（概率论与数理统计专业论文）推广增长曲线模型协差阵的最优估计.pdf

卜h 内容提要 对丁一种特殊形式的多元线形模刑推广增k 曲线模刑( e g c m ) ( 1 1 1 ) y = a o b ，+ u e i = i e = ( ( 。 ( s ) ) ，8 ( 。) 独立，且e ( 。) = 0 ，e ( 。) ( i ) = 其中爿，、e 、u 分别为n t ，p ，n s 已知矩阵，o ，是k ，的来麦c 廖数矩 阵，0 也是未知的，气) 与p 维止态分布v ，( o ，) 有相同的四阶矩甲，我们称这种 情况为准止态分布。 对t = l 和t = m ，文 1 - 一 5 、 1 5 1 7 、 9 、 i o 分别在一定条件限制r ， 对模型( 1 1 i ) 进行了讨论，尤其是对t = ，结果已比较完善。 而对t = 2 时，好的结果却不多。 6 时论了 的线性函数的最小二二乘估计，_ ：f ：给 出相应的最优性条什。而对于的估计问题， 7 只讨论了u = l ，( i ) i m 22 0 ，( i i ) i j j i 厶= o ，( i j j ) m 2 = 0 儿种特殊情形ft r ( c z ) 的l s et r ( c e + ) 及其展优性问题a f 8 在 m 2 m 4 = m 4 m 2 的条件下t 求山了对丁一般的u ，的l s e ( + ) 的显式表达式。 本文针对 8 中所求山的t r ( c + ) 讨论了其相廊的最优性问题，且与 7 中结果 相比，本文有了以f 改进和进展： 将u 从单位阵i 推广到一股情况，不仅给出了i m 2 = 0 ，i m 4 = 0 m 2 2 0 ，三种 特殊情形下，t r ( c x + ) 为t r ( c ) 的u m v i q u e 的充要条什，而且征更一般的条什p ( 上 述二项不为0 ，但限制m 2m 4 = m 4m 2 ) ，讨沦了l r ( c + ) 为t 1 ( c x ) 的u m v i q u e 的 充要条1 ；| ：。 关键词；疆穴增长曲线模型、协差阵j 诺线性函数、最小二乘估计、二蔹聂水方惹蕤、 焚二次无偏估计、正交投影阵 a b s t r a c t a st ot i l ee x t e n s i o no f g r o w t hc u r v em o d e l ( e g c m ) ( 1 1 1 ) y = 爿，o ，b ，+ u e ，= l e = ( g _ 、1 ) 1 ) ，一，占( j a r e i n d e p e n d e n t ，a n d e q ，) = 0 ，e 占【j 卢 w h e r e 彳，、e 、u a r en xk 。，p 。，i ，n s m a t r i x e s ，o ，i sa k ，x7 u n k n o w n m a t r i x 0i sa l s ou n k n o w n ，a n d m ( q ) h a v e t h es a m ef o u ro r d e rf f l o m e n t ，d e n o t e db y 甲a n dw en a m et h i sc o n d i t i o ns e m i n o r m a ld i s t r i b u t i o n f o r t = l 、t = m 【1 卜【5 】、【1 5 1 - 一【1 7 la n d 9 1 、【1 0 】d i s c u s s e d t h e m o d e l ( i i i ) i ns o m e l i m i t e dc a s e e s p e c i a l l yf o rt = l ，t h er e s u l t sh a v ea h e a d yb e e nc o m p l e t e b u tf o rp 2 ，t h eg o o da n de f f e c t i v er e s u l t sa r es c a r c e l yb e e nm e t 6 】d i s c u s s e dt h el s eo t 、 t h el i n e a rf u n c t i o no fu n k n o w n1 e g r e s s i o nc o e f f i c i e n tm a t r i x a n dg a v et i l ec o lr e s p o n d i n g o p t i m a l i t yc o n d i t i o n o nt h eo t h e rh a n d ，f o r 1 e e s l i m a t i o no f c o v a r i a n c em a t r i x ，w h e nu 2 i ， 7 】 o n l ye x p l o r e dt h el s eo f c o v a r i a n c em a t r i xl i n e a rf u n c t i o na n di t so p t i m a l i t yi ns o m es p e c i a l c a s e ，s u c ha s ：( i ) i 时2 = 0 ，r i i ) i 一时4 = 0 ，( i i i ) m 二= 0 w i t hm 2 m 4 2 m 4m ! ， 8 】8g a v e t h e e x p l i c i te x p r e s s i o no f ft i l el s e o f ) a i m i n ga tt h ee x p r e s s i o no ft r ( c ) i n 【8 1 ，t h i st h e s i sd i s c u s s e si t so p t i m a l i t y a n dh a s f o l l o w i n g m e r i t sc o m p a r i n gw i t ht h ec o n c l u s i o ni n 7 】： g e n e r a l i z i n guf r o mt i l ei d e n t i t l l m a t r i xt ot h eo i d i n a r ym a l l i x ，t h i s t h e s i sg i v e st i l e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no f t r ( c + ) b e i n gt h eu m v i q u e o f t r ( c ) n o to n l yu n d e r t h r e es p e c i a lc o n d i t i o n ：1 - m ，= 0 ，1 - m d = o ，m ，= o ，b u ta l s ou n d e r t i l em o r eg e n e r a lc o n d i t i o n ( t i l et h r e ei t e m sa b o v ea r en o te q u a lt oz e l o ，b u t m ! m 4 = m 4m 2 ) k e vw o r d s ：e g c m 、 c o v a r i a n c cm a t r i xa n di t si i n e a rf u n c t i o n 、 l s e 、u m v i q u e 、o r t h o g o m dp r o j e c tm a t r i x 华中师范大掌硕士掌位论文 第一章引言 1 1 模型及符号 1 9 3 8 年，w i s h a r t 在研究不同组间生物的生k = 情况时，曾引入如下的一种更为一般的 多元线性模型生长曲线模型( g r o w t hc u r v em o d e l ，简记为g c m ) 1 9 8 8 年， a e v e r b y l a w n v e n a b l e s 将这种模型进行推广，得到推广生i 受曲线模型( e x t e n s i o n o f g r o w t hc u r v em o d e l ，简记为e g c m ) ： - ， y = a ，o b + u e i = i e = ( _ ；【s ) ) 8 ( i ) ，8 ( 。) 独立，且e 8 ( ，) = 0 ，e 8 ( ，) 8 m = 其中a 、e 、u 分别为n xk ，p x ，n xs 已知矩阵，爿，表示处理效应矩阵，b 表示轮廓设计矩阵： ，是t t 的朱知参数矩阵，0 也是未知的，n 与p 维正态 分布n 。( o ，) 有相同的四阶矩掣，我们称这种情况为准正态分布。 这种模型在生物统计学中有着非常广泛的应用，可用于描述平行轮廓中轮廓结构形 式有多种的情况，另外，非线性模型通过某种线性化后也可得到e g c m 模型m 1 。 常用符号说明t a ob t r ( a ) r k ( a ) r ( a ) p v e c ( a ) g c i d e g c m l s e b l u e u m v i q u e m i n q e ( u ，i ) a 与b 的k r o n e c k e r 乘积或”义积” 方阵a 的迹 矩阵a 的秩 矩阵a 的列向量张成的线性子空间 向r ( a ) 的正交投影变换阵 将a 的舸向量依次排成的列向量 增长( 或生长) 曲线模型 推广的增k 曲线模型 最小二乘估计 最佳线性无偏估计 一致最小方差不变二次无偏估计 无偏不变晟小模二次估计 华中师范大学硕士a p _ 位论文 1 - 2 推广增长曲线模型的研究现状 对f r 推广的增k 曲线模型问题，d ：同9 1 系数矩阵的估计方面，a e v e r b y l a 和 w n v e n a b l e s ( 1 9 8 8 ) 在观察矩阵服从止态分布、各没计矩阵均为列满秩的条件f ，曾 给i 了一种较妻r 的算法；秦学军( 1 9 9 2 ) 讨沦了同门系数阵线性函数 k 。 厶+ k ， ，的估计最优性问题： 番矬新( 1 9 8 8 ) 给i 1 j 了在“t r a c e ”意义f 同门 系数阵的l s e ；张尧庭( 1 9 8 0 ) 给出了同门系数阵线性函数t r ( c o ) 的优良彳古计。 徐承彝、杨文礼就t = l 情形讨论了t r ( c ) 的最小二乘估计t r ( c ) 及其优良性； 【9 】在t = i n 、e 服从椭球等高分布且r ( b i ) ir ( b ，) r ( b ，) 的条什f ，给 了t r ( c ) 可估时的m i n q e ( u ，i ) ：【1 0 寸沦rt = m 、e 服从椭球等高分布且r ( a ) 3 r ( a 2 ) 3 r ( a ，) 的条1 ，i ：r 协筹阵。同门系数阵的同时最小棋估汁及其优良 性；对t = 2 时，( 7 】在u = i 的条件f 给山了( i ) i m 2 = 0 ，( i l ) i m 4 = 0 ，( i i l ) m ! = 0 几 种特殊情形f 协筹阵线性函数t r ( c ) 的最小啊二乘估计t r ( c + ) 以及( i ) l m 2 = 0 ，( i i ) i 一 彳4 = 0 两种特殊情形r ，t r ( c 2 ) 为t r ( c z ) 的一致最小方筹不变次无 偏估计( u m v i q u e ) 的充要条仆和m ! = ( ) 寸，t r ( c 2 ) 为t r ( c s z ) 的无偏什计的充要条 仆。【8 】住m 2m 4 = m 4 m 2 的条仆r ，求lj - 埘 。一般的u ，的最小一i 乘估计+ 的 显式表达式。 本文在前人i ：作的基础上，有了较人发胜。给山rt = 2 、m 2m 4 = m 4m 2 时，对 丁更一般的u ，t r ( c + ) 为t r ( c ) 的u m v i 叫i i 的充要条仆( 详! ! l 后文) 。 2 华中师范大掌硕士掌位论文 _ 一一 第二章二次不变估计及引导线性模型 2 1 二次不变估计及引导线性模型 我们要讨论t = 2 时t r ( c e ) 的优良性问题，首先要明确t r ( c z ) 和t r ( c e ) 的哪些 无偏估计量作比较，即在什么样的估计类中来讨论”( c z ) 的最优性。 t = 2 时，对模型( 1 1 1 ) 利用拉直和叉积的关系可化为 ( 2 1 1 ) v e c ( y ) = ( 4 圆b 1 ) v e c ( 0 1 ) + ( a 2 0 8 2 ) v e c ( o2 ) + ( u o ，) v e c ( e ) 其中e 的分布情况如前所述。 i a y = v e c ( y ) , 刚。目a 2 。b 2 ) , 卢= ( l 比v e 。c ( ( 。0 ，1 ) ) j 、1 e = v e c ( e ) , 脯 ( 2 1 2 ) e ( e e ，) ：i 。y ，e = ( x e ) 1 3 ：+ 。( ，u e 的。四1 ) e 阶矩与甲有关 这里y 是n p 维随机向量，其概率分布p 。属于b o r e i 可测空间( r ”，卫”) 上的概率分布 族：p 。= p f ：毒= 邓+ ( u 0 1 ) e ，卢尺“+ 。小，p 满足( 2 1 1 ) 中的条件) p 。中含有未知参数( ，甲) t 参数空间为 q 。= 卢，、 j ) ：卢r i , k t + l a l qz o ，、壬，为，( o ，) 的四阶矩j 。 考察( r ”，毋”) 上的线性变换1 r a z = z + x c t ，z r ”，这里a 为任一指定的 f i k l + f 2 k 2 维向量。对y 施行线性变换玎。后得到：石。y = x ( + 口) + ( u o ，) p ， 仍是n p 维随机向量其概率分布p 仍属丁p l ，p “，中的米知参数为( + 口，甲) 战而r 上的变换万。导山了ql 上的一个变换万。：7 。( ，掣) = ( + 口，甲) ， 只是第一个参数分量发生了变化，甲都米变。所以t 在州统计量f ( y ) 作为t r ( c z ) 的估计量时要求f l y + x t z ) = 盼) ( e v a r 。+ 。2 2 成立) ，应是合理的。变换集： ( 2 1 3 ) 丌。：石。z = z + x a ，口r 7 。+ 关于乘法( 丌矾- 丌。：) z = z + x ( a l 十口2 ) 作成一个群。对于模型( 2 1 2 ) 有 3 华中师范大掌硕士学位论文 定义若f ( y ) 是t r ( c z ) 的估计量，且对v 口r7 1 h + 7 2 “、y r ”，有 ( 2 1 4 )f ( 万。y ) = f ( y ) 成立，则称f ( y ) 是t r ( c z ) 的关于变换群( 2 1 3 ) 的不变估计量。 记m = l 。一x x + ，则易知m 是正交投影阵( 即对称幂等阵) 。 ( 2 1 5 ) 定理 ( 2 i 4 ) 式对一切口r “z ，成立的充要条件是 f ( y ) = f ( m y ) 证明见 i l q 3 定理1 2 1 0 ( 2 1 6 ) 推论设a 为n p 阶对称阵，t r ( c z ) 的估计量y 砂是变换群( 2 1 3 ) 下的不变估 计量的充要条件是y ：秒= y m a m y 因此，我们在y 的二次型中选择具有不变性的那一部分估计l 。= y m a m y ：a = 一) 作为t r ( c ) 的估计类是合理的。 i 扫t - y m a m y = t r ( m a m m y y m ) ，故m y 的二次! l l 也是m y y m 的线性型，l 也是m y y m 的线性估计类，模型( 1 1 1 ) 经( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 转化后，可导出线性模型 ( 2 1 7 )( m y y m ，e ( m y y m ) ，c o y ( m y y m ) ) 其中：e ( m y y m ) = m ( u 圆1 ) e e e ( u ot ) m = m ( u u oz ) m ( c o y m y y m ) m b m = 2 m ( g o z ) m b m ( g o e ) m 川其中g = u u 。 2 2 一致最小方差性及z y s k i n d 定理 假设( q ，j 刁为一个可测空间，( 卯， ) 是一个实的、维数有限的内积空间， 孝是( q ，上的一个随机元。令 2l r ( a b ) ( 2 2 1 ) 定义( u m v i q u e ) 若t r ( c z + ) 是t r ( c z ) 的不变二次无偏估计，且和不变二次 估计类z _ “m a m ，m y y m ) ：a 为n p 阶对称方阵，y 、m 如前所述 中任何一个无偏估 计y m a m y = ( m a m ，岣，m l i ：v a r z t r ( c z + ) v a r z y m a m y ，v e 0 则t r ( c + ) 就是t r ( c ) 的一致晟小方差不变二次无偏估计，简记为u m v i q u e 。 记巨= 易善：p o ) ，r ( e ) 表示豆住口p 中张成的空间，m 有 ( 2 2 2 ) 定理( z y s k i n d )( 6 t ，善) 是g p ) = ( 口，e 日掌) 的无偏估计量。在岛o 处， 4 华中师范查竺! 主竺竺竺! 一一 位，掌) 是位，e 。善) 的最小方差线性无偏估计量的充要条什是：( c o y o t e ) d 6r ( 曼) 证明参见【1 】中定理1 3 2 6 。 记巨。= e ( m y y m ) ；o = m ( g 。) m 0 | l ! l | r ( 曼) = m ( g o y ) m l v = v ( 2 2 3 ) 引理对任意n p 阶方阵b ，有 ( c 0 7 m y y m ) m b m = 2 m ( g e ) m b m ( g ) m 证明见【1 1p p 4 7 q 8 。 ( 2 2 4 淀理t r ( c z ) = y m a m y = ( m a m ，m y y m ) 是t r ( c ) 的二次无偏不变估计， t r ( c ) 是t r ( c z ) f i l 勺u m v i q u e 的充要条什是：对每一0 ，都存在刘称阵y ( ) 使 m ( g 。1 m a m ( g 。) m = m 【g 。矿( ) i m 0 1因z ) = m m 因p l 厶j 证明；利用( 2 2 2 ) 定理和( 2 2 3 ) 引理立即可得。 2 3 相关引理 ( 2 3 1 ) 引理设a = ( t s ) ，那么 小二篙警：- j 磷：_ b + 其中b = ( i 一 ) s = ( i p7 ) s ，c = t 十s ( i b + b ) 证明见 1 1 p p 2 1 7 定理7 。 ( 2 3 2 ) 引理设t = l 。b l ，s = 2 。b 2 ，若 ( i pt ) s + = s + ( i - p 7 ) 则 m = i 一( a l ob i a 2 0 b 2 ) ( a i o b l a 2 0 b 2 ) + ：i 。m2 + m l 。( iv - m 2 ) 一( i 。一m3 ) 。m 2 ( ip - m4 ) m2 一m l ( i - m 3 ) 。( i ? - m2 ) ( i ， m 4 ) m2 一( i 。一m3 ) m l 。m 2 ( ip m4 ) ( ip m 2 ) 一m l ( i 。一m3 ) m i 。( 1p m2 ) ( i p - m 4 ) ( ip m2 ) 5 华中师范大掌硕士学位论文 其中m l 一，一aja i ，m2 一。j ，m 1 一。a ! a ；，m 。2 1 ，b2b ； 止明址参考文献 7 。 ( 注：本文中利用m 的表达式时，均假设【( i p ，) s + = s + o - p ，) 已成立，下面不再说明。) ( 2 33 ) 引理若g 是1 r 零的f r 负定阵! j ! | 】有j 霄数 使g = ag 的充要条件是有常数p o ， 使pg 幂等。 证明：参见 1 引理( 2 3 2 ) 。 ( 2 3 4 ) 引理c 是对称阵，i ) 是对称幂等阵i 0 ，则对一切0 ，有f ，c p - o 的 充要条什是c = o 。 证明：利州 1 中引理( 2 33 ) ，：睁其中的m ，换成这里的p 即可证得。 ( 2 _ 3 5 ) 引理殴a 、c 是p 1 “j f ，2 矩阵，i j ( x ) ，【) ( x ) 址定义在集合s 上的儿x 儿矩阵函数。 若c 0 ，则a o b ( x ) = c od ( x ) ，vx s ，成芷的充要条件是： ( 1 ) 有常数五使a = 五c ，d ( x ) = 丑b ( x ) 或( 2 ) i j ( x ) 三0 d ( x ) 三0 。 证明：参见 1 p p 3 8 引理( 1 9 4 ) 。 华中师范大学硕士学位论文 第三章最小二乘估计t r ( c + ) 的优良性讨论 注：以下讨论中的t r ( c e ) 均直接引用文 8 中的结果。 3 1几种特殊情形下的优良性讨论 1 卜m 2 = 0 的情形 此时m = i o 帆+ m ：。0 ( i 一批) ( 1 ) m 3 g = o 时 t r ( c + ) = t r ( g 2 ) r ，( g om 4 c m ) y 因为m ( g om 1 c m d ) m = g o 也c m l ，所以由( 2 16 ) 摊i 论知：t r ( c + ) 具有不变性。 e t r ( c + ) = t r ( g 2 ) 一 = t r ( g 2 ) “t r ( g 帆c m l ) m ( g o ) m = t r ( m 4 c m 。) 所以根据( 2 2 4 ) 引理，t r ( c ) 是t r ( c ) 的i j m v l 0 u e 曹c = 帆c m 。且对一切 0 ，有 对称阵v ( ) ，使 ( 31 1 )m ( g o ) m ( g o 扎( 2 m ) m ( ( ： ) m = m g ov ( ) m 由丁m ：g = o ，m ( ( ；o i ) = g m 4 ，故( 3 1 1 ) 式可化为 g 0m 4 m 1 c m 日m d = g o m d v ( ) m 1 由( 23 5 ) 引理知，上式成立的必要条什是仃常数五使g 3 = a g 或帆m c m 。帆= 0 ， 前者必导致有常数p 0 ，使p g 幂臀( 引胛( 2 3 3 ) ) ：后者是不可能的，否! j | j 必导 致c = m 4 c m = o ( j ! l 引理( 2 3 4 ) ) ，j ( ：0 矛盾。反之，若有常数p 0 ，使p g 幂 筲，j i 【l j 取v ( ) = p 。帆c m 。可使( 3 11 ) 式成立。至此，我们证明了 ( 3 1 2 ) 定理若g - - o ，c = c 0 。t r ( c z + ) = 订秽) - 1 y 昭。也c l i i ) y 是t r ( c ) 的唧i q 【】e 的充要条件是c l i 0 并且有常数p 0 使p g 幂等 ( 2 )m 3 g 0 ，m 4 = 0 时 l r ( c + ) = t r ( g m ) 2 一，( m 。( ，oc ) y 此 1 ，m = m 。oi ，1 1 d m ( m ：i m i o 【：) m = m 。( ；m 。o t 所以t r ( c e + ) 满足不变性。 义冈e r r ( c + ) = t r ( g m ) ? 2 t r 帆，g m 。o c ) ( ( ：o ) = t r ( c e ) 无偏性显然满足，所以t r ( c + ) 是l r ( c ) 的t j m v l 0 u e 充要条什是：对每一0 ，存 住对称阵v ( ) ，使 m ( g o ) ( m ：l g m o c ) ( g oe ) m = m ( ；ov ( ) m 7 华中师范大掌硕士学位论文 一 即( m ：l g m 。) o c e ：m f l m 。 v ( ) 与( 1 ) 中推理相似，可得到充要条仆是存往j 菅数，f 0 ，使m t g m 、，幂等，从而有f 述 定理。 ( 3 1 3 ) 定理若邸0 ，m 。= o ，c = c 0 ，则t r ( c e ) 是t r ( c z ) 的u m v l q u e 的充要 条件是有常数， o ，使z 地g 蚝幂等 ( 3 )m 3 g 0 ，m 4 0 时 t r ( c z + ) = a y 其中a = g o m t c m ，十m 。( m ， 啦( i - m 1 ) c ( 1 - m 1 ) 十g m ：，o m 4 c ( i - m 1 ) 十m l g o 口3 ( 1 一帆) c m l ，其中口l = t r ( ( - ：) j 。a 12 t r ( g m ) ： 1 0 3 2 t r ( g ! m ) 易证，m a m = a ，故t r ( c e + ) 是t r ( c ) 的次不变什计。 义e t r ( c e + ) ：t r i m 。c m + ( i m 1 ) e ( i 一十m 1 c ( i m 1 ) + ( i m 1 ) c m l 2 l r ( c ) 无偏性已满足。t r ( c + ) 魁t r ( c5 2 ) 的u m v i q u e 的充要条什是对任何o ，存相：对 称阵v ( ) ，使 ( 3 1 4 )m ( g o ) a ( g o ) m = m ( j v ( ) m 殴c 有谱分解c = 喜犏并r j t q f f = l r , 人= ( 分呈 蛐u 。i = l” 知r = r k ( g ) = r k ( u u ) 1 。对任何i ( 1 l r ) ( 并 眦) m ( g o ) = 并g o m ，= 五ig o 叱2 af ( 彰o 1 ) ( 31 4 ) 两端左乘并om ，j 乘gi om t ，刊 m i ( go i ) a ( 4 1 9 1 ) 五 m 2a im i v ( ) m 一 冈而m 1 兄i ( 爿o i ) a ( 掌i 1 ) 丑( 善io1 ) a ( 善 i ) m i ：0 由( 2 34 ) 弓l 理矢| i f ( go i ) a ( 亭：oi ) = ( f io d a ( 孝io i ) 义从e r r ( c + ) ：l r ( c ) i q 以彳! _ 剑 t r ( c e ) = t r a ( g o ) = l r ( 彰圆i ) a ( 掌i o j ) 8 华中师范大掌硕士掌位论文 所以矗( 茸o i ) a ( 善o i ) = c k 1 故有( 等0 1 ) a ( f 。o i ) = 。叫r 叫( ：，i = 1 ，r 对任何i ，j 2 l ，r ，i j ，住( ：j 1 4 ) 式两端庀乘爿om 1 ，打乘f m 得 地 ( 爿o i ) a ( 毒。pi ) m 4 = o ，进而仃 帆 ( 爿o i ) a ( f o i ) + ( 掌： 1 ) a ( 孝o i ) m 4 = o 由引理( 2 3 4 ) 知 ( 彰圆i ) a ( 毒o i ) + ( 眚：圆【) a ( 眚 i ) ：0 ，i j 但是( 爿o i ) a ( 4 o i ) + ( 掌：0 1 ) a ( 善o 【) = 2 爿g 善口i m c m ，+ 2 爿m ：，g m 。掌 口2 ( 1 一m 4 ) c f l m ) + ( 五十五) 掣m 。告a ， m 1 c ( jm i ) + ( i 一帆) c m l 上式两端左乘批或i 一帆，可得上式t i 端四项为0 ，所以 ( 爿 i ) a ( 古o i ) = oi ，j = l ，r ，j j 一( 木 ) 由( 木) 与( 木木) 两式可得( r pi ) a ( ro1 ) = r 叫。 c 上式左乘n 、圆i ，矗乘ar f i 得，( ( ；o1 ) ( ( ：o i ) = fl g o c 即： a i g ： m 4 c m l + 口2g m g m ： g o ( 1 一m 1 ) c ( 卜m 1 ) + a 1 g ? m g 0m i c f lm 1 ) + a ，g m 扩o ( 1 - m 4 ) c m 4 = r ( j 0 c 上式阿端左右乘i 帆，或1 0 ( 1 一m ) ： ( a ) ( 口l 肛r g ) o m 4 c m 2 0( h ) ( “二g m ，( 训。g rl g ) 圆( i m 1 ) ( ：( i m 1 ) = o ( c ) ( 口1 g “l g r g ) om 1 c ( i m 1 ) = ( j ( 1 ) 、( 1 】) 、( c ) 挪成、) ：址“nv ( ) 使( ： i1 ) - 成、“门必婴条。 由( a ) 可得： - ：m 1 c m ，= 0 或a 2 ：介常数p ) 0 使p g 幂等： 由( h ) 可得：b - ：( i m 1 ) c ( i 一帆) = 0 此| ： ( ) 使g m ；g = - i ( ；， 由( c ) 呵得：c 1 ：m , c ( im 1 ) = 0 域c ! ：仃常数 ( ) 使g m g = 丑g g 。 而a ，、b 、c ，郜成立必导致c = o ，敞小j 能：a ? 、b j 、c ：中任何两个成立都能导敛九、 华中师范大学硕士掌位论文 艮成立。故综合上述各结果_ u 得 c = m ，c + 删4 ，且j 五 0 ，使c , m 。g = 五舭； 或c = o 且j 0 使( 地g = ，f g ： 或c = m 。c m 。且3p 0 使p g 幂臂_ ： 或 p 0 ， 0 使p g 幂等，g m ：，g = ，f g 。 反之，若成立，| l ! l | m 4 c m d = ( i 一帆) c ( i m ) = o ，( ( ；oe ) a ( g o ) 一g 0 五a 3 c 取v ( e ) = 五口，c 即可使( 3 1 4 ) 式成。 若成立，则( g o ) a ( g ) = g 口2 t ? c ，取v ( ) = ，f ：口2 c 即可。 若成立，则( g o ) ( g ) = g op ! 吼c ，取v ( ) = p 叫口1 c 即可。 若成立则( g o ) a ( g ) = g o p 。口iem 1 c t t l e 十口2 ，f2 ( i m 4 ) c ( i m 4 ) + 口j ，p z m l c ( 1 一m 1 ) + a 3 ，fp i ( i m ，) c m l 1 一a c ou ( ) 取v ( ) = u ( ) 即可。由此可得以r l 论： ( 3 1 5 ) 定理若m 3 g 0 ，m 0 ，c = c 0 ，则t r 【c ) 是t r ( c e ) 的u m v i q u e 的 充耍条件是c = m 4 c + c m 4 且有常数旯 o 。使g m 3 g = a g g + ； 或j 4 c = o 且有常数 o ，使g m j g = g ； 或c = m 。c m 。且有常数p o ，使pg 幂等； 或有常数p 0 。 o 使p g 幂等，g m j g = ，f g i i i m 。= o 的情形 j l n m = i o + m 1 0 ( 1 一毗) ，这种t f r 形，i 一毗一0 时方法一样t 只需将其中的m l 政 为，m ：，政为m l ，即可得剑i 、述结沦： ( 3 1 6 ) 定理：若琏g 砘c = - c o ，则t r ( c ) = t r ( g 2 ) - 1 ，( g 圆也叫2 ) y 是t r ( c 2 ) 的i j w i q o e 的充要条件是c 鹊c 也。且有常数p o ，使p g 幂等 ( 3 1 7 ) 定理：若m l g 0 也= 0 ，c = c 0 ，则t r ( c ) = 订恤l g ) 2 。1 y m 1 伽l o c ) y 是t r ( c z ) 的哪i q 【i e 的充要条件是有常数，f 0 ，使，f m i 删- 幂等 ( 3 1 8 ) 定理：若m l g 0 。0 c = ( 0 ，订( c + ) = y a y ，其中 = g o t r ( g 2 ) q m 2 c l l 2 + m l 删1 0 t r 嗵g ) 2 一1 ( i 坞) c ( 1 1 1 2 ) + 铆l t r 1 ) _ 1 m 2 m 2 ) + 珥g o t r ( g 锄1 ) r 1 华中师范大掌硕士学位论文 ( i m 2 ) 啦则t r ( c ) 是t r ( c ) 的i 肼t a u e 的充要条件是 c = - m 2 c + a 嵫且有常数 0 ，使q g = 五g g + ： 或蚴c = 0 且有常数使 0 使鲫1 g = ，l g ； 或 c = 埘口屯且有常数p 0 ，使p g 幂等； 或有常数p 0 ，t o 使p g 幂等，跚l c - = i t g i i i m 2 = 0 的情形 此时m = m 1 i m l ( 1 一m 3 ) m i o ( 卜m 4 ) = m i o m 4 + m i m3 m l o ( 卜m 4 ) 若m 、g = 0 ，! l 【l j 左边= 边= o ，无讨论意义，一牧j 考虑m l g 0 的情况 ( 1 ) m l g 0 ，g m l m 3 m i = 0 此时t r ( c + ) = t r ( m l g ) ： 1 y ( m i g m l om ，c m ，) y l 为m ( m l g m i o m q c ) m 嚣m g mj o m l c m ，p i 以t r ( c + ) 是不变一次估汁。 e r r ( c + ) = t r ( m j g ) 2 t r ( m g m l o c m l ) ( g o ) 一l r ( 地c m l ) 故t r ( c + ) 是t r ( c ) 的u h i v l 0 u g 的充要条什足m 。c h i 。= c 且对每一0 ，都有对称阵 v ( ) 使m ( g o ) m ( m g m ，o c m l ) m ( g o ) m = m g ov ( ) m ，也即 ( 3 1 9 ) ( m 。g m i ) 圆m 1 m cm 1 m 1 一m i g m l 圆m 。v ( ) 帆 由( 2 3 ，5 ) 引理知，仁式成立的必要条1 ，l = 赴：_ 仃常数 使( m i g mj ) b 五m i g m ，或mj m ， c m 地= o 。前者必导致有常数p 0 ，使pm i ( i m 幂筲：后者则不可能成立，否则必有 c = m c m = o ，与c 0 矛盾。反之，若有常数p 0 ，使p m g m ，幂等，则取v ( ) = p _ 2 m ，c m 。即可使( 3 1 9 ) 式成：。，帔f ji 、面的定理。 ( 3 1 1 0 ) 定理：若k g 0 删l m 3 m l = 0 c = ( “0 。则t r ( c e + ) 是t r ( c e ) 的i j w i q 【l e 的充要条件是c = 删i 且有常数p 0 ，使p m - 铆。幂等 ( 2 ) m l g 0 ，g m l i l 地# 0 m i 。0 t r ( g m m i m i ) ! = t r ( u u m l m = 1 m i u u m l m ；m i ) = ( u m i m ，m ，u ) ( u m i m 。m u ) 0 ( 闪为g m l m 1 m i = u u m 1 m ： m i 0 ，故u m l m i 0 ，u m i m t m i u 0 ) l r ( c + ) = t r ( g m l m ：。m 1 ) 2 。y ( m i m m i ( ；m i m m i oc ) y = y y 而m 删a ，3 目m m ，m 幂等时，卜式筲l 成，l | j ( 1 2 + ) 是不变估玑此时无偏性娃 然满足。( 注意：这仅是不变性的。个危分条f 1 ) 。 所以当m ，m ：l m i 为幂嚣阵时，c r ( c + ) 越tj ( c ) 的i m v i q u e 的充要条制：是对每 o ，存扯对称阵v ( ) ，使得m ( g ) a ( ( ；o ) m = m g 圆v ( ) m 华中师范大学硕士掌位论文 即：( m i 州i gm i 刚1 ) ： c = m 。m ，m ，g m m ；m i v ( ) 上式成立u 丁推i j j ：存在p 0 ，侵p m m ；m ( ；m 。m 。m 幂等，成c = 0 ( 必导致c = o ，舍太) 。 反之，特有p 0 使pm m 。m ，gr d l m ，m l 幂笛：，j j i j j l 攸v ( ) = p 叫c 即可。 ( 3 1 1 1 ) 定理；若m l g 0 ，c , 1 1 1 m a l l l 0 ，虬却，c = c7 0 ，则当m l m 瑚1 为幂等阵时，t r ( c + ) 是t r ( c i ) 的t l i i v i q u e 的充要条件是：存在p 0 ，使p m l m 3 l g m l m 3 l l i 幂暂i ( 3 ) m l g o ，g m l m 龇0 ，l k 0 此时t r ( c + ) = y a y 。其中a = 口l ( m ( m m c m l ) + 口2 m 1 m 。m 1 g m 固( 1 一地) c m ， + 口2 m l g m i m m 1 m c ( t 一心) + c t ：i r d , h t ，m l ( ；m l m i m o ( 卜m 1 ) c ( 卜吼) j a i = t r ( m i g ) 2 ，口2 = t r ( c m l g m l m m i ) ，i = h r ( g m i m i m l ) ! 。 前面已说明当g m i m ，m ，0 时，口：；有意义，卜i 町米石a ： t r ( ( t m l ( m l m i m i ) = lr ( m l m g