（概率论与数理统计专业论文）马尔可夫骨架过程极限理论.pdf

摘要 本篇博士学位论文主要应用更新方法研究马尔可夫骨架过程的极限理论，进而得 到马尔可夫骨架过程的大数定律、中心极限定理等重要结论，并把所得结果应用于半 马尔可夫过程、排队系统、存储论和可靠性等方面的研究。 全文由七部分组成下面简单介绍一下本文的结构： 第一章绪论部分主要是介绍一下从马尔可夫过程的定义及其研究到马尔可夫骨 架过程定义引入的历史，并介绍这方面已有的工作及本文的主要工作。 第二章基础知识，介绍马尔可夫骨架过程的定义和基本性质，以及本文研究所需 要的理论知识，主要包括：马尔可夫骨架过程的向后向前方程，马尔可夫骨架过程的 正则性和有限维分布。本节略去大部分证明，只有第四节比较详细，因为作者做了部 分的补充和证明。 第三章是论文的主要结果：马尔可夫骨架过程的极限理论在第一节，我们给出 了极限分布的定义和d o o b 骨架过程的定义。本章最重要的结果是马尔可夫骨架过程 的极限理论。作者给出了极限分布存在的充要条件，去掉了原来要求的绝对连续的条 件，并给出了极限分布的具体公式，证明对应的极限分布为概率分布。第三节，作者 得到了马尔可夫骨架过程的一些重要的结果，如大数定律和中心极限定理等。 第四章给出马尔可夫骨架过程的几种重要特例，列举一些我们十分熟悉并很常用 的随机过程：马尔可夫过程、半马尔可夫过程、逐段决定马尔可夫过程、d o o b 过程、 再生过程、半再生过程，并根据定义通过严格证明，除了半再生过程需要补充变量外， 都可以直接归入马尔可夫骨架过程的框架。 第五章将极限理论应用于半马尔可夫过程的研究，体现了马尔可夫骨架过程的理 论价值。第一节得到了半马尔可夫过程的瞬时分布，即向前向后方程，得到的结果和 l e v y 得到的结果是一致的，但我们采用的是马尔可夫骨架的方法，而且l e v y 当时对 向前方程只是推测所得，作者给出了具体的推导。第二节作者将半马尔可夫过程的瞬 时分布应用于m g l 和g i m 1 排队系统队长的研究，分别体现了半马尔可夫过程向 前和向后方程的意义；第三节是将第三章得到的马尔可夫骨架过程的极限理论应用于 半马尔可夫过程的研究，得到了半马尔可夫过程的极限理论：第四节将半马尔可夫骨 架过程的极限理论推广到更广泛的一类随机过程。 i 第六章主要是将马尔可夫骨架过程的理论应用于g i g l 排队系统，体现马尔可 夫骨架过程的应用价值。作者研究g i 6 1 排队系统的三个重要指标：忙期、队长及 等待时间，分别得到它们的瞬时分布、极限分布和中心极限定理等结果。侯振挺教授 在这部分已经进行过一些研究，得到了一些结果，作者正是在原来所做的研究的基础 上，做进一步的完善和补充，得到了一些新的结果。 第七章主要是将马尔可夫骨架过程的理论应用于存储论和可靠性的研究。 第一节研究易腐烂模型，得到了它的瞬时分布和极限分布第二节研究不腐烂模型的 极限分布第三节研究串联系统，得到了它的瞬时分布和极限分布 第四节研究并联系统，得到了它的瞬时分布和极限分布。 关键词马尔可夫骨架过程，极限分布，d o o b 骨架过程，中心极限定理，半马尔可 夫过程 a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yd e v o t e st os t u d yl i m i tt h e o r yo fm a r k o vs k e l e t o np r o c e s s e st h r o u g h r e n e w a lm e t h o d t h ea u t h o ro b t a i n sl i m i td i s t r i b u t i o n 、l a wo fl a r g en u m b e r s 、c e n t r a ll i m i t t h e o r e mo fm a r k o vs k e l e t o np r o c e s s e s ，a n da p p l i e st h eo b t a i n e dr e s u l t si nt h er e s e a r c ho f s e m i m a r k o vp r o c e s s e s ，q u e u i n gs y s t e m ，i n v e n t o r yt h e o r ya n dr e l i a b i l i t y t h ef u l lt e x ti sc o m p o s e do fs e 、矿e np a r t s b e l o wi n t r o d u c e st h es t r u c t u r eo ft h i sp a p e r s i m p l y ： c h a p t e ro n eb e g i n sw i t ht h eh i s t o r yf r o mt h ed e f i n i t i o na n ds t u d yo fm a r k o vp r o c e s s e s t ot h ei n t r o d u c t i o no fm a r k o vs k e l e t o np r o c e s s e s b yt h ew a y , t h ea u t h o ri n t r o d u c e st h e e x i s t i n gw o r ka n dm o s tw o r ko ft h i sp a p e r c h a p t e rt w oi n t r o d u c e se l e m e n t a r yk n o w l e d g ew h i c h a r en e e d e di nt h i sp a p e r , m a i n l y i n c l u d e s ：t h ed e f i n i t i o no fm a r k o vs k e l e t o np r o c e s s e s ，t h eb a c k w a r da n df o r w a r de q u a t i o n ， t h er e g u l a r i t ya n df i n i t ed i m e n s i o n sd i s t r i b u t i o no fm a r k o vs k e l e t o np r o c e s s e s m o s to f p r o o f sa r eo m i t t e di nt h i sc h a p t e re x c e p tf o rt h ef o u r t hq u a r t e ri nw h i c ht h ea u t h o rh a sm a d e s o m es u p p l e m e n t s c h a p t e rt h r e ei st h em a i nr e s u l to ft h i sp a p e r , n a m e l yl i m i td i s t r i b u t i o no fm a r k o v s k e l e t o np r o c e s s e s t h ea u t h o rb e g i n sw i t ht h ed e f i n i t i o no fl i m i td i s t r i b u t i o na n dd o o b s k e l e t o np r o c e s s e s i ns e c t i o nt w o ，t h ea u t h o rg i v e sn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o r t h ee x i s t e n c eo fl i m i td i s t r i b u t i o n , r a i l l o v e st h eo r i g i n a lr e q u i r e m e n to fa b s o l u t e l y c o n t i n u o u sc o n d i t i o n ，a n dg i v e st h ec o n c r e t ef o r m u l ao fl i m i td i s t r i b u t i o n f u r t h e r m o r e ，t h e a u t h o rp r o v e st h el i m i td i s t r i b u t i o ni sap r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n i nt h et h i r ds e c t i o n , t h e a u t h o ro b t a i n ss o m ei m p o r t a n tr e s u l t so fm a r k o vs k e l e t o np r o c e s s e s ，s u c ha s ：l a wo fl a r g e n u m b e r s ，c e n t r a ll i m i tt h e o r e ma n ds oo n c h a p t e rf o u r t hg i v e ss e v e r a lk i n d so fi m p o r t a n tc a s e so fm a r k o vs k e l e t o np r o c e s s e s w h i c ha r ev e r yf a m i l i a rt ou sa n dc o m m o n l yu s e d ，s u c ha s ：m a r k o vp r o c e s s e s ， s e m i - m a r k o vp r o c e s s e s ，p i e c e w i s ed e t e r m i n i s t i cm a r k o vp r o c e s s e s ，d o o bp r o c e s s e s ， r e g e n e r a t i v ep r o c e s s e s , s e m i - r e g e n e r a t i v ep r o c e s s e s a c c o r d i n gt ot h o s e d e f i n i t i o n sa n ds t r i c tp r o o f s ，a l lt h e s ep r o c e s s e sm a yb em a r k o vs k e l e t o np r o c e s s e sd i r e c t l y i i i b e s i d e ss e m i - r e g e n e r a t i v ep r o c e s s e sw h i c hn e e ds u p p l e m e n t a r yv a r i a b l e i nt h ef i f t hc h a p t e r , t om a n i f e s tt h et h e o r yv a l u eo fm a r k o vs k e l e t o np r o c e s s e s ，t h e a u t h o ra p p l i e st h et h e o r yo fm a r k o vs k e l e t o np r o c e s s e st os t u d ys e m i m a r k o vp r o c e s s e s i n f i r s ts e c t i o n ，t h ea u t h o rh a so b t a i n e dt h ei n s t a n t a n e o u sd i s t r i b u t i o no fs e m i m a r k o v p r o c e s s e s ，n a m e l yt h eb a c k w a r da n df o r w a r de q u a t i o n s t h er e s u l t s a r ec o n s i s t e n tw i t ht h er e s u l t so fl e v y , b u tt h em e t h o dw eu s e di sm a r k o vs k e l e t o n s m e t h o d 。m o r e o v e r , 1 2 v yo b t a i n e dt h ef o r w a r de q u a t i o n so n l yb yc o n j e c t u r e , w h i l et h e a u t h o rg i v e st h ec o n c r e t ep r o o f i ns e c o n ds e c t i o n , t h ea u t h o ra p p l i e st h ei n s t a n t a n e o u s d i s t r i b u t i o no fs e m i - m a r k o vp r o c e s si nt h er e s e a r c ho fm g 1a n dg i m 1q u e u i n gs y s t e m h lt l l i r ds e c t i o n ，t h ea u t h o ro b t a i n sl i m i td i s t r i b u t i o no fs e m i - m a r k o vp r o c e s s e sb yl i m i t d i s t r i b u t i o no fm a r k o vs k e l e t o n p r o c e s s e s f u r t h e r m o r e , t h e a u t h o re x t e n d sl i m i t d i s t r i b u t i o no fs e m i m a r k o vp r o c e s s e st oam o r ew i d e s p r e a dk i n do fs t o c h a s t i cp r o c e s s e s i nt h es i x t hc h a p t e r , t h ea u t h o ra p p l i e st h et h e o r yo fm a r k o vs k e l e t o np r o c e s s e st o s t u d yg i g iq u e u i n gs y s t e m ，w h i c hm a n i f e s t st h ea p p l i c a t i o nv a l u eo fm a r k o vs k e l e t o n p r o c e s s t h ea u t h o rm a i n l ys t u d i e sb u s yt i m e , q u e u el e n sa n dw a i t i n gt i m eo fg i g 1 q u e u i n gs y s t e m ，a n do b t a i n si n s t a n t a n e o u sd i s t r i b u t i o n ，l i m i td i s t r i b u t i o n a n dc e n t r a ll i m i tt h e o r e mr e s p e c t i v e l y p r o f e s s o rh o uz h e n t i n gh a sa l r e a d yc o n d u c t e ds o m e r e s e a r c hi nt h i s p a r t a n do b t a i n e ds o m er e s u l t s t h ea u t h o rm a k e ss o m ef u r t h e r c o n s u m m a t i o na n ds u p p l e m e n t ，a n do b t a i n e ds o m en e wr e s u l t s i nt h es e v e n t hc h a p t e r , t h ea u t h o ra p p l i e st h et h e o r yo fm a r k o vs k e l e t o np r o c e s s e si n t h er e s e a r c ho fi n v e n t o r yt h e o r ya n dr e l i a b i l i t y t h ef i r s ts e c t i o no b t a i n e di n s t a n t a n e o u s d i s t r i b u t i o na n dl i m i td i s t r i b u t i o no fap e r i s h a b l em o d e l t h es e c o n ds e c t i o ns t u d i e sl i m i t d i s t r i b u t i o no fa ni n c o r r u p t i b l em o d e l i nt h et h i r ds e c t i o n , t h ea u t h o ro b t a i n si n s t a n t a n e o u s d i s t r i b u t i o na n dl i m i td i s t r i b u t i o no fs e r i a ls y s t e m s i nt h ef o u r t hs e c t i o n , t h ea u t h o ro b t a i n s i n s t a n t a n e o u sd i s t r i b u t i o na n dl i m i td i s t r i b u t i o no f p a r a l l e ls y s t e m s k e yw o r d sm a r k o vs k e l e t o n p r o c e s s e s ，l i m i td i s t r i b u t i o n ，d o o b s k e l e t o n p r o c e s s e s ，r e n e w a lt h e o r y , s e m i - m a r k o vp r o c e s s e s 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南 大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本 研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说明。 作者签名：重逢参日期：三竺生年月堑日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文；学校可根 据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：耋垡苎导师签名：落丝搀日期：鲨生年羔月兰日 博士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 马尔可夫骨架过程定义的提出 这篇论文主要研究马尔可夫骨架过程的极限理论，首先我们来回忆一下从马尔可 夫过程的定义及其研究到马尔可夫骨架过程定义引入的这段历史。 马尔可夫过程的原始模型是马尔可夫链，于1 9 0 6 年由俄国数学家a a 马尔可夫 1 提出，故命名为马尔可夫过程，有时简称为马尔可夫过程。从此，众多的数学家 开始了对马尔可夫过程源源不断的研究，使得马尔可夫过程在理论和应用两个方面都 得到了迅速而深入的发展。其中国外数学家主要有：1 9 3 1 年a n k o l m o g o r o v 2 3 首先 将微分方程等分析方法用于马尔可夫过程，得到了马尔可夫过程的向后向前方程，后 人常称之为k o l m o g r o v 向后向前方程，奠定了它的理论基础。1 9 5 1 年前后，i t o 3 建立了随机微分方程的理论，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路。1 9 5 4 年前后， w f e l l 4 5 将泛函分析中的半群方法引入马尔可夫过程的研究中。5 0 年代初，角谷 静夫和j l d o o b 6 - 8 等发现了布朗运动与偏微分方程论中狄利克雷问题的关系。 此外，g e h r e u t e r 9 1 0 ，k l c h u n g 1 1 ，w j a n d e r s o n 1 2 和s p m e y n 1 3 等人均在马尔可夫过程研究中做出了巨大贡献。 近几十年来我国概率论工作者，也在马尔可夫过程这一领域进行了广泛深入的研 究，取得了很大的成功，并有若干专著出版。如北京师范大学王梓坤院士证明特殊的 马尔可夫过程生灭过程的常返性等价于其有限调和函数为常数，而0 _ 1 律等价于 其有限过份函数为常数，并且研究一般马尔可夫过程的通性，如零一律、常返性、 m a r t i n 边界与过份函数等 1 4 - 1 6 ；北京师范大学陈木法院士在马尔可夫过程与位 势理论、可逆马尔可夫过程无穷粒子系统等领域做出了开创性的工作，并引入了耦合 的方法来研究马尔可夫链，获得了一系列成果参见 1 7 1 8 。 1 9 3 1 年，a n k o l m o g o r o v 在得到向后向前方程组的基础上，提出了著名的“卜 一矩阵问题修或称之为可列马尔可夫过程构造问题：任给一个矩阵q = ( q 拜) ，满足 0 q 疗 佃) ，是否存在一个标准马尔可夫过程( p 豇) ( 称之为q 过程) ，使得p ；= g 扩? 如果过程存在，在什么条件下惟一? 如果不惟一，如何求出全部的q 过程? 当状态全 博士学位论文第一章绪论 部为稳定态时，w f e l l 于1 9 4 5 年证明了q 过程存在，并且当q 矩阵保守时，给出了q 过程唯一性的条件 1 9 ；当过程状态全部为瞬时态时，d w i l l i a m s 于1 9 7 6 年证明了 q 过程存在 2 0 ；当过程状态全部为稳定态，并且q 非保守时，中南大学侯振挺教授于 1 9 7 4 年，给出了q 过程唯一性准则，得到了著名的侯氏定理，并进一步证明，当过程 状态不全部为稳定态时，q 过程肯定不唯一，而且有无穷多个，参见 2 1 - 3 1 ；湖南 师范大学杨向群教授解决了双有限情形下的q 过程构造问题 3 2 3 3 ；英国利物浦大 学陈安岳教授得到有关禁止概率有名的分解定理，部分解决了状态不全为稳定态的q 过程构造问题 3 4 ；“q _ 吨阵问题是马尔可夫过程理论的重要部分，至今还有部 分问题没有完全解决。 马尔可夫过程是研究得相当深入，而且还在蓬勃发展的随机过程，它被广泛的应 用于排队论、存储论、可靠性等方面的研究。随着现代科学技术的发展，很多在实际 应用中出现的马尔可夫过程模型的研究受到越来越多的重视。马尔可夫过程研究工作 者目前从事的研究领域包括流形上的马尔可夫过程、测度值马尔可夫过程、仿射马尔 可夫过程、马尔可夫决策过程、逆向随机流和其它无穷维马尔可夫过程等，这些马尔 可夫过程模型分别来源于物理、生物、金融等学科中的复杂系统的研究，参见 3 5 - 4 0 。 在工程应用、保险和管理方面，马尔可夫环境得到高度重视，获得了迅速的发展， 参见 4 1 - 4 4 。所谓马尔可夫过程是对一切常值停时具有马尔可夫性的随机过程。 在对马尔可夫过程的研究中发现，在马尔可夫过程中有这样一个子类， 这个子类具有更强的马尔可夫性，即在一切的停时处都有马尔可夫性，称为强马尔可 夫过程。目前对于强马尔可夫过程的研究成果丰富深刻，其中最简单且研究的最详尽 的模型就是最小连续时间马尔可夫链 x ( f ) ，t f ) 4 5 一随机过程 x ( f ) ，t f ) 令f 。为过程第n 次发生状态转移的时刻 ( n = l ，2 ，) ，f 是过程x 的寿命，0 - - r o 吃ls ，个r 如果满足 ( i ) 在一系列停时l 0 = 0 ，1 ，) 处，过程有马尔可夫性： ( i i ) x ( f ) = x ( 气) ，乙t 0 + i 0 = 0 , 1 ，2 ，) ； ( i i i ) 随机变量毛+ 。一吒服从指数分布。 则称x 为最小连续时间马尔可夫链，其图示如下： 2 博士学位论文第一章绪论 j i e - - - - - 一 一 o t 1t 2 t 3t 4 t 但在实际应用中，人们发现条件( i i i ) 要求过强，很多很重要的随机过程满足性 质( i ) ( i i ) ，但不具备性质( i i i ) ，这样便限制了马尔可夫过程理论的应用。于是 l e v y 4 6 和s m i t h 4 7 保持性质( i ) ( i i ) ，放弃了性质( i i i ) ，要求吒+ 。一服从一 般分布，引入了半马尔可夫过程( 简称半马尔可夫过程) 的概念并加以研究。易知一 个半马尔可夫过程是这样的随机过程，它的状态转移形成一马尔可夫链，而相邻两次 转移的时间间距( 即在一状态的逗留时间) 是一随机变量，它的分布一般与过程在这 区间两端所处的状态有关。由半马尔可夫过程的嵌入马尔可夫链及停时构成的偶对 x ，t ) 给出的二维随机过程 ( k ，) ，万0 ) 称为马尔可夫更新过程。马尔可夫更新 过程是1 9 6 1 由p y k e 4 8 提出的，它与半马尔可夫过程的关系非常密切，可以称之为 半马尔可夫过程的伴随的马尔可夫更新过程，它在可靠性的研究方面有非常重要的应 用。 半马尔可夫过程不仅提供了描述马尔可夫更新过程的一种方便的手段，而且它还 可以用来建立许多种不同现象的模型，除了在排队论，可靠性和存储论中有重要应用， 参看f a b e n s 4 9 ，c i n l a r 5 0 卜 5 2 ，还被一些作者用于研究一些社会学中的问题。例 如：k a o 5 3 曾利用半马尔可夫过程模型来描述医院的行政管理病人在医院内的 检验、治疗、手术和特别护理等部门之间的流动问题。关于半马尔可夫过程的理论研 究，l e v y ，c i n l a r 做了大量的工作，我们在第五章中将用马尔可夫骨架过程的方法来 研究半马尔可夫过程的瞬时分布和极限分布，并将所得结果应用于排队论的研究。 3 博士学位论文第一章 绪论 在半马尔可夫过程研究的基础上，d a v i s 5 4 3 保持性质( i ) ，把性质( i i ) 进一步放 宽：假定x ( t ) 在 ，k 。) 上取一确定的光滑曲线，只保持过程在停时处的马尔可夫 性，而引入了逐段决定马尔可夫过程概念并加以研究，得到了这类过程的无穷小生成 元。r o s i k i 5 5 ，d a v i s 5 6 分别将逐段决定马尔可夫过程应用于排队论、保险风险 理论和可靠性的研究，得到了非常漂亮的结果。 由上面的研究发展可以看出，最关键的是性质( i ) ：存在一系列停时，满足 o = r o q 吃 l ，0 个f ，并且过程在纯，万1 ) 处有马尔可夫性。实际上，在 处理问题时，我们常常也只需要过程有上述性质即可。1 9 9 7 年，侯振挺教授、刘再明 教授、邹捷中教授在前人研究的基础上，根据这一关键性质，提出了马尔可夫骨架过 程的概念，即在逐段决定的马尔可夫过程上作进一步推广，在两个相邻的停时 ，k 。) 之间过程的轨道不一定是一段确定的光滑曲线，而是一段随机过程。近几年来，侯振 挺教授及其同事对马尔可夫骨架过程及其应用进行了一系列研究，得到了一系列重要 的成果，参见 5 7 3 - 6 3 ，主要收集在马尔可夫骨架过程及其应用 6 4 一书中。 显然，马尔可夫过程、半马尔可夫过程、逐段决定马尔可夫过程都是马尔可夫 骨架过程的特例。实际上d o o b 过程、再生过程、半再生过程也是马尔可夫骨架过程 的特例。在第四章专门对此进行研究，首先对各种过程进行详细地介绍，然后根据定 义，通过严格证明他们都是马尔可夫骨架过程的特例( 其中半再生过程需要补充变 量) 。 众所周知，马尔可夫链和布朗运动这两类过程是马尔可夫过程或日随机过程的两 大支柱和两个极端情形：马尔可夫链的轨道是全间断的，而布朗运动的轨道是全连续 的，经过数学家们长期的的耕耘马尔可夫链已发展成为成果丰富、结果深刻及其应用 广泛的跳过程及无穷粒子系统等，而布朗运动发展成为扩散过程、随机微分方程一直 到今天称之为随机分析，并被应用于控制和金融数学的研究，这条研究之路已经成为 概率论发展的一大主流 6 5 - 6 9 。事物在它的发展过程中，有量变( 即渐变) ，有质 变( 质变) ，量变发展到一定程度就会发生质变，质变之后接着又重新向前发展( 量 变) ，事物的发展过程就是量变和质变重复交替发生的过程。跳过程刻画事物的质变 过程，扩散过程刻画事物的量变过程。事实上，应当把量变和质变融为一体，才能准 确地、全面地把握事物的发展，为此，我们必须研究其轨道有连续段( 未必是一段水 平线) 和跳跃点交互出现的”混合型”随机过程，跳跃点对应着事物的质变，事物经质 4 博士学位论文第一章绪论 变之后又重新按原来的规律向前发展，就是说，在质变之处过程显示出马尔可夫性， 因此我们引入的马尔可夫骨架过程，为这种混合型随机过程的研究提供了一个合适的 模型。正因为量变和质变交替出现贯穿于每个事物发展的全过程，所以许多领域( 如 排队系统、存储系统、水库管理模型、保险金融系统、生态系统、人口理论模型及其 经济市场等) 为马尔可夫骨架过程提供了广阔的应用前景。 1 2 已有的工作 1 9 9 7 年，侯振挺、刘再明、邹捷中引入了马尔可夫骨架过程的概念。近几年来， 侯振挺及其同事对马尔可夫骨架过程及其应用进行了一系列研究，得到了一些重要的 成果，主要有以下几个方面：一是得到了马尔可夫骨架过程概率分布所满足的向后和 向前方程，此前，人们只建立了纯间断马尔可夫过程和分枝马尔可夫过程的向后向前 方程，它们都是马尔可夫骨架过程向后向前方程的特例：二是得到马尔可夫骨架过程 的一维概率分布，进而得到它的有限维分布 7 0 ，有限维分布是马尔可夫骨架过程的 关键性定理，因为我们研究任何一个随机过程首要问题就是如何去决定它的分布：三 是将马尔可夫骨架过程的理论应用于排队论等方面的研究，得到了g i g l 和 g i g n 队长的瞬时分布，参见 7 1 7 2 ：此外，关于马尔可夫骨架过程常返性、遍历 性、不变测度方面的研究也得到了一些结果，还没有公开发表。 2 0 0 0 年，侯振挺教授和刘国欣教授在逐段决定马尔可夫过程和马尔可夫骨架过程 研究的基础上，提出了马尔可夫骨架过程的一个重要特例逐段决定的马尔可夫骨 架过程 7 3 - 7 5 。粗略来讲，逐段决定马尔可夫骨架过程是指这样一种随机过程， 存在一系列随机或者固定时刻，使得在这一系列时刻过程具有马尔可夫性，而在诸相 邻的两个这样的时刻之间的每一段中过程按决定性系统演化。作为描写连续时间非扩 散随机系统的一般模型，逐段决定马尔可夫骨架过程具有相当的普遍性，几乎涵盖了 所有现存连续时间非扩散随机模型，所以说，逐段决定马尔可夫骨架过程是应用最广 泛的一类马尔可夫骨架过程。近几年来，刘国欣教授在逐段决定马尔可夫骨架过程方 面做了大量的研究工作，并将其应用于保险风险方面的研究，得到了一系列结果，参 见 7 6 - 7 8 。 但是在马尔可夫骨架过程的理论研究方面，还有很多深层次的及难度较大的或者 很大的问题还有待解决。例如，马尔可夫骨架过程的条件概率 5 博士学位论文 第一章 绪论 p ( x ，t ，彳) = p ( x ( t ) 捌x ( o ) = 曲在t = o 的性质( 连续性，可微性等) ，p ( x ，t ，彳) 在t 专 时的几种主要收敛性和收敛速度，以及平稳分布，这些问题的研究十分重要而且有相 当大的难度：又如，马尔可夫骨架过程的控制理论也是一个大的研究方向，可以考虑 马尔可夫骨架过程调制的随机微分方程解的稳定性问题；又如，马尔可夫骨架过程与 鞅论及随机分析的联系等。从某种程度上说，马尔可夫骨架过程的研究工作还刚刚开 始，马尔可夫骨架过程有十分丰富的内涵，在应用上有广阔的发展前景，这块新园地 有待一批批学者的努力耕耘。 1 3 本文的工作 关于马尔可夫骨架过程极限理论的研究，侯振挺教授 6 4 已经得到了一些结果， 只是要求的条件还比较强，所得的结果并不是十分令人满意，我自己对这个问题也比 较感兴趣，因此选定马尔可夫骨架过程极限理论作为自己博士论文的研究方向。 近一年半来，在导师的指导下，我查阅了大量国内外相关的经典书籍和参考文献， 多次和导师及同学进行讨论，并主动向周围的资深的教授请教，经过一年多反复的努 力，最终运用更新的方法给出了马尔可夫骨架过程极限分布存在的充要条件，去掉了 原来要求的绝对连续的条件，对马尔可夫骨架过程的极限理论给出了圆满的结果，并 且在极限理论的基础上，通过努力，得到了马尔可夫骨架过程的一些重要结果，如： 大数定律、中心极限定理等。 “ 为了体现马尔可夫骨架过程的理论价值，本文将所得结果应用于半马尔可夫过程 的研究，得到了半马尔可夫过程的向前向后方程，所得的结果和l e v y 4 6 得到的结果是一致的，但本文采用的是马尔可夫骨架的方法，而且关于半马尔可夫过 程的向前方程，l e v y 当时只是推测所得，本文给出了的具体的证明。进一步，本文还 把所得结果应用于m g i i 和g i m i i 排队系统队长的研究，体现了半马尔可夫过程向 前方程的意义。 为了体现马尔可夫骨架过程的应用价值，本文将所得结果应用于g i i g i i 排队系 统、存储论和可靠性的研究，侯振挺教授在这部分已经进行过一些研究，得到了一些 结果，本文正是对原来所做的研究做进一步完善和补充。本篇博士学位论文主要应用 更新方法研究马尔可夫骨架过程的极限理论，进而得到马尔可夫骨架过程的大数定 律、中心极限定理等重要结论，并把所得结果应用于半马尔可夫过程、排队系统、存 6 博士学位论文第一章绪论 储论和可靠性等方面的研究 全文由七部分组成下面简单介绍一下本文的结构： 第一章绪论部分主要是介绍一下从马尔可夫过程的定义及其研究到马尔可夫骨 架过程定义引入的历史，并介绍这方面已有的工作及本文的主要工作。 第二章基础知识，介绍马尔可夫骨架过程的定义和基本性质，以及本文研究所需 要的理论知识，主要包括：马尔可夫骨架过程的向后向前方程，马尔可夫骨架过程的 正则性和有限维分布。本节略去大部分证明，只有第四节比较详细，因为作者做了部 分的补充和证明。 第三章是论文的主要结果：马尔可夫骨架过程的极限理论在第一节，我们给出 了极限分布的定义和d o o b 骨架过程的定义。本章最重要的结果是马尔可夫骨架过程 的极限理论。作者给出了极限分布存在的充要条件，去掉了原来要求的绝对连续的条 件，并给出了极限分布的具体公式，证明对应的极限分布为概率分布。第三节，作者 得到了马尔可夫骨架过程的一些重要的结果，如大数定律和中心极限定理等。 第四章给出马尔可夫骨架过程的几种重要特例，列举一些我们十分熟悉并很常用 的随机过程：马尔可夫过程、半马尔可夫过程、逐段决定马尔可夫过程、d o o b 过程、 再生过程、半再生过程，并根据定义通过严格证明，除了半再生过程需要补充变量外， 都可以直接归入马尔可夫骨架过程的框架。 第五章将极限理论应用于半马尔可夫过程的研究，体现了马尔可夫骨架过程的理 论价值。第一节得到了半马尔可夫过程的瞬时分布，即向前向后方程，得到的结果和 l e v y 得到的结果是一致的，但我们采用的是马尔可夫骨架的方法，而且l e v y 当时对 向前方程只是推测所得，作者给出了具体的推导。第二节作者将半马尔可夫过程的瞬 时分布应用于m g i 和g i m l 排队系统队长的研究，分别体现了半马尔可夫过程向 前和向后方程的意义：第三节是将第三章得到的马尔可夫骨架过程的极限理论应用于 半马尔可夫过程的研究，得到了半马尔可夫过程的极限理论：第四节将半马尔可夫骨 架过程的极限理论推广到更广泛的一类随机过程。 第六章主要是将马尔可夫骨架过程的理论应用于g i g 1 排队系统，体现马尔可 夫骨架过程的应用价值。作者研究g i g i 排队系统的三个重要指标：忙期、队长及 等待时间，分别得到它们的瞬时分布、极限分布和中心极限定理等结果。侯振挺教授 在这部分已经进行过一些研究，得到了一些结果，作者正是在原来所做的研究的基础 上，做进一步的完善和补充，得到了一些新的结果。 7 博士学位论文 第一章绪论 第七章主要是将马尔可夫骨架过程的理论应用于存储论和可靠性的研究。第一节 研究易腐烂模型，得到了它的瞬时分布和极限分布：第二节研究不腐烂模型的极限分 布：第三节研究串联系统，得到了它的瞬时分布和极限分布：第四节研究并联系统，得 到了它的瞬时分布和极限分布。 8 博士学位论文第二章基本知识 第二章基本知识 2 1 马尔可夫骨架过程的概念 设( e ，占) 是可测空问，x = ( f ，缈) ，0 t f ) 是定义在完备概率空间( q ，d 上取值于( e ，占) 的随机过程， 互x , t 0 ) 是x 自然盯一代数流。幺为推移算子： c o ) ，= o ) t ( c o ，) 脚q 为了方便，可以将状态空间e 扩充到雪- e u a ，即在状态空间e 中加入一个孤立 a a 对应过程x 也扩展到j - j ( f ，c o ) ，o t o o ) ，其中 各、i x ( t ，缈) ，0 t r ( c o ) x ( t , c o 卜t ，一r ( r o ) t 0 0 即过程在时间r ( r o ) 之后，被吸收在状态，有的书上称之为坟墓点。假定q 为定义 在r 上取值于雪的所有右连续函数生成的空间。令q 为推移算 子：( 印帕，= w ”，( 嵋) 脚q 。在不引起混淆的情况下，我们将不再区别x 和j 。 定义2 1 1 称随机过程x = x ( t ，缈) ，0 t o o ) 为马尔可夫骨架过程，如果存在一停时 列纯) 。卸，满足 ( 1 ) f o = o rr 。个0 0 ，并对任意的咒0 ，f 。 o oj f 。 f 膏+ l ； ( 2 ) 对于一切刀= 0 1 ，2 ，有f 州= f 。+ 以1 ( 3 ) 对每一个l 和任意定义在昱f o 。) 上的有界s f o ) 一可测函数厂，有 研厂( x ( l + ) ) l f f 】2 e f ( x ( r 。+ ) ) i x ( l ) 】，p 一口曩， ( 2 1 ) 其中q f = ( c o ：f 。徊) 叫做马尔可夫骨架过程x 的骨架时序列。 进而，如果在q ，。上 博士学位论文第二章基本知识 e f ( x ( r 。+ ) ) l 硭】= 研厂( 石( f 露+ ”防( f 。) 】= 玩( r