（概率论与数理统计专业论文）负相协随机变量族的弱极限定理及其在统计推断中的应用.pdf

中文摘要 实际的需求表明我们需要处理大量的非独立的样本数据，因而对 非独立数据的研究有着十分重要的实际意义本文主要讨论这些非 独立随机变量中的负相协随机变量的一些弱极限性质首先我们研 究了负相协随机场的中心极限定理，大大地改进了已有的结果( 例如 r o u s s a s ，1 9 9 4 ) 接着我们着重讨论了基于负相协样本的经验分布和 过程的一些大样本性质我们首先考察了负相协的经验分布。个 g l i v e n k o c a n t e l l i 引理，并粗略地给出相应的收敛速度随后我们详 细的讨论了经验过程的弱收敛和加权弱收敛性质，这些结果对于今 后开展对负相依样本的一些统计量的大样本性质的研究有着十分重 要的意义 a b st r a c t w ea l w a y sa s s u m et h a tt h es a m p l ed a t ai s i n d e p e n d e n t ，b u ti ti s n o t a l w a y st h ec a s ei na p p l i c a t i o n b e c a u s eo fi t sw i d ee x i s t e n c ei nr e a ll i f e ， d e p e n d e n t d a t ah a v eb e e nr e c e i v e dm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n t h i st h e s i s m a i n l y f o c u s e so nac l a s so f s u c h d e p e n d e n tr a n d o m v a r i a b l e s ，n e g a t i v e l y a s s o c i a t e dr a n d o mv a r i a b l e s w ed i s c u s s s o m el i m i tt h e o r e m s f o r n e g a t i v e l y a s s o c i a t e dr a n d o mv a r i a b l e t o g e t h e r w i t h l a r g es a m p l e p r o p e r t i e s f o r c o r r e s p o n d i n g s t a t i s t i c w ef i r s te s t a b l i s hac l t o f n e g a t i v e l ya s s o c i a t e dr a n d o mf i e l d , w h i c hf u r t h e r st h er e s u l to fr o u s s a s ( 19 9 4 ) t h e nw er u ma t t e n t i o ni n t ot h ee m p i r i c a ld i s t r i b u t i o nf u n c t i o n a n dc o r r e s p o n d i n gp r o c e s s e sb a s e do nn e g a t i v e l ya s s o c i a t e d s a m p l e a n e g a t i v e l ya s s o c i a t e dv e r s i o no fg l i v e n k o c a n t e l l il e m m ai s p r o v i d e d ， t h es p e e do ft h ec o n v e r g e n c ei s a p p r o x i m a t e l yg i v e n a tl a s t ，w eg i v e s o m ee x t e n s i v er e s u l t s c o n c e r n i n g t h ew e a k c o n v e r g e n c e a n dt h e w e i g h t e dw e a kc o n v e r g e n c eo f t h ee m p i r i c a lp r o c e s s e s 致谢 这篇论文的顺利完成得到了许多老师的大力帮助和支持，在此， 我想对他们致以深深的谢意 首先要感谢我的研究生导师苏淳教授，如果没有他悉心的教导和 关怀，就不可能有这篇论文的诞生正是在苏老师的认真指导和严格 要求之下，我才得以顺利地完成我的研究生学业在此我想对苏老师 表示衷心的感谢， 在这两年的学习与科研实践中，胡太忠副教授始终给予了我大量 的支持和鼓励，正是因为有了他的热心帮助，我方能在较短的时间内 顺利地完成我的学业论文。借此机会对胡老师示以诚挚的谢意 在这段时间的学习期间，我有幸接受了缪柏其教授，赵林城教授， 韦来生教授，方兆本教授以及吴耀华副教授的直接教导，他们渊博的 学识和严谨的治学态度将令我一生受益无穷，在此我想借机向诸位 老师表达我深深的感激之情 在统计与金融学习的这段日子里，我得到了许多老师和同学的帮 助，他们是张曙光副教授，黄付春副教授，臧红老师，王德珍老师以 及谭智平等统计与金融系的研究生，在此一并致以我最衷心的谢意 第1 章 负相协随机变量的基本定义 在遣一章里，我们将简要地介鲴有关负相协随机变量地一些墓奉概念及本论文的基本 结构 众所周知，样本的独立性是我们在研究绝人多数概率统计问题是的一个基本假设，而迄 今= c ：j 止，人们所获得的大量的优秀的成果也正是基于这一假定而得到的 然而在大量的实际应用中我们却发现，这一假没有时候并不合理( 例：y i n g w e i ，1 9 9 4 ) 于是人们开始找寻一些较独立性更弱的条件以期能获得对现实数据更好的拟合负相协就 是这样的一种条件 定义1 1 一个有限的随机变量族 五_ lsi n 被称为是负相协的( n a ) ，如果对任意 两个 1 , 2 ，n 的不相交的子集一1 和a 2 有 c o v ( f i ( 工。，i a j ) ， ( ，_ ，a 2 ) ) 0 其中彳和五是任意两个使得上面协方差存在的单调上升函数一个含有无穷多个变量 的随机变量族被称为是负相协的，如果它的任何一个有限子集都是负相协的 负相协的概念最早是由a l a m & s a x e n a ( 1 9 8 1 ) 和j o a g d e v & p r o s e h a n ( 1 9 8 3 ) 提出的 正如j o a g d e v 和p r o s c h a r t ( 1 9 8 3 ) 所指出的，许多常见的多元分布都是负相协的，譬如( a ) 多项分布，【b ) 多项分布的卷积，( c ) 多元超几何分布，( d ) d i r i e h l e t 分布，( e ) 复合d i f i c h l e t 多 项分布，( d 负相关的多元止态分布，( g ) 置换分布，( h ) 无放网的抽样分布，以及( i ) 秩的联 合分布越来越多的研究表明，负相协随机变量在可靠性，渗透理论以及其它一些统计相关 领域中有着十分广泛的应用背景也正是由于其诸多的实际应用，使得它正受到越来越多的 关注这也可以从最近这方面人量的研究论文看出 最近的研究表明负相协的随机变量族有着和独立情况f 类似的极限性质在这篇论文 里面我们就将针对其中的一些关于负相协随机变量族的弱极限性质进行讨论 在第2 章中，我们将讨论关于负相协随机场的一个中心极限定理正如r o u s s a s ( 1 9 9 8 ) 所指出的，负相协的概念在有关空间统计学的一些领域有着非常多的应用前景，这些空间统 计学的问题来自于大气科学的研究，环境科学的研究，图像处理中的应用，雷达信号处理等 等一些十分重耍的应用课题，例如：r i p l e y ( 1 9 8 8 ) 和c r e s s i e ( 1 9 9 1 ) ，广泛的实际应崩背景使 得我们的讨论十分由意义 经验过程的研究是概率统计领域里一个重要的课题，在接下来的三章里面我们详细地 讨论了有关基于负相协样本的经验过程的一些弱极限性质 首先在第3 章中，我们建立了一个针对负相协样本的g l i v e n k o c a n t e l l i 引理，并对其 收敛速度给出了两个指数不等式这些结果不仅对随后两章起着基础作用，而且对于基于负 相协样本的核估计的强相合的研究提供了有力的工具( 例如韦来生，1 9 9 9 ) 第4 章和第5 章我们将对基于负相协样本的经验过程的弱收敛性做细致的讨论，这些 讨论源自于s h a o 和y u ( 1 9 9 6 ) 非独立样本经验过程的加权弱收敛性的研究利用他们所开 创的方法，我们将其结果全面地推广到负相协样本地情形之下 在这一章的晟后，我们将介绍一个与负相协有着重要联系的概念以方便我们后面的叙 述 定义1 2 一个有限的随机变量族 x ：1 s i n 被称为是正相协的( p a ) ，如果对任意 两个 1 , 2 ，h ) 的子集爿l 和爿2 有 生冒叠堂技垄盘堂亟生些边塞 c o v ( z ( x ，i a 1 ) ，正( x j ，a 2 ) ) 0 其中石和 是任意两个使得上面协方差存在的单调上升函数一个含有无穷多个变量 的随机变量族被称为是正相依的，如果它的任何一个有限子集都是正相依的 应该指出的是，正相协和负相协的概念虽然相似，却并不是简单的对偶，它们有着许多 完全不同的性质，( 例如c a i r o u s s a s ，1 9 9 8 ) ， 第2 章 负相协随机场的中心极p 良定理 考察一个实值的弱平穗的随机场，仅仅在2 阶矩存在的矩紊件之下，瑟们获得了其中 心，极，臣定理进一步，用同样的方法，我们还可以用夏弱的条件来取代弱平穗的条件 这一章的大致结构如下首先在第一节中我廿1 将回顾一下有关的 f 景 接。在第= 节中，我们将提出我们的主要结果，它们将在第日节中被证明，而第三节中，我们将会把 所有需要用到的其它人的早期成果做一个简单的回顾 生国型堂兹盔盘坐亟尘生些监塞 一些特殊的符号： # 似) ：集合a 中的元素的数目 曰，c ：代表一个常数，在不同的地方可能取不同的值 z “： i = ( i l ，i 2 ，i d ) ：i i ，f 2 ，为班负膨黪翔 i ： ( i 1 ，i 2 ，i a ) z “ 订： ( ，胛，玎) z “ 1 i l ： l i l l ： ”1 ： i j ： 0 ： 1 ： i ) j i 的第k 个坐标 m 】! a s x d l i i 兀t i 。卜 1 盘鲥 ( 聆，”f 2 ，n ) z “ ( i l _ ，l ，i 2 止，岛l ) z “ ( 0 0 ，o ) z “ ( 1 ，l ，1 ) z 4 对所有的1 k d ，i k 执 2 。1 介绍 对某个自然数吐z “表示r “上所有取非负整数坐标的网格并且对_ 丁任意的 n = ( ，”：，, d ) z “，令咒( f ) 表示一个实值的定义在某个特定概率空间上的过程 我们的讨论将具体针对它们所构成的随机场f 鼍( f ) ，n z “) 关丁这个随机场的一个基本 的假定就是，它们是负相协的，而且协方差满足某种渐进独立的条件 r o u s s a s ( 1 9 9 4 ) 曾经做过类似的工作在他的结果中，要求随机场的每一个随机变量都 具有一致的2 + 占阶矩在这里我们将改进他的结果在仅仅有一致的二阶矩的前提下获 得相同的中心极限定理事实上，对d = l 的情形，利用p e l i g r a d ( 1 9 9 7 ) 的方法，我们很容 易得到下面的结果 定理1 1 ： x ( ，) ：f ，z ) 是一个正相依或者负相协的随机场，具有零均值，而且满足 f 面的条件 ( 1 ) c d v ( 五( ，) ，x j ( o ) 一0 当u - - - ) o o 对k 1 和r = l 2 一致成立； 川女一j l l l ( 2 ) 霹( f ) ：，i z ) 是一个一致可积族； ( 3 ) 聊( ，) + c o v ( x ，( t ) ，置( f ) ) 啼a ( f 斗o 。) 彤岔蔚i z j ：j i 则对任意k ( r ) 0 0 ： 赢善琢f ) 与( o _ ) “枷) 其中k ( ，) z 对任意f 与r o u s s a s 的结果相比较，这个定理的改进有两个方面，首先是放松了对矩的要求，这 也是我们的主要目标，另一方面就是用一致的渐进独立代替了弱平稳在本章中我们可以 亟擅垃瞳也扬曲主坐毯醒重堡 同样对负相协的随机场做类似的改进，但为了叙述的方便，我们内仍假定所研究的随机场 具有弱平稳性 2 2 主要结果 令d l 为一自然数，如前所述，我什j 记： z “= i = ( i l ，i 2 ，) ：i l , i 2 ，i d 为班费案鼢 对r = 1 , 2 ，f 五( f ) ：i z 。 为负相协的随机场，其中，在实际应用总可以理解为 时间 定理2 1 ：对，= 1 , 2 ，令 五( r ) ：i z “) ( d 1 ) 为一中心化的负相协随机场，满 足r 面的条件 ( 2 1 ) 对f = 1 , 2 ， 五( f ) ：i z 4 弱平稳： c o v ( ( f ) ，互( f ) ) = f ( i j ) = f c j i ) 其中f ：z “ r 与f 无关，而且厂( o ) = 盯2 ； ( 2 2 ) ( 霹( f ) ：f ，i z 4 为致可积族； ( 2 3 ) 0 魈。苁i ) ； 记 黠( ，) = ( f ) 则对任意使k ( f ) _ 0 0 ，( f - 1 , 2 ，d ) 的k ( f ) z “及r z 4 有： ( 2 。4 赢斋掣( “o “r ”。) 。( o ，锄 叫 2 3 一些相关的结果 在这一节里我们将简单回顾一下一些有关的结果 获得 引理3 1 ：令 置，1 i k ) 为负相协的随机变量族，则 kk k 1 e e x p i r _ x j 一n e e x p i r x , c ，2 i v a r ( 玛) v a r ( 再) l = 1j = l 产lj = l 注3 1 ：这是我们在研究负相协随机变量时的一个有力的工具，它有n e w m a n ( 1 9 8 4 ) 引理3 2 ：设 置，- ，n 为负相协的随机变量序列，对任意的，n 和p 2 ， 有 默= 0 ，e l x ? p 0 使得 e j 窆x , i ，c ( 窆e i x j l ，+ ( 窆晖) ) = lj = lj = l 注3 2 ：这个不等式由s u ，z h a o ，a n dw a n g ( 1 9 9 7 ) 获得 6 主重型堂技垄盘堂鳃生些诠塞 引理3 3 ：对止整数k ，设函数f ，f = 1 , 2 ，2 七在r 1 的任何有界子集上绝对连续 则对随机变量，；，k ，我们有 k ( ，( z ) ，f _ 1 , 2 ，2 ) 2 女 = j ( n ( x 。) 涔( 誓sx j ，i = l ，一2 妁玉，出：。 r 2 k i = i 当且仅当等号右面的积分存在，其中 k ( 。，i = 1 , 2 ，2 ) z ( 一1 ) 取4 e ( n 彭) e ( r i 彭) ， # ( ) ，e fj 酊 求和取遍所有的f 集7 l 2 ，2 k ， 注3 3 ：这个引理被作为h o e f f d i n g 的推广被y u ( 1 9 9 3 ) 获得 引理3 4 ：令 五，l i s 哪为一个两两独立的随d l 受量族满足乜k = 0 ，对栗个 0 口1有 脚他 。 对f - 1 , 2 ，n 令 厂r 胄使得 i l l 1 1 6 a s u p 日厂( x ) 一，( y ) i i x y l “：x r ，y r ) ， i e u ( s i s ) 一f f d m l - c l l f 忆2 “司p ， j = l 其中s n = ( e ) 凡，最= 毯，其中西代表标准正态的分布函数 j = ii = 1 注3 4 ：这个定理由b u t z e r 和h a n h ( 1 9 7 8 ) 获得 2 4 定理的证明 我们将分三步完成证明：特殊化，截尾，分块 第一步特殊化的目的主要在于将定理的结论限定在某个特定的正方形内讨论首先我 们需要将所有的求和限定在从原点开始的求和 由弱平稳性，我们容易得到 ( 4 1 ) “2 ) 引理4 1 ：在定理2 1 的假定之下，( 3 4 ) 等价于 而未矛黠( f ) ( 。，4 ) o 寸o 。) 对于任意满足k j m 七0 07 ( i 1 1 , 2 ，d ) 的k ( t ) z 。 其次我们将求和进一步限制在从原点出发的正方形内 引理4 2 ：在定理的条件之下，( 3 4 ) 等价于： 万 n - ( f ) 。( o ，彳) 斗吣)膨f n 。贼 为了证明这个引理我们需要下面的两个命题 命题a ：设整数组序列p ，= n ( r ) 及k ，满足0 有 i 兀z 。一r 9l l ，有 i r - r i ，有 r 一p 。 r + p ， f ：，。一护因此r ，一詈+ o ( e 2 ) n ， 1 - 专，经过简 单的运算就可以证明命题b f 面我们证明引理4 2 证明：只需证n f j ( 4 2 ) 蕴涵( 4 1 ) 即可由( 4 2 ) 及( 2 1 ) 有，对任意的占 0 ，存在 n o n 使得 ( 4 3 )l e e x p i r s i ( f ) ) 一e x p 一a 2 r 2 2 ) 1 s 加r a n yi z “a n df z 舯o 渔高趴。 记： 聃) ：脚p z ：p 地 ， p ( r ) = ( a ( f ) ，p 2 ( ，) ，p d ( f ) ) 由命题a 有： k “1一n p ( 1 ，) ( 4 4 )le e x p ( i rs o ( f ) ) 一e e x p ( i rs o ( f ) ) i k o )n p ( t ) k d ) = l e e x p ( s o ( f ) ) 1 一e x p i r 【s o ( ，) 一s o ( r ) 】) l r i p , 、r ，ik ( ) e t l e x p i r s o ( r ) 一s o 0 ) 】) l n p f t )。k f t ) n p f t ，) 。k ( r ) 、 兰2 1 ，l e l s o( f ) 一s o( f ) l 蔓2 i r i e ，2 【s oo ) 一s o ( f ) 】2 。0 f o re v e r y r 1 记： d ( f ) = s n ( ) ( f ) 则( 4 3 ) 意味着 s u p ie e x p i r d i ( t ) 一e x p 一a 2 - r 2 2 i s 8 主国抖堂燕盔盘堂亟土生些监奎 义 t i m 西x p i 格“幻) _ i - ；i 胁咖i 高万d i ( d ) c r z w a r ( 乳。”一f 高吲啪) ) 1 c r2 f 联女：e 述两式并由命题b 可证明引理4 2 第二步是截尾对任意的f 令： 置= 五( f ) ， = 一4 1 i 1 五。一幅) + ；峒) + l i l 4 巾幅) ， x = 五一e 五， z l = 五一= ( 五一五) 一e ( 墨一墨) 则：e = e z i = 0 显然 ：i z 。 ， 誓：i z 4 ) ， z i ：i z 4 ) 均为负相协族 引理4 3 ：在定理2 1 的条件f ，( 2 4 ) 等价于： 1 x n 一 ( 4 5 ) 跞( r ) o n ( o ，a ) 忉 z t n _ 酉 成立 其中；( f ) i ( f ) 让明：足而址明( 4 ，j 媪瑚【4 “ 显然 方e ( 擎) 2 砉以擎) 寺e 誉五枷2 七f o g i 锕) ) s 寺丕磷嗝鲫 则 由( 2 2 ) ，存在与无关的m 使得 磷，。) 0 ( 4 7 ) 又因为 ( 4 8 ) 及 ( 4 9 ) 有： ( 4 1 0 ) p 万1 荟弘邮j 。2l f de ( 丕z j ) 2j 。专。o ) 寺e ( 警卜万1e ( 罾墨一z i ) ) 2 = 古e ( 娶卜万ie ( 擎) 2 一砉联( 五) ( z 1 ) ) ，f o 鲥( n0 矗曲 吉e ( ( 五) ( z i ) ) ， o s i 0 ，存在自然数“= “。 0 ，使得对丁- 任意得n n 有 因为 砉。萎p”(j=，i躯l万1。i,ilijlni 蒹l j j l n 。p 。( ，壮占 1 k = 杉 ， u - ( k + 1 ) 最= 五 l i l = u k + l “：+ n q = 誓 ；“ + 1 a 女= i ：u - k l i l u ( + 1 ) ) ， 4 = i ：2 k j ，坍4 ) ( j o ) ， q “ q = q j ，厶。= 岫( + 1 ) 一 x x l 仉 ，、l 一一 ) x ( 占+ “ ” 一 r 工 k q ，、l = ) x ( 虫国整堂挂丕厶坐堑坚些垃塞 ( c ) 对某个0 口 1 ： i i f , ”r l 。c 占一2 一“，i i g , i i 。c 占一2 一“ 事实上，当= 1 ，w i t t m a n ( 1 9 8 5 ) 证明了这种函数的存在性，很容易看到对于任意的 0 1 ，我们可以定义 冈为 这意味着 其中 显然 正( x ) ：石( “+ 罗理) ， 占 ( x ) = g l ( u + 趟) s 魄c 毒喜马，叫踮p c 嘉喜扯“) - o 辄嘉否吩) - 似 p ( 毒喜吩 “) 一m ( 训蔷2 张+ 蔷2 幢d 玳础) 爿甄嘻妻r j u ) 也娜 厶( ，的= l 壤( 主壹吩 “) 一j g a o l m k 百。 。 ( 0 = 1j z d m 一( ”) 】， 以( ) = “g , d o 一中( h ) 1 - ( i ) 了z 脚+ l 岳脚兰u + j s 锄( “) 2 磊 冈此我们只需证明 您( b 尼) 2 0 ，v ，2 1 , 2 亟扭迹匝扭扬鳆生：坠握腿童垄 由于证明过程的类似，我们只需说明上式在，= 1 时成立 由引理3 4 ， 张，c ) 。 一l i m ( - 。j ；了) “挈硝”= 。 由引理32 e i & 1 2 + 。c ( e l 耳f 2 ”+ ( e l 2 ) 1 + ) i 吐ti n + 我们只需分别说明 ( 4 1 2 ) f 4 1 3 ) 4 一z e i 誓i 2 ”。0 川s ” o ( 4 ) + k - | ( 撑( 埘t + 斗o ( 七- ) j = 0 ( 4 1 3 ) 成立，因为群( l ，) = d ( 喇) ，我们只需证明( 4 1 2 ) 由c r 不等式 e i 誓1 2 + 。c ：+ 。( e i 工1 2 + 8 + ( 目五1 ) 2 + 。) s c e l x ：n 。 由k r o n e c k e r 引理，我们只需证明 b a 妻p - 刚+ 而( 司置p ) 1 ) 及( 2 2 ) b - c - 以i + 为 p = l 另一方面，由s c h w a r z 不等式 2 o + 而( 篙警) c 驴p = l m l - 。 严1| l 【= p ， 因此b o o 这就完成了定理的证明 1 5 石 h p 物 一p 。同 十 ，1 “ x e 惭 ，一 划 舀硝。邶 = b 叁 p 。州 c 一)x e 忡 ( 第3 章 一个g 1 i v e n k o - c a n t e l l i 引理及其收 敛速度 我们建立了一个关于负相协随机变量g l i v e n k o c a n t e l l i 引理，此外，利用两个瀑亮 的不等式，我们给出遗个3 i 理的收敛速度的上下界如同独立情形一样，它们有誓指教速 度 在下面的叙述中我们首先在第一节中培出了主要的结果。第= 幸简要回顾了一些已 有的结果之后鼗口1 在最后一节中给出了主要结果的证明 主国赶堂拄盔盍堂亟= 生些逢塞 3 1 主要结果 波 x ，l o ) 有相同的分布函数f ( x ) ，x 足1 则对于任意的疗2 1 ，x ，k 的经验分布定义为 驰) = ：喜心驯一副强中删烁陛敞 定理1 1 设负相协序列 咒，n 1 有共同的分布函数r x ) ，z r 如果f ( x ) 连 续，则 s u pl e ( x ) 一f ( x ) j 哼0a s 0 斗) 注1 1 这个定理的证明可以完全套用c h u n g ( 1 9 7 4 ) 对于独立情形的证明，此处不再给 予证明 接着我们将给出这个定理有芙的收敛速度的上r 界 定理1 2 设负相协序列瓦，n 1 ) 有共同的分布函数f ( 工) ，工r 1 如果f ( x ) 连 续则对任意0 砖s 击唧 一掣 注1 2 ：( 1 2 ) 所给出的界要优于( 1 1 ) 这是冈为 ( 亟! 圣纽：上+ 堑：红1 i2 4 n24 定理1 3 设负相协序列t ，l t 1 ) 有共同的分布函数h x ) ，x r 1 如果f ( x ) 连 续又 n l c o v i x , ，巧) 时0a s 聆哼 l s f ，n 则 絮童旷( 箩p 击n n i f ( x ) 一巧( x ) 】 田) 7 絮堂f ，( 1 一中( 等+ 1 ) ) 3 2 若干引理 引理2 1 ( s h a o ，1 9 9 7 ) 设 】二，1 fs 胆 为一个中心化的有有限二阶矩的负相协的随机 变量序列记五= r ，群= e e 2 则对于任意x 0 ，口 0 及0 口 n s )v l 耻g 其中0 a 1 为任意常数， 为了获取上界的最佳值，我们需要选取适当的a 和a 取口= h x ) ，则 s u p 尸( 声l 以工) 一只( x ) l a 占) 5 罗焉2 姒一i n 6 i 2 a 2 ( f ( x ) gi ；丙 1 一戗 + ! ( r x ) 一严( t ) ” 击唧c i 赢瓦n 了6 2 c g 丙二丙， 1 一岔 2 j 妒( f ( x ) 如+ 上( 只x ) 一f 2 ( x ) ” 少量初等的整理可以得定理12 ， 定理1 3 的证明：我们将应j 日j 引理2 2 来证明定理1 3 按定理1 2 的证明记k ，或 对所有使0 x “一i h z ) 一1i f 五 辟) l i m i n f ( 1 一巾( 等+ 1 ) ) 我们只需再验证当f ( x ) = 0 或1 时也成立即可事实上，在这种情况下，右端为o ，结果 时平凡的 第4 章 基于负相协样本的经验过程的 弱收敛性 借助于一个r o s e n t h a l 一型的不等式，我们获得了基于负相协样本的经验过程的弱收敛 性在证明的过程中，爱们还获得了四个非常有用的引理 这一幸的讨论分为五个部分首先在第一部分，我们培出了主姜的结果。第= 部分回 顾了一些已有的结果，接着我们为看面的证明给出了若干有用的引理并在随后一节中培 堂芏皇塑塑堡塑墨重= 塑茎z 茎塑堕堂王皇墨堕墨堕墨苎堡塑： 基王堑趋垃拄查曲丝墼照捏鲍强蝗筮 4 1主要结果 发找，n 0 ) 有共同的分布函数足x ) ，x r 1 对任意”2 l ，五，k 的经验分 布定义为 e ( x ) = ：( 五x ) ，x r 1 ，其中外】为示性函数则其 次经验过 _ l 程可以定义为 卢。( z ) = n y 2 ( e ( x ) 一只x ) ) ，x r 1 又定义其分位过程( ) ，0s y 1 为 q ( y ) = f 。( y ) = 彤缸：以x ) = 办，h q 抄) ) = y 0 ，1 】 在随后的讨论中我们将一致假定兀x ) ，x r 1 为连续的 设u = h 咒) ，”0 则有 o ，1 】均匀分布设( u ，q ) 的一致经验分布函 数e ( _ y ) ，y o ，1 为 毛o ) = e ( 9 ) ) = 去“u s y ) ，y “o ，1 j = l n 次一致经验过程缸。 ) ；o s y l 为 a 。( y ) ；o s y l = 胛- ( e ) 一_ y ) ；o y 1 ) ， 门= 1 , 2 ， 则 。( q ( y ) ) ；o y l 星 a 。0 0 ；0 兰y 1 ) ，肝= 1 , 2 ， 这说n 我f l j x g 。( ) 可以建立在对口( ) 的研究的基础之上 定理1 1 设 巩，h 1 为符合【o ，1 】均匀分布的强平稳的负相协随机变量若 ( 1 1 )c o y ( 姒，u ) = o ( n 一5 ) 对某个l ，( 3 + 4 3 3 ) 2 及s 0 则 ( 1 2 )a 。( ) 兰j b ( ) i nc l o ，1 ， 其中d 。的定义如前所述，b1 0 ，1 上的0 均值g a u s s 过程，其协方差定义为( 1 3 ) e b ( s ) b ( t ) = s 1 - - s i 一 c o v ( “u o s ) ，h ，) ) + k = l + c o y ( 1 ( u o ，) ，“乩j ) ) ) 矗端的级数对任意的0 s ，t s l 成立 4 2 若于引理 引理2 1 ( n e w m a n ，1 9 8 3 ) f 和彳定义于_ ：c ，a ，g 和蜀定义于x ，b 爿，b 不相交设z 一，_ + 工g 一目及g + 岛均单调上升定义 = c o y ( 厂( 墨，五，) ，g ( 五，五) ) 其中f 葺，n 2 1 为负相协的随机变量则f f 纠 f 如果厂和或g 为实 值的；否则i i 2 l | 引理2 2 ( n e w m a n ，1 9 8 4 ) ) 设( 墨，墨 为强平稳的负相协序列且 e x = 0 ；0 e x 2 0 t = 2 一 生国型生拭丕盔鲎亟尘生些监童 则： ，喜- - - 。n ( 叫， 4 3 若干其它结果 定理3 1 设4 ，b 为两个有限不相交的集合而，i ak 2 四为负相协随机变量族 若，曰“_ r 和g ：r ”_ r 均有有界的偏微分，则 ( 3 1 ) l c 。v ( 八( 五) ，。) ，烈( 巧) m ) | | | 引厨，町 j e d ，e 日 | | 纠卉川。i c d v ( 五，) l 令八s ) = 兀h ( s ，) ，烈s ) = 兀 ( _ ) ，我们有 “ j e a 推论3 1 设a ，b 为两个有限不相交的集合而，i a u 目为负相协随机变量族 如果 ：r r 有有界的偏微分，则 ( 32 ) i c o v ( 兀 ( 一) ，兀h ( x j ) ) l 蚓“2 旧屺l c d v ( ，再) i 定理3 2 殴2 p r o o ，i ，为一绝对连续函数且 s u p x 。月l ，( x ) i b ， 又设瓦，n 1 ) 为一负相协随机变量序列使得职五) = 0 令 “( n ) = 脚i c o v ( x ，置) l 0 则，对于任意的 0 ，存在常数k = k ( e ，b 回 o o 使得 ( 3 - 4 ) 矧，( ) r k ( 月“5m 。a x e f ( x , ) 1 9 + ( m m ，。a x l c o v ( 八) ，八与) ) 1 ) + h 7 ”一1 一9 + 8 ”一y 7 2 州1 + “鼍u iif ( x , ) 1 i ；( p 一2 ) 7 ( 一2 ( b 2 c ) y ( 2 ) 特别的，我们有 ( 35 ) 矧八) 1 9 h “c m 。a x e i f ( x 3 1 + ( 加m 。a x c o v 叭互) ，( 码) ) j ) l s n + 竹“。m 9 x | | i z ) | | ? 9 。2 y ”( b 2 c ) c p ，( 2 若0 ( ，一1 ) ( p 一2 ) l ( r p ) ， 基士亟担硷搓垄啦经鉴垃摧照鳗蝗垫 ( 3 6 ) e i z 。f ( 五) 1 9 斛 m 。o x e i f ( x , ) 1 9 + ( n 偿喜l c d v ( ，( ) ，f ( x j ) ) 1 ) + n m 积i i 厂( 五) 咿一2 ，( “) ，( b 2 c ) m y ( “) ，s n 若口r ( p 一2 ) ( 2 ( r p ) ) 4 4 第三节中结果的证明 定理3 1 的证明：设彳：r “ r 和蜀：r 4 8 一月定义为 1 7 0 ) = z i i 引a 忆乱， 岛( s ) = l l 副卉，。0 i e a 因为，i 一厂，：+ f 及g l 一吕璺+ g 均为单调上升函数，由引理2 1 易得定理3 1 为证明定理3 2 ，我们还需要下面两个引理 引理4 1 ：殴2 p r ，厂为一个绝对连续的函数且 s u p ：, 。r i f ( x ) l b ， 又设0 誓，1 i 碴为一负相协的随机变量序列使得1 j 八五) 1 1 ，= ( e l 八五”) ” 。，则对 于 1 , 2 ，m 的任意两个不相交的子集 彳和j ，有 ( 41 ) l c o v ( i 凡誓) l ，i f ( x j ) l ) i 0 为一常数取 g ( t ，i 加- l 八f ，n 矗( o ，j d = i z 厂( o ) 1 9 1 i ，( 。x ；4 l + 彳”一1 l ，( “p 易见 ( 4 2 ) i c o v ( i ，( ) j ，t z f ( 五) l 川) l t 6 2 j e ， 瓦，疗1 ) 为强平稳的负相协序列我们将通过对咒的归纳来证 明( 3 3 ) 假设对于任意的1 k ， ( 45 ) 捌正1 9 k ( 扩5 司八抑i ”+ ( ”掣乏i c o v ( 八) ，厂( 局) ) 妒 + 。+ 9 9 7 7 一2 叫1 + 5 m a xi f ( x , ) l l ：一2 y 2 ( b 2 c ) ( _ y ( “) 我们需要证明( 4 5 ) 对k = 仍然成立设0 1 2 它的值将在后面确定，令 蜥= a n + 1 定义 n 12 ，一l mn a 2 1 m 善，= 厂( 五) ， r ，=，( 五) 对于l l - k a 1 “( 2 珊) ， i = l + 2 ( ，i 】” j r = l + ( 、2 1 一