（应用数学专业论文）股权风险溢价在长期股票市场上的应用.pdf

摘要 股权风险溢价( t h ee q u i t yr i s kp r e m i u m ) 即投资于普通股的收益与投资于政府 债券的收益之差。它是标志股市兴衰与否的关键性因素。在这一领域的学术性论 著很多，但至今未见有权威性的结论。大部分的研究主要是从预测股票市场短期 波动，来估计未来股票收益与政府债券的收益之问的关系。本文主要介绍大家( 例 如火多数投资者、养老基金经纪人和公司财务人员等) 最为关心的基本问题：从 k 期来看，股票收益的变化将如何。对未来股权风险溢价进行估计，揭示风险溢 价和股票价格水平的关系，从资本资产定价模型、风险厌恶理论和效用函数理论 等给以严格分析。 关键词：股权风险溢价，收益率，风险，c a p m 模型，风险厌恶，效用 a b s t r a c t t h e e q u i t yr i s kp r e m i u m i st h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h er e t u r no fc o m m o ns t o c k s a n dt h er e t u r l lo fr i s k - f r e eb o n d s ( i ti s u s u a l l yi n s t e a db yt r e a s u r yb o n d s ) ，w h a ti t d e v e l o p sr e l a t e sc l o s e l yt ot h ew e a k n e s so rb o o mo ft h es e c u r i t ym a r k e t a l t h o u g h t h e r eh a v eb e e nm a n yl i t e r a t u r e sw i t hr e s p e c tt ot h ee r pf i e l ds of a r ，t h e r ei sy e tn o o n er e s u l t a c c e p t e db ym a j o r i t ya c a d e m i c i a n s m a n yr e s e a r c hp a p e r si nt h i s f i e l d g e n e r a l l ye s t i m a t et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h er e t u r no fc o m m o ns t o c k sa n dt h e r e t u r no ft h et r e a s u r yb o n d sb yp r e d i c t i n gt h es h o r t - t e r n av o l a t i l i t i e so ft h es e c u r i t y m a r k e t w h i l et h i st h e s i sm a i n l yi n t r o d u c eab a s i cp r o b l e mc o n c e r n e db ym a n y p e o p l e ( s u c ha si n v e s t o r s ，b r o k e r so fp e n s i o nf u n d s ，a c c o u n t a n t so f t h ec o r p o r a t ea n ds oo n ) ， f o r e c a s t i n gt h ef u t u r er e t u r no fs t o c k ss e e nf r o m t h el o n gt e r m t h i st h e s i sw i l lu s e s o m ea v a i l a b l et h e o r i e sl i k ec a p m t h e o r y r i s ka v e r s et h e o r ya n du t i l i t yf u n c t i o n t h e o r yt oe n g a g e i nt h ef o l l o w i n gw o r k ， 1 ) h i s t o r i c a la n a l y s i so f e r p 2 ) r e a s o n a b l ee s t i m a t i o no f t h ef u t u r ee r p 3 ) r e l a t i o n s h i pb e t w e e n e r pa n dt h ep r i c el e v e lo fs t o c k s f i n a l l yi tw i l le n h a n c e t h ea b o v er e s u r sw i t hs o m ep r a c t i c a la n a l y s i s k e yw o r d s ：e q u i t yr i s kp r e m i u m ( e r p ) ，r e t u r nr a t e ，r i s k ，c a p m ，r i s ka v e r s e u t i l i t y 第0 章引言 m a r k o w i t z 在1 9 5 2 年发表投资组合选择理沦，把数理工具引入金 融学。随后，有关股票市场的学术性文章纷纷出台。他们运用，很多 的强有力的分析工具，发现股市上绝大多数的变化，尤其是短期变化， 是很难预测的【“。所以我们应该把投资的着眼点放在长期市场上，只 有对市场整体做出预测才是在市场中获胜的条件。 股权风险溢价是估计长期股票收益的关键因素。它在制定资产分 配决策、养老基金和普通股的价格水平上都起着决定性的作用。 殷权风险溢价( t h ee q u i t yr i s kp r e m i u m ) 被定义为普通股的收 z & 率与政府债券的收益率之差。即： e r p ：r k 其中e r p 代表股权风险溢价，t 表示普通殷的收益率，吆表示政府债 券的收益率。 所以要想对长期市场的预期收益有一个较好的把握，就必须先对 股权风险溢价进行估计并找到相应的理论支持。下面章节将逐一介 绍。， 第一章股权风险溢价的多种估计方法 对股权风险溢价进行估计的方法有很多，在这里介绍两种简单而又实用的方 法。第一种是使用历史数据进行估计；第二稀是使用公式法进行估计。 1 1 使用历史数据对股权风险溢价进行估计 为了能够充分反映整个市场的发展状况，理论上所有上市股票的价值才能代 表整个市场的价值，所以我们在实证操作中采用上证指数中的综合股价指数，它 是以所有a 、b 股为计算对象的上证综合股价指数，它也就是每同公布的即时和 收盘时的上征指数。如果选用的是美国数据，则选用的是标准普尔5 0 0 即可。 1 1 1 政府债券的选择 在计算股权风险溢价时，我们要使用国家债券。经常使用的是短期债券和长 期图债。短期债券通常期限为3 个月、6 个月和9 个月，最常用的是3 个月期的 短期债券。我国将期限在5 年以上的国债称为长期国债，而美国则把1 0 年以上 的国债称为长期国债，所以主要是看你选择的数据，我们如果选用上证指数，则 选择长期国债为1 0 年期。如果选择的是美国市场数据，最常用的是2 0 年期国债。 1 1 2 收益率 资产收益率就是一项投资在前后使其资产发生变化的变化比率。如果用p ， 表示t 时间的金融资产的价格，p 。表示第t - l 期的资产价格，卸表示在时间t 的价格改变量，将下式 r ：星! 二旦! = ! ：里：旦l ( 1 1 ) p f 一1p p lp t 一1 中的r t 为金融资产在t 时间的收益率。这里的时间期限可以为一天、一周、。个 月或其他一个特定的期限。 如果考虑利息或者红利支出，则收益率可定义为如下形式： 翌! 二旦! = ! 垒：垒业 p f 一1p f 一1 ( 1 2 ) 其中p 表示t 时刻支付的利息或红利。 将( 1 2 ) 变形可得： p ，= p 。( 1 + 1 ) 一d f ( 1 3 ) r 表示t 时的收益率。该式给出了价格和收益率、红利问的关系。上面定义的是 睢期收益率。 那么怎样刻划多期或是一段时间的总收益率呢。依据上面定义，设有一项 t ( i ，2 ，t ) 期的投资，记一为第t 期的投资收益率，这里t 2 1 ，2 ，t 。用p o 表示 初始资产价格，p 。表示第1 期结束时的资产价格，p 表示第k 期结束时的资产 价格，假设红利或利息为零，由( 1 3 ) 有： p 。= p o ( 14 - 一) p 2 = p 1 ( 1 + ) p r = p 7 f ( 1 4 - r r ) 通过递推代换可得到： p r = p o ( 1 + ) ( 1 + r 2 ) ( 14 - 耳) 上式的等价形式是： l + 旦：f i ( 1 + )( 1 ，4 ) p o 7 。+ 则总回报率t r ( t o t a lr e t u r n ) 为： ，1 ， t r = 垃= 丌( 1 + 1 ) 一1 ( 1 5 ) p o 。2 i 有了总的收益率，我们就可以计算出单位时间里一项投资的收益水平。即所谓的 算术平均收益率( a r i t h m e t i ca v e r a g er e t u r n ) ，记为a a r a a r = ( 1 6 ) 还有种度量平均收益率的方法为几何平均收益率( g e o m e t r i c a v e r a g e r e t u r n ) ， 用g a r 表示即： g a r ：兀t ( 1 + 1 ) i 一1 ：e x p ( t ：l n ( 1 + ) ) 一l ( 1 7 ) 在实证操作中，几何平均数和代数平均数都要用到。但使用的比较多的还是 代数平均数，主要为了数学上和讨论上的方便。 上面介绍的时普通股收益率，下面还要简单介绍一下政府债券的收益率。 ( 一) 短期国库券 以p 为发行价格，d 为年贴现率，d a 为国库券期限，d 。为真实收益率，则 ( 以面额为1 0 0 元计算) ： d ：1 0 0 - p 3 6 0 1 0 0d a d ，：1 0 0 - p 3 6 5 p d a 以3 个月短期国库券1 0 0 元的发行价格为9 7 2 5 元为例，则年贴现率和真实收益 率为： d ：1 0 0 - 9 7 2 5 型。o 1 0 8 8 2 而r 以百删 d 1 0 0 - 9 7 2 5 丝o 11 3 4d 4 3 面可训 4 从上面计算中可以发现，真实收益率比年贴现率要高。 到期收益率： y ：! 塑二丝堑塑堑 p d 其中1 0 0 为面额，p 。为投资者每百元国库券卖出价，d 为清算日与到期f 1 2 _ 叫的天数，y 为到期收益率。 例：1 9 8 3 年8 月1 5f 1 进行清算，买卖1 9 8 3 年9 月8 同到期的幽库券，d = 2 4 灭，卖出贴现率为d = 8 8 7 ，则每1 0 0 元国库券有： p 。= l o 。( 1 一警) = 9 9 。4 8 7 y ：1 0 0 - 9 9 0 4 8 7 3 6 6 ：0 0 9 0 7 1 9 9 0 4 8 72 4 想购买9 月8 闩到期的短期国库券的投资者可以每百元9 9 4 0 8 7 元的价格从交易 商那罩买进，按此价格买进著持有至9 月8 日到期，投资者可获得9 0 7 l 的收 益率。 ( ：) 长期国债 国债的收益率有三种，直接收益率、单利到期收益率和复利到期收益率。在 实际操作中用的最多的是单利到期收益率。单利到期收益率是债券利息收入加上 本会损益与理论平均价格的比率。其计算公式是： 单利到期收益率= ( 每年利息收入+ 堕塑：皇望竺鳖) + ( 堕她塑笪堑) 。1 0 0 距到期年数 2 例如：张面额1 0 0 0 元的债券，票面年利率为8 ，发行价格9 5 0 元，期限 1 0 年。其到期收益率为： 至。期收益率= ( 8 0 + 学) ( 半) l o o = 8 7 2 知道了相应资产的收益率的计算方法，我们就可以使用历史数据计算相应的 腑权川冷溢价。 1 1 3 两步程序法 投资者关心的不是名义收益率，而是实际购买力的增加。普通股的收益率应 s 该和通货膨胀的变化方向是相同的。例如在没有考虑通货膨胀时，债券的预期收 益为5 ，如果通货膨胀为8 ，那么投资者要求债券的收益率必须至少为1 3 ， 这样他才会投资。所以说资产的价格反映了预期的通货膨胀率。 我们在使用历史数据来估计股权风险溢价时，可以先算出真实收益率，即净 通货膨胀下的持有期收益率，然后再加上预期通货膨胀率，便可得到普通股的预 期收益率。这样处理，我们忽略一点：预期收益率不仅仅受通货膨胀的影响，而 且它也随着真实利率的变化而变化。如果固定收入债券的预期真实收益上升，那 么普通胶的预期真实收益必须和它持平，投资者才愿意承担其中的风险。 所以将上述两种思想结合起来，我们用政府债券的收益率来代替通货膨胀 率。这样既考虑了通货膨胀又考虑了真实利率对普通股的收益率的影响。 两步程序法： 首先，计算历史风险溢价，即用普通股的历史性收益率减去相应政府债券的 历史性收益率。 其次，将现行的政府债券的收益率j j n 上历史性风险溢价。 通过上述两步便可得到预期的长期股票市场的收益率。 面出普通股对短期国库券和普通股对长期国库券溢价的柱形图，可作相应的 历史评价。使用我国股市的历史数据可以做出普通股( 上证指数) 与长期国库券 ( 5 年或1 0 年期) 的溢价。 1 2 股权风险溢价的公式法估计 使用历史数据本身的波动性很大，所以计算出的相应的股权风险溢价就是相 对不准确的，那么为了得到更好的结果，我们就要占有其他方面的信息。下面我 们介绍股权风险溢价的几种公式法估计和相应的实际操作步骤。 公式法分为：固定增长率模型、两阶段模型和三阶段模型。实际上这三种模 型是由现实世界中公司的不同性质和相应的发展特点所决定的。下面我们逐一介 绍。 建立三种模型的基础是贴现现金流模型，下面我们简单回顾一下基本理论。 单期的投资者在其持有的股票时期内，股票的回报率公式为： k ：d + e , - e ( 18 1 尸 6 简甲的晚，回报率k 等于支付的红利d 加上这一时期的价格变化p tp 再除以初 始的股票价格p 。若采用熟悉的现值公式再描述( 4 1 ) 式，可得： p ：旦+ 土 1 + k1 + k 、7 这晓明，股票的当前价格等于年术红利加年末股票价格以折现率k 折现到现 存的值。对丁多期的投资来说，可以以更一般的形式描述如下： 肚主h _ a 志+ 高1 ，：1 ( 1 + 七) ( + 后) 7 、 随着投资期限越来越长t 趋近于无穷公式中第二部分变得微不足道，趋 近于零。即： l i m 二一= 0 r _ 。r 1 + 足1 。 所以预期收益全部由红利流构成，则贴现现金流模型为： 尸= 善志 n m 其中的k 称为贴现率，即为普通股的预期收益率。通过贴现现金流模型，把 普通股的预期收益率和相应的股票价格联系起来。我们的关键是估计相应的红剩 流。如果有了相应的红利，股票现价可以从相应的报道中得到。这样我们就可以 得到k 值，再从k 中减去政府债券的现行价格，便得到股权风险溢价的估计值。 可是在( 1 1 1 ) 式中，需要对红利进行无限期的估计，这在实际操作中是不可能 的。所以我们要对上述模型进行修改，使它与现实情况更加的接近。 1 2 1 固定增长率模型 些公司如公用事业公司，支付固定增长型红利。每年公司支付的红利按一 定的数额或百分比增加。如果一个公司在新的股本投资上获得稳定的盈利，并且 每年以相同的百分比从盈利中支付红利，则贴现现金流模型可以简化为固定增长 率形式。 红利以固定的比率g 增加，且折现率k 大于红利增长率g ，因此贴现现金流 模型变为： p ：d 0 0 + g ) + 1 + k警等+ t - + 等等= 圭t = l t = l 警等“ ( 1 + 庀) 2( 1 + 后) 。一( 1 + 忌) 现在我们对 = 式进行简化：两边乘以( 1 + k ) ( 1 + g ) 我们得到 ! ! ! 生! ：d o 牟 1 + g d o ( 1 + g ) 1 + k警等+ + 警筹一( 1 + 后) 2( 1 + 七1 7 叫 、 等叩= d o 一警等 化糯( 扯萨d o 1 - 耕】 义因单个股票的期望回报率大于期望增长率，即k g 当t - - - o o 时。l i r a 。( 1 l + g ) - i - k 7 = 0 卜l 所以：p ：旦 庀一g 反解出k 得 意= 鱼p + g ( 1 ，1 4 ) 其中2 是红利固定的增长率，上) n 为现在的红利，p 表示股票现值。 1 。2 2 固定增长率模型在实际中的操作 如果g 己知，股票的现价可从相关报道中找到，则相应的k 值就可计算出来。 如何计算出g 的值日尼? 我们可以采用下面三种方法： ( 1 ) 拟和一个红利对时间的多项式回归模型。最简单的多项式模型是线性模 型，其中估计得出的斜率参数值就是g 。对于高阶多项式模型，红利对时 问的导数就是g 。该方法适用当研究表明红利随时间按一定数额的资金或 按时间的某个函数的数额增长。 ( 2 ) 拟合一个半对数回归模型。模型反应了红利的自然对数值随时间的变化。 估计得出的斜率就是g 。该方法适用于当研究表明红利按一定的百分比增 长。 ( 3 ) 计算红利的复合增长率。该方法适用于当研究表明红利按复利增长。 拟合相应的回归模型 我们可以使用s a s 软件比较容易的万陈上面的任务。这早只介绍二阶多项式 合半对数模型的拟和办法。 先画出红利对时间的散点图，可以观察到红利的增长方式，以确定我们的投 资决策，选择适台自己投资的股票。下面来看拟合办法。 1 二次多项式模型 二次多项式模型的回归模型如下形式： d i v i = o + f t + h f 2 + 占 其中f 表示时间趋势，f 2 表示二次时间趋势，占表示随机误差项。红利 对时间的导数刻看作增长率的估计： d i v i 0 ) = f + 2 h t + 使用s a s 软件中的r e g 过程对相应数据集拟合多项式回归模型。根据估计 得到的参数值，带入式便可得到相应的红利增长率。 2 拟合半对数模型 如果红利对时间的散点图是指数形式增长，我们对红利去自然对数，便和 得到一个线性增长模型： d i v i = a e g t 其中a 和g 是参数，t 是时间。对上式取自然对数便可得到： 1 n d i v i = 1 1 1 a + g f $ + 如果在对上式取t 的导数，便可得到红利的增长率。所以+ 。是的斜率便是红 利增长率。 大家可以看到，半对数模型比二次多项式模型好用，因为它比多项式模型少 了一个需要估计的参数。 虽然固定增长模型很好用，但是它的适用范围很小。对于多数公司来说， 固定增长率的假使，是不合理的。下面介绍两阶段模型。 1 2 3 两阶段模型 对于一个快速增长的公司而言，大多数。隋况下，固定增长模型是不适用的。 这些公司将不符合简化的红利资本化模型的主要假设。我们在推导简化模型时， 主要做了两个假设：在无限长的时间内增长率是常数；折现率k 大于增长率g 。 常数的增长是长时间红利增长简化所需，第二个假设是为了避免无穷大或负的股 票价格的出现。高增长公司多数不满足这些假设。特别是，这些公司是按照远高 r 一般经济增长率的特征而划分的。同时，我们不能假定高速的增长将永远保持 常数，而应期望在某个阶段过渡到一般的速度( 与一般的经济增长一致) 。否则 该公司将在某个阶段成为整个经济的一个大部分或是全部。 一个表示初期高速发展而后逐渐回落到一般公司水平的增长方式的方法就 是两阶段增长模型。这是对贴现现金流模型的简化形式最直接的精细化。 浚模型假定红利以g 速率增长，g 代表n 时期内的超速增长，然后模型假定 公司以g 。水平增长，直到无穷。股票价格是两个红利流的函数； ( 1 ) 从1 n 期为v l ( 2 ) 从n + i 期至无穷称为v 2 则股票价格p 为：p = v l + v 2 用d 来表示初始红利，g 是非正常期间的增长速 率，n 是非f 常时期，k 是折现率，k 在各期保持不变，则 k = 掣1 + 等搿= 薹筹 1 十尼( 1 + 尼) 2( 1 + 后) “百( 1 + 七) 旷：望( ! 丛坠型( 1 1 6 ) 2 ( 1 + 尼) “( 七一g 。) 所以：p = i = l d ( 1 + g ) ( 1 + 后) 。 + 掣( 粤) ( 1 1 7 ) ( 1 + 后) “、七一g 。7 这公式说明股票的未来价格是未来预期的红利流的函数，而v 2 部分可看作是 n 期末折现率为k 的每股折现价格，它是那个时期末价值股票p n 共同折现的和， 即： p ：堂必+ _ 乓 t 、 1 一白( 1 + j ) 7 。( 1 + 尼) ka i v 增 长 蛊 1 0 1 0 时间 举个简单的例子。我们假设一个公司在超常增长时期增长率为2 0 ，设这 个增长率持续了5 年。5 年以后，我们假定增长率立即回落到1 0 ，所以第6 年 后公司按该增长率发展。1 0 的增长率符合股票的标准或者平均的增长率。 = 5 7 0 ( 17 3 )+ 2 7 3 0 ( 8 2 7 ) 2 7 4 0 1 2 4 三阶段增长模型： 三阶段增长模型是多阶段增长模型中的一种，而且应用非常广泛。它提供了 一种在股票价值估算中应用的实际方法。这个模型的第一阶段要求每年预测盈 利，这一阶段通常有5 年的预测值，反映了这期间由于经济周期波动对公司收益 造成的影响，经济萧条和通货膨胀都影响着这些预测。第二阶段是过渡阶段。它 反映了个快速增长的公司发展的自然过程。这一阶段将要持续大约5 2 0 年， 其时问的长短依赖于公司的特点。第三阶段是公司的成熟阶段，在这个阶段所有 的公司假定都将与整个经济或市场的平均水平相一致，达到稳定的发展阶段。 具体公式为：p = k + k + 坎= 赳篱 ( 1 + 七) s + d ( n g + n d ) ( 1 + g s ) ( 尼一g ，) 1 l ( 1 + 七) g + d ( 4 1 8 ) 揣器竺叭塑! 兰乃一铉坐0 5 2 一，11 = 033 1 | p 卜 卫卷 生州 卫巧 舢 强 + 丝啪坐丝箸!丝嘲 等淄 | | = 矾 一oo jl 一00 一一 十一60妒而2 一o 卫昭 0 扒 卜 斗 9 64 02 2 + 7 1o 一82 一l乃一跖 + 4 54 3 + 加一怕邡l 一卜5 = l | + 1，j g 一七十一+l 一1 。l d 虬_ 亘 增长率 1 3 多阶段模型实证操作 时间 关于这些模型，在实际中用的比较多的是三阶段标准模型。那么在实证研究 中如何操作呢? 最普通的解决方法是假设红利的支付率仍旧不变，并使用分析家 们对收入增长的预测作为红利增长率的代表。 下面介绍b r a d f o r d c o m e l l 的三阶段模型在实际中的具体操作。 在模型中，头5 年的红利的增长取的是机构经纪商估测系统( i b e s ) 所报 告的5 年收入增长率的中值。 假设2 0 年以后红利与国民经济按同样的比率增长。提供了2 5 年期公民经济 增长率预测的两个著名公司是w e f a 集团和d r i 数据资源公司。估计2 0 年以上 增长率时使用两公司数据的平均值。 最后在1 5 年期间，假设增长率为i b e s 长期预测中拟合出的线性函数。根 据公司的具体情况来确定最后的年限。中期公司发展的较好，那么在成熟阶段增 长率落下来所需时间就相对要长些。这是对个股的处理方法。 在把上述方法应用到股票指数上时，可以采用两种方法。第一，可以对指数 中所包含公司，做出整体上的红利流估计。然后把指数作为个别公司的数据应用 到多阶段的增长模型之中。第二，可以对指数中包含的每个公司逐一预测，然后 再加总取平均，注意在取平均时要使用价值权重。 第二章股权风险溢价的理论支持 通过上面介绍我们对股权风险溢价的估计方法有了个简单的了解，那么我 们所使用的方法是否正确? 为什么股权相对于政府债券会有一个溢价呢? 2 1 溢价产生的原因 我们可以把所有的投资者分为三类：风险爱好者、风险中性和风险厌恶者。 我们建立这样一个数学模型，在此基础上大家可以看到相应的定义。 我们假定只有当前和未来两个时刻，当前是确定的，但未来则有s 种可能； 司时，假定市场中有k + 1 种基本证券，其未来价格为s 维行向量，其中第0 种 证券是无风险证券，其未来价格x 。= ( 1 ，1 ，1 ) 匙“ 我们在这一模型下，投资者的投资效益用他的效用函数来决策，他的效用函 数是当前价值和未来s 种不同状态下的价值函数u ：尺：“争尺 我们假设u 满足强单调假设即： 1 ) “：尺：“jr 是尺上的连续函数； u x , 7 于每一个变量都是严格递增的，即对于任何x ，x “， 。 女u 果x x ，x x ，另b 么u ( x ) “( x 7 ) 这一假设意味着，不管处于什么状态，钱总是越多越好。 我们考虑一个投资者在一定的价格体系下，使他在当前和未来的消费效用最 大。在用l a g r a n g e 乘子法求条件极值时 1 6 】还要加上u 是投资组合价值的凹函数 ( 即边际效用递减) 。 上面两个假设可以插还为：投资者期望获得更多的财富；这种财富每增加l 美元的效用是随着财富的增长而下降的。 如果一般经济均衡在确定性的情况下，经济活动者追求效用的最大化，然后 去决定他的投资决策，消费者所使用的效用函数是他所消费的商品量的函数，而 对于生产者的效用函数是它的生产计划( 同样用商品来表式) 的函数，相应的效 用值是u j 。以计算出来的。如果一般经济均衡处于不确定环境中，他所消费的商品 量是随机变量，所使用的效用函数就不会对应确定的值，我们就无法依靠它来确 定相应的投资决策。在这种情况下，我们使用所涉及的随机商品量x 直接定义效 用函数u ，它应该满足下列等式： e l u l ( x ) j = “( x ) ， ( 2 1 ) 其中t 2 1 是把“局限到非随机量上的函数，这时，u l 御将是随机变量。具体到一 个以概率p 取口，以概率( 1 - p ) 取b 随机变量x ，这种效用函数应该满足 p u ( a ) + ( 1 一p ) “( 6 ) = u ( x )( 2 2 ) 其含义是一种“未定商品”的效用就等于该“未定商品”所涉及的“确定商品” 的效用的均值。满足这样条件的效用函数称为期望效用函数或y o n n e u m a n n m o r g e n s t e i n 效用函数。假设我们所考虑的经济活动者是消费者，他的 消费活动可以用他消费的商品量来刻划。 有了v o n n e u m a n n m o r g e n s t e i n 效用函数，我们就可以定义风险爱好者、风 险中性和风险厌恶者了。在排队理论基础之上，设某经济活动者的期望效用函数 为单变量函数u ( x ) 。假设自变量的含义为收入。设x ，y 0 ，为两种可能的收入； 得到x 的概率为p ，而得到y 的概率为( 1 - p ) 。那么由期望效用函数的定义，可 得到这。事件的效用为： “( ( x ，y ，p ) ) = p u ( x ) + ( 1 一p ) “( y ) 此人对( x ，y ，p ) 这一事件中所包含的风险的态度可由这个值与 u ( p x + ( 1 一p ) y ) 的比较来刻划。如果 u ( p x + ( 1 一p ) y ) = “( ( 五y ，p ) ) ， ( 2 3 ) 那么称该经济活动者为风险中性者。如果 u ( p x + ( 1 一p ) y ) “( ( x ，y ，p ) ) ， ( 2 4 ) 那么称该经济活动者为风险厌恶者。如果 u ( p x + ( 1 一p ) y ) y 时，应该比p x + ( 1 一p ) y 小，而当x y 时，应该比p x + ( 1 一p ) y 大。对于风险爱好者来说，情况正好相 反；而对于风险中性者来说，两者则总相等。 在我们设计效用函数模型时，曾有一个假设：u ( x ) 是一个凹函数，即所谓边际 效用递减。即“( x ) 是一个减函数，也就是切线的斜率在不断的减小。随着收入 的增加，所获得的效用在不断的较少。 l f ；：一 彳 图2 - 1效用函数( 风险厌恶)消费 那么怎样来刻划厌恶风险的程度呢? 如果从函数的图像来看，自然是曲线向 上弯的越厉害，对风险就越厌恶。曲线的弯曲程度可以用函数的二阶导数来刻划， 但光是二：阶导数还不行，因为它不是对仿射变化的不变量。虽然二阶导数不受效 用函数换零点的影响，但要受效用函数换单位的影响。从而不同的人之间的风险 厌恶程度就无法比较。为了使这个量不受换单位的影响，a r r o w 和p r a t t 建泌风 险厌恶程度用： a ( x ) = 掣 ( 2 q 甜l x j 来衡量。这就是所谓的a r r o w p r a t t 风险厌恶度量，或者a r r o w p r a t t 绝对风险厌 恶函数。 如果消费者效用函数的图像是如图2 1 所示，并且他追求消费效用的最大化， 那么他就是一个风险厌恶者。要想诱使他投资，他损失的效用要和获得的效用至 少相等，这样他的期望报酬就会有一个溢价，这个溢价就是对所冒风险的一种补 偿。 是否所有的投资风险都有相应的补偿呢? 或者说都有这种溢价昵? 2 2 产生溢价的风险 在经济学上，风险一般被定义为资产未来收益的不确定性，即未来收益偏离 期望收益的波动程度。一般用收益的方差、标准差来测量。 设资产的收益率为r ，有分布函数f p ) ，q ，且kr 2 d f ( r ) 。则称 盯2 = e ( r - e ( r ) ) 2 = k p e ( ，) ) 2 d f ( r ) ( 2 7 ) 为收益r 的方差( v a r i a n c e ) ，同时称仃为标准差，即收益波动的风险e 而对于一个投资组合来说协方差( c o v a r i a n c e ) 是一个测量证券投资组合中 一种证券相对于其他证券的风险的统计量。 i c o y ( 1 ，o ) 2 亩舌( 吃一) ( 一弓) 眨8 其中r i j ：i 为投资组台中的任两个证券，如果我们把协方差标准化，称作两只证券 的相关系数，即： d ：c o y ( r , , 5 )r 2 9 ) 岛2 可 吃9 其中s ，s 。为证券i 和证券j 的标准差。 呵以把上式改写为c o v ( r , ，) = p v s , s j 这表明若假定标准差保持不变，两 证券的相关系数越大，则这两证券的协方差和投资组合的风险也就越大。相反， 若相关系数越小，则两者间的协方差就越小，因而投资组合的总体风险也就越小。 相关系数是介于一1 与1 之间。 一个投资组合的风险的一般公式为： 肠，( o ) 2 荟w f 2 肠r ( ) + 吾荟w r _ c o y ( r , ，o ) 2 1 0 它说明投资组合的方差是其成份证券方差的加权平均和每两种不同的证券之间 协方差的加权平均值之和。 在m a r k o w i z e 投资组合理论基础之上，s h a r p e l l 9 】和l i n t n e r 2 0 1 给出了资本资 产定价模型( c a p m ) ，可以用下式表示为： e ( r ) 一0 = 凡( e ( ) 一，) ， ( 2 1 1 ) 其中屈。= c o v ( r ，) v a r ( r m ) ( 2 1 2 ) 资本资产定价模型说明的是市场风险溢价和证券风险溢价之间的关系，其中 。被称为风险测量因子，或称市场敏感因子。 通过资本资产定价模型可得： 一0 = 屈。( 一0 ) + 其中气是随机“干扰”，满足e ( 瓦) = 0 ，还可以出 屈。= c o v ( r ，k ) 肠r ( 0 ) 导得c _ d v ( ，s 。) = 0 ，因此， v a r ( r ，) = 2 v a r ( r , ) + v a r ( s ) 1 6 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 s ) 这个等式经常被解释为：证券收益的风险可分为两部分，一部分是市场带来的系 统风险，另一部分是与市场无关的非系统风险。 市场带来的风险称为称为系统风险，它不能通过多样化而消除；与市场无关 的非系统风险是可分散化的风险，通过多样化是可以把它消除的。所以市场给以 补偿的应该是系统风险。这种补偿便产生了一种溢价，这种溢价是如何测量的 呢? 由于市场风险溢价相对于单一资产风险溢价来说，它的收益波动性和非稳定 性要小的多，所以我们可以通过估计市场股权风险溢价，及相应的，就可以 估计出相应资产的股权风险溢价。 口是市场资本线的斜率，我们可以通过画出资产收益率对市场收益率散点 图来近似的估计出值。关键是如何来估计市场风险溢价? 我们不能由市场风 险溢价来估计它本身。所以我们必须得建立一个更基本的模型。 2 3 消费基础上的资本资产定价模型 投资者投资的目的是为了明天能够更好的消费。从这一观点出发，如果投资 者所投资的项目与消费高度相关的话，他所面临的风险就会大，那么相应的风险 溢价就会高。相反则会低。我们怎么样把这种风险与消费定量化呢? 下面我们建 立消费基础上的资本资产定价模型。 我们从下面两个方程来推导以消费为基础的资本资产定价方程， p f = e ( m f + l x f + 1 ) m f + l = f ( d a t a ，p a r a m e t e r s ) 其中p ，：资产价格( p r i c e ) ，x t + 1 ：资产损益( p a y o f f ) ，m t + l ：随机贴现因子 ( s t o c h a s t i cd i s c o u n tf a c t o r ) 2 3 1 基本定价方程 出现在和未来消费值来定义的效用函数为： u ( c f ，c i + i ) = u ( c f ) + 隅( ( c 川) ) 其中，cc 是时刻t 的消费，表示主观贴现因子( s u b j e c t i v ed i s c o u n t f a c t o r ) ，u ( c f ) 为幂函数形式： 心f ) _ 击c f i 吖 当7 _ 1 时， u ( c ) = 1 n ( c ) 我们假设投资者可以自由的买卖价格为p t , 损益为x 。+ i 的资产。那么买：耍资产的 数量是多少呢? 问题归结为： m # a ) x “( c r ) + 与( 肋( c 删s c i 2 e | 一p t 专 c h l = e f + l + x t + l 孝 其中：e 。为原来的消费水平，f 为他选择去买卖资产的数量。 解上述条件极值得： p f u ( q ) = 五【肛7 ( c f + 1 ) + 1 ， ( 2 1 6 ) 或者是： 旷础粼t ( 2 称f 2 1 7 ) 式为最优消费和资产组合选择的f i r s t - o r d e rc o n d i t i o n 。方程( 21 6 ) 表示 了最有标准边际条件( t h es t a n d a r dm a r g i n a lc o n d i t i o nf o r a n o p t i m u m ) ：其中 p ，扰( q ) 是投资者买另外一单位资产在效用上的损失；易 肛( q + 1 ) + l 】表示 在t + 1 时刻从额外损益上获得的效用的增加。投资者不断的买卖资产直到损失和 获得的效用相等。 2 3 2 随机贴现因子( s t o c h a s t i cd i s c o u n tf a c t o r ) 我们把基本定价方程( 2 1 7 ) 写成一种更简单的形式。 令随机贴现因子砚+ 1 为： 等 然后基本的定价公式( 2 1 7 ) 能够被简单的表示为 p t = e t ( m f + l x t + 1 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 当没必要明确时涮下标或者没有必要区分条件和非条件期望时，我们记为 p = e ( m x l 如果不存在不确定性，我们可以( 2 1 9 ) 式表示成标准现值形式： 1 n 2 万t + l 2 2 0 ) 其中r ，表示总的无风险资产收益( t h eg r o s sr i s k f r e er a t e ) ，1 r t 是贴现因子。风 险较高的资产比同等的无风险资产价格要低，所以他们经常使用风险调试贴现因 子来定价： p - 去e ( 枷 用上标i 来强调彳i 同的风险资产应该有不同的风险调整因子1 r ( r i s k - a d j u s t e d d i s c o u n tf a c t o r ) 在方程( 2 1 8 ) 中，m t + 1 也经常被称为替换边际比率( t h em a r g i n a l r a t eo f s u b s t i t u t i o n ) ：因为它表示投资者愿意把t 时刻的消费转移到什1 时刻去消费的比 奎。 2 3 3 无风险收益 飘险资产价格为1 ，此时由1 = 古。，得尺，_ l ，则由 1 = e ( m r f ) = r t e ( m ) 得到： 尺，：1 _ e ( m ) 在一些模型中，志被称为 ( 2 2 2 ) “o 一口”比率( z e r o - b e t a ”r a t e ) 。易知 “( c ) = c 一，贝0 儿冲2 名似秒 令口= e ，其中j 为主观贴现因子( s u b j e c t i v e d i s c o u n tf a c t o r ) 。我们知道如果 z 服从i f 态分布，, i j e ( e 2 、：e e ( ：) + ( 1 2 ) o - 2 ( ：) 所以r = ，= e - a e - 癌( a i nc t + 1 ) + ( y 2 2 ) 口2 ( l n 坼l 1 一i 对上式两边分别取对数则： l n r = d + y e , ( a l n 。+ i ) 一三砰( 1 1 1 c t + 1 ) 令，= i n r 则上式可记为： = 巧+ y e t ( a i n c , + 1 ) 一乏三盯? ( l n c ，+ 1 )( 2 2 3 ) 如果我们令a c = ( c ，+ 1 一q ) c ， 则 r t 7 = 万+ 店( a c )( 2 2 4 ) 从上式中我们可以看出，消费者对未来的消费变化比率的期望值越高， 他就越不愿意放弃现在的消费，为了诱使他掏腰包，必须提高无风险利率。相应 的消费者约厌恶风险，万值越大，无风险利率也越高。 2 3 4 风险校正( r i s kc o r r e c t i o n ) 由c o v ( m ，x ) = e ( ，优) 一e ( m ) e ( x ) ，我们可以把基本定价方程改写为： p = e ( m ) e ( x ) + c o v ( m ，x ) ( 2 2 5 ) p = 等+ c o v ( 州) ( 2 2 6 ) i g e _ 在风险中性世界中的定价公式，所谓风险中性是指消费是常数或者效用 函数是线性的。c o v ( m ，x ) 是风险调整。如果一种资产的损益和贴现因子m 正 相关，它的价格就会升高，反之亦然。为了理解风险调整， 把 一= 卢等带入上式得 旷警+ 型掣旺z ， c 升高时，“7 ( c ) 降低。因此如果收益和消费的协方差为正的资产价格低，反之 资产的价格就要被升高。 为什么会是这样呢? 投资者不喜欢消费的不确定性，如果所投资的资产，它 的损益和消费的仂、方差是正的，那么这种资产的收益好，你就会得到更多的资金； 相反你得到的资金就会少，甚至是负的。这就会使你的消费流波动性较大。这种 资产只有具有较低的价格才会诱使你去投资。相反这种资产的价格就较好。这就 是保险业存在的原因。 2 3 5 期望收益- 表示形式 由 1 = e ( m ) e ( r 。) + c o v ( m ，r ) ( 2 2 8 ) 用上标i 来区分不同资产的回报。把r ，一高带入上式得 e 僻2 ) 一r f r f c o v ( m ，r ) ( 2 2 9 ) 或者是e ( r i ) = r f 一! ! 辫 c z 3 0 ) 从上式可以看出，所有的资产的期望回报都等于无风险资严收益加上一个风 险调整。我们可以把( 2 2 9 ) 变形为： e ：r f + ! ! 亟型( 一v a r ( m ) ) 、7 v a r ( m ) 、e ( m ) 7 ( 2 3 1 ) = r 7 + p i 。九 其中九= 一v 丽a r ( m ) ，此式被称为定价模型( b e t a 脚g m o d e l ) 注意到m 的值和资产种类没有关系，它被解释为风险价值( t h e p r i c eo fr i s k ) ， 由贴现因子m 的波动性所决定，而屈。的值随资产的不同而不同。 如果我们设m = 卢( 兰旦) ，我们可以得到( 2 3 1 ) 的泰勒近似， c t e ) = r 7 + 屈c 以。 ( 2 3 2 ) 以。= y v a r (