（应用数学专业论文）一般的三次参数样条曲线的几何连续性及其插值方法.pdf

a b 8 t r a c t t h eg e o m e t r i cc o n t i n u i t yo f 臼or e g u l a rc u r v e 8a tt h ec o n n e c t i o np o i n tc 8 nb e d i s c 雠dh o md i 舫e n t i a lg m e t r ya i l da l g e b r a 、 ，e 、l t i l i 霄et h ec u r v a t u r ek ， l o r s i o n 下，f r e n e tf r 蜘1 ei nd i 髓r e n t i a lg e o m e t r yg 2c o n t i n u i t yi st h e8 a m ea 8c o n t i u i t yo f c u “砒u r c 代a n dn e n e tf r a m e ，g 3e o n t i n u i t yi st h es a m ea sc o n t i n u i t yo fc u r v 砒u r e k t o r s i o nr d e r i v a t i v eo fc u r v a t u r ek 7a n df t e n e tf r a m e t h i sp 印e rc o n s i d e r st h ep 0 8 8 i b i l i t ya b o u t 七h eq u a d r a t i cg e o m e t r i cc o n t i n u i t y o fg e n c r i cc u b i cp a r a m e t r i c8 p l i n ec u r v eu s i n ga 1 9 e b r a f i r s to fa l l ，s o m ee x c e l l e n t r e 8 u l t sa r eg i v e n f b re x a m p l e ，t h eg e o m e t r i cm e a n i n go ft h ec o n t i n u i t yo ft h e g 2 ，g 3a n ds o m em e 七h o do fp a p e rf 5 】a n d 1 4 】a n dt h e n ，b a s e do nt h ed e 矗n i t i o ni n f 3 1 1w ep r o o f 七h ee q u i v a l e n tt h e o r e mo fa n yo r d c rg e o m e t r i cc o n t l n u i t ya b o u tt w o r e g u l a rc u r v e ss e g m e n ta tn o d e sa n di n t r o d u c et h ec r c a t e dm e t h o do fg e n e r i cc u b i c p a r a m e t r i c8 p l i n ec u r v e g e n e r i cc u b i cp a r a m e t r i cs p l i n ec u r v ew h i c hi sg 2 ，g 3a 七 n 。d e sn e e dt os a t i 8 f yt h et h r e et a n g e n tv c c t o re q l l a t i o nw ea l s og i v et h es u m c i e i l t c o n d i t i o nt h a tg e n e r i cc u b i cp a r a m e t r i cs p l i n ec u r v ei 8g 2a tn o d ew h e nt h ct a n g e n t v c c t o r sa tn o d ea r eg i v e n l a 8 tb u tn o tt h el e a s t ，w ew r i t ct h cc o n t e n t si np a p e r f 3 2 1a n dg i v et h ee x a m p l et h a tt h e 矗g u r eo fg e n e r i cc u b i cp a r a m e t r i cs p l i n cc u r v ei s c h a n g e dw h e n 岛2i si n c r e a s e d ，p r o o f 嚣( t ) i 8e q u i v 出e n ta tn o d c s k e yw o r d sg e o m e t r yc o n t i n u i t y ，g e n e r i cp 甜a m e t r i cs p l i n oc u r v e ，f r e e d o m d e g r e e ， h e r m i t ei n t c r p o l a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：蕴叁昆。日期：2 1 1 ! 。垒主! 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：握窿壑指导教师签名： 日 学位论文作者毕业后去向 工作单位 通讯地址 电话 邮编 钒事 丝! ：型 引言 计算机辅助几何设计( 简称c a g d ) 是随着航空，汽车等现代工业的发展与计算 机的出现而产生与发展起来的一门新兴学科，它引入了几何连续性的概念，并指出 参数连续性和几何连续性之间的连系和区别及几何连续性的性质仿射不变性， 几何不变性 通常情况下，采用播值的方法构造样条曲线，对于三次样条瞌线，前人重点考 虑节点处是二次参数连续的样条曲线的构造，有以下构造方法； 在平面上以。为自变量蛾为因变量，通过三转角、三弯矩的方法给出三切 矢方程( c 2 连续方程) ，然后给定边界条件解出唯一的参数曲线l “ 给出以弧长为参数，自然基底的参数样条曲线( 系数为自由度) ，由g 1 和曲率 连续( g 2 ) 算出三切矢方程，然后以弦长c 近似代替弧长差，假设为等距节点，通 过近似变换等= s 。一s “兰c 转换为普通参数t ，最后给出三种边界情况解出曲线 u l 方程i “】 本文主要考虑一般的三次样条曲线在节点处分别为g 2 ，伊的的充要条件，以 及铲空间中当单位切矢t 。已知三次样条曲线满足什幺条件时，它在节点处是g 2 的 本文共分二章第章从经典的微分几何关于几何连续性的定义出发，指出它 在a a g d 中的局限性，论证了参数多项式曲线不能变为以自身弧长为参数的多项 式曲线引入文献 3 j 中的定义，并证明两段正则曲线任意阶几何连续的等价定理 第二章主要介绍了过空间中节点的一般的参数榫条曲线例的表示方法，引入自由 度互( q 的单位切矢) c r ( q 。处的切矢模长) 和形状参数鼠， o ，成。，鹿3 ，给出一般 的三次参数样条曲线在节点处是铲，g 3 的的充要条件，证明了r 2 空间中节点和单 位切矢z 已知，当它满足一定条件时存在一般的三次参数样条曲线在节点处是g 2 的，并举例最后给出了文f 3 2 中的理论在本文符号下的结果，并给出了随着形状 参数p 的增大，一般的三次样条曲线的形状变化趋势的例子，验证了该曲线关于 弧长的二阶导在节点处是相等的 弧长的二阶导在节点处是相等的 第一章几何连续性 有两种不同的关于连接的光滑度的度量，一种是多年来沿用的函数曲线的可微 性，把组合参数曲线构造成在连接点处具有直到n 阶连续导矢即n 次连续可微的 参数曲线，这种光滑度称为e ”或n 阶参数连续另一种为几何连续性 曲线几何连续性是计算机辅助几何设计( 简称c a g d ) 的一个重要课题，是研 究曲面几何连续的基础文献【1 【3 】中简略的介绍两段正则曲线在公共连接点处 g n ( n 茎3 ) 连续的一些充要条件本章详细介绍了几何连续性并推广到一般情况 1导出几何连续性 定义1 1 1若给定一个曲线参数化，在其参数域内处处一阶导矢为非零矢 量，则称该参数化为正则的，所定义的曲线称为正则曲线 定义1 1 2 给定正则曲线r ( 5 ) ，若曲线在p 处满足r ( 2 ( s 0 + ) = r ( 2 ( s o 一) ， i = 0 ，1 ，n ，则称曲线在s = s o 处所对应的p 点具有n 阶几何连续性，简称伊 连续其中s 为曲线r ( s ) 的弧长参数，r ( 。( s ) = ! 甍型 对正则曲线p = m t ) ( t ) ，o ( f ) 取微分得 设曲线弧长为8 ，有弧长微分公式 d s 2 = d p 2 = d z 2 + d 掣2 + d z 2 于是d s = ( 警) 2 出= | p 似) ，s 似) 导矢并给定计算弧长s 所需得起点参数后 等= i p ”) i o ，求出正则曲线的一阶 对上式积分就可计算出该曲线得弧长 s m ) = f 脚t = 俩耵丽丐研出 可见曲线的弧长是参数t 的单调增函数，曲线上参数增加方向即弧长度量的正向， 故其反函数t = t ( s 1 存在于是，就得到了一般的以曲线自身弧长为参数的曲线方 程p ( t ) = p ( ( s ) ) ，仍记为p = p ( s ) 从而若p = p ( s ) 是伊连续的则p = p ( t ) 也是伊连续的 2 定理1 1 1两段正则曲线，在公共节点处满足二阶几何连续等价于连续的 n e n e t 标架和曲率一连续，三次几何连续还需增加挠率r 连续和连续的( 3 ) 证明( 1 ) 由定义1 1 2 知g 2 咎p ”( 吼+ o ) = p ”( 吼一o ) 7 州其中n = 揣，吲即) | g 1 = p 7 ( 鼠+ o ) = p ( 岛一o ) 和( p ( s ) ，p ”( s ) ) = o 号n ( 盈) = n ( 吼一1 ) g 2 连续等价于连续的n e n e t 标架和曲率k 连续 ( 2 ) n e n e t 公式为 q 7 = k p ，声7 竺一k 吐+ 下1 ，1 7 = 一下口 p ”7 ( s ) = p ”( s ) ：= ( k ( s ) 卢) ： = 尤( s ) 卢+ k ( s ) ( 一片。十7 _ ，y ) 其中k = l p ”( s ) i ，q 为单位切向量，口为单位主法向量 寺g 3 还需增加挠率r 连续和连续的k ，( s ) 定理1 1 2 对于c a g d 中常用的参数多项式曲线及有理多项式曲线，不能 变为自身弧长s 为参数的多项式曲线 证明设取弧长s 为参数的几次参数多项式曲线方程为p ( s ) = 吼， 求一阶导矢 p ，( s ) = i 巩s ”1 则应有1 p ，( s ) i = 1 ，故有i p 7 ( s ) 1 2 = 1 ，于是( p ，( s ) ) 2 1 = o 上式为2 ( n 一1 ) 次方 程，至多存在2 ( 札一1 ) 个实根这表明曲线上至多有2 ( 礼一1 ) 个点具有单位切矢， 满足弧长参数化要求 注t 虽然利用前面的方法可以变为弧长参数，但已经不再是多项式矢函数，而 是另一种形式复杂的矢函数 由上知定义11 1 的使用范围被限制，从而引入如下定义 定义1 1 3对于两段正则曲线，若能将其中之一经参数变换，重新参数化便 得它们在公共连接点处具有正则的伊连续性，则称它们在该点处具有n 阶几何连 续性或是g ”的 如果将两正则曲线都经重新参数化得到它们相应的弧长参数化曲线就和定义 1 1 2 完全一致，根据定义1 1 3 就不必都弧长参数化，而只需要变换其中之一，将 旧参数改取为某一特定的新参数 3 定理1 1 _ 3 ( l e i b n l z 公式的推广) 【4 击杀【，l ( z ) ，2 ( 小胁肛妊。( 垂南羔胁) ) ( 1 ) 其中os ，n0 = 1 ，2 j ) 且k 。取值有顺序( 1 ，2 ，1 和1 ，1 ，2 不同) 证明记止( z ) ，3 ( z )疗0 ) = g z ( z ) ，j ( z ) 矗知)乃( 。) = g 。( z ) ，- 一， 厶( z ) 方( z ) = 9 j 一- ( r ) ，则 刍杀 ，l 脚) m = 刍杀咖z ( 圳 = 刍。量皤器脚) 喾以z ) = 刍。量c 磬羔他k 邑，c 2 t 。象坤) 等嘉娑州z ) ) 刍乜善帆：。c 磐c 缝一c 2 ”睁也鱼寿盖 ( m ) ：r 三! ! 自。# 帐：。n ! 1 协一 1 ) 1 2 如暑犏。鱼南蓦 ( z )k 1 + 2 + + b = n 仁1 “t 2 ，几何连续性的判定定理 定理1 2 1两正则曲线在公共连接点p 处是g “连续的，当且仅当存在实 数屈( i = 1 ，2 ，n ) 其中卢 o 使两曲线段在公共连接点p 的两侧( 左右) 导矢 满足由( 121 ) 式给出的一组b e t a 约束条件 p7 p ”。 p w - p 竺) o口， o 岛肼 0 岛3 臼1 卢2 所 o 鼠。 p p 7 一 p ” p ”7 p m 其中卢1 o ，p 竺与p 1 1 分别为公共连接点p 处的两侧( 左右) k 阶导矢由上式 4 f 1 2 1 1 表示的一组关系被称为b e t a 约束其一般关系式如下 p = a 蚴p 9( 1 _ 2 2 ) j = 1 遍取整数k 的分割 尼l ，如 嗡 o ) ，如果k 的一个分割中包含r 个不同元素，对 应的重数是( i = 1 ，2 ，r ) ，则 广也纠两杀葡m 。鬼 ( 1 。3 ) 证明设两段正则曲线为p 0 ( “) ，p 1 ( t ) 记p o 乎( 札( t ) ) 表示p 0 ( 札( ) ) 对u 求k 阶导，p 。f 6 ( 札( t ) ) 表示p o ( 饥( t ) ) 对t 求k 阶导，且下面的证明都是在公共连接点p 必要性：由定义1 1 3 知其中一段曲线可重新参数化，使得它们在公共连接点处 是正则的伊连续的。不妨设公共点p 的”左侧段p o ( 札) 取参数变换札= u ( ) ，重 新参数化为p ( 札( ) ) ，且在公共点p 有参数咖= “( 如) ，满足p ，( q ( t ) = p o l ( 钆( t ) ) 由复合函数求导法则有 且 从而可知 【p o ( 札( t ) ) 】，= p o ：( “( ) ) 协 x 如果k 的一个分割 女h 白 中包含r 个不同元素，对应的重数是慨，对于j 个数只有j ! 种排列，由于，i ( ) = 2 ( f ) 一，= 办( ) = u ( t ) ，若求和时取的顺序 无关仅用到c c ；，c 竽竹m ，一，= 磊 杀种排列由面岛雨j ! = 而亡司 可得 箍( 芝盟。坐! ) 一。：善地：。2 直南器( ) 】赤 共j 个 七! k ，! l !m ， 记凤。= 蓑u ( 巩。 o ，则( 1 2 2 ) ( 1 23 ) 成立由一阶切矢方向相同知卢。 o 充分性：由定理知存在卢- 、风使得式l2 1 成立，且由 杀“( t ) = 段，= 1 ，2 ，n 可求出参数变换u ( t ) ，从而由必要性逆向考虑知此参数变换使得它们在公共连接 点处是g ”的，定理得证。 注( 1 ) 卢是切矢p ：与p 二的长度比； ( 2 ) 设计员可以通过改变屈的值来控制以p + 为端点的那一曲线段的形 状，同时又使b e 阻约束得到满足，曲线间的连接的光滑度得到保证，可调形状参 数觑提供了对曲线形状控制的额外自由度； ( 3 ) 此处用代数形式的b e t a 约束关系，其中形状参数屈的几何意义不明 显， 6 第二章一般的三次参数样条曲线的构造及几何连续性的判断 在本章中作以下符合说明： ( 1 ) q o ，q 1 ，q 。表示r 2 空间中的点列； ( 2 ) t o ，t l ，t 。表示在节点处的单位切矢； ( 3 ) 甜，g f ，t = o ，1 ，礼分别表示在节点q 处的左右切矢的模长； ( 4 ) 阱= g 守，c ：= g ：依次表示在q o 和q 。处的左右切矢模长相等； ( 5 ) c f t l ，甜t 。依次表示在q 。处的左右切矢； ( 6 ) p ，( o ) ，硝( o ) 分别表示曲线段p 。( t ) 关于一般参数t 的一阶导，二阶导 在t = 0 时的值； ( 7 ) p r ( t ) 表示曲线p ( t ) 关于弧长的k 阶导； ( 8 ) t ：”，t ，( q q ) ( ，( q i q 。) ( 2 ) 依次表示向量t i 与( 味一味一1 ) 的第一分量与第二分量； ( 9 ) a 八b 表示向量a 和b 的外乘积。 驵一般的三次参数样条曲线段的表示 定义2 1 1 在r 2 空间中，如果曲线p ( ) 依次通过实点列q o ，q 1 ，吼且 满足以下两个条件： ( 1 ) p ( ) 在每一小段上( q - 1 q ) 为不高于三次的多项式； ( 2 ) p ( t ) ，p 心) ，p ”( t ) 在( q o ，q 。) 上是连续的； 则称曲线p ( ) 为三次参数样条曲线，也称三次样条曲线。 定义2 1 2 f 3 2 】在r 2 空间中，有序的佗+ 1 个点q o ，q l ，骗用三次参数曲 线段连接相邻的两个点如果由这n 段曲线组成的曲线在各正则点的切线和曲率向 量都是连续的，则称这条曲线为一般的三次参数样条曲线 注三次样条曲线要求在( q o ，骗) 上是e 2 的，一般的三次样条曲线要求在 ( q o ，q 。) 上是g 2 的 下面利用h e r m i t e 插值的方法表示一般的三次参数样条曲线h e r m i t e 插值 方法是一类具有重结点的多项式插值方法，即要求在结点处满足相应的导数条件， 7 定理2 2 1r 2 空间中，通过任意礼+ 1 个已知节点q o ，q q 。的一般的 三次样条曲线存在的充要条件是存在实数觑i o ，屈2 = 1 ，n i 和c 7 o f o j = o ，1 n 使得如下三切矢方程组成立 3 ( q 什1 一q t ) + 3 露( q i q e 1 ) = 碍反。一1 ) 1 c j l t 。一1 + 2 ( 熊+ 竿+ 屈1 ) c f t i + c 二1 t 件1 ( 2 2 1 ) 记瞄= c i 其中风1 = 睾 oi ，1 ，2 札 证明过qq 州两点的一般的三次参数样条曲线段，由1 的方法表示， 以q 代替q o ，味+ 1 代替q - ，c 才t i 代替g 才t o ，c 再1 t t + 1 代替c t 1 则得 p i 0 ) = 凰，0 0 ) q i + 凰，l ( t ) q 件1 + h t ，o ( 亡) c t ；+ 凰，l ( t ) c 弄1 t 件1 p 一1 ( t ) = 凰，o ( ) q 一1 + 凰，l ( t ) q i + 皿，0 0 ) c 王1 t 。一1 + h 1 ，l ( ) c f t 可知 p ：一1 ( o ) = c 0 1 t 扛1 p ：一1 ( 1 ) = c 二。t i p ：( o ) = c 产t p ：( 1 ) = c o l t i + 1 p ? ( o ) = 6 ( q 件1 一q t ) 一4 c t l 一2 c i l t + 1 p ：1 ( 1 ) = 一6 ( q 一q 。1 ) + 2 c 0 1 t t l + 4 c f t 由定义2 1 2 知由上面形式表示的曲线段组成的曲线为一般的参数样条曲线 辛 这条曲线在各个正则点关于曲率是连续的( g 2 ) 辛 曲线段在节点处是关于曲率连续的( g 2 ) ( 因为相邻节点之间的曲线为三次多项式) 又由定理1 2 1 知 j p ? ( o ) = 碍p 生1 ( 1 ) + 屈z p ：一l ( 1 ) i = 1 ，2 ，一，礼一l ( 1 2 1 的第三式) 6 ( q 件l q i ) 一2 2 c 产t + c 本1 t h l 】= 熙 一6 ( q l q 一1 ) + 2 【c 二1 t 一l 十2 c _ 己 + 屈2 c 二1 t i j 3 ( q 件一q 。) + 3 魔( q 。一q t t ) = 藤c 二。t 。一l + 2 ( 醴+ 譬) c f + c 产 t i + c i ，t 件1 9 由定理2 2 - l 知p ( t ) 在节点处是g 2 的( 式2 2 2 成立) 的重要条件是式( 1 2 1 ) 中 的前三式成立 从而仅需要证明式( 2 2 3 ) 成立 = = ( 1 2 1 ) 的第四式成立 由于p y ( t ) = 1 2 ( q 。一q i + 1 ) + 6 c 产t 。+ 6 c i i t e + 1 则 p y ( o ) = 风p ：1 ( 1 ) + 3 聩l 屈2 p 2 1 ( 1 ) + p & p 2 1 ( 1 )( 1 2 1 ) 的第四式 号 一1 2 ( q l + 1 一q t ) + 6 c ，t 。+ 6 c i l t 件1 2 口 3 c f t 。+ 3 聩1 屈2 一6 ( q t q i 1 ) + 2 c 二l t t 一1 + 4 c f t l _ + _ 藤f _ 1 2 ( q f q i 一1 ) + 6 c 二1 t 。一1 + 6 c f t d 一2 ( q 件l q t ) + ( 3 觑1 觑2 + 2 鹧) ( q ：一q ；一1 ) = ( 碟+ 屈1 风2 ) c ：1 t i 一1 + ( 2 觑，压z + 藤+ 鲁) c f c t 。一c 4 1 t 件。 又由甜= 屈1 c f 可知上式 = = ( 2 2 3 ) 定理得证 得到2 几一2 个有约束的三切矢方程，写成矩阵的形式如下 尬，b 1 和t 为定理2 1 1 所写形式 尬= m t = b a 11“1 o a 2屹 0 o “2 o o n 蜥l“n 其中九，啦，胁分别为t ，t ，t 州前的系数 m = l 蝇尬l 一2 ( q 2 一q 1 ) + 3 ( 历z 口，2 + 2 既) ( q 1 一q o ) b 。2l ! 【一2 ( q n q ( n 一1 ) ) + 3 ( 段。一1 ) 1 级。一1 ) 2 + 2 卢一1 ) 1 ) ( q 一1 ) 1 1 下面给出一般的三次参数样条曲线不存在得例子 例3 2 冗2 空间中4 个节点q o = ( o ，o ) ，q 1 = ( 2 ，3 ) ，q 2 = ( 3 ，1 ) ，q 3 = ( 5 ，2 ) 若要求在每个节点的切矢方向都为( 去，去) ，参数样条曲线是否存在 v zv z 解把已知条件代入g 2 连续三切矢方程中可得 ( 赛+ 筹2 以+ 以c ( 历，+ 船+ 譬，墨+ 譬：。以+ 以听( 风+ 阮+ 譬) = ( 3 + 6 卢 1 ，一6 + 9 所1 )( 1 ) ( 赛+ 嘉腭，以+ 以呀( 阮+ 腭。+ 譬，赛+ 嘉腭，以+ 以四( 岛t + 强+ 譬 = ( 6 + 3 罐l ，3 6 露1 )( 2 ) 由( 2 ) 式可知6 + 3 腭l = 3 6 强，从而照= 一3 与仍t o 矛盾，可知参数样条 曲线不存在 下面简略分析一下在砰空间中节点处的单位切矢已知，满足g 3 连续的一般 的参数样条曲线的情况 g 3 连续方程组共有自由度4 n 一2 个，有4 礼一4 个方程( 每个分量为一个方程) ， 则存在自由度口i 1 ，风2 ，屈3 ，g f 使得方程组成立，然而自由度风。 0 ，g f 0 是有约 束的，没有约束的自由度觑2 ，屈3 仅有2 n 一2 个，从而参数样条曲线可能不存在 如例2 另由定理1 1 1 知，g 3 连续为g 2 连续还需要挠率r 连续，以及曲率对弧长 的一阶导k 连续平面曲线在任意点的挠率为0 ，从而只需考虑曲率对弧长的一阶 导是否连续，或者考虑是否存在觑3 使得式2 2 3 成立 4 求解节点切矢判定一般的三次样条曲线的存在性 本节主要给出出了文3 2 1 中的理论在本文符号下的结果，并举出了随着形状参 数屈。的增大，一般的三次样条曲线的形状变化趋势的例子，验证了它关于弧长的 二阶导在节点处是相等的 引入变量t 。= c ：_ t t 表示在节点q 处的左切矢向景。 引理2 4 1砰空间中，通过任意佗+ 1 个已知节点q o ，q 1 ，q 。的一般的 三次样条曲线存在且在节点处为e 1 的的充要条件是存在实数屈2 = 1 ，佗一1 1 5 和已0 j = o ，l n 使得如下三切矢方程组成立 3 ( q 件l q 。) + 3 ( q ；一q 。一1 ) = 量；一1 + ( 4 + 譬) 圣；+ 亍件1( 2 4 1 ) 其中。= 1 ，2 ，n 一1 。 证明把t 。= ( t 。，岛。= 1 代入定理22 1 中即可得证 由于三切矢方程组有”一1 个方程，已有n + 1 个，从而需要给出两个边界 条件可解出24 1 式。 ( 1 ) 固直梁边界条件。 两个边界条件t o ，t 。为已知值，则241 可写成尬t = b 。 其中 b 4 + 单10 l4 + 孥l 3 ( q 2 一q 1 ) + 3 ( q 1 一q o ) 一磊 3 ( q 3 一q 2 ) + 3 ( q 2 一q 1 ) 3 ( q 。一l q 。一2 ) + 3 ( q 。一2 一q ，3 ) 3 ( q 。一q 。一。) + 3 ( q 。一1 一q 。一。) 一磊 t t 1 t 2 我们可以任意给定觑。 一4 ，则系数阵m ，严格对角占优，从而保证了解的 唯一性。把t o ，t 。和解出的t l ，t 2 ，t 。l 代入 p 。( ) = h o ，o ( ) q 。+ h o ，1 ( t ) q 计l + h l ，o ( t ) t 。+ h 1 1 ( t ) t 计l( 2 42 ) 其中h o ，o ( t ) ，h o ，- ( t ) ，h ，o ( t ) ，h ，( ) 为基底见1 可求出一般的三次参数样条曲 线。 形状参数& 的意义如下：可调整屈。的值，使一般的三次参数样条形状发生变 化。特别的，当岛。一十。时由式241 知t o o 。当口1 2 一+ 。且卢( 1 ) 。一十。 时，则t ：一0 且t 一o ，即p 。( ) 趋向于直线( 因为2 4 2 趋向于 p ( t ) = h o ，o ) q 。+ h o ，1 ( t ) q 件1 = 0 一1 ) 2 ( 2 + 1 ) q 。+ t 2 ( 3 2 t ) q ；+ 1 16 l | 2 j o o 1 堕 +4 一n l n t 。l 一n p ：( t ) = 6 t ( 1 一t ) ( q 件z q 。) 即对任意t ( o ，1 ，只( ) 的方向不变) ( 2 ) 二阶导边界条件 两个端点( q o ，q 。) 处的二阶导p ；( o ) 和碟一。( 1 ) 为已知值。由2 4 2 知 p ：( o ) = 6 ( q 1 一q o ) 一4 量。一2 亍l p ：一1 ( 1 ) = 一6 ( q 。一q 。一1 ) + 2 亍。1 + 4 量。 即 4 t o + 2 t l = 6 ( q 1 一q o ) 一p ：( o ) 2 t 。一1 + 4 t 。= 6 ( q 。一q 。一1 ) + p ：一1 ( 1 ) 则2 4 1 可写成且矗t = b 。 其中 b = 尬= 42 14 + 单 6 ( q 1 一q o ) p g ( o ) 3 ( q 2 一q 1 ) + 3 ( q 1 一q o ) 3 ( q 。一1 一q 。一2 ) + 3 ( q 。一2 一q 。一3 ) 6 ( q 。一q 。一1 ) + p ：一1 ( 1 ) t = t o t 1 ： t 。 和( 1 ) 的情形一样，我们可以任意给定风2 一4 ，则系数阵蝇严格对角占优， 从而可以唯一的解出死，乃，死，可以求出一般的三次参数样条曲线形状参数 的意义是一致的 综上所述，有以下定理 定理2 4 2 在r 2 空间中，当礼+ 1 个节点( q 0 ，q h ，) 和固支梁，二 阶导边界条件之一已知时，任意给定觑2 一4 ，存在一般的三次参数样条曲线在节 点处是c r l 的且当觑2 趋于正无穷时，五趋于o ，当鼠2 ，厮州) 2 趋于正无穷时， 正，丑件1 ) 都趋于0 ，p l ( t ) 趋向于直线 1 7 一 + 附部分i i l a 曲e i i m t j c a 程序 ( 1 ) 验证不为一整体曲线( z z l a t h e m a t i c a 程序，小括号里内容为注释) ，考察第一 个分量 p o 亡 ：= h o ，o ( t ) q o + h o ，l ( t ) q 1 + h 1 ，o ( t ) t o + h 1 ，l ( ) t l p 1 亡 ：= h o ，o ( t ) q 1 + h o + l ( t ) q 2 + h 1 ，o ( t ) 伤l t o + h l ，1 ( ) t 1 ； s 。2 w e 【 g 。e 。扣疵e n t 【p o h 由1 ” t ，o 】= = g 。e ，扣c f e 眦 p 1 川【1 ，o ，( 常数项相等) c o e ，t c i e m 【p o 胁+ b 】【 l 】，t ，1 ) = = c d e ，i 西e n “p 邶】【1 】，t ，1 ( 一次项系数相等) s o f u e 【 e 。e ，z c e m p o 胁舶1 ，2 ：= g o e ，巾c 。e m p 1 川，t ，2 】，( 二次项系数相等) e o e 厂厂i c z m t 【p o 。t + 卅】，3 = = c 。e ，。d e m p 1 川【1 】，t ，3 ) 】( 三次次项系数相 等) 如果两个方程组所得n ，6 不等，则不为一整体曲线如果相等，把n ，6 代入 p o p 1 嘲得第二个分量看系数是否相等依次证明即可 ( 2 ) 曲线p ( t ) 对弧长求导，在节点处取值， 一般的分段参数样条曲线在例中给出，p o ( t ) p ( ) ，p 。一( t ) s h p r 】：= ，眦e 9 r 耐e 曲州e z p n r 谢f d 如r ，r d 囟r ，r 肌r ，o ， ( 弧长表达式) s 7 i ，p r j ：= d 【s h 、 t ，1 ) ( 弧长对参数求导) d p s h 讲，p r ：= d 雠，f s 乍，钟 ( 曲线对弧长的一阶导) t 2 s t ，p r 】：= 一d s 乍，p r 】，q ( s 乍，p r j ) 3 ( t 对弧长的二阶导) 利用复合函数求导公式求出曲线对弧长的二阶导公式( 为参数t ( s ) ) p 2 s 陵印，p r 】：= d 防 ，2 ) ，s h p r 2 + d 囟t ， t ，1 ) + 2 s p ，p r 】 t 对弧长的三阶导t 3 s 限p ， ：= ( 一d s 乍，p r 】， f2 ) 8 乍，p r 】十3 + d 【s 乍，p r 中) s 7 e ，p r 】5 利用复合函数求导公式求出曲线对弧长的三阶导公式( 为参数( s ) ) p 3 s p ，讲，p r 】= = d 由， ，3 ) 】s 乍，p r 】3 + 3 + d 【啦 t ，2 ) 耐2 5 心p r s 似，p r 】+ d f p t ，q 3 s h 对于戤( t ) 和肌+ 1 ( t ) 求出节点出对弧长的三阶导 3 s h 鼽鼽t 一 1 】 3 s ，砘+ l 胁+ l 叫】t 一 o 如果相邻的两段曲线关于弧长的三阶导( 二阶导) 在节点处取值相等则可证明 参数样条曲线为g 3 ( g 2 ) 的 如果相邻的两段曲线关于弧长的三阶导( 二阶导) 在节点处取值相等不相等， 则曲线在节点处就不是g 3 ( g 2 ) 的 参考文献 1 】张同琦，曲线几何连续性，? 胃南师专学报( 自然科学版) ，1 9 9 9 ，1 4 ( 2 ) ：4 5 4 9 罗扬，方逵，参数曲线几何连接的几个定理，国防科技大学学报， 1 9 9 5 ，1 7 ( 2 ) ：8 6 - 8 9 3 】施法中，计算机辅助几何设计与非均匀有理b 样条，高等教育出版社 1 6 6 1 8 2 4 盛中平，有关h e r i n i t e 插值问题的两个具体展示，吉林大学建校四十周 年”校庆杯”专业论文大赛，3 【5 j 高益明、裴锡灿等，计算方法教程，东北师范大学出版社， 4 8 5 5 【6 】r ，a l o r e n t z ，m u l t i v a r i a t eh e r m i t ei n t e r p 0 1 a t i o nb ya l g e b r a i cp o b m o m i a i s ：as u r v e y j o u r n a io fc o m p u t a t i o n a la n da p p l i e dm a t h e m a t i c s ， 1 2 2 ( 2 0 0 0 ) ：1 6 7 - 2 0 1 c 7 k ，h o l l i g ，j k o c h ， g e o m e t r i ch e r m i t ei n t e r p o l a t i o n ，c o m p u t e ra i d e d g e o m e t r i cd e s i g i l ，1 2 ( 1 9 9 5 ) ：5 6 7 5 8 0 8 】 k h o l l 远，j k o c h ，g e o m e t r i eh e r m i t ei n t e r p o l a t i o nw i t hm 舣i m 甜o r d e r a n ds m o o t h n e s s ， c o m p u t e ra i d e d g e o m e t r i cd e s i g n ， 1 3 ( 1 9 9 6 ) ：6 8 1 6 9 5 【9 】 u l r i c hr e i f ，o nt h el o c a le x i s t e n c eo ft h eq u a d r a t i cg e o m e t r i ch e m i t e i n t e r p o i a n t ，c o m p u t e ra i d e dg e o n l e t r i cd e s 主g n ，1 6 ( 1 9 9 9 ) ：2 1 7 2 2 1 ( 1o l i a n g h o n gx u ，j i a n h o n gs h i ，g e o m e t r i ch e r m i t ei n t e r p o l a t i o nf o r8 p a c e c u r v e s ， c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ， 1 8 ( 2 0 0 1 ) ：8 1 7 _ 8 2 9 【1 1 】f m f 、e r n a n d e z ，g e n e r a t i l l gf u n c t i o nf o rh e r m i t ep o l y n o m i 出8o fa r