（应用数学专业论文）非线性切换系统的稳定性分析.pdf

摘要 摘要 切换系统中连续与离散切换信号之间的相互作用使之具有十分复杂的动态行 为和丰富的研究内容，这为计算机科学、信息理论、控制及相关领域都提出了不 少具有挑战性的研究课题。同时，切换系统的研究成果又为一般混杂系统的研究 提供了思路、方法和理论上的借鉴。因此，切换系统的研究具有十分重要的科学 价值与应用意义，受到了广泛重视。本文主要探讨了一类非线性带有时滞和扰动 的切换系统的指数稳定性和鲁棒以控制问题，最后又给出了一类非线性离散切换 系统具有皿，干扰抑制度y 二次稳定的一个充分条件。主要采用微分不等式方法和 李雅普诺夫函数方法，同时结合线性矩阵不等式( l m i ) 技术来处理这三类系统的 指数稳定及玑控制问题。 本文安排如下： 第一章简单介绍了混杂系统的概念、切换系统的研究现状、方法及应用领域。 概括了稳定性的基本理论，引出研究切换系统稳定性的重要意义，总结了该文主 要涉及的内容。 第二章里研究了非线性时滞切换系统模型，对以往的线性系统的稳定性进行 了扩展。利用h a l a n a y 不等式和常数变易公式等一些基本理论，通过微分不等式方 法，给出了非线性时滞切换系统指数稳定的一系列的充分准则。 第三章进一步在已有的切换系统理论基础上，研究了一类非线性时滞扰动切 换系统的鲁棒以动态输出反馈镇定问题。利用l m i 技术及l y a p u n o v 函数方法， 设计出使此类系统鲁棒稳定且具有玩性能的鲁棒以动态输出反馈控制器。 第四章主要是基于l m i 和以控制理论，利用矩阵s c h u r 补引理和相应的 l y a p u n o v 泛函方法，通过求解一个特定的线性矩阵不等式，得到一类非线性离散 时滞扰动切换系统在玩意义下的二次稳定的充分条件。 第五章则针对全文内容进行总结，并相应提出未来的工作设想和努力方向。 关键词：非线性切换系统，指数稳定，鲁棒以控制，二次稳定，l y a p u n o v 函数。 a b s t r a c t a b s t r a c t t h eb e h a v i o ro fs w i t c h e ds y s t e m si sv e r yc o m p l i c a t e db e c a u s eo ft h ei n t e r a c t i o n b e t w e e nt h ec o n t i n u o u sd y n a m i c sa n dd i s c r e t es w i t c h i n gs i g n a l s t h i sp r o v i d e sn e w a r e a so fr e s e a r c ha n dc h a l l e n g i n gp r o b l e m si ni n f o r m a t i o ns c i e n c e s , c o n t r o ls c i e n c e s a n dr e l a t e df i e l d s m e a n w h i l e ，r e s e a r c hr e s u l t so fs w i t c h e ds y s t e m sa l s om a k e s i g n i f i c a n tr e f e r e n c e t o g e n e r a lh y b r i ds y s t e m s i nt e r m so fi d e a s ，m e t h o d sa n d t h e o r i e s t h e r e f o r e ，t h es t u d yo fs w i t c h e ds y s t e m sh a sg r e a ta c a d e m i cv a l u ea n d s i g n i f i c a n ta p p l i c a t i o n s i nt h i sd i s s e r t a t i o n , t h ep r o b l e mo fe x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n d r o b u s t 也 c o n t r o lo fac l a s so fn o n l i n e a rs w i t c h e ds y s t e m sw i mt i m e d e l a ya n d d i s t u r b a n c ei sm a i n l ys t u d i e d t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rq u a d r a t i cr o b u s ts t a b i l i z a t i o n o fac l a s so fn o n l i n e a rd i s c r e t e - t i m es w i t c h e ds y s t e m si sg i v e ni nt h el a s t c o r r e s p o n d i n ga d o p t e ds t u d ym e t h o d sa r el y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d ，d i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t ym e t h o d t h e s em e t h o d sc o m b i n ew i t hl m it od e a lw i t ht h ep r o b l e mo n e x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n dr o b u s th 。c o n t r o lp r o b l e m t h ea r r a n g e m e n to ft h i sd i s s e r t a t i o ni sa sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，c o n c e p t i o no f h y b r i ds y s t e m s ，r e c e n td e v e l o p m e n t ，s t u d ym e t h o d sa n d a p p l i c a t i o nf i e l d so f s w i t c h e ds y s t e m sa r ei n t r o d u c e d t h ep r e f a c eg e n e r a l i z e st h eb a s i c t h e o r yo fs t a b i l i t y , d e r i v e st h em e a n i n go fi n v e s t i g a t i n gs t a b i l i t yf o rs w i t c h e ds y s t e m s ， a n ds u m su pt h ec e n t r a lc o n t e n to ft h ep a p e r i nc h a p t e r2 ，ac l a s so fn o n l i n e a rs w i t c h e ds y s t e m sw i t l lt i m e - d e l a ym o d e li s d i s c u s s e d b yu s i n gh a l a n a yi n e q u a l i t y , v a r i a t i o n - o f - c o n s t a n t sf o r m u l aa n dd i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t ym e t h o d ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n s o fe x p o n e n t i a ls t a b i l i t yf o rt h en o n l i n e a r s w i t c h e ds y s t e m sw i t ht i m e d e l a ya r eo b t a i n e d i nc h a p t e r3 ，t h ep r o b l e mo fr o b u s th 。d y n a m i co u t p u tf e e d b a c ks t a b i l i z a t i o nf o r n o n l i n e a rs w i t c h e ds y s t e m sw i t ht i m e - d e l a ya n dd i s t u r b a n c ei sc o n s i d e r e do nt h eb a s e o fl i n e a rs w i t c h e ds y s t e m st h e o r y b yu s i n gl m im e t h o da n dl y a p u n o vf u n c t i o n , s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fr o b u s ts t a b i l i z a t i o na n dh 。p e r f o r m a n c ef o rt h es y s t e ma r e o b t a i n e d r o b u s th 。d y n a m i co u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e r sa r ed e s i g n e d i nc h a p t e r4 ，b a s i n go nl m ia n dh 。c o n t r o lt h e o r y , b yc o n s t r u c t i n gal i n e a r i i a b s t r a c t m a t r i xi n e q u a l i t yu s i n gs c h u rc o m p l e m e n tf o r m u l aa n dl y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d , a s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h eh 。q u a d r a t i cs t a b i l i t yo fac l a s so fn o n l i n e a rs w i t c h e d s y s t e mw i t ht i m e - d d a ya n dd i s t u r b a n c ei sp r e s e n t e dt os o l v ec e r t a i nl i n e a rm a t r i x i n e q u a l i 哆 i nc h a p t e r5 ，t h ew h o l ed i s s e r t a t i o ni ss u m m a r i z e d w o r ka s s u m p t i o ni nt h ef u t u r e a n dt h ed i r e c t i o no fe n d e a v o ra r ep o i n t e do u t k e y w o r d s ：n o n l i n e a rs y s t e m s ，e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y , r o b u s th 。c o n t r o l ，q u a d r a t i c s t a b i l i t y , l y a p u n o vf u n c t i o n i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 签名：日期：年月日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名： 导师签名：艋 同期：年月同 第一章绪论 1 1 切换系统的综述 1 1 1 混杂系统简介 第一章绪论 大部分动态系统都具有混杂性的特点，如化工过程控制、汽车引擎控制、受 限机器人控制等等。混杂系统是指连续变量和离散事件同时存在，且相互影响、 相互作用的一类复杂动态系统，它是随着计算机科学、控制理论、数学等的进步 和人们对客观世界认识的进一步深入发展起来的。在这些复杂的系统中，系统的 状态将同时包含离散的或连续的变量，而不再是单纯某一个。离散变量也包含其 他一些具有逻辑决策性质的变量，而不仅是像以往数字控制中由连续变量离散化 得到。我们称这一类系统为“混杂系统 。在2 0 0 0 年，d e c a r l o sr 和b r a n i e k ym s t i 】 综述了混杂系统的稳定性和镇定问题。在此之前，两个最早的混杂系统模型分别 在19 6 6 年和19 8 7 年由w i t s e n h a u s eh s t 2 】和t a v e r n i n i 3 】提出。 现如今，混杂系统引起了国内外学者对控制论领域的普遍关注睁1 4 】。这主要是 由于非线性系统理论的不断完善和计算机技术的飞速发展，以及混杂系统在工程 实际中的广泛应用，如计算机网络控制系统等。这使得我们对这类复杂系统的研 究有了更深的理论意义与实际应用价值。 1 1 2 切换系统的描述 切换系统稳定性的分析和控制器的设计得到了越来越广泛的关注【1 5 , 1 6 ，也使 得对这类重要的混杂动力系统研究和发展【4 , 1 7 - 1 9 】有了长足的进步。近十年来，切换 系统被重视的原因主要有三个方面：第一，切换系统本身有着广泛的应用背景， 许多实际系统可以建立为切换系统的数学模型；第二，与一般的混杂系统相比， 切换系统易于设计和分析，有着相对简单的结构；第三，切换系统可用作一般混 杂系统的简化模型，这为研究一般的混杂系统提供了理论启示和借鉴。典型的切 换系统由一组连续( 或离散) 时间子系统和一条决定子系统之间如何切换的切换 规则组成，整个切换系统的运行受控于这条切换规则。这条规则被称为切换律、 切换信号或切换函数，通常它是依赖于状态和时间或状态和时间的一个分段常值 电子科技大学硕士学位论文 函数。 对于一个切换系统，切换律可分为几类【2 0 】： 1 ) o r ( t ) 是任意右连续函数，也就是它为任意切换； 2 ) o r ( t ) 是可设计的右连续函数，即它是能控的； 3 ) o r ( t ) 是一个随机的( 一般为m a r k o v ) 过程，即它按随机( m a r k o v ) 过程 演化； 4 ) 矿= o r ( x , t ) 是状态反馈切换律，即它依赖于状态。 由m 个子系统构成的自治切换系统由如下微分方程描述【2 1 】： 石( f ) = ( 工( f ) ) ， ( 1 1 ) 其中仃：【o ，佃) 专肘= 1 ，2 ，m ) 表示分段常值的切换信号，对每一个f m ， z ：彤专尺”表示充分光滑的非线性函数。 若z 为线性函数时，系统即为如下的线性切换系统 工( f ) = 4 x ( f ) ， ( 1 2 ) 相应的，由m 个离散子系统构成的自治切换系统可用如下差分方程描述 x ( k + 1 ) = ( x ( 后) ) ， ( 1 3 ) 当z 为线性函数时，我们得到如下的线性离散切换系统 x ( 后+ 1 ) = a x ( k ) 。 ( 1 - 4 ) 切换系统具有一定的复杂性和特殊性。切换系统的性质是与切换律密切联系 在一起的，而不是简单的叠加各个子系统的性质。切换系统性质的多种多样取决 于切换方式的千变万化。切换系统与通常的连续或离散系统相比，具有如下特殊 性质：尽管每个子系统都是不稳定的，但是通过构造一个适当的切换律可以使整 个切换系统是稳定的；反过来，如果每个子系统是稳定的，仍需对切换律限制才 能保证切换系统的稳定性。如果切换律选择不好，也可能导致整个系统不稳定【2 2 】。 因此，对切换系统而言，选取适当的切换律就极为重要。 1 1 3 切换系统研究现状： 近几十年来，切换系统的研究引起了许多研究系统控制理论学者们的兴趣。 尤其对切换系统的能控性与稳定性方面的研究更是活跃【2 3 2 7 】。一些优秀的综述性 文章【l 5 2 0 2 3 ，2 8 】对切换系统在控制设计与稳定性分析方面进行了评价和总结，并指出 2 第一章绪论 了下一步的研究方向。 与稳定性方面所取得的成果相比，切换系统其它的研究结论则相对较少。文 献 2 9 】利用极点配置方法研究了线性切换系统基于观测器的鲁棒镇定问题；文献 【3 0 - 3 3 讨论了切换系统全局最优解的优化控制问题；文 3 4 - 3 7 1 研究了切换系统的 可达性和能控性；文献 3 8 - 4 0 i $ 过状态反馈控制律的设置研究了切换系统的输出 跟踪问题；文献【4 1 使用b o d e 图给出了切换系统状态方程的表示形式；文献 4 2 】 研究了具有李代数性质的切换系统的稳定性问题；文献【4 3 4 5 】讨论了切换系统的 鲁棒以控制问题；文献 4 6 n 对切换系统的容错控制问题进行了深入分析。 1 1 4 切换系统研究方法 至今，我们主要采用l y a p u n o v 函数湖和多l y a p u n o v 函数方澍4 5 ，4 7 】来研究确 保切换系统稳定的切换律的存在条件和设计问题。由于切换系统在任意切换下均 渐近稳定的充分必要条件是它的子系统具有公共的l y a p u n o v 函数【5 】，所以寻求公 共的l y a p u n o v 函数的存在条件以及构造公共的l y a p u n o v 函数使切换系统在任意 切换下均稳定的研究中占据了相当的地位。线性矩阵不等式( l m i ) 4 3 - 4 6 方法的出 现，使线性不确定系统的鲁棒问题的研究得到了更广泛的重视和应用。另外在研 究切换系统在受限的切换律下的稳定性问题和构造一个使切换系统渐近稳定的切 换信号时也广泛使用凸组合技术【1 ，5 】和线性化技术【4 8 ，4 9 1 。m o r s e ，h e s p a n h a 和m o r s e 分别给出平均停留时间方案唧】和停留时间方案【5 l 】得到了在稳定的线性子系统之间 进行慢切换或平均意义上的慢切换就能保证线性切换系统的稳定性。此外，还有 扩张自适应镇定器【5 2 - 5 4 1 、l a s a l l e 不变原理【5 5 1 、微分包含【5 6 1 、基于观测器的镇赳5 7 , 5 8 】 及切换l y a p u a o v 函数【5 9 】等方法。 1 1 5 切换系统应用领域 切换系统在实际生活中有着十分广泛的应用，例如：输电系统：变电站的切 换系统，控制用电设备进入或撤出的系统等【6 0 6 1 】；基于逻辑的模糊系统切换控制 6 2 , 6 4 】；运动机器人、飞行器队型等【6 3 】；汽车工业、车辆及交通控制【删；另外还有， 大量用于自适应镇定控制和改进过度过程的响应的不同控制器切换的控制技术， 像：混杂系统多控制器监控【6 4 , 6 5 】；基于多模态的自适应控制【6 6 】；环境驱动的切换 控制( 边界、相对阶病态点等) 6 7 , 6 8 】等许多实际系统中。 电子科技大学硕士学位论文 1 2 鲁棒控制和以控制理论的发展概况 由于某些实际中难以排除的因素和建模中采取的简化模式，使得系统模型总 是包含着某种不确定性；另外，由于环境因素的影响，也可能导致系统参数的扰 动。这种实际系统受控于系统模型得到的控制器的情形，有可能导致实际控制系 统出现不稳定的状况从而达不到期望的性能指标。通常把这一类理论性问题称为 控制系统鲁棒性问题。我们称控制系统相对于系统误差或参数扰动是具有鲁棒性 的，如果系统对参数扰动或标称模型参数一个邻域内的系统误差仍保持期望性能 值或仍为渐近稳定。 鲁棒控制理论包含的两大类问题，即鲁棒性分析问题和鲁棒控制器设计问题。 鲁棒性分析是根据给定的标称系统以及它的不确定性，找出保证系统鲁棒性所需 要的条件；而鲁棒控制器设计问题就是基于鲁棒性分析得到的结果，根据给定的 标称模型以及其不确定性的某一描述，来设计一个控制器u ，使得原系统和u 构成 的闭环系统都满足期望的性能要求。任何系统都具有一定的鲁棒稳定性。关键是 我们在分析某一系统时，所能够允许的不确定性的存在范围究竟有多大，或者在 已知这个范围的前提下，如何设计一个使闭环系统具有所期望鲁棒性的控制器。 在美国控制年会上，d o y l e 等人通过著名的d g k f 论文【6 9 】，证明了可以通过 解两个代数r i c c a t i 方程而得到以设计问题的解。1 9 9 2 年，随着d o y l e 等人 ( f e e d b a c kc o n t r o lt h e o r y ) ) 一书的发表，标志着也控制理论的逐步成熟。二十世 纪九十年代，线性矩阵不等式( l m i ) 方法的开始兴起，进一步克服了代数r i c c a t i 方程在求解时依赖于参数调整的缺点，从而标志着以控制理论解法的完善，使其 应用于切换系统成为可能。现代控制理论研究中的重要方向之一是以控制理论的 发展，玩性能也成为评价系统好坏的一项重要性能指标【7 0 】。用玩控制理论来解 决切换系统鲁棒性的分析与综合问题是近期的一个研究方向。 玩控制理论具有以下几个特点：( 1 ) 克服了现代控制理论和经典控制理论各 自的不足，建立了在频域上进行回路整形的技术和手段，使状态空间方法和经典 的设计理念融合在一起；( 2 ) 把控制系统设计问题转换成以控制问题，因此更接 近实际情况，满足了实际需求；( 3 ) 充分地考虑到不确定性给系统带来的影响， 给出了构造鲁棒控制的设计方法，这样在优化了某些性能指标的同时又能保证控 制系统的鲁棒稳定性；( 4 ) 以控制是一种比最优调节器更加直接的优化控制理。 因此，自从以控制理论1 9 8 7 年获得广泛研究以来，现已广泛应用于实际，特别 4 第一章绪论 是m a t l a b ，s i m u l i n k 等商业软件的应用，使玩控制理论更是极大程度的满足了实 际的需求。 到目前为止，也控制理论已被广泛用于倒立摆、柔性臂、交通调速系统以及 空间飞行器的姿态控制中，相信随着该理论的不断完善，其有效性必将得到越来 越多的证实。 1 3 非线性切换系统的研究意义 纵观整个控制系统理论学科的发展，从线性系统到非线性系统，从定常系统 到不确定随机系统，从时不变系统到时变系统，都是研究从简单到复杂，从特殊 到一般的过程。非线性切换系统( n s s ) 是连续变量动态子系统( c v d s ) 同某些 切换映射的结合。这类系统的典型例子包括受限的机器人系统r 7 1 】，计算机硬盘驱 动器【7 2 1 ，智能机器系绀7 3 】等。只要某些c v d s 的状态满足某种条件，切换就会出 现。由于切换系统的实用性，近年来对它的分析与控制设计成为了控制领域研究 的热点问题之一。许多实际的物理系统都可以用切换系统模型描述。另外，这些 研究还满足了智能控制飞速发展的需要，因为智能控制的设计方法是基于在不同 的控制器之间进行切换的思想。这些控制技术在近年来得到了广泛的应用，尤其 是在自适应领域，既实现了系统的稳定性，又改善了传递响应。 1 4 本文的主要工作 1 4 1 研究的内容 本文对一类非线性切换系统的稳定性进行了分析。主要讨论有时滞和扰动的 非线性切换系统的稳定性和也性能。利用l y a p u n o v 函数、微分不等式等方法， 得到了非线性时滞扰动切换系统指数稳定、鲁棒可镇定以及具有风干扰抑制度厂 的二次稳定的充分条件，并利用s c h u r 补引理和变量替换方法将此条件归结为求解 线性矩阵不等式问题，得到了鲁棒动态输出反馈控制器。 1 4 2 本文安排如下 第二章主要探讨了非线性时滞切换系统的指数稳定性。在非线性函数满足一 5 电子科技大学硕士学位论文 定约束条件的情况下，通过常微分方程常数变易公式和h a l a n a y 不等式，利用微分 方程不等式方法，得到了切换系统分别依赖于时滞项系数矩阵和时变常数的指数 稳定的两个充分条件。 第三章进一步在已有切换系统理论基础上，研究了一类非线性时滞扰动切换 系统的鲁棒风动态输出反馈镇定问题。在非线性扰动函数满足约束条件下，利用 l m i 技术、变量替换方法和l y a p u n o v 函数方法，设计了此类系统具有鲁棒也性 能的状态反馈控制器的设计，并给出了鲁棒稳定且具有玩性能的充分条件。 第四章探讨了一类非线性离散时滞扰动切换系统的具有矾干扰抑制度y 的 二次稳定性问题。利用l y a p u n o v 函数方法给出了系统具有风干扰抑制度7 的二次 稳定的一种定义，并结合s c h u r 补引理，经由l m i 技术给出了这类非线性系统也 意义下具有干扰抑制度y 的二次稳定的充分条件，并将此条件归结为求解线性矩阵 不等式( l m i ) 问题。 第五章总结全文，对未来工作提出了新的设想，以便更加深入的对切换系统 的理论与实际问题进行研究。 1 4 3 本文采用的方法 本文主要利用l y a p u n o v 函数方法、完备性条件、变量替换法、微分方程不等 式方法，同时结合线性矩阵不等式( l m i ) 技术来处理非线性时滞切换系统、非线 性时滞扰动切换系统的指数稳定性、二次稳定性及其鲁棒也镇定问题。 6 第二章时滞切换系统的指数稳定性 第二章时滞切换系统的指数稳定性 切换系统的稳定性问题是目前研究最为热门的领域之一，这主要是由于稳定 性是一切系统实际可应用的最基本要求，时滞、扰动与切换是导致系统失去稳定 性的重要因素，它们相互作用可能导致复杂的动力学行为。切换系统的非连续性 与时变性取决于切换序列的影响，这是其区别于一般时变系统的本质所在。无时 滞条件下，文献 7 4 基于包含原点的凸多面体的m i n k o w s k i i 泛函所诱导的非二次 型l y a p u n o v 函数，给出了系统在任意切换序列驱动下一致渐近稳定的充分必要条 件；但由于其结论是非构造性的，求解比较复杂【7 5 l 。基于二次型l y a p u n o v 函数的 相应结论较为保守，但是通过分析l y a p u n o v 方程的代数与几何特征，可以刻画子 系统存在公共l y a p u n o v 函数的结构属性。 本章将时滞项作为线性常微分方程的扰动项，借助常数变易公式与h a l a n a y 微分不等式，寻求将切换系统稳定性分析方法推广至时滞情形的条件。结论说明， 在时滞项满足约束条件的前提下，l y a p u n o v 特征结构分析方法仍然适用。 2 1 问题的描述及预备知识 考虑如下的不确定非线性时滞切换系统 ：x ( f ) = 以( 。) 石( f ) + 吃( f ) x ( t 一，) + q ( ，) 厶。) ( 力 ( 2 一1 ) 其中，x r “为系统的状态；右连续分段常值函数o r ：f o ，+ o 。) 专n = 1 ，2 ，) 为切 换策略；o - ( t ) = i 表示在t 时刻第i 个子系统被激活；4 ，e ，q 为相应维数的定常矩 阵；z ( x ) r ”为未知的连续函数向量( 满足z ( o ) = 0 ) 。显然，系统( 2 1 ) 是下 述个不确定非线性子系统在切换策略作用下生成： f ：x ( t ) = 4 x ( t ) + 置x ( t 一，) + q z ( x ) ( 2 2 ) 记号e ，：_ c ( 卜，o ，r ”) 表示由 一，0 】映入彤的具有一致范数的连续函数构 成的b a n a c h 空间。誓q ，含义为：誓( 伊) = x o + 秒) ，0 【一，0 】。| | 表示尺”的欧式范 数。表示e ，的一致范数及矩阵的f r o b e n i u s 范数，即对弘q ，有 0 x , i l = s u pl x ( f + 臼) i 。d + 为实值连续函数的右导数算子。 7 电子科技大学硕士学位论文 假设l 对系统( 2 - 2 ) ，存在个已知定常矩阵形r 一，使得未知非线性函数 向量z ( 功，对于坛r “，满足约束条件忱 ) l i 0 彬硎，v f 。 引理2 ( 常微分方程常数变易公式) 如果y ( t ；t 。，y ( t 。) ) 为齐次线性微分方程 y ( t ) = 彳( f ) y ( f ) ，t - t o ，在气时过i 氧y ( t o ) 的初值问题的唯一整体解，那么 z ( f ) = y ( f ；气，工瓯) ) + y ( 厂( f ) ) d f ，t _ t o ( 2 3 ) 为非齐次线性微分方程x ( t ) = 彳( f ) z ( f ) + 厂( f ) ，t 岛，在t o 喘x ( t o ) 的唯一整体解， 其中厂：k ，。0 ) 专足4 为局部可积函数。 引理3 ( h a l a n a y 不等式) 设， 0 ，a b 0 ，u ( t ) 0 为连续实值函数，满足 微分不等式 d + “( f ) - a u ( t ) + bs u p ”o + d ，t t o ( 2 4 ) 一，伊s 0 则有， u ( t ) s u pu ( t o + 秒) p p 咱，t - t o ， ( 2 5 ) 其中 0 为满足一口+ 6 纩= 0 的唯一正解 2 。2 主要结果 本文出发点在于建立时滞项与非线性项的约束条件，使切换系统稳定性分析 的方法得以推广，通过不同的解析技巧，分别得到了与时滞项系数矩阵相关的和 与时滞相关的系统稳定性的结论。 2 2 1 依赖于时滞项系数矩阵的稳定性判定定理 定理2 1 对于给亭的切换序列，如果线性子系统p ( f ) = 4 y ( 咦f f o e 在其 驱动下指数稳定，即存在依赖于切换序列的常数y 0 ，k 1 使得 i y ( f ) l t o ， ( 2 6 并且时滞项系数矩阵满足如下约束条件： 日 t o ， ( 2 9 ) 其中z ( f ) - b t x ( t 一，) ，t 气，注意到日的意义，于是对v f 均有如下估计 i z ( f ) i - h i - fi ，t t o ( 2 1 0 ) 设初始条件为气= e ，依据引理2 可知系统( 2 9 ) 的解具有如下构造 缸f ) = y o ；t o ，( f o ) ) + y ( z ( r ) 矽f ，t t o ( 2 1 1 ) 对于t t o ，结合( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 知 i x ( t ) i _ l y ( t ；t o ，矽( 训+ f ，z ( f ) ) p r 恕一，。一f o i 矽( 气) l + 口一确i z ( f ) b d f 鲰- ，( f - f o i + 胁一垧 1 l x , l l b ( 2 _ 1 2 ) t 陶造 t o 一，佃) 上的连续函数如下 吲矽( f ) i ，t o - ， t 0 ，k 1 使得 l y ( f ) i 后l y ( 气) i e 一，咱，f 气， 并且时滞项系数矩阵与非线性项系数矩阵满足如下约束条件 h + 兰(一16)hw 21 6 + _ t o ( 2 1 8 ) 设初始条件为屯：e ，依据引理2 可知，当f ，+ 1 ) 时，第f 个子系统被 激活，此时系统( 2 - 2 ) 具有如下结构形式的解 工( f ) = y ( f ；，矽( 气) ) + j ：y ( z ( f ) + ( f ) 矽r ， ( 2 1 9 ) 对( 2 - 1 9 ) 两边取范数，由式( 2 - 1 8 ) 及假设l ，我们有 ) i ；气，( 训+ ：r ，z ( f ) + & ( f ) ) p f k e - r ( t - t o ) l 矽( 气) i + k e - r ( t - r ) i z ( f ) + ( f ) p f _ i c e - r ( t - t o ) ) l + k e - ，h i z ( f ) p 件j ：娩- y i t - r ) l 岛( f ) p f t o 一，因此对( 2 2 1 ) 式两端微分得到 。( f ) = 一肚p 一，( f 咱) k e _ ，( f 嘞( 眵( 气) l + e r ( r - t o ) ( 形+ 日) o 阿f ) 仡吖 e r “- * ) ( h + w ) l l x , i = - y u ( t ) + k ( h + w ) m l - t o ( 2 2 3 ) 其中z 为满足2 一y + 尼( 日+ w ) e = 0 的唯一正解。 证毕 注1 ：当上述两个切换系统的切换序列为任意，且时滞项系数矩阵和非线性项 分别满足相应的约束条件时，指数稳定的充分条件仍然成立。 2 2 2 依赖于时滞的稳定性判定定理 定理2 3 对于给定的切换序列，如果线性子系统p ( f ) = 五y ( 吐f 气 二。在其驱 动下指数稳定，即存在依赖于切换序列的常数7 o ，k i ，使得 i y ( f ) i 妇州嘞i y ( t o ) l ，t t o ，并且时滞常数满足如下约束条件 ，- t o 其中，4 一- 4 + b , ，且z ( f ) ：_ 电， 以，) “力+ 吃( ，) 工p 一，) f f 。 根据g 的意义，对v i ，有如下估计 j f ( t ) l _ t o ( 2 2 7 ) 结合( 2 - 2 6 ) ( 2 - 2 7 ) 知 i x ( t ) l _ t o ( 2 3 1 ) 其中0 名 o ，k 1 ，如果线性子系统 p ( f ) = 五y ( 吐f 气e 。在其驱动下指数稳定，并且时滞常数对系数矩阵满足如下约 束条件 二(2m 2 - 3 2 ) _ t o ( 2 3 4 ) 其中：互= 4 + 局，蜀( f ) = 一忍， 以( ，) f ) + 吃( ，) x ( r - r ) d f ， z ( f ) = q z ( f ) 一忍c ：( ，) ，( ，) ( r ) d f 】，f 气 注意由g ，h 的意义及假设1 ，我们有如下估计式 i 舅( f ) l 日，g0 t 畛r ，g h i i x , 忆，f 气 电子科技大学硕士学位论文 f , ( t ) i - i l c , i l l l w , l l l 石( t ) l + l l b , c , i il 形, lr _ ，蚓盼 0 彬i i ( i l q8 + ，i 限c ：| 1 ) | k 1 1 ( 2 3 5 ) 其中性| i = s u p 1 顶f + 功l o 设初始条件为气= 妒q ，依据引理2 可知，t e t k ，t k + 1 ) 时，第f 个子系统被 激活，于是系统( 2 3 4 ) 具有如下形式的解 x ( t ) = y ( t ；t o ，矽( ) ) + y ( f ；f ，z ( f ) + 岛( f ) 矽f ， ( 2 3 6 ) 对( 2 3 6 ) 两边取范数，注意到m 的取法和式( 2 3 5 ) ，我们有 l m ) l 气，( 酬+ j ：乃z ( f ) + g 。( f ) ) 眇 t o 一，因此( 2 3 8 ) 两端微分得 到 d + 甜( f ) = 一y u ( t ) + k e - r ( , - , o ) m e 巾i i x , 1 1 。 = - r ( t ) + k m i l = , l l 。 一r u ( t ) + k ms u p “( f + ( 2 3 9 ) 利用引理3 我们有 i j c ( f ) is “( f ) s u p e 一声一= 七s u p i ( f ) ie 一声“一 ( 2 4 0 ) 1 4 第二章时滞切换系统的指数稳定性 其中为满足一r + k m e 矽= 0 的唯一正解。 证毕 注2 对上述两类切换系统，证明过程说明，当时滞项和非线性项分别满足相 应的约束条件时，指数稳定的充分条件对任意切换序列均成立。 注3 根据论证过程可知，定理2 1 ，2 2 ，2 3 与2 4 对于更为一般的具有时变 系数矩阵的时滞系统也都是成立的。定理通过切换系统的稳定性可以通过解析子 系统自身及其相互间的结构属性加以刻画的特殊性，将l y a p u n o v 方程特征结构分 析的方法推广到了带有时滞的情形。因此，本文结论对于切换系统来说是构造性 的，即可以通过解析方法检验其条件；但对于一般时变系统，却难以构造相应的 解析结论。 注4 较之定理，注1 、2 说明在条件构造中的指数衰减率只取决于子系统本身 的结构，而与切换序列无关。 2 3 本章小结 本文用h a l a n a y 微分不等式及微分方程常数变易公式作为主要的理论依据，通 过线性切换系统，分析了非线性切换系统中非线性扰动项和时滞现象对于系统稳 定性的影响；分析方法突出了切换系统的时变性特点；结论说明l y a p u n o v 函数方 程不仅可以分析模型不确定的鲁棒稳定性问题，同样也还具有刻画系统承受时滞 扰动的能力。 1 5 电子科技大学硕士学位论文 第三章非线性切换系统的鲁棒也控制 玩控制理论的发展，已经使其成为现代控制理论研究中的一个重要方向之 一，矾性能也作为一项极其重要的系统性能指标而被广泛应用。d o y l e 等证明了 可以通过解两个适当的代数r i c c a t i 方程得到巩设计问题的解【7 引，这标志着矾控 制理论成熟。玑控制理论的发展与解法的完善，将更大程度的促进其在切换系统 上的应用。然而，与线性切换系统稳定性的分析与设计及玩控制理论的发展相比， 关于非线性切换系统的鲁棒也控制的研究相对较少。 本章讨论了一类不确定时滞扰动切换系统的鲁棒玩控制问题。在任意切换策 略下，主要利用l m i ( 1 i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ) 技术，给出了闭环系统渐近稳定且 具有，鲁棒性能的某种充分条件。 3 1系统的描述及预备知识 考虑如下非线性的扰动时滞切换系统： r x ( f ) = 4 x ( f ) + 以x ( t d ) + 蜀“( f ) + c j l ( x ) + d l c o ( t ) ( 3 1 ) 【z ) = i - i i x ( t ) + t z o ) + q 彩( f