（应用数学专业论文）高阶非线性波动方程的整体解与破裂现象.pdf

上海交通大学博士学位论文 高阶非线性波动方程的整体解与破裂现象 摘要 本文致力于研究三类出现在物理和力学中的高阶非线性波动方程的 定解问题的整体适定性与整体解的不存在性。 在论文的第一部分，我们讨论一类描述浅水波传播的奇性扰动b o u s s i n e s q 型方程。首先，我们利甩g a l e r k i n 方法、紧致性原理和先验估计，证 明了在大初值情况下，奇性扰动b o u s s i n e s q 型方程的初边值问题存在唯一 的整体广义解和唯一的整体古典解；利用能量方法、常微分方程的比较 原理和j e n s e n 不等式研究了上述初边值问题的整体广义解的不存在性， 同时给出了奇性扰动b o u s s i n e s q 方程在一定条件下发生b l o w u p 的充分条 件其次，我们利用位势井方法，在小初始能量情况下，证明了一类具弱 阻尼的奇性扰动b o u s s i n e s q 型方程初边值问题存在唯一的整体广义解， 而且广义篇是以指数形式衰减的。最后，我们利用f o u r i e r 变换方法和迭 代序列的绝对值估计，证明了一类具强阻尼的奇性扰动b o u s s i n e s q 型方程 的初值问题存在唯一的整体光滑解 论文的第二部分讨论了描述n e o - h o o k e a n 弹性杆振动的一类具阻尼项 的非线性梁方程首先，利用f o u r i e r 变换方法和绝对值估计，在相当宽松 的条件下证明了具强阻尼的非线性梁方程的初值问题在空间e 。( ( o ，t 1 ；h o * f i t ) ) n g ( 【o ，巩日3 f i t ) ) n c l ( 【o ，卅；h - 1 f i t ) ) 中存在唯一的整体光滑解；同时， 利用凸性方法证明了上述问题在空间g 。( ( o ，卅；日o 。( r ) ) n c 列；日3 ( r ) ) n c 1 ( 【o ，卅；l 2 ( r ) ) 中不存在整体广义解，并给出了具体例子。其次，我们分 别利用能量方法，j e n s e n 不等式和凸性引理，证明了多维具强阻尼的非线 性梁方程的初边值问题整体广义解的不存在性，得到了整体解的存在与 不存在之间类似于门槛的结果，并分别给出了具体的例子最后，讨论一 类具阻尼项的非线性梁方程的小初值问题，获得了整体广义解的存在性 和不存在性的充分条件。 在论文的第三部分，我们讨论了模拟弹性杆径向运动以及描述由不 可压缩的相变材料构成的细长圆柱体中的相变的一类具双弥散的非线性 波方程的初值问题，借助于一个常微分方程的基本解将上述初值问题转 中文摘要 化为一个等价的微分积分方程的初值问题，利用压缩映像原理证明了等 价的微分积分方程的初值问题局部广义解的存在唯一性，再利用一致先 验估计的方法，我们得到了该初值问题具有唯一的整体古典解。同时， 我们利用凸性方法，分别在正初始能量和负初始能量的条件下研究了上 述初值问题整体广义解的b l o w u p 问题 关键词：奇性扰动b o u s s i n e s q 型方程、梁方程、双弥散波方程、初边 值问题、初值问题、整体广义解、整体经典解、g a l e r k i n 方法、位势井方 法、能量方法、凸性方法、先验估计、b l o w u p i i 上海交通大学博士学位论文 g l o b a ls o l u t i o n sa n db l o w u pp h e n o m e n af o rs o m en o n l i n e a rw a v e e q u a t i o n so fh i g ho r d e r a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n c e r n sw i t ht h eg l o b a lw e l l - p o s e d n e s sa n dn o n e x i s t e n c eo ft h e d e f i n e dp r o b l e mf o rt h r e ec l a s s e so fn o n l i n e a rh i g h r o r d e rw a v ee q u a t i o n sa r i s i n gi n p h ) r s i c sa n dm e c h a n i c s t h i st h e s i sc o n s i s t so ft h r e ep a r t s t h ef i r s tp a r td i s c u s s e sac l a s so fs i n g u l a r l y p e r t u r b e db o u s s i n e s q - t y p ee q u a t i o n sw h i c hd e s c r i b e st h eb i d i r e c t i o n a lp r o p a g a - t i o no fs m a l la m p l i t u d ea n dl o n gc a p i l l a r y g r a v i t yw a v e so nt h es u r f a c eo fs h a l - l o ww a t e r f i r s t ，m a k i n gu s eo ft h eg a l e r k i nm e t h o da sw e l la sc o m p a c t n e s s p r i n c i p l ea n dp r i o r ie s t i m a t e s ，w eo b t a i nt h eg l o b a le x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f g e n e r a l i z e ds o l u t i o na n dc l a s s i c a ls o l u t i o nt ot h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m f o rt h es i n g u l a r l yp e r t u r b e db o u s s i n e s q - t y p ee q u a t i o nu n d e rt h ec i r c u m s t a n c e so f l a r g ei n i t i a ld a t a b yu s i n gt h ee n e r g ym e t h o d 、c o m p a r i s o np r i n c i p l eo fo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa a dj e n s e ni n e q u a l i t y ，w ep r o v et h en o n e x i s t e n c eo fg l o b a l g e n e r a l i z e ds o l u t i o n sf o rt h ea b o v e m e n t i o n e dp r o b l e m ，a n dg i v es o i n cs u f f i c i e n t c o n d i t i o n so nb l o w u po ft h es o l u t i o nt oi n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h es i n g u l a r l yp e r t u r b e db o u s s i n e s qe q u a t i o n s e c o n d ，t a k i n ga d v a n t a g eo ft h ep o t e n t i a l w e l lm e t h o d ，w es h o wt h a tt h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h es i n g u l a r l y p e r t u r b e db o u s s i n e s q - t y p ee q u a t i o nw i t hw e a kd a m p i n gt e r ma d m i t sau n i q u e g e n e r a l i z e ds o l u t i o nu n d e ra s s u m p t i o n st h a tt h ei n i t i a le n e r g yi sp r o p e r l ys m a l l ， m o r e o v e r ，t h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o nd e c a ye x p o n e n t i a l l yt oz e r oa st _ o o f i n a l l y ， b ye x p l o i t i n gt h ef o u r i e rt r a n s f o r m a t i o nm e t h o da n dt h ea b s o l u t ev a l u ee s t i m a t e s o fi t e r a t i v es e q u e n c e ，w ep r o v et h a tt h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mf o rt h es i n g u l a r l y p e r t u r b e db o u s s i n e s q - t y p ee q u a t i o nw i t hs t r o n gd a m p i n gt e r ma d m i t sau n i q u e g l o b a ls m o o t hs o l u t i o n t h es e c o n dp a r tc o n c e r n sw i t hac l a s so fn o n l i n e a rb e a me q u a t i o n sd e s c r i b i n g t h em o t i o no ft h en e o - h o o k e a ne l a s t o m e rr o d f i r s t ，b yt h ef o u r i e rt r a n s f o r m a t i o n i i i a b s t r a c t m e t h o da n da b s o l u t ev a l u ee s t i m a t e s ms h o wt h a tt h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mf o rt h e n o n l i n e a rb e a me q u a t i o nw i t hs t r o n gd a m p i n gt e r ma d m i t sau n i q u eg l o b a ls m o o t h s o l u t i o n i n c ( ( o ，丁】；h o 。( r ) ) n g ( o ，t 】；h 3 ( r ) ) n a l ( 【o ，邪；h 一1 ( r ) ) u n d e rr a t h e r m i l dc o n d i t i o n sf o rt h ei n i t i a ld a t a b yu s i n gt h ec o n v e x i t ym e t h o d ，w et h e ns h o w t h a tt h eg l o b a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o n st oa b o v e - m e n t i o n e dp r o b l e mc e a s et oe x i s ti n f i n i t et i m ei nt h es p a c ec ”( ( o ，丁】；h 。( r ) ) nc ( 1 0 ，t 】；h 3 ( r ) ) nc 1 ( 【o ，丁 ；l 2 ( r ) ) u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ，a n da ne x a m p l ei sg i v e n s e c o n d ，b yv i r t u eo ft h ee n e r g y m e t h o d ，j e n s e ni n e q u a l i t ya n dt h ec o n v e x i t ym e t h o d ，r e s p e c t i v e l y , w ep r o v et h e n o n e x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o n st ot h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h em u l t i d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rb e a me q u a t i o nw i t hs t r o n gd a m p i n gt e r ma n do b t a i n sa r e s u l tw h i c hi ss i m i l a rt oat h r e s h o l d sb e t w e e ne x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo fg l o b a l s o l u t i o n s ，m o r e o v e rw eg i v et h r e ee x a m p l e st o i l l u s t r a t et h er e s u l t s f i n a l l y ，w e d i s c u s st h es m a l li n i t i a lv a l u ep r o b l e mf o rac l a s so fn o n l i n e a rb e a m e q u a t i o n sw i t h d a m p i n gt e r ma n do b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so nt h ee x i s t e n c ea n dn o n e x i s f e n c eo fg l o b a ls m o o t hs o l u t i o n s i nt h el a s tp a r t ，w ei n v e s t i g a t et h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mn o n l i n e a rd o u b l ed i s p e r s i v ew a v ee q u a t i o nt om o d e ll o n g i t u d i n a lm o t i o no fa ne l a s t o - p l a s t i cb a ra n d t h e p h a s et r a n s i t i o n si nas l e n d e rc i r c u l a rc y l i n d e rc o m p o s e do fai n c o m p r e s s i b l ep h a s e - t r a n s f o r m i n gm a t e r i a l w i t ht h eh e l po ft h ef u n d a m e n t a ls o l u t i o no fao r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，w er e d u c et h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mt oa j le q u i v a l e n tp r o b l e m o fd i f f e r e n t i a li n t e g r a le q u a t i o n ，a n dt h e np r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h e l o c a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o nt ot h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mo fd i f f e r e n t i a li n t e g r a le q u a - t i o nb yu s i n gt h ec o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l e a n db yt h ep r i o r ie s t i m a t e s ，w e o b t a i nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fg l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o nt ot h ei n i t i a lv a l u e p r o b l e m b yt h ec o n c a v i t ym e t h o d ，w ea l s os t u d yt h eb l o w u po fg l o b a ls o l u t i o n st o t h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mu n d e rp o s i t i v ei n i t i a le n e r g ya n dn e g a t i v ei n i t i a le n e r g y , r e s p e c t i v e l y k e y w o r d s s i n g u l a r l yp e r t u r b e db o u s s i n e s q - t y p ee q u a t i o n ，b e a me q u a t i o n ， d o u b l ed i s p e r s i v ew a v ee q u a t i o n ，i n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，i n i t i a lv a l u e p r o b l e m ，g l o b a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o n ，g l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o n ，g a l e r k i nm e t h o d ， p o t e n t i a lw e l lm e t h o d ，e n e r g ym e t h o d ，c o n v e x i t ym e t h o d ，ap r i o r i e s t i m a t e ， i v 上海交通大学博士学位论文 b l o w u p v 上海交通大学学位论文答辩决议书 中1 矗卉 涂文题口 束k 叫新茬摹科( 夸业)| j 主甬瓣 高阶m 线挂被动方程的整体解2 ，破裂现象 2 0 0 5 0 6 17 ；担任职务。姓名 职称 ! _ ：七席誊铁虎教授 委员 维兜 教授 委砒办爱农张授 委员f 亚光教授 委受盛万成教授 委见郯字教授 爸辩地点 ： 一 上海交通大学数学系 答辩委员会成员 所在工作单位 复日大学数学科学院 上鸯交通人。 上海交通人 上海交通人 上海大学数 华东师范太 学系 学数。 广i ；三一r 签毫一 l 甲l ：j i 儿陂 球k 明同学的博十。f 位论文研究r 二类高阶非线性发展方程的定解问题 的帮体适定性与解b o w o p 现象。第部分研究了一类描述演水表面被传播的奇 性扰动b o u s s i n e s q 掣办 f ，第二二部分讨隐瞄述 1 e o h o o k e a n 弹性杆振动的一娄 且阻尼项的非线性粱方剧，住第三部分中，仟省研究了模拟弹性杆径向运动以及 描述山小可压缩的相变材料构成的细k 圆托体中的一类且般弥散的非线性渡办 种的仞值问题。剃这些问题，作者得到了系列关于解的整体适定性与天j _ 解的 h l o w u p 的结粜。所得结果且有较高的学术价值，研究方法典有创新性及 j 已的特 色。论文文表明作者具有扎实的数学基础盖l | i 只和系统的专业知识，具有独寸从 事科研i 作的能力。答辩委员会一致通过替辩认为该文足一篇优秀的博卜学仲 论文，建议授了理学博 学传。 一 表决升。果 乡孕 熙磊琵0 名， 替辩委员会土席动厶及( 签名) 砌产舢，7 日 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除论文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或者集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全 意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名 寺易呐 日期：2 0 0 5 年4 月1 0 日 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印和电子版，允许论文 被查阅和借阅，本人授权上涟交通大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 保密口，在一年解密后适用本授权书 本学位论文属于 不保硎“ ( 请在以上方框内打“，) 学位论文作者签名：辛乜i 响指导教师签名 勿压次 日期：2 0 0 5 年4 月1 0 日日期：2 0 0 5 年4 月1 0 日 第零章绪论 非线性发展方程是国内外数学研究领域中最活跃的研究方向之一。非线性高 阶波动方程是该方向上的重要研究内容。随着当代科学技术的发展，在工程技术 领域中提出了大量非线性高阶波动方程，用来描述各类物理、力学和生物现象等 如：描述浅水波传播的奇性扰动b o u s s i n e s q 型方程、描述n e o - h o o k e a n 弹性杆振 动的非线性梁方程以及模拟弹性杆径向运动和描述由不可压缩相变材料构成的细 长圆柱体中的相变的具双弥散的非线性波方程等这些方程的共同特点是：物理背 景明确、方程高阶而且非线性程度高、高阶耗散项、弥散项和非线性项同时出现 从物理观点看，非线性、弥散和耗散三种因素直接影响着非线性波的传播过程非 线性加剧构型中的能量集聚，使波前变陡、甚至破裂；而弥散和耗散则抑制构型中 的能量集聚，减少波前斜率，使波前变缓，从而产生最终的稳态效应。上述三种因 素的作用，伴随着构型中的能量的积累、平衡和耗散本文旨在从数学角度研究上 述三类非线性波的传播过程中，在何种条件下，弥散和耗散能够抑制由非线性引起 的能量集聚、产生最终的稳态效应，从而使问题的整体解存在? 在何种条件下，弥 散和耗散不足以克服由非线性引起的能量集聚，剩余的能量积累是否会导致波在 有限时刻产生陡变以至破裂，即使问题的解在有限时刻发生破裂现象? 本文共分三部分第一部分研究描述浅水波传播的奇性扰动b o u s s i n e s q 型方 程，我们分三类问题来研究，首先研究了一类奇性扰动b o u s s i n e s q 型方程的初边 值问题；其次研究了一类具弱阻尼的奇性扰动b o u s s i n e s q 型方程的初边值问题； 最后研究了一类具强阻尼的奇性扰动b o u s s i n e s q 型方程的初值问题第二部分研 究描述n e o h o o k e a n 弹性杆振动的非线性粱方程，我们也分三类同题来研究，首 先研究了一类五阶的具强阻尼的非线性梁方程初值问题的整体光滑解的存在唯一 性和整体广义解的不存在性；其次研究了一类多维具强阻尼的非线性梁方程初边 值问题整体广义解的不存在性；最后研究了一类具阻尼项的非线性梁方程小初值 问题。第三部分研究模拟弹性杆径向运动以及描述由不可压缩相变材料构成的细 长圆柱体中相变的具双弥散的非线性波方程的初值问题 众所周知，b o u s s i n e s q 方程 “一让。+ 觇础= ( “2 ) 。( 0 0 1 ) 是b o u s s i n e s q 于1 8 7 2 年提出的描述浅水波水面长波传播的数学模型1 5 当b 0 上海交通大学博士学位论文 时，方程( 0 01 ) 被称为是“好的”b o u s s i n e s q 方程，它被用来描述在一个等截面 渠道中非粘性流体的：维无旋流动；当b 0 ，( 0 0 4 ) 具有初边值条件 或者 “。( o ，t ) = u 。( 1 ，t ) = u 。( o ，t ) = “。3 ( 1 ，t ) u ( z ，0 ) = 钍o ( ) ，“t ( z ，0 ) = t 正1 ( z ) ，。丽( o 0 5 ) “( o ，t ) = u ( 1 ，t ) = 让就( o ，t ) = u 。( 1 ，t ) = u 一( o ，t ) = 札一( 1 ，t ) = 0 ，t 0 ， u ( o ，0 ) = o ( z ) ，u t ( z ，0 ) = u 1 ( z ) ，z n( 0 06 ) 的初边值问题，其中“。= 象，口( s ) 是一个给定的非线性函数，a 0 和p 0 是 实数，u o ( z ) ，i t l ( 。) 是已知的初值函数，n = ( 0 ，1 ) 由g a l e r k i n 方法和近似解的先 验估计，在“o - ，( s ) 是下有界以及口( s ) 满足某一光滑性假定”的假设下，我们证明问 题( 0 0 4 ) 一( o05 ) 和( 0 0 4 ) 一( o - 0 6 ) 分别存在唯一的整体广义解和整体经典解( 见 定理1 1 ，定理1 2 ，定理1 3 ，定理1 ，4 ) 如果一( s ) 不是下有界的，我们将利用能量 方法、常微分方程的比较原理和j e n s e n 不等式分别证明初边值问题( 0 2 4 ) ( o 0 5 ) 和( 0 0 4 ) 一( o ，0 6 ) 在一定条件下，分别不存在任何的整体广义解( 见定理1 5 ，定理 1 6 ) 我们在本章的第四节中还给出了初边值问题( 0 0 1 ) 一( o ，0 6 ) 在有限时刻爆破 的充分条件( 见定理1 4 1 ) 在本章的最后一节，我们也给出了两个具体例子作为 本章定理的应用 在第一章中，我们已经证明了初边值问题( 0 0 4 ) 一( o ，0 。6 ) 在“口，( s ) 是下有界以 及a ( s ) 满足某一光滑性假窟的假设下，存在唯一的整体广义解和整体经典解，同 3 上海交通大学博士学位论文 时也给出了当o - r ( s ) 不是下有界时初边值闯题( 0 0 。4 ) 一( o 0 6 ) 的整体解不存在的一 个充分条件，一个很自然的问题就是：当( j r 7 ( s ) 不是下有界时，初边值问题( 0 0 4 ) 一 ( 0 0 6 ) 是否还存在任何形式的整体解? 为解决这个问题，我们在第：章中研究了 下面一类具弱阻尼的奇性扰动b o u s s i n e s q 型方程的初边值问题 u 恍一“。一n “一一卢t 。64 - b u t = 盯( u ) 。，z q ，t 0 ， ( 0 , 07 ) ( o ，t ) = u ( 1 ，t ) = u 。( o ，t ) = 。( 1 ，t ) = u 一( o ，t ) = “一( 1 ，t ) = 0 ，( 0 08 ) u ( x ，0 ) = u o ( 2 ) ，u t ( z ，0 ) = 1 ( z ) ，zeq ，( 0 29 ) 其中u ，= 舞，口( s ) 是一个已知的非线性函数，a 和p 是两个正的实常数，b 0 是任意实数，u o ( z ) ，u l ( z ) 是给定的初值函数当b = 0 时，方程( 0 0 7 ) 即为方程 ( 0 0 4 ) ，b u t 表示线性弱阻尼( 也称为耗散) ，在一些实际操作中，线性阻尼的存在 是合理的，而且在其过程中起着非常重要的作用，关于这方面的研究已越来越多地 引起数学工作者和工程师的关注1 2 2 - 2 7 , 7 1 , 7 7 本章我们利用位势井方法，当b 三0 时，只要初值属于某一个位势井，初始能量是正的但适当小，得到了初边值问题 ( 0 0 7 ) 一( o 。0 8 ) 在空间c d o ，郅；h 6 n 磁) n c l ( f o ，卅；日3 ) n c 2 ( i o ，t h 2 ) 中存在唯 一的整体广义解( 见定理2 ，1 ) ，当b 0 时，这样的广义解，具有下面的指数衰减 性质( 见定理22 ) ，z i u ( t ) 1 1 2 + | | u t ，t ) d 1 1 2 + l i u 。0 ) | 1 2 + l i u ( t ) l l 嚣j 0 ，o 在第三章中，我们讨论了下面一类具有强阻尼的奇性扰动b o u s s i n e s q 型方程 的初值问题 饥+ 2 阮扎：。c = 。+ 口让。埘+ 卢札w ；。；：4 - ( 矿) 。在r ( 0 ，。i p 0 1 0 ) u ( x ，0 ) = 趾o ( z ) ，u ( 。，o ) = u l ( z ) ， 。r ， ( 0 0 1 1 ) 其中q ，p 和b 是正常数竹2 是一个整数，“o ( z ) 和u l ( z ) 是给定的已知函数， 2 b u 。表示介质的强阻尼 在实际问题中，根据介质的不同，有时考虑强阻尼和考虑弱阻尼同样重要，关 于这方面的研究见文献【2 8 3 6 ，4 0 ，7 8 ，8 1 8 4 】 研究初值问题的常见方法之一是反散射变换方法 “，但是，这种技巧并不适用 于不是完全可积的非线性发展方程利用谱和扰动理论，n a u m k i n 和s h i s h m a r e v 于1 9 9 4 年在 3 8 中提出另外一种方法，成功的解决了关于t 具有一阶偏导数的非 4 第零章：绪论 线性非局部的发展方程的初值问题在1 9 9 6 年，v a r l a m o v 【3 9 】发展了这种方法，研 究了带有阻尼的b o u s s i n e s q 方程的初值问题，证明了局部光槽解的存在唯一性。 我们将在第三章中进一步发展这种方法，用子证明奇性扰动b o u s s i n e s q 方程的初 值问题整体光滑界的存在唯一性，通过证明我们得到：当j 2 c x b 2 或者“2 4 卢 时。在初值满足一定条件的前提下，初值问题( 0 0 1 0 ) 一( 0 0 1 1 ) 存在唯一的整体光 滑解u e o 。( ( o ，明；日o o ( r ) ) n g ( 【o ，州；h 5 ( r ) ) n c l ( 【o ，丁】；h 1 ( r ) 1 ( 见定理3 1 ) 卢2 o ， ( z ，t ) qx ( 0 ，t ) ，( 0 0 1 5 ) “( z ，0 ) = 钍o ( 髫) ，“t ( z ，0 ) = t l ( z ) ，。n ( 0 0 1 6 ) ( o 0 1 7 ) 整体解的不存在性，其中表示形变，是l a p l a c e 算子，如2 地表示强阻尼， 9 ( s ) 是一个已知的非线性函数，n 是r n 中具光滑边界矾2 的有界区域， 舞i 肌 表示沿a q 的外法线方向的方向导数，h ，k 2 是两个正常数在文献【4o 中，作者 在关于非线性函数9 ( 击) 满足 1 9 ( 。) i 1 i z i + 西，9 7 ( z ) 一a ， 一；( 七l + k 2 一e ) l x l 2 一c 1 g ( z ) c 2 i z l 2 + c 3 ， 的假定下，利用半群方法证明了整体弱解的存在性，其中a ，q ( i = 1 ，2 ，3 ) 和西( i = l ，2 ) 是正常数，c ( x ) = 譬g ( s ) d s ，0 e 0 是实数，只要初始能量是负的，那么问题 ( 0 0 1 5 ) - ( o 0 1 7 ) 的整体弱解必在有限时刻爆破，即存在一个r ( 0 ) 使得 l l 啦( t ) 旷+ | r a u ( t ) 1 1 2 一+ o 。，t 一于一 通过比较可以发现，使得整体解存在和不存在的条件是类似于门槛的一个结果( 见 定理51 ) 其次，我们利用j e n s e n 不等式，在较宽松的条件下，得到了问题( 0 0 1 5 ) 一 ( 0 0 1 7 ) 的整体弱解不存在的充分条件( 见定理5 2 ) 最后我们还利用改进的凸性 方法证明了上述问题的整体弱解以下面形式爆破( 见定理5 3 ) 一 i l u ( t ) 1 1 2 + 如8 ( f ) 0 2 d r o 。，t t 1 j 0 在第六章中，我们考虑了下面一类具阻尼项的非线性梁方程的小初值问题 u n + o 乱瓣。一2 b u 拙t = 卢盯( “# ) ；一k 2 u 在r x ( 0 ，o o ) ，( 0 0 1 8 ) u ( z ，0 ) = 2 t o ( 。) ，性( z ，0 ) = 2 u l ( 。) ，z r ，( 0 0 1 9 ) r 第零章；绪论 其中o ，b 0 ，j 9 0 和k 0 是任意实数，且a b 2 ，口( s ) 是一个已知的非线性函 数g - 0 是一个小参数方程( 0 0 1 8 ) 是在文献【4 6 】中，在研究一维弹塑性杆的纵 振动问题和二维反平面剪切问题时，a n 和p e i r e 提出的一类非线性发展方程，当 b k = 0 ，口( s ) = n s 2 ，p 一1 时，a n 和p e i r e 通过将方程( 0 0 1 8 ) 化为u 。所满足 的b o u s s i n e s q 方程，研究了该方程的孤立子解，证明非线性项的积聚效应和色散微 观结构项的色散效应之间的相互作用，导致该方程的孤立子解具有局部存在但逐 渐变为。猛增”的外部轮廓当k = 0 ，o ( s ) = 驴，其中n 是一正整数，文【4 7 】证明 了方程( 0 0 1 8 ) 的初值问题存在唯一的整体光滑解。在第六章中，我们利用f o u r i e r 变换方法，通过初值的。小”性，来控制所构造的迭代序列的收敛性，从而获得了 初值问题( 0 0 1 8 ) - ( o 0 1 9 ) 在空间g ( p ，明；h s + 1 ( r ) ) n g l ( f 0 ，t 】；h 5 ( r ) ) ( s i 1 ) 中存在唯一的整体广义解( 见定理6 1 ) 同时，我们也给出了该初值问题的整体广 义解在一定条件下不存在的充分条件( 见定理6 2 ) 。 众所周知，非线性波方程 ( 00 2 0 ) 一般不存在适定的整体光滑解，无论非线性函数口以及初始数据多么光滑，即使 初始数据充分的小，这种情况也不会改善 4 8 ，4 9 。为了获得非线性弹性方程在数学 上的整体适定性，近年来，许多数学工作者和力学家们开始考虑方程( 0 0 2 0 ) 在建 模时是否忽略了某一些重要因素 5 0 ，4 6 ，5 1 5 4 在文 5 0 】中，指出了纯一维模型的 缺陷是忽略了具有弹性的细杆径向方向形变的影响，一般来讲，对许多材料，如： 相变材料( 如；形状记忆合金，形状记忆聚合体等) ，都应该考虑径向形变，对线性 波来说，当横向运动出现的时候，径向形变是弥散的在f 5 0 1 中，d a i 考虑了三种 弥散项，即“。u 。m “，推出了一个模型方程 u t t m o o ( u 2 ) 。+ m l u 踟z m 2 7 2 。z “+ 7 t 9 3 u = 0 ，( 0 0 2 1 ) 其中m o = p ，m l = a 2 咤4 ，m 2 = a 2 ( 7 7 u 一2 u 2 ) 8 ( 1 一p ) ，m 3 = a 2 ( 5 1 0 u + 4 u 2 ) 1 6 ( 1 一p ) 芬】，这里a 圆柱形细杆的半径，c l 和c t 分别是径向波速和切向波 速，v 表示p o i s s o n 率( 拉紧的弹性杆中横截收缩应变与纵向的扩张应变的比率) 。 因此，方程( 0 0 2 1 ) 是描述由不可压缩的相变材料构成的一个细长圆柱体中的相 变的模型方程利用模型方程( 0 0 2 1 ) ，d a i 推出了决定解的唯一性的第三个条件 ( 其他两个是跳跃条件m7 6 】) ，按照作者的论述，最后得到了含有三个未知量的三 7 上海交通大学博士学位论文 个方程，从而在理论上解决了解的唯一性问题在【4 6 1 1 中，a n 和p e i r e 在研究弹 性杆的振动问题时，同样考虑了纵向的弥散影响，推导出了下面的一个特殊方程 u n + u 。一= n ( “：) 。， ( 0 0 2 2 ) 此方程相当于方程( 0 0 1 8 ) 中b = k = 0 ，一( s ) = a 8 2 ，卢= 1 的情况文【5 1 给出 了方程( 0 0 2 2 ) 的一个广义形式 u h + u 。= 口( ) 。+ ( z ，t ) ，( 0 0 2 3 ) 而且讨论了方程( 0 0 2 3 ) 初边值问题整体解的存在性和不存在性在研究非线性 弹性杆中的孤立波时，朱位秋和张善元 5 2 ，5 3 】提出了如下的纵波方程 u t 亡一【a o + n a l ( 乱) 一1 】。一口2 u 姐“= 0 ，( 0 0 2 4 ) 其中a o ，a 2 0 是实常数，a l 是一任意实数，是任意自然数杨志坚和宋长明 在 5 4 】中，研究了方程( 0 0 2 4 ) 的广义形式 u t 一。“= 口( “。) 。( 0 5 2 5 ) 得到了方程( 0 0 2 5 ) 初边值闻题，在一定条件下是整体适定的在经典的文献【5 1 中，b o u s s i n e s q 从描述无旋运动的表面波的e u l e r 方程导出了下面的近似方程 一“。一；“。+ ；u 。一3 e u ；。：0 ( o0utt 0 2 6 ) 一“埘一互札鄹埘+ 石u 。z z z e u z u 。z = 【u2 6 ) 其中e 0 是实数方程( 0 2 2 6 ) 可包含在下列数学模型中 札n 一如札“+ 七3 钍靠。= k l a ( u 。l ，z r ，t 0 ，( 0 0 2 7 ) 其中k i 0 ( i = 1 ，2 ，3 ) 是常数，f 是已知的非线性函数方程( 0 02 7 ) 可看作 方程( 0 02 1 ) 的一种形式或特殊情况，相当于模型方程( 0 0 2 1 ) 中，p o i s s o n 率 = ( 5 一v 信) 4 圭o 6 9 1 的情况，因此，方程( 0 0 2 7 ) 可看作是一个描述由具有 特定p o i s s o n 率的不可压缩的相变材料构成的一个细长圆柱体中的相变的模型方 程，如果我们采用文【5 0 】中的方法，从方程( 0 0 2 7 ) 出发，同样可以得到决定唯一 性的第三个条件因此，方程( 0 0 2 7 ) 是有意义的 本文在第三部分中研究模型方程( 0 0 2 7 ) ，由于方程( 0 , 0 2 7 ) 中含有两类弥散 项。和州，所以，我们把方程( 0 0 2 7 ) 称为双弥散波方程关于方程( 0 0 2 7 ) 8 第零章；绪论 的初边值问题的研究，可采用第一章中的方法来讨论，这一部分就不再涉及因此， 我们在第七章中研究双弥散波方程( 0 0 2 7 ) 带有如下初始条件 ( z ，0 ) = u 。( z ) ，u t ( z ，0 ) = u 1 ( z ) ， z r ( 0 0 ，2 8 ) 的初值问题 由于方程( 0 0 2 7 ) 中不含有对t 的一阶导数项( 耗散项) ，因此我们无法应用 第三章和第四章的方法来讨论初值问题( 0 0 2 7 ) 一( o0 2 8 ) 在本章中，首先利用一 个常微方程的基本释将初值问题( 0 2 2 7 ) 一( o 0 2 8 ) 化为一个等价的微积分方程的初 值问题，然后利用压缩映像原理来证明等价的微积分方程的初值问题局部解的存 在唯一性( 见定理7 1 ) ，最后利用先验估计技巧来获得