（应用数学专业论文）目标流形为heisenberg群的sobolev映射.pdf

a b s t r a c t i n 而s p 即 e r， we s t u d y the p r o p e ni e s o f th e s o b o 1 evm 即 5牙 ， ，a ( 。 ， 万 加 )w h e r e the 加 r g e t spa cei s h ei s e n b e rgg r o up h厉 ，粤 n + 1 三a二z and qc=r 印i s ab o u nde d s i n c etb e l o n g sto th esp ac el z ( 几 )( 典 n + 1 a二 2)w 】 如 ch i s 扩( 0 ) ( 0 p 1 ).wecompareand 朋a l y z e t h e s obol ev 不 ，产 ( 。 ， r ) ( 0 a 1 ) . s e co ndly3 we 四v e 比 ee q u i v a l e nc e b e t w e e n 由 e s o b o l e v m 即5牙 ，a 牌， h 加 )阴 d the 2 月 c o rre 印。 。 山。 ge n c r g )as - 一 ， 了 n + 1 5“2 ， whi c h i s the i m p r o v e m e nto f c apo gna and f anghu a l in ， ， work. k e y w o r d : hei s e n b erg gro即， s o b o l evm a p s ， m e tri c s p 姗， en e r g y f unctio n 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的 研究成果， 尽我所知， 在 本学位论文中， 除了 加以 标注和致谢的 部分外， 不包含其他人已 经发 表或公布过的研究成果， 也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的 材料。 与我一同工作的同 事对本学位论文做出的贡献均 己 在论文中作了明确的 说明。 研 究 生 签 名 : 寸 汤 斌扩 2 年 2 月 歹 日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电 子和纸质文档， 可以借阅 或上网公布本学 位论文的全部或部分内 容， 可以向 有关部门 或机构送 交并授权其保存、 借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内 容。 对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名: 坷年 7 月 舀 日 硕士论文目 标流形为h ei 义 n be r g 群的5 0 加lev 映射 1 引 言 泛函 分析的 发展推动了数学各学科的 深入发展， 经典的s obolev空间 理论就是在 此基 础上发展起来的. s obolev 空间 理论在研究 偏微分方 程及其变分问题中的 作用举 足轻重，它广泛应用于微分几何、调 和分析、代数拓扑、复分析、 概率论等学科中. 首先我 们回 顾一下经典的s ob olev映射理论 ( 参见文 献 4 5 【 6 8) ， 它研究 的是欧氏空间上的映射，即若u 。 砰 k 产 ( 。 ) 当 且仅当函数“ : 。斗r ， ，。c r ” ， 1 a 二 ， 有u 已 la( 。 ) 且 其 弱 导 数 存 在( 弱 导 数 的 阶 数 小 于 等于k)并 属 于la价) 空 间 . 在 此为了 简 单 起见， 我们仅考 虑u 已 妒产 ( 。 ) 情形， 此时s obol ev范 数为 卜 11* ， = llull ， + llv 啡， 其 中 l lle 表 示 la 范 数 众 所 周 知 ， s ob ol ev函 数 空 间 在 该 s obolev 范数下是完备的赋范线性空间. 我们知道 s oboley 函数可利用光滑函数按 sobol ev范数逼近、 有限区域上的s obolev函数在边界满足一定条件下可以 延拓到全 空间以 及s o b o l e v函数的迹理论、s o b o l ev 嵌入定理、s o b o l e v 不等式、s o b o l e v函 数空间的紧性等一系列性质. 可以 说经典意义下的s obolev函数理论已 经相当完善. 然而随着科学的深入发展以 及我们研究的空间的扩大， 科学家们开始涉足一般的 度量空间上的映射 ( 参见 1 4 1 1 5 1 1 8 1 2 0 2 1 2 3 ) ) . 此时我们可能就要问: 当目 标 流形为一般的度量空间时， 经典情形下得到的s obolev映射理论能否做平行推广呢? 很显然一般情形下答案是否定的. 问 题的关键在于一般的度量空间不存在微分结构甚 至有的度量空间不满足线性结构，这给我们的研究带来很大障碍. 上世纪九十年代k o r e v a r r 和s c h o e 3 6 n ， j o s t 2 6 2 7 2 8 1 等一批国外科学家 在此方面作了 大量工作. 他们的 工作将度量空间间的s oboley映射的发展，推向了一 定的高度. 该类问题主要分为:底流形为一般度量空间与目 标流形为一般度量空间两 种情形( 底流形与目 标流形都为一般度量时， 情形复杂我们不做讨论) . 1 996 年h ajl asz 23 首 先 把定 义 域限 定 在一 般的 度量空间 上而 值域为 欧氏 空间， 虽然定义域变得复杂了， 但是目 标流形仍为我们所熟悉的实值函数空间， 所以 研究起 来相对简单， 此时 若定义域为欧氏 空间 则为 经典 情形s obole ， 映 射. hajl asz 相对于 经典情形类似的给出了等价的s obolev映射的刻画: 若 函 数， : x 冲夏 = r 口 牡 的 ) ，。 。 砰 1， ( x ， 扔 ， x 为 一 般 度 量 空间 ， 对于 任 意的 x， 丫 。 x 当 且 仅 当 。 。 la ( 。 ) 且 存 在 w : x 分天 ， 。 w 。 厂 ( 卿使 得 硕士论文目 标流形为 群的s obol ev 映射 。 ( x ) 一 u (x ) 卜 d (x ， 丫 ) ( * ( x ) + 、 (x ) ( 1 1 ) 在 h a j l a s z 的 s o b o l e v 映 射 意 义 下 范 数 满 足 1u !， ， = u !份 + inf 叫 1， h a j l a s z 证 明 t sob 时e v 函 数空间 在此范数下是完备的 度量空间，同 时得到能 量极小化 泛函 ea (u ， 卿= in fw l wll 吞 。 ) 的 存 在 性其 中 w 是 取 自 la ( 。 ) 的 使 式 子 (l . 1 ) 成 立 的 最 小 w 证 明 了 p o i nc ar 。 型 不 等 式 喜目 。 一 。 ， 饰、 。 1 万 甚 尚 法 iwa 卜 是成立的. 这里b表示 半 径 为 ， 的 球 ， % 表 示 “ 在b 上 的 平 均 . 2 0 0 1 年haj l a s z 和k o s k e l e 的成果 “ s obo l e vmetp o i n c ar乙 ”系统地对该类问 题 进 行 了 总 结 . 他 们 讨 论 的so b o l e v 空 间 是 牙 l，a ( x ， 孙， 其 中x 可 以 为 度 量 空 间 ， 目 标流形仍为欧氏空间. 但是， 他们的方法和结果很难推广到目 标流形为非线性的度量 空间. 自2 0世纪9 0 年代以 来，以k o r e v a ar和s c h o e n 3 6 、 j o s t 2 6 、c 即o g n a 和 f anghualin巧 等为代表的 一批国际数学家， 把调和映射理论从r iemarmi an流形推 广到一般度量空间( 参见文献 2 6 2 7 2 8 2 9 3 6 3 8 )当前， 度量空间上调和映 射及相关理论的研究日益成为非线性分析领域非常重要和活跃的方向之一 由于目 标 流形的复杂情形， 类似的映射理论直到现在还没有系统的结果. 下面我们总结一下调 和映射理论， 从中我们可以 很自 然的得到s obolev映射理论的发展情况. 1 9 9 3 年k o r e v a r r 和s c h o e n 、 j o s t 在文 献仁 3 6 中建立t 从一 个欧氏 空间y1) 一个 度量空间的 s obolev 映 射， 此时目 标流形是非线性的且没有微分结构，为了 说明 sobol ev 映射的思想，我们还是从简单的情形入手:假设0是欧几里得空间r中的 一 个 有 界 开 子 集， x 是 一 个 黎 曼 流 形 ， 函 数 。 : 。 一x ， u 。 平 1， “ ( 几 x )当 且 仅 当u o la ( 。 ) ， 1 a 。 ， 且s ob ol ev能 量凡( u) 有限 . 此时 能 量 密 度函 数 为 、 (x ) 二 ( 溥 些 业 竺 竺 旦 ) 、 。 (。 ) 5 翻 这里厂 c 天 ” . 同 年k orev盯r 和s ch肥n 证明了目 标流形在满 足非正曲 率条件下， 能 量极小泛函 问 题的存在性、 正则性及能量极小 化泛函的l i p shi t z 连续性等问 题( 文 献 2 6【 3 7) 硕士论文目 标流形为he汤 如 6 er g 群的s o b o l ev映射 也有类似结 果. j ost 【 31 也于该年发表了 度量空间间的调和函 数理论， 他研究的 能量 极小 化问 题的结果比k orevarr 和s choen 的结 果更为 一般. 从中 我们能得到处理更一 般的度量空间的方法. 其后 ， 也有不少数学家研究度量空间 上的映 射， 可参见文献 3 8【 2 5等， 其中 证 明了 一 般度量空间 上的p oincar 不等式、极小曲 面的曲 率、 梯度流等问 题. r e s h e t n y a k 4 0 于1 9 9 7 年建立t自 己 的s o b o l e v 映射的 刻画理论， 他把目 标流 形限 定 为 一 般的 度 量 空间 ， 即 :u:。 兮y， u 已 平 协 价， 均当 且仅当 存 在w o la使 得 任意 的 y o y ， 其 中 尺 度 函 数 刀: 。 ”r 定 义 为 儿= d 沙 ， u( x) ) 满 足 石 。 平 ， (“ ，r )，vf，卜 ， ( x ) 对 于 几 乎 处 处 ， “ q 其 上 的 能 量 泛 函 为ea (u ， 卿一 叭 训 吞 。 ) ， re sh et ny ak证 明 了 能 量极小泛函的存在性等问题. 2003年谭康海 4 幻证明了上面所研究的关于度量空间上的s obolev能量的刻画 在指数大于等于1 时都相互等价. 2 0 0 1 年l u c a c 即 o g n a ， f a n g hu a l i n 1 5 总 结tc 一 c 度 量空 间 上 的 调 和函 数 理 论， 延用 k 叮evarr和 s choen的定义，建立了把目 标流形限定在 h eisenberg群上的 牙 1 声 ( 0 ， h ” ) 函 数理论， 此时 要求s obolev指数a 之 2 ，且满足群运算定 律 ( x ， 夕 ， t ) (x ， 夕 ， t ) = (x+ x ， 夕 + y ， t + t + 2 妙 ，x + 砂) ) 设夕 = ( x ， y ， t ) ， 叮 二 ( x ， y ， t ，) h n ， 度量为c ar n o t ar a t h e o d o r y 度 量， 满足 d ( 夕 ， 叮 ) = ( x 一 x ) ， + 以一 夕 ) ， ) ， + (t 一 t + 2 ( x ) 一 砂 ) ， ) 万 . 证明了妒产 ( 众h ) 函 数的一些性质， 得到了h eise nberg 群上so b olev映 射能量几乎 处处满足legendrian形式vt= 夕 叭一 工 外. 同 时证明了 能量极小 化泛函 ea (u)= i * la(r冲 的存在性以 及当定义域是二维时能量极小化泛函的l i p shitz 连续性等问 题. 关于目 标流形为h eisenberg 群的s obolev映射研究的难点以 及与欧氏 情形的区 别点在于h eisenbe r g群不具有线性结构. 因 此 对于线性空间中 现有理论一般已 不 适 用， 要研究h e i s e nberg 群上的so b olev映 射的 性质就必须寻求别的 途径. 此时要求底 流形或目 标流形满足一定条件， 如n pc， 胡enabl e ， reduc t i v i t y条 件等. 而且cap o g na 3 硕士论文目 标流形为h el se nberg 群的sobol ev映射 和f ang h u a l i n 1 5 二 指出 在h e i s e n b e r g群上每一点曲率 均为+ 。 . 因 此， 文献 3 6 方 法在此并不适用，c a p o g n a 和p a n g h u a l i n 的证明 借助th e i s e n b e r g 群 上的 jl何测 地线， 得 到s o b o l e v 能 量是 弱 切 触能 量， 即 满 足l e g e n d r i a n 形 式vt= 多 叭一 浑 外， 当 且仅当a= 2 时能量泛函满足d i r i chl e t 情形. 而能量极小化泛函的唯 一性和定义域为高维时能量极小泛函问 题的正则性仍然没有得到解决. 到目 前为止关 于度量空间 上的s obole v映 射理论 及相关问题， 如紧 性问 题、嵌入定理、 p o i ncar 不 等 式 、 逆p o i nc ar 不 等 式 等 ， 尚 没 有 通 用 的 方 法 和一 般的 理 论 . c ap og na和f an g h ua l in【 巧j 的文章也只是讨论了2 a 二的情形， 但是他们的研究是具有开创性的，也 是十分有意义的. 近几年来， h ajl asz 和k osk el a ， 也 对定义域为任意有界度量空间、 目 标流形为欧 氏空间的实值函数的s obolev映射理论作了系统的研究( 当定义域为欧氏 空间时就是 经典的s o b o l e v 映 射) . 他 们证明t该 条 件下p o l n c a r 不等式和m o r r e y 型定理， 然 而由 于 h eisenberg群的 非线性结构， 但是他们的结果不能直接推广到目 标流形为 h e i s e n b e r g 群的情形. 2 00 3 年贾高 幻总 结了 la ( 。 ， h 厉 ) 的 性 质， 研究了 当“ 之 2 时，解产 ( 。 ， h 而 ) 上函 数的准范性、 准弱紧性等问 题， 给出了h eisenberg 群上的p oincar 型不等式， 计算 了 弱 迷向 函 数的luckh aus 引理、 c a m p a nato型定理、 morrey型定理及嵌 入定理，得 到了 能 量极小 化泛函问 题的 欧拉方程， 调和函 数的 逼近问题 和月 月 吟 ( q ， h ” ) 函 数的一 些性质. c 即o g n a 、 f 即g h u a l i n 1 5 及贾高仁 幻都是 在2 a 1)空间 ( 这与 8j不 同 ) . 更 糟 糕 的 是 当 三 1 、 华 、 n+12 1 时，l z ( 。 ) 不可赋范， c a p o g n a 、 f a n g h u al i n 及贾高文章中用到的各种方法不能平行推广，我们必须寻找新的方法. 本论文把 5 o b ole v 指数提高到了 n+1 三 a三 2 ， 而s obolev指数能否提高到 1 “ 1 ) 理 论中 的主要结果. 第 三 部 分 : 给出 ts o b o l e v 映 射平 切 ( 。 ) ， 0 a 1 的 定 义 ， 总 结 并比 较ts o b o l e v 映 射平 1， “ ( 。 ) ， 0 a 1 之间的 区 别 . 第四 部 分: 从s o b o l e v 映 射平 口 ( 0 ， 万 月 ) 概念 入 手总 结t 当s o b o l e v 指 数2 。 ， va ， “ r ， 则 有( 艺 !a :l)r q 艺atl. 这 里 ， 当 。 p 1 时 ， cp= 1 : 当 p 之 1 时 ， cp= 砂 一 ， (2)h口 介 触 r 不 等 式: 若q o r是 开 集，p ， q 互为 共扼指数， 即 满 足 二 1 ， 1 p ， q co ， 设f ( x)。 尸( 卿， g( x) 刀( 0 ) 则f(x) g(x)在0上可积且 刀 了 (x )9 (x )卜 了 (x ) 11， 1: (x )11 ; 等 号 成 立 的 充 分 必 要 条 件 是 在 0 内 几 乎 处 处 成 立 “ fl 夕 零的常数. 该不等式可以推广为: = 川 扩. 这 里 “ ， 刀 是 两 个 不 为 批(x) 粼x) 睡 iil(x)ii ， 二 ilh (x)li、 其 中 : 厂 (x) 。 。 (卿 且 全 上 t 叮 药 硕士论文目标流形为 h e l s e n b ers 群的s obo l e v映射 由 于本 文研究的 空间指数 小于1 ， 经常 要用到 ho ider 不等式 的逆形式: 若 。 ， 1 ， ， ， 一 共 0 ， f (x ) 。 二 ( 。 ) 和 。 fl g ( x )1 * 二 ， p 一 16 则 、 )、()在 上 可 积 且 ，()()、 ，(习一 刀 9 ( x ) 1了 万 (3) 积分 形式的m i nkowski 不等式: 若f (x ， y)是rn x 尸上可 测函 数且当1 p co 时， “ !j (j f (x一 ).、 )一 )万 j (j f (x ， ， )lp 咖 ) 万 击 . 等 号成 立当 且仅当f (x ， y)= g( x) h( y). m in ko w s k i 不 等 式 的 逆 形 式 : 若 u ，v 。 二 (。 ) ， 0 ， 1 则 】u l+ 1， 11， 之 ilu l!; + 11， 11， (4 ) 。 、 ， 、 。 、 ; 、 。 则 二 门 lr 二 。 刻 fll ， 、 llfll : llfll 片 l l ( 5 ) 0 夕 。 r 00 且 1剑 co 则 尸 ( 。 ) c 尸 ( 。 ) 且 !f ， 】f l， !。 歹 万 ( 6 ) 设 。 p q ， f 厂 ( 。 ) 门 扩 ( 。 ) ， 则f c 尸 (几 ) . ( 7) 若 1 p co ， 则尸 ( q ) 是自 反 的b an ac h 空 间 ， 有 界 序 列 存 在 弱 收 敛的 子 列 ， 8 ， 设 x ( x ) 。 嵘 ( r )， x (x ) 之 0 ， s u p p 、 c 几 ( 0 ) ! x o r ” : lx l 占 ， 则 u ， ( x ) 。 c (r ” ) ; b . 若试 x)已 c(尸) ，则 对任意的紧 集k二 尸当占 斗。 时， 吟( x)在k上一致 收敛于 封 ( x ) ; 硕士论文 目标流形为群的s o b o l ev映射 c . 若u ( x ) 。 扩 ( r 月 ) ( 1 尸 ，) ， 则 当 占 兮0 时 ， u ， (x ) 按刀 ( r 月 ) 范 数 收 敛 于u (x ) 且 1、 】匕 1u ， 2 . 3 经典情形下的s obolev映 射的 一些结 论 5 o b ole v 映射的嵌入 定理是s obolev 映 射的精华， 应用十分广泛. 本 论文中 就有 多处用到嵌入定理. 嵌 入定 理: 设q cr是一有 界区域，1 。 。， 0满足一致内 锥条件， a . 当 “ = n 时 ， 有不 1立 (。 ) c 刀 ，1 q 神 ， 即 vu“ 牙 ， ， ) ， 有 】u !， n ， c ( n， ， ， 。 ) llu 1， ， (。 ， ， c (n ， 。 ， 。 ) 表 示 常 数 c 依 赖 于 n ，。 ，。 b . 当 a 。 时 且 边 界 适 当 光 滑 ， 有 平 ， 。 ( 。 ) 二 d(觅 )， 1 又 l 一 二 ， 即 v : 。 牙 a ( 卿， 有 u ll， 。 c ( n ，a ，卿 ilu 1二 !， 。 ， 1一左 - 1一 - 1-.“ 注 : 记“ = 进 巴， 即 n 一 c “ 称为a的sob olev 临界指数. p o i n c ar 不等式:设1 a 。，口cr是一有界区域， ( ， u 。 巩 ， (。 ) 则 刃 u l“ “c jl du l口 : ( 2 ) 若 边 界 满 足 局 部l i p s c h l t z 条 件 ， u c 不 ， a ( q ) ， 则 刀 “ 一 uja“。 贝 “ laas 生回 ( 其中c 是仅依赖于刀 ， a ， 0的常 数，un= 介 (x) 击， 回 表 示 。 的 测 度 ) 硕士论文目 标 流 形 为h e i s e 汕 雌群 的s o b o l e v 映 射 3so bol ev映 射刚 人 伪，。 p 1的 性质研究 本 论 文 涉 及s o b o l e v 映 射 分 量t 。 邵 ，了 ( 。 ) ， ，这与我们通常研究的 n +1 sobol ev 映射不同，即t 及其弱导数存在且属于护( 伪. 因此要比较 5 o b oley 映射 甲 ，.p ( 。 )( 0 夕 1 ) 与 牙 ，p ( 。 ) ( 1 夕 co ) 的 不 同 ， 首 先 要 从刀 ( 。 ) 空 间 说 起， 但 是尸 ( 卿 ( 0 p 1 ) 与扩 ( 几 ) ( 1 p 。) 有本 质 的 差 别， 此时扩 。 ) ( 0 p 1) 空间不可赋范 定义3 ， 1扩( n ) 依。 上 可 测 卫 flv 六 十。 ，。 ， 一 厂.1之，we 一一 若 我 们 在 二 (。( 。 ， 、 1 ) 空 间 中 ， 还 定 义 范 数 酬 fll ， 一 ( jl，l )万 ， 在 此 空 间 撇nk娜ski 不成立所以 该范数不满足三角不等式性质. 例 ，。 : 设 ， 二 合 ， e 一 :” ， ， f (:)= 1 ， 0 蕊 x 1 0.1 x 三 2 9 ( x ) = 0 ， 0 三 x 三 1 1 ， 1 ，山 、.夕 十 9 (x)三 击 然 而 另 一 方 面 ， 当 。 p 1 时 ， f ( x) ， 以 x) 是 e 上 可 测 函 数 ， fl 夕 ， 9 广 在e 上 可 积 ， 由 吼不 等 式 ， 可 知 贝 了 (x ) + 9 (x )1， “卫 了 (x )1， + 刃 、 (x )1， 因 此对于扩，。 ， 、 1 空 间 ， 我 们 用 ， ( f ，、 ) 一 ff(x) 一 9 (x) 恤定 义 f， : 间 距 离 ， 此时满足距离正定性和满足三角不等式. 但是 硕士论文目 标流形为价1 ， 泊 b erg 群的s o bolev 映射 ， (私。 ) = ji 灯 (x )1 = 1“ ， 刃 f (x )1， ， ! 月 ， (x )1， f( x)l p 么 ， 范 数 的 齐 次 性 质 又 不 能 满 足 ， 正 是 由 于 尸 刁， 即 此 时 若 定 义 范 数 为 fll ， ( 0 1) 的 理 论 我 们 不 能 全 盘 照 搬过 来， 下 面 我 们 仅 就 论 文中 用 到的技术加以讨论. 注: 设u 。 兔( 卿门 扩 ( 卿， 。 p = 了 lu(卜 衅。 切 咖 一 了 。 (， )咖 于 iu (x 一 ， )lp = j lu (x) i， 击 因 此由 u 。 扩( 卿0 p 1 我 们 不能 判断 e 尸( 。 ) ，其 中 工 + 工 一 1 . pq 定 义3 . 2设u 。 几( 。 ) n lp ( 。 ) ， 0 夕 1) 给出u 已 平 1叹 。 )( 0 p 1) 函 数定 义 . 硕士论文目 标流形为hcis enberg群的s obol ev映 射 定 义3 : 若函 数。 e 万 l，p ( 。 ) ，。 p l当 且 仅当 u 。 尸 ( 卿门 歇( 卿， 刀 u 。 扩 ( 。 ) 门 珠( 卿 经 典 的 情 形即 函 数 在砰 1.p ( 。 ) ， 1 p n 中 ， 我 们己 知函 数 满 足poi nc ar 亡 不 等 式 * : 一 ，; 。 二 ，了 ， 1 。 念 . ，、 卜 / 而 在。 p 1 条 件下即使函 数满足j o h n 条 件，u 是光滑的b u c k l e y ，k o s k e l a 也己 举 出 反 例. 但是 他 们在文 章s u b e l l p i t i c p 。 i n c a r e i n e q u a l i t i e s : t h e c a s ep 1 中 假 设函数的梯度满足逆holder 条件 【 3 5 ， 证明了p oincar6 型不等式 1一尸 、.阵.1/ ! ji 。 一 。;)万 c 卫 v o ip 其中0是joh n 域. 次年b u c k l e y ，k o s k e l a ，l u 在文献 3 6 中证明了函数次椭圆梯度 满足逆h口 lde; 条件，向量场满足h orm and er条件下， 下面的不等式成立 、!2 击 夕一2 启引引引b 上囚 其中。 p p . 1 9 9 5 年， h a j l a s z 和k o s k e l a 用新的 方法总结证明tb u c k l e y ，k o s k e l a ， l u 的 结论. 然而到目 前为 止 对材 e 万 l p ( 。 ) ，0 1) 不 同 ，万(卿不 可 赋 范 ， 所以 证明 时 要 特 别 小 心 . 我 们先 通过函 数分解 和细致地 分析提高这类函 数的 可 积性， 再用先 验估计等 方法给出 这 类函 数的 刻画和一 些性质。 以 下若无 特别声明设 (x， d) 为 度量空间 ，0o r为 有界 光滑区域. 4 . i s o b o l e v 指数2 a的甲 ， ，a 价， h 加 ) 性 质 定 义ltl 目 1 “ 二 ， 。 : 。 冲x 若 对于 某 个p 仁 。 ， 有 丁 d (u ( q ) ， “ ( p ) )a 心 = : 、 。 贝 称u 匆 ) 。 la( 几x ) : 若esss u p( u( q) ， u 印 ) = l 00则称u( p)。 犷( 。 ， x ) . 注1当0 r ” 为 有界区 域时 该定义不依 赖于p 点的 选择. 事 实 上 ， 若 还 存 在 点 m 使 得 扣 ( u( q) ， 城 m ) “ dq = co ， 由 吼 不 等 式 ， 则 有 丁 d ( u ( 。 )， u (m ) “ 内 ca介 (u (。 ) ， u ( ， ) “ 内 + caf d ( u ( m ) ， u ( ， ) “ 内 其 中 ca 是 仅 依 赖 于 。 的 常 数 ， 故 只 要 存 在 其 它 点 m 使 得 j d( u( q) ，城 m )a dq 一 乙 00 我 们 都 可 转 化为 在p 点 进 行 讨 论 . 注2当0 r ” 为有界区 域，1 a ao， 设u ， v o la ( 。 ， h 加 ) ， 则有 介 和 ( 句 ， v (n) “ dh 2 “ 一 刃 u (h) l二 “ dh + 2 “ “( h) 协 a 而 00. 晰犷a 硕士论文目 标流形为月 。 卿b crg 群的s obol cv映射 定 义2 ， ， 1 a 0 能量 密度定义 为 d ( u ( 川， “ ( 叮 ) ) 口 d 氏( 叮 ) ae n 一 1 其 中 d 口 表 示尸中 半 径 为 e 的 球 面 上 的n 一 1 维 测 度 ， p ，q “ 。 定 义3 l5 ， 1 a 00 ， 州。 峥x， u 任 砰 l，a 归， x ) 当 且 仅 当u o la ( 几 ， x ) 且 supim sup_ lf(p)i u 少 1，了 。 场 “ ， j ，e ， 0 点卜奋 1一 5 d ( u ( p ) ， u ( 叮 ) ) a d 口 云 ( 叮 ) a h 刁 dp 。. 这 里f o co ( 。 ) ， co (卿表 示闭 包 包 含 于 . 的 所 有 连 续 函 数 全 体 . 引 理411 “ 1 。 。 ， u = (z ， t) :q 峥h 加 ，。 e la ( 。 ， h 加 ) 当 且 仅 当 : 。 厂 ( 。 ， 尺 2 。 ) ， t 。 万(。 ) 注:为了研究方便我们做以下变形 d 浮 丝 卫 鱼 乏)。 = 但空 些 坚 丝 巡 剑) _ r ， : ( 夕 ) 一 2 ( 。 ) 、 。 . ， t (尸 ) 一 t ( 。 )， . ， _ 、 x ( 。 ) 一 x ( 尸 ) = 1 气 ) ， 、 一一 一气尸 一一 ， 了气 f ， 一 一 一气 万 一一 l名万 一万 口 + z x (， 伴 些 再 寻 鱼 )2) 万 . g 引 理511 习 若f = ( 五 ， 人 一 去 ) 。 ci ( 。 ，r 用 ) 则 有 勿 ._) _牲 严 干 赞一 气 颤(p) la 甲 一明= 引 理6 t，5， 若 9 = ( 及 二 乱) 。 la (。 ， r 加 ) 且 5叩 1、 sup肠) f 置 二卫 上 卫 鱼 “ 牟 弈 场一 ea 、 。 ， 0 ， 。 ， co ( 。 j， “ 0 6卜 一 孙 e l1 那 么 9 是 弱 可 微 的 且 有 飞。 la ( 0 ，r )，ea (9)= q ， 艺 ilvg，ll 月 = 1尸 推论7 “ ， 若u = ( : ， t ) 牙 ， 口 ( 。 ， 万 用 ) ，1 a ao， 那 么2 。 砰 ，户 (。 ， r ， ) 且艺 1甄1 ea( u ) ， 卜1严 引 理砂 “ 。 = (2 ， 0 : 。 峥护 耐光 滑 且 满 足 l 4 硕士论文目 标流形 为h e i 业 n be i g 群的5 0 加lev映射 别p l 而s u p 叱 了 习 了 q(0 工 ， - ， 。分 切 f 塑毕 边 d卜和 +2y ( p ) x ( q ) 一 x ( p ) + 2 x(py ( p ) 一 y ( q ) e 2 1号 粤华dp=凡 ” 那么 ( 1) 对于任意的1 = 1 一 ， ， p 。 。 我们有即一 2 妙 日 j x 一 碱刃= 。 a.e 一 ( 2 )凡= 0 . 注: 函 数满足( 1 ) 即函 数与h 加 的 水平分布切于每一点， 我 们称这种映 射为l egen d rian 映射. 引 理 9 1n 令u 平 1气 几h . ) ，2 a co ， 设璐= ( 几 凡 ) = 。 * 为对 于任 意的 卜1. ， 且 乌 二 “ 我 们 有 恕她、 一 2 饥 叭一 动丙 平 咖 = ” 引理1 0 ，目 若u 。 万 产 ( 。 ， 万 . ) ，2 a co ， 那么 ( 1 ) 函 数2 la( 。 ， 五 2 加 ) 是弱 可微的且2 。 甲 ， 产 ( 。 ， 尺 2 用 ) ; (2 ) 函 数t 。 万( 。 ) 是 弱 可 微 的 ， 对 于 几 乎 处 处p 。 。 ， 1 = 1. 几 日 : t = 2 ( 夕 日 : x 一 x 日 ， y)c 厂 ( 几 ) ， : = 一 二 竺 一 2刀一 口 引 理11 【15 若函 数u = ( x， y ， o 6 r z. +l ， 2 “ 。 ， 满 足 ( 1 ) 函 数2 。 厂( 。 ， 天 2 加 ) 是 弱可微的且2 。 牙 场 ( 。 ， 尺 2 加 ) ; (2) 函 数t 。 万( 。 ) 是 弱 可 微的 ， 对 于 几 乎 处 处 p 任 。 ， 1 = 1 :. 刀 ， a ， t 二 2 ( 夕 日 ， x 一 劝， y) lr( 。 ) ， 那 么 我 们 可 证 明 在 声 (卿 中 这 里与= ( 与 ，几 ) = u * 为 ， 恕甲p，ta一 2 (儿 日 二 、 一 xa 气 儿 ) = 0， 二 华 牛 乙n 一 乙 注 : 由 此 我 们 可 知 当 u= 网。 泌 ( “ ， 俨 ) ， 2 。 co，那 么 剐u) 一 卫 vz “ 小 引 理12 llq u = (z ，t): 。 、 护 ，2 a . ， 满 足 ( 1) 函 数2 la( 。 ， 护“ ) 是弱 可微的且2 。 平 1 产 ( 。 ， 护勺， 硕士论文目 标流形为hels e 幻 b 雌 群的s obol ev映射 ( 2) 函 数t e 万 ( 。 ) 是 弱 可 微 的 ， 对 于 几 乎 处 处p 。 。 ， 卜 1 二 。 ， 那么“ 二 介 ， t) 牙 1，a ( 0 ， h ， ) . 2 5 o b 。 二 指 数 斋 a ， 的 不 ， (“ ，h 二 ) 性 质 研 究 c a p o g n a 和f a n g h u a l i n 的文章 仅讨论s o b o l e v 指数2 a 二 的 情形， 本 节我们 把他们的结果推广到粤 n + 1 5口丛2 定理4 . 2 . 1 若u = (z，t) = (x ， y，t) o h 加 满 足 ( 1 ) x ， 夕 任 平 ，产 (q，r 口 ) ， ( 2 ) t 任 砰 ，t ( 。 ) ， vt= 2 ( 夕 vx一 x vy) a . e . n口 丁 = ， 2 刀一 口 三 生 。 2 ， 刀+ 1 则有ea( u) 柳 . 证 明 : 由 能 量 定 义 要 证 明凡 ( 的 栩 即 证 对 某点 p 有 凡 =粼 忠 :咒 沙 俐 业 宁 鱼 “鲁、 = 票 缭 黑 。妙 需(兴塑 ) + 阵 架 三里 十 2 ， 印 厂 鱼 导鱼+ z x (， ) 业 今 上 些 ) . d 久(q ) 二 _ . _ 一“ ij吓 、 宁 ，习 en一 二 由几不等式可 将上式 化为: 凡 、 sup o sup咖) 三 丝 卫 鱼 “ 亘 奥 舆 dp 呵， j ( q)，劝石卜荞 1 十 sup i* sup lf( 力丁 。 习 1，f ( “ 、 ， ， o n卜如 t ( p ) 一 t ( q ) + z y ( p ) x ( q ) 一 x ( p ) 2 + z x ( p ) 业 誉 巡 丝 号 缨 ， 若能够证明 一p ” m sunff (， ) 1 丛 尸 垫 宜 2 “ 恻单 、 、 ， 0 f 业j g ol e 弓0二1 _ 二 _ iei石 一告 i f一任 1 = 硕士论文 目 标流形为h ei se n be r g 群的5 0 加i cv映射 h = sup lim sup行 切臼 业 装 三 丝 “ 八 1，f (q 沪。 6卜 齐 + z y ( p ) x ( q ) 一 x( p ) 2 + z x ( p ) y ( p ) 一 y ( q ) e 2 粤 口 口 云 ( 妇二_ . _ 一 ， 石 万一叫尹 、 g 则 可 证明 能 量 函 数ea( u)la 、 裂 戳 戳夕 p ，止 vx ， )“ ico g只 1 j 。 、 硕士论文目 标流形为he倪nb哩 群的s obol ev映射 十 sun ，、 sunff (， ) f l些“、 、 0 了 1 ， e q ( n 、 初石户! 1 + 求 打一恕 撇 。j f p ，工 1钡 p) “ cos 氏 !“ “ 呻 这 里 x 伪 ) = x 印+ 翻) = x 沙 ) + + 0 ( : ， ) ， x o c ， ( 只 ， 五 加 ) ， 少 ( 。 ) 二 y 印+ 。) = 夕 印 ) + e + 0 ( e ， ) ， 夕 。 c ， ( q ， r 份 ) ， 凤 为 vx沙 ) ， 口 之 间 夹 角 ， 巩为vy( p )， 口 之间 夹角 . 腿撇sup lim sup队 p 川 些r 、 dp * 。 . “ 介 1， 介 乌 (n)，问 石5 翁 1 由 已 知x ， y 已 平 1伙 。 ) ， 即 有x ， 夕 已 la ( 几 ， r ) ， vx， 外 la ( 。 ， r 加 ) ， 则1 式 栩. st即 2: 当2 = (x ， 户不 光 滑时， 下证 r ，、r2 ( 刀 ) 一 : ( 穿 ) a suplllns 叩 lj(p) j !1 0 1 习 f 蛛 1 含 1 右 闷 币 0孟1 _ 三1七1 “.尸 叼 . 石 . d 氏( q ) 此时 令 沙) ，y ; ， ， )(， ) 一j u (， 一 5 )、 刀 ( 0 占 j : ， ( 刀 ) 一 : ( 刀 )介 ( 叮 ) 一 : ( 母 ) 1 = u * 而二 ( x ， ， y ; ， t ， 咖 十 们. 则 _ sup lim sup_ ff( p)f “ 习 ， j 与 ( ， j ，0 点卜 一 引 ， a d 吼 ( 叮 ) 卜 1 ，“ 粼 乙 努 黑 。少 尸 ，* 柔 一 。黯撇 。少 ，.，一羹 1 介 ( p ) 一 2 ( p ) g 心 d 氏 ( 叮 ) 卜 1 dp 今 ( q ) 一 2 ( q ) s j d 氏 ( 叮 ) 5 月 -l 咖 ( 4 . 2 . 1 ) 而 对 某 一 个 : 当 占 。 0 时 有 陈 ( q) 一 2 (q ) 卜 咨 ， 咨 为 任 意 小 的