（概率论与数理统计专业论文）若干多险种风险模型的破产问题.pdf

摘要 目前，对一维l u n d b e r g c r a m d r 经典风险模型的讨论与研究已经相当广 泛和深入了但由于保险公司经营规模的不断扩大，险种类型的增多，并随着 保险与再保险产品的日趋复杂，用经典风险模型及其它推广的单一险种风险 模型来研究保险公司的经营过程存在着局限性，因而需要建立多险种的风险 模型另外随机干扰也是风险模型需要考虑的另一因素本文将分别建立三个 不同的多险种风险模型，并研究它们的破产问题 第一个模型我们考虑用更一般的c o x 过程来描述保费的收入次数与理赔 次数，并引入随机干扰项，建立了带干扰的多险种c o x 风险模型，得到了破 产概率的l u n d b e r g 不等式，并对c o x 过程的特殊情形( 即p o i s s o n 过程) 得到 了破产概率的表达式和f e l l e r 表示 第二个模型我们考虑负风险和模型( 其中最典型的是寿险年金保险) ，建立 了带干扰的含两个负风险和类的模型，先讨论类之间的相关性对年金率计算 的影响，然后将类之间相关与独立时两种情形的破产概率进行比较，并对“理 赔量”( 这里理赔意味着收入) 均为指数变量的情形给出数值结果 最后我们考虑二维风险模型，定义了三种破产时刻及相应的三种有限时 间破产概率对其中前两种破产概率利用一维风险模型中所获得的结论与方 法，得到了其有限时间破产概率的e r l a n g 近似值及上界。给出若干实例并与 计算机模拟结果作出比较，说明了该近似方法的有效性；对第三种破产概率得 到了其所满足的微积分方程和l a p l a c e 变换的表达式 总之，以上三个不同的多险种风险模型是从三个不同的方面对一维经典 风险模型进行的推广，而这将更符合现代保险市场的实际情形与要求，对它们 破产问题的研究将为保险公司的经营管理提供更有价值的参考 关键词 干扰，c o x 过程，l u n d b e r g 不等式，e r l a n g 近似，l a p l a c e 变换 a b s t r a c t i 。h eo n e - d i m e n s i o n a lc l a s s i c a ll u n d b e r g c r a m d rr i s km o d e lh a sb e e ne x - t e n s i v e l ya n dd e e p l yr e s e a r c h e d h o w e v e r ，d u et ot h ee x t e n s i o no fi n s u r a n c e b u s i n e s s e s ，t h ei n c r e a s i n go fi n s u r a n c et y p e sa n dt h em o r ec o m p l e x i t yo fi n s u r a n c ea n dr e i n s u r a n c ep r o d u c t s ，t h e r ew i l le x i s ts o m el i m i t a t i o n si fo n l yt h e c l a s s i c a lr i s km o d e lo rs o m eo t h e re x t e n d e du n i v a r i a t er i s km o d e l sa r ec o n s i d e r e dt od e s c r i b et h ei n s u r a n c ec o m p a n yb u s i n e s s e s t h e r e f o r ei ti sn e c e s s a r yt o e s t a b l i s hs o m er i s km o d e l so fm u l t i p l el i n e m o r e o v e r ，t h ed i f f u s i o ni st h eo t h e r f a c t o rn e e d e dt o - b ec o n s i d e r e di nt h em o d e l s i nt h i sp a p e r ，t h r e ed i f f e r e n t r i s km o d e l so fm u l t i p l el i n ea r ee s t a b l i s h e da n dr u i np r o b l e m sa r ed i s c u s s e d i nt h ef i r s tm o d e l ，t h eg e n e r a lc o xp r o c e s s e sa r eu s e dt od e s c r i b et h es o l d p o l i c yn u m b e rp r o c e s s e sa n dt h ec l a i mn u m b e rp r o c e s s e s t h ed i f f u s i o nf a c t o r i sa d d e dt oi t h e n c eac o xr i s km o d e lo fm u l t i p l el i n ed i s t u r b e db yd i f l u s i o n i se s t a b l i s h e d t h eg e n e r a l i z e dl u n d b e r gi n e q u a l i t yo ft h em o d e li so b t a i n e d t h eg e n e r a lf o r m u l aa n dt h ef e l l e re x p r e s s i o no fr u i np r o b a b i l i t i e su n d e ra s p e c i a lc o n d i t i o n ( c h o o s i n gc o xp r o c e s s e sa sp o i s s o np r o c e s s e s 、a r ed e r i v e d i nt h es e c o n dm o d e l ，t h er i s km o d e lw i t hn e g a t i v er i s ks u m si sc o n s i d e r e d ( 1 i f ei n s u r a n c ei sat y p i c a lo n e ) t oe s t a b l i s ht h ed i f f u s i o nr i s km o d e lw i t ht w o c l a s s e so fn e g a t i v er i s ks u m s f i r s t l y , t h ed e p e n d e n c eb e t w e e nt h ec l a s s e so f b u s i n e s s e si n f i u e n c eo nc a l c u l a t i o no ft h ea n n u i t yr a t ei ss t u d i e d t h e nt h e r a i np r o b a b i l i t i e sb e t w e e nd e p e n d e n tc l a s s e sa n di n d e p e n d e n tc l a s s e sa r et o m p a r e d n u m e r i c a le x a m p l e sw h e nt h ec l a i ms i z e sa r et w ok i n d so fe x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n sa r eg i v e n at w o - d i m e n s i o n a lr i s km o d e lw i l lb em a i n l yc o n s i d e r e di nt h et h i r d m o d e l t h r e ed i f f e r e n tt y p e so ft h et i m eo fr u i na n dt h ef i n i t e t i m er u i n p r o b a b i l i t i e sa r ed e f i n e d b yv i r t u eo fs o m er e s u l t sa n da p p r o a c h e so fo n e - d i m e n s i o n a lr i s kp r o c e s s e s ，e r l a n g i a na p p r o x i m a t i o n sa n ds i m p l eb o u n d sf o r t h ef i r s tt w ot w o d i m e n s i o n a lf i n i t e t i m er u i np r o a b i l i t i e sa r eo b t a i n e d n u m e r i c a le x a m p l e sa n dc o m p u t e rs i m u l a t i o ne x p e r i m e n t sa r eg i v e nt os h o wt h e e f f i c i e n c yo ft h ea p p r o x i m a t i o n s ap a r t i a li n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o ns a t i s f i e db yt h et h i r dt y p et w o d i m e n s i o n a lf i n i t e t i m er u i np r o b a b i l i t i e sa n di t 8 l l l a p l a c et a n s f o r m a t i o ne x p r e s s i o na r ed e r i v e d ， i nc o n c l u s i o n ，t h ea b o v et h r e er i s km o d e l sa r ee x t e n d e di nt h r e ed i f f e r e n t w a y s t h e s em o d e mw i l lb em o r ec o r r e s p o n dw i t ht h er e a l i t yo fi n s u r a n c em a r - k e t s a n dw i t ht h ed i s c u s s i o no ft h e s er u i np r o b l e m s ，m o r eu s e f u li n f o r m a t i o n w i l lb ep r o v i d e df o rt h em a n a g e m e n to ft h ei n s u r a n c ec o m p a n i e s 。 k e yw o r d s d i f f u s i o n ，c o xp r o c e s s ，l u n d b e r gi n e q u a l i t y ，e r l a n ga p p r o x i m a t i o n ，l a p l a c e t r a n s f o r m a t i o n n 1 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律后果由本人承担。 1 论文作者签名：林代 时间t 纠年j 月砂日 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：按照 学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷 本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印，缩印、数字化 或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部 分或全部内容。( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名；林丹 签名日期：坩年朔哆日 导师签名：石a 舀 签名日期；州年f 月哆日 一、序言 1 1 l u n d b e r g c r a m d r 经典风险模型 风险理论是当前精算学和数学界研究的热门课题，作为保险精算的一部 分，主要是处理保险实务经营中的随机风险模型，并从定量的角度研究保险 公司经营的安全性保险公司最终破产或在短期内破产的概率有多大等问 题，也就是说破产论( r u i nt h e o r y ) 是风险论( r i s kt h e o r y ) 的核心内容现已 公认，破产论的研究溯源于瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论 文，至今已有百年的历史了破产论的研究既有其实际的应用背景，也有其概 率上的兴趣事实上，一类最重要的随机过程，即泊松过程( p o i s s o np r o c e s s ) ， 正是l u n d b e r g 首次在这篇文章中提出的不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代 数学的严格标准它的严格化是以h a r a l dc r a m 4 r 为首的瑞典学派完成的，是 c r a m d r 将l u n d b e r g 的工作奠定在坚实的数学基础之上，与之同时，c r a a a d r 也发展了严格的随机过程论，l u n d b e r g 与c r a m d r 的工作共同为经典破产论 奠定了基础 风险模型按照收取保费的方式可以戈0 分为离散型和连续型两种离散模 型采用离散收费的原则，即以一定时间长度为收费的单位时间，在每一单位区 间内只收取一次固定的保费，其中讨论得最多的离散时间经典风险模型是复 合二项模型( c o m p o u n db i n o m i a lm o d e l ) ( 见文献f 8 】1 【1 0 ， 1 1 ， 1 2 ，【13 等) 连 续模型采取连续收费的原则，即以时间为连续变化的量连续地收取保费，讨论 得最多的连续时间风险模型是复合泊松模型( c o m p o u n dp o i s s o nm o d e l ) ，也就 是一维l u n d b e r g c r a m r 经典风险模型： 型 u ( t ) = u + c t 一x k ，t 0 ， ( 1 1 ) k = l 其中u ( t ) 为保险公司在时刻t 的盈余，“是初始盈余o ) ，c 是保险公司单 位时间征收的保费率，凰，女1 表示第次索赔额，( t ) 表示至时刻t 为 止发生的索赔次数 l u n d b e r g c r a m d r 经典破产模型为破产论研究奠定了坚实的数学基础， 它的三个基本假定对研究其它风险模型仍具有极其重要的指导意义，下面将 1 逐一予以比较说明 第一个基本假定为独立性假定： 假定1 ( 独立性假定) 设 托，k 1 ) 是恒正的，独立同分布的随机变量序 列，记 f ( 。) = p ( x l z ) ，v x 0 z = e ( x 1 ) = 1 一f ( x ) 】d x j u ( t ) ，t o ) 是以a ( a o ) 为参数的泊松过程， 托，k 1 ) 与 ( ) ，t o ) 是相互独立的 在其它风险模型中我们也有这样的假设，即假设索赔额过程与索赔次数 过程是相互独立的一 记 j v ( 的 s ( t ) = x k ，v t 0 ， k = 1 它表示至时刻t 为止的总索赔量，由模型的独立性假定知 凹( s ( t ) ) = e ( ( t ) ) e ( x 1 ) = a 卢t 保险公司为运作上的安全，要求 矗一曰( s ( t ) ) = ( c 一 p ) t 0 ，t 0 为此，需要下述的安全负载假定： 假定2 ( 相对安全负载假定) 设 c = ( 1 + 口) ， 其中0 0 ，称为相对安全负载( r e l a t i v es e c u r i t yl o a d i n g ) 事实上，为保证保险公司运作上的安全，我们习惯上都假定“总收入的期 望 总索赔额的期望”恒成立 当盈余过程为负值时，称保险公司“破产”，若记首次破产时刻为； t = i n f t ，u ( t ) o ) ，i n f o = o 。； 及保险公司的最终破产概率为； 妒( “) 2 p ( t o o u ( o ) = “) ，vu 0 显然破产概率可作为评价保险公司偿付能力的一个数量指标l u n d b e r g - c r a m r 经典风险模型的主要结果可直观地表述为：当初始准备金u 充分大，保险公司 在经营“小索赔”情形的保险业务时，破产是不易发生的现给出“小索赔” 的确切含义，这里由假定3 给出 假定3 ( 调节系数存在唯一性假定) 首先，要求个体索赔额的矩母函数 r o 。r o 。 m x ( r ) = e ( e x ) = e ”d f ( 。) = 1 + r e r 。( 1 一f ( 。) ) d z j 0j 0 至少在包括原点的某个邻域内存在，其次，要求方程 m x ( r ) = 14 - r ( 1 2 ) 存在正解 注1 由于m x ( r ) 在其收敛域内是严格增加的凸函数，故方程( 1 2 ) 若有 正解，则解必是唯一的，记为r ，并称之为调节系数 注2 若记 y ( t ) = c t s ( 0 ， 则方程( 1 2 ) 有唯一正根等价于方程 m v ( 1 ( 一r ) = 1 ( 1 3 ) 有唯一正根 又若 v ( t ) ) 为齐次独立增过程( 本模型中由于泊松过程为齐次独立增过 程，所以 y ( t ) ) 为齐次独立增过程) ，则因 嘶( t ) ( r ) = e ( e 州。) = ( 嘶( 1 ) ( r ) ) 。，vt 0 所以方程( 1 3 ) 有唯一正根等价于 尬，( c ) ( 一r ) = 1 ，v t 0 ，( 1 4 ) 有唯一正根 总之，若调节系数矗存在，则它是方程( 1 2 ) 式，( 1 3 ) 式与( 1 4 ) 式的唯 一正根对于其它风险模型，我们也常用( 1 3 ) 式来定义相应的调节系数 对于一维l u n d b e r g - c r a m d r 经典风险模型，其经典结论是： 定理1 1 1 若假定1 - 3 成立，则有 ( 1 ) 妒( o ) 2 南； 3 ( 2 ) l u n d b e r g ；f 等式 妒( u ) e - - “，v “0 ； ( 3 ) l u n d b e r g c r 咖r 近似存在正常数a ，使得 妒( u ) 一c e 一肌，+ o o 事实上在其它模型中我们也可得到l u n d b e r g 不等式或者推广的l u n d b e r g 不等式而对于破产论中常用的研究方法则是g e r b e r 的鞅方法和f e l l e r 的更 新论证技巧，这里就不赘述了 1 2 本文主要内容 目前对于一维l u n d b e r g c r a m r 经典风险模型的研究已相当深入了( 见 文献 7 】j 2 5 ，【2 6 】，【胡，【2 8 】等) 现在许多研究人员对其进行了推广，以便更符 合保险公司的实际经营模型其中较常见的推广模型有着四个方面的内容一 是用更一般的点过程描述理赔次数，比如非齐次泊松过程，条件泊松过程，更 新过程等本文的第一个模型就是用c o x 过程描述理赔次数的二是改变常 量c ，用更科学方法描述保费的收入比如我们常用保费计算原理( 包括平衡原 理，期望值原理，方差原理，指数原理等) 计算保费率而本文中的第二个模 型就是仿照保费计算原理设计年金率计算公式的三是考虑实际经营中的利 率，通货膨胀率等因素的影响( 见文献【1 4 】， 1 5 】， 16 】等) 四是考虑随机因素的 影响，即在模型中引入随机干扰项( 见文献 1 8 1 ，【1 9 1 等) 本文的第一，第二个 模型也考虑随机干扰这一因素 对上述古典模型及其四个方面的推广模型已得到了一系列的研究成果， 其中破产概率和调节系数对保险公司的安全经营及其监管有着非常重要的指 导意义但对于保险公司经营规模的日益扩大，险种的多元化及新险种的不断 开发，倘若仅仅只考虑了单险种的经营，将存在很大的局限性所以有必要建 立多险种风险模型本文就是分别从三个不同的角度建立并研究多险种风险 模型的破产问题的 本文的第一个模型考虑用c o x 过程来描述保费的收入次数和索赔次数， 建立了多险种风险模型 2 1 中我们介绍了c o x 过程，并考虑引入随机干扰 项，建立了带干扰的多险种c o x 风险模型2 2 中我们得到了该模型的推广的 l u n d b e r g 不等式以及对特殊c o x 情形即p o i s s o n 过程下破产概率的表达式 2 3 中得到了在特殊情形下生存概率的f e l l e r 表达式 d 第二个模型考虑含两个负风险和类的模型( 其中最典型的是寿险年金保 险) 3 1 中我们建立了带干扰的含两个负风险和类的模型3 2 分别讨论了 类之间的相关性对年金率计算的影响 3 3 利用l u n d b e r g 指数，将类之间的 相关与独立两种情形的破产概率进行比较，并对“理赔量”( 这里理赔意味着 收入) 均为指数变量的情形给出数值结果 以上两个模型都是用一维风险模型来刻画多险种的风险模型的，而第三 个模型我们将引入向量来讨论，即建立了二维风险模型4 1 定义了这种模 型三种破产时刻及相应的三种有限时刻破产概率，建立了二维风险模型4 2 介绍有关索赔额服从p h a s e t y p e 分布的风险模型的基本结论，4 3 将给出 p 正。研的e r l a n g 近似值及计算机模拟结果，并描绘出在不同相对安全 负载下，有限时间破产概率的曲线图4 4 将利用p 正。墨q 的方法与结 果给出p ( t m 。一研的上界及模拟结果4 5 将利用经典的更新过程的方法 得到了破产概率满足的微积分方程，并用l a p l a c e 变换进行了处理，得到了其 l a p l a c e 表达式 5 二、带干扰的多险种c o x 风险模型 2 1 引言与建模 目前，对一维l u n d b e r g c r a m d r 经典风险模型( 1 1 ) 的讨论与研究已经相 当广泛和深入了但由于保险公司经营规模的不断扩大，险种类型的增多，用 古典风险模型及其它推广的单一险种风险模型来研究保险公司的经营过程存 在着局限性，因而需要建立多险种的风险模型另外随机干扰项的引入也是 风险模型需要考虑的另一因素近年来这方面的文献( 如文献【1 3 】i 【1 8 ， 1 9 ， 2 2 ，【4 1 等) 一般是用p o i s s o n 过程来描述理赌次数的，本文将考虑建立保险 系统中一类用更一般的c o x 过程来描述保费的收入次数及理赔次数的风险模 型，并引入随机干扰项，建立了带干扰的多险种c o x 风险模型，得到了推广 的l u n d b e r g 不等式并对特殊c o x 过程( 即p o i s s o n 过程) 的情形，得到了破 产概率的一般表达式和f e l l e r 表示 给定一个完备的概率空间( n ，p ) ，以后所遇随机变量均定义在该空间 上 定义2 1 1 9 随机过程 a ( t ) ，t o ) 以概率1 满足： ( 1 ) a ( 0 ) = o ； ( 2 ) 对任意的t + 。，a ( t ) + 。； ( 3 ) a ( t ) 是关于时间t 的单调不减的( 连续1 函数； 则称它是一个( 扩散的) 随机测度 在下列的讨论中所遇到的随机测度都假设是扩散的，且当t - + 。时， a ( t ) o + o 。，p - a s 定义2 2 【9 】假设a ( t ) 是随机测度， ( t ) ，t o ) 是一标准p o i s s o n 过 程，而且a ( t ) 与n ( t ) 是相互独立的，则点过程( t ) = n oa ( t ) = ( a ( t ) ) 称为重随机p o i s s o n 点过程( d o u b l ys t o c h a s t i cp o i s s o np r o c e s s ) ，又称c o x 过 程其中a ( t ) 称为累积强度过程，若假设a ( t ) = 詹a ( s ) 如，显然以概率1 有 ( t ) 0 ，a = a ( ) ，t 兰o ) 称为强度过程 特别，若a ( s ) i ，即a ( t ) = a t ，这时帮( t ) 是强度为 的p o i s 8 0 。过程 引理2 1 【q 如果a ( t ) 是一随机测度，且假设e a ( t ) 】 。，穗，= 口( a ( t ) ， 0 对带干扰的多险种c o x 风险模型( 2 1 ) ，令死= i n f t 0 ，u ( 0 o ) ( 若此 集为空，则令死= + o 。) 为破产时刻；妒( “) = p ( t u o ) ， 其中g ( r ) = e s u p e x p h i ( r ) a l ( 亡) + 2 ( r ) a 2 ( 亡) + h 3 ( r ) a 3 ( t ) + 4 ( r ) a 4 ) + ；r 2 盯2 t i o t 0 、 7 。 像在古典风险模型中一样，我们尽可能选择最大的r 以得出较完美的不 等式，于是当令袁= s u p r l c ( r ) t o ) 兰e l 峨。 孔l 孔t o p ( 孔t o ) 又因为”+ 雪( 死) s0 ，e x p 一r ( u + 雪( ) ) ) 1 ，从而有 e 【m t o 咒f 死st o 】 = e m t 。i 孔t o 兰e 。：i n 。三f 幻e x p 。一h l ( r ) a ，( t ) + z ( r ) a 2 ( t ) + 3 ( r ) a a ( t ) + 4 ( r ) a t ( t ) + ；r 2 a 2 t ) ) 由此可得 p ( 死t , o ) 口一r t 。e m t o a t 。i t u t o 】 8 ”“e 08up戗phl(”)a1(。)+h20t t p ( t u t ) = e m t 。f 孔t p ( t u t ) + e m e i t 。 胡p ( 孔 ) ( 2 4 ) 注意到当t 0 ，所以舰= e x p 一r c ，( t ) ) 1 ，又 舰，t o ) 是 非负鞅，故 t l - i m o 。m t + o 。o - e ， 1 1 仁 盯 + 越 试 k 呲僦 +0 ， 撕 跗 + + “ 札 = 垒一 0 u 因此由单调收敛定理和勒贝格控制收敛定理，在( 2 4 ) 式两端令t _ 。取极限 得 e m = e m t 。i 死 + o 。】p ( 咒 0 ，及强大数定律有 觑u ( o = + 。，。e ，故有地= 0 ，口- e ，从而有 e - 肋= e m t t t v + o o l p ( t 。 0 有 e e - r 呻) = 曰【e - r 吣i 咒t p ( 孔t ) + e e - r u ( q l 孔 q p ( 死 t ) ， ( 2 5 ) 又e e r 矿( 砖】= e x p - r “+ g ( r ) t ，且当r = 且时，g ( r ) = o ，故有 z e - r u o ， - e 一， 将其代入( 2 5 ) 式有 e r u = e e - r v ( 0 l 孔q p ( t ) + 曰 e - r u ( t i 咒 t p ( t u t ) ( 2 6 ) 当已s t 时，令 u ( t ) = u ( 死) + ( u ( t ) 一u ( 孔) ) = u ( 瓦) + ( s ( t ) 一s ( 孔) ) ， 由( 2 , 2 ) 式及g ) = 0 可得 e e - r v ( t ) 死茎q p ( 死t ) = e e r 盯( 孔j 咒st p ( 孔t ) ， 当t _ + 0 0 时，对匕式有 1 2 1 i m 。e 。 e 一冠矿( i r t p ( t u t ) _ l l 一 一7 = t 骢e i e - r u 阢i 孔st l p ( 死t )t _ o 。lf i 、 = e e 一叫r ) 咒 0 ，在t 充分大时有q ( t ) 0 ，因此 e e - r u ( t ) l 咒 t = e e - r v ( t ) f 孔 ，o ! 矿( t ) sq ( t ) p ( o c ，( t ) 口( t ) ) 一 + e e - a u ( t ) f 孔 t ，u 。) g ( t ) - p ( u ( t ) 口( t ) ) p o u ( t ) sg ( t ) ) + e - r q ( ” 再由车贝谢夫不等式得 。 t ，w t d x ) = h ( a ，t ，z ) d x ， p ( d r ) = ( n ，t ) d t 并注意 p ( w t o = 8 ，) = 尸( 昵= 一a ，d = ；氕( a , t ) 出 定理2 4 设u 0 ，则对特殊情形模型( 2 3 ) 的( t ) 有如下f e l l e r 表达： 撕) = 。a l e - ( a l + 。, 2 ) s d s 日( 。) 出g l 劫 + z 乞e 巾巾。日( x ) d z g 2 ( 叩) + 貉小1 + 口班峥) 出z ”势2 u + c k + y m 巩蚓舭 其中 g ( 叩) 。z 1 0 。薹咖( u + c k + y + a x - z 胁妮( z ) 峨( 珐 ，r 。 岛( ，。) 。j ( z k = ( u + c k + y + a x - z 斌，t 竭( = ) d 曩山) 证明记气肛= i n f t o ，1 w ( t ) l = 詈) ；岛为第一类险种索赔的首次到达 时刻；岛为第一类险种索赔的首次到达时刻( 此时可得研，& 分别服从参数为 0 2 1 ，a 2 的指数分布) 因而在t ( o ，s l a 岛a r 加) 内无索赔发生，又1 w ( 圳 一u ，故当t ( o ，毋a 岛a 加) 时有v ( t ) 0 由过程 矿( t ) ) 的强 马氏性可知 其中 ( “) = e ( 矿( s ia 岛a h 血) ) = 日融( u ( 毋 气归) ) ，岛岛 + e 咖( u ( 岛a 吒佑) ) ，两 s 2 = a + 1 2 = e 眵( u ( 研) ) s 。茎扣) s 。s 岛) 】+ e 渺( v ( 吒加) 厶气抽( s ，) 厶毋s 岛) 】垒五1 + 1 1 2 如= e ( u ( - ) ) 乳茎h 扣) t s ， 占。) + e 陋( c 厂( 7 k 肛) 丑一 s 。) 】垒屯l + 1 2 2 下面分别计算五1 ， 2 ，如1 ，屯2 妒) s l 细，) 厶跹岛) 鼍，e 巾m 咖睁( 。) 气+ m k 慨一z ) 】帆c z ， ：- e - ( 0 删s ，f f 彳h ( u - ，s ，。) 硝j 0 7 j o 麓m + m + ”慨一z ) d f l ( z ) 吲们 o 邮。巾砌穹擎u ( 知。) 螂。( u ，咄 其中 曩。0 ) = p ( 6 9 ) = e 【p ( 6 训尬( s ) ) 】 = f + ( ) p ( ( 5 ) = 女) k = o = f 拈( ) k = o 。喃s 坠望堂 k ! p 。，女= p ( s ) = ) = e - a , , ( a l s ! ) k s缈盯+ 班 帅蚤 + 函蛳 + u p 召 | | k 嘶曲 = 矗 0 1 2 = 廿忡l ut t u o - j j x ( h 如 0 ) 表示保险公司付给被保险人的常 值年金率；磷u 和罐计分别表示第个类和第二个类中第k 次“理赔量”( 这 里理赔意味着收入) ，它们之间是相互独立的； 毯”) 和 z ) 是两个非负独立 同分布的随机变量序列，其共同分布分别记为毋和玛，且毋( o ) = 毋( o ) ：0 ， 并记分布巧( j = 1 ，2 ) 的一、二阶矩分别为p l j 和z 2 j ；1 ( t ) ，2 ( t ) 是两个计数 过程，分别表示第一个类和第二个类在( 0 ，司内的“理赔”次数； ( t ) ，t o ) 是标准的w i e n e r 过程，一 0 本文假定两个“理赔量”序列 z o ) ) ( j = 1 ，2 ) 独 1 7 立于“理赔”计数过程 婀( t ) ，t o ) o = 1 ，2 ) ，并恒假定过程( s ( t ) ) 与 ( t ) ) 是相互独立的 为使保险公司保持长期稳定，假设e ( ) 】一矗= 研s ( t ) 】一c t 0 我们对 f ( t ) u = 1 ，2 ) 考虑如下两种情形： ( a ) 1 ( t ) = 1 1 ( t ) + 婀2 ( t ) ，2 ( t ) = w 2 2 ( t ) + n 1 2 ( t ) ，其中1 1 ( t ) ，1 2 ( t ) ，2 2 ( t ) 是三个独立的泊松过程，其参数分别为a 1 1 ，a 1 2 ，a 2 2 显然此时1 ( t ) 和n 2 ( t ) 是两个相关的泊松过程 u ( t ) 为带干扰的含两个相关类的负风险和过程， 记为 u 4 ( t ) = t 一c 屯+ s 4 ( t ) + 口o ) 垒u c a t + v 4 ( t ) ，( 3 2 ) 其中角标“d ”表