（应用数学专业论文）非线性发展方程求解方法的研究.pdf

北京邮电大学硕士研究生论文 非线性发展方程求解方法的研究 摘要 随着非线性科学的发展，出现了大量的非线性发展方程，在不同 的物理背景下起着重要的作用。非线性发展方程的精确求解及其解法 研究作为非线性科学中的前沿研究课题和热点问题，极具挑战性。 求出非线性发展方程的精确解是讨论非线性发展方程问题的首 要任务。但由于非线性发展方程本身的复杂性，至今仍没有求解这类 方程的统一的有效解法。虽然已经求出很多非线性发展方程的精确 解，但是求解方法也是各有技巧，有大量的发展方程无法求出精确解。 因此为了给数值计算等方法提供理论依据，讨论非线性发展方程的解 可能具有的性质，在不求解方程的情况下，直接研究发展方程解的特 性也成为人们研究发展方程问题的一个有效途径。 已经发现并取得相当成果的求解发展方程精确解的方法有：齐次 平衡法、t a n h 函数法、b i i c k l u n d 变换法、反演散射方法、达布( d a r b o u x ) 变换法、h i r o t a 双线性方法、相似约化法，以及在2 0 0 2 年，由冯兆生 在研究b u r g e r s k d v 方程的精确解时提出的首次积分法等等，其中首 次积分法基于除法定理和h i l b e r t 零点定理的一种求方程精确解的有 效方法。 本硕士论文以发展方程理论为基础，以上述方法和原理为手段， 借助于计算机符号计算系统，完成了以下五个方面的工作： 一、利用双曲正切函数y t a n h ( 0 ，展开法，借助于符号计算软件 m a p l e ，获得了非线。| 生a c e i v e 耗散色散方程：u t 4 - u u x + + p + = o 的3 6 组行波解，这种方法也适用于其它非线性波方程； 二、利用叠加法简洁地求得了非线 生a c e i v e 耗散色散方程： u t + u u 。+ + 尸+ = 0 的解； 三、运用检验p a i n l e v e 性质的w t c 算法，研究了p a i n l e v e 检验在 h i r o t a 双线性中的应用； 四、利用首次积分法求解了( 2 + 1 ) 维b u r g e r s 方程，得到了一 北京邮电大学硕士研究生论文 些精确解； 五、证明了黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件，并 举例对一些具体的黎卡提方程进行求解。 本文的工作具有较大的理论意义和应用价值。其中以上述第一部 分内容为基础的学术论文( ( a c e i v e 耗散色散方程的精确解已发表在 佳木斯大学学报2 0 0 8 年第3 期上，以第五部分为基础的学术论 文黎卡提方程的初等解法已发表在徐州师范大学学报2 0 0 8 年第2 6 卷上。 关键词：非线性发展方程；p a i n l e v 6 性质；双曲正切函数法；a c e i v e 色散耗散方程；叠加法；首次积分法 i i 北京邮电大学硕士研究生论文 t h es t u d y o fs o l v l n gm e t h o d sf o r n o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s a bs t r a c t w i t ht h ed e v e l o p i n go ft h en o n l i n e a rs i c e n c e ，l o t so fn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s ( n l e e s ) a r ef o u n d ，a n d 也e ya r ep l a y i n gi m p o r t a n t r o l e si nm a n yd i f f e r e n tp h y s i c sf i e l d s a sal e a d i n gs u b j e c ta n dh o t i n t e r e s ti nn o n l i n e a rs c i e n c e ，s t u d yo nt h es o l u t i o nm e t h o do fn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n sh a sb e c o m em o r ea n dm o r ec h a l l e n g i n g f o rt h ec o m p l e x i t yo fn l e e s ，t h e r ei sn oag e n e r a ls o l v i n gm e t h o d f o rn l e e s a l t h o u g he x a c ts o l u t i o n s f o ral o to fn l e e sh a v eb e e n s t u d i e d ，t h es o l v i n gp r o c e s sh a se a c hs k i l lr e s p e c t i v e l y , t h u st h e r es t i l l h a v em a n yn l e e sw h o s ee x a c ts o l u t i o n sa r eu n a b l et ob eo b t a i n e d f o r t h i sr e a s o n ，s o m e t i m e sw ed o n ts o l v et h ee q u a t i o n s ，b u tr e s e a r c ha b o u t p r o p e r t i e sf o rt h e i rs o l u t i o n sa c c o d i n gt oe q u a t i o ni t s e l fd i r e c t l y t h e r ea r es o m em e t h o d sf o rs o l v i n gn l e e s ，s u c ha sh o m e g e n e o u s b a l a n c i n gm e t h o d ，t a n hf u n c t i o nm e t h o d ，b f i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ， i n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d 、d a r b o u xt r a n s f o r t n a t i o n 、h i r o t ab i l i n e a r m e t h o d 、s i m i l a r i t yr e d u c t i o ne t a b a s eo nd i v i s i o nt h e o r e ma n d h i l b e r t - n u l l s t e l l e n s a t zt h e o r e m ，z s f e n gp r o p o s e dan e w a p p r o a c hf o r s t u d i n gt h ec o m p o u n db u r g e r s k d ve q u a t i o ni n2 0 0 2 ，w h i c hi sc u r r e n t l y c a l l e dt h ef i r s ti n t e g r a lm e t h o da n db e c o m i n ga ne f f e c t i v em e t h o df o r s o l v i n gs o m en l e e s b a s e do nt h et h e o r yo fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，a n da c c o r d i n g t ot h ea b o v et h e o r ya n dm e t h o d s ，a n dw i t ht h ea i do fc o m p u t e rs y m b o l i c c o m p u t i n gs y s t e m ，f i v ea s p e c t sw o r k a r ec o m p l e t e di nt h i sp a p e r f i r s t l y ，w i t ht h ea i do fs y m b o l i cc o m p u t a t i o ns y s t e mm a p l ea n db y u s i n gt h eh y p e r b o l i ct a n g e n tf u n c t i o n t a n h ( 孝) 7 ，36g r o u p so ft r a v e l i n g i i i 北京邮电大学硕士研究生论文 w a v es o l u t i o n sf o rn o n l i n e a ra c e i v e d i s s i p a t i v ed i s p e r s i v ee q u a t i o n u t + u u 工+ 甜搿+ p “端+ “脒= 0 a r eo b t a i n e d t h em e t h o dc a l lb ea l s o u s e dt os o l v eo t h e rn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s s e c o n d l y , b yu s i n gs u p e r p o s i t i o nm e t h o d ，t h ee x a c ts o l u t i o n so f a c e i v e - d i s s i p a t i v ed i s p e r s i v ee q u a t i o n a r eo b t a i n e d ； u t + u u 工+ “就+ p “嬲+ “嬲= 0 t h i r d l y ，b yu s i n gt h ep a i n l e v 6t e s t ，i t sa p p l i c a t i o ni nh i r o t ab i l i n e a r i ss t u d i e d ； f o r t h ，a p p l y i n gt h ef i r s ti n t e g r a lm e t h o d ，w eo b t a i ne x a c ts o l u t i o n s o f ( 2 + 1 ) b u r g e r se q u a t i o n ； f i f t h ，t h i sa r t i c l ep r o v e ss o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n su s i n ge l e m e n t a r y i n t e g r a t i o n s a n d g i v e s s o m ee x a m p l e sf o rt h o s e s p e c i f i c r i c c a t i e q u a t i o n s t h es t u d i e sa r eo fm o r ep r o f o u n d l yt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n d i m p o r t a n ta p p l i c a t i o nv a l u e t h ep a p e r “t r a v e l l i n g - w a v es o l u t i o no f n o n l i n e a ra c e i v e d i s s i p a t i v ed i s p e r s i v ee q u a t i o n w h i c hb a s e do nt h e f i r s tp a r ti sa c c e p t e db y j o u r n a lo fj i a m u s iu n i v e r s i t y a n dt h ep a p e r “e l e m e n t a r ys o l u t i o n sf o rt h er i c c a t ie q u a t i o n w h i c hb a s e do nt h ef i f t h p a r ti sa c c e p t e db y “j o u m a lo f x u z h o un o r m a lu n i v e r s i t y k e yw o r d s ：n o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n ，p a i n l e v 6p r o p e r t y , m e t h o do fh y p e r b o l i ct a n g e n tf u n c t i o n ，a c e i v e d i s s i p a t i v ed i s p e r s i v e e q u a t i o n ，s u p e r p o s i t i o nm e t h o d ，f i r s ti n t e g r a lm e t h o d i v 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京邮电大学或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：聋查至聱 日期： 竺里翌：三：f2 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定，即： 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮电大学。学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅和借 阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密在年解密后适用本授权书。非保密论 文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 本人签名： 导师签名： 日期：知乜拿。丕。f2 醐：血卜u l 北京邮电大学硕士研究生论文 第一章绪论 现代自然科学和技术的发展，正在改变着传统的学科划分和科学研究的方 法。“数、理、化、天、地、生 这些曾经以纵向发展为主的基础学科，与新技 术相结合，并结合计算机的应用，推出了一些横跨多种学科门类的新兴研究领域。 其中，非线性科学的发展就是跨学科新兴领域的一个重要例证。然而，这些学科 之间的内在联系是逐渐为人们所认识的。 1 1 非线性发展方程简介 近几十年来，非线性科学得到了迅速的发展，现在人们己经普遍认识到非线 性科学处于自然科学前沿的前沿领域，它作为一门研究非线性现象共性的交叉学 科，被誉为2 0 世纪继相对论、量子力学之后的又一次“科学革命 。非线性科学 也是人类认识自然的一次飞跃，它正改变着人们对传统学科划分和科学研究的方 法。其实非线性问题在数学、物理和力学中早已存在，但从前人们只是对具体问 题采取新颖的技巧或特殊的算法个别地解决，没有认识到它们之间的内在联系， 不能用解析方法一般地处理。 从2 0 世纪6 0 年代开始，由于计算机的广泛应用和由此发展起来的“计算物 理 和“实验数学 方法的应用，非线性科学得以飞跃发展。一方面，人们在研 究无穷多自由度的非线性偏微分方程的可积系统过程中，在浅水波方程里发现了 “孤立子 ，并得出了一套求解一大类非线性偏微分方程的逆散射法；另一方面， 从一些看起来不甚复杂的不可积系统的研究中，发现了确定性动力系统中存在着 对初值极为敏感的混沌运动。人们逐渐认识到，在现实世界中，能解的、有序的 线性系统只是少见的例外，非线性才是大自然的普遍特性。线性系统其实只是对 少数简单非线性系统的一种理论近似，非线性才是世界的魂魄，而且正是非线性 才构成了现实世界的无限多样性、曲折性、突变性和演化性。这样，就逐渐形成 了贯穿物理学、力学、数学、天文学、生物学、生命科学、空间科学、气象科学 和环境科学等广泛领域，揭示非线性系统的共性，探讨复杂性现象朴实方法的新 的科学领域“非线性科学”。随着人们认识的不断深入，非线性科学这门新 兴学科所包含的内容也在不断地充实和变化着。 与此相应，非线性发展方程的内容也同趋丰富。随着近代物理对孤立子和混 沌问题的研究，不断地涌现出一大批具有非线性色散或耗散的崭新的非线性发展 方程，而这类方程的求解成为广大科学工作者研究非线性问题必须面临的课题。 北京邮电大学硕士研究生论文 在物理学、声学、流体力学、非线性光学、工程技术等领域的众多问题中经常会 遇到大量的能反映各种因子或各种物理量之间相互制约和相互依存关系的非线 性方程，一般可以称为非线性发展( 或演化) 方程( n o i d i n e 盯e v o l u t i o ne q u a t i o n s ) 。 通常，非线性方程包括非线性常微分方程( 对未知函数及其导数都不全是线性的 或一次式的常微分方程) 、非线性偏微分方程( 对未知函数及其偏导数都不全是 线性的或一次式的偏微分方程) 、非线性差分方程( 通常是非线性常微分方程或 偏微分方程的离散形式，它对未知函数的以次迭代值都不全是线性的或一次式 的) 和函数方程( 一个函数自身或多个函数之间满足的一个代数关系式) 。方程 的解的研究对研究方程的重要意义是不言而喻的；非线性偏微分方程的应用越来 越广泛，同样研究非线性偏微分方程的解特别是解析解对科学的发展具有重要意 义。 随着生产实践和科学技术的迅猛发展，非线性科学在各领域内得到了广泛的 应用，并取得了一系列可喜的成果，这使得微分方程也越来越与其它学科密切相 连。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理 和规律都可以描述成适当的微分方程，如万有引力定律、机械能守恒定律、人口 发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等。甚至有些领域的基本方程就是常微分方程或者偏 微分方程，如流体力学中的连续性方程、电磁学中的麦克斯韦方程、大气动力学 中的天气预报方程等。此外，热量传递和动量传递、石油勘探开发、煤层气的开 发利用、核废料的处理、水资源的利用以及通讯电子中的一些理论问题都需要借 助于微分方程来研究。微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越 来越多的应用于社会科学的各个领域。 在微分方程中，真正关于非线性现象的研究已经处理了众多我们通过经典方 法所看不到的新现象。孤立子和混沌，这是微分方程理论两个非常不同的方面， 在本世纪已经成为极度重要和非常著名的研究课题了。它们代表不同的极端。孤 立子代表非线性微分方程的无法预料的有组织的行为，而混沌代表的是无法预料 的无组织的行为。这两者出现在不同领域，都是非常有趣和重要的，但它们基本 上都是非线性现象。 非线性发展方程是非线性偏微分方程的重要组成部分，它来自自然科学、技 术科学和社会科学等。解决了由实际部门提出的非线性发展方程不但促进以上科 学技术的发展，而且对数学的自身发展有着重要的影响。非线性发展方程涉及面 极广，如非线性波动方程、非线性抛物型方程、k d v 方程，n a v i e r - s t o k e s 方程 和非线性s c h r o d i n g e r 方程等等。 历史上，为解决各门科学中的线性问题，已经形成了一整套有效方法。例如， 2 北京邮电大学硕士研究生论文 对于线性微分方程，可以通过求基本解、作傅立叶和拉普拉斯交换等方法来处理。 对于线性的函数空间和算子，已研究得比较透彻，有了许多应用。对于非线性问 题，也已积累了许多经验，有不少有效的方法，但同时又面临许多难以解决的问 题。 数学上线性和非线性方程的本质区别是很明显的。一个线性方程的任何两个 解可以相加构成一个新的解，即服从叠加原理。事实上，叠加是用来解决所有线 性系统方法的关键。与此相反，一个非线性方程的两个解不能加在一起构成另一 个解。因此必须整体地考虑非线性方程。不能明显地象线性那样把问题分为一些 小的子问题而把它们的解叠加起来。因此，求解典型的非线性方程不存在一般通 用的解析方法。 用数学方法来处理非线性问题，往往需要求解各种形式的非线性方程，通 常有以下几类算法： ( 1 ) 求准确解，即试图运用各种技巧( 如利用对称性或一些巧妙的变换) 来求得问题的准确解，例如，对二维的理想流体的定常运动，做出无旋的假定后， 可以通过引进势函数，再利用复变函数就可求出大量的准确解。但实际上只有极 少数的非线性问题能够求得准确解。 ( 2 ) 定性分析，即对解的存在性和惟一性问题进行讨论。对某些复杂问题， 如空气动力学中的粘性流问题，有关的偏微分方程除特殊情况外很难求出准确 解，但可对解作定性分析。如果一个非线性问题的解不存在或不惟一，则要对问 题的模型作重新考察。数学中对解的存在性，通常有构造性和非构造性两种证明 方法。 ( 3 ) 数值解法，由于求非线性问题的准确解是很困难的，因此采用数值方 法求解是不可避免的。事实上，大量的非线性问题已经能够用数值计算来解决， 特别是当要解决的问题需要数字结果时。但在数值计算中常会遇到算法的稳定性 问题，例如当差分方程的步长取得不恰当，会产生振荡解；另外，计算中也有许 多技巧，如遇到病态方程等等。例如，对于l o r e n z 混沌吸引子，通常可以采用四 阶龙格库塔算法进行迭代计算进行求解。 ( 4 ) 渐近展开法，采取多次线性逼近方法，通过解若干次线性问题得出非 线性问题的近似解。在这类问题中，往往含有一个小参数，对方程作关于小参数 展开，得到无限个线性问题，逐次求出若干个线性问题，即可求得很好的近似解。 在目前对非线性问题还没有完全获得系统的处理方法的情况下，不同的研究 领域分别出现了自己独特的研究方法，如混沌运动；分形；奇异摄动理论；分岔、 突变理论；孤立子理论等。随着非线性科学的发展，孤立子已经成为非线性科学 研究的重要内容【2 1 。 3 北京邮电大学硕士研究生论文 1 2 孤立子理论 1 2 1 孤立子概述 非线性发展方程的研究中的一个重大事件就是孤立子理论的产生和发展。其 主要标志是：1 9 6 5 年美国数学家n j z a b u s k y 和m d l r u s k a l l 用数值模拟法对等 离子体中孤立波的相互作用进行研究，得到了比较完整和丰富的结果，并进一步 证实了这类孤立波相互作用后不改变波形的论断，具有类似于粒子碰撞后不变的 性质，所以他们把这种波命名为“孤立子 ( s o l i t o n ) h 。；此后不久，在1 9 6 7 年，c s g a r d e r , j m g r e e n e ，m s k r u s k a l 和r m m i u r a 发现了解k d v 方程的反 散射方法( i n v e r s es c a r e r i n gm e t h o d ) 。由此，四十多年来，一些崭新的处理非线 性问题的数学方法与技巧发展起来，并得出许多结果，且在流体力学，物理及许 多技术部门，如基本粒子，等离子体，位错，晶格，激光以及气象学等许多领域， 都有了广泛的应用，引起科学界的极大关注。 目前，孤立子一词虽被广泛引用，但尚无一般定义。它往往是指一大类非线 性偏微分方程的具有特殊性质的解，以及与之相应的物理现象。数学中，将孤立 子理解为非线性发展方程的局部行波解，所谓局部是指微分方程的解在空间的无 穷远处趋于零或固定常数的情况。换句话说，孤立子指的是稳定的孤立波，即通 过相互碰撞后不见消失，而且波形和波速也不会改变或只有微弱改变；在物理中， 孤立子被理解为非线性发展方程能量有限的解，即能量集中在空间有限区域，但 不随时间的增加而扩散到无限区域中去。可以说，孤立子具备了粒子和波的许多 性能，在自然界中有一定的普遍性，而且还可以用实验的方法产生。 经过最近这几十年的发展，在广大科学工作者的努力下，已经逐渐建立了较 为系统的数学和物理的孤立子理论。 孤立子理论概括如下： 1 、孤立子是某些非线性发展方程所具有的在空间不弥散的特定的波动解。 由于这些方程中的非线性项和色散效应之间的巧妙平衡，导致波在传播过程中保 持形状不变，其能量始终集中在狭小的空间范围。 2 、两个孤立子相互作用出现弹性散射现象：它们在相互碰撞时保持稳定， 波形和波速在碰撞后能恢复到原状；孤立子具有许多粒子所具有的其他特性，如 具有能量、动量、质量这些粒子属性；孤立子在外力作用下的运动服从牛顿第二 定律，因此孤立子兼有波动和粒子的双重属性。 3 、不同类型的具有孤立子解的非线性方程，其孤立子解的波形和特性互异， 这就呈现出丰富多彩的孤立予形态。 4 、除了一维的孤立子，还有二维的涡旋解，三维空间的磁单极解等。 4 北京邮电大学硕士研究生论文 5 、孤立子的行为是十分生动和异常复杂的。如孤立子的产生和湮灭；异相 孤立子的相互排斥；同相孤立子的相互吸引、往返穿行；非传播孤立子的纵向静 止；多维孤立子的坍塌；光通讯中的孤立子串或孤立子解群的相互作用等等。 6 、具有孤立子解的方程存在无穷多守恒率。因此，孤立子方程是完全可积 的无限自由度的哈密顿系统。 7 、为了求解如k d v 方程一类的非线性方程，发展了逆散射方法，b a c k l u n d 变换方法，数值方法，符号运算等数学物理方法。深入研究非线性发展方程的代 数几何性质时，用到了较高深的对称方法，代数工具。在高维孤立子理论中，将 会用到很多微分几何的理论和方法。因此孤立子理论是现代应用数学和数学物理 的一个重要组成部分。 8 、推进孤立子理论不断深入的原因之一是其巨大的应用潜力，除了物理中 的光孤子通讯理念外，在生物过程中孤立子的激发占有重要地位。现在人们已经 十分重视研究在化学和其他局部作用中激发起来的孤立子。 9 、科学家们还运用孤立子理论解释经典理论所不能很好解释的一些问题。 如通过激光光束在非线性介质中自聚焦产生的孤立子的行为特性，可以成功地解 释激光打靶中形成的密度坑与红外线的外移等问题。 孤立子理论的兴起，给求解非线性发展方程及非线性科学的研究带来了革命 性内容和新的活力，使其成为研究非线性方程的主要手段之一。孤立子理论在流 体力学、等离子体物理、非线性光学、经典场论、量子场论、化学、通讯、生命 科学等诸多学科都有重要应用，是一门涉及多学科的研究领域。研究手段和方法 在数学上涉及有经典分析和泛函分析、微分方程和动力系统、l i e 群、l i e 代数无 穷维代数、微分几何、拓扑学、复分析、椭圆函数、代数几何及计算数学等诸多 数学分支。数十年来，孤立子理论一直受到国际上数学界和物理学界的充分重视， 研究工作十分活跃，每年都有大量的科研论文出现于专业期刊以及相关方面的专 著出版h “。孤立子的发展历程简要概括为：z a b u s k y 和k r u s k a l 对k d v 方程解 的孤立子特性的发现。；g a r d n e r , g r e e n e ，k r u s k a l 和m i u r a 对k d v 方程求解的反 散射方法的开创性地工作；l a x 关于k d v 方程l a x 对的理论和推广“；z a k h a r o v 和s h a b a t ，a b l o w i t z ，k r u s k a l ，n e w e l l 和s e g u r 关于矩阵形式的l a x 对及反散射方 法的推广u ，u 等等都为孤立子理论的发展起来了关键的作用。在孤立子理论 中，已有一系列方法用来求孤立子方程的精确解，如反散射方法u 一“，b a c k l u n d 变换陋2 3 1 ，达布变换方法( d t ) 2 0 ，2 4 27 l ，h i r o t a 双线性方法2 8 。4 4 1 ，p a i n l e v e 分析方法仔47 | 、l a x 对非线性方法4 8 。5 0 j 、l i e 对称方法5 1 6 2 3 以及齐次平衡法6 3 。6 5 3 等。这些方法的发现和应用，使得大量的非线性发展方程得以成功求解。对非线 性科学的发展和应用具有重要意义。近年来，随着计算机的发展和符号运算系统 5 北京邮电大学硕士研究生论文 如m a p l e 和m a t h e m a t i c s 的出现，使复杂冗长的代数运算可以在计算机上完成， 为非线性发展方程的求解提供了新的方法和强有力的工具。而计算机绘图软件的 应用，为研究孤立子方程解的性质提供了更为直观的手段。 1 2 2 孤立子理论研究背景及其意义 自2 0 世纪6 0 年代中期以来，非线性科学的研究有了惊人的进展并且越来越 引起人们的广泛重视。从那时起，孤立子理论作为非线性科学中的一个重要研究 分支逐步发展起来。孤立子理论之所以能得到迅速发展是因为孤子现象无所不 在：从天上涡旋星系的密度波、海上的冲击波、等离子体( p l a s m a ) 、分子系统、 生物系统、光纤中光的传播、激光传播、非线性传输线、超流氮3 、超导j o s e p h s o n 结、磁学、结构相变、液晶、流体力学以及基本粒子( e l e m e n t a r yp a r t i c l e ) 等， 都与孤立子有关。孤立子理论自1 9 6 5 年由z a b u s k y 和k r u s k a l 将他们发现的孤 立波命名为孤立子( s o l i t o n ，简称孤子) 以后，得到了迅猛的发展。其发展大致 分为三个阶段： 阶段一( 1 8 3 仁1 9 5 5 ) 最早讨论孤立子问题的是英国科学家、造船工程师j s r u s s e l l1 6 6 1 ，他于1 8 4 4 年9 月在英国科学促进协会第1 4 次会议上作了论波动的报告。报告中讲述 了1 8 3 4 年8 月，他在运河里发现了一个波形不变的单个凸起的水团，这个水团 运动一二英里之后在河流拐弯处消失了。他以物理学家的敏锐注意到这个现象绝 非一般水波，因为在一般情况下，人们所观察到的水波总是由一串具有周期特点 的波列组成的，数学上可由一个波动方程描述，其解是周期性的波列。r u s s e l l 把这种始终保持在水面上，向前平移的孤立水峰叫做“孤立波 ( s o l i t a r yw a v e ) 。 r u s s e l l 认识到孤立波是具关键性质的新现象，对当时的数学家未能从流体力学 运动方程出发预言这种现象提出了意见，他请求当时的数学家至少在事后能给现 象以理论证明。但遗憾的是，由于受当时科学水平的限制，在他有生之年( 1 8 8 2 年逝世) ，还无法从理论上对r u s s e l l 在1 8 3 4 年观察到的孤立波现象给以圆满的 解释。1 8 9 5 年，即r u s s e l l 发现孤立波现象的6 0 年之后，在瑞典a m s t e r d a m 大 学数学教授k o r t e w e g 指导下，他的学生d e v r i e s 6 7 】写了一篇博士论文，找到了 一种流体中单向波传播的数学模型，即著名的k d v 方程： 一a u + c ( 1 + 三兰) 丝+ ，丝：0 a t 、 2h 7 a z a z 3 并给出了一个类似于r u s s e l l 孤立波的解析解，才在理论上求得了与r u s s e l l 观察一 致的形状不变的孤立波解。孤立波的存在才得到普遍承认。上述k d v 方程中， 6 北京邮电大学硕上研究生论文 是深为h 的水道中水波离水平面的高度；在波动很小而波长很长时，c 是水波的 速度( 导和三阶微商项可忽略) 。这个波速当然是与水深有关的波振幅的函数； ，l 最后一项是线性的，它描述波的色散，因为该项依赖于三阶微商而被称为三阶色 散；这表明波速还与波长有关。注意到此方程仅出现对时间的一阶微商项，在方 程中若只考虑波在单一方向上传播，则k d v 方程可以简化。这种类型的波由于波 速与振幅成正比，振幅较大的波比振幅较小的波速度快，因而振幅较大的波可以 追上振幅较小的波，可能发生碰撞。然而这样的孤立波是否稳定，两个这样的孤 立波相遇且发生“碰撞 后能否保持形状和速度不变等问题，一直是科学家们感 兴趣而又无法证实的问题。孤立波在自然界中并不罕见。但上述现象的物理本质 当时引起了广泛的争论，长期未能得到正确的理论解释。 阶段二( 1 9 5 5 - - - 1 9 7 5 ) 1 9 5 5 年，f e r m i ，p a s t a , u l a m ( f p u ) 用计算机进行了一维非线性晶格( 1 a t t i c e ) 在各个振动模之间的实验研究，发现在时间足够长以后，能量似乎又回到了开始 的分布。这与经典的理论是背道而驰的，即：任何微弱的非线性作用，可导致系 统由非平衡状态向平衡状态过渡。由于f p u 问题是在频域内考察的，因此未能 发现孤立波解。后来，t o d a 研究了这种模式的非线性振动，得到了孤立波解， 从而表明了在流体力学以外的物理领域也出现孤立波，同时也使f p u 问题得到 了正确的解答，从而激发起人们对孤立波的研究兴趣。19 6 2 年，p e r r i n g 和s k y r m e 将s i n e g o r d a n 方程用于基本粒子研究；19 6 5 年，z a b u s k y 和k r u s k a l 把k d v 方 程用于等离子体波的研究并用孤立子( s o l i t o n ) 来表示孤立波的粒子行为；1 9 6 7 年g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s k a l 和m i u r a t 6 8 】( g g k m ) 发明了求解k d v 方程的逆 散射方法，同年，m c c a l l 和h a h 作出了激光自感应透明的孤立子实验；1 9 7 3 年， s c o t t ，c h u ，m c l a u g h l i n 发表综述文章，在电子、光学界普及了孤立子知识；同年 h a s e g a w a 和t a p p e r t 预言光纤孤立子的存在；1 9 7 5 年，k r u m h a n s l 和s c h i e f f e r 开始研究孤立波的统计力学。 阶段三( 1 9 7 3 年至今) 大致从19 7 3 年开始，主要工作是把孤立予概念及理论广泛应用于物理学、 生物学、天文学等各个领域。1 9 8 0 年非线性效应专刊p h y s i c ad 问世，同时，开 展了高维孤立子、离散孤立子和光纤中孤立子的研究。 孤立子理论与数学的许多分支都有关系，经典分析和泛函分析，李群李代数， 近代微分几何，拓扑学，动力系统以及计算数学都对孤立子的研究有重要作用。 在数学领域内，孤立子理论提供了一个新的求解非线性偏微分方程的途径，发现 7 北京邮电大学硕士研究生论文 有这么一类方程，它们的某一特解都具有孤立了的特性，我们称这类方程为孤立 子方程，它们的孤立波解称为孤立子解。然而确切地说，虽然孤立子一词在广泛 的范围内被引用，但还没有个确切的定义，因为它还在发展中，给它下严格的 定义比较困难，且为时过早。比较恰当的做法是把如下三点作为孤立子的工作定 义，即： ( 1 ) 孤立子( 孤立波) 是波动问题中的一种能量有限局域解； ( 2 ) 能在空间给定区域稳定存在； ( 3 ) 相互作用不改变各自的特性。 虽然孤立子最初是源于k d v 方程的孤立波，随着研究的深入发展，人们很 快发现，除k d v 方程外，许多具有物理意义的重要的非线性演化方程都具有孤 立子解。如s i n e g o r d o n 方程“。= s i nu 有扭状孤立子解；非线性s c h r o d i n g e r 方 程i u ，+ ”。+ ，川2 “= 0 有包络孤立子解；其他如b o u s s i n e s q 方程，h i r o t a 方程， b e n j a m i n o n o 方程都有形式不同的孤立子解。孤立子是各种各样的，除上面说 过的脉冲状或钟状的孤立子，扭状孤立子，包络孤立子外，还有正孤立子，反孤 立子，呼吸子，b o o m e r o r m ，t r a n p p o n s 以及它们叠加形成的形形色色的孤立子。 孤立子的重要表现在于粒子性质，而不在于其形状。 孤立子理论在流体物理，激光物理，经典场论，生物学，非线性光学等方面 有着广泛的应用。在许多科学领域都存在着孤立子以及与孤立子理论密切相关的 问题，比如，天上涡旋星系的密度波，光纤中光的传播，磁学以及基本粒子等都 与孤立子休戚相关。孤立子理论的发展已使许多物理上长期用经典理论未能得到 解答的现象得到圆满的解释。在应用上，利用孤立波来改进信号传播系统，提高 其传输率等也取得了巨大的进展。随着孤立子物理问题研究的不断深人，孤立子 的数学理论也应运而生。孤立子理论作为数学与物理的交叉学科，是非线性科学 的一个重要方向，它既反映了一类非常稳定的自然现象，如江河中某一类水波， 光纤中光信号传播等，也体现了一大类非线性相互作用的若干特征，为许多实际 问题的解决提供了启示。孤立子理论还为非线性偏微分方程提供了求显式解的方 法，因而受到数学界和物理界的充分重视。 孤立子理论除了在物理学和数学方面有着十分重要的意义外，在生物学方面 也有着广泛的应用。1 9 8 6 年以后，新的生物能量与传递的孤立子理论逐步发展 起来。理论研究和实验结果都表明“传递神经冲动的确是一种孤立子，从分子水 平上，运用传递生物能量和信息的孤立子模型，可较完整的说明横纹肌的收缩问 题。由蛋白质被污染后的孤立子变化可以说明生命体发病的微机原理”显然这些 研究工作对发展和揭示生物奥秘有着至关重要的意义。 1 9 8 4 年，m o l l e n a n e r 等人研制成功光孤子激光器，并运用于光纤通讯上， 8 北京邮电大学硕士研究生论文 从而使得光纤通讯事业得到迅速发展，这也是孤立子理论运用于实际的一个典 范，具有重大的现实意义。 因此研究孤立子及其互相作用，不仅有助于弄清物质在非线性作用下的运动 规律，还直接推动物理学相关分支的发展方程的求解方法与技巧的发展。如反散 射方法的发现，就是由此推动而获得的突出成就之一。 总之，孤立子的非凡性质及其与数学描述有关的丰富的结构，它的深刻的物 理根源和正在开拓的广阔的应用领域，都向人们施展着愈来愈大的科学魅力。 1 2 3 孤立子研究趋势及其发展特点 自1 9 7 5 年至今的三十多年间，孤子理论研究蓬勃发展，从“p e l m u t e r ms u b j e c t h a d e s 提供的统计数字看，含有“孤子一或“孤波 一词的论文数目几乎是直 线增加。这不仅是由于孤子理论的发展已经具备了必备的数学工具和在众多的学 科里确认孤子的存在，而更重要的是发现孤子有许多实际应用，因而吸引了各国 学术界的重视，投入越来越多的人力和资金，国际性的学术会议相继召开。1 9 7 8 年7 月在英国牛津召开了“凝聚态物理中的非线性( 孤子) 结构和动力学会议 以及在g o t e b o r g 召开了“物理中的孤子会议。此外，在国际非线性科学的杂 志也相继问世。专门刊登非线性科学论文的期刊p h y s i c ad 与1 9 8 0 年出版， 此后新期刊不断发行，仅在1 9 9 1 年就有五种期刊创刊( 它们是：( ( c h a o s ，s o l i t i o n s a n df r a c t a l s ) ) ，( ( j o u r n a lo f n o n l i n e a rs c i e n c e ) ) 6 9 n o n l i n e a rs c i e n c et o d a y ，c h a o s ： a ni n t e r d i s c i p l i n a r yj o u r n a lo fn o n l i n e a rs c i e n c e ，i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo f b i f u r c a t i o na n dc h a o si na p p l i e n ds c i e n c ea n de n g i n e e r i n g ) ) ) 。孤子在高科技方面 的应用最具有代表性的当属光纤中的光孤子。它具有长距离传输损耗小，无需中 继站比特率( 单位时间传输的信息量) 高等优点，获得广泛的重视。由联合国教 科委组织，国际原子能机构和国际理论物理中心于1 9 9 5 年2 月在意大利联合召 开“光纤中超快速传输系统 会议，其内容大部分是讨论光孤子问题。 近年来，在孤立子理论研究中，k r u s k a l 和z a b u s k y 用计算机研究等离子体 中孤立波碰撞的非线性性相互作用过程。f e r m i 等人在计算机上进行了非谐晶格 的实验等等。这些都充分说明了计算机在孤立子研究中起着重要作用。而计算机 代数是用计算机对数学公式直接进行处理的理论、算法和系统，将数学中刻板的、 大量重复性而人工难以完成的运算让计算机来完成，既提高了速度也保证了准确 率。随着各种符号运算软件，如m a t l a b ，m a p l e ，m a t h e m a t i c a ，a n s y s ， l i n d o ，o r i g i n 等软件开发，符号运算己成为现代数学研究中的强有力工具， 也为非线性科学的发展提供强有力手段和途径。 现在，随着计算机在自然科学中的发展与应用，我国著名数学家吴文俊院士 9 北京邮电大学硕