（概率论与数理统计专业论文）平方期权的创新及定价.pdf

摘要 自从上个世纪7 0 年代初，b s 期权定价公式出现以后，期权节场得到了 迅猛发展，在标准期权的基础上，衍生出了各种各样的奇异期权。因此，衍生 证券定价问题是金融数学所关注的重要问题。 本文考虑的是在完备，连续的市场模型f ，资产价格运动过程服从几何布 朗运动，一种改变标准收益结构的期权，即平方期权的定价问题。这种期权 比标准期权更灵活，可以适应不同的风险承受力的投资者的需求。并在平方 期权的基础上进行创新，考虑平方障碍期权及平方回望期权的定价问题。 利用鞅方法定价( 即风险中性定价) 给出期权的价格。在鞅方法下，一种证 券( 或衍生证券) 现在的价格，可经由折现该证券未来期望现金流量得到，且 期望值折现可在风险中立下进行。 本文主要得到了如下结果： 1 得到欧式二次式变异买权的定价公式，并在此基础上得到平方买权的 定价公式。 2 利用平方买权的定价公式得到了四种平方连续障碍期权( 上出局，上入 局，下出局，下入局) 的定价公式及两种平方离散障碍期权( 上出局买权，下 出局卖权) 定价公式。 ：j 利用平方买权的定价公式得到了两种平方回望期权( 浮动履约价，固定 履约价) 的定价公式。 4 得到部分信息下两种平方回望期权( 浮动履约价，固定履约价) 的定价 公式。 关键词：平方期权，风险中性定价，g t “a n o v 定理，回望期权，障碍期权 a b s t r a c t s l n c et h ea p p e a r e n c e0 fb sp “c i n gf o r m u l a 孔t l i eb e g i n n j n go f1 9 7 0 s ，t h eo p t i o l lm a r k e t h b e e nd e v e l ( ) p e dq u i c l ( 1 y0 ne 1 1 eb a s e 。fs t a n d a r do m i o n ，m a l l ye x ( n i c 叩t i o n sa r ed e r i v e d t h e k ) r e ，也ee s s a y 。fp r i c i n g o nd e r i v a t i v es e c u r lc i e sn o wb e c o i i 】ea ni m p o r t a n tp r o b l e m ，a n d h e 舭l e n t i o n e dl i lm l a n c i a im a e h c m a t i c a i 1 1t h i sp a p e rw ea s s l l m ec l l 毗t h e r ee x i s t sac o m p i e l ea n dc o n t i n u 。u sm 眦k e t 1 0 d e lw h i c h i l s i s t so fa s s e tp r i c eb ea s s u m e dt os a t i s f yg m e o i cb r o w nm 。t l 眦l an e wo p l l o n ，n a n l e dp o w e r 。p n o ”w h l ( hc h a n g et h ep a y o f f ( ：o n s t r u ( 砧，h a v em o r ev i v l dt h a ns t a n d o i d 。p t l o n s a n da d a l ) tf o d i f b r e ncr i s kt o1 c r a u c er ) ri n v e s t o 【sa n do nt h eb a s i c 。fi ) o w e ro p t i o n ，m ep r ic l n g 。ft 1 1 ep o w c r b a r r l e ro pe i o na 1 1 dp ( 】、v e rl o o k b a c ko p t i o na r ea 】s od l s c u 8 s e d b ym e a i l so rm a r t i n g l ea p p r o a c h ( r i s k n e u t r a lv a l u a t i o n ) t og e tt h ep r i c l “go ft h e ( p 1 j i ( ) “ u n d e rm a r t i n g l em e a s u r e t l ep r i c m g 。ras e c u r i t y ( o rd e r l v a t l 、，es e c u r i l y ) c a nb ed e d u c e db y d i s c o u n tt 1 1 ee x p e c l i o no ff u t u r ec a s h 只o w i n go ft h e ( 】p t j o n a n d 七h ed i s c o u n ti su h d e rr i s k n e u t r a 【 0l j a v em a i nc o n c l u s i o n si i lt l n sd a p e ra sf o l l o w s ： l e u r o p e a nq u a r d r a t l co p t i o np r i c i n gf o r m u l ai so b t a i 工l e d ，a n do nt h i sb a s i cw ed e r i v e 协e i ) n c l n gf o r m u l a ( ) fp o w e ro p t i o n 2b ya p p l yo ft h ep r i c i n gf o m l 【l ao fp o w e rc a j 】。p t i o nw eg e tf o u rp r l c i n g 士o m m a so fp o w e r c o n c l m l ( ) 1 1 s l yb a r r i e ro p t i o n s ( ieu p a n d 一。u t ，u p a n ( 1 一i n ，d o w n a n d o u t ，d o w n a n d i n ) a n dt w oi ) r i ( 。一 i n gf o n l u l a si nd i s c r e t ec a s eo f “p a i l d o u tc a l la n dd o w n a n d 一叭l tp u l 3b yu s i n gt h ep r i c i n gf o m u l ao f 地ea b o v e ，w ea 】s 。g e tl w op r i c i n gf o m u l a s o fp o w e rl o o k l ) a c k o p c j o n s ( 1 en 。a t h l gs t r l c k ，矗x e ds t r l c k ) 4g e ct w op l i c i n gf 。h l l a so fp o w e r1 0 0 k b a c ko p t i o n s ( ie 且o a 七i n gs c k ，矗x e ds t r i c k ) w i t h ( 1 l s c r e t ea n dp a r t j a 】l ( ) n i t o r i n go ft h eu n d e r l y i n gp r i c e k 8 yw o r d s ：p o w e ro p t i o n ，r 】s k n e u t r a lv a l l l a n 。n ，g i r s a n o v ：st h e o 。“j o o k ) a c ko p o n 8 b a r r i e ro p t i o n s 第二章记号及背景 2 1 基本假设 市场为有效的无摩擦市场。 资产价格服从对数正态分布。 市场的无风险利率是一个固定的常数r ，且借入与贷出的利率相等。 资产交易连续进行，不存在交易费用及交易税。 标的资产无红利支付。 2 。2资产价格运动过程 一、在风险概率测度p 下，资产价格的运动过程 设( n ，f ，p ) 是一概率空间，f 是由q 的所有子集构成的a 一代数，p 是 风险概率测度。 w 侈，o t 蔓? ) 是该概率空间上的一维标准布朗运动，r 是 由伊产生的一列自然a 一代数。b s 模型所考虑的资产价格运动过程是一种 ，拍过程： d s c = 肛聂d t + 盯& d w f ，( o t t ) ，( 2 1 ) 其巾，鼠表示资产在t 时刻的价格，灿表示资产的期望瞬间报酬率，。表 示资产报酬率的瞬间标准差，两者均为常数；d w f 代表在概率测度p 下，布 朗运动在t 时刻的瞬间的增量。由( 21 ) 式，结合f 拍定理，有： d l n & = ( p 一；矿2 ) d t + 矿d i 妒， 曲：岛e ( p j 一) t + a 哗( 22 ) 其中，衅= 啡一w 字服从( o ，t ) ，目i j 正态分布w 节表示在t 时刻， p 测度下布朗运动的取值，弼f 为初始值。 二、在风险中性测度q 下，资产价格的运动过程 定理1 ( g i r s a n o v 定理) ( q ，f ，p ) 是一概率空间，f 是由n 的所有子集构 成的a 代数。如果( o t ) o 蜓t 是一个满足片 ；d s o ，c k ， io ，曲 k i j 定理2 二次式变异欧式买权的定价公式 c 现在( o 时刻) 的价值q 为： g 1 = s 2 8 t + 4 2 t ( d l + 口、亍j + 6 s ( d 1 ) + ( c 一冗) 8 7 t ( d l 一盯、行)( 31 ) 其中，d ，= 盟磐， s 表示资产在。时刻的价格。 证明：c 的现在( o 时刻) 收益c 。为： g l = e 一7 丁e o ( ( 。5 孚+ 6 是，+ c 一) ，j s r 耳) = 8 吖丁e q 陋岛i 品 州】+ e 一t f q i b 曲曲 r ) j + ( c 一) e 一r 印f o f 州j = f 1 4 1 2 + 1 3 ，l = n e r 7 萨噼。陆 州，又因为曲= 副( r 一 口2 ) 7 + ，6 吩 贝4 碍= s 2 e 2 扣一 ，2 ) + 2 4 岬i = s 2 e 2 r 丁e j 2 t + 2 口睇 ：，铲c r 7 岳q k 一2 7 2 6 。夸，f 岛、 卅1 ：n s 2 e r l l + 一2 t 1 e 。 e 一1 学y 一2 一昨- 乳， k 1 令( ：e 一塑乒升m 嵋 ：。i f 2 4 峨一j 片( 2 口) 2 ( ；h d 由g l r s a n o v 定理： 矗w 7 q = 矗似，r + 2 蒯 磐= r d 亡+ 口d q = r d + 盯( d 矿r + 2 盯d t ) = ( r + 2 盯2 ) d t + 盯d w 7 且 枷占：( r + 攀) 出+ 口d r 野：s e z p 一+ ! 霎) ? ，+ 口砰垆】 由g i r s a n o v 定理：f o 【0 ，“j = e 8 【如】 贝0 e 窜【s “】= 铲e 2 ”+ 。2 7 e 8 幽】 e 8 【4 岛 】 = 誓( 5 ) = 毕( f n 勋 l n ) = 只# ( f n s + p + 专三) t + 盯w 节 f 礼) ；华【一筹 吲】 ：6 s e 口陋一譬? + a ，哆4 s ， 妇：e 卜譬r + a n 岬j = e z p 【口一d 呼一 仃一2 删 由 r s a n o v 定理： d w o = dw r r + 口班 筝= r d + 仃矗w ，o = ( r + 口2 ) 矗t + 玎d w 7 8 d 机s = ( r + 譬) d + 口d 2 ， 此时，曲= s 删，【p + 譬矽+ a 矸肇】 由g i r s a n o v 定理：e q l ( t j e r 驴唾$ 1 = 学( 曲 ) = 学( f n 踟 x 所以，! = b 5 f d l ) b = ( c k ) e 一”t e o 陋岛 k 1 1 = ( c k ) e r 7 帮( 岛、 k ) = ( c 一) e 叫t f ( f n 岛 m k ) = ( c k 1 c 一7 r 帮( 汛s + ( r 一譬) t + 盯i 嘣 轨) ：( 。一k ) 。一帮【- 筹 k s t o 为常数) 。若在葫被看i 两i 。，；i 内，资产价格超过二z ，则期权失效；否则，其到期收益与标准霸菽干i 商： 。 ，。哩恁，我f f 观望定墨士出局平方期权，即在期权有效期 0 ，t 】内，资产 也冀璺蓑皇，? 型憋叁塾否则，其到期日t 的收益为期末爵资芦挤祷军务 与敲定价格之差，可表示为： 。”一“ 碑一片，岛，君 l 1 、 耻瓮l 此处，了代表有效期 o ，t j 内资产的最高价格，即可：。，s 在风险中性测度下，上出局平方期权在。时刻的价格为： 一 g 。e “1 e 。 ( 岛一k ) s ，n ，j o ) 。若在期权有效期f o ，t l 内，资产价格未曾突破过l z 则期权无效；否则，其到期收益与标准期权到期 收益相同。类似可定义上入局平方期权。上入局平方期权是指若在期权有效 期i o ，t 】内，资产价格未曾超过l 。，则期权无效；否则，到期收益为期末的 赘产价格平方与敲定价格之差。 欧式上入局平方期权到期时价值为： 睇一k ，曲k ，雪工2 o ，曲 ，s l 2 0 ，s 一 哼埽 一 狐 龇 晒 理 照 醇纂 k li 电乩 目揖僻印 船朗e 仃 订 一 一e e n | | | | | | 岛 此处，量代表有效期f 0 ，卅内资产的最低价格，即= m n 唧g 最。 在风险巾性测度下，下出局平方期权现在( o 时刻) 的价格为： g=e 7 丁e q 【( 睇一耳) j 【岛，兰，( ，曼 岛，则e 的指数取“+ ”号，若h 岛，则e 的指数取“。”号， 卢= 一 ( 1 2 ) 、厮o5 8 2 6 ，( 是黎曼z e t a 函数。 在风险中性测度下，上出局平方期权现在( o 时刻) 的价格为： g = e 一7 7 e o 【( 岛一) 山。；。 l 。小 定理7 上入局平方期权的定价公式 若 ， o ，护冗 二p q ( 目+ w 1 z ，m n z 。曼曼1 ( 眦+ w t g ) ) f 一( z 、g ；臼) = ，i ( 一z ，掣；一目) ， z 纠，掣 1 ) 一e 一丁p o ( 口o + w 1 9 ，御( e l ，e 2 ) 1 ) 此处，v 口r ，e 1 1 ) 将 = r 一一2 2 代入( 5 5 ) 得到 印( k m t 日l ，坼 g ，确( e l ，e 2 ) 1 ) 1 4 f 4 1 4 1 f 4 1 5 1 p “( 函一 k ，m t ， ，蜥 9 ：，e 2 ) 1 ) 将( 56 ) ，( 57 ) 代入( 54 ) 目j 得引理的证明。 没k 9 ，m “。拒茸( 臼f + ) 9 、? 7 t n 。l 日( 0 t + w ) 9 ，价n 。眶b ( 龇+ 眠) 。f 1 = e 一7 7 薜印l s ；玎z z 亿( ( 7 n 6 ) 2 、( 7 1 了) 2 ) ： = e e 印f 睇卜e ”e m m ( ( m 铲，( m ，) 2 ) = ，l 如 e q 【( m 6 ) 2 i m 6sm 珀+ e o f ( ，n ) 2 】竹z 于 t n 5 ( m 6 ) 2 f o 1 i m 5 m 习+ e qe ( z r ) 2 m m 5 ( m 6 ) 2 p ( m m 6 ) + e 曰 ( ，n 7 ) 2 f ? n m 剐 如1 + 如2 令 = ! n 簪，g = f n 警，则由引理4 2 i = ( m 6 ) 2 p ( 计9 ) ：( 二! 警) 一e ( 2 2 ) ，2 ( ! 擎) = ( m 6 ) 2 【( 幽一一) 一( 轰) 。蠹( 一d 4 + 等乒) j 由引理5 ，g )舞p ( 珊 9 ) 毒( 1 一_ 尸( 鼽三) ) = 南n ( 素等) + 静e 2 州一( 警劳) + e 2 刚一南n ( 努) 此处 弘= r 一譬， 苦扛) = 去e 一譬= n ( 。) 丘2 = f o 【( m f ) 2 ir n ( 鄙) z 扣霉竽西：学 ：攀 妒学血。：学 证明定理9：c的现在(t时刻)收益国为 = e e o 【m 。z ( ( 蹄) 2 一k io ) 】 ：e e o 【m 。( ( s 莒) 2 一n ，o ) f 岛筇1 + 8 7 7 e o m n ( ( 玎j 2 一，o ) f 擘 岛 f q m “z c c 岛，2 盯，吲斯曼引= f! & 尸一k ) p ( 咖们：鬟；：；萎 由引理1 p ( 蜥g ) = ( 篆等) 一e 2 “v 。2 ( 号孑笋) ：( 学) - e 。p 一譬m 嘶( 二避芳竭 = f 塑墨二i 掣) 一e 2 ( 严譬) 一2 f 啦茎旦) 、 o q f 、 d q l 。 = ( 一d 6 + 盯) 一( 蚤) 卜等v ( d 6 巨) ，、：je 1 7 ( ( 酯) 2 一) j ( 一d 6 + 一) 一( 嚣) 。嚣( d 6 一毪压) 】， ( 岛) 2 肖， 、 l o ， ( 岛) 2 e q 卜n 。r ( ( ，5 乒) 。一k ，u ) s 尹 岛j = e q 【m z ( _ 5 r 2 e 诒一k ，o ) i 坍 鲥 f岛参( s 2 e 2 9 一k ) h ( ) 曲， ( s r ) 2 ，( ) 2 茎k e o 【m 。( s 2 e 2 w r 一o ) m 引= “ 【点颡，s ( s 2 e 2 一) ( ) 匆( 彰1 ) 2 ( 器) 2 此处 ( v ) = 茜p ( ， g ) = 南( 1 一p ( 斯s g ) ) = 一若军n ( 3 ：芳) + 器e 2 “”7 一( 二：；斧) 一e 2 “v 7 萨若军n ( 二j 号笋) 当( 岛j 2 曼k 时，令曰= j f n 簧 蓐。萋( s 2 e 2 ”一) 由= 眉s 2 e 2 ” ( 目) 由一k 僭 ( g ) 由 如= 一停詈旁n ( 警芳) 由+ 詹塾譬窑e 2 “，矿( 号斧) 由 一停e 2 w 胪游n ( 掣! ) 由 因为一2 刚口2 n ( 芳) = e 2 肌2 去e 一乒= 去e 一饼= ，t ( 笨) 所以如，中第一积分与第三积分相等。 由上一节e 勋e 一善= e 印 i 击 一+ 2 口2 ) r ) 2 + ( 2 p + 2 口2 ) 丁1 则有 詹譬旁n ( 笨汹= s 。毋脚一r 僭赤e 止黪址匆 = s 2 e ( 2 ，h 2 矿) 7 ( d 7 ) n 叫生s n 一口可 no玎一 岛 0nm q e = s 时 如= 氛s ( 铲e 2 n ) ( ) 屯仿上计算有： 2 s 2 e ( 年+ 2 a 2 卜( d 9 ) + 艉【( 譬) ! i 乎( d l 。一! 学) + ( 一d 。) e 2 r t + a 2 r e 。：k 1 一j v ( 塑篁丢旁! ：旦) + ( 导) ( z 一矿) 一2 ( 二韭要! 另；二量垒) 固定履约价的平方回望买权t 在时刻的价值为： 岛 1 e 2 r r + 口。7 鼙 e 尹 曩& ，s ， l “ lj = i 一矗n ，一f l 。2 ，q ( 一。) ，e ；a a 为( 一。+ 1 ) ( 、r z + 1 ) 协方差矩阵，相关系数为 砖e = = ：蠢警糍警， ，t 飞 机= 一舞 e 。晒昌，m 舻，曲+ 。 l j 】= f 砰，露， ，扇，五- 毋4 妒为( 十1 ) “t1 ) 协方差矩阵，相关系数为 丹护鼍掣， 舭s ， ，r p ( + 1 拙2 一游 将( 64 ) ( 61 1 ) 代入( 63 ) 即得定理的证明。 若一一t ，此时回望期为m ，引，由定理1 0 有以下推论： 推论5 部分信息下具有浮动履约价的平方回望期权定价公式2 g 南= 岛( 1 一e 2 n 1 + 扩“t v 卜爿，9 曼9 是，夕& 。一】) ；+ 】卜k j ，一凡2 一e ”7 ( m ) 2 【斤，砰，斋；】 6 2固定履约价的平方回望期权定价 设期权初始时刻为而，到期时刻为t 。定义现在时刻为。时刻，o 时刻 前每一时点上的资产价格，即过去的资产价格( 信息) 已知。从现在( o 时刻) 算 起，将来每一时点屯0 = 1 ，2 ，) 上的资产价格未知( 注：时点间的间隔不一 定相等) 。回望期为将来某时刻至到期日，设为阢引。 在风险中性测度下，固定履约价平方回望期权现在( o 时刻) 的价格为： g = e 一7 e o 【m o 。( ( 缮) 2 一k ，o ) 】( 61 3 ) 此处，磁= m 一岛，“7 ) 表示时间，) 内资产最高价格。 定理儿部分信息下具有固定履约价的平方回望期权定价公式 _ e l l = 器e 2 嚏+ 拽；一7 7 ( r 站，一站) ，】 t = l 一 - 爵，一9 ，一鲸：一1 1 ；“j f m ，( 一。) ：a 】) 一e 7 7 ，一目；，一q 知：皿j )(614) 其中，q i ：蟹盖磐，日i ：g 卜2 ，以 证明 e l l= e 叫丁e q 一。“z ( ( ：) 2 一，o ) = e 一”r ( f 。【( 嵋j 2 】一e 。 ( 且锯) 2 m 王三倜! 一k ( 1 一e 。i i 珐。臂 ) ) 一e 7 7 ，( ( 1 一俨瓶 f 6 1 5 1 e 日 s ? b 。s ) 二( ? 。) 】= e 2 咄+ 一“爵【一g 五，一吐。一1 ) ，】 h ，九。( 。) ；叫 ( 61 6 ) 为( z 一1 ) ( 一1 ) 协方差矩阵，相关系数为 e 。 s ；。，订i l ( j ；) 1 = e 2 7 + 一“岛i - 爵，一蔚l ， ，一g ：( 。1 ) ，+ 4 】j v 【 z l ”为z i 协方差矩阵，相关系数为 店* = 等兰 码* 2 舞攀错错 e 。f l 旧耳 毋剐 岛 b毋 0 日 m t e = 第七章结束语 本文考虑的市场无风险利率和资产价格波动率均为常数的情形，且无红利 支付，这可以简化模型，彳旦_ 与实际还存在差异。因此，可以考虑随机利率模型 或常方差弹性( c e v ) 过程下的平方期权定价以及支付红利的平方期权定价。 本文假设资产价格过程服从埘公式，但是在实际中，资产价格经常会在 某些时点发生跳跃。因此，可以考虑资产价格服从跳一扩散过程的平方期权的 定价及一些平方奇异期权的定价。 文章中只给出了欧式平方期权的创新及定价，还可以考虑美式平方期权 的创新及定价。这些问题作者会继续进行研究。 参考文献 1 陈松死“金融工程学”，上海：复旦大学出版社，2 0 0 2 ，p 3 1 1 3 1 8 3 2 7 3 2 8 2 姜札迸，“期权定价的数学模型和方法”，北京高等教育出版社，2 0 0 3 ，p 2 9 5 3 0 3 剖埃里克市里斯，蒙齐尔贝菜拉赫，斩明马伊，费郎索瓦德瓦雷纳，史树中等译，“期收， 期货和特种衍生证券理论，应用和实践”，机械工业出版社，2 0 0 2 、p3 9 0 一3 9 1 ，4 0 6 4 0 8 4 l 洛伦兹格利茨著，唐旭等译，“金融工程学”，经济科学出版社，1 9 0 0 p 3 6 5 1 李小爱，徐保华，邹捷中，“二次式变异期权定价模型”，数学理论与应用，2 3 ( 1 ) 6 杨昭军，周朝晖，李致中，“部分信息下的欧式未定权益定价及套期保值策略”，k 沙铁道学院学 报，1 8 f 2 ) 7p t 。th j r f e l t “e x t e i l s l o l lo ft h ec o r r e c c e db a r r l e ia p i ) r o x i m a t i o nb yb r o a d i e ，g l a s s c r m a i la 1 1 dk o u ”， f 二n ar l c ea n ds t o ( i h a s t j c s ，2 0 0 3 p2 3 1 2 4 3 8 1s t e v e ns h r e v e ，“s t o c h a s t i cc a l c u h l sa n df i n a n c e ”， 1 9 9 7 p2 8 6 2 9 l 9 l e n l e nk w o k ，“m t h e m a t i c a lm 。d e l so ff i n a n c i a ld e r i t i v e s ”，b e r l h s i ) 川