（概率论与数理统计专业论文）平移不变子空间的非一致平均采样.pdf

摘要 摘要 框架的概念由d u f f i n 和s c h a e f f e r 在1 9 5 2 年提出，经由d a u b e c h i e s ，g r o s s m a n 以 及m e y e r 发展而被众多学者研究从那时起，框架理论就成为应用方面的一个重要 工具框架由于其冗余性使得在某些特殊的场合比标准正交基更加灵活，这样使 得它在信号处理方面能够起到很好的作用 采样在信号处理和图像处理是一个最基本的问题，由于一个实际信号不可能 从头到尾的把每一个点的值都记录下来，只能记录下某些采样点的值所以如何 从这些采样点去恢复或者逼近实际信号就变得非常重要s h a n n o n 采样定理考虑了 频谱有限函数空间上的均匀采样问题，但是在现实世界中，很多信号并不是频谱 有限的，而且由于设备仪器的限制和储存信息的丢失，采样点并非均匀的，采样点 的值也并非是精确的，所以非均匀采样变得非常重要起来 平移不变子空间是研究采样定理时经常使用的模型，孙文昌和周性伟 1 】证明 了在某些条件下，就能够从采样点的局部平均来重构原函数在第三章中我们证 明了另一个事实，我们不需要均匀的采样点，只要采样点集x = x j ：歹z 】满 足6 z 件l z ，a ，这些采样点就是此平移不变子空间的采样集a l d r o u b i ， q s u n 和w t a n g 2 用另一种条件也得到了类似的结果，不过他们没有得到精确的 上下界的表达式对于更一般的予空间，即加权平移不变子空间，冼军和李松【3 】证 明了当采样点集和平均函数满足一些条件时，采样点集x = z f ：歹z ) 就是此 加权平移不变子空间的采样集在第四章中，我们的条件更为统一，并且改进了他 们的方法，使得证明更为简单 关键词：框架，采样定理，平移不变子空间，加权平移不变子空间 a b s t r a c t a b s t r a c t f r a m ew a sd e f i n e db yd u f ! 丘na n ds c h a c f f e r i tw a sn o tc o n t i n u e du t i l e1 9 8 6w h e n t h ef u n d a m e n t a lw o r ko fd a u b e c h i e s ，g r o s s m a na n dm e y e rb r o u g h to u t f r o mt h e n o n ，f r a m et h e o r yb e c o m e sac e n t a lt o o l si nm a ya p p l i e da r e a s f r a m e sa r er e d u n d a n t b a s e sw h i c ht u r no u ti nc e r t a i na p p l i c a t i o n st ob em o r ef l e x i b l et h a nt h eb e t t e rk n o w n o r t h o n o r m a lb a s e s ，s of r a m ec a l lb es o m e t i m e sa nu s e f u lt o o li ns i g n a la n a l y s i s t h es a m p l i n gp r o b l e mi so n eo ft h es t a n d a r dp r o b l e m si ns i g n a la n a l y s i s s i n c e as i g n a lc a n n o tb er e c o r d e di ni t se n t i r e t y , i ti ss a m p l e da tas e q u e n c e t h e nh o wt o r e c o n s t r u c to ra tl e a s ta p p r o x i m a t et h es i g n a lf ( x ) f r o mt h es a m p l e sb e c o m e sm o r e a n dm o r ei m p o r t a n t s h a n n o ns a m p l i n gt h e o r e md e a l sw i t ht h eb a n d l i m i t e df u n c t i o n s p a c e ，a n d i t sr e g u l a rs a m p l i n g b u ti nr e a l i t y , m a n ys i g n a l sc a n tb eb a n d l i m i t e d ，a n d b e c a u s eo ft h el i m i t e do fm a c h i n ew ea l ed i f f i c u l tt og e tt h ee x a c tv a l u eo fs a m p l i n g p o i n t s ot h ei r r e g u l a rs a m p l i n gb e c o m e sm o r ea n dm o r ei m p o r t a n t s h i f t i n v a r i a n ts u b s p a c e sa r ev e r yc o m m o ni nd e a l i n gw i t hs a m p l i n gp r o b l e m s s u na n dz h o u 【1 】p r o v e dt h a tu n d e rs o m ec e r t a i nc o n d i t i o n sf u n c t i o nf ( x ) i ns h i f t - i n v a r i a n ts u b s p a c ec a nb er e c o n s t r u c t e db yt h es a m p l e sf ( x j ) i nt h et h i r dc h a p t e rw e p r o o ft h eo t h e rf a c t t h a ti s ：i ft h es a m p l i n gp o i n t sx = 巧：歹z ) s a t i s f i e s j x j + l 一巧a ，t h e nx = 【巧：歹z ) i st h es a m p l i n gs e to fs h i f t i n v a r i a n t s u b s p a c e a l d r o u b i ，q s u na n dw t a n g 2 】o b t a i nt h es i m i l a rr e s u l tb ys o m e d i f f e r e n t c o n d i t i o n sw i t h o u te x p l i c i tb o u n de x p r e s s i o n s f o rm o r eg e n e r a ls u b s p a c e s ，x i a na n d l i 3 】p r o v e dt h a ti ft h es a m p l i n gp o i n t sa n da v e r a g ef u n c t i o n ss a t i s f ys o m ec e r t a i n c o n d i t i o n s ，t h e nx = x j ：歹z ) i st h es a m p l i n gs e to fw e i g h t e ds h i f t - i n v a r i a n t s u b s p a c e i nt h ef 0 他c h a p t e rw eg e tt h ea n a l o g o u sc o n c l u s i o nu n d e rm o r eg e n e r a l c o n d i t i o n s a n dw h a t sm o r e ，o u rp r o o fi ss i m p l e r k e yw o r d s ：f r a m e ，s a m p l i n gt h e o r e m , s h i f t - i n v a r i a n ts u b s p a c e s ，w e i g h t e ds h i f t - i n v a r i a n ts u b s p a c e s 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：7 甲i 而乞 。肌n 年厂月w 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 叩南易 沙弓年厂月t o e t 第一章引言 第一章引言 采样理论是信号分析和图象处理中强有力的工具如果函数属于某些特定的 空间，那么这样的函数可以由其某些点的函数值通过一定的算法恢复出比如说， 如果，l 2 ( r ) 乍t s u p p ，c 一q ，q 】， ( x ) = 晦) 裂 k e z 。“ 上面就是经典的s h a n n o n 采样定理，它刻画的是频谱有限的均匀采样【4 】是一篇 对非频谱有限的函数的采样定理进行了历史总结的好文章对于非均匀采样和非 频谱有限函数，如何进行采样才能保证无失真恢复信号，以及如何重建信号，近几 年来这一问题一直受到了广泛关注f e i c h t i n g e r 和c r r 6 c h e n i g 【5 】是不规则采样问题 的代表性论文同时【6 】，【7 】，【8 】， 9 1 ，【1 0 】， 1 1 】等等也都从不同角度考虑了这一问题 【1 2 】研究了平移不变子空间的非均匀采样问题，其平移不变子空间定义为 哪，=篆酬一)蚓po。)，lqoozk 6 zl 七j 【1 3 】，【1 4 ，【1 5 ，【1 6 】等研究的是小波子空间的非均匀采样问题 非均匀采样问题在现实中是大量存在的信息传输中的数据丢失、存储数据 的硬件的损坏、采样设备的限制、采样时间地点的改变、收集数据的工作人员的 变动、气候环境对采样数据的影响，这些都会导致采样数据是非均匀的采样数据 何时能够重建信号，怎样设计快速稳定的重建算法，这一问题的研究既有理论意 义又有实际价值 1 1 2 为了从采样值稳定、唯一地重建信号厂( z ) ，采样值 ，( 巧) ，j z ) 要满足 硼协( ，j e zi 地) i p 卜驯b ( 1 1 ) 对于频谱有限函数，【1 7 】证明了，若采样集 巧，歹z ) 满足 l z n n d i 冬l 0 ，i t s n ， 则采样值 ，( 奶) ，歹z ) 满足式( 1 1 ) 【1 4 】证明了，若1 i 码。4 - o o 奶= 士o o ， 0 d x j + l 一巧t + ， 若t q 0 ，甲l 巧+ 1 一巧l = 6 1 ， 对于任何属于伊( 咖) 中的函数，采样值 厂( 巧) ，歹z ) 满足式( 1 1 ) 采样点值 ，( ) ，歹z ) 的准确测量只有理论上才能得到，所以我们考虑局部 平均采样，故考虑采样数据为 ( ，) = f ( x ) u x j ( z ) 如， 其中，是局部平均函数很显然，的支集越小局部平均就越接近采样点的真实 值，这样才可能重构原函数【1 8 1 ，1 1 9 1 ，【2 0 】，【2 1 】，【3 】，【2 2 】都对局部平均采样作了大量 工作如果需要稳定而又唯一的重构算法，那么式( 1 1 ) 就相应的要变为 唧i i 1 1 p ( j e zi ( u 吻) i p ) p c r p l i ，i i p ( 1 2 ) 从上面的叙述可以看出，找到采样点使得式( 1 2 ) 成立的充分条件就成了一个 重要的问题了本文的第三章讨论了当局部平均函数u 七和平移不变子空间的生成 函数西满足某些特定的条件下，如果采样点集 6 巧+ 1 一， 则对任意函数f y ( ) ，式( 1 2 ) 成立 对于更一般的加权平移不变子空间上的函数采样点集问题，如果要得到稳定 唯一的重构算法，式( 1 1 ) 就相应的要变为 、；1 勺l i 刘p ( i ( ，) 口( ) i p ) c p l l f l l l , ( 1 3 ) j e z 1 8 1 ， 2 1 ，【2 3 】，【3 】等得到了关于使得上式成立的一些充分条件，并且得到了c p 和q 的 精确估计本文第四章即是考虑此类问题，我们推广了前面一些人的工作，得到更 宽的充分条件 2 第二章框架的基本理论 第二章框架的基本理论 1 9 5 2 年，d u f f i n 和s c h a e f f e r 1 7 在研究非调和f o u f i e r 级数时，首次提出了h i l b e r t 空间上的框架的概念框架概念提出后，并未立即引起人们广泛关注，直到1 9 8 6 年， d a u b e c h i e s ，g r o s s m a n 和m e y e r 2 4 ， 2 5 1 发现了框架在小波及g a b o r 变换中有着重要 的应用他们发现：可以把框架看成类似标准正交基，将l 2 ( r ) 中的函数展成级数形 式之后许多数学家才开始关注和研究框架本章中的大部分内容来自【2 6 】和 2 7 】 2 1 框架的定义和基本性质 定义2 1 设 z 忆) n n 为觑场p 疗空间咒的序列如果存在常数o 0 ，以l 2 ( r ) 1 如果 e 记霄仃妇9 一佗口) ) m ，n z 是l 2 ( r ) 的框架，这样的框架称为g 口易d ，- 框雏相应 的g 称为窗函数 2 如果 o 耋砂( o 一歹6 ) ) j ，知z 是l 2 ( r ) 的框架，这样的框架称为小波框恕相应的砂称 为小波母函数 3 第二章框架的基本理论 i 若 九) 七zcr 如果 e a k z ) 七z 是l 2 - - 7 1 ，7 r 】的框耗这样的框架称为而“，钯，框 架 下面我们将定义与框架紧密相关的几个算子，并给出它们的性质我们现在假 设 z 七) 七n 为咒框架，其框架界为a ，b 很显然算子 t ：冗_ 粤2 ( n ) 乳= ( z ，) ) 知n 是有界的t 称为分析算子，它的伴随算子p 为 r ：z 2 ( n ) 一7 - tp ( k n ) = c k x k k e n p 称为重构算子 定义2 2 z 七】七n 为何框耗t 为框架的分析算子，算子 称为框架的框架算子 s = r z s x = ( z ，x k ) x k k e n 引理2 1 假设 z 七) k nc 咒是“的框牦框架界分别为a e 则其框架算子s 是 有界可逆正线性算子，并且 a i s b i ， 其中，为恒等算子 证明因为算子t ，p 都是线性有界，所以算子s 也是线性有界，而且 l l s l l = | l r t l l = l i t i l 2 b 由于比咒， 类似的我们有 ( s z ，z ) = ) 1 2 南n b i i x l l 2 a i i x l l 2 ( s x ，z ) 4 第二章框架的基本理论 所以s 为有界线性算子，而且 a i s b ， 更进一步， i i i - 矿等圳= 丁b - a 1 这样我们就得到算子s 为可逆算子由于 ( s _ 1 z ，z ) = ( s _ 1 z ，s ( s _ 1 ) z ) a l l s - 1 z l | 2 0 ， 故而s ，也 p s 是一个正算子 口 若令矛知= s - i x k ，则 氟) 知n 也是咒的框架，其框架界为吉，去我们称| 圣七) 知n 为 z 七) 七n 的对偶框架，称 ( z ，氟) ) 埏n 为框架系数由于s 的自伴性，我们很容易 得到下面的展开形式， z = ( z ，童) = ( z ，z 知) 氟， k e nk e n 这就是框架的展开 虽然框架展开的系数并不唯一，但下面的定理可以看出，在所有的展开系数 中，框架系数有着独特的性质 引理2 2 假设 孤) 七n 为冗框架， 氟) 七n 为其对偶，z 7 - 1 如果存在 c 七) 七n 使 得z = 知nc k x k ，则 川2 氟) 1 2 ( 2 2 ) k e nk e n 证明令磊= ( z ，氟) ，由对偶框架的性质知 魂) 知n 俨( n ) 如果七ni c 知1 2 = + 0 0 ，则定理显然成立下面我们假设 c 知) 知n 垆( n ) 由 于 z = c k x 七= 磊j - - _ k e nk e n 用上面的代替( z ，s - 1 z ) ，我们得到 ( s - i x ) = c k ( s - 1 z ) = 瓦 k e nk e nk e n 类似地， ( 磊s - l x ) = 晰 七nk e n 5 第二章框架的基本理论 由上面的两个式子可知， 一氙) 与 磊) 垂直，也即 蚓2 = 剐2 + i 觎一瓦1 2 k e nk e n k e n 口 从上面的引理可以看出，虽然框架系数不能像正交系数那样没有任何冗余，但 是在某种意义下，框架系数又是最佳的因为从式( 2 2 ) 可以看出，要重构原函数，使 用框架系数所需要的能量最小 由于z = k e n ( z ，观) 氟，所以我们要重构z 就只需找到框架的典型对偶了我 们知道， 仝他= s 一1 z 亿 因此，为了重构原函数，必须先求出s 引理2 3 设 z 匙 ：k n ) 是爿的框架，a ，男为其框架界常数入满足 0 o ) ，圣( u ) = 知( 忌) e 一鼬 7 第三章平移不变子空间的采样 第三章平移不变子空间的采样 在经典采样理论中，一个重要的问题是从一些采样点的值 ，( 巧) ：j ，) 稳 定和唯一地重建信号，( z ) 许多文献都研究了这方面的问题，一般都假定函数厂是 带宽有限或者是属于如下的平移不变子空间 y 2 c 咖，= k e z dc 七c 一后，：c 胪 c 3 ， lj 很明显，如果生成函数咖不是带宽有限的，则空间y 2 ( ) 中的函数也不是带宽有限 的由于某些物理原因，比如说设备的不精确性，往往实际得到的采样点值并不一 定就是函数，在z _ l c 点的准确值，而是x k 附近，的局部平均值，特别地测得采样值可 表示为 ， ( f ，u k ) = ，( z ) 钆七( z ) 出， - ， 其中钆后仕) 是一组满足特定性质的平均函数 很明显要用测得的采样点值逼近原函数，那么平均函数的支集应该足够小许 多学者都围绕这个问题发表了许多文章，g l s c h e n i g 证明了如果采样点x k 满足 。 坼，一z 七6 o , s u p p 矽即c 巧+ 【一口，叫 2 仇， ) 关于q 对称，并且在区间b ，q + n 】非负单减 3 丘鸭( x ) d x = 1 为了得到主要结果，我们需要一些引理和性质 r 第三章平移不变子空间的采样 命题3 1r 聊砌g p 厂不等式胆9 刀如果，( z ) 在【口，6 】可饩厂、厂l 2a ，6 】，i 6 1 t 存 在某个c a ，6 】使得f ( c ) = 0 ，则 b i f ( z ) l z d x 等z 6 i ，( 酬2 如， 其中6 = ? t , a x a a ，b c ) 引理3 2 3 0 令，在心6 ，上可积，f ( x ) = cf ( t ) d t , r t a z 6 ，存在一常 数m 使得i f ( x ) i m ( x 一口) j 并且勘是一个非负非升的可积函毵则 z 6 ，( z ) 夕( z ) 如i ，6 夕( z ) d z 引理3 3 3 1 1 设是连续可微的， 咖 一k ) ：k z ) 是y 2 ( ) 的r e i s z 秦其下 界是a 并且满足 j 矽( z ) = d ( 两号两) ， - - $ z = 士时( z ) = o ( 两旁藏) 2 m = s 蚴z ( u - 4 - 2 7 r 1 ) 2 i 参( u - 4 - 2 7 r 1 ) 1 2 + o 。 则对每个f v 2 ( ) ，如果，可饩则有 i i f l l - 0 和p 1 ， ( a + b ) p 2 p 一1 u p + 2 p b p 所以。 i ，( z ) 1 2 = l f ( x ) 一，( 巧) + f ( x j ) 1 2 2 f ( x ) 一，( 巧) 1 2 + 2 i ，( 巧) 1 2 对上式从巧到巧+ 1 积分， 我们得到。 类似地， f ( x ) 1 2 如2 ，i m h ( 圳2 如+ 2 所胞汗如 2 4 af 茁f , + 1i ，7 ( z ) 1 2 出+ 2 i ，( 巧) 1 2 3 2 主要结果 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 口 定理3 6 假设引理3 7 和引理3 4 中的条件成立采样点集x = 巧：歹z ) 满 足 6 x j + l 一巧a ， 其中6 、是两正常数则对任意f y ( 咖) ， 其中m = 【警j + 1 ，m 和a 和引理3 3 定义的一样 证明由引理3 4 可知，是局部连续可微的，故由引理3 3 可得，l 2 ( r ) 利 用性质3 1 ，对任意0 z a ， f 扣i m h ( 舭等，i 八圳2 砒箬厂i 八圳2 扎 1 0 驴 一 垆 洲 蚣万 岔万 丝萨 堂椰 -2 + 州 胪 1 一 ， 1一班 2 万 八i 一 川a 、办 | = o 巧 、= v 吖、 “ ， ! | l 徊 第三章平移不变子空间的采样 由引理3 2 我们得到 ，l 地h 嘲蛐 类似地， 所以， 4 口 一7 1 - 2 2 a = 一 7 1 - 2 r 勘i f ( ) 一m ) i f ( m j 2 ( x ) d x ) 一，( z ) 2 也j ，茁一口 i ，( ) 一( ，) 1 2 = j e z j z j z 2 a 7 r 2 f l 。宁d j 2 i o 唪薯i 。吣d z i ，7 ( z ) 1 2 d x 仁口i ，( 刮2 批 r 置j 十a ( ，( ) 一，( z ) ) 忆，( x ) d x l ，茁0 一口 2 计口i f ( 巧) 一m ) ) d x 厂z j + 口( z ) d x t ，z 4 一d- ，窭一口 r i f ( f ( x j 、) 一f ( x ) 1 21 l ，矗j ( x ) d x ) 一2 ，霉i 一口 r 塾尸托 厶丌2 j z ，霉，一口 由于6 + 1 一巧，则对任意j z 因此， i ，7 ( z ) 1 2 d x 一口，巧+ 口) n 巧+ m 一口，+ m + 口) = d ， j 6 z 由式( 3 3 ) 、( 3 4 ) 和引理3 3 ， f ( x j ) 一( ，) 1 2 警1 2 ) 1 2 i ( f ，鸭) 一f ( m j ) 1 2 + f ( x j ) 1 2 j zj e zj 6 z 昙l l f h 2 + 可8 a 2 + 2 m a 5 ”舢i i 2 a t 2 + 8 m 丽a 万2 + 一2 a m m 5 6 4 7 r 2 ”川 另一方面，由式( 3 2 ) 、( 3 4 ) 和引理3 3 ， i 一i | f i | 一 2 a 7 r 2 ”“。 口 注3 1a l d r o u b i , q s u n 和w t a n g 2 肛明了当平均函数是稳定的c a l d e r o n 卷积 子时，也就是对l 2 假) 的平移不变子空间y 存在正常数4 ，b 使得 a l l l l l z i i f 砂1 1 2 b i i f l l 2 ，v f v 如果采样点 巧：j z ) 可分并且有足够小的最大间距，则 ：j z ) 为y 的采 样集他们的结果没有得到精确的上下界，而在本定理中，我们设定了比较严格的条 件，得到精确的上下界表这式 1 2 第四章加权平移不变子空间的采样 第四章加权平移不变子空间的采样 本章中我们要讨论的函数空间是加权平移不变子空间( ) ，当v = 1 时，a 1 一 d r o u b i 和g r s c h e n i g 研究了样条子空间的非一致采样在【1 8 】中，他们证明了如果 集合x = z f ：歹j - cr 是可分的，并且满足s u p ( z 件1 一既) = 6 1 ，则 存在两个与厂无关的正常数c ，和q ，使得对任何，俨( 矿) ，式( 1 3 ) 都成立，也就 是说x 是俨( 矿) 一个采样集这个结果解决- s t e p h a n em a l l a t 提出的关于平移不 变子空间的一个论断【3 2 】更进一步，a l d r o u b i 和g r s c h e n i g 推测他们的结果对更 大一类的平移不变空间也是成立的当口= 1 ，p = 2 时，a l d r o u b i 等【2 】得到了使 得x 是y 2 ( 扪采样集关于生成函数咖和平均采样函数如的一些条充分件本章的主 要结果没有对p 作任何限制，得到了常数c p 和g 的精确表达式 4 1 符号和基本理论 由西生成的加权平移不变子空间是有如下形式的平移不变子空间， 哪，= k e z d 酬一”c 砖) ， l夕 其中加权铝空间由范数f 露：( ，zl c d ) 口( 歹) l p ) v p 所确定很明显，如果函 数，瑶( r ) ，则，瑶( r ) ，其范数定义为i i 州睇= i i v f l l l p 在本章当中加权函数假定是连续、对称、非负的，并且满足次乘性，即， 0 u ( z + y ) ( z ) u ( 秒) ，比，可r d 另外，如果一个连续、对称、非负函数勘满足条件 v ( x + y ) c b ( z ) ( 秒) ，v z ，y r d ， 其中c 是一个常数，则称加权函数u 是关于加权函数是m o d e r a t e 的，或者简单记 为u m o d e r a t e 本章中，我们假定权函数v 和u 都满足上述条件 下面我们要定义一个有用的复合空间，如果l p = s 妣u p e s s s u p l f ( z 删酬； 0 ，1 】d ) 0 使得 c y f l v ( x j ) v ( x ) a 勘( 巧) ，坳z ，z x j + k 证明坳z ，z k ，我们有 口( ) = 0 ，当6 0 ，s u p p 妒x ，c 巧+ 【一o ，刎 则对任意，( ) ，u m o d e r a t e 的权函数u 有， 勺i i ，l l 瑶( ，g e zi ( 也，) 钉( 巧) i p ) 1 向q i l ，| i l 嚣， 第四章加权平移不变子空间的采样 兵甲 勺2 瓦1 驴( - b i i d s c 舢( 观) - m b ( b i i d s c 妒1 1 w ( l 己) 4 - i ) 怕c 口i i ( 乩) ) ， c p = ( 譬) 1 屈( 1 + b l i 。s c 训1 w ( 现) + m b ( b i i 。s c 咖i i w ( l d + 1 ) l i 。s c a 西l l w ( 功) ) 证明令 q x f = ，( 巧) x b 帅) ， a x f = ( ，妒即) ) ( 嘞踟) 由引理4 1 可得， i i a x f l l ：, e = f x i1 ) 钉( z ) i p 如 + a 1 + 1 ) ( 巧) l p 如 a i ( ，也，) 口( 巧) i p ( 4 3 ) 这里我们把引理4 1 中的紧集替换为 0 ，1 另一方面， 悄x f p 。p 2 莩升1 附，) 巾胪如 1 c 1 j g ( 4 4 ) 现在我们来估计| i ，一q x f i i l e 由于 i f ( x ) 一q x ( f ) l i 加) 一，( ) l x 融啪) o s c m ) 。 j 所以我们得到 i l ，一q x f l l z 嚣i i o s c , , f l l w ( l e ) sb i i o s c , , 1 1 w ( l s ) 1 1 1 1 , 4 ，( 4 5 ) 1 6 z岔 伊 、：一 h p l ， 以 叼 ， 厂乞 ，徊 第四章加权平移不变子空间的采样 其中最后一个不等式可以由引理4 2 和引理4 3 得到并且算子，一q x 的范数 i i ，一q xl i b i i o s c , , r b l l w ( z , ：) ( 4 6 ) 接下来我们估计i i q x f a x f l l z , ： 1 级，( z ) 一叙，( 列= i 莩( ，( 吻) 一( ) ) 撕而( z ) l i i ， = i 莩e 厶f z i + a 鹏h 比砥“z ) l m ( 0 8 气厂) ( 巧) x b , x j + 1 ) ( z )一z ，、j ”r j ，、7 m i ( o s c a f ) ( x j ) 一( o s c a f ) ( x ) l x = , 料。) ( z ) + m ( o s c a f ) ( x ) = m ( i q x ) o s c j ( x ) - i - m ( o s c j ) ( x ) 由式( 4 5 ) l l q x ，一a x f l l l e m ( b i i o s c a c l l w ( 现) - - i - 1 ) l l o s c j i i l e m b ( g l l o s c , e , l l w ( l 己) + 1 ) l l d s 气纠i ( 现) i | 刘鹳 ( 4 7 ) 因为 i i f i l l , , l l ，一q x f l l l e - i - i i q x f a x f l i l e - i - i i a x f l i l e ， 由式( 4 5 ) 和( 4 7 ) i i a x f l l 职i i f l il 。, 一l i ，一q x f l l z e l i q x f a x f l l 碍 ( 1 一b i i o s c z x 4 l l w ( l 己) 一m b ( b i i o s c a r b l l w ( z , 5 ) - i - 1 ) i l o s c , , 4 , 1 1 w ( l 己) ) i 碍 结合式( 4 3 ) 我们得到， 眇删州v p 瓦i 刍丽( 1 - b i i 。s c j l w ( 现) - m b ( b i i 。s c a l l w ( 现) + 1 ) j j 。s l i 彬( 比) ) i l f l l l ； = 勺l 瑶 第四章加权平移不变子空间的采样 类似地， i i a x f l i l e i i q x 一a x f l i l p , + j i 一q x f i i l 署+ i i f l l l 嚣 ( 1 + b i i d s c i | w ( 现) + m b ( b i i c | 1 w ( 现) + 1 ) l l o s 咖i i ( 也) ) i l f l l l e 结合式( 4 4 ) 则有， 眇删训p ) 1 p ( 导) 1 加( 1 + b i | 。s c i | ( 砧) + m b ( b | | 。s c | l w ( l s ) + 1 ) l i 。s c 口妒| i ( 现) ) i f l l l , , ： = 0 i l f l l l 暑 注4 1 , 在a d r o u b i 和g r o c h e n i g 的论文口2 ，中，他们证明了如果采样点 x = 巧：歹z ) 满飚n 易，ki 巧一x k i o ，则对任意，叼( 咖) ，u m o d e r a t e 权函数秽有， 、1 p i ) u ( 巧) i p ) o p l l f l l l 嚣 j z 然后冼军和李松口，推广了z _ a i 的结论，他们讨论了平均采样点情况，其中平均函 数皿彩= 皿( 一巧) ，得到了上界的精确表达式 ) 移( 巧) l p c pfp l 嚣 j e z 此外他们还证明了在定y t 4 4 的条件下，得到了不等式 、1 p c p lj f l l l e l ) t ，( 巧) i p ) j z 定理4 4 用同一种方法证明邝，的两个定理，并且简化了部分证明过程 4 3 定理的应用 在实际应用中，样条子空间有着非常好的性质，在本节中我们考虑生成元是样 条函数如= x o ，1 1 x 【o ，1 1 ，考虑的空间简化为 = m 叫：甜) l 七zj 1 8 第四章加权平移不变子空间的采样 例4 1i t , y , , l q - 点集合x = ：j z ) 满足6 x j + i 一巧，其中j 和两 个正常数平均采样函数 如，) 满足下面几个条件? j 丘也j ( x ) d x = 1 2 丘i ) i 如mf m o 与巧无关j i 对某个o 0 ，s u p p b jc 巧+ 【一口，口】 则对任意，有， q i l ，i i ( 薹ic 也，1 2 ) v 2 q i l ，l l ， 其中c 2 ，g 是与正有关的常数 由于是连续并且紧支的，这样定理4 4 的条件都满足，所以x = 巧：j z ) 是样 条子空间的采样集 1 9 第五章结论和展望 第五章结论和展望 本文主要对两种条件下的采样集进行了讨论，得到了相关的结论第一种情况 是当生成元l 2 ( r ) 满足特定条件时，只要采样点集满足6 巧+ 1 一a ，我 们得到对所有的厂y ( ) 都有 生铲盯酽驴鸭) 1 2 壁学忖胪 我们可以、调整厶伐付z a l r 2 - 2 气a m 蚕4 掣a w 2 m a 0 ，这样我们就能够从这些采样点得到一 个唯一的并且稳定的重构算法第二种情况是加权平移不变子空间的采样点问 题，也即是在空间( ) ，其中权函数可是u m o d e r a t e 的当生成元和采样函数矽满 足特定条件时，只要采样点满足6 奶+ 1 一巧a ，我们得到对所有的f 叼( ) 都 有 、1 p 勺i | 刑髓l 1 ( ，鸭) 移( 巧) l p ) o p l l f l l ，名， 3 a z 其中勺，q 的值也能精确够得到同样的我们只要调整就能够得到唯一又稳定的 重构算法 对于后续工作，还有以下几方面可以考虑 1 本文讨论的都是单一的生成元生成的不变子空间，我们可以进一步讨论多个生 成元构成的不变子空间的采样集问题 2 得到本文结论时对生成元和采样函数的约束条件都比较严格，能否减弱约束条 件也是值得进一步研究的 3 本文并未涉及到重构算法【3 4 】及其收敛速度和民之间的关系，这也是后续考 虑的一个方向 参考文献 参考文献 【1 】w ：s u na n dx z h o u ，a v e r a g es a m p l i n gi ns h i f ti n v a r i a n ts u b s p a c e sw i t hs y m - m e t r i ca v e r a g i n gf u n c t i o n s ，zm a t h a n a l , a p p l ，2 8 7 ( 2 0 0 3 ) ，2 7 9 - 2 9 5 【2 】a a l d r o u b i ，q s u na n dw ：t a n g ，c o n v o l u t i o n ，a v e r a g es a m p l i n g ，a n da c a l d e r o nr e s o l u t i o no ft h ei d e n t i t yf o rs h i f t - i n v a r i a n ts p a