（应用数学专业论文）两类脉冲微分系统的稳定性研究.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果c 捌我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 木研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：代新利 导师签字：形 学位论文版权使用授权书 涉务 水学f t 沦文件矗充全了解 堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权倪斟j ：向 + ；：仃父淄歧帆蝴邀交i 2 艾f l j 复叫什车嗽盘，允许论文被查阅年借阅。水人投权兰 控，j 【l 将j ! 他沦爻的个部戏琊分内存 ：l ；4 入侮天数抛库进行检索，呵以采j h 影叫、掰阳j l k | f f i 葛砭圳f 段俅仃、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用4 ：授权1 ) 。学他沦殳“：肯签名：武橐f 利导师签字：形 答 整7 ： f j j ：z o o p ；f 午月，只签字闩期：2 0 0 i - 铒月，6 闩 山东师范大学硕士学位论文 两类脉；中微分系统的稳定性研究 代新利 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 雕_ 掣“篡 关于两个测度的稳定性和有界性，其中，a f 且+ r n r ”，r n ，k q r n x r m ，舻1 ， “为给定控制集q = ( u r ：u ( t ，“) sr ( ，t o ，u o ) ，t2t o ) 中的任一控制向量， o o l t 2 奴 为脉冲时刻，且2 女- o c 、k _ o 。 近年来关于非线性脉冲控制问题的例子设越来越多地应用到现实生活中以金 融市场的货币供应为例，为了维持金融市场的稳定性，中央银行不可能每天都改 变存款利率，而是让其在一段时间内保持一致，这种问题就可以归结到脉冲控制系 统的稳定性来解决，类似的应用在卫星轨道转换和经济系统管理中也有所体现目 前，大多数关于脉冲控制系统的研究主要是针对实际稳定性进行的”o i ，本文在 利用比较方法的基础上，重点结合向量l y a p u n o v 函数方法来研究非线性脉冲控制 系统的稳定性和有界性 本文第一章，将向量l y g p u n o v 函数与比较方法结合，研究了非线性脉冲控制 系统( 1 ) 的稳定性质得到了系统稳定、实际稳定、渐近稳定等若干结果，并将结 果推广到两个测度上，最后给出了两个例子说明定理的应用。 本文第二章，利用向量l y a p u n o v 函数方法并结合比较方法研究了脉冲控制系 统的有界性，并将结果推广到两个测度上，这样我们就可以用一种方法来描述多种 不同的有界性定义 另外，本文还研究脉冲混合系统 f z ，= ，( ，。，a k ( z k ) ) ，t ( t k ，+ ) ， 澎z ( t k ) 球- j 。：溜2 i o ( z o ) - o 坝, 篡去。，1 2 ( 5 ) f k g i r n ，r “1 ，k 坐丕堕塾盔兰塑主堂垡堡童2 g i n “，刀】，k = 0 ，1 ，2 ，t o 】 t 2 2 为脉冲时刻，且“_ o 。，k - c x 3 众所周知，在研究脉冲混合系统的稳定性时，一般采用l y a p u a o v 第二方法， 并且已取碍了不少成果在获得这些结果的同时，所用l y a p u n o v 函数沿系统轨线 的导数一般都局限于常负或定负，而实际上由于脉冲的影响，对l y a p u n o v 函数的 要求可以放宽，比如不对系统的离散部分或者连续部分分别设置条件，而是对它们 设置混合条伴，这样不必要求y 函数的导数常负或定负，仍然可以碍到脉冲混合 微分系统的稳定性 本文第三章，采用l y a p u r t o v 函数直接方法，对系统的连续部分和离散部分设置 混合条件，来研究脉冲混合微分系统的稳定性。本章窜j 用该法碍到了脉冲混合微分 系统( 5 ) 关于两个测度的稳定性的若干结果，最后给出一个例子说明定理的应用 关键词：菲线性脉冲控制系统， 脉冲混合微分系统， 控制向量，向量 l y a p u n o v 函数， 比较方法，直接方法，稳定性， 有界性，两个测度 分类号：0 1 7 5 ，2 i 坐丕塑塑盔堂堡主芏焦堡塞墨 t h es t a b i l i t ys t u d yo ft w oc l a s s e so fi m p u l s i v e d i f f e r e n t i a ls y s t e m d a ix i n l i s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p rc h i n a a b s t r a c t 篓j 三 l i ：c 三j m m ! ；，i ， a b o u tt w od i f i e r e n t w h e r e ，_ p e r + r “r m ，r “1 ，k c r “r m ，r “1 ，“i sa n yc o n t r o lv e c t o ri ng i v e n c o n t r o ls e tq = u r m ：u ( ，“) t ( ) t o ，h ) o ) 、t t o ) ，t o j t 2 t ，r a r ei m p u l s et i m e s ，a n d “ 。，k - - + o q i nr e c e n ty e a r si n o r ea n dm o r ee x a m p l e sa b o u tn o n l i n e a ri m p u l s i v ec o n t r o lp r o b l e m sa r e a p p l i e dt op r a c t i c e f o re x a m p l e ，ac e n t r a lb a n kc a nn o tc h a n g ei t si n t e r e s tr a t ee v e r y d a y i no r d e rt or e g u l a t et h em o n e ys u p p l yi naf i n a n c i a lm a r k e t ，b u tk e e pi tu n c h a n g e df o r al o n gt i m et h es e t t l e m e n to ft h i sk i n do fi s s u ei ss u b j e c tt ot h es t a b i l i t yo fi m g u l s i v e c o u lr o ls y s t e r mt h es i m i l i a ra p p l i c a t i o n sa r ea l s oe m b o d i e di no r b i t a lt r a n s f e ro fs a l e l l i t ea t t de c o s y s t e m sm a n a g e m e n ta n ds oo nt h ep r a c t i c a ls t a b i l i t yo fi m p u l s i v ec o r t t r o l s y s t e mi ss t u d i e dr a o s t t yi nr e c e n t ，y e a r s ( 1 、2 ，3 l ：c o u p l e dw i t ，hc o m p a r i s o nm e t h o d v e c - t o el y a p u n o vf u n c t i o n sa r ee m p l o y e dt os t u d yv a r i o u so fs t a b i l i t ya n db o u u d e d n e s sf o r n o n l i n e a ri m p u l s i v ec o n t r o ls y s t e mi nt h i sp a p e r h 、c h a p t e ro n e ，w es t u d yt h es t a b i l i t yf o rn o n l i n e a rc o n t r o ls y s t e m ( 1 ) b ye m p l o y i n g v e c t o rl y a p u n o vf u n c t i o n sa n dc o m p a r i s o nm e t h o d ，a n do b t a i ns o l n er e s u l t s js u e la s s t a b l e ，p r a c t i c a ls t a b l e ，a s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea n ds oo n ，e n c h a r g i n go u rr e s u l t st ot w o d i f f e r e n tm e a s n r e s o t h e rs t a b l i l i t yo fs o l u t i o n sa r eo b t a i n e d a tl a s tw eg i v et w oe x a m p l e s t oi l l u s t r a t et h ea p p l i c a t i o no ft h et h e o r e m s i nc h a p t e rt w o ，b ye m p l o y i n gv e c t o rl y a p u n o vf u n c t i o n sa n dc o m p a r i s o nm e t h o d ， w es t u d yt h eb o u n d e d n e s sa b o u tt w od i f 琵r e n tm e a s u r e sf o rn o n l i n e a rc o n t r o ls y s t e m ( 1 ) ，t h e nw ec a r lo n l yu s eo n eb o u n d e d n e s sd i f i n i t i o nt od e s c r i b ed i f f e r e n tb o u n d e d n e s s 坐壅堕垫苤堂堡主鲎垡堡塞 4 d i f i n i t i o n w ea l s og i v ea ne x a m p l et oi l l u s t r a t et h ea p p l i c a t i o no ft h et h e o r e m sa tt h e l a s to fc h a p t e rt w o w ea l s os t u d yt h es t a b i l i t ya b o u tt w od i f f e r e n tm e a s u r e sf o ri m p u l s i v eh y b r i dd i f f e r e n t i a s y s t e ma s o i l o w ， l 。= ，( ，z ，a k ( z k ，f t k ，t + 1 ) ， z ( ：) = z ；，z = z + k ( z k ) ，k = o ，1 ，2 ， ( 5 1 【x k = z ( t ) ，i o ( z o ) i0 ，x ( t a ) = x 0 ， w h e r ef p c i r + r “r ”，冗“ ， g 【形，r “】，a i c i r “，r ” ，k = 0 ，】，2 ， t o t 1 2 t k - - a r ei m p u l s et i m e s ，a n d “_ o 。，k _ o c t h et n o s ts t u d yf o ii m p u l s i v eh y b r i ds y s t e ma r ef o c u s e do l l l y a p u n o v l sf l m e t i o n s d i r e c tm e t h o da n dc o r n p a r i s o nm e t h o d ，w h i c hg i v ec o n d i t i o n so nc o n t i o u sp o r t i o na n d d i s c r e t ep o r t i o no ft h es y s t e mr e s p e c t i v e l y ，a n ds l s oa s k e dt h a tt h ed e r l v e t l v eo fl y p u n o v f u n c t i o n sa l o n gt h es y s t e ma r en o n p o s i t i v e ；b u ti nt h i sp a p e r lg i v e nm i x i n gc o n d i t i o n s o kc o n t i o u sp o r t i o na n dd i s c r e t ep o r t i o no ft h es y s t e m s ( 5 ) ，t h e nt h ei m p u l s i v eh y b r i d s y s t e m ( 5 ) i ss t i l ls t a b i l i t ye v e nt h ed i r i v e r t i v ei sp o s i ti r e l nc h a p t c rt h r e e ，w eg i v em i x i n gc o n d i t i o n so ne o n t i o u sp o r i o na n dd i s c r e t ep o r t i o n o ft h es y s t e m ( 5 ) b yl y a p u n o v l sd i r e c tm e t h o d s ，u n d e rt h ec o n d i t i o n s ，i ts t i l lc a nn o t i n f e c t t h es t a b i l i t yo fi m p u l s i v eh y b r i ds y s t e me v e nt h ed i r i v e r t i v eo fl y p u n o vf u n c t i o n s a l o n gt h es y s t e mi sp o s i t i v e lb yt h i sm e t h o d ，w eg e ts o l l 、er e s u l t sa b o u tt w od i f f e r e n t l u e a s l u e sf 0 1 - i m p u l s i v eh y b r i ds y s t e ma ne x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h ea p p l i c a t i o n o ft h et h e o r e m sa t , l a s t k e y w o r d s ： n o n l i n e a ri m p u l s i v ec o i l t t 0 1s y s t e m s ， i m p u l s i v eh y b i dd i f f e r e n ti a i s y s t e m s ， c o n t r o lv e c t o r s ，v e c t o rb y a p u n o v sf u n c t i o n s ， c o m p a r i s o nm e t h o d ， d i r e c tm e t h o d ， s t a b i l i t y ，b o u n d e d u e s s ，t w om e a s u r e s c l a s s i f i c a t i o n ：01 7 521 一一 些壅堕堇态兰堡圭堂垡迨塞 第一章非线性脉冲控制系统的稳定性 1 1前言 近年来脉冲控制问题吸引了许多研究者的兴趣【1 _ “，这些控制阿题很自然的 来源于现实中大量的形形色色的例子，比如卫星轨道的转换、经济系统的管理、金 融市场的货币供应等等。 在现实中有很多例子证明了脉冲控制比一般的连续控制能收到更好的效果， 甚至有时只有脉冲控制才能够实现控制目的比方说，为了调节金融市场的货币供 应，中央银行不能每天改变存款利率，而是让其在一段时间内保持一致。在文献1 1 】 中，作者首先建立了非线性脉冲控制系统( 1 ) 的比较原理，然后利用该比较原理和 l y a p u n o v 函数方法研究了脉冲控制系统关于两个测度的实际稳定性文献【2 】中， 作者将文献f 1 1 中的比较原理推广到“维空间，然后利用推广的比较原理并结台向 量l y a p u n o v 函数方法研究了非线性脉冲控制系统( 1 ) 零解的稳定性。本章利用文 献f 2 1 中推广的比较原理( 亦即本章第三节中的引理1 31 ) ，结合向量l y a p u n o v 函数 方法研究了非线性脉冲控制系统( 1 ) 关于两个测度的稳定性质，得到了系统( t ) 关 于两个测度的稳定、实际稳定、渐近稳定等若干结果，最后给出了两个例子说明定 理的应用。 1 2预备知识 奉章及第二章将考虑如下非线性脉冲控制系统 f 。) ：f tx ，i t ) ， t i z ( 培) = 3 ；0 ， 其中，_ p g i r + r n r m ，r ； ，“g 【r “r “，r ”1 ，u 为给定控制集n 中的任一 控制向量，t o t i t 2 t k 0 ，t o 巩，存在6 = 6 ( t o ，e ) 0 ，使得当 h o ( t o ，搿o ) o 和t = t ( t o ，e ) ， 使得当h o ( t o ，。o ) 5 时，有 ( ，。( t ，t o ，z o ，u ) ) e ，t t o + t ( s 3 ) ：( 、h ) 一一致稳定，如果( s 1 ) 中的6 与如无关 ( 鼠) ：( h o ，h ) 一致吸引，如果( s 2 ) 中的6 和t 都与t o 无关。 ( 岛) ：( o ，叫一渐近稳定，如果( 马) 与( & ) 同时成立 s 6 ) ：( h 。， ) 一一致渐近稳定，如果( 岛) 与f & ) 同时成立 ( 岛) ：( h o ，h ) 一实际稳定，如果对给定的( ，a ) ：o a ，对某t o r + ，当 h o ( t o ，z o ) a 时，有h ( t ，z ( 芒，t o ，x o ，u ) ) 0 ，使得当1 1 w o l t o 和t = t ( t o e 1 ，使得 当l m j 0 1 l d 时，有i l w ( t ，o ，w o ) l i e ，t t o + t ( h 3 1 ：一致稳定，如果( h 1 ) 中的6 与t o 无关 ( ) 一致吸引，如果( h 2 ) 中的6 和丁都与t o 无关 ( ) 一致渐近稳定，如果( h 1 ) 与( 玩) 同时成立 ( 风) ：一致渐近稳定，如果( 日3 ) 与( 矾) 同时成立， ( h 小实际稳定，如果对给定的( ，a ) ：0 a ，当1 1 w o l l a 时，有i i u ( t o ，o ) l a ，t t o ( 凰) ：实际拟稳定，如果对给定的( ，b ，t ) ，当u u 0 1 1 6 ( h ( ，z ) ) ，( ，。) s ( ，p ) ， 萎k ( ，z ) n ( t ，( f ，z ) ) ，( t ，z ) s ( h 唧o ) ，印 0 ，当 6 l b ( e ) 时，有 - = l u 。( ，t o ，u o ) 6 ( e ) ， t 芝t o ( 1 3 1 ) l = l 取d = d ( o ，e ) p o ，使得妒( o ，6 ) n a ( t 0 ， 6 1 设u n 为任一控制向量，相应的 系统( 1 ) 过点( t o ，。o ) 且满足h o ( t o ，z o ) 6 的解记为( t ) = z ( t ，t o ，x o ，u ) ，由条件( i ) 可 知： 6 ( ( z o ，2 0 ) ) 砭( z o ，z o ) 5a ( t o ，h o ( t o ，。o ) ) a ( t o ，d ) 6 ( e ) ，所以 ( 幻，x o ) 下证：h ( t ，z ( t ，t o ，o ，) ) e ，t2 o 否则，必存在某个“o n ，相应的系统( 1 ) 1 过点( t o ，。o ) 且满足h o ( t o ，z o ) o ：e 1 ，使 h ( t ：，z ( t l ，t o ，x o ，o ) ) 之e ，且h 0 ，x ( t ，t o ，7 2 0 ，“o ) ) e ，t o “， 由上式及条件( i i i ) 可知， ( t ，z ( t k ) + j k ( z ( t k ) ，1 z o ) ) p ，故存在矿：k os 使e 茎h ( t o ，。( t o ) ) p ，那么 ( t ，。( t ，t o ，o ，u o ) ) p ，t o 墨t t o 。取u o = y ( t o ，z o ) ，令 m ( t ) = v ( t ，。( ) ) ，o5t o ，由条件( i i ) 、条件( i i i ) 可得 d 斗m o ) g ( t ，m o ) ，u 0 ，u o ) ) ，t t i ，o t t o ， m ( t ) 也( m 心) ，( ，( 如，u 0 ) ， = 1 ，2 ，2 再结合g ( ，u ，口) 、啦( “，口) 的拟单调性以及“o n ，故 d + m ( ) sg ( t ，m ( ) ，r ( ，t o ，) ) ，z 屯，o t o ， m ( t j ) 妒；( ” ( t ，) ，r ( 如，t o ，u o ) ) ，i = 1 ，2 ，k 叉r e ( t o ) t o o ，由引理1 3 1 可得： m ( t ) sr ( t ，t o ，u o ) ， o tst 0 ，( 1 3 2 ) 其中r ( t ，t o ，u o ) 是系统( 2 ) 过点( t o ，u o ) 的最大解 些丕匝要丕堂堡主堂垡堡奎 ! q 这样由( 131 ) 式，( 1 3 2 ) 式及假设可得 b ( ( ) 茎b ( h ( t o ，z ( 矿，t o ，砘护) ) ) 曼n ( t o ，t o ，v ( t o ，z o ) ) ， t = l 矛盾故对每一个控制向量u q ，提应的脉冲控铡系统( 1 ) ( ，均一稳定，证毕口 注1 3 1 ：在定理1 3l 的条件下，可以推出当系统( 2 ) 的零解渐近稳定时，每 一个控制商量u q ，相应的脉冲控制系统( 1 ) ( h o ，a ) - 渐近稳定 证明：根据定义可知，当系统( 2 ) 的零解渐近稳定时，有系统( 2 ) 的零解稳定 且吸引，由前面定理3 1 的证明知：当脉冲微分系统( 2 ) 零解稳定时，相应于每 一个控制向量t , n ，对脉冲控制系统( 1 ) 的解( ) = x ( t ，t o ，o ，u ) ，当h o ( t o ，z o ) 6 时，有 ( t ，z ( t ，t o ，z o ，u ) ) 0 ，当ec 0 0 i 6 1 时，过( 妣w 0 ) 的任一解( t ，t o ，u d ) ，有 2 = l c j j ( t ，t o ，u o ) d ( e ) ，t f o4 - t 这样再结合( i31 ) 式、( 133 ) 式及条件( “) 有： l = l n 厶( ，。( ，z ( ，t o ，z o ，“) ) s 芝二1 吒( ，z ( f ，f o ，z o ，“) ) s n ( ，t o , u o ) b ( f ) ， t t o + t l = ll = l 从而有7 。( ，：r ( ，t o ，。o ，“) ) e ，t 如+ t 由定义知脉冲控制系统( 1 ) ( h o ， ) 一渐近稳 定，证毕 口 定理1 3 2 ：将定理13 1 中条件作如下改动： ( i ) 改为( i ) h o ，h f ， ( t ，z ) s 妒( o ( ，# ) ) ，( t ，z ) s ( ，户) ，妒； ( t i ) 改为( 州v 蛾。) p c r + xr “，r 掣1 ，且存在。k ，b k ，使得： k ( ，z ) 6 ( ( ，2 ) ) ，( ，。) s ( h ，p ) ， f = 1 e m ( ，。) sa ( h o ( t ，z ) ) ，( t ，z ) s ( h o ，p o ) ，p o p ， ；= l 条件( i i i ) 不变，那么由系统( 2 ) 零解的稳定性质可推出对每一个控制向量“n ，相 应的脉冲控制系统( 1 ) ( h o ，h ) 一稳定性质 证明：任意0 0 坐丕堕堇盔望亟主堂垡迨壅 ! ! 当_ _ 二o ： 6 1 b ( e ) 时，至二。( t ，如，u o ) b ( e ) ，t t o 取5 = 6 ( 。，e ) p o ：使 妒( d ) p ，n ( 6 ) 0 ，此时，只须取6 = 6 ( e ) p o ， 使妒( 6 ) n o ( 6 ) b ( 啉z ) ) ，( 。，。) s ( h ，如 i = 1 k ( t ，z ) sn ( 7 均( ，z ) ) ， ( t ，。) s ( h o ，p o ) ，p o p t = l ( i i i ) 存在w ( f ，z ) p c r + r “，几+ 】，关于z 满足局部l i p c h t z 条件，一正定 d + w ( t ，z ) 在s ( h ，p ) 上有上界或下界，并且 ( t ，z + ，k ( z ，“) ) 曼w ( z ) ，k = 1 ，2 ，； ( i v ) 存在c k ，及某正整数p ：1sp n ，使得 【( “，z ( ：) ) d + ( ，z ) s c ( ( t ，z ) ) ，( t ，z ) s ( h p ) ，t t k 、( 1 34 ) d 1k ( t ，z ) sg 。( ，v ( t ，。) ，u ( t ，u ) ) ，( ，z ) s ( h ，p ) ，k ，i 1n i p ， 其中9 。( t ， ) p g 兄十只掣r 掣，r 掣】，i 【l ，1 为正整数且 p ，仇( 巾 ) 对 每一个( ，“) 关于”拟单调不减，对每一个( ，u ) 关于u 拟单调不减i ( v ) 当( ，z ) s ( h ，p o ) 时， ( + ，z + ( z ，) ) 0 ，使得当 h o ( t o ，z o ) 0 ，使当h ( t ，z ) d 时， w ( t ，。) d ( h ( t ，) ) ( 13 5 ) 因此只须证明l i m ( t ，。( t ) ) = 0 即可 假设l i mi n fw ( t ，。( t ) ) = 卢0 ，对( 1 ，34 ) 式从t o 到t 积分，不妨设t n 0 ：0 口 骢s u p w ( 、z ( ) ) t 。 及t ：； ，? t i + l ，使得 且 或者 w ( k z ( t z ) ) 2 ；，w ( 。：，。( ：) ) 2 。， 罢 ( ，j ( t ) ) j ，； f 0 f l ，2 ，一 ( 1 36 1 w ( k ，。：m ) ) ：。，w ( t i ，z ( ) ) = 等， 目 要 w ( t ，z ( f ) ) 盯， 如 t 0 ，存在( ，z ) p c r + 形，r 翱，使得： k 。( ，。) b ( h ( t ，m ( t ，。) s ( h ，p ) n s c ( 1 ) ， 2 = l _ 2 ( o ，z ) 58 ( h 。( t ，。) ) ， ( ，。) s ( 7 i o ，p 。) n s c ( 。，q ) ，p o 0 ，( t ，。) s ( h ，p ) n s e ( o ，1 ) 当t 时，d + ( ，z ) s9 ( t ，( t ，z ) ，u ( t ，u ) ) ， 当= 女时，( + ，z + i k ( z ，u ) ) 妒k ( ( t ，z ) ，u ( t ，u ) ) ， 其中对每一个k ，饥( “，u ) ep c i r n + r n + ，只掣 ，关于“，”分别拟单调不减；9 ( u ， ) p g i r + r 掣r 罕，r 掣 对每一个( ，n ) 关于 拟单调不减，对每一个( t ，”) 关于n 拟单调不减； ( i v ) 存在p o p ，当( t z ) s ( h ，p o ) 时，有 ( ，z + “( j v z ) ) p ，且当t = f i 时， h o ( t + 3 7 , + ，( 。，“) ) h o ( t ，z ) ；当( t ，z ) s ( h ，p ) 且t = k 时， v ( z + ，z + 7 ( r 钍) ) 曼 y ( ，z ) ， 那么由系统( 2 ) 的零解的稳定性质可以推出对每一个控制向量“f 2 ，相应的脉冲 控制系统( 1 ) 具有对应的( h o 、f 。) 一稳定性质 证明：任意0 e p ，由系统( 2 ) 2 零解稳定，故存在6 l ：6 l ( f o ，ej 对于系统( 2 ) 过( 幻j z o ) 的任一解u ( t ，t o ，o ) ，当o ： 6 l 时，有 z = l c _ o i ( t ，t o ，u o ) 0 ，满足6 m m 妒。( ( ) ，。( d 】) ，n 。( b ( e ) ) ) ，对n 中的每一个控制向 最记系统( 1 ) 相应的过( t o ，。o ) 的解为x ( t ) = z ( t ，t o ，x 0 ，“) ，假设h o ( o o ，z o ) d ，由 条件( i ) ， ( o ，z o ) 兰妒( h o ( o ，z o ) ) 妒( 巧) e ，f 证：h ( ，。0 ，o ，芷o ，u ) ) e ，o 否则，必存在某u o q ，相应的系统( 1 ) 满足 o ( o ，z d ) 6 的解为。( f ) = z ( t ，o ，。o ，“o ) ，且存在r ：缸 r 2 k + 1 ，使 h ( r ，z ( ，t o ，茁o ，1 上。) ) e 且h ( ，z ( t ，o ，z o ，u o ) ) e ，t os so k 坐壅堕垫盔兰堡主兰垡堡茎卫 再结合条件( 1 v ) 可知，存在o ：拓 t o 曼t ，使 e h ( t o ，x ( t o ，t o ，z o ，u 0 ) ) p ，且h ( ，z ( ，t o ，z o ，u 0 ) ) 巧，丽赶0 0 。，z 。) 6 、由条件( i v ) 可知存在j ：ls ，k + 1 及：t j ( t ：0 + i 使 h o ( ：，z ( ；，o ，z o ，“o ) ) = j ，h o ( t ，x ( t ，t o ，。o ，u o ) ) d ，t o t t i ( 1 39 ) 由( 13 8 ) 式、( 1 3 9 ) 式可知；( ，x ( t ，t o ，o ，u o ) ) s ( h ，p ) n s c ( h o ，6 ) ，i 曼t t 。 取d = q ，由条件( i i ) 可知，存在p c i r + r 竹，r 掣1 ，使得： ：( t o ，t ( c 。1t o ，o ，“o ) ) b ( h ( 即d ，z o ，“o ) ) 邳( e ) ， ( 1 ，3 t l o ) t = 1 而 由( 1 3 1 0 ) 式、( 1 3 ，i i ) 式以及条件( i v ) 可知，存在如t t t ist ”1 ， i k 十l ， 使 。( 噶，z ( 轴) ，z o ，u o ) ) - b ( e ) _ ( 1 31 2 ) t = 1 取u ：= ( z ，t o z o ，? 1 0 ) ) 由条件( m d + m ( t ) 茎9 ( ，r n ( ) ，u ( t ，t o ) ) ，t t it i 茎t 曼t o 7 n ( t ? ) 母：( r n ( t 。) ，u ( t ：，w , 0 ) ) ，i = j 十1 ， ， 由0 ( 、”) 以及帆( u ，u ) 的拟单调性，上述不等式可化为 ld + ，n ( ) 曼9 ( # ，r n ( t ) ，r ( t ，t j ，u i ) ) ，t tt i t t o ， r n ( 产) s 讹( m ( “) ，r ( t ，t i ，u f ) ) ，i = ，+ 1 ，。一，女， l 。( 。) 。；， 其中，( t ，t i ，_ ；) 是系统( 2 ) 过点( t i ，w ：) 的最大解将引理1 3 1 应用到上述不等式 巾，可得m ( t ) r ( ，：，u ：) ，苟t 墨t o 这样，再利用( 1 3 ，7 ) 式、( l 3 1 2 ) 式以及 条件( 啦可得： n n 6 ( e ) = 。( 芝，z ( 坨，t o ，z o ，u o ) ) n ( 呓，z ( 呓，：，u ：) ) 6 ( e ) ， l3le，d 60 j j 0 u 0 z oz o o n 一 0 u 0 z 沁礴 z 晴” n o 有 s i帆斛 = 据”根 产 ， 芦 渤叫 坷 06 i 0 使得 当h ( t ，z ) p o 时，( t ，z ) 芝b ( h ( t ：。) ) ， ( 131 3 ) 当h o ( t ，。】 0 ：c p ( t o ，& ) p o ，使当h o ( t j ) s i ! 时，有h ( t ，z ) 妒( t ，h o ( z ，。) ) 由系统( 2 ) 零解稳定，因此，对任霹，e ：0 e 0 ，使得系统( 2 ) 的任意解u ( ) = w ( t ，t o ，u o ) ，当( g o ； d 3 时，有 ：= l n u t ( ，t o ，u o ) 0 ，使a ( t o ，d 4 ) b ( e ) ，选取6 = 6 ( t o 、e ) r a i n s t ，6 2 如，6 d ) ，设控制 系统( 1 ) 对每一个控制向量u n ，相应的过点( t o ，z o ) 的解为。( t ) = z ( ，t o ，。o ，“) ，且 满足h o ( 妣。o ) j ，由( 1 3 1 3 ) 式、( 1 3 i 4 ) 式及d 的取法可知 b ( h ( t o ，z d ) ) s ( t o ，茹o ) a ( t o ，h o ( t o ，z a ) ) a ( t o ，5 ) 扫( ( ) ， 坐查盟蔓盔堂亟主堂焦堡窒 一 一旦 故h ( t o ，x o ) ( ，下证h ( t x ( t ，t o ，z o ，u ) ) ( ，t2t o 为证明上述结论，我们先证明 v ( t ，z t o ，$ 。，珏) ) b ( e ) t t o 反证，若上式不成立，则必存在u + f 2 ，相应的n 系统( 1 ) 的解为。( 。) 。z ( 。1 。 “) 存在某以及t ；，抽 t ist 女+ i ，使得k ( ：，z ( t l ，t o ，u + ) ) = b ( e ) 取u o 2 ；= l v ( t o ，x o ) ，那么 n