（应用数学专业论文）若干细胞自动机规则的符号动力学行为.pdf

咤 i l i i ii ii iii ii i i ii ii ii il y 18 0 4 3 3 9 若干细胞自动机规则的符号动力学行为 摘要 由计算机创始人j o h n v o n n e u m a n n 提出的细胞自动机是一种时间，空间与 状态都离散的动力系统通过设计不同的局部规则，细胞自动机可以展现无限的 多样性和复杂性，产生复杂的动态交互和自我复制现象即使是最简单的基本细 胞自动机规则，也蕴藏着丰富的动力学行为因此近年来，细胞自动机在图像处 理，交通流模型，生物模型，密码学等领域有着十分广泛的应用 通过大量计算机模拟实验，在细胞自动机的演化过程中，出现会周期循环其 状态( 形状) 并且能稳定地移动的结构，即为我们现在所知的滑翔机滑翔机的首 次提出是在著名数学家c o n w a y 的生命游戏( g a m eo f l i f e ，一种能够进行计算的 简单的2 个状态的8 个邻居的细胞自动机) 像滑翔机这种会移动并维持形态的 结构，在生命游戏中扮演传递讯号的角色而讯号的储存与传递是生物演化机制 的重要特征，也是建构一台计算机的必要条件因此，滑翔机可谓是细胞自动机 演化中出现的极为重要的动力学现象 符号动力学是研究动力系统动力学行为的一个重要工具近些年来，在数 学，密码学，工程和物理学等研究领域提出的众多实际模型中，人们发现在刻画 其复杂性时往往要涉及符号动力系统的理论与方法从符号动力学的观点看， 滑翔机实际上是嵌入到双边无穷序列中的周期性移位本文从符号动力学的观点 对基本细胞自动机规则的演化过程中出现的滑翔机，滑翔机碰撞以及其他一些现 象给出了数学上的刻画 t 摘要 首先本文对b e r n o u l l i 移位规则1 4 和规则9 ，从符号动力学的角度进行了深 入的研究在第二章首先证明了规则1 4 具有两个混沌子系统，并且在其子系统上 具有复杂的动力学性质，如在其子系统上具有拓扑混合性和正的拓扑熵进而可 证 4 在其子系统上是l i y o r k e 意义和的d e v a n e y 意义下得混沌另外本章对规 则1 4 中出现的周期轨道中给出了一系列性质在第三章，研究了基本细胞自动 机规则9 规则9 属于c h u a 提出的b e r n o u l l i 移位规则，同时也属于w o l f r a m 提 出的第二类规则本文从符号动力学的观点对规则9 出现的基本滑翔机，滑翔碰 撞，分叉等给出了刻画而这些现象曾经出现在w o l f r a m 的复杂类规则1 1 0 号和 5 4 号中另外也对规则9 在其子系统上的的拓扑动力学性质进行了描述本文最 后一章对全文工作进行了总结 关键词：细胞自动机；滑翔机；碰撞；普适性；全局映射；符号动力学；拓扑共轭； 拓扑混合性；拓扑熵；混沌 一 t h es y m b o l i cd y n a m i c so fs o m e c e l l u l a r a u t o m a t ar u l e s a b s t r a c t c e l l u l a ra i l t o m a t a ( c a ) r e f e rt oac l a s so f s p a t i a l l ya n dt e m p o r a l l yd i s c r e t em a t h e m a t i c a ls y s t e m sw h i c hc h a r a c t e r i z e db yl o c a li n t e r a c t i o n sa n da ni n h e r e n t l yp a r a l l e l f o r mo fe v o l u t i o n c ap o s s e s s s i m p l el o c a lr u l e sc a ne x h i b i tc o m p l e xd y n a m i c a lb e h a v i o r s t h e r ee x i s tm a n yp e r i o d i cs t r u c t u r ew h i c hk n o w n a sg l i d e ri nt h ee v o l u t i o ns p a c e o fs o m ee c ar u l e sh a sb e e ni n v e s t i g a t e d a g l i d e ri sac o m p a c tg r o u po fn o n q u i e s c e n t s t a t e sw h i c hh a v ea p e r i o d i cs t r u c t u r em o v i n gi nt i m e f r o mt h es y m b o l i c sd y n a m i c s p o i n to fv i e w , t h eg l i d e ra c t u a l l yi sap e r i o d i cs u b s h i f tw h i c he m b e d d e di n t ot h eb i i n f i n i t es e q u e n c e i nt h i sp a p e r , t h e g l i d e r s ，g l i d e rc o l l i s i o n sa n do t h e rp h e n o m e n o na r e f o u n d ，a n dt h em e c h a n i s mo ft h ep h e n o m e n o l o g ya r e g i v e ns u b s h i f tp o i n to fv i e w t o p o l o g i c a ld y n a m i c so fc aw e r ef i r s ta n a l y z e db yh e d l u n d 1 9 6 9 w h ov i e w e d t h eo n e _ d i m e n s i o n a lc e l l u l a ra u t o m a t a ( 1 d c a ) w i t h i nt h ec o n t e x to fs y m b o l i cd y n a m i c sa se n d o m o r p h i s m so fas h i f td y n a m i c a ls y s t e m t h eo b j e c t i v eo ft h i sp a p e ri st oc h a r a c t e r i z e d t h e c o m p l e xd y n a m i c so fb e r n o u l l i s h i f tr u l e14i nt h eb i i n f i n i t es y m b o l i c s e q u e n c es p a c ef r o mt h ev i e w p o i n to fs y m b o l i c d y n a m i c s m o r e o v e ri tt od e p i c tt h ec o m p l i c a t e dp h e n o m e n o no ft h eg l i d e r sa n d g l i d e r s c o l l i s i o ni nt h ee v o l u t i o ns p a c eo fr u l e9 f i r s t l y , t h i sp a p e ri sd e v o t e dt oa ni n d e p t hs t u d yo fc h u a sb e r n o u l l i s h i f tr u l e1 4 i l l 1 - - 一 a b s t r a c t 。”。- - - - - - - - - 一- - ，一 f r o mt h ev i e w p o i n to fs y m b o l i c d y n a m i c s i ti ss h o w nt h a tr u l e1 4i d e n t i f i e st w oc h a o t i c d y n a m i c a ls u b s y s t e m sa n dp r e s e n t sv e r yr i c ha n dc o m p l i c a t e dd y n a m i c a lp r o p e r t i e s i n p a r t i c u l a r , i ti st o p o l o g i c a l l ym i x i n ga n dp o s s e s st h ep o s i t i v et o p o l o g i c a le n t r o p i e so n i t st w os u b s y s t e m s t h e r e f o r e ，i ti sc h a o t i ci nt h es e n s eo fb o t hl i y o r k ea n d d e v a n e y o nt h es u b s y s t e m s m e a n w h i l e ，i s l eo fe d e no fr u l e1 4a r e u b i q u i t o u sp r e s e n t e di ni t s p e r i o d i co r b i t s i nc h a p t e r3 ，i ti n v e s t i g a t et h ed y n a m i c so fe c ar u l e9 a sam e m b e ro ft h e c h u a sb e r n o u l l is h i f tr u l e sa n dt h ew o l f r a mc l a s si i ，r u l e9i ss h o w nt oh a v er i c ha n d c o m p l e xd y n a m i c s t h i sc h a p t e rp r o v i d e sas y s t e m a t i ca n a l y s i so fg l i d e rd y n a m i c s ， i n t e r a c t i o n sa n db i f u r c a t i o n si nr u l e9 ，i n c l u d i n gs e v e r a ln a t u r a lg l i d e r s ，ac a t a l o go f g l i d e rc o l l i s i o n s ，w h i c hw e r ef o u n do n l yi nw o l f r a m sc o m p l e xr u l e s5 4a n d11 0b e f o r e m o r e o v e r , w ef i n dan e wk i n do fg l i d e rp h e n o m e n o l o g yw h i c hw en a m e di ta sg l i d e r b i f u r c a t i o n s m o r e o v e r , w eg i v et h em a t h e m a t i c a lm e c h a n i s mo ft h ep h e n o m e n o l o g y o fg l i d e rc o l l i s i o n sa n db i f u r c a t i o n s m e a n w h i l e ，i ti sa l s op r o v e dt h a tr u l e9d e f i n e s as u b s y s t e mw i t hc o m p l i c a t e dd y n a m i c a lp r o p e r t i e ss u c ha st o p o l o g i c a l l ym i x i n ga n d p o s i t i v et o p o l o g i c a le n t r o p y i nc h a p t e r4 ，g i v e ss o m ec o n c l u d i n go nt h i st h e s i sa n df u t u r es t u d y k e yw o r d s ：c e l l u l a r a u t o m a t a ( c a ) ；s y m b o l i cd y n a m i c s ；c h a o s ；p e r i o d i co r b i t ；g l i d e r ；c o l l i s i o n ；s u b s h i f t ；t o p o l o g i c a l l ym i x i n g ；t o p o l o g i c a le n t r o p y l v 目录 摘要i a b s t r a c t m 目录v i l 绪论 1 1 1 符号动力学的研究背景和基本理论知识1 1 1 1 符号动力学的研究背景 1 1 1 2 符号动力学的基本理论知识1 1 2 细胞自动机的研究背景3 1 2 1 研究背景3 1 2 2 细胞自动机的基本概念6 1 2 3 细胞自动机与符号动力学的关系7 1 3 论文的主要内容与结构7 2 规则1 4 的拓扑混合性和混沌性9 2 1 1 4 的两个b e r n o u l l i 移位子系统9 2 2 4 的符号动力学性质1 0 2 2 1 规则1 4 的周期轨道的性质1 0 2 2 2 子系统f 1 4 1 a | 。的符号动力学性质1 1 2 2 3 子系统f 1 4 l a a 2 。的符号动力学性质1 3 3 规则9 的符号动力学背景下的滑翔机及碰撞分叉1 4 3 1 局的三个b e r n o u l l i 移位子系统。1 4 3 1 1 f 9 的三个b e r n o u l l i 移位子系统1 4 3 i 2 三个子系统之间的关系1 6 v 目录 3 2 规则9 中的滑翔机和滑翔机碰撞，分叉1 7 3 2 1 规则9 中的滑翔机1 8 3 2 2 规则9 中的滑翔机碰撞2 6 3 2 3 规则9 中的滑翔机分支3 3 3 3 规则9 的符号动力学性质分析3 4 3 3 1 子系统南k 的符号动力学性质分析一3 4 3 3 2 子系统y g l g 和y g l g 的符号动力学性质分析3 7 4 总结与展望3 8 4 1 总结3 8 4 2 展望3 8 参考文献3 9 致谢4 4 在学期间的研究成果及发表的论文4 5 学位论文独创性声明及授权声明一4 6 学位论文诚信承诺书4 7 v l 1 绪论 1 1 符号动力学的研究背景和基本理论知识 1 1 1 符号动力学的研究背景 拓扑动力系统是动力系统的理论基础和重要组成部分，符号动力系统是一类 特殊的拓扑动力系统这种系统的状态均可表示为有限个符号组成的无穷序列， 而由任一状态点引出的运动轨道可由表示该状态的无穷序列通过特定的规则来 确定许多复杂动力系统均可经过变换等价于这种系统，从而可通过对比较简单 的符号动力系统的分析来研究一般动力系统的行为这种方法在计算机科学、混 沌物理学、密码学、通讯等领域有着广泛应用 而正是由于符号动力系统在各种数学模型复杂性分析中的重要作用和特 殊地位，其在作为动力系统的研究工具的同时，自身的理论也在不断完善创新 2 0 - 2 2 】，而方法也不断得到改进 一 1 1 2 符号动力学的基本理论知识 令s = o ，1 ，2 ，七一1 ) ，其中七2 ，是由忌个符号构成的状态空间然后 作拓扑积知= s z = s s s = z = ( ，z 一1 ，叠o ，z 1 ，) lz i s ，z ) 特别地，当七= 2 时，记s z = o ，1 ) z 全2 s z 上的距离定义女h - f ：对 任意的z ，牙s z ， d ( 哪) = 点。赢1 。 o o 其中s 上的距离d i ( - ，) ，z 定义如下 d i ( z i ，氟) 订i 丽 妣劫= 妊耋蓑筹： 2 ， 显然，在此定义下的度量空间( s z ，d ) 是紧致的、完备的、完全不连通的空间，因 此s z 是一个c a n t o r 集 1 - s 设d = ( o o 口n 1 ) 是s 上一个长度为佗1 的有限序列，简称长度为n 的字字。的长度定义为i o l = n ，长度为。的字记为入设z s 么，= kj 】 l 绪论 是一个整数区间，则记x i j = ( x i ，巧) 和x i j ) = ( x i ，一1 ) ，如果存在 m z ，使得x m , m + n - - 1 1 = d ，则说“有限序列a 出现在z 内”或“x 含有a ”，记 作g 一 z ；否则说“有限序列a 没有出现在刀内”，记作a7 之z 对于a s z ，若 存在z a ，使得a 0 ，o r 0 ，每丁代细胞序列往左移动d 格( 或当盯 0 ，往右移动川 格) ； 当p 0 ，每7 代细胞序列往左移动盯格( 或当o r 0 ，往右移动川 格) ，然后再改变每个细胞的符号状态 细胞自动机自产生以来，被广泛地应用于社会学、生物学、生态学、信息科 学、计算机科学、数学、物理学、化学、地理学、军事学等各个领域例如：在 计算机科学中，细胞自动机可以被看作是并行计算机而用于并行计算的研究另 外，它还应用于计算机图形学的研究中。尤其在数学中，细胞自动机为动力学系统 理论中有关秩序( o r d e r i n g ) 、扰动( t u r b u l e n c e ) 、混沌( c h a o s ) 、分形( f r a e t a l i t y ) 等 系统整体行为与复杂现象的研究提供了一个有效的模型工具因此，一方面细胞 自动机的发展得益于相关理论的研究，如逻辑数学、离散数学、计算机中的自动 5 1 绪论 机理论，图灵机思想等；另一方面，细胞自动机的发展也促进了一些相关学科和理 论( 如人工智能) 的发展 1 - 2 - 2 细胞自动机的基本概念 细胞自动机是一种时间和空间都离散的数学模型，构成细胞自动机有四个基 本要素，分别是：细胞( c e l l ) 、网格( 1 a t t i c e ) 、邻域( n e i g h b o r h o o d ) 及规则( r u l e ) 2 0 1 网格指细胞所处的空间，一般为均匀的整数格子，细胞可存储状态，通常取有限 值邻域指某个细胞自身及其相邻的细胞规则规定细胞之间以何种方式相互作 用事实上，c a 由均匀分布在正则网格上的细胞构成动力系统，每个细胞呈现出 有限的状态值，在给定的局部规则的条件下，一个细胞在下一时刻的状态值是由 当前时刻自身状态值及其相邻细胞的状态值所决定的所以c a 是时间，空间， 状态均离散的动力系统并且具有并行性，局部性以及一致性并行性即所有细胞 都依规则同时同步改变状态值；局部性指细胞依自身及其邻域内的细胞状态值改 变；一致性指所有规则按同一规则演化 本文选择了基本细胞自动机( e c a ) 作为研究对象，基本细胞自动机是指所有 细胞排列在一条直线上，每个细胞的状态值为0 或1 以中心细胞与左右最邻近 细胞相邻，即邻域半径r = 1 e c a 邻域中的三个细胞的所有状态共有2 3 种设第i 个细胞g 以及相邻细 胞，在某个时刻的状态为( x 仁1 ，黝，x i + i ) ，通过，：s 3 一s ，其定义为： ，( z ) 1 i = 厂( z t l ，x i ，z i 十1 ) ，i z ( 1 3 ) 其中尹称为局部规则所以总共有2 2 3 = 2 5 6 种e c a 规则，其相应的局部规则编 号定义为 n = f，( l ，耽，x i + i ) 2 址1 4 慨2 + 聃1 ( 1 4 ) ( z 一1 ，z i ，z i + 1 ) ( o ，l 3 每个局部规则n 可由布尔函数真值表或者布尔表达式表示，且记规则n 对应的 全局映射为厶，n = 0 ，1 ，2 5 5 例如，规则1 4 的布尔表达式为【2 3 l ： 瓜( 甄一i ，甄，z 件1 ) = 觋一1 x io 磊一1 瓦x i + 1 ，( 1 5 ) 其中耽s = o ，1 ) ，“”，“o a n d “一”分别表示逻辑运算 a n d ”，“x o r 和 n o t 所以规则1 4 的全局映射表示为：坛2 ，z ， m 4 ( z ) k = 砚一1 x io 砚一1 砚x i + l ( 1 6 ) 6 1 绪论 其中【 4 ( z ) k 指序列 4 ( z ) 第i 个位置的元素【2 引为便于下文讨论，我们先给出 规则1 4 和9 的布尔函数真值表 表1 1 细胞自动机规则1 4 和9 的布尔函数真值表 ( 貌一1 ，x i ，x i + i )m 4 ( z ) k嘀( z ) k ( 0 ，0 ，0 ) 01 ( 0 ，0 ，1 ) 1 o c o ，1 ，0 ) 1 0 ( o ，1 ，1 ) l l ( 1 ，0 ，0 ) 00 ( 1 ，0 ，1 ) 00 ( 1 ，1 ，o ) 0o ( 1 ，l ，1 ) o0 1 2 3 细胞自动机与符号动力学的关系 由于细胞自动机定义于一个离散的有限状态集合上，其序列构形不仅仅只 具有有限长度，而且还可以是由有限个符号组成的双边无穷符号序列因而每 一个一维细胞自动机的局部规则可以诱导出一个以双边无穷序列组成的构型 空间上的拓扑动力系统事实上，数学家h e d l u n d 早在1 9 6 9 年，就率先从符号 动力系统的角度发展了c a 的数学理论，尽管在文【7 】中h e d l u n d 并没有提 及c a 和有效的刻画满的和开的一维细胞自动机的一些动力学行为，但随后， m a s h e r e s h e v s k y , l e h u r d ，e f a v a t i 2 7 - - 3 3 】，先后讨论了一些特殊的一维细胞自动 机的符号动力学性质1 9 9 7 年，e p a o l a 等人指出，加性细胞自动机是d e v a n e y 意 义下的混沌n 这些工作大大的丰富了c a 的数学理论，极大的推动了人们在理论 上进一步对基本细胞自动机的研究，并为细胞自动机在各个领域的应用提供了理 论依据 1 3 论文的主要内容与结构 本文结构安排如下，第一章介绍了符号动力学和细胞自动机的研究背景和 相关理论知识第二章证明了 4 具有两个子系统，通过有限型自移位的相关理 论知识，证明了 4 在其两个子系统上是拓扑混合的，并且进一步计算出其有 正的拓扑熵所以易证厂1 4 在其两个子系统上是l i - y o r k e 意义和的d e v a n e y 意义 下的混沌同时也对厂1 4 演化过程出现的周期轨道进行了刻画 第三章首先证明了厂9 有三个b e r n o u l l i 移位子系统，然后描述了这三个子系 统之间的相互关系，进而借助符号动力学的基本知识，刻画了规则9 演化过程中 7 1 绪论 出现的各种滑翔和碰撞以及分支现象最后证明了 存在子系统具有拓扑混合 性 第四章对全文进行了总结与展望 8 2 规则14 的拓扑混合性和混沌性 由于已经从理论上证明细胞自动机的任何一个非平凡的命题都是不可判定 的f 2 9 】，于是对细胞自动机必须进行分f - i l , j 类的研究c h u a 等人在周期边界和有 限长度序列的条件下，通过大量计算机模拟得到规则1 4 有两个b e r n o u l l i 吸引子， 分别有两组参数p = 2 ，仃= 1 ，7 - = l 和p = 一 ，仃= - 1 ，r = l 刻画将有限长度 的构型扩充成无限长度的构型后，本章主要研究规则1 4 在双边无穷序列空间上 的符号动力学性质，包括如下内容： 1 规则1 4 的全局映射 4 是否具有b e r n o u l l i 移位子系统； 2 4 的拓扑熵，拓扑混合性等； 。3 f i 4 的周期轨道的性质 2 1 4 的两个b e r n o u l l i 移位子系统 命题2 1 对于规则1 4 ，存在非空集合a h s z ，使得f l a l a l 。= c r l i a i 。；其中 a 4 = a 稚= 茁s z l 茁体一l ，i + 1 1 4 1 ，v i z ) 和翻缇= ( o ，0 ，o ) ，( o ，0 ，1 ) ，( o ，l ，1 ) ， ( 1 ，0 ，o ) ，( 1 ，1 ，o ) ) 证明：( a ) 令( b ) 假设存在子集人 4 使得y x a 1 4 ， 4 ( z ) = 盯l ( z ) ，既 【 4 ( z ) k = x i + 1 ，v i z 根据规则1 4 的布尔表达式，于是有 f 1 4 ( x i 一1 ，z i jz + 1 ) = 面i 一1 x io 砚一1 一x i x i + 1 = z t + 1 ，v i z ( 2 1 ) 可直接验证以上命题成立 类似于命题2 1 ，有：， 命题2 2 对于规则1 4 ，存在非空集合a i 4 s z ，忍| a 2 。= 畦i 。；其中a 4 = 人矗= 。s z i z f 一1 ，i 士1 1 厨缎，z ) 和盈缓= ( o ，0 ，1 ) ，( 0 ，1 ，o ) ，( 0 ，1 ，1 ) ，( 1 ，0 ，o ) ， ( 1 ，0 ，1 ) ，( 1 ，1 ，0 ) 根据表1 1 易证人；4 是 4 一不变的，事实上是 4 - 强不变的，即 4 ( a 4 ) = 人 4 定理2 1 对于规则1 4 ，人矾和a 硝是 4 的两个子系统 为了能更加形象的说明规则1 4 的b e r n o u l l i 移位特征，本文给出了其两个时 空演化图( 如图2 1 和2 2 所示) 其初始序列分别由集合与和磊中的元素组 成图2 1 模拟了规则1 4 作用一次细胞序列向左移动一位的情况，图2 2 模拟了 规则1 4 作用两次细胞序列右移两位的情况 9 2 规则1 4 的拓扑混合性和混沌性 图2 1 规则1 4 的演化图一图2 2 规则1 4 的演化图二 2 2 4 的符号动力学性质 2 2 1 规则14 的周期轨道的性质 本文在这一节首先对 4 的两个子系统上的周期轨道的性质进行了刻画 命题2 3 从两个子系统砼和瑶的结构中可以发现其具备如下关系： a 以na 稚= 0 ，v n 4 ，所以a n 是非可约非周期的，根据引理 1 2 可知o a 拓扑混合，根据拓扑共轭的性质，便得到此结论 ( 2 ) e n t ( a 4 1 a 彳h ) = l o g ( p ( a ) ) ，其中p ( a ) 是转移矩阵a 的谱半径 于是e n t ( a a l a h ) = e n t ( a a ) - l o g ( p ( a ) ) 通过计算a 的特征多项式可以得到 e n t ( f 1 4 1 a 铂) = l o g ( p ( a ) ) = l o g ( 丢+ 订丽+ ；、 + n 一；b + 而1 ) l o g1 3 8 0 2 8 ：0 3 2 3 0 0 证毕 1 2 j，、， 耐一 1 z 幸铷1一 z ，j i | z 丌 10 0 011 0 0 0 0 0 o l0 0 01l ( 2 ) ( a ，盯r ) 拓扑混合 根据命题29 的结果，借助拓扑共轭关系可以得到如下结果： 命题2 1 0 ( 1 ) 尼i a 2 。= 盯磊i a ；。拓扑混合； ( 2 ) 4 1 人 。拓扑混合； ( 3 ) 子系统忍| 人2 。拓扑熵e 优( 尼1 人稚) = 2 1 0 9 ( p ( b ) 0 9 6 2 4 0 ，其中 p ( b ) 为转移矩阵b 谱半径； ( 4 ) 子系统f 1 4 1 a i 。拓扑熵e 疵( j f l 4 i a 观) = l o g ( p ( b ) ) 0 4 8 1 2 0 ，其中p ( b ) 为转移矩阵男谱半径 拓扑混合性是一种极强的动力系统复杂的性质，一个具有拓扑混合性的系统 具有多种意义下的混沌如【2 中就指出，拓扑混合性具有l i y o r k e 意义下的混 沌和修改的d e v a n e y 意义下的混沌而正的拓扑熵意味着l i 。y o r k e 意义下的混 沌因此我们可以得到如下定理： 定理2 1 4 在其两个子系统a 。和a ；。上既是l i y o r k e 意义下的混沌又是 d e v a n e y 意义下的混沌 基本细胞自动机规则n = 1 4 ，8 4 ，1 4 3 ，2 1 3 是属于同一拓扑等价类【2 3 l ，而属 于同一拓扑共轭等价类的规则具有相同的拓扑动力学性质 1 3 1 0 o o l o o 0 0 1 0 0 ，j-_-i_1。-11-i-i一 = 日 3 规则9 的符号动力学背景下的滑翔机及碰撞分叉 上一章研究了b e r n o u l l i 移位规则1 4 的符号动力学性质，其全局映射 4 在 其两个子系统上拓扑混合并且有正拓扑熵而本章介绍的b e r n o u l l i 移位规则 9 ，在周期边界的有限序列的情况下，同样具有两个个不同的b e r n o u l l i 吸引子 ( = 2 ，盯= 2 ，7 = 3 ) 和( p = 一互1 ，盯= - 2 ，7 _ = 2 ) 但是规则9 却呈现出更为丰富 多彩的动力学行为在本章，致力于解决如下几个问题： 1 全局映射 是否具有b e r n