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矩阵广义s c h u r 补的不等式 尹小艳 摘要随着科技的发展，矩阵理论以其极广泛的实用性，已成为现代各科技领 域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具随着研究和应用的逐步深 入，人们也在不断地提出新的思路矩阵s c h u r 补，p e r r o l l 补的概念应运丽生，成为 研究矩阵不可或缺的重要工具丽矩阵不等式一直是矩阵理论中的热门课题近些 年来研究矩阵s c h u r 补，p e r r o n 补的不等式便吸引了诸多学者的目光在已有文献 的基础上，本文引入并研究了矩阵广义s c h u r 补，广义p e r r o n 补，得到了一系列与 其有关的重要不等式本文分三章讨论： 第一章讨论并研究了矩阵及其广义s c h u r 补的l f w n e r 偏序问题，给出了半正 定矩阵广义s c h u r 补的一种极小刻画，证明了：若a 瑶，则在l 6 w n e r 偏序关系 下，( 1 ) 令n = 1 ，2 ，r ) ，对任意z c ( ) 一，有a 肛s ( z ，厶一，) 直沲厶一，) ；( 2 ) 设 a ，b 日害，acn = 1 ，2 ，n ) ，则a 吐0 ，( a + b ) 盘a 。+ b 盘且若a b ，有 a 加一b q2 ( a b ) a o ；( 3 ) a asa ( a ) 等号成立当且仅当存在n 阶置换阵p 使得p a p = a ( 口) o a ( n ) ；( 4 ) 若a c m “，b 日；，l = m i n m ，凡) ，吐cf l ，2 ，1 ) ， 则有( a b a 4 ) ( 口) a ( 口7 ，a ) b a a ( 0 ，口( 5 ) 一般情况下即使a ，b o ，( b a b ) c , 与 b t a a a b a 不可比较，但若a 昱亲，b 为mx 复矩阵，满足乳( b 池) ) s 聍( 口( a ) ) ， 则( b 4 a b ) e * 墨b a a ( ，37 ) b a ；第二部分引入了k r o n e c k e r 积的概念，证明了t 若a 目享，b 瞎，o t c n ，卢c m ，贝h a a o b 卢= ( a o b ) 7 害# 中，丫= 1 ，2 ，r a n 一r ，7 = n 0 1 ) + j ：i d ，j 卢7 ；第三部分引入了h a r d a m a r d 积的概念，证明了：( 1 ) 若a ，b 正定，r 为任意正整数，则有f a o b ) m c , a m 皿。口”o ；( a o b ) 2 a a 2 j a o b z a 且 ( a o b ) 。7 a 兰【a ”a o b ”a ) _ 1s ( a ”a ) 。o ( b ”口) _ 1 等不等式；( 2 ) 设a ，b 日导， 则( a o 口) n a ( a ) o b a a a o b a 且( a o 口) n a ( a ) 。日q + a a o b ( a ) 一a a o b o 第二章对形如b a b 的矩阵乘积( 其中a 半正定) ，介绍了几个关于其s c h u r 补 的待征值不等式，并在已有结果的基础上，利用定理1 1 1 ，得到了其广义s c h u r 补 特征值的诸多不等式证明了：( 1 ) 设a 瑶，b 口一，= n f 为正整数，满足 1 t 7 z - r 若1si l 0 ，b u ti fa 碥，b c ”“ s a t i s f y i n g 瞬( 日( n ，o ，) ) 蛇( 口( n ) ) ，t h e n ( b + a 口) osb a a ( 3 ) b 口i nt h es e c o n dp a r t ，w ei n - t r o d u c e t h ec o n c e p t o f k r o n e c k e r p r o d u c t a n d s h o w t h a t i f a 瑶，b 瑞，5c n ，a n d 卢c m ， t h e na a o b 3 = ( a o b ) 7 ，w h e r e 7 = f 1 ，2 ，m 札) 一7 ，r = n a 一1 ) + j ：i 5 ，) i nt h et h i dp a r t ，s o m ei n e q u a l i t i e si n v o l v i n gh a d a m a r dp r o d u c ta r eg i v e n ：( 1 ) l e t a ，bb e p o s i t i v ed e f i n i t e ，rb ea na r b i t r a r yp o s i t i v ei n t e g e r t h e n ( aob ) 1 o a 1 加。b 1 r a ； ( a o b ) 2 o a 2 5 0 8 2 o ；a n d ( a o b ) 一1 7 口( a 1 c l o b l 7 5 ) 一1 ( a 1 5 ) 一1o ( b 1 r n ) 一1 ( 2 ) f o r a ，b 日茅，i tc a nb es h o w n t h a t ( a 。s ) 5 a ( a ) o b 5 a 5o s 5 ，a n d ( ao b ) a a ( a ) o b 5 + a 口o b ( o ) 一a n 。b q i nc h a p t e r 2 ，u s i n gs o m ew e l l - k n o w nr e s u l t s + s e v e r a li n e q u a l i t i e so ne i g e n v a l u e so ft h eg e n e r a l i z e ds c h u r c o m p l e m e n to fb a b + w h e r ea i sp o s i t i v es e m i d e f i n i t ea r eo b t a i n e d ：( 1 ) i fa 璐，b c i o t i = r a n d li sa np o s i t i v ei n t e g e rs a t i s f y i n g1 墨l n r ，t h e n 兀：1a i 。 ( b a b ) n ：= la “ ( b b ) 】a n 一蚌1 ( a ) ：n ：。a t ( b a b + ) n 】2 兀：1a ，。 ( b b + ) 0 1 a 。+ 1 ( a ) f o r1 蔓t 1 o b a a a 丑口= 陋一1 ( 口) 4 1 ( ) 口- 1 ( d 纠l = ( 1 1 5 0 2 1 5 5 ) - - 1 o 显然两者无法比较 但与定理1 1 3 对应，我们有如下的一般结论： 定理1 1 4 设a 礁，b 为m n 阶复矩阵，k m i n m ，n ) ，q c l l ，2 ，l n = l ，2 ，”) 一n ，卢= 1 1 ，2 ，m ) 一n 满足腑( b ( 。，o ，) ) c 驼( bc o ) ) ，贝l i ( b a b ) c , b a ( 卢) b a 证明对任意复矩阵b c ”“，同定理l ，1 3 ，不妨设n = l ，2 ，) ，r = 则 ( b o ) + = 日( 口，。) 一b ( a ，n ) ( b ( o ) ) + b ( o ，n 7 ) + = 口( 卢：q ) 一b ( q ，。) + “b ( q ) ) + ) + b ( 疗，) + = b + ( o 7 卢) 一b + ( n ，a ) ( 口+ ( ) ) + b + ( o ，卢) = b + n 6 o o 肛 ( 0 渤 一 饵 肛 醇 即 若 且 注意到盼( 口( a ，。，) ) 跪( 日( ) ) ，故存在矩阵r 使日( n ，n ) = b ( 。) j r ，进而有 b ( o ，口) = b ( d ) r = 日( n ) ( b ( q ) ) + b 陋) 且= 曰( o ) ( 丑( 0 ) ) + 曰( q ，q ) 反之若b ( n ，。7 ) = b ( c o ( b ( o o ) + b ( c t ，) ，则显然豌( 且( n ，0 ，) ) 驻( 且( n ) ) 令工= ( 叫引“窖汹，d ) ，则有 x * b a b x = ( 。( b ) j 4 ( b 0 。) = ( b 盯郇佃a = b * 鲥( 口，) 跏 又由定理1 1 2 ， x - b t a b x ：f 一( b ( 。+ b ( q ，n 7 ) 1 + 口a bf 一( 口( 。 ! + b ( 。，一1 ( b a b ) 。 1 ”1 ”， 即b + a a ( 卢) 日加2 ( b a b ) t 0 1 特别地，b 。b a ( 口曰) 加 注1 若b 0 ，或b ( o ) 可逆，则瓣( b ( o ，d ) ) 蛇( b ( o ) ) 自然成立，故若a 正定，则 ( b 4 a 一1 口) 口b a ( a n ) 一1 口，o ， 注2 若去掉条件瓣( b ( o ，) ) 耽( b ( n ) ) ，结论不一定成立例：取 b = ( ：。1 ) ，。邓， 贝0 ( b + b ) q = 1 而b 4 a b a = 0 注3 该结论可以看作【3 】中定理2 在一定条件下推广到广义s c h u r 补的情形 1 2 半正定矩阵k r o n e c k e r 积的广义s c h u r 补的l s w n e r 偏序 对于a = ( a i ，) c “，b = ( b ) c p ”，用a 圆b 表示m p n q 矩阵( 。玎口) ，称为a 与b 的k r o n e c k e r 积一个熟知的定理表明，半正定矩阵的k r o n e c k e r 积仍半正定 引理1 2 。1 1 3 】若a 日宇，则l i m 。o + 阻+ j ) 8 = a 加，式中a 加为广义s c h u r 补。 引理1 2 2 【4 】对复矩阵a ，b ，o 和d 有 ( 1 ) ( a b ) ( c o d ) = ( a c ) o ( b d ) ( 2 ) ( a 占) = a + 0 b + ( 3 ) ( a 0 8 ) 。= a 。o b ，若a ，b 可逆 其中a ，b ，c ，d 的阶数使得a c ，b d 有意义 定理1 2 1 设a 璐b 瑞，oc n ，口c m ，令0 ，no ，口= m 一序则 4 b i n = f a o b ) v 其中1 = f l ，2 m n ) 一7 = m ( z 一1 ) + j ：i o j , j 口。) 7 证明若a ，b 可逆，则有4 q ：( a - 1 ( 。) ) 故 a 。 b 卢= ( 哇一1 ( 。) ) 一1 圆( 口一1 ( 卢) ) 一l = ( j 4 1 ( 。，) 。b 一1 ( 口，) ) 一1 著4 目曲不可、*三矍三二1 圆日叫) ( 7 ) ) q = ( t h - t q 9 o ；一 ( 7 j j - * = 。b ) ， 鹏鬻三誓可逆，则存幻雌挑麟跏，两边嵩恐旷并利 e 戮h + 6 。) q 。b + 6 w 捌= 。l i r a + i ( a + 帅) ( b + e 删7 ， 进丽 日h删l i r a a + 嗍圆。骧m 蝴j = l i r t ( a + d ) 圆( b + e 叫7 即例黔a , b 糅一结豫f ：黛伟 ，中硐避煳地可证结溅圹篡掣? 3 一批伟 肚( 。2 7 ) 皤8 = ( ) 一 翁：篡黑工毪黜- - i o y ，紫1 2 1 , 7 ，嘲叫坛。叫， = 3 ) 一2 ，3 ，4 ) 5 栅叫= 1 ，2 j 4 1 氲6 苫8 刮邮1 h 正涎即7 叫一2 ，到肛州，( ；，1 ) + ( 。1 ) ：， ( a 够b ) r = a n 固口口：2 且f 繁替妻麓鬻淼毗札叩忍m 枷黼川，加跏；， 禧萼i ：瓷兰：蒜冀秽叫忍删存在二忍加孙；， ，。铆) 。似2 他m 。( 啪。) j 2 狮e 垤。a 。m 证明只证明m ：2 的情况 由定理1 。i ( a 乏!，：；炉专?77_t，似。加：)。a；。故利用推论12i，to u a 2 n 2 ) 2 = ( j 4 l n 1 ) 2 固( a 2 n 2 ) 2 一”j 【l1 一上 之 皇胁z ) 2e - 4 ；口。之 n ，j8 ( 4 ；。：) 。，了( j 4 。卿7 = r 4 ，圆a 2 ) 2 72 时证明完全类似 “。 8 1 3 半正定矩阵h a d a m a r d 积的广义s c h u r 补的l j w n e r 偏序 对于a = ( o u ) c m 一，b = ( b 。，) c ”，称( a o b i j ) 为矩阵a 与b 的h a d a m a r d 积，记作a 。3 = ( n 。b ；j ) 著名的s c h u r 定理告诉我们半正定( 正定) 矩阵的t i a d a m a r d 积仍是半正定( 正定) 矩阵，且a 。b 是a 圆b 的主子矩阵下面我们给出 定义1 3 1 若a 巩，r 0 ，定义 a 7 = 矿+ d j a g ( 碍，碍， ：) 矿 其中u 为酉矩阵，满足a = u - d i a g ( a l ，k ， 。) u ，为a 的特征值，i = 1 ，2 ，n 容易证明a r 与u 的选择无关 引理1 3 1 1 3 , 4 , 5 1 若a ，b 为正定矩阵，则 ( 1 ) ao b o 且a 一1 o ( 2 ) a ( 。) 0 ，a a 0 且a ( n 7 ) a d ； ( 3 ) 若a b ，贝0b 一1 a 一1 ； ( 4 ) 若a 茎b ，贝ha ( 8 ) s b ( 8 ) 且a 理b c ，； ( 5 ) ( a 。口) ( 。) = a ( 凸) o b ( n ) ，( a 。b ) n n 。b 口且( ao b ) 一1 曼a 一1o b 一1 ； ( 6 ) a 2 o b 2s ( a o 口) 2 且a 1 ro b l r ( ao 口) ，r 为正整数 在此基础上，我们有 定理1 3 1 令a 瑶，b 置享，r 为正整数，则 ( 1 ) ( a 。日) 1 口兰a 1 7 aob 1 7 n ； ( ao b ) 2 q a 2 ao b 2 肛； 进一步，若a ，b 正定，则有 ( 2 ) ( ao 日) 一1 7 o ! ( a 1 7 ，o 。b 1 7 厂a ) 一1 ( a 1 一a ) 一1o ( b 1 n ) 1 ； ( 3 ) ( ao 且) 一2 a 兰( ( a 。_ 8 ) 2 a ) 一1s ( ( a 2 o b 2 ) n ) 一1 曼( a 2 口ob 2 d ) 一15 ( a 2 ) 一1o ( b 2 。) 一1 ， 证明( 1 ) 若a ，b 正定，由引理1 3 1 ， ( a 。b ) 1 n2 ( a 1 ob 1 ) a a 1 nob 1 n 且( j 4o 口) 2 a ( a 2 。b 2 ) o a 2 o 。b 2 d 若a ，b 瑶但不可逆，则存在e o 使得a + f ， 0 ，8 + e i 0 ，故 【( a 十e j ) 。( b + e f ) 1 n 【( a + e r ) 1 o ( b + e f ) 1 】。( a + e q l no ( 日+ e f ) 1 7 q 两边同时令e _ o + ，由定义1 31 ，j i m 。o + ( + e i ) 1 r = a 可得 ( a 。口) 1 7 7 ：。l 斗i r a 。+ i ( a + e j ) 。( b + e ，) 17 。i l i r a 。+ 【( a + j ) 1 7 。( b + e ，) 1 厂 9 l i mc a4 - e i ) l 。l i r a ( 日+ e 盯= a 1 7o b l r t _ o + 十 进而( - 4 。b ) i r o2 ( a 1 r 。b 1 r ) 加再结合定理1 33 ( 1 ) 得 ( | 4 。b ) 1 ，7 口( a 。7 。b 1 7 ) 口兰 1 7 c , 。b 2 7 ，。 同理可证o b ) 2 加兰( a 2o b 2 ) o a 2 oo b 2 o ( 2 ) 已知a 一1 q = ( a ( a m 一1 且a - 1 asa - i ( d ) = ( a ，a ) ，因此 ( a 。口) 一1 7 ns ( ( ao 口) 1 a ) 15 ( ( a 1 ”。b 1 7 ) o ) 一1 ( | 4 1 r n 。b 1 r n ) 一1 ( 1 口) 一1o ( b 1 7 o ) 一1 ( 3 ) 的证明与( 2 ) 类似 特别地，取r = 1 ，可得 ( a 。口) 一1 n 墨( ( a o b ) n ) 一1s ( a 口ob c , ) 1 ( a 口) 一1 。( b a ) 一1 定理1 3 2 若a 丑= ，b 职，r 为正整数，则 ( 1 ) ( ao 日) 一1 o a 一1 o 。b 一1 7 o ( a 1 o ) 一1 。( b 1 7 a ) 一1 ； ( 2 ) ( a o b ) 一2 。a 一2 a ob 一2 os ( a 2 n ) 一1o ( b 2 a ) 一1 证明( 1 ) 直接计算知 ( a ob ) 一1 7 n = ( ( 且ob ) 1 ( 口) ) 一1 曼( ( a 1 7 。b 1 7 ) ( o ) ) 一1 曼( a 。，7 ( 一) ) 一1 。( b 1 ( 0 ) ) 一1 冬( j 4 a ) 一1 。( b 1 a ) 类似可证( 2 ) 特别地，当r = 1 ，我们得到 a 一1 a ob 一1 a ( a c , ) 一1 。( 君a ) 一1 注：对m 矩阵已经证明类似结果依然成立，见f 1 定理1 3 3 设a ，口瑶，。c n = l ，2 ，n ，o l ，- n a ，则有 ( 1 ) ( ao b ) ( o ) 0 b 口a 旺。口盘， ( 2 ) ( ao 日) d a ( a ) 。日n + a n0 b ( o ) 一a l a0 b a ， 证明不妨设n = l ，2 ，r ) ，r = 令 a = ( 卷b 似。，各擀帅，。，) ， 百= ( 器b 附。，繇秘。删) 由定理11 3 的证明，j 兰0 豆o 1 0 对( 1 j ，显然，由4 ( o7 ) - 4 加可得a ( a ) 。b 。三a d 。口，又因为 ( a 。b ) c l 一4 ( a ) o b n = ( ao b ) q a l o to b n a ( a ，o ) ( a ( ) ) + a ( a ，。) 。b n = a ( o 。) o 口( 。7 ) 一 a ( a 。，凸) o b ( 口7 ，n ) j a ( ) 。且( 。) j 十 a ( n ，口7 ) o b ( 。，n ) j 一 a 。日o 一【a ( n ，n ) ( a ( q ) ) + a ( o ，o7 ) 】。口( ) + a ( n ，n ) ( a ( n ) ) + a ( o ，o ) o b ( o j l a ) ( b ( d ) ) + b ( d ，o ) = a f q 。b ( a 。、+ t ao 蚤、 n a f q 。b q = ( a o b ) c r + a q 。f b ( d ，o ) ( 口) ) + b ( a ，q ，) 1 2 0 。 因此( ao _ 8 ) n a ( a ) o b i o a n 。b n ( 2 ) 直接计算得， ( ao 口) 口+ a a 。b a = a ( d ) o b 陋7 ) a ( a ，q ) 。口( q 7 ，) 【a 陋) 。毋妇) + 阻( ，d ) 。口( n ，a ) 1 + a ( n 7 ) 一a ( n ，o ) ( a ( 血) ) + j 4 ( 血，o e t ) jo 旧( n ) 一日( n 。，o ) ( 日( n ) ) + 口( d ，n ) 1 = 2 a ( a ) 。b c c , 7 ) 一【a ( o ，n ) o 且( 口，o ) 】阻( o ) 。b ( 血) 】+ 【a ( a ，o ) o b ( n ，o ) 】 一a ( ) 。f 曰( c r ，口) ( b ( ) ) + b ( 口，n ，) 】一b ( a ) 。f a ( d ，o ) ( a ( o ) ) + a ( o ，o 铷 + 【a ( 一，a ) ( ( o ) ) + a ( 口，d ) 1 。 b ( o ，n ) ( 日( n ) ) + b ( n ，o l ) 】 = a ( 口) o 日a + a no b ( o ) + ( 互。雪) n 由s c h u r 定理及推论1 1 1 知( 2 ) 成立 第二章矩阵乘积广义s c h u r 补的特征值不等式 矩阵特征值的估计问题是矩阵理论及应用中一个重要的方面，对矩阵和，积的 特征值的估计一直倍受关注，并且已经有了如下的经典结果【2 1 ，3 1 ，a 2 ： 令a ，b 日害、1 曼i l 一 日4 。 定理2 1 在引理2 1 的条件下， 1 j 对任意实数”20 和自然数z ( o lsn r ) 有 ( 。；鹳。，黔肥k 城互列) ” 2 。掣划黔陋m 朋( z 小胪 ( a 。o ) ) ” 1 i t i fs 珐吨 ( 2 1 0 ) = i ( 2 ) 若朋为任意f 个正实数，则 。鹧。薹k 陋k 妣厶叶列址 。蚤；。舞，h 旧k 棚( 孤一书t ：壹k ( a 咖。lsi 。 “墨。一，( 21 1 ) 证明由引理2 1 知，对任意z c ( 一r ) ”，a qs ( z , i n 一，) a 亿厶，) + 所以 a i ( a l a ) 兰九i ( z ，厶一，) a ( z 厶一，) ，i = i 21 n 一7 ( 1 ) 由上式，对自然数t ( o f ! n r ) 和任意实数”0 ，有 1 f z 。掣，婴k 陋厶一a 陇厶 r ) - 】) ”( 娶h 硼” 且 z 。删n r ) 。，黔旧厶朋( 矾_ r ) 引黔悱矿 其中， 1 兰i 1 i f 曼礼一r 令z 1 = 一a ( n ，q ) ( a ( 。) ) + ，计算可得( z - ，k 一，) a ( 磊厶一，) ：a o 由此 l i ( a “( a o ) ) ”= ( i i “ ( z i ，厶一，) a ( z 】，k 一，) + ) u 副。掣，黔肥“懈川 ) ” 兰( i i 屯汹。 1 3 同理 ( 引a o ) ) ”= ( h 划( z ，厶一r ) a ( z t ，厶一r ) 】) 。 。鹧，( 黔炉m 舢( 弛_ r ) ) ) ” ( a o ) ) ” 由此( 2 1 0 ) 式成立 ( 2 ) 已知对任意z c ( 一) r 和啦o ( 1 5z ) ，有 a 乱 ( z ，矗一，) 以( z ，矗一，) + 钝a “( a 。) 钝1 i i s 靠n r 故 。；掣吾 i 【( 互厶一a ( z ，矗_ r ) 小t 蚤h ( a 咖t 且 若。；鸸一h 旧且埘( 弛一巾t 兰p m 。m 令z = 一a ( a ，a ) ( a ( a ) ) + ，代入上式， l f a “( a a ) 仇= a 。 ( z l ，厶，) a ( z l ，厶一，) 砚 = 1t = 1 。艘。p 肥k 妣k ) - 】地 i 兰州一a ) f = a “ ( 而，i n 一，) a ( z 1 ，厶一，) h f 础r a 。i n 。，a 肥厶一r ) a ( z ，k r ) + 1 饥 划a 加) 姚 由此可见( 2 1 1 ) 式成立 引理2 3 f 6 j 若ae c “b c “，则a b 与b a 有相同的非零特征值，重根按 重数计 1 4 口 。 定理22 设a 璐 1 sf n r ，若1 i t 1 ，2 ，n ) ，川= r ，l 为正整数，满足 ( 1 ) i i “ ( b a h + ) a 1 - i a 自f ( b b ) a a 。一t + ，( a )( 2 1 2 ) ( 2 ) a d ( b a b + ) d 】a 。【( 曾b ) o h 。一“+ ，( a ) ( 2 1 3 ) 3 ) a ：。 ( s 4 b + ) n m i n a “( 且) 屯( ( 丑b + ) 0 1 ，a 。 ( b 口) 叫( ) ( 21 4 ) 证明当a 不可逆时结论显然成立当a 可逆时， ( 1 ) 若。= 1 ，2 ，r ) ，由引理( 2 1 ) 和( 2 、1 0 ) 式得 黔旧们训2 缈m i 。a 。埋k 旧小r ) b a b * ( 弛一1 2 z 。冰，耳1 “l a b ( z ，厶一r ) + ( z ，厶一r ) 捌 2 z 。鹳。娶) l n - t + l ( 眺叭z ，厶一r k ) 引 。z 。鹧。i a n - t + l ( 砒隅厶一r ) b 口( z ，厶一r ) 】 = a 。 ( b 口) n j 。一h t ( a ) ， 若。 1 ，2 ，r ，令丘= 1 ，2 ，r ) ，则存在n 阶置换阵u ，使得 u a u = ( 笨：岛篮g ) ，可见( 矿a u ) ，丘= a n 因此 fr a “ ( b a b ) d = i i 埘( u b u u 4 a u u b u ) m 。【( 矿b u u + b u ) 丘b 。一1 ( 矿a u ) = 九。【( b 口) 口】a 。一h ，( 4 ) ( 2 ) 由( 1 ) 的证明知，不妨设n = l ，2 ，r 则 ! f g 旧加w n - 。掣。，銎m ( 互厶一r ) b a b * ( z , i n - r 川 1 5 c一0口贝 一 n n c 一 日 ” z日8 0 一k 孑a 。胡 r ， 0 n 叶 口 普 陋 舵 k a a 十 + 一 一 n n 入 ， = i | = 2 。器，耳w b + ( z ，h + z t “矧 三。鹦，卫h 町z ，i n r ) + ( z ，h r 司机+ 1 = 删m ，i n m ，曩圳z ，k r ) b 曰( z ，k 一脚一且 ；驵k 针( m 。鸸，黔【( z 1 徊f 临 _ r r 3 = 。一+ l ( a ) “i ( b b ) m = “【( b b ) a 1 n 一“+ 1 ( a ) f 2 1 4 ) 式类似可以证明。 以下我们总假设。： 1 ，2 ，r ) ，r = 结果可以通过置换推广到一般情形 与定理2 2 对应，利用( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，( 2 6 ) 式可得 定理2 3 在定理2 2 的条件下， ( 1 ) 壹a “i ( b a b ) 翻础b ) 翻 + - ( 内 ( 2 1 5 ) ( 2 ) 壹k ( b a b ) 删a “f ( 曰曰+ ) n 】a n 一+ 1 ( a ) ( 2 + 1 5 ) ( 3 ) 壹a 。 ( b a b ) 删曼m i n a 。( a ) 丸i ( 口且) n ，a 如i ( b 口+ ) 翻k ( 且) ) ( 2 1 7 ) ：l 证明不妨设n = 1 ，2 ，r ) ，由定理2 1 得 ( 1 ) 酗【( 口删侧2 。高。p 肥k j 鲋彤旧 q r 3 ：m i n a ；。l a b + ( z ，k 一，) + ( z ，k r ) b 】 z c ( ) x 乞： m i n fa “i b + ( z ，厶一，) ( z ，厶) b j a f + l ( 且) 一z c f ) 。”仁： ： m i n f 。l ( z ，l 一，) b b 。k r ) j a n 一( a ) z 6 c ( ”：三 = a n - t 4 1 ( a 1z ；删z ，k r ) 朋( z ，h r ) + 。一+ ( a ) a 。 ( b b + ) a 1 6 类似可证明( 2 1 6 ) 式成立 同理 因此 ( b b + ) 】a 。一t + l ( 4 ) ( 3 ) 蚤九小b a b * ) 。12 缈m i 。n 。，善凡t ( z 一) b 仰( 互k r ) 2 。删，p 朋f ( z , i n - r k 冽 s 。鸸，p 胭+ ( z , i n - t k m ( a 2 。鹧，p 肥h 脚他“m ( a ) 2 萎矧r a i 。n 。，a h ( 互厶- r ) 即邯靠】 ：圭k ( a ) “( b 口) 。】 蚤凡t f 徊船1 司。彬m i 。n 。，苫k ( 砜一脚扩( 弛卅 = m i 。n z 。，a“fb(z，厶一，)+(z，厶一，)b刎ec(一，x r ，一 、 。、一。 s minm，aiz 。( ) 九【占( z ，厶一，) ( z ，厶一，) 引e c ( 。 一 r ) x r _ ”、。”“、” =z撙舅。，。(a)at【(z厶一，)bbz+ ( z ，k 一，) + e c () ” 鼍、。” 。 、。 2 善九“m 娜r a ，i n 。，a t ( 互k r ) 肋邯 一r r ：圭a 。( a ) 扎 ( 占b ) 。 lf “ ( b a b + ) n m i n 。( a ) 儿 ( b b + ) n 】，a 。 ( b 占+ ) 口】九( a ) ) t=l=1t = l 定理24 若a 半正定，b c “a n = l ，2 ，n ) ，l o i = r ，则 馔11 i ( a ) 如 ( b b ) 。 1c ( b a b “ e 冉! 麓。九( a ) a j ( b b ) a ( 2 - 1 8 ) 其中t = 1 2 ，n r 1 7 证明不妨设n = 1 ：2 ，r ) ，由定理2l 和式( 2 9 ) 得 九i ( b a b * ) 。 = z c r a ( i n ) 。，也 ( z ，厶一r ) b a 口+ ( z ：厶一r ) 。】 = z c r a ( i nj 。，k l a b * ( z ，厶一r ) + ( z ，厶一r ) 口】 z c m i i n ，。，+ s ! 纂0 凡( a ) 日( z ，厶一r ) + ( z ，厶一r ) b 】 3 z 。掣已，；+ 0 1 隳。九( a ) 【( z ，厶一r ) b b + ( z ，厶一r ) + 】 ：+ m ，：a 。r x + ez c m ( i n ) 。，a j ( z ，厶一r ) 曰b ( z ，厶r ) + 】a t ( a ) 3 ，+ ? ! 骣。丸( 4 ) ：。掣曼，。，f ( 互厶一r ) e b + ( 互厶一r ) j = ，黑 扎( a ) 【( 日b + ) a 】 另一方面， 堋日a b + ) 。】= 绷m 卜i n 枷m ( z ，厶一r ) b a b 4 ( z ，厶一r ) j = z e c m ( i n 】，九l a b ( z ，k r )