（应用数学专业论文）非参数利率期限结构动态模型及衍生品定价.pdf

论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均己在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名 论文使用授权声明 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 各邋新虢陟隰必 复旦大学硕士学位论文 摘要 本文在现有利率期限结构理论的基础上，利用随机过程原理和非参数核估计 法，建立非参数利率期限结构动态模型。与参数化模型相比，非参数模型事先不 进行任何概率分布和参数形式的假设，依靠数据说话，使模型最大程度上拟和数 据。 文章从短期利率马尔科夫随机过程和科尔莫戈罗夫正倒向方程中，推出随机 过程瞬时均值、方差和边际密度的关系；用非参数法估计出边际密度和瞬时方差 的估计量，然后利用边际密度中的信息估计出瞬时均值的估计量。建立的非参数 利率期限结构模型利率只能是正的。为了计算证券的价格，文章用近似方法的计 算出无风险利率市场价格，并排除了套利的可能性。 本文以上海证券交易所国债回购利率数据为样本，对模型进行了实证研究， 并与参数化模型i c e k 模型和c 取模型作了比较。研究结果表明，非参数模型 能更准确描述国债利率期限结构状况，因此在利率衍生品定价上也就更准确。文 章最后给出了用参数化和非参数化模型定出的利率衍生品价格的例子。 关键词：利率期限结构：衍生品定价；非参数核估计；离散时间取样 复旦大学硕士学位论文 a b s t r a c t t l l i sp 印e rd e v e l o p san o n p a r a n l e t r i cm o ( 1 e lo f i n h ；r e s tr a t et e ms t m c t i l r ed y n a m i c s b a 卵do n as t o c h a s t j cs p o tr a _ t e p m c e s s觚dn o n p a r 锄e t r i c k e m e le s t i n l a t i o n c o m p a r e dt op a r a m e m c 加d d c l ，n o n p a i 锄i 州c 劬c t i o nh u r d l e st 1 1 ew e a k n e s so f t r a d i t i o n a 】p ，拄狮e t r i c 脚d e l ，w h 主c hp r c s u m e st h ep f o b a b i l i t ) ，d i s t r i b u t i o no fi n t e r e s ta n d t h ef o mo fp a r a m e 衄s ，a n d 也en o 印a r a m e t r i cm o d e la l l o w sf o rm a x i i l l a lf k x i b i l i 够i i l f i t c i i l g i n t o t l l e d a t a t h ep 印e rd e d u c e sn l er e l a t i o n s l l i pa m o n gt h ei n 蛾m t a i l e o u sm e 龇、v a r i 锄c ea i l d m a r g i n a ld e n s i t yf 如mt l l em a r k o vp r o c e s so f t 圭l ei n t e r e s tm t ea n dt h ek o l m o 掣r d ve q a t i o n a tf i r s t ，t 1 1 e 脚e re s t i m a t et h ei 1 1 s t a r l t a n e o u sv a r i 锄c ea n dt h em a r g i n a ld e l l s 时 b y 也en o n p a r 锄e t r i cm e m o d ，m e nu s et h ei n f o 咖a t i o no ft l l em a r g i n a ld e n s i t yt o e s t i m a tt h ei n s t a l l t a n e o u sm e 觚f o rp r i c i n gm es e c u r i 劬t l l ep a p e ru s ea p p m x 如1 a t e m e m o dt oc o m p u t en l em a r k e tp r i c eo f i n t e r s tr a t et l l a tp r c c l u d e sa r b i r a g e 叩p o r t i l i l i 够 1 k a s u r yb o i l d sr e p i l r c l l a s i n gi n t e r e s tr a c e sb ys h 锄曲a is e c 嘶t ye x c h a l l g e 黜 s a m p l c d 龋s o u r c ed a l ai nt h j sp a p e r e m p i r i c a lt e s th a sb e e nc o n d l l c t e dw i mt l l e e s 钯b l i s h e dn 伽p 聪瑚e t r i ci n 搬e s r a t et e l ms t n 】蛐鹏b yc 鲫】p a r i s o nw i n lt h e 够p i c a l p a r 锄e t r i cm o d e i s ，i e 铀i c e km o d e la n dt l l ec i rm o d e l ，“i sf o l l l l dt 1 1 a ts e 仳i n ge n o r s c x i s ti nt h ep a r 锄嘶cm o d e l ，卸d l en o 印a r 锄e t r i cm o d e lc 锄d e s c r i b cc l l i n a s 仃e 嬲u r yb o n d si n t e r e s tr a t e st e m ls t n l c t i l r ei nam o r ea c c m a t ew a y t l l a nt h et r a d i t i o l l a l p a r a m e 试cm o d e l s s om en o n p a r 锄e t r i cp r i c cf o rb o n do p t i o ni sm o r ea c c l l r a t e 恤m t l l ep a r a m e t r i cp f i c e k e y w o r d s ：t e 咖s t r u 【c t l 雌o f 砷e r c s tm t e s ，d e r i v a t i v e 面c i n g ，n p 猢e t r i c 蛔n c le s t i m a t i o n ，d i s c r 如- t i m es 锄p l i n g 2 复旦大学硕士学位论文 引言 当前，我国正在大力发展债券市场，国债和企业债券将得到迅速发展，各种 隐含有某种期权特性的混合债券产品也将层出不穷。利率期限结构在这些金融产 品及其衍生品的设计和定价中起着重要作用。 在全球金融市场，利率衍生证券是交易非常活跃的金融产品。由于整条利率 曲线同时随机运动和其动态的复杂性，利率衍生证券的定价比其他衍生品( 股票 期权，指数期权等) 的定价更难。所谓利率期限结构，是指利率与金融资产期限 之间的关系，是在一个时点上因期限差异而产生的不同的利率组合。利率期限结 构理论的发展主要经过了两个阶段。2 0 世纪7 0 年代末以前，主要是定性描述， 这期间主要有纯预期理论、流动性偏好理论和市场分割理论等。2 0 世纪7 0 年代 末以后主要是定量模型阶段，这一期间，随着随机过程理论在金融研究中的发展， 利用随机模型建立了一些利率期限结构模型。 利率期限结构的定性描述理论中主要有三种。第一，纯预期理论。纯预期理 论认为，利率曲线是远期利率序列的函数，也即是说期限结构中隐含的远期利率 是对未来即期利率的无偏差的估计。用，表示从第f 段单位时间期初开始到第， 段时间期初结束这段时间的远期利率，：，表示距离现在以期的即期利率( 即零息 票利率) 则 l + = 可( 1 + o 石) ( 1 + i 五) ( 1 + 2 五) ( 1 + 。一l z ) 因此，在特定的期限内，不同期限策略产生的预期收益率相同。第二，流动性偏 好理论。流动性偏好理论认为投资资者在投资决策时都偏好于流动性比较强的证 券，所以长期利率必然含有流动性补偿，从而高于短期利率。即 1 + ( 1 + o z ) ( 1 + i z ) ( 1 + 2 五) ( 1 + 。一i 工) 1 + = 板1 + o 彳) ( 1 + l 五) ( 1 + 2 石) ( 1 + 。- i 五) + 流动性溢价 第三，市场分割理论。该理论认为不同期限的利率水平是由各自的供求情况决定 的，彼此之间互不影响。这种理论认为不同期限证券的市场是互相分割开来的， 不同期限的证券难以相互代替。 利率期限结构定量模型开始于随机理论在金融研究中的应用。自v 如i c e k 建 复旦大学硕士学位论文 立单因子期限结构模型以来，利率期限结构模型研究和固定收益债券的定价研究 进入了随机过程时代。在连续时间金融学研究中，一般模型假设短期利率 舡，o 的动力学过程为扩散过程，即利率满足 咖= ( ) 硪+ 盯( ) d 彬 ( 丰) 初始条件为“。= ，这里形是一标准的布朗运动或维纳过程。函数( ) 和 盯2 ( ) 是该过程的瞬时均值和方差，分别称为扩散过程的漂移函数和扩散函数。 扩散过程是一种马尔科夫过程，这一过程变量的当前值与未来的预测有关，变量 的过去历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。金融变量的马尔 科夫性质与金融市场的弱型市场的有效性是相一致的，也就是说，一种金融变量 的现价已经包含了所有信息，当然也包含了所有过去的价格纪录。扩散过程的漂 移函数和扩散函数完全确定了( ) 式所描述的随机过程，因此确定这一随机过 程也就是估计确定它的漂移函数和扩散函数。 表一参数形式的利率期限结构模型 在利率衍生证券定价中，如何来估计( ) 中的扩散函数盯2 ( ) 是最重要的。 对于扩散过程( 宰) 中的漂移函数和扩散函数不同估计形式，尤其是扩散函数的 形式，产生了不同的利率期限结构模型。在v a s c i e k ( 1 9 7 7 ) 1 9 模型中假设即期 利率随机过程的瞬时方差为常数，而c i r ( c o x - i n g e r s o l l 一r o s s ) 6 模型假设瞬 时方差是利率水平的线性函数，也即标准差是利率水平的平方根函数。还有其他 复旦大学硕士学位论文 许多短期利率模型对瞬时均值和方差都做出了相应的参数形式假设，而这些模型 所作的假设却是相互排斥的( 见表1 ) 。每一个模型都试着抓住所观察到利率运 动的某一特性，但并没有任何理论根据说明采用一个模型会比另外一个模型好， 模型最终还是要经过数据的检验。 本文由( 丰) 中即期利率随机m a r k o v 模型和科尔莫格罗夫正倒向方程导出扩 散过程漂移函数、扩散函数和边际密度的关系，用非参数法求出扩散函数的估计 量和边际密度的估计量，并利用边际密度估计出瞬时均值。在对边际密度的估计 中，使用了数据集增补法，估计出的短期利率模型只允许正的利率存在，与实际 中名义利率中是正的相一致。而在v a s i c e k 模型中，利率可能是负的。为了计算 债券和利率衍生品的价格，除了需要估计马尔科夫过程中的瞬时均值和方差，还 需要计算出市场风险价格。文章采用近似方法计算市场风险价格，该方法同时排 除了套利的可能性。本文估计出的模型保持了简洁的结构，计算上易于处理，并 且在最大程度上和数据相拟合。在对模型漂移项的估计中充分利用了边际密度函 数包含的信息。 在实证部分，本文用上海交易所国债回购利率数据为样本，对非参数利率期 限结构模型进行了估计。为了比较，将v a s i c e k 和c i r 模型一起估计出来。非 参数模型估计出的漂移项和扩散项显示出很强的非线性，这与很多文献的结论相 一致，如1 9 9 2 年的c k l s 模型 7 。研究结果表明，非参数模型能更准确描述国 债利率期限结构状况，因此在利率衍生品定价上也就更准确。文章最后给出三个 模型对债券期权定价的实例。 复旦大学硕士学位论文 第一章非参数利率期限结构模型 1 1 随机微分方程中瞬时均值、方差和边际密度的关系 在连续时间金融学中即期利率的动态模型为如： 咖= ( ) 出+ 盯( ，；) d 彬 初始条件为乩。b = 气，其中( ) 和盯( ) 为一元确定性函数，在一定正则性条件下 ( b a n o n ( 1 9 7 8 ) a 1 - a 4 ，见附录) ，方程( 1 1 ) 的解是马尔科夫过程。应用伊藤积 分，这一随机微分方程的解是存在唯一的。它的迁移密度函数是科尔莫戈罗夫倒 向方程 丢盯2 ( v ) 旦：旦字+ ( y ) 皇里字= 一旦! 学( 2 ) zcv。6vd f 科尔莫戈罗夫正向方程 垡! ! ：盟出型三三业一塑盟丝三出三型：一望垡三止三盟( 1 3 ) 2良2苏西 的唯一解。其中p ( = 工i = y ) 是在时间f 时，f = y 条件下，在时间f 时= x 的迁 移密度函数，p ( = x i = ) ，) = 万 一力( d i r a cd e l t af u n c t i o n ) 。在正则性条 件下，从上述方程中可知式( 1 1 ) 中马尔科夫过程的迁移密度函数完全由系数 ( ) 和盯( ) 决定。 当随机过程( 1 1 ) 是平稳的，也即存在一初始密度函数p ( ) 使得下式 p ( = x ) = r p ( = x i = “) p ( = 甜) 咖= p ( _ = x ) 对状态空阆任何z 均成立，在正则性条件下，对科尔莫戈罗夫前向方程两边同乘 以p 也= y ) 然后在o o 开始，在任何有限的时问内不可能以正的概率 达到，= o 一。 按照这一节介绍的方法，扩散过程( 1 1 ) 的非参数的扩散项和漂移项都可 以估计出来，而且模型只允许非负利率存在，下面采用计算市场风险价格的方法 排除了套利的可能。 1 3 市场风险价格的计算 若短期无风险利率c 遵循单因子模型，整条收益曲线将由短期无风险利率决 定。对收益曲线的动态化建模需要估计利率风险的市场价格。本节将以市场上两 种资产为例来近似计算市场无风险价格。 假设在时间，的到期日为r 利率衍生证券价格为p ( ，r ，r ) ，它的瞬时期望回 报为m ( ，f ，丁) ，瞬时标准差为s ( ，f ，7 ) ，由伊藤引理( 2 ) 箸署叫渊挑眙灯) 识 ( 1 1 2 ) 其中 脚( ，f ，r ) 尸= 只+ ( ) p + 去盯2 ( ) 易 ( 1 1 3 ) s ( ，r ，丁) p = 盯( ) p ， ( 1 1 4 ) 对单因子模型来说，所有利率衍生证券的瞬时回报是完全相关的。因此要排除套 利的可能，资产的风险溢价定正比于回报的标准差，设该资产的连续现金支付 复旦大学硕士学位论文 率为j ( ，f ) ，贝u 埘( ，r ，r ) = ，：+ 五( ，f ) 等一d ( ，f ) ( 1 1 5 ) 其中见( ，f ) 为利率风险价格a 这里设函数z ( ，；，f ) = 磊( i ，f ) 盯( ) ，在式( 1 1 ) 中， 考虑扩散过程的系数只为利率的函数，这里同样假设市场风险价格仅为利率的函 数，即旯( ) = 凡( ) 盯( ) 。将( 1 1 5 ) 式带入( 1 1 3 ) 式得 去盯2 ) 名+ 陋“) 一磊以) 仃( ) 】0 + 只胪+ 护= o ( 1 1 6 ) 并满足一定的边界条件和正则性条件( d u f f i n e ，1 9 8 8 1 0 ) 从方程( 1 1 6 ) 中 可以看出，对衍生证券的定价需要知道函数( ) ，盯( ) 和市场风险价格磊( ，；) 。 很多文献对风险价格提出过各种形式的假设，v a s i c e k ( 1 9 7 7 ) 1 9 假设 五( ，；，f ) = 五( 常数) ，c i r ( 1 9 8 5 ) 6 模型假设2 ( ，力= o 。本文采用近似计算的 方法来计算市场风险价格。考虑如下扩散过程 d 墨= ( 置) 面+ 盯( z ) d 形 这里的扩散过程也是一维马尔科夫扩散过程，唯一不同的是 z ) 是一随机过程， 不仅仅代表即期利率过程。定义算子舻， 玎( x ，f ) - l i m 塑兰型堑! l 丛塑 ”7 寸f ( 1 1 7 ) = 笪笋州x ，孚警+ 扣x ，堡掣 对任一函数，条件期望置( ，( z 。f + ) ) 可以写成如下泰勒展式形式： e f ( ，( z 。，+ ) ) ：厂( 置，f ) + 矿，( 置，f ) + 昙矿z ，( 置，f ) 2 + 上 ( 1 1 8 ) + 土矿，( 置，f ) + d ( “) 如果我们设盯= o ，( 1 1 8 ) 式就简化为标准的泰勒展式( 非随机) 。 市场风险价格是与额外回报相关的，假设p ( ，r ，五) ，p 2 ( ，f ，正) 是两种无 息债券的价格函数。考虑如下函数 复旦大学硕士学位论文 枷卿= 黜一黜 n 是资产l 比资产2 相比的额外回报。由算子p 的定义，可以得出： 归南眺咖扣删h “：。， 一两高只2 _ 比) 耳2 _ 言一( x ) 秽】 由( i 1 6 ) 式将方括号的表达式代替下式， 妒：) ( ，) 2 旯( ) 南一j ；若专i 万】 由( 1 1 4 ) 式可以得 班等眇轳】 其中 以俨等 是资产f 的瞬时波动率。由a ( ) = 凡( ) 盯 ) 和( 1 1 8 ) 式，得到， 讹) = 顽石当而【去历( 醌一醌) 一三妒2 如( ) 2 一妒3 厂( ，f ) 3 一】 其中，毗。是资产f 在持有期时间f 到时间f + 的内的回报。这样便可导出a ( ) 的一阶近似为 凡( 伊面吒赢巨( 砒一础a ) + d ( ) ( 1 2 1 ) 更高阶的近似可如一阶近似同样得出。 若短期无风险利率c 确实为式( 1 1 ) 中描述的单因子模型，市场风险价格 复旦大学硕士学位论文 也只是利率的函数，给定足够的数据，以此估计出的，盯和五的真实函数形式， 会自动排除任何套利的可能。当数据量有限，对这些函数进行估计，就可能导致 套利的存在( i n g e r s o l l1 9 8 7 ，p p 4 0 0 一4 0 1 1 3 ) 。在单因子模型中，要排除套 利人合资的额外回报必须与它的标准差成比例，由等式( 1 1 3 ) 和( 1 1 4 ) 中可 得出，只要盯 ) o ，这就等价于对漂移项必须满足( 1 1 6 ) 式。当以) = o ， 由( 1 1 4 ) 式知只尸是未定的，而利率衍生证券的标准差为零，它的额外回报 也为零。所以要排除套利，必须满足以下两式 d m ( ，f ，r ) = + 兄( ) ! 詈一d ( ，r ) ( 1 2 2 ) 五( ) = o ，矿仃( ) = o ( 1 2 3 ) c o x ，i n g e r s 0 1 1 ，r o s s ( 1 9 8 5 ) 6 提出的存在套利机会就是因为没有满足( 1 2 3 ) 式导致的。当我们利用( 1 2 1 ) 式估计时，由于五( ) = 凡( ，；) 盯( i ) ，所以旯( ) 自 动满足上面的第二个条件。因此，文章用这种方法估计函数，盯和力来对利率衍 生证券来定价，排除了套利的可能。 用以上方法对期限结构模型估计有几方面优点，首先用非参数法估计期限结 构的漂移项( ) 和扩散项仃( ) 使得两项允许非线性，并最大程度与数据相拟合； 其次，模型只允许利率是正的，而不会出现负的利率：第三模型排除了套利的可 能。 复旦大学硕士学位论文 第二章利率衍生证券非参数法定价 利率衍生证券定价的标准方法有两种，一种是偏微分方程方法，另一种是蒙 特卡洛模拟法。求解偏微分方程有有限差分法、有限元法等一些数值算法。当这 些数值算法比较稳定，并且计算时间也不是很长时，证券的定价一般使用偏微分 方程求解。但是，在金融应用中，如果要计算在某些时点上的期权价格，或者偏 微分方程方法由于问题的复杂性计算上难以实现，蒙特卡洛模拟法是很有优势 的。 2 1 偏微分方程法 用p ( r ，f ，r ) 表示证券的价格，它仅是无风险利率= ，和到期日r = 丁一，的函 数。用伊藤引理，可以得到有关证券价格的如下偏微分方程： ! ! 拿旦+ 圭盯2 ( r ) ! 笙：! ；l i 乒旦+ p ) 一九p ) 盯o ) ! ! ! ：卺拿旦 ( 2 1 ) 一，( ，r ) + d ( ，) p ( ，f ，r ) = o 其中d ( ，r ) 是证券连续现金流支付率。这一方程是任何衍生证券价格的基本方 程，证券的价格取决于即期和率，和证券到期日r 。在己知初始( 或终端) 条件 和边界条件，可以通过求解偏微分方程来得到证券价格尸( ，f ，7 1 ) ，偏微分方程的 解也可以积分形式表示出来( a i t s a l h a l i a ，1 9 9 6 a 3 ) 计算出风险价格五( ) 和通过参数估计出( ) 和仃( ) ，衍生证券的价格就可 以通过对偏微分方程求数值解得出 1 。在烈) 给定的条件下，可推出衍生证券 价格的渐近分布， 玎“2 ( r ，f ，r ) 一尸( ，r ) ) l 五( 厂) ! _ 【，三】( o ，k ，) ( 2 2 它的条件浙近方差为， k ，f r 刀= v a r 【v ( 刃( ) 】+ 2 c o v ( v ( r ，f 刀( t ) ，v ( ，刀( 】“i ) ) ( 2 3 ) 复旦大学硕士学位论文 其中薯= ( ，也) ，表示标准正态分布，表示在局部时间过程。【，q 是正 态分布随机变量和局部时间过程的混合分布ak 。r ) ( ) 是有左极限右连续的函 数。由于k 。依赖于数据序列的相关结构和v ( 。n 的表达式非常复杂，k 1 l n s c h 1 9 8 9 1 4 年提出b l o c k w i s eb o o t s t r a p 方法来计算相关标准差。这里要注意的 是当样本频率固定时，价格的渐近分布为正态分布，而不需要额外加上扩散局部 时间过程。 2 2 蒙特卡洛模拟法 另一种计算衍生证券价格的方法是在风险中性概率下样本路径的蒙特卡洛模 拟法，在风险中性概率下，即期利率的随机过程为( 2 ) ： d i = ( ( i ) 一九( i ) 仃g ) ) 西+ 盯g ) d 形 ( 2 4 ) 这一扩散过程也是一维马尔科夫过程，用市场风险价格对漂移项进行了修正。 所有的样本路径都是从时间f ，c = ，开始，到到期日r 结束，用( 2 4 ) 式来 以，m 眵2 e x p 卜p ( 2 5 ) + fe x p f 衲 d ( 翻叫i = ，】 其中( ) 是证券到期日r 支付的现金流，证券价格尸( ， f ，r ) 通过对所有模拟路经 计算出的价格求平均得出。 样本路径的模拟是将时闯区间【o ，引进行力步离散，使用e u l e r 形式获得路 m2 ，一+ ( 璐，一) 一五“) ) ，加 ( 2 6 ) + 盯( 饬，。) ( 暇卅+ 1 ) m 一既m ) 其中学= r ，肼= o ，l ，疗一l 。模拟每一条样本路径犯”，o f 丁) 都需要模拟出一 族独立高斯随机变量( 睇m m 一孵，睇一睇州。) 。当所r 珂f 0 ( 3 ) p ( r ) = ( 1 c r 2 ( ，) e x p 【2 ( “) 舾2 ( “) 幽 ) 在( o ，+ m ) 的积分于边界收敛 2 ：静态密度函数p ( ，) 在( 0 ，佃) 严格为正，它也是初始随机变量的密度函数 a 3 ：观察值序列纯，f _ 1 ，力) 是严格静态一删扛f 馏序列，存在万 0 使得 七4 展葛石专0 。 a 4 ：( i ) 核密度置( ) 是光滑函数，在实数集r 上r 阶连续可微，其中2 ，s ， 而且e 置( x ) 出= 1 。 ( i i ) 当扛l ，2 ，一l ，e x 墨 ) 出= o ，而e 善7 足( 力斑o 后5 反石石专o ， 且e k ( x ) i 出 a o 。 a 5 ( 带宽的选择) ：当竹_ ，一0 时， ( i ) 估计扩散函数需要；_ o ，以斗o d ，硝寸o ( i i ) 估计边际密度函数需要：专o ，”_ ，碟斗o ( i i i ) 对上述两个函数导数的估计要求：吃一o ，玎霹q ，硝专。 墨呈莶堂堡主堂垡堡奎 参考文献 i 】李奥奈尔马特里尼，固定收益证券，机械工业出版社，2 0 0 2 2 李金和，利率期限结构与固定收益证券，中国金融出版社，2 0 0 5 3 a “一s a h a l i a ，y ”n p a r 舳e t r i cp r c i n go fi n t e r e s tr a t ed e r i v a t i v es e c u r i t i e s ” e c o n o m e t “c a ，6 4 ( 1 9 9 6 a ) ，5 2 7 5 6 0 4 b a n o n ，g“n o n p a r 鲫e t r i ci d e n t i f i c a t i o nf o rd i f f u s i o np r o c e s s e s ”s i ij o u 功a 1 o fc o n t r o la 1 1 d0 p t i m i z a t i o n ，1 6 ( 1 9 7 8 ) 。3 8 0 3 9 5 5 b o y l e ，p ，m b r o a d i e ，a n dp ，g l a s s e r m a n“m o n t ec a r l om e t h o d sf o r s e c u r i t y p r i n c i n g ”j o u r n a io fe c o n 彻i cd y n i c s dc o n t r 0 1 ，2 i ( j u n e l 9 9 7 ) ，1 2 6 7 一1 3 2 l 6 ( = o x ，j o h n c ，j o n a t h a ne i n g e r s o l l ，j r ，a n ds t e p h e na r o s s ，1 9 8 5 ，at h e o r yo f t h et e 珊s t n l e t u r eo fi n t e r e s tr a t e s ，e c o n o m e t r i c a5 3 ，3 8 5 - 4 6 7 7 c h a n ，k c ，ga k a r 0 1 y i ，fa l 0 n g s t a f f ，a n dab s a n d e r s “a 1 1 p i r i c a lc 伽p a r i s o n o fa l t e r n a t i v ed e l so ft h e s h o r t t e l l ni n t e r e s tr a t e ”j o u r n a lo f f i a n c e ，4 7 ( 1 9 9 2 ) ，1 2 0 9 1 2 7 7 8 d o t h a n ，lu “0 nt h e t en l ls t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e s ”j o u r n a lo ff i n a n c i a l e c o n i c s ，6 ( 1 9 7 8 ) 。5 9 6 9 9 d i l f f i e ，d ，a n drk a n “ay i e d lc u r v em o d e lo fi n t e r e s t r a t e s ”w o r k i n g p a p e r ，s t f o r du n i v ( 1 9 9 3 ) 1 0 d u f f i e ，ds e c u r i t u ym a r k e t ss t o c h a s t i cm 0 d e l sb o s t o n ，姒a c a d 伽i cp r e s s ( 1 9 8 8 ) 1 1 f i o r e n s 一踟i r o u ，d“0 ne s t i m a t i n gt h ed i f f u s i o nc o e f f i c i e n tf r 伽d i s c r e t e o b s e r v a t i o n ”j 0 u r n a lo fa p p l i e dp r o b a b i l i t y ，3 0 ( 1 9 9 3 ) ，7 9 0 8 0 4 e l d 1 2 h a n s e n ， l p “l a r g es a 哪p l ep r o p e r t i e so fg e n e r a i i z e dm e t h o d o fm o m e n t s e s t i a t o r s ”e c o n 伽e t r i c a ，5 0 ( 1 9 8 2 ) ，1 0 2 9 一1 0 5 4 1 3 i d g e r s o l l ，je ，j rt h e o r yo ff i n a n c i a ld e c i s i o n 妇k i n gb a l t i m o r e 如r o 嘲8 n a n d l i t t l e f i e k l d ( 1 9 8 7 ) n 4 k u n s c h ，hr ”t h ej a c k k n i f ea n dt h eb o o t s t r a pf o rg e n e r a ls t a t i o n a r y o b s e r v a t i o n s ”a n n a l so fs t a t i s t i c s ，1 7 ( 1 9 8 9 ) ，1 2 1 7 一1 2 4 1 1 5 l o ，aw“妇x i t l l u ml i k e l i h o o de s t i m a t i 肌o fg e n e r a l i z e di t 6p r o c e s s e s 霄i t hd i s c r e t e l ys 鲫p l e dd a t a ”e c o n o m e t r i ct l l e r o y ，4 ( 1 9 9