（应用数学专业论文）n李代数的复化和实单n李代数的分类.pdf

摘要 早在1 9 8 5 年，f i l i p p c v 在他的文章( 参见f 3 】) 中提出现在被称为n 一李代数的 概念之后，作为李代数的自然推广，许多数学工作者将n 李代数和李代数进行细 致的比较分析，将李代数中很多重要的结果推广到n 一李代数，( 可见后面所列参考 文献) ，这些结果同时也表明n 一李代数保持了李代数的一些好的性质和结构。就李 代数而言，单李代数的复化和复李代数的实形是一个非常重要的问题，同时其分类 也是人们关注的焦点，本文将这两个结论放在n 一李代数中进行深入的研究 在本文的第一节中，给出了n 一李代数的定义及其相关概念和一些基本性质，尤 其是可解和半单的两种定义方式，并给出了一般向量空间中容许复结构、正则复结 构等定义。 第二节中，我们首先将容许复结构的理论在n - 李代数中提出，由此相应得到 了关于实n 一李代数的复化，复n 一李代数的实形式等概念其次，我们做了复n 一李 代数到自身的一个映射，其满足四条性质，称之为由相应实n - 李代数决定的共轭， 并验证了此映射的不动点集就是复n - 李代数的一个实形式接着我们讨论了实n - 李代数v 、其复化y 以及将复化看成实n 李代数y r ，三者的k i l l i n g 型之间的关 系，证明了他们的k i l l i n g 型是同时退化或非退化的；根据文章 1 2 】已经验证了的 结论；特征为0 的代数闭域上的n 一李代数是2 半单的当且仅当它的k i l l i n g 型非 退化，最终我们得到了特征为0 的代数闭域上的n 一李代数y ，y ，v r 同时2 一半单 或非2 一半单 在本文的第三节，我们主要研究了实单n 李代数的分类问题依据其复化是 否为单，将其分成两类，并给出了关于第二类实单n 一李代数的两个重要结论：结论 一，一个实单n 一李代数存在容许复结构当且仅当它是第二类的；结论二，第二类实 单n 一李代数实际上是把一个复单n 一李代数看成实的并借助这些结论进一步研究 明确了( n + 1 ) 维实单n 一李代数的实质和种类 关键词：n 李代数；2 半单；k i l l i n g 型；容许复结构；复化 a b s t r a c t t h r o u g h o u tt h ep r e s e n tp a p e r ，t h ea u t h o rm a i n l yd i s c u s st h ec o m p l e x i f i c a t i o n o fn l i ea l g e b r a sa n dt h ec l a s s i f i c a t i o no fr e a ls i m p l en l i ea l g e b r a s a si nl i ea l g e b r a s w eg i v ed e f i n i t i o n so ft h ec o m p l e x i f i c a t i o nv o far e a ln l i e a l g e b r av a n dr e a lf o r m so fac o m p l e xn - l i ea l g e b r aa n da l s om a k ead e f i n i t i o no f c o m p a t i b l ec o m p l e xs t r u c t u r e t h e n ，b yu s i n gt h ek i l l i n gf o r m a n d n o n d e g e n e r a c y f o rt h ek i l l i n gf o r mo fn l i ea l g e b r a ，w ei n v e s t i g a t et h es e m i s i p l i c i t yo fv ，矿，矿r w ep r o v et h a tv ，矿，矿ra r2 - s e m i s i p l eo rn o t2 - s e m i s i m p l ea tt h es a m et i m e i na n o t h e rp a r to ft h i sp a p e r ，t h ea u t h o r sw o r ki sd e v o t e dt ot h ec l a s s i f i c a t i o n o fr e a ls i m p l en l i ea l g e b r a ，a n dt oc o n t r a s tt h er e s u l t sa b o u t ( n + 1 ) 一d i m e n s i o n a l r e a ls i m p l en l i ea l g e b r ao v e ra na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l df w i t hc h a r a c t e r i s t i c0i n f i l i p p o v e 3 3w i t h i nl i n gw u x u e 5 ，w h i c ha t es a m ei nf a c t k e y w o r d s ：n l i ea l g e b r a ；t h ek i l l i n gf o r m ；2 - s e m i s i m p l e ；c o m p a t i b l ec o m p l e xs t r u c t u r e ；c o m p l e x i f i c a t i o n i n t r o d u c t i o n r e c e n t l yt h et h e o r yo fn l i ea l g e b r a sh a sa t t r a c t e dal o to fa t t e n t i o nd u et o i t sc l o s ec o n n e c t i o nw i t ht h en a m b um e c h a n n i c sp r o p o s e db yy n a m b ui n 2 4 】a s ag e n e r a l i z a t i o no ft h ec l a s s i c a lh a m i l t o n i a nm e c h a n i c s f i l i p p o v 3 f i r s t l yg i 、，e t h e d e f i n i t i o no fa nn l i e a l g e b r a w h i c hi s an a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no ft h ec o n c e p to f al i ea l g e b r at ot h ec a s ew h e r et h ef u n d a m e n t a lm u l t i p l i c a t i o no p e r a t i o ni s n a r y , n 2 ( w h e n 礼= 2t h ed e f i n i t i o na g r e e sw i t ht h eu s u a ld e f i n i t i o no fal i ea l g e b r a ) ， e x a m p l e so fn l i ea l g e b r a sw e r ep r e s e n t e di nt h es a m ea r t i c l e t h et h e o r yo fs u c h a l g e b r a s ，b e i n ga ne x t e n s i o no ft h et h e o r yo fl i ea l g e b r a s ，l e a v e sal o to fr o o mf o r e x p l o r a t i o n t a k i n gi n t oa c c o u n to ft h er e l a t i o n sb e t w e e nl i ea l g e b r a sa n dn l i ea l g e b r a s ， w en a t u r a l l ys t u d yw h e t h e rs o m eo ft h ef u n d a m e n t a l p r o p e r t i e so fl i ea l g e b r a sc o n t i n u et op r e v a i lo nn l i ea l g e b r a si ng e n e r a l s om a n yi m p o r t a n tr e s u l t sh a v eb e e n f o u n di nn - l i ea l g e b r a s o n eo ft h eb a s i cp r o b l e m si nt h et h e o r yo fn - l i e a l g e b r a s i s t h ec l a s s i f i c a t i o no ft h ef i n i t e - d i m e n s i o n a ln - l i ea l g e b r a s i nf 3 】( n + 1 ) 一d i m e n s i o n a l n l i ea l g e b r a sw e r ec l a s s i f i e do v e ra na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l do fc h a r a c t e r i s t i c0 n i l p o t e n c y , s o l v a b i l i t ya n dt h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yh a v eb e e nd e f i n e da n de x a m i n e di n 5 ， 8 】a n dl e v id e c o m p o s i t i o nh a 、eb e e nf o u n di n 【5 】b u tt h es t u d yo f n l i ea l g e b r a si sf a rf r o mb e i n gc o m p l e t e i nt h i sw o r k ，w ec o n t i n u et os t u d ys o m et h e o r i e so fs u c ha l la l g e b r a w ei n v e s - t i g a t et h ec o m p l e x i f i c a t i o no f r e a ln l i ea l g e b r a sa n dt h ec l a s s i f i c a t i o no fr e a ls i m p l e n - l i ea l g e b r a s i ns e c t i o n1 w er e c a l ls o m ed e f i n i t i o n sa n dn o t a t i o n so fn l i ea l g e b r a sw h i c ha r e n e e d e df o rt h ed i s c u s s i o n si nt h es e q u e l ，m o s to ft h e mc a nb ef o u n di n 3 5 】【7 j 8 l i ns e c t i o n2 ，w em a i n l yd i s c u s st h ec o m p l e x i f i c a t i o no fr e a ln l i ea l g e b r a sa n d t h er e a lf o r m so fc o m p l e xs i m p l en l i ea l g e b r a s w ef i r s t l yg i v et h ed e f i n i t i o n so f c o m p a t i b l ec o m p l e xs t r u c t u r e ，c o m p l e x i f i c a t i o n 矿，r e a l i f i c a t i o n l ：z r ，a n dr e a lf o r m ，a t t h es a m et i m es t u d ys o m ep r o p e r t i e so ft h e m w em a k eam a p p i n g 口o nvw h i c h i sc a l l e dc o n j u g a t i o na n dh a v et h ep r o p e r t i e so fi t n e x t ，d e n o t i n gt h ek i l l i n gf o r m o f1 ，矿，a n d1 7 rb yk ，霞，a n d 露r ，w ef i n dt h er e l a t i o n sa m o n gt h e ma n dg e t t h er e s u l tt h a tk ，霞，a n d 霞rm u s tb ed e g e n e r a t ea n dn o n d e g e n e r a t ea tt h es a m e t i m e s i n c ea nn l i ea l g e b r avi s2 - s e m i s i m p l ei fa n do n l yi fi t sk i l l i n gf o r mi sn o n d e g e n e r a t e ，w ef i n a l l yd r a wt h ec o n c l u s i o nt h a tv ，矿，a n d 矿ra r e2 - s e m i s i p l eo rn o t 2 - s e m i s i m p l ea tt h es a m e t i m e i ns e c t i o n3 w ec o n c e r n e da b o u tt h ec l a s s i f i c a t i o no fr e a ls i m p l en l i ea l g e b r a s o v e ra na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l do fc h a r a c t e r i s t i c0 a c c o r d i n gt ow e t h e rt h ec o r n p l e x i f i c a t i o ni ss i m p l eo rn o t ，w ec a nc l a s s i f yt h er e a ls i m p l en l i ea l g e b r a si n t ot w o d i s t i n c tt y p e s 。a n dt w oi m p o r t a n tr e s u l t sa r ee x a m i n e dt h a t8r e a ls i m p l en - l i ea l - g e b r a va d m i t sa c o m p a t i b l ec o m p l e xs t r u c t u r ei fa n do n l yi fv i so ft h es e c o n dt y p e a n dar e a ls i m p l en l i ea l g e b r ao ft h es e c o n dt y p ei sa c t u a l l yac o m p l e x s i m p l en - l i e a l g e b r aw h i c h c a nb es e e na sr e a lb y r e s t r i c t i n gt h eg r o u n df i e l dt ot h er e a ln u m b e r s a tt h ee n do ft h ep a p e r ，w ec o n t r a s ta n dd e v e l o p et h et h e o r yo f ( n + 1 ) 一d i m e n s i o n a l r e a ls i m p l en l i ea l g e b r ab o t hi n 3 】a n di n 4 t h r o u g h o u tt h ep a p e r ，t h en l i ea l g e b r a sa r ef i n i t ed i m e n s i o n a lo v e ra na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l do fc h a r a c t e r i s t i cz e r oe x c e p to t h e r w i s es p e c i f i e d p r e l i m i n a r i e s t h ec o m p l e x i f i c a t i o no fn - l i ea l g e b r a sa n d t h ec l a s s i f i c a t i o no fr e a ls i m p l en - l i ea l g e b r a s r e c a l lt h a ta nn 。l i ea l g e b r ai sav e c t o rs p a c ev o v e raf i e l dfw i t ha nn a r y m u l t i l i n e a ro p e r a t i o n 卜，】s a t i s f y i n gt h ei d e n t i t i e s a n d z 1 ，x 。 = ( 一1 ) 7 ( 4 【茁。( 1 ) ，z ，( 。) 】 z l - ，石n l ，掣2 n y n _ i x ，【x i ，y 2 ，】，z 。 k = 1 w h e r eo - r u n so 、e rt h es y m m e t r i c g r o u ps na n d t h en u m b e r r ( a 1i se a q u a lt o0o r1 d e p e d i n go nt h ep a r i t yo ft h ep e r m u t a t i o n 口 a s n b s p a c eio fa nn l i ea l g e b r avi sc a l l e da ni d e a li ff ，k ，明，i f i a n dja r ei d e a l so f v ，w h e nv = i + ja n d ，nj = 0 ，w ed e n o t ev = 1 0 j t h e r ea r et w od i f f e r e n td e f i n i t i o n so fs o h , a b l i t y i nf i l i p p o v 【3 a ni d e a lio f a nn l i e a l g e b r av i sc a l l e ds o l v a b l ei fp ) = 0f o rs o m er 0 ，w h e r e ，( o ) = i ， 弘+ 1 ) = 【弘) ，弘) ，f o rs 0 i nk a s y m o v 8 ，a ni d e a lio fvi s2 - s o l v a b l ei f ，( 7 ) = 0 ，f o rs o m er 0 ，w h e r e ，( 0 ) = i ，a n db yi n d u c t i o n ，w ed e f i n e 弘+ 1 ) = 妒) ，弘) ，k ，吲，f o r8 0 c l e a r l y ， f o re a c hs ( “i sa ni d e a lo f v i t i so b v i o u st h a ti f a n d 厶a r es o h q b l ei d e a l so fa nn l i ea l g e b r av ，t h e ，1 + 厶i sas o l v a b l ei d e a l t h e r e f o r e ，t h e r ee x i s t sau n i q u em a x i m a ls o l v a b l ei d e a l s ( v ) i nv ，w h i c h i st h es u mo fa l ls o l v a b l ei d e a l so fv t h ei d e a ls ( v ) w i l lb ec a l l e d t h er a d i c a lo fn l i ea l g e b r a 、， a nn l i e a l g e b r av i ss a i dt ob es e m i s i m p l e ，i fs ( v ) = 0 a c c o r d i n gt o 2 - s o v a b l e ，t h e r ei sas a m e d e f i n i t i o no f2 - s e m i s i m p l e a nn l i ea l g e b r avi ss a i dt ob es i m p l e ，i fi th a sn oi d e a l se x c e p t0a n di t s e l f , a n di fm o r e o v e rv 1 = 瞰u ，v l 0 c l e a r l y ，e a c hs i m p l ea l g e b r ai ss e m i s i m p l e ， t h e m a p p i n ga d ( x l ，z n 一1 ) ：v v a d ( x l ，x n - - 1 ) z 。= 【2 7 1 ，：t g 。】 f o rx l k ( i = 1 ，2 ，礼) ，i sc a l l e dt h el e f tm u l t i p l i c a t i o nd e f i n e db ye l e m e n t s x l ，x n - - 1 v f o rt h el e f tm u l t i p l i c a t i o n ，w eo f t e nu s et h eb r i e f e rn o t a t i o na d ( d ， 、v h e r e ( z ) = ( x l ，x n - 1 ) ， i n k a s y m o v 8 ，t h e r eh a dd e f i n e dt h ek i l l i n gf o r mk o na nn l i ea l g e b r av b yp u t t i n g k ( x l ，x n - 1 ；y l ，y n 一1 ) = t r a d ( ) o d ( v ) 、h e r e ( x ) = ( x l ，x n - 1 ) ，( y ) = ( y l ，n 一1 ) v “一1 t h e k i l l i n gf o r mk o i la nn - l i ea l g e b r avi sc a l l e dn o n - d e g e n e r a t ei fv 1 = 0 w h e r e v l = 。vlk ( 8 ，现，。，x r , 一l ；秒b 。，一1 ) = 0 ，f o r a n y 茁l ，珊v ) l e tvb eav e c t o rs p a c eo v e rro ff i n i t ed i m e n s i o n ac o m p a t i b l ec o m p l e x s t r u c t u r eo i lvi sa nr - l i n e a re n d o m o r p h i s mjo f v ，s u c ht h a t p = 一1 w h e r eii st h ei d e n t i t ym a p p i n go fv av e c t o rs p a c evo v e rrw i t ha c o m p l e xs t r u c t u r ejc a nb et u r n e di n t oav e c t o r s p a c ev o v e rc b yp u t t i n g f a + i b ) x = a x + b d x w h e r ez 1 o ，b r w eh a v ec l e a r l yd i m c 矿= 主1d i m r v ，a n dc o n s e q u e n t l yv m u s tb ee 、e n d i m e n s i o n a l w ec a l lvt h ec o m p l e xv e c t o rs p a c ea s s o c i a t e dt o v n o tt h a tva n dv a g r e es e tt h e o r e t i c a l l y o nt h eo t h e rh a n d ，i fei sav e c t o rs p a c eo v e rc ，w ec a 4 - 1c o n s i d e rea sav e c t o r s p a c ee r o v e rr t h em u l t i p l i c a t i o nb yio nrt h e nb e c o m e sac o m p l e xs t r u c t u r e jo ne ra n di t i sc l e a r l yt h a te = 虏r n o ww ec a l lji sar e g u l a rc o m p l e x s t r u c t u r e t h ec o m p l e x i f i c a t i o no fr e a ln l i ea l g e b r a sa n d t h er e a lf o r m so f c o m p l e x i i l i e a l g e b r a s d e f i n i t i o n2 1 l e tvb ea nn l i e a l g e b r ao v e rr e a ln u m b e rf i e l dra n e n d o m o r p h i s mjo nv i sc a l l e dac o m p a t i b l ec o m p l e xs t r u c t u r e i f js a t i s f i e s ： ( 1 ) j i sac o m p l e xs t r u c t u r eo nt h ev e c t o rs p a c ev ，t h a ti s ，j 2 = 一i d ( 2 ) j x l ，z 2 ，。 = 【j x l ，z 2 ，z n 】，f o ra n yz v f r o mc o n d i t i o n ( 2 ) a n dt h ea l t e r n a t i n go ft h em u l t i p l i c a t i o n ，w eh a v e j x l ，。2 ，。】= 一j x 2 ，x l ，。n 】 = 一 j x 2 ，。1 ，。n = 【x l ，j x 2 ，z 。 s o ，j x l ，z 2 ，z n = 陋l ，z 2 ，j x i ，茁n ，f o ra n y 。l v d e f i n i t i o n2 2 l e tvb ea na r b i t r a r yr e a ln l i ea l g e b r a w ef o r mt h et e n s o r p r o d u c t 矿：= co r va n dr e g a r di ta sav e c t o rs p a c eo v e rc ：z ( z o u ) ：= z z o 口， f o ra n yz ，z c ，”v o b v i o u s l y ，矿i sa nn l i ea l g e b r aw i t h z 1 0 v l ，o 】= 。1 z n o l ，】 t h i sc o m p l e xn l i ea l g e b r ai sc a l l e dt h ec o m p l e x i f i c a t i o no fv w ec a nf o r m a l l y t h i n ko f 矿a sl i ea l g e b r aa s 矿= z + i y x ，v a n d i 2 = 一1 ) d e f i n i t i o n2 3 g i v e nac o m p l e xa - l i ea l g e b r a 矿t h e nb yr e s t r i c t i n gt h e g r o u n df i e l dt ot h er e a ln u m b e r s ，w eo b t a i nar e a ln l i ea l g e b r a 矿r ，w h i c hw i l lb e c a l l e dt h er e a l i f i c a t i o no f 审 l e tj ：z _ + i x ，f o ra n y 。矿r o b v i o u s l y ji sac o m p a t i b l ec o m p l e xs t r u c t u r e o f 矿r a n dw ec a l li tr e g u l a rc o m p l e xs t r u c t u r e t od i s t i n c t 矿r f o r m v ，f o ra n y 。矿，z = 。+ i y ，z ，掣v ，w eh a v e = 矿r ， ：= z + j ys o ，矿“= v o j v d e f i n i t i o n2 4 ar e a ln l i ea l g e b r avi sc a l l e dar e a lf o r mo f 寸i fi t s c o m p l e x i f i c a t i o ni si s o m o r p h i ct o 矿 d e f i n i t i o n2 5 l e tvi sar e a lf o r mo fac o m p l e xn l i ea l g e b r avt h e m a p p i n g 口o f vo n t o i t s e l fg i v e nb y 口：x + i y - - + z i y ，f o ra n yz ，y v ，i sc a l l e d t h ec o n j u g a t i o no fvw i t hr e s p e c tt ov ， l e t b ear e a ln l i ea l g e b r aa n d 矿b et h ec o m p l e x i f i c a t i o no fv t h er e a l i f i c a t i o no fpi sd e n o t e db y 矿8 t h e nw eh a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： l e m m a2 1 l e tt h em a p p i n g 口b et h ec o n j u g a t i o no fvw i t hr e s p e c tt oa r e a lf o r mvo fv ：t h e no - h a st h ep r o p e r t i e s ： ( 1 ) 口2 ( z ) = 。 ( 2 ) 口( z + y ) = 口( o ) + 口( ) ( 3 ) a ( c 一- x ) = 酌( 。) ( 4 ) o ( i z lou 1 ，z n o j ) = p ( 4 0 ”1 ) ，d ( o ) 】 f o ra n yn c ，z ，y ，盔 v ，( i = 1 ，扎) ，a n dw h e r ez i c ， 。v ，画i s t h e c o n j u g a t i o nn u m b e ro f 口 p r o o f s u p p o s eo = x l + 括2 ，y = y l + i 耽，= a i + i 缸，口= 血1 + 。0 2 ，w h e r e 。1 y l ，。2 2 v ，。1 ，血2 r ，a i ，玑r ( 1 ) 2 ( z ) = 血( o ( z ) ) = 口( z l i x 2 ) = x , l + i x 2 = z ( 2 ) a 0 + g ) = o ( ( x l + y 1 ) + i ( x 2 + y 2 ) ) = 0 l + y 1 ) 一i ( x 2 + 耽) = ( 0 1 一i z 2 ) + ( y l i y 2 ) = o ( x ) + 口0 ) ( 3 ) a ( a x ) = 盯( ( a 1 + i 。2 ) 扛1 + i x 2 ) 6 _ = 仃( ( 口l z l 一口2 2 2 ) + t ( n l z 2 + 0 2 2 1 ) ) = ( a l z l 一2 。2 ) + 。( d l 。2 + 0 1 2 x 1 ) 2 ( d 1 一i 2 ) ( z 】一i x 2 ) = 5 a ( x ) ( 4 ) o ( c z l 圆u l ， ) = 盯( z 1 。i v l ， 。 ) = 叮( ( 盘1 + i b l ) ，( n n + t k ) 啦，j ) 2 ( 。i i b m ) ( 。一) o ( ，v 。1 2 l i b l ) o l ，。( 。一i b 。) o 1 = p ( 2 l o v l ) ，口( o ) 】 l e m m a2 1 i sp r o v e d t h u s ，口i sn o ta na u t o m o r p h i s mo f 矿，b u ti t i sa na u t o m o r p h i s mo f t h er e a i a l g e b r a 矿r s i n c e y = 。矿p 白) ：卫 a n d t ，y 芝 。矿f 口( z ) = 一z ) o “t h 8o t h 。h a n d ，l e t 口b eam a p p i “g o f 矿o n t 。i t s e l fw i t ht h ep r o p e r c i e sa b 。v e 胁j 】b 8 。8 l l e das e m i 。o p p o s i t e c o m b i n e o f 矿w eh a v et h ef o l l o w i n g ： l 。m m a2 2 i ft h em a p p i n g oi sas e m i o p p o s i t e - 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