（应用数学专业论文）积分方程的chebyshev小波解法.pdf

摘要 积分方程多出现在物理、工程等诸多应用性研究领域，且解析形式的解难以求出，同时对方 程解的要求也越来越高，特别是数值解的精度高精度数值解对于实际问题的解决有着重要影 响，由此产生了各种数值解法，因此研究其数值解具有重要意义小波在解积分方程中的应用是 积分方程数值解法研究的重大进展，小波具有良好的数值逼近性，且用小波函数作基底将积分 方程离散化所得到的方程组的系数矩阵是稀疏的，这是片j 小波解积分方程的最大优点 本文运用c h e b y s h e v 小波求解了积分方程和积分一微分方程，将其转化为线性或非线性代数方 程组利用小波的积分算子矩阵和乘积算子矩阵，推导了第二类f r e d h o l m 型非线性积分方程的 c h e b y s h e v 小波g a l e r k i n 方法、第二类v o l t e r r a 型非线性积分方程的c h e b y s h e v 小波配置法，二 阶和高阶v o l t e r r a 型积分一微分方程的c h e b y s h e v 小波配置法数值算例表明c h e b y s h e v 小波在 求解积分方程具有很好的逼近效果，有较高的精确度，为我们以后解决此类方程提供了有效的 方法 关键词：c h e b y s h e v 小波，g a l e r ki n 方法，配置法，积分一微分方程 a b s t r a c t i n t e g r a le q u a t i o n sa l eo f t e ns e e ni np h y s i c s ，e n g i n e e r i n ga n dm a n yo t h e rf i e l d so f a p p l i e dr e s e a r c h ， a n di ti sd i f f i c u l tt of i n dt h es o l u t i o no fa n a l y t i ct y p e m e a n w h i l et h e r ei sa l li n c r e a s e dd e m a n df o r e q u a t i o n , e s p e c i a l l yf o rt h ea c c u r a c yo fn u m e r i c a ls o l u t i o n s h i g h - p r e c i s i o nd e g r e eo fn u m e r i c a l s o l u t i o ni so fg r e a ti m p o r t a n c ef o rp r a c t i c a lp r o b l e m s ，a n dh e n c eav a r i e t yo fn u m e r i c a ls o l u t i o n sh a v e b e e nd e v e l o p e d ，s ot h er e s e a r c ho nt h en u m e r i c a ls o l u t i o ni so fg r e a ts i g n i f i c a n c e i ti sag r e a to u t b r e a k i nt h er e s e a r c ho fs o l v i n gi n t e g r a le q u a t i o nt oa p p l yt h ew a v e l e t st oi t w a v e l e th a sg o o dn u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n ，a n d t h ec o e f f i c i e n tm a t r i xo ft h ei n t e g r a le q u a t i o n sa 他s p a r s ew i t ht h ew a v e l e ta st h e b a s e m e n td i s c r e t i z i n gi n t e g r a le q u a t i o n s ，w h i c hi st h eg r e a t e s ta d v a n t a g eo ft h es o l v i n gi n t e g r a l e q u a t i o n s 谢吐1w a v e l e t s i nt h i sp a p e r , c h e b y s h e vw a v e l e ti sa d o p t e dt os o l v et h ei n t e g r a le q u a t i o n sa n di n t e g r a l - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw h i c ha r eb o t ht r a n s f o r m e di n t ol i n e a ro rn o n l i n e a ra l g e b r a i ce q u a t i o n s t h es e c o n dt y p eo f n o n l i n e a rf r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o no ft h ec h e b y s h e vw a v e l e t 、j l ，i t hg a l e r k i nm e t h o d t h es e c o n dt y p e v o l t e r r an o n l i n e a ri n t e g r a le q u a t i o no fc h e b y s h e vw a v e l e tw i n lc o l l o c a t i o nm e t h o d , as e c o n d - o r d e ra n d h i g h e r - o r d e rv o l t e r r at y p ei n t e g r a l - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc h e b y s h e vw a v e l e tw i t hc o l l o c a t i o nm e t h o d a l ed e r i v e db yu s i n gt h ei n t e g r a lo p e r a t o rm a t r i xa n dt h ep r o d u c to p e r a t o rm a t r i xo fw a v e l e t 砀e n u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h a tt h ec h e b y s h e vw a v e l e th a sg r e a ta p p r o x i m a t ee f f e c t a n dh i g ha c c u r a c y i ns o l v i n gi n t e g r a le q u a t i o n s ，w h i c hh a sp r o v i d e da ne f f i c i e n tm e t h o df o rh a n d l i n gs i m i l a re q u a t i o n s k e yw o r d s ：c h e b y s h e vw a v e l e t ，g a l e r k i nm e t h o d ，c o l l o c a t i o nm e t h o d , i n t e g r a l - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名： 尔徐时间：2 0 o 年厂月衫日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发 表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名： 零论 时阃一心年f 叫日 导师签名崭悫砀 时间： 。口内 年厂月z 7 日 宁夏人学硕 j 学位论文第一尊，f 寄 1 1 研究目的及意义 第一章引言 积分方程是在上世纪逐步发展起来和成熟起来的近代数学的重要分支，它与数学的其它很多 分支有着广泛和重要的联系，并在工程力学、物理等方面有着极其深刻的应用许多学科领域现 在开始大量地应用积分方程及其解的理论，例如潜在理论、机械力学、流体力学、扫描技术、地 震波理论、统计学、人口动力学等等而且事实证明，许多过去用微分方程求解的物理工程问题 常能更加有效地用积分方程来求解常微分方程与偏微分方程的定解问题也可以化为等价的积分 方程来求解 牛顿第二运动定律的出现，促进了微分方程理论的迅速发展，然而对积分方程理论发展的影响 也很大最早应用积分方程并求出它的解来的是a b e l ，他在1 8 2 3 年研究地球引力场中的一个质 点下落轨迹问题时提出的一个方程，引出了后来以他的名字命名的a b e l 方程“积分方程”一词 是pd u b 雷蒙德r1 8 8 8 年首先提出的1 9 世纪的最后两年，瑞典数学家i 弗雷德霍姆和意大利 数学家v 沃尔泰拉开创了研究线性积分方程理论的先河从此，积分方程理论逐渐发展成为数学 的一个分支 近三十年来，由于理论和实际的需要，关于积分的数值求积和积分方程的数值解法被发展起 来，因为我们知道，一方面在实际应用中，近似解和数值解显得比解析解有时要重要，另一方面，对 于较一般的积分方程，我们只能在极少的情形_ 卜才能求得解析解所以对积分方程的求解，在理论 和应片j 上都具有很重要的意义同时，关于积分方程的近似解的研究也必然会促进该学科与其它学 科如算子理论、函数逼近论，计算理论、f o u r i e r 分析等的交叉 小波分析是二十世纪七十年代出现的一门新的数学学科，是数学的重要分支，是继f o u r i e r 分 析之后的一个突破性进展，是目前应用数学中一个迅速发展的研究领域，它具有丰富的数学理论， 应用十分广泛，是j ：程应用中强有力的方法和工具，给许多相关领域带来了崭新的思想，并使其被 越来越多数学研究丁作者所关注由于小波兼有光滑性和局部紧支集的性质。与传统的有限元、 有限差分方法比较，能更好的处理积分方程和微分方程的数值求解问题用小波函数做基底将积分 方程离散化所得剑的方程组的系数矩阵是稀疏的，这是片 小波解积分方程的最大优点因此小波 数值方法在数值求解积分方程和微分方程方面得剑越来越广泛的应用 1 2 发展现状 积分方程的数值解法是我f l j 现阶段研究的主要方向之一，其中线性、非线性的f r e d h o l m 积分 方程和v o l t e r r a 积分方程是研究的热点展开法 t - 3 、配点法【4 - 7 1 、求积公式法f 8 l 、正交基函数 逼近法【9 q 3 】等被广泛应刚于求解积分方程 小波理论的完善主要是在二十世纪9 0 年代，由于正交小波基具有良好的性质，在函数逼近 方面符合泛函中最佳一致逼近，所以它在求解微分方程和积分方程中得到了广泛的应用小波 数值方法的特点在于对一般的方程，小波可以通过化积分方程为代数方程组来求解，同时由于小 波具有正则性、消失矩、紧支集等特点使得小波在化简方程时形成人量的稀疏矩阵，这也使得 1 弓。夏人学硕i + 学位论文第一带；j r 言 小波可以实现精确函数利算子代换，从而给数值计算带来极人的方便在这方面许多学者做了大 量的研究，j s g u ，w s j l a n s l l g 研究了h a r r 函数向量，并建立h a r r 小波算子矩阵1 4 ，u l e p i k 研究了微分方程的h a r r 小波数值法1 5 ，k m a l e k n e j a d ，f m i r z a e e 应用h a r r 小波求解了第二类 f r e d h o l m 型线性积分方程1 6 姜国应用h a r t 小波求解了第二类v o l t e r r a 型线性积分方程1 7 y o r d o k h a n i 、m r a z z a g h i 应用h a r r 小波求解非线性v o l t e r r a - f r e d h o l m 型方程i l s - 1 9 f ，都得到了较 好的效果m r a z z a g h i ，s y o u s e f i 建立l e g e n d r e 小波算子矩阵【2 0 1 。并且应用l e g e n d r e 小波求解 了非线性v o l t e r r a f r e d h o l m 型积分方程1 2 1 1 km a l e k n e j a d ，s s o h r a b i 给出了第一类f r e d h o l m 型 积分方程的l e g e n d r e 小波g a l e r k i n 方法并给出了误差估计【2 2 1 s y o u s e f i ，a b a n i f a t e m i 建立 c a s 小波算子矩阵，并研究了f r e d h o l m 型积分方程的c a s 小波方法2 3 h a r td a n f u ，s h a n gx u f e n g 给出了一阶f r e d h o l m 型线性积分微分方程的c a s 小波方法【2 4 】m r a z z a g h i 。s y o u s e f i 建立 s i n s c o s i n e 小波算子矩阵【2 5 j ，m t a v a s s o hk a j a n i ，m g h a s e m i ，e b a b o l i a n 研究了s i n s c o s i n e 小 波在求解一阶f r e d h o l m 型线性积分一微分方程时的应用【2 6 1 ，h a nj u n l i 应用h a r r 小波求解二阶 f r e d h o l m 型线性积分微分方程【2 7 1 e b a b o l i a n 和f f t a h z a d e h 建立c h e b y s h e v 小波算子矩阵，并 应用c h e b y s h e v 小波求解了线性微分方程 2 s 1 石智、邓志清、李科峰应用c h e b y s h e v 小波求解了 高阶f r e d h o l m 型线性积分微分方程【2 训，邓志清应用c h e b y s h e v 小波求解了f r e d h o l m 型线性积 分方程【3 0 】，l iy u a n l u 应用c h e b y s h e v 小波求解了分数微分方程【3 1 1 ，都得到了很好的逼近效果 学者研究的积分一微分方程的小波数值解法，仅仅限于f r e d h o l m 型线性积分微分方程，受文 献 2 9 】的引导，推导了第二类f r e d h o l m 型非线性积分方程的c h e b y s h e v 小波的g a l e r k i n 方法，第 二类v o l t e r r a 型非线性积分方程的c h e b y s h e v 小波配置法，二阶和高阶v o l t e r r a 型线性积分微分 方程的c h e b y s h e v 小波数值解法 1 3 本文主要工作及安排 全文共分五章，每章的主要内容如下： 第1 章简述积分方程小波数值解法的发展现状 第2 章简述小波基本理论 第3 章给出c h e b y s h e v 小波的表达式、积分算子矩阵和乘积算子矩阵。推导了第二类 f r e d h o l m 型非线性积分方程的c h e b y s h e v 小波g a l e r k i n 方法和第二类v o l t e r r a 型非线性积分方程 的c h e b y s h e v 小波配置法，数值算例也说明了c h e b y s h e v 小波在解决积分方程有很好的逼近效果 c h e b y s h e v 小波数值法在求解该方程的可行性和实用性 第4 章推导了二阶v o l t e r r a 型线性积分微分方程的c h e b y s h e v 小波配置法，并推广到高阶 v o l t e r r a 型线性积分微分方程的求解数值算例也说明了c h e b y s h e v 小波在解决此类积分微分 方程有很好的逼近效果 第5 章总结了c h e b y s h e v 小波在求解积分方程及积分微分方程的特点 2 宁夏人学硕i j 学位论文第一：章小波展奉艘论 2 1 小波分析简介 第二章小波基本理论 小波分析是2 0 世纪7 0 年代发展起来的一门新的应用数学分支，它是建立在泛函分析、调和 分析、数值分析、逼近论和傅立叶分析等基础上发展起来的新的时频分析方法，它同时具有理论 深刻和应用广泛的双重意义众多的科学家m e y e r , m a l l a t ，d a u b e c h i e s 等在小波分析这一领域取得 了令人瞩目的成就 1 9 7 4 年法国地球物理学家m o r l e t 首先提了小波变换的概念1 9 8 6 年法国数学家m e y e r 构造 出了具有一定衰减性的光滑小波，并且他与m a l l a t 合作结合通信理论中的镜像滤波器组的概念、 数字图像处理中的塔式分解概念和正交小波基的概念提出了多分辨分析方法，并给出了小波分解 和重构的快速算法( m a l l a t 算法) ，这也为小波发展奠定了理论基础和实践保障1 9 8 8 年比利时女 数学家i d a u b e c h i e s 构造出具有紧支集的正交标准小波基，为离散小波分析的发展提供了依据，她 所撰写的 小波十讲【3 2 】促进了小波理论的发展小波分析有着广泛的实际应用领域，它包括： 数学领域的许多学科；信号处理与图像处理；量子力学；理论物理；机械故障诊断等方面在数学方 面，它应用于数值分析、微分方程和积分方程的求解，构造快速数值算法，控制论等在信号分析 方面应用于滤波、去噪、压缩、传递等 在小波变换兴起之前，在信号分析中傅立时变换起着非常重要的作用传统的傅立叶分析在平 稳信号分析和处理方面具有重要作用，它将时间域内复杂信号的分析转换为频域内的简单频谱分 析，或分解为频域内简单形状的信号之和，从而使我们在频域中可以解决许多时域无法解决的问 题由于现实世界中许多信号都是非平稳的，对于非平稳信号的描述，必须使用具有局部性能的时 域和频域二维( z ，u ) 联合表示，这时，传统的傅立叶分析就显得无能为力傅立叶分析反映的是信 号的整体特征，从变换的表达式 ，+ o o ，( u ) = f ( x ) e 1 ”d x ， ，一o o 可以看出，它描述的是整个时间段内频率的特征，或者说它是一种全局的变换，但没有刻画出特定 时间段或频率段的特征因此，传统傅立叶变换在分析时间信号时，具有很人的局限性 由于傅立叶分析的许多局限性，人们开始研究解决这些问题于是，1 9 4 6 年g a b o r 在他的论文 中引进了窗口傅立叶变换来改进传统傅立叶变换在信号时频分析中的不足，进一步实现局部信号 的时频分析但是，窗口傅立叶变换也有很大的局限性，主要表现为：当基本窗函数一旦取定，窗 口的时窗宽度和频窗宽度就【司定，因而它不能根据高、低频信号的特点，自适应地调整时频窗口 小波分析是在傅立叶分析的基础上发展起来的一种新的时频分析方法小波分析在时频 分析中不仅继承傅立叶分析的良好性质，而且解决了傅立叶分析的许多不足之处小波分析提供 了一种自适应的时频局部化分析方法无论分析低频或高频局部信号，它都能自动调+ 侉时频窗， 以适应实际应用的需求小波分析在局部时频分析中具有很强的灵活性，能够聚焦到信号时段和 频段的任意细节，被誉为“数学显微镜” 现阶段小波分析已经被广泛的应用在各个领域，并且为这些领域的发展起了很人的推动作用 3 宁夏大学硕i j 学位论文第二帝小波挂本理论 但是它仍然存在许多不完善之处首先，一维小波理论比较完善，但高维小波理论的发展相对滞后 其次，虽然小波基的构造理论已经建立，但是实际构造小波基仍存在许多困难再次，如何选取最优 小波基仍然没有建立统一的规范最后，小波分析在数学方面已经取得了较好的成绩但是在数值 分析，构造快速数值算法，微分方程和积分方程的求解仍然有很大的发展空间和发展前景 2 2 小波变换 2 2 1 连续小波变换 定义2 1 【3 3 l 如果妒p ) l 2 ( r ) 满足以下容许性条件： 。= e 警咖 慨 则称妒是一个基小波或母小波对母小波妒伸缩n 平移b 可得一族函数： 虹舡) = i n i _ 1 妒( t x - b ) , a , b er ，n 0 对于每一个母小波妒，在l 2 ( r ) 上的连续小波变换( c w t ) 定义为 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 哪b ) _ ( ，) 计吾e 他) 妒( 掣) 妞 ( 2 3 ) 为保证( 2 2 1 ) 中的积分有限，必须要求移( o ) = 0 或等价于 妒( z ) 如= o 如果小波函数满足容许性条件( 2 2 1 ) ，则该小波存在逆变换，小波系数我们可以重构小波，其 重构公式为 m ) = 乙1 v ，一+ 。，一+ 0 0 【( 吼，) ( 。，6 ) ( z ) 窘d 6 小波变换的特点在于它可以根据实际情况的需要自适应地调节时窗和频窗，使我们可以得到 特定的时频分辨率 由丁二在信号处理中，移) 的负频率为0 ，所以妒) 的中心频率为 7 7 = u l 移( u ) 1 2 妣 频域窗半径为 = ( o 佃) 2 i 灿) 1 2 咖) “2 4 丫矍人字坝f 字位论又粥一尊小设艰本胖伦 那么，谚4 6 的频域窗半径为 ( z + ( u 一兰) 。i 移。扣( u ) i z 缸) v 2 ：詈， 因此，移础的频窗为 f ! 一旦，旦+ 垒1 【口口口。nj 那么，连续小波变换钆，b ( x ) 的时一频窗为 时频窗的面积是 b - a 吒，b + l 慨i 】 兰一詈，兰+ 割 2 0 堕：4 a x 儿 口 从上我们可得出尺度a 决定时窗和频窗的大小，而变量b 只影响时域内窗的位置当口较人时，频 窗中心自动调整剑较高的频率中心的位置，其时频窗形状自动地变为“瘦窄”状，这种“瘦窄” 时频窗正符合岛频信号的局部时频特性同样当a 较小时，频窗自动调整剑较低的位置，且时 频窗的形状变为“扁平”状，这种“扁平”状正符合低频信号的局部时频特性由此我们可以知 小波变换的时频窗是灵活的和自适应的 2 2 2 离散小波变换 在连续小波变换妒n ，6 ( z ) = i n i 一妒( 譬) 中a 为尺度参数，b 为平移参数，并且它们是连续变 化的，如果我们令a 取离散值 a j = 2 - 3 u z ) ， 也就是将( 2 2 2 ) 式二进离散化，这时( 2 2 2 ) 式可改写为 奶6 ( z ) = c j ( x 一6 ) = 2 j 2 _ l p 2 3 ( x 一6 ) 】 ( 2 4 ) 由连续小波变化的定义，可将( 2 2 3 ) 改写为 ，+ 。o ( 以，) ( o ，b ) = ，( z ) 仍，6 ( z ) 如= ( 厂，奶，6 ) = ( 彬，) ( 2 ，6 ) ， j 一 则称之为二进小波变换可见，二进小波变换可以看做连续小波变换的一种特殊情况较之连续小 波a 取连续值米说，犬人减少了计算量如果小波函数妒( z ) 满足“稳定性”条件 + a 1 4 ( 2 一七u ) 1 2 b ，( a ，b 为常数) ， 5 宁夏人学硕l 学位论文第二节小波堆本理论 则称它为二进小波，并且它存在逆变换，即 m ) ：- + - c o 厂佃 j = - o o - ，一o o 同时我们对二进小波变换中的平移量b 进行离散化，如果b 按下式取离散值 则( 2 2 4 ) 式可以改写为 特别是当b o = 1 时，有 = 参6 0 ，j , n z 奶，n ( z ) = 2 j 2 妒( 2 j x n b o ) ，歹，佗z 奶，n ( z ) = 2 j 2 砂( 乡z 一佗) ， j ，饥z 由此我们可以得到一族二进制伸缩平移函数族 如，n p ) ，由它可得剑小波变换系数 吗，n = w e f ( 2 一，n 2 1 ) = ( f ，如。) ，j ，佗z 称之为离散小波变换由此看见，一维信号f ( x ) 通过离散小波变换得到的是一个二维数组所以， 它的计算j r 作量较之二进小波变换又大大地减少了相应离散小波的逆变换为 2 3 多分辨分析 多分辨分析是构造小波的理论基础，它在小波的理论研究中起着十分重要的作用2 0 世纪8 0 年代m a l l a t 首先给出了构造小波基函数的一般方法，即多分辨分析多分辨分析又称为多尺度分 析，它从函数空间角度研究函数或信号的多尺度表示多分辨分析可以将信号分解为不同尺度空 间和小波空间部分同时，由多分辨分析可以得到构造小波的统一框架和信号的分解与重构算法 下面我们将给出多分辨分析的定义 定义2 2 【3 3 l 如果下列条件满足，则l 2 ( r ) 中的闭子空间序列 巧b z 称为一个多分辨分析： ( 1 ) 一致单凋性：1 i _ lcv ochc ； ( 2 ) 渐近完全性：u 巧= l 2 ( r ) ，n 巧= o ) ； j e z j e z ( 3 ) 二进伸缩性：l ( x ) 巧f ( 2 x ) + 1 ，j z ； ( 4 ) 平移不变性：y ( x ) 巧，则f ( z 一2 a k ) 巧，j ，南z ； ( 5 ) r i e s z 基存在性：存在函数 p ( z 一佗) ) n e z 构成的r i e s z 基，即存在0 a ，b + 。， 6 差一差一 | | z ， 宁夏人学硕l j 学位论文第一：章小波堆本理论 曼! 曼曼曼曼m ：m mmmmmmu i i 鼍曼曼曼曼曼曼曼! 曼曼 使得对v ，均能唯一地分解为 + o o ，( z ) = c n o ( x 一佗) ， n - - - - - 一 其中 4 - 0 0+ o o+ o o a 蚓2 - 1 1 c 0 ( z 一礼) 1 1 0 ； ( 2 ) i iz0 = 0 兮z = 0 ； ( 3 ) l f 妇l i _ f iz0 ，a 为常数； ( 4 ) l lz + yi i i i xl i + 0y0 ，z ，y x 则称x 是赋范线性空间，0zl i 称为z 的范数 l 2 a ，6 1 中的函数z ( ) 的范数为i iz0 2 = ( f ：l x ( t ) 1 2 如) 墨 定义3 2 【3 5 l 设x 是r 上的线性空间，如果对于任意的两个元素z ，y x ，都对应一个数 ( z ，y ) x ，使得 ( 1 ) ( z ，妙) = ( 耖，z ) ； ( 2 ) ( z + y z ) = ( z ，z ) + ( z ) ； ( 3 ) ( 口z ，y ) = 口( z ，秒) ，a r ； ( 4 ) ( z ，z ) 0 ，( z ，z ) = 0 z = 0 则称x 是内积空间，( z ，妙) 称为内积 l 2 为内积空间，而l 2 【0 ，6 1 上的函数z ( t ) ，秒( t ) 的内积定义为 r 6 ( z ，耖) = x ( t ) y ( t ) d t ，d 定义3 3 ( 3 6 l设p 是定义在区间【口，b l 上的函数，如果具有下列性质，则称p 为区间【a ，6 】上的 权函数 ( 1 ) 对任意的z 【a ，b 】，p o ； ( 2 ) 积分ei = 1 ”p ( z ) 如存在= 0 ，1 ，_ ) ； ( 3 ) 对非负的连续函数9 ( z ) ，若c p ( z ) 9 ( z ) 如= 0 ，则在f o ，6 】上9 ( z ) 三0 定义3 4 3 6 】 ，( z ) ，9 忙) c a ，6 】，p ( z ) 是【n ，6 】上的权函数，则称 ，6 ( ，g ) = p ( x ) f ( x ) g ( x ) d x ， - ，n 为f ( x ) 与g ( x ) 在陋，6 j 上以p ( x ) 为权的内积 定义3 5 设，( z ) ，g ( x ) c a ，6 】，若 r 6 ( ， g ) = p ( x ) f ( x ) g ( x ) d x = 0 ， - ，a 则称f ( x ) 与g ( x ) 在【a ，6 】上带权p ( x ) 正交 9 定义3 6 【3 6 】若函数系 矽。( z ) ) 满足关系： ，= z 6 加m 姒驰= 僻0 一 则称 妒。( z ) ) 是【0 ，6 】上带权p ( z ) 的正交函数系，若a n 三1 ，则称之为标准正交函数系 3 2 方法介绍【3 7 】 我们考虑具有任意核的第二类f r e d h o l m 积分方程 妒( z ) = a 七( z ，s ) 妒( s ) 如+ ，( z ) ，n z b ( 3 1 ) 所谓的待定系数法就是设未知函数妒( z ) 有近似解 其中t t l ( z ) ，u 2 ( z ) ，札。( z ) 为已知的线性无关的函数 将( 3 2 2 ) 代入( 3 2 1 ) 得 n 竹 r b n 姚( z ) 一a 。七卜( z s ) u 七( s ) d s m ) = o ( 3 3 ) k = l克= 1 。o 只要能确定系数n k ，由( 3 2 2 ) 就可以得到原方程的数值解 配置法 在【a ，6 1 适当选取玩，a x l x 2 z 。6 ( z i 称为配置点) ，使( 3 2 3 ) 式左端等于零， 即 nn ，b 口k u k ( z t ) 一入a k k ( x t ，s ) u k ( s ) d s f ( x i ) = 0 ， ( 3 4 ) k = l七= l 。8 上式是以a k ( k = 1 ，2 ，n ) 为未知数的线性方程组，如果a k 存在，求出后代入( 3 2 2 ) ，即得到原 方程的近似解 g a l e r k i n 法 o a l e r k i n 法也称为矩量法，是待定系数逼近法的一种，设让l ( z ) ，牡2 ) ，让n ( z ) 是在 l 2a ，6 j 内完备的标准正交的函数系使得( 3 2 3 ) 两端与上述函数系中的前佗个函数 札詹( z ) ( 后= 1 ，2 ，佗) 在k ，6 j 上作内积，即 p ( 妒n ( z ) ，u 走( z ) ) = a ( 七( z ，s ) 妒n ( s ) d s ，t l 后( z ) ) + ( ，( z ) ，u 七( z ) ) ，口z b ( 3 5 ) 其中符号( ，) 表示内积，即( ，( z ) ，9 ( z ) ) = f bf ( x ) g ( x ) d x ，则得关于七的代数方程组，解出口七，即 得妒n ( z ) 1 0 23z k u 奄 口 。随 l i z n 妒 宁夏人学硕i ：学化论义 第三常第二类积分方稃的c h e b y s h e v 小波数值解法 曼曼! 曼! 曼曼曼曼! 曼曼曼曼曼! 曼曼曼皇曼曼曼曼o i m ：。 一ii mmi i。 i l l 曼曼曼曼曼曼曼曼曼皇! 曼曼曼曼曼皇曼曼! 曼曼 3 3c h e b y s h e v 小波及性质 2 8 1 3 3 1 c h e b y r s h e v 小波 当区间为 - 1 ，1 】，权函数u ( z ) = 丽b ，由 扩) 黯。正交化得到的正交多项式 瓦 ) 黯。就 称为c h e b y s h e v 多项式c h e b y s h e v 多项式满足如下关系： 蜀( z ) = 1 ，7 1 ( z ) = z ，+ l ( z ) = 2 x 死( z ) 一露一l ( z ) ，佗= 1 ，2 ， c h e b y s h e v 小波妒n ，。( z ) = 咖( ，n ，m ，z ) 有4 个自变量，其中佗= 1 ，2 ，2 七，k z + ，m 为 c h e b y s h e v 多项式的次数，定义在区间【0 ，1 ) 上的c h e b y s h e v 小波为 其中 虬以) ： 2 ( 2 k x - - 2 1 ) 稿如 南， ( 3 6 ) l0 ，其它， 眦，= 蔑淼地 这里m = 0 ，1 ，m 一1 ，n = 1 ，2 ，2 j , 一1 c h e b y s h e v 多项式对于权函数u ( z ) = 丽b 是正交的，通过对于权函数的伸缩和平移为 u 。x ) = w ( 2 奄z 一2 n + 1 ) ，就得到了正交c h e b y s h e v 小波的权函数扛) 3 3 2c h e b y s h e v 小波函数逼近 定义在区间 o ，1 ) 上的函数( x ) 能够用c h e b y s h e v 小波展开为 ，( z ) = c t l ，m 妒。，。( z ) ， 其中c n ，。= ( ，( z ) ，妒。，。( z ) ) 如果方程( 3 3 2 ) 被有限的序列截断，可以得 2 k lm - 1 ，( z ) c t l ，m 妒n ，m ( z ) = c r 里( z ) ， 这里c 和皿( z ) 是2 七一1 m 1 阶矩阵，其元素为 ( 3 7 ) c = 【c 1 ，o ，c l ，l ，c l , m l ，c 2 ，o ，c 2 ，m l ，c 2 k 。o ，c 2 k - l , m - - 1 】t ， ( 3 8 ) 宁夏人学顾l ：学f 讧论文第三节第一：类积分方稃的c h e b y s h e v 小波数值解法 皿( z ) = 【妒l ，o ( z ) ，妒l ，l ( z ) ，妒1 ，m 一1 ( z ) ，仍，o ( z ) ，仍，m l ( z ) ，妒2 k - t , 0 ( z ) ，b 2 k - l , m l ( z ) 1 t ( 3 9 ) 我们设七( z ，s ) 是关于两个独立变量z 【0 ，1 ) ，s 【0 ，1 ) 的函数，则 其中 七( z ，s ) 皿t ( z ) k 虫( s ) ， ( 3 1 0 ) 尬歹= 0 i 0 1 妒：；( z ) 七( z ，s ) ，咖，j ( s ) ( z ) 如d s 下面给出碍个c h e b y s h e v 小波函数乘积的积分为 其中j 为单位矩阵 j = z 1 帅) 叭z ) 如， 3 3 3c h e b y s h e v 小波积分算子矩阵 对c h e b y s h e v 函数向量丑( z ) 积分，得 z $ 虫( z ，) 如7 = p 皿( z ) ， 这里p 是( 2 k - 1 m ) x ( 2 k - 1 m ) 阶积分算子矩阵，即 p= 其中f 和l 为mxm 阶矩阵， ：2 - k 1 ) 厘 4 j 厘 3 lff f olf f d d dl l 历 0 一l 2 2 k 一1 m 2 k 一1 m 0 0 巧- = 1 西0 0 0 0 玎丽- 1 0 m m ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 。；。丽噼 氧 宁夏人学硕 ：学位论丈 第三章第二类积分方程的c h e b y s h e v 小波数值解法 f ：2 一k 2 o 近，! = ( 二1 2 ：二：一 2 、r + l 0 0 0 o 样) 0 0 近(盥坐一样)002mm 一2 ， 3 3 4c h e b y s h e v 小波乘积算子矩阵 两个c h e b y s h e v 小波函数向量的乘积矩阵d 为 霍( z ) 皿t ( z ) c = d 皿( z ) ， 其中c 可由( 3 3 3 ) 给出，0 是2 k - i m 2 七一1 m 阶矩阵，有 在这里 2 壹 q 2 砺 其中 c t 。0c t 1 c c i 0 + 去c 啪 c 铂击( c i ，1 w c i ，3 ) c i f 一1 墨c i 盯一2 c = d i a g ( 6 l ，石2 ，石2 k 1 ) ， c i 2 击( c + c 啪) 。 c 邶+ 击c “ c + 击c + l m m c t f 一2c t m 一1 击( c i ，m a + c i m 1 ) 击c t m 一2 击c t m 一4击c 肘一3 i 警，m 是偶数； 【垡，m 是奇数， im 一2 ，m 是偶数； im 一1 ，m 是奇数 由c “ c t 0 ( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) 3 4 第二类f r e d h o l m 型线性积分方程的c h e b y s h e v 小波数值解法 我们考虑第二类f r e d h o l m 型线性积分方程 训旷6 琊，s ) 小) d s = 价) ，。t 6 ， ( 3 1 5 ) ；咖加 宁夏夫学硕l j 学位论文 第i 章第一：类积分方程的c h e b y s h e v 小波数值解法 其中可( t ) ，k ( t ，8 ) 是已知函数，a 为非零常数，x ( t ) 为所求的函数，耖( t ) l 2 f 0 ，1 j ，七( z ，t ) l 2 【o ，1 】x l 2 【o ，1 】，本文用待定系数法中的g a l e r k i n 方法来求解第二类f r e d h o l m 型线性积分方程 3 4 1g a l e r k i n 离散化 第二类f r e d h o l m 型线性积分方程( 3 4 1 ) 式可以写成算子方程 ( 入一r ) x = y ， 定义x _ y 上的算子k 为 ( k z ) ) = f b k ( t ，s ) z ( 8 ) d s ，ns t 6 其中，x = y = l 2 【0 ，1 j ，k ( t ，s ) c ( 【0 ，l j 【0 ，1 1 ) 在g a l e r k i n 方法中，我们选取一系列有限维的子空间 = s p a n 西l ，也，d 。) ， ( 3 1 6 ) 且矗cx = l 2 ( 0 ，1 1 ，d i m ( x n ) = 如，其中 晚 是正交的c h e b y s h e v 小波基，设x n ( t ) 是方程 ( 3 4 2 ) 的近似解，z 。( t ) ，用c h e b y s h e v 小波基展开为 把上式代入方程( 3 4 1 ) ，得 h ( ) = a z 。( t ) 一f b k ( 厶s ) z 。( s ) d s y ( ) d n ，b = 勺 a 钙( 亡) 一k ( t ，s ) 幻( s ) 出卜一y ( t ) ， j = t ，n 其中r n ( t ) 是方程( 3 4 1 ) 的误差，写成算予形式即 r n = ( 入一k ) x n y 在g a l e r k i n 方法中，我们要求必须满足以下条件 化简得 ( h ，九) = 0 ，i = 1 ，d n ，佗1 1 4 ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 幻 勺 如触 = n z y j | u 咖 妨 k 一 ， 6入 勺 “础 宁夏人学硕 j 学位论丈第j i 章第二类积分方程的c h e b y s h e v 小波数值解法 可以记为 a c = p ，( 3 1 9 ) 其中 3 4 2 数值算例 例3 1 我们考虑方程 如= 概一z 6 b k s ) 似慨( s ) d 胁， 屈= j ! a b y ( ) 咖( t ) 疵 耖( z ) = 虿1 一z + 0 1 ( 3 t - 6 x 2 ) 删班 该方程有精确解y ( x ) = z 2 一z 表3 1 给出了c h e b y s h e v 小波数值解和精确解的对比同时也给出了误差的对比通过图3 1 给出了小波数值解和精确解的对比 表3 1 例3 1 的精确解0 数值解的对比 1 5 图3 一l k - - 3 ，m - - 3 时c h e b y s h e v 小波数值解的逼近效果 例3 2 我们考虑方程 可( z ) = 4 x 2 - - x + z 0