（概率论与数理统计专业论文）随机变量序列的一类强极限定理.pdf

随机变量序列的一类强极限定理 摘要 n a 序列的概念是由j o a g - d e v 和p r o s c h a n 提出的： 称随机变量噩，风，k 2 是n a 的( n e g a t i v e a s s o c i a t e d ) ，若对 1 ，砖 的任一划分a 。，也都有 c o v ( y l ( x , ，l a 1 ) ，2 ( ，j a s ) ) 0 其中 与，2 是任何两个使得协方差存在的函数对每个变元均非降( 或同 为对每个变元均非升) 的函数，称随机变量墨，k 2 ) 是a s s o c i a t e d 的如果对任何两个对每个变元均非降( 或同为对每个变元均非升) 的且 使得协方差存在的n 元函数 ，五都有 倒( ，1 ( x l ，) ，2 ( x 1 ，墨) ) 0 称随机变量序列 x j ，j ) 是n a 序列或a s s o c i a t e d 序列，如果对任何 ”2 ，墨，墨都是n a 的或是a s s o c i a t e d 的 本文第二章主要讨论了不同分布n a 列加权和的强极限定理，这是本 文的主要部分，在这一章中，我在苏淳和王岳宝鬈不同分布n a 列加权 和的强极限定理及其在线形模型中的应用的基础上，对其定理的条件 进行了改进和提高，提出了自己的见解，有一定的创新，得到了相同的 结论，并进行了详细的证明 第三章主要讨论了矩条件下任意随机变量的强极限定理，在袁德美 随机变量的截尾与几个经典强大数定律的推广中，本文建立了若干 新的条件，使得结论同样成立， 关键词：n a 列，加权和，完全收敛性，强稳定性 随机变量序列的一类强极眼定理 a b s t r a c t t h ec o n c e po fn aw a si n t r o d u c e db yj o a g - d e va n dp r o s c h a n r a n d o mv a r i a b l e s ，墨，局，氘， 2 ) a r es a i dt ob en e g a t i v e l ya s s o c i a t e d ( n a ) i ff o re v e r yp a i ro fd i s j o i n ts u b s e t sa a ，a 2 0 f 1 ，q ， ， g d t ，【，( 置，i a 1 ) ，g ( 玛，j a s ) 】0 ， f o ra l ln o n d e c r e a s i n gf u n c t i o nf , g t h eb a s i cp r o p e r t yt h a tn o n d e c r e a s i n gf u n c t i o na l e m u t u a l l ye x c l u s i v es u b s e t so fn ar a n d o mv a r i a b l e sa l en a t h i sp r o p e r t yi ss h o w n n o tt oh o l df o ro t h e rt y p e so fn e g a t i v ed e p e n d e n c er e c e n t l yp r o p o s e d r a n d o mv a r i a b l e s ，x l ，x 2 ，2 ) a r es a i dt ob ea s s o c i a t e d ，i ff o ra l ln o n - d e c r e a s i n gf u n c t i o nf , g 伽【，( 置，i a 1 ) ，g ( 玛，j a 2 ) 】0 i nc h a n p t e r2o ft h i st h e s i s ，w em a i n l yd i s c u s s e dt h es t r o n gl i m i tt h e o r e so f w e i g t hs u m sf o rn a q u e l l c e sw i t hd i f f e r e n td i s t r i b u t i o n s t h i si st h em a i np a r to f t h i sp a p e r i nt h i sc h a p t e r u n d e ft h e w r i t e nb ys uc h u na n dw a n gy u e b a o ，w ew e a k e n e da n di m p r o v e dt h ec o n d i t i o n s o ft h et h e o r e s ，p r o p o s e do u ro w nv i e wa n do b t a i n e dt h e8 a n l ec o n c l u s i o n sa l s o ，w e p r o v e dt h et h e o r e m sm i n u t e l y a n di ng h a n p t e r3 , w em a i n l yd i s c n s s e dt h es t r o n gl i m i tt h e o r e m so fa r b i t r a r y r a n d o mv a r i a b l e su n d e rm o m e n tc o n d i t i o n s u n d e rt h e w r i t e nb yy u a nd e m e i ，w ec r e a t i o n e ds e r i e sn e w c o n d i t i o n sa n do b t a i n e dt h es a m e c o n c l u s i o n s i i i 硕士学位论文 k e y w o r d s ：n as e q u e n c e s ，w e i g h t e ds u m s ，c o m p l e t ec o n v e r g e n c e ，s t r o n gs t a - b i i t y i v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全 意识到本声明的法律后果由本人承担 学位论文作者签名：黝移彳沙o 年月 f 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分 内容编人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密a ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：彩南彳 导师签名：扬拇也 日期驴司年朋 】e t 日期：弘洋i 明；1 日 硕士学位论文 第一章绪论 1 1 预备知识 定义1 设q 是由一些元素组成的非空集，其元素( 常记作硼) 叫做点或基 本事件，通常称n 为基本事件空间记为由n 的某些子集组成的集类，如果它 具有性质， ( i ) q ， ( i i ) 若a ，i = 1 ，2 ，则u a ， ( i i i ) a 则小 那么称为事件的仃域，并称中的元素为事件 定义2设p ( a ) e ) 是定义在盯域上的实值集函数，若它满足条件 ( i ) 对每一a ，有0 p ( a ) 1 ； 0 i ) p ( n ) = l ； ( i i i ) 对任意a n m = 1 ，2 ，) ，厶n a 。= 毋唧t o , ) 有可列可加性： p ( u 如) = p ( 厶) ，则称p ( ) 是上的概率测度，简称概率值p ( a ) 为时 间a 的概率，三元总体( q ，p ) 为概率空问 定义3设x = x ( 加) 是定义在n 上的有限实值函数，如果它关于是可 测的，称x 为一随机变量( 简记为r 口) 定义4 设 x ，五。，佗1 ) 是概率空间( q ，p ) 上的r 如果存在集a ，p ( a ) = 0 使当埘a 。，时有，骢( 叫) = x ( ”) ，则称 ) 几乎必然收敛于 x ，简称 x j 口 收敛于x ，记为x 。一x ，口 一1 硕士学位论文 如果存在集a ，p ) = 0 ，使当删时有 。1 。i r a 。l j ( 伽) 一j ( 删) i = o 则称 五； 是c a u c h y 几乎必然收敛的 定义5 设 x ，x 。，n 1 是l n 中的r 肌，若 。 + h a 。e i n 一x 1 9 = o 则称r 肌列 墨j p 阶平均收敛于r 肌x ，简记为生x 定义6 设 x ，】气，件1 ) 是( q ，p ) 上的r m 如果对每一 0 ，成立 。1 i r a 。p f 一x l ) = 0 则称 x ，) 依概率收敛于r m x ，简记为墨。三x 定义7 设f ( 力，r ( z ) ，疗= 1 ，2 ，是有界不减函数，若在f ( 功的每一连 续点上有。l - i m 。r ( z ) = f ( z ) ，则称序列 r ( z ) ) 淡收敛于f ( z ) 进一步若f c x ) 淡收敛于f ( z ) ，而且熙r ( ) = f ( o o ) ，一n m 。f ( 一。o ) = f ( 一o o ) ，则称r ( z ) 弱 收敛于f ( z ) ，记作昂三f 若删列( ，的d ， 晶( z ) ) 弱收敛于一x 的d i f ( z ) ，则称墨。依分布收敛 于x ，记作三x 定义8 称舢。组列 k ，k = 1 ，2 ，) 满足无穷小条件，若对任意绘的， 。1 i m 。l ! m 女a s x 。p i i 小= 0 定义9 称r 组列 k i ，七= l ，2 ，) 服从弱大数定律，如果存在常效列 2 随机变量序列的一类强毂限定理 k ，使得 一k 三0 七 定义1 0 称r 口序列 k ，n 1 是弱稳定的，如果存在常数序列 和 k ) ，0 o p i t 一c i ) _ a 定义1 5若r x ，y 的期望e x 和e y 存在，则对任意实数o l ，p ，e ( a x + f l y ) 也存在，且 e b x + 8 y 、= a e x + 8 列 定义1 6设a ，用“表示集a 的示性函数，若e x 存在，则e ( x i a ) 也存在，且 e 噼i 幻= lx d p a 此外，e ( x i a ) = 0 的充要条件是p ( a ) = 0 ，或者在a 中d s 成立着x = o ( a 8 是几乎必然的简写) 3 硕士学位论文 1 2 研究背景 继6 0 年代引入a s s o c i a t i o n 等相依性概念之后，人们8 0 年代初期又相继引入 了n e g a t i v ea s s o c i a t i o n ( n a ) 等相依性概念j o a g - d e v 和p r o s c h a n 提出了n a 的 概念： 定义称随机变量墨，凰，k 2 是n a 的( n e g a t i v ea s s o c i a t e d ) ，着对 1 ，u 的任一划分a l ，a 2 都有 c 伽( ，1 慨，i 4 1 ) ，2 ( x j ，j a 2 ) ) 0 其中 与，2 是任何两个使得协方差存在的函数对每个变元均非降( 或同为对每个 变元均非升) 的函数，称随机变量x l ，五。2 ) 是a s s o c i a t e d 的如果对任何 两个对每个变元均非降( 或同为对每个变元均非升) 的且使得协方差存在的n 元函 数 ，2 都有 c o ”( 1 ( x 1 ，) ，五( 蜀，) ) 0 称随机变量序列 玛，j 是n a 序列或a s s o c i a t e d 序列，如果对任何n 2 ，j 0 ，k 都是n a 的或是a s s o c i a t e d 的 1 9 8 4 年n e w m a n 在文献【1 】1 ( n a 序列的矩不等式与弱收敛) 中综合介绍了 多种正负相依序列的渐近独立性和极限定理方面的研究生国，其包括强p a 序列与 n a 序列的中心极限定理，强平稳p a 序列的弱不变原理以及某些其他类型的强平 稳正相依序列的b e r r y - e s s e e n 定理等，从那时以来的十多年间。在对p a 序列以及 一些其他正相依序列的研究方面，相继不断的有新的成果面世，与之相比，对n a 以及其他负相依序列极限定理的研究则要薄弱许多1 9 9 2 年m a t u l an a 序列建立了 k o l m o g o r o v 型的上界不等式和三级数定理，加上p e t r o v 所建立的可适应于n a 序 列的推广的b o r e l - c a n t e l l i 引理。打开了人们n a 序列的a 8 收敛和完全收敛性状 的道路，人们发现n a 序列( 不要求强平稳性) 与越序列有着完全相同的强大致 率其中k o l m o g o r o v 强大数率由m a t u l a 建立，m a r c i n k i e w i c z 强大数率由苏淳和王 岳宝建立，也有着极为相似的完全收敛状，这些结果无意为n a 序列的应用提供了 4 随机变量序列的一类强极限定理 有力的理论知道，也表明了n a 序列的极限性状有其鲜明的特点 王岳宝，苏淳讨论了n a 列s t o u t 型加权和的完全收敛性和强稳定性，推广并 改进了s t o u t 关于矾列的相应结果，从而将赵林城关于独立误差估计的强收敛速 度的理想结果推广到n a 误差的场合获得了如下的重要结果t 定理a 设 k ) 为n a 列，满足条件： e 置= 0 ，e 砰= 1 ，i = 1 ，2 ， 且存在随机变量x ，使对任意z o ，t = 1 ，2 ，存在c 0 有 p ( i x i $ ) c p ( i x l z ) e ( g c i x l ) ) 2 0 使g ( z ) z ”l 及g ( x ) x 一4to o ，卢 0 使g ( x ) x 一。t 及g ( z ) z 一4j0 ，p 口： 又 i i 0 1 ( n ) ) - - 17 i = 1 ，n ，a n d = o ，i = n + 1 ，n + 2 ， a n 垒2 = 。( 0 0 9 n ) 一1 ) ，n o f ) = l 令兄= ，n = 1 ，2 ，则对v 0 ，有 p ( i t i 小( o o 此外，袁德美在随机变量的截尾与几个经典强大数定律的推广这篇文章中利用 随机变量的截尾方法和条件三级数定理定理这一工具，研究任意随机变量序列的 性质，得到了矩条件下任意随机变量序列的一类强极限定理以及一些简单实用的结 论。推广了与此响应的一些结果和若干经典的强大数定律，得到了如下的结果： 一5 一 硕士学位论文 定理b 设 x 。，7 1 , 1 ) 是一随机变量序列， 0 ，l ，7 1 , 1 ) 是递增的正数序列， ( z ) ，n 1 ) 是定义在( + o o ，一o 。) 上的一列非降正直偶函数，对于每个n ，当增加时， 下列三条件之成立z ( t ) 3 0 0 ，i = 1 ，2 ，存在c 0 有 p ( i 咒i z ) c p ( 1 x l z ) 一6 一 随机变量序列的一类强极限定理 设函数g ( 茁) 为j 矿上单调增函数，存在反函数g - 1 ( z ) ，9 ( 霉) 满足条件tj 口 0 ， 使g ( z ) z 1 g ，j 卢 0 ，使9 ( z ) 。一4 g ，口 卢其中a ，伤为常数，且 设 e ( g ( i x l ) ) 2 ( g - 1 ( n ) ) 一1 ，i = 1 ，t l ，= o ，l = n + l ，n + 2 ， 垒e 磊= 。( ( 1 0 9 n ) 一1 ) ，n 一 条件( 1 3 2 ) 设 ，x “，n l 是l 1 可测函数列，0 d ，lto 。，且v t l = 1 ，2 ，有e 磊1 + 又 ( z ) ，n2l 是定义在( 一o o ，+ o o ) 上的正值偶函数，当t 时，满足下 列条件之一， ( i ) 3 0 l ，( x ) c l x p ，c 为大于0 的常数； ( i i ) e ( 矗i x ”1 ) = 0 ，e ( i x i l x ”1 ) c ，v n 之l l l | l 2 ，使得( x ) c i x p ； 其中 a 却：主( e ( 掣旷1 ) ) 击 删 k 。三警 且陬，v n = 1 ，2 ， 条件( 1 3 3 ) 在( 1 3 2 ) 条件下进步有 ( a ) e s u p 鲁j a n ) ix “一1 ) 0 ) n ( i x i n 。) ) o o 7 硕士学位论文 1 4 相关引理和定理 引理1 设 ，n 1 ) 和 。，n 1 是一非负数列，且 t n ，v n 1 ，则 无穷级数 。 i 脚i “ + o o 辛i p + o o n = ln = l 引理2 设 ，n o ) 是 - i g 适应序列，c 是正常数，则五；在由下列 条件确定的集合a 上a 8 收敛 ( i ) p ( ( i l2c ) 矗一1 ) o o ； n = l ( i i ) e ( 溉f ( i l c ) 矗一1 ) o s 收敛； t l = 1 a 0 ( i i i ) 【e ( 群川l c ) 矗一，) 一驴( 川l c ) 矗一1 】 引理3b o r e l - c a n t e l l i 引理 ( i ) 若p ( a ) 0 0 ，则p ( a ，i 0 ) = 0 n = l ( i i ) 若 a 相互独立，p ( a ) = o 。，则p ( a ，t 0 ) = 1 n = l 引理4f a t d u 引理 设l l 1 ) ，是非负r ，使得l i m i n f e x , , o o ，则兄磐n m m f x l 1 且 e 兄l i r a i n e o o 引理5 ( m a t u l a 引理) 设 x j j ) 为n a 序列，e 砑 o o ，e 玛= o ，i n ，记鼠= x j ，则有 j = 1 e ( 。m 。a xs k ) 2 e 碍 j = l 一8 ，堕垫耋苎壁型竺= 耋堡墨墨塞垩 引理6 设墨，为n a 变量，a l ，厶是集合 l ，n ) 的两两不 不交的非空子集，记啦= l ( a ) ，其中# ( a ) 表示集合a 中的元素个数，如果 五：一r ，i ；l ，m m 个对每个变元均非降或同为对每个变元均非升肭函数，则 ( 巧，j a 1 ) ，仇( 巧，j ) 仍为n a 变量，此外。如果五0 ，i = 1 ，m ，则还有 仇m e ( - ：f ( q ，j a ) ) 联乜，j a ) i = l 1 = 1 引理7 若丘一xd s ，则三x 引理8 若e x 存在，则下面三命题等价t ( i ) x = 0 口 ； ( i i ) 对切a ，e ( x r a ) = o ； ( i i i ) e i x i = 0 引理9 若 凡) 是q 的个划分即凡n = o ( m ) 且q 2 v 氐，则 ex2 n f x d p = e 。如f x d p 引理1 0 设x 是r ”，a 若有口，卢r 1 使得在a 上口怎成立着o l x 卢，则f x d p 存在，且有 q p ( a ) _ f x d p s8 p c a ) 特别的，若x 是在n 上。矗有界，则e x 必存在进步，若有删x x 和x 2 ，e x , 和e 磁都存在，且a 上口s 成立着蜀x 恐，则e x 存在并且 f x ，d p f x d p sl x 西p 硕士学位论文 定理1 1l e b e s g u e 控制收敛定理 设三x ，r 肌y l l 使得i i i y l a 1 ) ，那么，x l 1 且马x 这 时奄e x 。一e x 定理1 2 单调收敛定理 设0 且t xa 8 ， ( i ) 我们有l i r ae = e x 因此，如果l i m 。o e 五。 1 ，i 1 + ；= 1 有 e x y i ( e i x f ) ；( e i y i ) l e ( x y ) l l x i ，) ；( e i y i a ) ：口s 2 ( m i n k o w s k i ) 对r 1 ， nn ( 昱l x j l ) ；( e l 恐l r ) j = lj = l n ( e ( 1 i j l 纱) ) ；( e c i x j l 7 ) ) ；d j = 1j = 1 3 ( m i n k o w s k i 伴随不等式) e ( i x j l ) 72 e l x j l 7 ，r 1 j = lj = l nn e ( i x j l ) 0 p i x e xj 啦警 p ( i 砸班等 8 ( k o l m o g o r o v 不等式) k 设 瓦，1 n ) 是独立r 肌，e x k = 0 ，e 群 0 ， p 勰蚓 9 设g 是正值偶函数，在【0 ，0 0 ) 上不减，则 搿s u p g ( x 0 ，p ( i x i 司s2 p ( x l z ，i y l ) 1 2 p m a x 。i x k l z ，s p i x k l ， 一一 k = 1 1 2 2 七 xe 。脚 一p 一 随机变量序列的一囊强极限定理 p 瑰阢 甜 l 驴l 且；1 + ：_ 1 n l ”1pq 1 6 ( m a t e i n k i e w i c z - z y g m u n d - b u k h o l d e r ) 设 玛) 是鞅差序列，则对任意p 1 ，存在正的常数a p s 和使得 唧e ( 碍) p 2 b i l l s6 p e ( 弼2 ) 9 7 2 ； j = lj = l e ( 碍) 彬 s u pe i s i e ( 碍) 舭 j = l “2 1 石1 1 7 设 玛) 是i i d r 口列，存在r 1 ，e l x l l 7 0 有 p o x , i z ) c v i l x i z ) 设函数9 ( 。) 为j 矿上单调增函数，存在反函数g - i ( z ) ，g l * ) 满足条件；刍n 0 使g ( z ) 茁一a ，| p 0 ，使9 ( z ) z 一4 c 2 ，q 0 有 p ( 1 x l z ) sc v ( 1 x i z ) 9 ( z ) 为i t + 上的非负函数，单调。且存在g - 1 ( 茁) 满足 e g ( 1 * 1 ) 0 1 4 一 1 i n q 而 曙 “ i | 。： = 随机变量序列的一类强极腰定理 又 则 1 i o 一1 ( f ) ) 一，垒2 0 1 ( n ) ) 一，r 0 l ，l = l ，2 ， i = 1 冗垒五一0 口 ( 耗一) = t 定理3 设 咒。，x “，n 1 ) 是工l 可测函数列，0 to 。，且v f l = 1 ，2 ， 有e 去 + 又( ( z ) ，f l l 是定义在( 一，+ ) 上的正值偶函数，当t 时。满足下列条件之一t ( i ) | 0 & 1 ，妒h ( x ) c l x l 厶，c 为大于0 的常数； ( i ) e ( k i x “以) = 0 ，e ( i x x ”1 ) c ，vn 1 r3 1 2 ，使得妒。( x ) c l x i 晶； 其中 州。：耋( e ( 掣庐 0 有 p ( i x , l z ) c p ( i x i z ) ( 2 - 2 ) 设函数g ( x ) 为矿上单调增函数。存在反函数g - t ( z ) ，g ( 。) 满足条件；jo l 0 ， 使g ( x ) x - = a ，| 卢 0 ，使g ( x ) x - g ，o l 0 ，取口 0 ，n 0 ， 令 x = ax z ( n 。x 0 1 ( n ) ) 一，) + 皿= 0 1 ( n ) ) 一4 z ( n 州托 0 1 ( 札) ) 一5 ) 耀垒一一1 归( 墨 s 一1 ) x 票垒x 。一x 翟一x 雹， 砰= a t 戤，f = 1 ，2 ，3 i = 1 ，礼，n = l 川2 一， 由文【2 】性质p 6 即本文的引理6 知 n 耐x 船，i = 1 ，住) 仍为n a 序列的，l ； l ，2 ，f = 1 ，2 ，3 下面证明 x 篡，i = 1 ，礼) 仍为n a 序列的，n = 1 ，2 ，= 1 ，2 ，3 证明；令 触= 。一鞴，z 嚣赢：。 所以 取耻 。端，基萼舌瓣4 所以t ( 咒) ，i = 1 ，竹) 仍为n a 的，即帮( x d = 碟仍为n a 的类似 可证明 o 。碟) 口。碟) 仍为n a 的 第步先证 矗1 ) 的完全收敛性，设 p = m m 2 1 酊1 ，( g - 1 ( n ) r ) ，n = l ，2 ， 因为 触碟= 脚( x ，( i 五0 1 ( n ) ) 一一) + ( g 一1 ( n ) ) 一，( 冠 ( g 一1 ( 仃) ) 一5 ) ) 因为地0 。( n ) ) 1 易得 脚n ，i 碟1 ，i = 1 ，nn = 1 ，2 ，( 2 7 ) 1 8 随机变量序列的一类强极限定理 同样由文【2 】r 的性质可得 脚口，l i x ，( 。ol = 1 ，一，凡) n = l ，2 ，也是n a 序列2 ，的 又注意到， e ( x ) 2 e 砰= 1 ，e x 曰置= 0i = 1 ，2 ，nn = 1 ，2 ， 证明上述两式成立 因为碟垒墨，( 噩( g - 1 ( 仃) ) 一4 ) + ( 9 1 ( n ) ) 一4 j ( 溉 ( g 一1 ( n ) ) 一9 ) 若咒0 1 ( n ) ) 一，则硪= 咒，若咒 0 1 ( 呐) 一，则碟 0 1 ( n ) ) 一4 ) + 2 x , a ：2 ( g 一1 ( n ) ) 一4 j ( b 耐冠( g - * ( ，1 ) ) 一4 ) ，( n 一咒 ( g - 1 ( n ) ) 一4 ) 若口“x s ( 9 1 ( 哟) ，则( x ) 2 = x ，若i x i b 一1 ( ) ”，则( 一x 。o ) v ， 砰， 所以e ( x 。( 0 ) 2 f 砰= 1 根据文 2 j 的性质b 即本文的引理6 所述。又有当0 z 1 时，1 + z ( g - 1 ( n ) ) 4 ，则= ( g - 1 ( n ) ) 4 ，又由条件知| 0 ，使 9 ( 。) z 一9 a ，g 为常数 1 9 硕士学位论文 即口一1 ( z ) 白r 扩- 1 令r = 卢一1 则 则由( 2 - 8 ) 式知 9 - i ( n ) c n _ ( 3 0 p ( 砭1 ) o o ( 6 ) 若2 - 1 吒1 ( g - 1 ( n ) ) 4 ，则h = 2 _ 1 a 9 1 ，则 ( 2 - 9 ) 霎尹酣) s ) 霎唧 _ 五1 i r 2 簖， 尹( 曩1 e ) 唧 _ j r 簖1 c 壹( 2 - 1 0 ) e x p 2l o gn c t 扛l o 。 要证陋1 0 ) 式的最后一不等式成立，只需证明寻e 2 吒1 一1 s ) e ) n = ln = l i = l n 因为当u ( ( 冠一n 1 ) j ( 五 n 1 ) e ) ) 即ji ，使得u ( 五 亡= l 一2 0 矿 飞 0 矿 争一0 卜 卜 唧 哪 学 n 一1 e ) ) s p ( n 瓜x n 。s ) s 妻妻懈 ( n ) n - l e ) ( 2 - 1 1 ) 9 - 1s p 佤 ) = c n p ( i x 9 。1 ( n ) e n 1 ) n = l s c e ( g ( i x l ) ) 2 9 一- ( 。) n z ) 且9 ( z ) 单调上升，所以萎p ( 露动) sc e ( g ( i x l ) ) 2 e n 一1 ) 因为弓p 0 ，使得9 ( z ) z 一c ，则( 9 1 ( n ) ) 一1 c n 可- - 1 ，对n o o ，有 ( g - 1 ( 竹) ) 叫se - 1 矿 0 2 1 。 硕士学位论文 所以 当托 ( g - 1 ( n ) ) ”时， 礤= 0 8 ，“叉璺= 啦“) 匕一( 9 1 ( n ) ) 一4 一( 啦“k “一n 一1 d i ( - 。t ) n - i ) n 一1 e 一( g - t ( n ) ) 一4sn 一1 e 敌t 2 ) = 登n ，l i 磴e 从而至少有n 个a n x n i 0 1 ( 札) ) ，所以由【1 】的 i = l 性质p 2 及条件2 2 ，2 - 4 有， p ( t 2 ) 2e ) p ( 在1 ，n 的n 个下标中，至少有n 个i 恐 0 1 ( n ) ) ”) p ( a u 。x “c g 一1 ( n ) ) 一，1 sk ) l i 1 ， “ p ( 玩( 9 4 ( n ) ) 1 。4 ) s g p ( 吲2 ( g 一1 ( n ) ) 1 4 ) = 碟e p ( i ( g - 1 ( n ) ) 1 ”) 所以 o 。 p ( 掣e ) g p ( 冈( 9 。1 ( n ) ) 1 - 4 ) ”1 嵩1( 2 - - 1 2 ) s c , n n ( 夕( 9 。( ) ) 1 。4 ) 以 由条件知ja 0 ，使g ( z ) ”g ，即对充分大的n 成立，g ( g 1 ( n ) 1 ”) c o 一1 ( t 1 ) ) 1 一a 又由j 卢 0 ，使g ( x ) x - 0 s q ，得g 一- ( n ) 踟；，则，曼_ p ( 砰2 r l = - - 1 ) c 礼礼一2 n o - x a ( 1 一砷 t t = 1 令卢= ；。，口= i 1 ，n = 3 0 贝； 则由此得： 2 2 2 g 耐 一 璎残 “ 一 幔n 7 以 l。僦 一 瓦 以 随机变量序列的一类强极限定理 以一托代替咒同理可得t p 限一) 0 有 又 则 p c i x , i z ) g p ( i x i ) ( 2 - 1 4 ) 9 ( 习为r + 上的非负函数，单调，且存在g - 1 ( 写) 满足； l a n i i ( g - l ( i ) ) - 1 定理2 的证明 e g c l x l ) 0 ( 2 - 1 5 ) = a 2 ( 9 1 ( n ) ) 一，r o i ，n = 1 , 2 ， = 1 2 3 ( n 一o 。) s口o_ 瓦 汹 = 硕士学位论文 记。 又由 证明：仍不妨设 0 ， ，n = l ，2 ，设x 箩e = 1 ，2 ，3 如定理1 所 由文【3 j 定理3 知；矗8 s 收敛 第一步先考虑 霸1 ) 的完全收敛性 记= ( g - 1 ( n ) ) n = 1 ，2 ，n 0 ，盯 0 得 脚d ，l t 碟1 i ，n = 1 ，2 根据定理1 的类似方法及f a t o u 引理 由( 2 - 1 5 ) 式知 e 唧 霸1 = e 。l i r a 。k i n ! f 。e x p 曩1 一 0 则由( 2 - 1 7 ) 2 - 1 8 ) 式得￥e 0 p ( 砭1 2e ) 取口 2 a r 则上式 唧 一+ 疋) 篙1 唧 一e ( 9 1 ( n ) ) ；+ ( 9 1 ( n ) ) 飞一1 ( n ) ) 一7 e x p 母c - 扎警) e x p e - 羁4 一一。， n = 1 2 4 ( 2 - 1 8 ) ( 2 - 1 9 ) 2l = n 吖 4 e n 。1 9 。( i ) ) 由9 ( z ) 单调上升，且由2 - 1 4 ) 式得 p ( i x d e “g 。( i ) ) g p ( i x l e n 一1 9 4 ( ) ) c 壹p b ( e - n l x l ) t ) ( 2 - 2 1 ) i = 1 0 e g ( i x l ) e n - 1 9 - 1 ( ) ，i 0 ) = 0 ( 2 - 2 2 ) 因为有限项和 i 咒陬陇l e n 。g 。1 ( ) ) ( g 一1 ( 哟) 一。，1 七) l s “ o - 1 ( n ) ) 1 ) s ni v 硪。一，(。)一，)(2-25)ii(ep ( i x , i s 硪0 1 ( n ) ) 一4 ) ) ( 蒜) 一 = ( 口。( g - 1 ) ) ”) ( 9 1 ( n ) ) ( 2 4 - r ) 一2 5 硕士学位论文 又因为g - a ( n ) c 矿，礼= 1 ，2 ，所以 p ( 砰e ) c n 扣州4 l=1，=l 取2 a r ，= 面- 而2 p ( 掣 ，i = l 由( 2 - 1 9 ) ( 2 - 2 4 ) ( 2 - 2 6 ) 式有 p ( 1 i m s u p 丁妒e ) p ( 7 ，i d ) = 0 n 以一托代替五，t = 1 ，2 由( 2 - 2 8 ) ( 2 - 2 9 ) 得 证毕 1 i r a s u p 瓦o l i m i n f 死0 矗_ da 8 竹_ o o 2 6 一 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 - 2 9 ) 2 一 nc 一 硕士学位论文 第三章矩条件下的任意随机变量序列的一类强极限定理 3 1 引言 本文利用随机变量的截尾方法和条件三级数定理，研究了任意随机 变量序列在矩条件下的一类强极限定理，改进了与此相应的一些结果的 条件 3 2 1 定理1 3 2 主要定理及其证明 设 ，x “，n 1 ) 是l 1 可测函数列。0 t ，且vn = l ，2 ， 有爱i 1 + o o 又 ( z ) ，n 1 ) 是定义在( 一o 。，+ ) 上的正值偶函数，当 川t 时，满足下列条件之一： t ) 3 0 a i l ，僻) c i x p ，c 为大于0 的常数5 ( i i ) e ( i x “一1 ) = 0