（概率论与数理统计专业论文）倒向随机微分方程和malliavin微分在金融中的应用.pdf

山东大学硕士学位论文 倒向随机微分方程和m a l l i a v i n 微分在金融中的应用 周科 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 b i s m u t 1 1 在1 9 7 3 年研究随机最优控制的最大值原理时首次弓l 入线性 的倒向随机微分方程自从p a r d o u x 和p e n g 2 】给出了一般倒向随机微分 方程的解的存在唯一性1 9 9 2 年，著名经济学家d u f f l e 和e p s t e i n 【9 】9 也独 立的地引入了一类特殊类型的倒向随机微分方程用以刻画金融中的递归效 用函数倒向随机微分方程成为随机数学中迅速发展的一个分支倒向随机 微分方程( 以下简称b s d e ) 描述了针对一定的未来目标( 也可以不确定性 的) ，来制定今天的决策，这与金融市场中期货期权的思想不谋而合1 9 9 7 年，e 1k a r o u i ，q u e n e z 和p e n g 4 1 发现了它的在衍生证券的定价的的重要应 用前景，提供了描述金融数学问题的重要框架m a l l i a v i n 导数被研究了很多 年，但自从分步积分公式发现以后，它被发现有着很多的应用，尤其引入瞩 目的是在金融中的应用例如在亚式期权的定价中，在金融实务中常用的参 数g r e e k s 的计算中，一般不易给出显示解，m a l l i a v i n 导数的方法给了很好 的办法处理 本文总共分四章第一章介绍b s d e 的形式从一些基本的市场假设出 发很自然的引入b s d e ，充分说明了b s d e 可以作为描述金融问题的强大工 具为了方便应用，我们采用了n e 1k a r o u i ，s p e n ga n dm c q u e n e z 在 【4 1 一文中的解的存在唯性的形式 第二章引入m a l l i a v i n 微分的定义，给出了一些很重要的或者后文中会 用到的一些性质特别对于分部积分公式，给出了适合我们应用的形式，它 在后面中计算g r e e k s 时候起着关键作用 第三章n e 1k a r o u i ，s p e n ga n dm c q u e n e z 在【4 】一文中给出了 b s d e 的解的m a l l i a v i n 微分满足一个新的b s d e ，并且指出k 的m a l l i a v i n 导数是五的一个修正因此我们可以用已有的有关价格过程( 也称财富过 程) 的结果，通过求它的m a l l i a v i n 导数来得到投资策略通过欧式看涨期 权作为例子，我们看到这条定理的强大作用在求解的过程中，为了更好的 山东大学硕士学位论文 处理| 、u j 题，我们使用了g i r s a n o v 变换，和推广形式的c l a r k o c o n c 公式，扩 散过程的马氏性，这样得到了波动率和扩散系数都是时间的函数的情况下的 投资策略的显示表达式然后我们用类似的方法来处理股票价格是扩散更加 一般的扩散过程的例子。 第四章，在金融实务中人们十分关心参数g r e e k s 。在处理欧式看涨期 权的情况下，我们首先用b s d e 来描述问题，然后参考了m i q u e lm o n t e r o 和a r t u r ok o h a t s u h i g a 2 7 1 的方法利用m a l l i a v i n 导数的对偶原理和分部 积分公式，得到股票模型中的波动率和扩散系数都是时间的函数的情况下的 d e l t a ，g a m m a 的显示表达方式。随后将类似的方法移植到了亚式期权。 关键词：b l a c k - s c h o l e s 公式，倒向随机微分方程，m a l l i a v i n 微分，分 都积分公式，c l a r k - o c o n e 公式 山东大学硕士学位论文 b a e k w a r ds l o c h e s t i cd i f f e r e n t i a l a p p l i e d e q u a li o na n dm a l l i a v i nd e r i v a t i v e i nf i n a n c e k ez h o u s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y j i n a n2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a a b s t r a c t l i n e a rb a c k w a r ds t c l c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw a sf i r s ti n t r o d u c e d b yb i s m u t 【1 】i n1 9 7 3w h e nh es t u d i e dt h em a x i m u mp r i n c i p l eo fs t o c h a s t i c o p t i m a lc o n t r 0 1 e v e rs i n c et h a tp a r d o ua n dp e n g 2 p r o v e dt h ee x i s t e n c e a n dt h eu n i q u e n e s so fg e n e r a lb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i n1 9 9 2 ，t w ow e l l - k n o w ne c o n o m i s t s ，d u f f l ea n de p s t e i na l s os u c c e e d e di n i n t r o d u c i n gas p e c i a lt y p eo fb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n st o c h a r a c t e r i z et h er e c u r s i v eu t i l i t yf u n c t i o ni nf i n a n c ea r e a b a c k w a r ds t o c h a s - t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( h e r e a f t e rr e f e r r e dt oa sb s d e ) n o wh a sb e c o m ea r a p i d l y - d e v e l o p i n gb r a n c ho fs t o c h a s t i ct h e o r y b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f o f e r e n t i a le q u a t i o np r o v i d e sw a y st om a k en o w a d a yd e c i s i o n sp e r t a i n i n gt o c e r t a i n ( o ru n c e r t a i n ) g o a l si nt h ef u t u r e ，w h i c hh a p p e nt oh a v et h es a m e v i e ww i t ht h e , i d e ao ff u t u r e 螭o p t i o n si nt h ef i n a n c i a lm a r k e t s i n1 9 9 7 ， e l k a r o u i ，q u e n e za n dp e n g 【4 】f o u n db s d e sa p p l i c a t i o n si nt h ep r i c i n go f d e r i v a t i v es e c u r i t i e s ，a n di tp r o v i d e daf r a m e w o r kt od e s c r i b ef i n a n c i a lm a t h - e m a t i c a lp r o b l e m s a l t h o u g hh a db e e ns t u d i e df o rm a n yy e a r s ，t h em a l l i a v i n d e r i v a t i v ew a sn o tf o u n dt oh a v em a n ya p p l i c a t i o n s ，u n t i lt h ed i s c o v e r yo f t h ef o r m u l ao fi n t e g r a t i o nb yp a r t s f o re x a m p l e ，i nt h ep r i c i n go fa s i a n o p t i o n s ，t h ee x p r e s s i o no fg r e e k sa r en o te a s i l yg o t ，b u tt h e s ep a r a m e t e r a r ef r e q u e n t l yu s e di nf i n a n c i a lp r a c t i c e s ；t h em a u i a v i nd e r i v a t i v ep r o v i d ea g o o da p p r o a c h ，h o w e v e r t l l i 8p a p e ri n c l u d e st h ef o l l o w i n gf o u rc h a p t e r s ： t h ef i r s tc h a p t e ri n t r o d u c et h ef o r mo fb s d e b s d ec a nb en a t u r a l l y i n t r o d u c e df r o ms o m eb a s i ca s s u m p t i o n so ft h ef i n a n c a lm a r k e t a n dt h i s i i i 山东大学硕士学位论文 f u l l yi l l , l _ s t r a t e dt h em i g h t i n e s so fb s d ea sap o w e r f u lt o o t of 1 ( ! s ( r i b of i n a n c i a li 8 s u e 8 t of a c i l i t a t et h ea p p l i c a t i o n w cu s e dt h ef o r mo fe x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so fs o l u t i o ng i v e nb yn e 1k a r o u i ，s p e n ga n dm c q u e n e zi n c i t ee p q1 9 9 7 c h a p t e ri ii n t r o d u c e st h ed e f i i f i t i o no ft h em a l l i a v i nd e r i v a t i v e ，a , sw c l la s an u m b e ro fi t sv e r yi m p o r t a n tp r o p e r t i e s a sf o rt h ef o r m u l ao fi n t e g r a t i o n b yp a r t s w eg i v eau s e f u lf o r ms i n c ei tp l a y sak e yr o l ei nt h ec a l c u l a t i o no f g r e e k sl a t e ri nt h ep a p e r c h a p t e ri i li l l u s t r a t e sap a p e rb yn e 1k a r o u i ，s p e n ga n dm cq u e n e z i nc i t e ( e p q1 9 9 7 ) w h i c hd e d u c t e dan e wb s d es a t i s f i e db yt h em a l l i a v i n d e r i v a t i v eo ft h es o l u t i o no fa no r i g i n a lb s d ea n dp o i n t e do u tt h a t t h e m a l l i a v i nd e r i v a t i v eo fki sa na m e n d m e n to f 磊s h e n c e ，w ec a r lu s et h e k n o w nr e s u l t so fp r i c i n gp r o c e s s ( a l s ok n o w na st h ew e a l t hp r o c e s s ) t og e tt h e i n v e s t m e n ts t r a t e g yb yc a l c u l a t i n gi t sm a l l i a v i nd e r i v a t i v e t a k i n ge u r o p e a n c a l lo p t i o na sa ne x a m p l e ，w ec a ns e et h a tt h i st h e o r e mi sv e r yp o w e r f u l i n t h ep r o c e s so ff i g u r i n gt h ep r o b l e mo u t ，i no r d e rt ob e t t e rt a c k l et h ep r o b l e m ， w eu s e dg i r s a n o vt r a n s f o r m ，a n dt h ee x p a n d e df o r mo fc l a r k - o c o n ef o r m u l a ， a 8w e l la st h ed i f f l t s i o np r o c e s so fm a r k o ve t c t h e nf i n a l l yw er e a c h t h e e x p r e s s i o n so fp o r t o f o l i ow h e nf l u c t u a t i o nr a t ea n dv o l a t i l i t ya r eb o t ht i m e d e p e n d e n t b l a c k - s c h o l e sf o r m u l ac a nb ec o n s i d e r e da sas p e c i a lc a s eo ft h i s e x p r e s s i o nw h e nt h ep a r a m e t e ri sac o n s t a n t t l l ef o u r t hc h a p t e rt a l k sa b o u tt h eo u rp r a c t i c a la p p l i c a t i o n i nt h e f i n a n c i a lp r a c t i c e ，p e o p l ea r ev e r yc o n c e r n e da b o u tt h eg r e e k sp a r a m e t e r s i nt h i sp a r t ，w ed e s c r i b et h ep r i n c i p l eo fd u a l i t ya n di n t e g r a t i o nf o r m u l a o fm a l l i a v i nd e r i v a t i v eb ym e a n so fb s d e ，a n df i n a l l yc o m et ot h ed e l t a ， v e g a ，g a m m ae x p r e s s i o n su n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tb o t hf l u c t u a t i o nr a t e a n dv o l a t i l i t ya r et i m ed e p e n d e n t as i m i l a ra p p r o a c hw i l lb et r a n s f e rt ot h e a s i a no p t i o n k e y w o r d s ：b l a c k - s e h o l c sf o r m u l a ，b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f c r c n t i a l e q u a t i o n ，m a u i a v i nd e r i v a t i v e ，f o r m u l ao fi n t e g r a t i o nb yp a r t s ，c l a r k - 0 c o n ef o r m u l a i v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：虱蛰 日期： 鲨旦2 。芏12 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：血导师签名 山东大学硕士学位论文 第一章用倒向随机微分方程描述金融问题 在1 9 7 3 年，b i s m u t 1 】研究随机最优控制的最大值原理时首次引入线 性倒向随机微分方程1 9 9 0 年，p a r d o u x 和p e n g 【2 】首先证明了系数满足 l i p s c h i t z 条件的非线性倒向随机微分方程解的存在唯一性自此b s d e 的 理论得到蓬勃的发展形如 ，t，t k = f + ，( s ，k ，磊) 幽一z s d b s ，t， 的方程被称为倒向随机微分方程( b s d e ) 它的解由一对适应过程( 玑，旎) 组 成 著名金融数学家e 1 k a r o u i 等发现，b s d e 在刻画衍生品定价时，有着 得天独厚的优势比如股票期权，标的资产股票的价格本身是个随机变量， 与它对应的期权在未来收益是股价的函数，也即是一个随机变量我们需要给 出期权的价格对应上面b s d e 的形式，期权的到期日期为t ，收益为， 财富过程为犰，则y o 既是期权价格在限制在一定条件下的时候，我们可有 b s d e 解的唯性得到价格的唯性下面的一节我们从金融市场的基本假 设中推导出b s d e 在整篇论文中，我们记 l 2 ( 毗) 为所有取值于r d 空间的乃可测随机变量f 所组成的空间，范 数 三。：= e i 1 2 】 o 。， 壤( 珏匕) 为所有取值于珉一的连续循序可测过程妒所组成的空间，范数 l t 妒i l l ：= eis u pi 妒t 1 2i o 生成的盯一代数， 通常假定它是完备信息族，即包含了所有的几零集合并且是右连续的p 是由| 0 ，t ixq 上的循序可测过程生成的盯- 代数，t 0 表示有限时刻若 丁孵，则用表示其欧几里德范数 由上面假设开始我们的推导，设a 的数量是讯，& 的数量是 财富 过程可有以下方程得到 v ( t ) = r l t a + i t t s t 我们假设财富过程是自融资( 自融资定义见【4 】) ，即有 将a 和& 的表达式代入t d v ( t ) = 仇d a t + 7 r t d s t d v t = r h a t r t d t + i f t s t # t d t + k t s t a t d w t = ( v t 一7 r t & ) r t d t + 亿s t # t d t + i t t s t a t d w t ( 1 ) ( 2 ) d v t ：= t i t a t n 疵+ 7 r t 鼠肌出+ 7 r t & 吼d 眠 c 3 ， ( k ，丌t & 巩) 即线性b s d e 的解，由前面给出的假设，存在唯一的解我 们令z t = 7 r t s t a d ：= l i t r t 出+ 五仇疵+ 磊d c 4 ， 山东大学硕士学位论文 要解这个方程我们需要用其对偶方程来解 id e = - r t ：。d s r t o , d w , 【r = 1 其中o t = 世等予得到此线性方程的解是 r = e 印( z t ( 一n 一主疗d d t 一t 以d 职) 对于r 用i t 6 公式得到。 d k r t = f t d v t + v t d f t + d f t d v t = ( 一k r t 仉+ r t 五) d w ； 由上可知k r t 是鞅由鞅的表示定理得 v j t - e f 聊l 兀】= 兮k = e 【场珥i 兀】 ( 7 ) 财富过程k 可以通过上式得到解，但对于投资策略丌t 的解决需要下一 章m a l l i a v i n 导数的知识上面方程的解的存在唯性由下面的定理来保证 我们采用e 1 k a r o u i 等的在t b s d ei nf i n n n c e 文【4 】中b s d e 的存在唯 性的表达形式，证明可也参考原文 k = f + ，( s ，k ，刃) d s 一彳d w , ( 8 ) ，t，t 其中： 终端值为歹i 可测的随机变量，且znh 副 生成元，为f 矿v d 到的映射，且是p 圆b dq 伊d 可测的 方程的解( y ，z ) 是使得 r t ：t 【0 7 1 ) 是连续的适应过程，且 磊，1 f 0 ，卅 是可料过程满足后l 五1 2 d s 0 ，使得d pod t ，口 i ，( u t ，耖l ，z 1 ) - f ( w ，t ，y 2 ，勿) i c “秒l 一耽i + i z l 一钇1 ) ，v ( 秒1 ，驰) ，v ( z l ，z , 2 ) ( 9 ) 则称( ，f ) 为b s d e 的标准参数 3u 山东大学硕士学位论文 定理1 ( p a r d o u z p e n g ，1 9 9 0 2 ) 给定标准参数( 。，) 存在唯一的一对( k ，z t ) 何。2 ( r d ) o 凡：( r 。d ) 是方程( j 艿) 的解 对于上述定理的补充如果不是平方可积的条件，解的唯一性事不成立 的。我们采用e 1 k a r o u i 等的氍b s d ei nf i n a n c c ) ) 【4 中的例子给予说明由 d u d l e y 的结论，我们可以构造可料过程慨使得 t c f l t d w t = ，。 8 性质4 ( c l a r k o c o n e 公式) 设f d 1 2 是厅可测的则 f ( u ) = e 【乒1 + e d t ( f ) l 万t l ( w ) d w ( t ) ，t ，0 ( 1 0 ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) 山东大学硕士学位论文 性质5 倦式法则，设i 一一d t ，2 ，则 d t 即) = 墨。老，似) 性质6 附偶原理，协与d 4 有下面的对偶原理； e i 0 1 1 ( 。t f ) 扎t 班】= e 【f 。+ ( ) 】 ( 1 3 ) ( “) 注7 其中d 为s k o r h o d 积分，它是定义在f 厅上的一种积分，记作 石u ( t ，u ) 6 ( t ) 具体可见o k s e n d a l 6 , u ( t ，u ) 五为适应过程时，与，硒积 分相同 r t，- t d 8 ( & ) = 札( ，u ) 6 w ( ) = 缸( w ) d w ( t ) ( 1 5 ) 由性质6 ，在计算衍生品的g r e e k s 的时候有非常好的应用，从它我们可以得 到分部积分公式 性质8f 分部积分公式j f o rf u ( 铀) 6 眦) = ff lu ( 抽) 删一z t 乱化州现踟t ( 1 6 ) 以下是我们举出的几个例子来计算它们的m a l l i a v i n 微分： 例9d 。( 毗) = x t o ，t 】( s ) 例1 0d s f ( w t ) = 厂( 睨) x o ，纠( s ) 例1 1d 。( 口，( 眠) d 么= r ，( m ) d 眠+ ，( 职) ) 例1 2d 。( e z p ( ：；t 一1 2 a ；) d t + f oa = d w t ) ) = p ( 一1 2 ) d 件： c r 5 d ) c r t 拂，胡( s ) 在计算e 【，7 ( x ) y 】之类的问题的时候，我们常常难以直接处理，特别是 厂有时是不可导( 如欧式期权( 岛一k ) + 形式) ，而且x ，y 的联合分布也是 未知的考虑到上述对偶原理，我们可以找出办法，来去掉f 的导数 e l f 7 ( x ) y 】= e i ( x ) h 1 6 山东大学硕士学位论文 我们找到，使得上式成立，令z = f ( x ) 有链式法则性质5 仇z = f 。( x ) d s x f o ty d s z d s = o t ， y d s x d s = ，i y z o t d s x d s ，hf o t 。y d s 。z 石如 e f y 】_ e f z t 眈砜吼u a = 丽y 由对偶原理， ，t e l f y 】= e d 。z u 。d s j = e 【z d ( ) j = e f ( x ) d ( u 。) 】 这样可以得到： 也就是说： h = 。+ ( ) = 。焉元y 叉面) e ，( x ) y l = e l ，( x ) d 弋焉r 丢j 瓦) 】 ( 1 7 ) y 7 山东大学硕士学位论文 第三章倒向随机微分方程和m a l l i a v i n 微分在金融中的应用 给定未定权益) 了j ，当仅有债券a 。和股票筑的时候，在自融资 和无套利的条件下，第一章中有以下的方程 d y ，t ：= f k r ( z + 么巩c f + 磊( z 气 c 1 8 ， 其中勿= 丌& 吼，o t = 等予。 公式( 7 ) 得到= e 晦畴i 兀】，其中畴= e x p ( 一( r s + 鳄) d 一 伊以d w t ) 财富过程已解决，对于投资策略仉的解决依赖一下定理 定理1 3 设f d 1 ，2 ，且f ：qxf 0 ，卅x 毗xr 。x dh 哟关于( 可，z ) 是连续 可微的，且偏导连续，一致有界，设kz 是相对的b s d e 的解，记，( ，y ，z ) 的m a l l i a v i n 微分为d o f ( ，y ，z ) 假设： 厂( ，0 ，0 ) 咒叁( r d ) ，且c 4 ( r d ) 片e 【| d e 1 2 】硎 + ，j ：i fe i d o f ( t ，丫z ) 1 2 】棚 + o o v t 【0 ，t 】，v ( y 1 ，y 2 ，z 1 ：z 2 ) d o f ( w ，t ，y l ，z 1 ) 一d o f ( w ，y 2 ，z 2 ) i k o ( i v l 一耖2 l + 1 名1 一勿i )( 1 9 ) k o ( t ，) ，1 9 t t 是r + 值的适应过程满足片l ik o l l ：d o + o o 则v l i 竹( d ；k ，功磊) 的一个修正可下面的方程得到，d 刍k = 0 ，鹏z t = 0 ，0 t t 。 故立即有d 。畴= r d t ( f ( 一0 8 ) d p l 名) = 0 即 d t ( f r ) = fd t ( r ) + d t ( ) 碍= d t ( ) r 这样我们解释了( 2 0 ) 和( 2 1 ) 的等价性 对于公式磊= e d e ( ) 畴i 兀】有仇( f ) 和条件期望两个难点需要解决 以下我们讲分别举出几个例子来计算它们的财富过程和投资策略 例1 5 我们来考查到期e l 为t 的欧式期权，它在r 时间的收益取决于股票 的价格岛和敲定价格k + 在此仅考虑看涨期权f = ( s 一) + 如果到期 价格岛k ，则执行期权，收益为踯一j 如果到其价格踯 k ，则放弃 执行，收益为n 其模型为以下方程描述 j d k = v t r t d l + z t o t d t + z t d w t ( 2 2 ) iy r = ( 禺一k ) + 、7 由前面几章的分析 k = e 【( 昂一k ) + 畴i 五】( 2 3 ) 9 山东大学硕士学位论文 我们试图给出上式的显式表达式。先来回忆g i r s a n o v 变换的知识 谚( ，u ) = t0 ( s j u ) d s + ( ，u ) ，。7 1 其中o ( s ，u ) 是满足一定条件的五适应过程，则有新的概率q d o = z ( t w ) d p 其中z ( eu ) = e x p ( 一片；o ；d s 一p 。d w j 则面在q 下是w i n e r 过程。以 下定理参看【6 】 定理1 6 ( c l a r k o c o n e 公式的推广夕设f d 1 ，2 且五可测 e d l m e q 【舒慨卵刎 ( 3 0 e q 【i 州厶t 【j o t ，) t p ( s ，u ) d ( s ) + 口d t p ( su ) p ( s ，) r z s ) 2 d t 】 0 0 贝l j f ( u ) = e 口【f 】+ f o t e d t f - f t o t o ( s ，u ) d 谚( s ) i 兀】拆矿( ) ( 2 4 ) 有上述准备之后我们给出 fd k = v t r t d t + g t d w ( t ) 、 【场= ( 踯一) + 令仉= v t e 印片( 一r 8 ) 出用i t 5 公式立即得到： 应用g i r s n o v 变换 解出 k = 【e 印z 。( 一n ) d s f i 列 d & = 地s t d t + ( t t & d 眠 & ( ，i tm e d d t + o t & d w ( t ) = n & d t + 吼& d w ( ) & = & e z p ( z ( n i 1 盯；) 以+ z 仃。d 形( 5 ) ) 1 0 ( 2 5 ) 山东大学硕士学位论文 上述过程是个i t 5 扩散过程，它有马氏性 k = e q e z p ( - r , ) d s ( 踯一k ) + l 列 = e 为 e 印( - r , ) d s ( 岛一t k ) + 】| 炉s t = e ( e z p 丁( 一亿) 幽仁玷e z p ( z t 一。( 一互1 盯。2 ) 幽+ z r 一仃。d 巩名) 一刚+ t l 掣：瓯 到此为止我们给出了欧式看涨期权的财富过程v t 的显式表达式 d u , = e x p ( ( - r s ) d s ) z t d w ( t ) 由鞅的表示定理， u t - = - e q 【】+ j ( o te 印( j ( ( 一) d s ) z t d 形( ) 与定理1 6 作比较 厂t尸 = e q u r 】+ e q n , u r 一仇以d 形( s ) i 五】祈( ) j 0j t 由d t o 。= 0 ，s 和鞅的分解定理的唯一性，我们有 f , d t u t i t t 】- e x p ( ( 一) d s ) 磊 磊= e q d t i ( s r 一) + 】e x p ( - r , ) d s l z t 】 ( 2 6 ) 由链式法则 d t ( ( s t k ) + ) = 踯舷，。) o t 代入上式 ，t z t = e q e x p ( 一r s ) d s ，吼( 曲一k ) + i 五 = 略k 印( 一r _ ) 如t r t ( s _ t k ) + 】l 剪： = 酬例t ( - r , ) d s 训岛唧( z 弘一虿1 2 ) 如+ o 卜e r s ( z 眈) 一计】j 蝴 山东大学硕士学位论文 由于旎= 仉一仃f ， 印t ( 刊州酬岛唧( 门以一扣s + z t 以删卅+ l y - - 鼠 ( 2 7 ) 其中& = 岛唧( ( n 一 砖) 幽+ f o 。至此欧式看涨期权的投资策略 仉的显示表达式的问题解决 我们修改股票的价格模型，将其改成扩散过程 d & = ( s ) d r + 仃( & ) d 瞰 其中，z ( ) ，丁( ) 为常函数，即p ：rhr ，仃：r r 且满足l i p s c h i t z 条件 ( 此条件保证s d e 的存在唯一性) 依然设a 的数量是吼，的数量是吨财富过程可有以下方程得到 v ( t ) = u t a t + 7 r t & 我们假设财富过程是自融资，即有 将a 。和& 的表达式代入t d v ( t 1 = r h d a t + u t d s t d k = 吼a t r t d t + 丌t p ( & ) d r + l r t a ( & ) d 毗 = ( k 一7 r t , q t ) r t d t + l r t i l ( s t ) d t + l r t o ( s t ) d w t 我们令魂= i r t a ( s t ) o ( t ，筑) = t ( b 。t ( ) & - s ) t r t - d 婚v t ：= v t 哪怕吼s a m h 棚 要解这个方程我们需要用其对偶方程来解 嚣二搿“( t 脚名 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 3 0 ) ( 3 1 ) 山东大学硕士学位论文 得到此线性方程的解是 咒= e 印( 一o 。沁+ l 2 口( s ，最) 2 ) d s z p ( s ，s ) d i 忆) ( 3 2 ) 对于k 置用i t 5 公式得到； d k 恐= 砭d k + k d x t + d x t d v t = ( 一k x ( ? & ) + 义t z t ) ( z w t 由上可知k 咒是鞅由鞅的表示定理得 v t x t = e 【婚蜘i 五】弓k = e f 等i 五】 ( 3 3 ) t k = e 【西( 昂) e 印( 一( 2 + 1 2 口( s ，只) 2 ) d s f t0(j s ，& ) d 眠) i 兀】( 3 4 ) t 由于& 是扩散过程具有马氏性，条件期望可以去掉由前面结论五= d c ( ) 需要计算d r ( s , ) 由& 的表达式和m a l l i a v i n 导数的性质有以下 s d e 絮p 飞腴皿，m s 扣( s t ) ( d t s s ) 棚忆s 型。 ( 3 5 ) id t = 盯( & ) ，8 t 、。 这是一个一阶变分过程解它已有结论 协墨= 掣( 掣) - - l o t ( 趴圳 下面给出7 r t 的表达式，7 1 t = 磊肛( & ) 1 3 山东大学硕士学位论文 = e d 觯( 曲) e z p ( 2 ( r s + 1 2 8 ( s ，s ) 2 ) d s 一7o ( s ，s ) d 眠川五】 = 。f 西( 野) e z p ( 一( r s + ，s ) 2 一 ，s ) d 眠) 】l 五】 ，tt ，t = e 【西( 踯) e 叩( 一t ( ，冀) 2 一f , t o + 1 2 0 ( s) d s o ( s ) d 名) 【( 一7 o ( s tt ，& ) ( s ，s ) 。s= e 【西( 踯) e 叩( 一( ，冀) 2 一 ) d 名) 【( 一 ，& ) ( s ，s ) d 。s jj 一t 口( s ，i d t s 。i 亿) 】+ 西7 ( s t ) 。s r e z 7 ，( 一t s s ) d t s 。d ( r 。+ 1 2 0 ( s ，) 2 ) d s 一t 口( s ：岛) d 名) 】一( s ，i 亿) 】+ ( 曲) 眈曲烈一z( s ，) 2 ) 幽一z 口( 只岛) d ) r = 酬西( 昂_ e 州一r ( + 1 2 吣硇s r o b & ) d 巩) 【( 一t0 ( s ，地( s ) 纂( s 叫( 筹广咖胁 一1 姒蛹) ! o 墉x ( 川) ( 瓦o s ) _ 1 删吲 + 垂, o s ( 丁一以鬻( 0 ) ) - 1 口( ) e 印( 一t 化+ 1 2 秒( s ，& ) 2 ) 出一t 伊( s ，母) d 瞰) ； 其中赛( t 一) 表示& 对初值z 求偏导再将换成t 一 1 4 山东大学硕士学位论文 第四章分部积分方法计算期权的g r e e k s g r e e k 是期权价格对于参数的导数，也就是价格对于参数的敏感程度 的度量假设x 为决定参数n 的随机变量期权价格是下面形式尸( n ) = e 【西( x ( 口) ，a ) 】其中西一般不是光滑的本章中主要方法参考了m i q u e lm o n - t e r o 和a r t u r ok o h a t s u - h i g a 2 7 ，b e r t h a m o u e 的【2 6 】中的方法 为了简单起见，我们假设微分与期望能交换位置，即l e i b n i t z 规则 掣= 型警刨叫毗脚加) 掣+ 掣】aq d 口d q 。 西如果是规则的( 可微) ，则可用直接法来处理，但一般情况西不是可微的 如( 踯一k ) + ，下面我们将利用分部积分公式来处理 从最简单的欧式期权，到期收益函数西( 曲) 取决于到期时间丁时的股 票价格岛 似2 箩2 之+ 五仇班十z t d m ( 3 7 ) iv r = 西( 曲) 、7 期权价格即是岛 ，t p ( q ) = v o = e f f t 西( 二汤) 】= e q e x p ( ( 一r 。) d ) 西( 5 b 】 在第三章中我们就有 d s t = 慨s t