前资料同化的应用来看，同化的功能也不单单是为数值 预报构造初值，在观测系统的评估、资料分析、在目标性观测研究等方面也有着广泛应用。 现在国际上用的比较主流的资料同化方法有变分同化方法和基于k a l m a n 滤波的集合 资料同化方法。变分同化方法通过求解表征分析场与观测场及背景场之间偏差的目标函数 的极小化问题，得到最优分析值。变分同化方法的优点是进一步摆脱了观测量与分析变量 之间存在线性关系的限制，使得直接同化非常规资料变为可能，同时也可以把模式作为一 个强约束下进行求解，从而得到一个物理和动力上与模式协调的初始场。九十年代开始在 少数国家实现了业务化，并逐步成为当前国际上资料同化方法发展的主流；而集合卡尔曼滤 波则是通过九十年代中后期发展起来的一种新的同化方法，它利用集合预报成员进行统计 得到背景场误差协方差后再进行最优分析，从而实现了对误差协方差的更新。近十年来， 这种方法显示了其强人的活力。 1 2 集合资料同化的研究意义和必要性 八十年代初以来，变分同化技术经过了快速的发展( l o r e n c ，1 9 8 6 t j ；l o r e n c ，2 0 0 0 t 1 2 1 ； g u s t a f s s o n2 0 0 1 1 3 ；b a k e r2 0 0 4 t 1 4 1 ) ，到九十年代以后，三维变分同化技术在世界各国的气象 中心逐渐成熟和业务化，它对分析场进行全局调整，使分析与观测以及某种背景场的总偏 差达到最小，这种方法为与模式变量存在复杂关系的观测资料的使用打开道路，同时使预 报模式直接介入了分析过程。变分方法加上遥感资料的使用被普遍认为是九十年代数值预 报质量持续提高的关键因素，变分同化方法也冈此成为当前各国同化方法发展的一个主流。 3 第一章绪论 但变分同化方法存在一些根本的缺陷，特别是它依赖于切线性伴随模式的后向积分，而发 展完整物理过程的数值预报模式的切线性伴随模式是十分困难的，甚至在理论上可能根本 是不存在的。另外，三维变分在整个分析过程只对预报误差协方差做一次先验的估计，并 且是假设各向同性、高度模型化的【1 5 】【1 6 】【l7 1 ，这样就使得它与真实的随着环流变化的背景误 差协方差有着很大的差别，从而影响了同化效果。为了克服这一问题，科学家们致力于发 展更高级的同化技术，即四维变分同化技术。在四维变分同化技术中，背景误差的结构在 分析时间窗中被隐式地调整，从而事实上一定程度反映了它随着环流变化的特点1 8 】。但是 四维变分同化需要求复杂的切线性和伴随模式，而对于具有复杂物理过程的数值预报模式， 切线性和伴随模式的求取是困难的，甚至根本不存在，并且起始的背景误差还是先验地给 定1 9 】【2 0 1 。因此科学家还在发展非变分类的其它四维同化技术，早在四维变分同化方法之前， 基于k a l m a n 滤波理论的顺序( s e q u e n t i a l ) 同化方法已经被提出来。与变分同化方法寻求整 个同化时段的最优解不同，顺序同化方法只着眼于求解观测时刻的最优分析值。k a l m a n 滤 波在给出这一时刻的最优分析值的同时也很容易地给出了分析误差的分布，这是变分同化 方法所不具备的。k a l m a n 滤波方法后来义扩展到非线性模式，因此，原则上讲，可以比依 赖丁二切线性及其伴随模式后向积分的变分同化方法更方便地应用到真实的大气模式中。但 由于其计算量难以承受，很k 时期顺序同化方法没有被认为是一种有业务应j h j 前景的资料 同化方法。九十年代中期集合预报的思路与k a l m a n 滤波的研究结合起来，发展到现在称为 集合卡尔曼滤波的新的同化方法。这种新的同化方法继承了k a l m a n 滤波上述长处，但又避 免了至少在目前还不能承受的人量计算，因而具有业务应用潜力。所以集合卡尔曼滤波同 化已成为当前资料同化领域一个新的研究热点。 目前，集合卡尔曼滤波同化方法和技术在国际上已经日趋成熟，并提到业务化的日程 来。而国内在这方面的工作开展得比较晚，还处于探索阶段。因此对集合卡尔曼滤波同化 进行研究具有重要的科学价值和现实意义。 基于以上原因，本研究二r = 作立足于w r f e n s r f 集合资料同化系统，讨论其中一些关键 问题的处理，重点研究了协方差局地化方案，并与三维变分同化系统的分析结果进行比较。 希望能为集合同化系统在国内实现业务化运行提供有价值的参考。 4 第一章绪论 1 3 论文研究目的和主要内容 研究目的： 充分吸收当今先进的集合资料同化的研究成果，采用不需对观测加扰动的集合平方根 滤波方法，用w r f 中尺度模式作预报模式，通过一系列数值试验来对集合资料同化的理论 和技术进行研究。进一步考察w r f e n s r f 系统的同化能力，讨论其在同化实际观测资料时 一些关键问题的解决方案，重点研究协方差局地化方案对于同化质量的影响并与三维变分 同化系统的分析结果进行比较。希望能为集合同化系统在国内实现业务化运行提供有价值 的参考。 本论文研究主要内容包括： ( 1 ) 立足于w r f e n s r f 同化系统，讨论并改进同化实际探空资料时协方著局地化方 案等关键问题的处理方案，通过试验选取合理的局地化距离。并基于距离相关的“s c h u r ” 算子展开试验，检验在同化实际探空资料时的同化效果。 ( 2 ) 引入基丁误差相关的自适应局地化技术，先通过简单的l o r e n z 9 6 模式研究自适应 局地化在e n s r f 中的可行性，最后结合一个暴雨个例，把自适应局地化方法应用到 w r f e n s r f 系统中，考察比较水平局地化经验函数、白适应局地化两种协方差局地化方案 的同化效果。 ( 3 ) 在前面同化系统的基础上，针对发生在广西地区的一次暴雨过程，把自适应方法 应用到e n s i 强系统中，并进一步与三维变分同化系统的分析结果进行比较 5 第二章集合数据同化理论及其发展应用 第二章集合数据同化理论及其发展应用 迄今为止，客观分析已经有五十多年的历史了，在这五十多年的缓慢发展中，数值天 气预报的水平也得到了很大的提高，许多先进的资料同化方法己日趋成熟。从最初的线性 插值或多项式插值以及逐步订正法等发展到今天的最优插值、三维变分、四维变分以及众 多的k a l m a n 滤波方法，已经走过了几十年的历程。与其他的数据同化方法相比，集合数据 同化避免了伴随模式的使用，容易编写程序代码和对其进行维护和调试。伴随模式在理论 上和技术上有很多问题尚未解决，而且相当耗费计算资源和计算时间，难于开发。把伴随 代码加入到模式中，增加了模式的潜在不稳定性，同时降低了内部代码的可移植性。集合 数据同化在作出最优估计的同时，可以给出估计的置信度口1 1 。它是用集合统计的方法对预报 误差协方差作出估计，不仅在整个时间和空间范围内都是最优的，而且还可以给出具体的置 信估计区间范围，这是变分和其它数据同化方法不可比拟的优势。从而正在被越来越多的人 所关注，研究势头很热。这里将详细介绍集合资料同化的理论和发展。 本章是后面方案设计以及数值试验的理论基础，特别是里面提剑的随流型演变的误差 协方差、滤波发散、协方差局地化等一系列概念，都将体现在后面的方案设计和数值试验 中。 2 1 理论背景 2 1 1b a y e s i a n 理论 资料同化方法的理论基础是统计中的估计理论。集合预报和资料同化其实是一个问题 的两个方面，它们都是在给定观测和预报模式的情况下，去描述大气状态的概率分布及其 发展。他们都有一个共同的理论基础- - b a y e s i a 估计理论。估计理论在资料同化中的应用就 是为了能够在之前所有的观测条件下精确的估计出当前大气或海洋状态的概率密度函数 ( 简称p d f ) 。而将估计理论应用到资料同化方法中的最基础的理论是b a y e s i a n 方法，其 原理是基于贝叶斯( b a y e s ) 定理。l o r e n c ( 1 9 8 6 ) 和c o h n ( 1 9 9 7 ) 对b a y e s i a n 理论在资 6 第二章集合数据同化理论及其发展应用 料同化中的应用作了详细的描述【2 2 】【2 3 1 。 在一定条件下定义，一个事件彳发生的可能性为事件彳的概率尸( 爿) ；事件彳发生的 条件下事件b 发生的可能性为条件概率p ( bia ) ；事件a 和事件b 同时发生的可能性为 联合概率p ( 彳b ) ；如果事件爿和事件曰相互没有影响，则两者的联合概率为两者各自发 生的概率之积p ( a b ) = p ( 么) p ( 口) ，也就称事件彳和事件b 是相互独立的。b a y e s 定理 就是： p ( bi4 ) ：p ( a ib ) p ( b ) ( 2 1 ) 、7 p ( 彳) 所以想得到的模式值为石，观测值为y 的概率密度p ( x ly ) 为： 以圳i = 掣铲 由于观测是给定的，即p ( y ) = c o n s t ，则可以得到： p ( xiy ) o cp ( yx ) p ( x ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 如果我们引入时i 司维，那么我们就将米州新的观测值的情况称为“更新”。对于一个t 时刻的1 3 维的模式变量可以表示为： x t = 一( 1 ) ，x f ( 2 ) ，石f ( 。) 】 ( 2 4 ) 而包括t 和t 以前所有时刻的观测定义为： y ，= y ，f - l 】，h = y f _ i ，y o 】 ( 2 5 ) 那么根据上面的b a y e s 定理，我们就可以得到 p ( x ，i 沙，) o c p ( ，it ) p ( t ) ( 2 6 ) 假没观测误差是各个时刻独立的，则有： 尸( ，f ) = 尸( y ，l ) 尸( 少川ix t ) ( 2 7 ) 7 第二章集合数据同化理论及其发展应用 将( 2 7 ) 式代入( 2 6 ) 式有： p ( t y ，) o cp ( y ，| x ，) 尸( f 1 ix t ) p ( x ，) ( 2 8 ) 再利用贝叶斯公式： p ( f - li ) 尸( ) o c p ( i f 1 ) ( 2 9 ) 从( 2 8 ) 式和( 2 9 ) 式可以得到： 尸( t5 f ，。) o c p ( y 。l x t ) p ( x , i f - i ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 0 ) 给出了一个递推关系：在给定的观测条件下，模式状态的概率密度函数与观 测的概率密度函数和分析前模式状态的概率密度函数之积成正比。而分析前的模式状态的 概率密度函数是由之前的同化、短暂的预报循环得到的。 2 1 2 从b a y e s i a n 理论到k a h n a n 滤波 要利用贝叶斯理论递推关系( ( 2 1 0 ) 式) 进行具体的同化工作，就必须对概率密度函 数的形式进行简化处理。可以假设误差增长是线性的并且概率密度分布是服从正态分布的 2 4 1 ，冈此就有过去t 时刻之前的所有观测条件下当前( t 时刻) 真实模式态x ，的概率密度 函数： 户( x ，k 。) ( x ? ，p b ) o c e x p 一扣1 一x ? ) t ( x ，一x ? ) 】 ( 2 1 1 ) 这里，x 6 是背景场模式向量( 第一猜测场) ；p 6 是背景误差协方差矩阵。 设t 时刻的观测满足如下分布： p ( y lx ，) ( y ，r ) 芘e x p 一j 1 ( h x ，一y ，) 丁r 一1 ( h x t - y , ) ( 2 1 2 ) 这里，y 是观测向量；h 是观测算子，使得模式向量向观测向量转换；r 是观测误差协方 差矩阵。 应用( 2 1 0 ) 式，得到： p ( x ，jv ，) o ce x p 卜寻( x ，一x ? ) t r 1 ( x ，一x ? ) 一要( h x ，一y ，t r 一- ( h x ，一y ，) 】 z z ( 2 1 3 ) 第二章集合数据同化理论及其发展应用 对于( 2 1 3 ) 式，我f l j 需要得到的是概率密度函数的极大值，亦即 ，( x ，) = 三k x ，一x ? ) t p ? 叫( x ，一x ? ) + ( h x t - y t ) t r 一1 ( h x ，一y ，) 】 ( 2 1 4 ) 要使式( 2 1 4 ) 所构成的函数达到最小，取其导数为零，并且引进分析场x ? ( 兰) ，：并 进行一系列的变换，可以得剑k a l m a n 滤波关于分析场x 4 的信息： x ? = x ? + k ( y ，一h x ? ) ( 2 1 5 ) 其中， k = 衅h ( h 衅h t + r ) _ 1 ( 2 1 6 ) ( 2 1 5 ) 上式中6h t 表示背景场与背景场转化到观测空间后的协方差，是背景场与观测 的相关性的初猜值；h # 6h 表示背景场转换到观测空间后的协方差，是对观测空间误差 相关结构的初猜值。由前面的标量形式的k a l m a n 滤波可以直观地看到，k a l m a n 增益矩阵 k 表示背景场误差协方差在它和观测误差协方差之和中所占的比例。如果r 大，则说明观 测误差较大，背景场误差较小，则用观测米订正背景场后的增量就小；如果e 6 大，则说 明背景场的误差较大，观测的误差就小，则用观测米订正背景场后的增量就大。 在k a l m a n 滤波中，误差相关结构也被显示的更新： 只4 = ( ，一k h ) p , 6 ( 2 1 7 ) 由前面的k a l m a n 增益矩阵的形式可以看出，分析误差的协方差由背景场误差协方差和观 测误差协方差同时决定。其直观的意义类似于分析方程。均值和方差更新的精度依赖于正 态分布的假设是合理，以及误差的统计是否被准确的估计。 在线形系统的假设下，模式状态随时间发展表示如下： x ：l = m ( f ) + 6 ( f ) ( 2 1 8 ) 误差协方差随时间发展如下： 9 第二章集合数据同化理论及其发展应用 只：。= m 只4m r + q ( 2 1 9 ) m 为线形的模式预报算子，b ( t ) 为模式误差项，q 为模式误差协方差。至此构成了k a l m a n 滤波的分析预报循环过程图2 1 ： 2 1 3 扩展k a l m a n 滤波 k a l m a n 滤波方程最初是在线性系统假设下求得的，但是很多情况下，我们的预报系统 都是非线性的，而且对于非常规的观测资料，观测算子也是非线性的。首先，假设转换矩 阵是非线性的，即在非线性情形下，模式状态转换矩阵可以是模式状态的函数，m = 刑( x ) ； 其次假设观测转换矩阵也是非线性的，这样观测转换矩阵可以是模式状态与观测的函数 即h = h ( x ，y ) 。在计算p 4 和p 6 分别在状态点x 、状态点( x ，y ) 对兜，玎作t a y l o r 级 数展开，略去2 阶和2 阶以上的高阶导数项，只保留l 阶导数项( 即获取非线性方程的切 向线性方程) ，类似k a l m a n 滤波的形式同样可以得到，但此时的k a l m a n 滤波给出的估计 不再是最优的，而是次优的。 扩展k a l m a n 滤波针对丁弱非线性问题，只保留l 阶导数项可以给出很好的结果。扩 展k a l m a n 滤波由丁对模式算子和观测算子作了切线性近似，因此分析不是最优的，而是 次优的。对于弱非线性问题，只保留一阶项可以给出很好的结果。然而对于强非线性问题， 在弱1 f 线性问题中被略去的高阶项恰恰反映了强1 线性的非线性作用。鉴于此，部分的保 留高阶项的“闭合”技术对于强1 f 线性问题来说是一个不容同避的棘手问题；“闭合”技术 的优劣会直接影响剑k a l m a n 滤波的收敛性与稳定性，从而影响数据同化的质量。 2 2 集合资料同化理论 2 2 1 集合k a l m a n 滤波理论 k a l m a n 滤波和扩展k a l m a n 滤波这些缺点和局限使得我们必须寻求其它次优的k a l m a n 滤波简化形式。集合资料同化方法在这个基础上得以应用和发展，集合资料同化是集合预 1 0 第二章集合数据同化理论及其发展应用 报与资料同化的有机结合。源于它们有共同的理论基础估计理论。集合预报就是从在 一定误差范围内的一组初值出发，同时进行模式积分，得到一个模式变量具有一定概率分 布的预报集合。它是用来估计具有流依赖的预报不确定性。资料同化是根据一定的优化标 准和方法，将不同空间、不同时间、采用不同观测手段获得的观测资料与数学模型有机结 合，纳入统一的分析与预报系统，建立模型与资料相互协调的优化关系，使计算分析结果 的误差为最小。那么就需要对模式预报不确定性要有准确的估计才能建立模型与资料的关 系。 集合同化发展出很多种实用的分析方法，其中有集合最优插值、e s 集合平滑、集合转 换卡尔曼滤波、双分辨率集合卡尔曼滤波、集合平方根滤波。在本文我们所用的同化分析 方法为集合平方根滤波。 集合k a l m a n 滤波可以追溯到1 9 9 4 年由e v e n s e n 2 5 1 提出米的方法，它和传统的k a l m a n 滤波最大的不同之处在于集合k a l m a n 滤波的背景误差协方差矩阵是由通过完全的1 f 线性 几个预报得到的有限个( 通常1 0 几百个) 样本来统计出来的。这些集合预报从一组初始 条件开始，一段短暂的预报后经过分析过程，再继续循环往复的向前预报。关于预报的所 有统计信息都是由集合样本来提供。通过样本积分，发展了误差统计信息。“方差最小化” 方案在分析中得以实行，冈此，集合k a l m a n 滤波是对k a l m a n 滤波的一个近似和扩展。 由于集合k a l m a n 滤波的误筹协方差矩阵都是通过有限的样本统计得剑的，那么可能 会比由k a l m a n 滤波预报得到的准确度要差，但是k a l m a n 滤波自身假设了误差协方差是通 过线性动力过程求得的，而集合k a l m a n 滤波没有这样的假设。因此，如果误差的动力过 程是强非线性的，集合的样本数足够大且具有代表性，那么集合k a l m a n 滤波会比k a l m a n 滤波提供一个更加精确的误差估计( 如，b u r g e r se ta 1 ，1 9 9 8 1 2 6 ) 。 2 2 2 集合k a l m a n 滤波分析过程和算法 首先我们有模式初猜场x ；吼”，将它们组成一个集合样本矩阵x ( x j 吼”) ，它的 纵列包含的是集合样本的状态向量，z 是模式状态向量数，是集合样本数。 x = ( x l ，x 2 ，x r ) 吼删 ( 2 2 0 ) 1 1 第二章集合数据同化理论及其发展应用 定义集合平均值为： ( 2 2 1 ) 这里的1 v 吸肌是一个每个元素都等于l 的矩阵。集合扰动量定义为： x 7 = x x = x ( z 一1 ，) ( 2 2 2 ) 这样，由集合样本估计得到的背景误差协方筹矩阵只9 1 m ，定义为： p ：茎! ! 茎! ! ! ( 2 2 3 ) 。 n 一1 假设观测是无偏的，观测向量j ，吼”，m 为观测量的大小。对观测及其扰动向量定 义如下： y = y + s j ，j = 1 ，n 观测矩阵定义为： d = ( j ，l ，j ，2 ，y ，) 吼“ ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 这里d ，是带有观测扰动的观测向量，n 同样代表的是集合样本个数。d 为第一猜测 观测或观测向量的平均( j ，= y ，) ，占，定义为观测误差，服从高斯正态分布。由观测误差 组成的观测扰动矩阵： r = ( s l ，s 2 ，c n ) 孵“。 ( 2 2 6 ) 由观测扰动估计得到的观测误差协方差矩阵r e 定义为： p 篙 泣2 7 ， 利用样本的预报场x ，得剑同化后样本的分析场x n ： x 4 = x ，+ 置( d 一x ，) ( 2 2 8 ) y m 司 一m | l 一 第二章集合数据同化理论及其发展应用 其中k a l m a n 增益矩阵五为： 置= 只日t ( 够日t + r 。) 一 ( 2 2 9 ) 下一时刻的背景场义可通过对前时刻的分析值预报得n - x ：f + 1 ) = m ( x ：，) ) f - - - - 1 9 7 n ( 2 3 0 ) 这里m 是非线性模式积分算子， 下图给出了集合k a l m a n 滤波的预报和分析流程图。 2 3 集合平方根滤波( e n s r f ) 本文同化方法采用的是w h i t a k e r 和h a m i l l ( 2 0 0 2 ) 口7