（概率论与数理统计专业论文）随机序列的精确渐近性质.pdf

摘要 概率论是从数量上研究随机现象规律性的学科它在自然科学、技 术科学、管理科学中都有着广泛的应用，因此从上个世纪三十年代以来， 发展甚为迅速，而且不断有新的分支学科涌出。概率极限理论就是其主 要分支之一，也是概率统计学科中极为重要的理论基础前苏联著名概 率论学者g n e d e n k o 和k o l m o g r o v 曾说过：“概率论的认识论的价值只有 通过极限定理才能被揭示，没有极限定理就不可能去理解概率论的基本 概念的真正含义。” 概率极限理论也一直在蓬勃地发展。传统的研究内容主要有中心极 限定理、大数律、重对数律和完全收敛性等，也包括后来在完全收敛性 的基础上发展起来的精确渐近性质。而最近在蒋烨( 2 0 0 4 ) 和李云霞( 2 0 0 5 ) 的博士论文中又分别考虑了由各种相依随机序列和过程产生的随机序列 的一种矩形式的精确渐近性质。本文主要的贡献，即是将这种矩形式的 精确渐近性质推广到了最近在统计应用中比较广泛和有效的再抽样均值 序列和自正则化和上面，而且在证明方法上也有所改进。 文中第一章详细的介绍了经典的概率极限理论的发展历程，给出了 这种矩形式的精确渐近性质产生的背景。 第二章的内容是关于再抽样均值序列的精确渐近性质。第一节中我 们介绍了再抽样( b o o t s t r a p ) 均值序列，并列出了最近的关于这方面的一些 结果，第二节则是给出了再抽样均值序列的这种矩形式的精确渐近性， 在证明的方法上，我们避开了原来在蒋烨( 2 0 0 4 ) 和李云霞( 2 0 0 5 ) 中一直 用到的b e r r y - e s s 6 e n 不等式，这样做的好处是可以降低定理中的矩条件。 第三章是研究了自正则化和序列，第一节主要介绍了自正则化和在 统计应用中的优越性和在这方面的一些最新的研究成果，第二节中我们 同样给出了它的矩形式的精确渐近性质，并且包括了对数律和重对数律 的情形。 2 a b s t r a c t t h e o r yo fp r o b a b i l i t yi sas c i e n c eo fq u a n t i t a t i v e l ys t u d y i n gr e g u l a r i t yo fr a n d o mp h e n o m e n a ，w h i c hi se x t e n s i v e l ya p p l i e di nn a t u r a ls c i e n c e ，t e c h n o l o g i c a ls c i e n c e ，s o c i a ls c i e n c ea n dm a n a g e r i a ls c i e n c ee t c h e n c e ，i th a sb e e nd e v e l o p i n gr a p i d l y s i n c e1 9 3 0 sa n dm a n yn e wb r a n c h e sh a v ee m e r g e df r o mt i m et ot i m e l i m i tt h e o r y i so n eo ft h eb r a n c h e sa n da l s oa ni m p o r t a n tt h e o r e t i c a lb a s i so fs c i e n c eo fp r o b a - b i l i t ya n ds t a t i s t i c s ，a ss t a t e di nt h ed a s s i c a lb o o k ”l i m i td i s t r i b u t i o n sf o rs u m so f i n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s ”( 1 9 4 9 ) b yb v g e n d e n k oa n da n k o l m o g r o v ，”t h e e p i s t e m o l o g i c a lv a l u eo ft h et h e o r yo fp r o b a b i l i t yi sr e v e a l e do n l yb yl i m i tt h e o r e i n s w i t h o u tl i m i tt h e o r e m si ti si m p o s s i b l et ou n d e r s t a n dt h er e a lc o n t e n to ft h e p r i m a r yc o n c e p to fa l lo u rs c i e n c e s t h ec o n c e p to fp r o b a b i l i t y ” l i m i tt h e o r ya l s od e v e l o p eq u i c k l y t r a d i t i o n a lr e s e a r c hc o n t e n t sh a v ec l t ， l l n ，l i la n dc o m p l e t ec o n v e r g e n c e ，a n da l s oi n c l u d ep r e c i s ea s y m p t o t i c sw h i c hd e - v e l o p eo nt h eb a s eo fc o m p l e t ec o n v e r g e n c e r e c e n t l yi nj i a n g ( 2 0 0 4 ) a n dl i ( 2 9 0 5 ) t h e yc o n s i d e ram o m e n tt y p ep r e c i s ea s y m p t o t i c so fv a r i o u sd e p e n d e n ts e q u e n c e a n ds e q u e n c ep r o d u c t e db yv a r i o u sp r o c e s sr e s p e c t i v e t h em a i nc o n t r i b u t i o no f t h i sp a p e ri st ob o a r dt h i sm o m e n tt y p ep r e c i s ea s y m p t o t i c st ob o o t s t r a pa n ds e l f - n o r m a l i z e dp a r t i a ls u m sw h i c hi sv e r yu s e f u li ns t a t i s t i c s a n dt h e r ei sa l s oi m p r o v e m e n to fm e t h o d t h ef i r s tc h a p t e rw ei n t r o d u c et h ed e v e l o p e m e n to fc l a s s i c a ll i m i tt h e o r t ，a n d g i v et h eb a c k u po fb i r t ho ft h i sm o m e n tt y p ep r e c i s ea s y m p t o t i c s t h ec o n t e n to ft h es e c o n dc h a p t e ri sa b o u tp r e c i s ea s y m p t o t i c so fb o o t s t r a p m e a n st h ef i r s ts e c t i o nw ei n t r o d u c et h eb o o t s t r a pa n dl i s to u t8 0 n l er e c e n t l y r e s u l t sa b o u ti t ，t h es e c o n ds e c t i o ni st og i v et h em o m e n tt y p ep r e c i s ea s y m p t o t i c s o fb o o t s t r a pm e a n s ，a n di nt h em e t h o do fp r o v e ，w ea b a n d o no u tt h eb e r r y - e s s 4 e n i n e q u a l i t yw h i c hi su s e di nj i a n g ( 2 0 0 4 ) a n dl i ( 2 0 0 5 ) ，t h em e r i to fd o i n gt h i si st h a t w ec a nr e d u c et h em o m e n tc o n d i t i o n si nt h e o r y t h et h i r dc h a p t e rw es t u d yt h es a l t - n o r m a l i z e dp a r t i a ls u m s ，i nf i r s ts e c t i o n w ei n t r o d u c et h em e r i to fs e l f - n o r m a l i z e dp a r t i a ls h y o si ns t a t i s t i ca p p l i c a t i o na n d a l s oi n c l u d es o m ed e v e l o p eh i s t r o ya n dr e n c e n t l yr e s u l t s ，t h es e c o n ds e c t i o nw ea l s o c o n s i d e ri t sm o m e n tt y p ep r e c i s ea s y m p t o t i c s ，a n di n c l u d el a wo fl o ga n di t e r a dl o g 文中部分缩写及符号说明 随机变量 几乎必然 互相独立且同分布 随机变量x 的数学期望 随机变量x 的方差 随机变量x 与y 的协方差 随机变量序列 墨) 几乎必然收敛于随机变量x 随机变量序列 ) 依概率收敛于随机变量x 随机变量序列 瓦) 依分布收敛于随机变量x 测度序列 脚) 弱收敛于测度肛 矿与v 等价，即矿与v 有相同的有限维分布 集合a 的示性函数 集合a 中元素的个数 实数集 整数集 非负整数集 正整数集 l i r a s u p 嘶l 6 。 0 ，器。p ( i & 1 _ 觇) o o 成立的充分必要条件是e x = 0 和e x 2 0 ，墨。n r p - 2 p j r n e xj e n l 竹 o 。成立的充分必要条件是 e ( i x i r ) 0 ，罢1 警p l 又一n e x i e 币赢砑 o o 成立的充分必要条件是二 阶矩存在。g u t & s p a t a r u ( 2 0 0 3 ) 在重对数律方面也得到了类似的结果。 h e y d e ( 1 9 7 5 ) 讨论了当e 一0 时e r d 6 s - h s u r o b b i n s 定理的收敛情况， 得到了i i d 随机序列的精确渐近性质，在0 e ( x e x ) 2 = 口2 c o 成立的条件下，有l i m m e 2 p l s n n e x i n ) = 0 - 2 。其后c h e n ( 1 9 7 8 ) 和 g u t s p 乩a r u ( 2 0 0 0 a ) 分别讨论了b a u m & k a t z 和d a v i s 定理的精确渐近情 形，其中g u t & s p t a r u ( 2 0 0 0 a ) 的结论为：在二阶矩存在且有限的条件下， 对于任意的1s p p 及1 p 2 ，若e i x l ir + i x l i l o g ( 1 + 1 墨1 ) ) 0 ，有 扎厅一2 1 仲e i & i e n l 居) + 1 ) 为独立同分布非退化的随机列，e x = 0 ，0 e x 2 ：0 - 2 o o 。假设e i x l 3 o 。，且e l x l 7 1 + g ，1 p 2 。 则 觋e 掣。三o on r 一强1i 薹剐一一靠) + = 舞专鬻 受上述文献的启发，本文主要是对再抽样序列和自正则化和序列，考虑 了它的矩完全收敛的精确渐近性。 6 第二章 再抽样均值的精确渐近性质 第一节再抽样( b o o t s t r a p ) 简介 e f r o n 于1 9 7 9 年提出了独立再抽样的方法：设 x k ，1 七n ) 是从总 体x 中抽取的n 个样本，可以相互独立也可以相关。令 m 。，砌，) 是一 列正整数，记x 。= ( 墨，x 2 ，蜀) ，对于任意的仉，蜀弼2 j ，粥。 表示从墨，尥，k 中均匀有放回再抽取的m 。个样本，称其为容量为 m 。的再抽样样本。由以上定义可知 霹。；1 i m 。) 条件独立同分布， 且概率分布函数为p 弼，= 讯i k ) = ；，( 1s 自n ) 。在传统的极限理论 定理中一般取= n 。 再抽样方法来源于从有限个总体中的抽样，被广泛的应用于各种统 计推断中。b o o t s t r a p 就是一种再抽样方法，它适用于各类参数估计、非 参数估计、假设检验等，由于它在统计应用中的广泛性和有效性，最近 已受到了越来越多的关注。 自e f r o n 后关于b o o t s t r a p 序列的概率极限理论方面的结果层出不 穷，如b i c k e l 8 z f r e e d m a n ( 1 9 8 1 ) 证明了中心极限定理：记耳。= e 警1 蜀，有 元( j 冬1 霹。一瓦) = n ( 0 ，0 , 2 ) ，。s ( 文中口2 都指v a r x ) 。a t h r e y a ( 1 9 8 3 ) 证明了经典的再抽样均值的s l l n ，另外a r e n a l ，m a t r a n & ：c u e s t a 对不同的 再抽样容量m 。改进了上述定理m i k o s c h ( 1 9 9 4 ) 对于再抽样均值给出了 一系列重要的指数不等式，借助于这些不等式，l i ，r o s a l s k y & a h m e d ( 1 9 9 9 ) 给出了一个完全收敛性的定理，如下： 定理21a 令 k ，n 1 是一列两两独立的同分布的r v ，设m 。= n ，0 。 0 ，有 o 。n 俨吲( 霹j 一瓦) l e 礼1 7 。) 0 ，p ( o ，2 ) ，r r 满足r 一2 p + 叩 0 。当 a 1 时，有e ( x 2 ) 1 、时，或者有e ( i x i “) 2 且e ( i x l 7 一升”h ( i x i ) ) 0 ，有 叫嚣( 弼j _ 瓦) i f 豳帆 p l ( 弼，j 一瓦) i n ) 2 e x p 扫一卵+ 1 ，且e ( i x i “) 0 ，r o ，6 o ，d + j 1 ，且e ( i x l 2 。“m 1 ) 。n 一去i x 。) 一p ( i n i z ) i 由b i c k e l & f r e e d m a n 0 9 8 1 ) 中的再抽样中心极限定理，可知 s 锄u p i p ( i 鼠i z 向一l k ) 一p ( i n i z ) 1 - - 。s 由此易证：。一0 a , 8 下面分两步来证明式( 2 21 ) 第1 步先证： 黔l i m 一1 薹中赴心h 稿h ) + = 万面2 a p e 丽l n q 两 这是因为 觋扩1 三c on 舻一e 一新11 吲1 ) + = 慨扩1 薹扮2 母鄯层争, p ( i n i 州t = 娥矿1z c o 1 一* 1 压。h ，p ( i n i t ) d t d z ：船再2 a p ，1 一掣掣一驾j ( 。9 掣掣+ 罂一。小m 删” = 西2 a pf o 。p ( i n i t ) j ( g 警圳t 2 乜p ，o 。 2 q ( 2 r - 。3 p + 2 c 2 p 。- 2 ) j 0 2 口p e i n l 9 第2 步证明 q t q _ 1 p ( i n i t ) d t 黔l i m 。薹i 矗争2 。e i s k l 叫茄隔 + 一n ( ；一2 一i 1 + e i n i e 1 w a l 一) + l = 0 。s 1 0 记 其中 ：。a 一萎一( ；二。一；e i 品。i e n 南i k ) + = 1 一n ( ；一2 一；+ ) e i n i e n j ( 击一) + i ：扩- 曼n 嘲n 一去( 。p ( 1 疏l 茹+ 肌面1i ) 【n ) d 。 一礼一孙1i 1 一 ) ，”p ( i n i z + e n x 。( x 一j ) d z l 扩1 妻n 瓣叫a 吲鼠l ( 。州n 击 一p ( i n i ( + e ) n ( 专一j 1 ) ld x ( 小) n 专i x 。) 一p ( i n 缸+ ) ( 一 ) i d 。， 扩t 6 警。j ( l 7i p ( i s 。l ( 蚪咖南剐 一p ( i n i ( 茹+ ) n ；( 寺一 ) i d z ， e q - - i 曼n 瓣。( 。p ( i s i ( 时s ) n 南l x 。) d z 矿1 。= 毛) 艚触( 刑矗皓 恤 耻，m ) o ，i 。一0 ，n - s ，容易证明，对于任给的m 0 ，有 刚l i m 正( e ，m ) = o o s 对于乃( s ，m ) ，由m a r k o v 不等式 球，郴矿1 6 薹1 寤，ec 警裂+ 鼎冲，n = l o l z 十】札。9【z + j 札p 副 而由再抽样样本性质知 e ( ( 晶。) 2 f k ) = m 。e ( ( 弼厂- n ) 2 i x 4 = m 。砖， 又因为程一一2 ，n 一，所以存在与孢无关的非负随机变量c ，使得醒 c o s 目此 正( ，m )墨c e q - l6 铲砷e 志d i z 墨。1 n ( 到f w _ i z n = l ”i 山 cj 7 6 k m l ：c m 。礼；( 触n j ( ( n 。+ e ) 一1 - 2 ) 1 固啄1 一1 n ：；一啄1 ：c e q 一，警。( p ) 一留i ，。 = 一1 fn ：( ；“卜锗i ，。o s n 。= l 所以l i 眦。o 马( e ，m ) = 0 a 8 对于乃( e ，m ) ，由c s 6 r 9 6 ( 2 0 0 3 ) 中的定理1 ，由e ( i x l 。) 0 ，l i r a 。ob ( e ，m ) 0 0 ，所以存在非负随机变量q ，当e ( 0 ，叩 时，有 t 3 ( 洲) 蛐n = b ( 氖e 耐矗2 0 弦铲砷序”咖 ，m 1 + lo l l 7 j w n j 。” c 扩1 手一1 ；r _ 2 ) ，。e 一m 獬妇 n ：b 占孟) + l 3 0 0 ，所以l i m m o 。l i m e o 马( s ，m ) = 0 n s 1 2 最后当k 足够大，使得一1 - c 一- 一2 ) 一! 里2 a = p 吐+ 1 6 ( s ，m )p 1 lo ，7 c e q - 1手n j ( ；- 2 ) 一竽e 一州 ) d t d z e _ 0oz ；) j ：一2 a ，o o 2 c f + ，：z 一2 ，。p ( i n i t ) d t 曲：f ( d ，6 ，r ) rj o j y l i m 2 6 + ；一1f e _ o ： 蛘吲鼠 n 1 + 去 “ 一堂堂叫 n s 而丽i k ) + e 而；两川= 0 n s 令 6 ( e ，m ) = 妒”e 一3j ， ：o o g n ) 一纛 1 3 珲。( s ) = + 扣薹f 旦2 甓；攀兰吲蹋。i 一。而葡；i 两1 x 山 一筚e i 卟。佤面州 = e 州_ 1 n 妻= i 嫂掣旷去z 。p ( j 驯 丽刚。 ，0 0 r 一 p ( i n i 。+ e 、( 1 0 9 n j ) ”) d z i + ；一l n 萎；l 堕n 监j n op ( 刚 ( m ) 丽 - p ( i n i ( 。+ ) 嗣) d i ( e ，m ) 3 - d 2 忙，m ) + ，m ) + d d 瞳，a 们 纠呻。害n = l 掣门刚引 ( ) 丽陬) 一p ( i f + ) 、( 1 0 9 n i ) 7 ) | d 。 ”牛1 6 警掣一串，6 善避掣出 因为e 掰+ ；一lz r - 。n 6 池= l 肘) i 虹n 丢m 2 ：兰= c m 开+ ；+ 1 所以l i r a d 1 ( e ，埘) ：0n s 对于d 2 ( ，m ) ，和定理22 1 中乃( ，m ) 的处理相似，由肘a ，。口不等式 d 2 ( e , m ) 俨和6 警掣j ( ：。志如 蛐2 蝉_ 1 6 参o o g n 托t ) 6 - ：掣牛，6 警鳢! 妪1 。 ：= ； 尼 所以l i m 玩( e ，m ) ：0 同样对应于定理2 2 1 中墨( ，m ) 的处理 嘶蚴“畔一- 瓢掣门刚 ( 呲) 丽剐出 n = b ( e m 1 + 1 g 年- 喜，( 1 。g n ) 6 r n f o ”e 七删( i 1 ) z n = 6 忙，m ) + l ：g 一+ ；一手f ! 塑兰芷：! 。叫* n ) ：e + ；一，。( ! 塑兰芏：! 。斗西) d 。 = a ：二9 2 ( 6 + 一1 ) e 一”d y s 因为； 0 ，所以 最后当k 足够大， 因此 l i r a m 。l i m e 。od 3 忙，m ) = 0 s 使得6 r 一譬+ 1 (。十s)厢丽面对ix。)j 一 鲁n l o g n ： o “、 。 一p ( i n i ( 。+ e ) 而丽) 1 d 。 a ( e ，m ) + 岛0 ，m ) + 岛忙，m ) + & ( ，肘) ， 和定理2 2 2 的证明类似，只须令 m ) ：妒“ 】，。：( 1 0 9 1 。g n ) 一i r 。点1 就可得到l i r a 。0 霹o ( e ) = 0 a , s 1 6 第三章 自正则化和的矩的精确渐近性质 第一节自正则化和的介绍 设 x ，蜀；n 1 ) 为一列独立同分布的随机变量，e x = o ，= 翟。五，k 2 = 路，五2 ，礼1 我们把& k 称为自正则化和，若k = 0 ，令 晶k = 0 。众所周知，在经典的概率极限理论中，许多结果都是和矩条件 联系在一起的，如大数律成立当且仅当一阶矩存在，经典的l 4 v y 中心极限 为：e x 。= 芦，x ，= a 。，则訾三n 。还有，大偏差定理成立的充分必要条 件是x 的矩母函数在0 的附近存在且有限。但是正是由于矩条件的存在， 也在一定程度上妨碍了这些经典极限定理在统计中的应用，因为统计推 断中的统计量一般都是一些未知参数的函数，而要计算这些统计量就必须 先估计这些未知参数。如应用中心极限定理就必须要先估计标准差一，而 自正则化和则提供了一种新的视野，它只需很少的矩条件有时甚至没有 矩条件就可以得到与传统的非随机正则化因子部分和相对应的一些极限 理论的结果，如s h a o ( 1 9 9 7 ) 证明了在不存在任何矩条件的情况下自正则化 和的大偏差p ( k 。瓶) 的结果，并且证明了当x - 属于正态吸 j 域时 & k 的尾概率是高斯的，当x 。属于稳定吸引域时& 的尾概率是次高 斯的。g r i f f i n & k u e l b s ( 1 9 8 9 ) 证明了当e x = o , e x 2 i ( i x i c 。) 在无穷远处缓变时 的重对数律，即l i r a s u p 一。聪s l n 神= 1 ， s h a o ( 1 9 9 9 ) 在只需三阶矩的 条件下，证明了& k 的c r a m r 型的结果。g i 晡，g s t z e & m a s o n ( 1 9 9 7 ) 证明 了在序列随机有界时，& y 的尾是一致次高斯的，而b e n t k u s & g s t z e ( 1 9 9 6 ) 则得到了自正则化和的b e r r y - e s s 6 e n 不等式，w a n g & j i n g ( 1 9 9 9 ) 得到了指 数非一致的b e r r y - e s s 4 e n 界。另外& k 和t 统计量的紧密联系也扩大了 自正则化和在统计中的应用，他们之间的联系可以从下面的两个式子中 看出： 弄口 ，x& k “2 砺。而i 雨雨丽 m 纠= 丧刈磊告) l 2 一 其中贾为样本均值，s 为样本标准差。上面文中的e x 2 州! 。) 在无穷远 处缓变，指对于任意z 0 ，有 兰1 鉴面e x 丽2 i ( i x t h ) = 1 若e x 2 1 ，使得l i r a s u p h o 。型e x 垫l ( 耻i x l o ，d 0 ，有 l i m e 6 以州咖炉。1 剐泞删) + _ 嚣黼， ( 3 2 _ 1 ) 其中n 为标准正态随机变量。 如果令n ( 。) 分别等于z ，l o g x 和l o g l o g x ，便可得到下面的三个推论。 推论3 2 1设e x = 0 ，且e x 2 l 矧! 。) 在无穷远处缓交，则对于任意的 p o ，d 0 ，有 觊喹扩坝| 泞州+ = 揣， ( 3 z 。) 推论3 2 2设e x = 0 ，且e x 2 i ( i x 陋) 在无穷远处缓变，则对于任意的 p 0 , 6 0 ，有 甑一薹竿础泞邮哪n + = 揣，( 3 z 3 ) 1 9 推论3 2 3设e x = 0 ，且e x 2 厶陋l ；) 在无穷远处缓变，则对于任意的 p 0 , 6 0 ，有 。 。l i m 一至_ ( 1 0 9 蕊l o g n f ) 5 p - i 圳瓦5 , , l o g r 。o 嘉妾 n扎 一 e ( 1 0 9l o gn ) ，) + = 而e n 1 6 + 1 ，( 3 删 推论3 2 2 ，3 2 3 分别为对数律与重对数律的矩形式的精确渐近性。 3 2 2主要结果的证明 定理3 2 1 的证明先证明以下几个命题： 命题1 n 为标准正态随机变量，则 一磊酬咖炉。1 刚卅卜揣 证明 ( n ) ( n ( n ) ) 沪1 e t n i e 扩( n ) ) + n n o = 。协) ( 。( n ) ) 晨、p ( i n t ) d r n _ n 0 。 =一j(0。协)(。(z)ep(init)dr0 d z j j 仲】 令e a p ( x ) = y ，则有 n ( 。) = ( 垆z 一1 ，扣雨1 1 ”地“ 代入上式得到 一。( n ) ( 。( 礼) ) 妇一1 e l l s 矿( n ) ) + = ；1 厶o o 9 6 1f fp ( i x t ) d r d f n n o 。 ：了p ( | l t 咖肚= 哲删卟州t = 揣 命题1 得证 令。= 8 u p 。l p ( i 甓i 。) 一p ( i n i 。) l ，由引理3 2 1 知n _ 0 ，而 d ( e ) = n 7 ( n ) ( n ( n ) ) 妇一1 ie i 器i e 矿( n ) ) + 一e ( i n i g 矿( n ) ) + i = s 6 轰州( 酬艄f e 。( p ( | 丧l 扩p ( | 州 啪l 磊n 协严1 a 剐甓i x - b e a v ) 一p ( i n l z + e 扩( n ) ) jd z = 三a 伽) ( 咖) ) 如+ r 1 门剐丧| ( z 刊m ) ) n n ” 一p ( i n i 扛+ s ) 扩( n ) ) ld x = d l ( e ，m ) + d 2 0 ，m ) + d 3 ( e ，m 。) 其中 d 水5 害。n ( 舻种p ( 1 瓷i ，l ( m 州) l ( e ，m ) = 一o ( n ) ( ( n ) ) 却却- 1 ( z + s ) 矿( n ) ) n n o 。”。 一p ( i n l 扛+ e ) 扩( 钆) ) id z ， d 。慨5 州聃州朦p ( i 瓷。i ( m 州) 2 ( e ，m ) = 一o 协) ( n ( n ) ) 计”1l 净+ ) 矿【“) ) n n 。 。 一p ( i n i ( 。+ e ) 扩( n ) ) 1d z ， 眺纠、羡删。( n ) ) 5 p - b p - - 1 f | p ( i 丧卜( 蚪妒( 蝴 n 6 k m ) 。 ” 一p ( i l 如+ ) 扩( n ) ) id z - 其中b ( ，m ) ：。一- ( m e 一；) ，c ( n ) ：。一一( n ) 。- i 命题2 对于固定的m ，有 鞠d l ( 8 ，m j - u 。 证明： d ，川) 纠5 似蝴妇+ 州np ( 1 谠。扩l ( m 矽) 1 0 ，m ) = o 协) ( 。( ”) ) 卸却“n 扛+ ) o ”( “) ) n 0 ”。 一 一尸( 1 l + e ) a 9 ( n ) ) ld z 5 f e ， 扩) 一一( n ) ( 。( n ) ) 6 9 + 9 1 c ( n ) n ：一警。) 1 = 一( 佗) ( 。( n ) ) 即一1 i - 因为一0 ，而 e 5 “。协) ( 。( 。) ) “j6 州( 。( 。) ) d 。 蚤。协) ( 。( n ) ) 印。1 一o ( o ( 。) ) ”1 。 n n = c 一i 口( 6 忙， 4 ) ) 如= c m 如 所以对于固定的m ，有1 i 瓯。0 d l ( e ，m ) = 0 命题3 对于固定的m ，有 刚l i r a d 2 ( e ，m ) = 0 证明：利用m a r k o v 不等式和引理3 2 2 可得 d 2 ( e ，m ) 纠羔a 协产妒1 口p ( 1 老；。l 冲- f n 忡) ) ，) = 一a 协) ( n ( n ) ) 印妒1l 1 ) 扩( n ) ) no ” ” 一p ( i n l 扣+ ) 矿( n ) ) id x c6警atn枷瓦走雨az_no ( n ) ( 。( 札) ) 计”1li i 毒忑石d z ”，、“l 。j ”、“， ：g 薹n 删咖炉一1 南a 。 = g - 一一( n ) ( o ( n ) ) 卸1 。l 、i = 评d no ”、。o 。 = c 一。( n ) ( n ( n ) ) 印1 。( + e ) 。 b ( 6 ，m ) ， c ，n 7 ( n ) ( n ) ) 印一1 i 由命题2 中后半部分的证明，可知命题3 立。 命题4 m l i ，m 。 i 。m 。d 3 ( e ，m ) 20 证明：利用m a r k o v 不等式和引理3 2 2 ，选取k 足够大，使得5 p + p k p ( 小州) m 3 ( ，) = 0 7 ( n ) ( 口( 礼) ) 印十9 1 厶 ( z + ) 扩( 扎) ) n b ( ，) 。 ” 一p ( i l 扛+ ) 扩) ) ld x 。、纛m)(。(枷帅。e)而而1c丽6 。 - 一( n ) ( o ) ) 却+ 9 1f 。五_ = f i ；? j d n b m ) 、1 、，“， c 一 o ( n ) ( n ( 礼) ) 妇+ ”- 1 一切一+ 1 ：c 一斟1r ，。，( ) ( ( z ) ) 帅。1 一k p d x 如( e ，m ) = c 一一m 口( 6 ( ，m ) ) 】却+ 9 一坤 ：c m 6 p + p 一如_ 0 f m _ o c , 1 这样就完成了定理的证明。 参考文献 丰b i b l i o g r a p h y 1 1a r e n a p g u t i 6 r r e ze ，m a t r o nca n dc u e s t a - a l b e r t o sj a ( 1 9 9 6 ) ，o nt h eu n c o n d i - t i o n a ls t r o n gl a wo fk g en u m b e r sf o rt h eb o o t s t r a pm e s t a t i s t p r o b a b l e t t ， 2 7 ：4 9 - 6 0 【2 1a t h r e y ak b ( 1 9 8 3 ) ，s t r o n gl a wf o rt h eb o o t s t r a p s t a t i s t p r o b a b l e t t 1 ：1 4 7 - 1 5 0 3 】b a lz d a n ds uc ，( 1 9 8 5 ) ，o nt h ec o m p l e t ec o n v e r g e n c ef o rs u m so fi n d e p e n d e n t r a n d o mv a r i a b l e s s c i e n c ei nc h i n a ( s e ta j ，2 8 a ：3 9 9 - 4 1 2 4 】b a n ml e a n dk a t zm ( 1 9 6 5 ) jc o n v e r g e n c er a t e si nt h el a wo fl a r g en u m b e r s t r a x i s a m e nm a t hs o c 。1 2 0 ：1 0 8 - 1 2 3 5 】b e n t k u sv a n dg 6 t z ef ( 1 9 9 6 ) ，t h eb e r r y - e s s e nb o u n df o r s t u d e n t ss t a t i s t i c a n n p m b a b 一2 4 ：4 9 1 - 5 0 3 6 1b i e k e lpj a n df r e e d m a ad a ( 1 9 8 1 ) 。s o m ea s y m p t o t i ct h e o r yf o rt h eb o o t s t r a p a n ns t a t i s t 一9 ：1 1 9 6 - 1 2 1 7 7 】b i l j n g s l e y , p ( 1 9 6 8 ) ，c o n v e r g e n c e0 ，p r o b a b i l i t ym e a s u r e s w i l e y , n e wy o r k 8 】c h e n 、r ( 1 9 7 8 ) ，ar e m a r ko nt h et a i lp r o b a b i l i t yo fad i s t r i b u t i o n zm u l t i v a r i a t e a n a l 8 ：3 2 8 。3 3 3 9 lc h e n gfy a n dw a a gyb ( 2 0 0 4 ) ，p r e c i s ea s y m p t o t i c so fp a r t i a ls u m sf o ri i d a n dn as e q u e n c e s a c t a m a t h ，s i n ，4 7 ：9 6 5 - 9 7 2 1 0 lc h o w ，y s ( 1 9 8 8 ) ，o nt h er a t eo fm o m e n tc o n v e r g e n c eo fs a m p l es u m sa n de x - t r e m e s b u l l i n s t m a t h a c a d e m i a 威n i c a 1 6 ：1 7 7 - 2 0 1 1 1 】c s a r 9 6s ( 2 0 0 3 ) ，r a t e si nt h ec o m p l e t ec o n v e r g e n c eo fb o o t s t r a pm e a n s s t a t p r o b l e t t ，6 4 ：3 5 9 - 3 6 8 1 2 1d a v i sj a ( 1 9 6 8 ) c o n v e r g e n c er a t e sf o rt h el a wo ft h ei t e r a t c dl o g a r i t h m a m m a t h ，s t a t i s t ，3 9 ：1 4 7 9 - 1 4 8 5 1 3 le f r o nb ( 1 9 7 9 5 ，b o o t s t r a pm e t h o d s ：a n o t h e rl o o k8 tt h ej a c k k n i f e a n n s t a t i s t ，7 1 2 6 1 4 e t d s s p 0 9 4 9 5 ，o na t h e o r e mo f h s ua n