（应用数学专业论文）整数和集及frobenius数新的估值公式的分析.pdf

摘要 本文应用加性理论，讨论了关于阿贝尔群( a b e l i a n ) 的两个问题， 一个是直接问题：已知a 与b ，和集a + b 的构造与特性是什么? 另一个 是逆问题：当l a + b i 较小时，a 与b 的构造与特性是什么? 我们主要做了三个方面的研究：首先，我们介绍了一个关于整数和 集的直接问题与逆问题的新结论；其次，讨论了1 2 a i 在几种特殊情形下 的计算；最后，我们应用关于阿贝尔群( 乞，+ ) 的加法数理论，在两种 特殊的情况下我们改进v i t e k s 界和s h e nj i a n s 界，从而获得关于 的f r o b e n i u s 数的一些新的估值公式。 本文内容安排如下： 第一章绪论。主要介绍了关于加性数论的研究问题及论文的研究 成果。 第二章关于整数的和集。主要介绍了关于整数和集直接问题与逆 问题的一个新结论；讨论了1 2 州在四种特殊情形下的计算。 第三章关于f r o b e n i u s 数的一些新的估值公式。主要应用关于阿 贝尔群( z 山，+ ) 的加法数理论，在两种特殊的情况下我们改进v i t e k s 界和s h e nj i a n s 界，从而获得关于的f r o b e n i u s 数的一些新的估值 公式。 关键词：加性理论，直接问题，逆问题，f r o b e n i u s 数，v i t e k s 界。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w eu s ea d d i t i o nt h e o r yo rt h ea b e l i a ng r o u pt os t u d yt w o p r o b l e m so nt h ea b e f i a ng r o u p ，t h ed i r e c tp r o b l e m ，t h a ti s ，l e ta a n db ，w h a t a r e p r o p e r t i e sa n dt h es t r u c t u r eo ft h es u m s e ta + b 7 a n dt h ei n v e r s e p r o b l e m - w h e n ；a + b ；i sa ss m a l la sp o s s i b l e ，w h a ta r ep r o p e r t i e sa n dt h e s t r u c t u r eo ft h es e taa n dt h es e tb ? t h em a i nw o r ko ft h i sp a p e rh a st h r e ea s p e c t s f i r s t l y , w ei n t r o d u c ea n e wr e s u l to ft h ed i r e c ta n di n v e r s ep r o b l e m so nt h ea b e l i a ng r o u p ；s e c e n d l y , w ed e d u c ec o m p u t a t i o no n 1 2 a i i ns o m es p e c i a l c a s e s ；l a s t l y ，w eu s e a d d i t i o nt h e o r yo nt h ea b e l i a ng r o u p ( 乙，+ ) t oi m p r o v ev i t e k sb o u n da n d s h e l lb a n sb o u n di nt w os p e c i a lc a s e s ，a n do b t a i ns o n l en e we s t i m a t e d f o r m u l a sf o rt h ef r o b e n i u sn u m b e r s t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ： c h a p t e rl i n t r o d u c t i o n w ei n t r o d u c et h em a i np r o b l e mo fs t u d yo n a d d i t i v en u m b e rt h e o r ya n dt h em a i nr e s u l to ft h i sp a p e r c h a p t e r2 t h es u m s e to ni n t e g e r s w ei n t r o d u c em a i n l yan e wr e s u l t o nt h ed i r e c ta n di n v e r s ep r o b l e m so ft h es u m s e to ni n t e g e r s ，a n dw ed e d u c e c o m p u t a t i o n o n 1 2 , q i nf o u rs p e c i a lc a s e s c h a p t e r3 s o m en e we s t i m a t e df o r m u l a sf o rt h ef r o b e n i u sn u m b e r s w eu s ea d d i t i o nt h e o r yo nt h ea b e l i a ng r o u p ( 乙，+ ) t oi m p r o v ev i t e k s b o u n da n ds h e nj i a n sb o u n di nt w os p e c i a lc a s e s ，a n do b t a i ns o m en e w e s t i m a t e df o r m u l a sf o rt h ef r o b e n i u sn u m b e r s k e y w o r d sa d d i t i v et h e o r y ，t h ed i r e c tp r o b l e m , t h ei n v e r s ep r o b l e m , f r o b e n i u sn u m b e r s ，v i t e k sb o u n d 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。论文主要是自己的研究所得，除了己注明的地方外， 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南大学 或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本研 究所作的贡献，已在论文的致谢语中作了说明。 作者躲，塑垂丝日期：趟年! ! 月 日。 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的 全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文；学校 可根据国家或湖南省有关部门的规定，送交学位论文。对以上规定中的 任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用。 作者签名：整圭塾导师签名：主避日期：遭竺墨年d 月止目 硕士生学位论文 第一章绪论 1 1 加性数论概况 第一章绪论 加性数论是数论的一个分支，它主要是研究关于整数集和集的一门学科。关于 加性数论的研究，历史悠久，百家争鸣，由其是近几十年以来，加性数论获得了迅 猛的发展，涌现出了许许多多关于这方面研究的专家和仁人志士，其中很有影响力 的有华林、哈代、希尔伯特 s l 、华罗庚州、陈景润州等，特别是陈景润先生关于哥 德巴赫猜想问题的证明是目前最接近、最领先的。关于加性数论的研究领域，其中 非常有趣且有意义的课题是关于加性理论的直接问题和逆问题，例如，讨论和集翮 ( 见定义1 2 1 ) 的结构和性质：讨论关于f r o b e n i u s ( 见定义3 2 1 ) 数的界的估 值公式等。随着社会的不断进步，科技的不断发展，加性数论在越来越多的领域中 有广泛的应用，特别在密码学、计算机代数、代数与编码、组合矩阵论、图论等方 一面有广阔的应用。 1 2 一些记号及结论 定义1 2 1 假设g 为阿贝尔群( a b e l i a n ) ，4 ，4 ，以( h 2 ) 是g 的h 个子集，则和集： 4 + 4 + + 4 = g g l g = q + 呸+ + a h ，a i 4 ，i = l 一2 ，h 特别当4 = a ( 对于f = l ，矗) 时，则和集是4 + 4 + + 4 = h a 。 广一 硕士生学位论文第一章绪论 在加性数论中我们把a 集合的基数记作h ( a 中所含元素的个数) 。我们还记l 口j 为不大于a 的最大整数，记f 口 为不小于a 的最小整数【“。 关于阿贝尔群( a b e l i a n ) 的和集我们很自然讨论以下两个问题： ( 1 ) 直接问题：已知a 与b ，和集a + b 的构造与特性是什么? ( 2 ) 逆问题：当i a + b l 较小时，a 与b 的构造与特性是什么? 关于上面两个问f r e i m a n ”，k n e s e r i ”l ，p l u n n e c k e t 6 1 ，v o s p e r ，c a u c h y - d a v n p o r t 等进行了深入的研究。c a u c h y d a v n p o r t 得出的结论是：设p 是一个素数，a ，b 是 z p z 的非空子集，则有： l a + m l - n ( p ，i a i + i b i - ) v o s p e r 的结论是：设p 是一个素数，a ，b 是g = z p z 的非空子集，且爿+ 曰g 则有：陋+ b i = + 俐一1 成立当且仅当下面( i ) ，( i i ) ，( i i i ) 至少有一个成立： ( i ) m ( 1 4 ，帅= 1 ( i i ) p + 叫= p 一1 ，丑= 瓦( 似= g ( 彳+ 硼 ( i i da ，b 是有相同公差的等差级数。 特别，如果h l ，j & 1 2 4 2 1 a i p ，则集合a 是z p z 中的等差级数 在1 9 6 4 年，f r e i m a n t ”1 发现了一个深刻且有趣的事实：设c 2 ，如果a 集台是 个有限整数集，j & l a l = k ，1 2 4 1 s a ，则a 是n 维等差级数q 的子集( 其中q 为- q o + 毛吼+ + 毛吼：o t ，i = i ，n 形式的集合) 。 k n e s e r 将c a u c h y - d a v n p o r t 的结论推广到任意阿贝尔群中。为了介绍他的结论， 我们先引入下面的记号： 设s 是阿贝尔群g 的非空子集，s 的稳定化子( s c a b i l i z e r ) 记为日p ) ，其中 日( s ) = g g g + s = s 这样，则日( s ) 是群g 满足s + i _ s 的最大予群。特别 h ( s 、= g ，当且仅当s = g 。 k n e s e r 得出的重要结论是：设g 是一个阿贝尔群，a ，b 是群g 的非空有限子集， 假若：日= 日( 4 + b ) = g g l g + 一+ 口= 一+ 召) 如m l a + b i - 5 a c r , ( n ) 的渐近公式现在对s 2 4 ，均己得出 硕士生学位论文 第一章绪论 ( 疗) 的具体表达式。1 9 2 6 年克洛斯特曼，1 9 6 2 年埃斯特曼分别讨论了形如 站= + 6 + 霹+ 硝的平方和问题，拓广了平方和问题，开拓了一系列新的领域。 1 3 3 哥德巴赫问题 是加性数论亦是整个数论最有魅力的问题之一( 见陈景润文集邮1 ) 。 1 3 4 华林问题 1 7 7 0 年，华林推测：任意正整数能够用不超过4 个平方数的和、不超过9 个立 方数之和或不超过1 9 个四次方数之和来表示。意思是：对任意给定的整数七2 ， 必存在一个正整数j ( 七) ，使得每个正整数n 必是f ( ； ) 个非负的k 次方数之和即不 定方程： 彳+ t + + 彳- - - - n f 1 1 ) 对所有的整数一0 有非负整数解工。( 1 ，s j ) 。这就是华林问题( 还包括解的数目 及极值问题) 。 1 9 0 9 年，希尔伯特证明了j ) 的存在性。1 9 4 3 年林尼克用密率法给出s ( 七) 存 在性的另一个证明。 华林还猜测s ( 七，的最小值g ( 七，= + ( 兰丁 一2 。t ，。年拉格朗日证明了 g ( 2 ) = 4 ；1 9 0 9 年威弗里奇证明了g ( 3 ) = 9 设g ) 为使方程( 1 1 ) 对充分大的r l 可解的s ( 量) 的最小值，易证g ( 七) 2 i + ( 主门一2 ，g ( 七) 2 七+ l 。利用g ( 七) 的上界 估计，人们基本上完成了对g ( 七) 的探讨：当七6 时，有条件3 一2 。+ 2 3 二 情形( 2 ) ：当彳= 【o ，k 一2 】u 七一2 + x , k l + 力，其中x y 为非负整数，k _ 5 i ；l x s y l 青- p ( s ) ：当4 = 口一l x u 【口，口+ 七一3 】u j i + 口一2 + y ，其中x ，y 为非负整 ； 数k 4 硕士生学位论文 第一章绪论 情形( 4 ) ：当爿= 【口，口一2 u a - l + x u b ，k - a + b 一2 u k a + b 一1 + j y ，其中 x ，y 为非负整数，且a 4 ，k 8 ，b a - i + x ，k a + 3 3 ) 利用关于阿贝尔群( a b e l i a ng r o u p ) ( z _ ，+ ) 的加性理论，在两种特殊情形 下改进了上面提到的关于f r o b e n i u s 数v i t e k s 界： 中c 嘞，q ，sl - ；jc 4 ，一2 ， 及s h e nj i a n s 界。 似a o ，q ) ( 一j i + 0 一 伊删l 即我们做出了以下两种情形的改进： + 1q 一嘞一i + i 情形( 1 ) 假设正整数a 。，口，满足下面的条件 i ) 0 a o a l a ，j l g e d ( a o ，吼，a s ) = l ： i i ) 对于集合 口。，4 ， 的任意r 个元素气。，气，当1s = s ，s j ，有g c d ( a o ，d ，a i ，) = 1 i i i ) qa j ( m o d 口o ) ，对于任意i j 我们的结论是：畎，q ) ( 掣+ 1 ) a , - i - a o + 1 , 在这里，是满足 ( s + l 一，) i ( d o j 一1 + ，) 的最小非负整数。 情形( 2 ) ：假若正整数口。，a ，满足下面的条件： i ) 0 口o 口1 2 ) 的计算f r e i m a n 、k n e s e r 和c a u c h y 、d a v e n p o r t 等已经 得出了他们的重要的结论，我们在这一章里主要介绍：关于a + b 的直接问题与逆问 题的一个新的结论：1 2 4 j 在几种特殊情形下的计算。 ， 2 2 一些引理 引理2 2 1 i ) 如果a 是一个含有k 个整数的有限整数集，则有1 2 4 l 2 七一1 如果a 是一个含有k 个整数的有限整数集，_ i i 有1 2 a i = 2 k - 1 ，则有：a 是一个算术级 数。 。 ， i i ) 设a ，b 是有限整数集，盟有h = 例= j j ，如果卜蔓+ b i = h + 例一1 ，则有： a ，b 是有相同公差的算术级数。 i i i ) 设a ，b 是有限整数集，且有h = 七2 ，例= ，2 ，如果陋+ 叫= k + l - 1 ，则 有；a ，b 是有相同公差的算术级数。 证明：i ) 设4 = a o ，q ，吃，) ，其中a o a t q q - 1 则和集2 爿 包含了k 个整数2 q q = 0 , 1 ，k - 1 ) 和七一1 个整数q + q t o = 1 ，k - 1 ) 因为： 2 a l _ t q - l + q - 2 k - 1 如果 z a i - - 2 k 一1 ，则和集2 4 中所有元素的形式是2 q ( f = o 1 ，k - 1 ) 与 a l + q l ( f = 1 ，k - 1 ) ，因为：a l - l + q q i + q “ a l + q + 1 ，其中( f = l ，k - 1 ) 口j - l + q 2 q q + q “，其中( f = l ，k - 2 ) 于是得到：2 a , = a t _ 1 + q + i 即：q q l = q “一q ，其中o = l ，k - 2 ) 所以： a 是一个算术级数。 i i ) 设4 = 口0 ，q ，吒，q - 1 ，b = b o ，岛，6 2 ，岛一t ，其中口0 口l 啦 q 1 ， b o a 如 6 f - 1 则和集一+ 丑包含了如下2 七一1 个整数( 具有严格递增的顺序) ： + a o + 岛 a t + 岛 q + 屯 口f + 岛 q + 毛+ 1 a m + a k - l + 毛- l a k - l + 良 a k i + 岛_ 1 因为1 2 爿i _ 2 | | 一1 ，上面整数是和集彳+ 曰包含的所有整数。因为 a s - l + 匆 q + 岛 口f + 包“ 和 i - l + 岛 q - l + 包“ q “+ 岛+ l 于是得到： 等价于 ： ( 2 1 ) 同理，不等式： 口f - l + 岛“= 口+ 如 当f = l ，k - 2， 口l q 1 = 岛+ 1 一包 q l + 6 ，一l q q + 包 q + 岛 和 q l + 鱼- 1 q + 包一i q + 岛 得到：l + 鱼= q + 匆一。，即： 当j = l ，k - 2 ，q q _ l = 以一6 l - l 等式( 2 1 ) 式和( 2 2 ) 式表明正整数g = q 一满足： 当f = l ，k 一2 口j 一口i - l = 龟一龟- 1 = g 置 ( 2 2 ) 硕士生学位论文 第二章关于整数的和集 i i ) 式得证 i i i ) 设= ，a l ，a k _ 。 ，口= ，a ，屯，。，6 i 一。 ，其中 o l a 2 嚷。， a 6 2 l a o + 酬+ 卜酬+ k + 酬 ，+ ( 2 七一1 ) + ( z t k ) = t + ，一l 所以卜+ 省i - 2 k - 1 ，则存在正整数g 使得彳，邵是有相同公差g 的算术级数，其中 ( f = 0 1 ，1 一动，因此b 是有相同公差的算术级数。 引理2 2 2 i ) 设厅2 ，且设4 ，4 ，4 是一些有限整数集合，则有： | 4 i + + 1 4 i 一( _ i l 一1 ) h + + 4 i h 1 1 4 i i i ) 设h 2 ，且设4 ，鸣，以是一些非空有限整数集合。则：如果 1 4 + + 4 i = 1 4 i + + l a l - ( h - 1 ) ( 2 3 ) 成立当且仅当集合4 ，4 ，4 是有相同公差的算术级数。 证明；i ) 为了证明下界，我们讨论h ，设h = 2 ，4 = 嘞，q ，啦，嚷。 ， 4 = 6 0 ，6 l ，6 2 ，6 - ，其中a o q 啦 吼。，6 0 6 2 6 f - 1 假若 9 硕士生学位论文第二章关于整数的和集 h i = j | s ，= 1 4 1 则和集包含了下列不同的元素： + 6 0 口0 + 岛 q + 岛 q + 6 2 q + 岛 a t + 鱼“ ( k i + 鱼+ i q k - l + 巩- 1 a k - l + 以 - 3 ，对于6 o 且设4 = 【o ，k - ： u k - l + b ， 6 = 孽砖一2 ) + r ，其中( g o ，o r k 一3 ) 。如果当6 s ( i l 一1 x k 一2 ) ，则有： l 柚l - 肚一( j l 1 ) + q ( 2 h - q ：- 1 ) ( k - 一2 ) + ( j i g 1 ) ，： 如果当b ( h - l x k - 2 ) ，则有： j 翮i _ h k 一( | i l 1 ) + h ( h - 1 x k - 2 ) 证明：如果6 = o ，则有g = r 兰o ，一= 【o ，七一l 】于是得到： h a = o , h k h 】，即：i 嬲f = 融一矗+ l = 域一( 矗一1 ) 设b 1 则和集是h + 1 个不相交的区间的并： h a = u ( o ，( ) ( 七一2 ) + i l k 一1 + 6 ) ) ) = u e i c k 一1 + 6 ) ，l ( k 一1 + 6 ) + ( i l f ) ( 七一2 ) = u e i ( k 一1 + 6 ) ，h ( k - 2 ) + 1 ( b + 1 ) ， i = 0 7 = u ， 在这里 i t = 1 ( k - l + b ) ，| j l ( 七一2 ) + f ( 6 + 1 ) = ，( 七一l + 6 ) ，( 七一l + 6 ) + ( 而一，) ( 七一2 ) 堡主竺兰堡丝兰 篁三童 茎三鳖墼堕塑叁 且 j l , l = ( h - t ) ( k 一2 ) + 1 对于，= 1 ，2 ，h ，集合一。u 将是下面的区间： ，( 七一l + 6 ) ，l ( k 一1 + 6 ) + ( 一o ( k 一2 ) 当且仅当： 1 ( k 一1 + 6 ) ( ，一1 ) 0 一l + 6 ) + ( 办一，+ j ) ( 七一2 ) + 1 等价于： b - o - o ( k - 2 ) 如果1 6 蔓( 矗一o ( k - 2 ) ，则存在一个唯一的f 1 ，h 一1 】满足： ( _ i l 一，一1 ) ( 七一2 ) 6 ( _ i ，一f ) ( 七一2 ) 于是得到：当( ，= 1 ，t ) ，。u 五是一个区间。所以： s = u 1 , = o ，j j p 一2 ) + ，p + 1 ) 如果，+ l s ，s h ，贝i j h - l h - t - i ，( h - 1 ) ( k - 2 ) ( h 卜1 ) ( 七一2 ) 6 于是又得到：区 间，。，厶是两两不相交。因此， 删；l u 五l = m u l = j i ( 七一2 ) + r ( 6 + 1 ) + l + ( ( h - o ( k - 2 ) + 1 ) = ( j 一2 ) + 巾+ 1 ) + ( 一，+ 】) + ( 七一2 ) ， ：h ( k - z ) + f 6 + + l + ( h - t ) ( h - t - 1 ) ( k - 2 ) ：触一( 矗一1 1 + r 6 + ( h - t ) ( h - t - 1 ) ( k - 2 ) z 如果，= o ，贝l | b = q ( k - 2 1 ，i 天l l p 6 q = j i l t 且 皿4 ：z 廉一( 矗一1 ) + ( 厅一彳) 譬( 譬一2 ) + q ( q - 1 ：) ( k - 一2 ) ：触一( j l 一1 ) + q ( 2 k - q _ - - l ) ( k 一- 2 ) 如果r 1 ，则有： g ( 七一2 ) 6 = q ( 七一2 ) + ，s ( g + 1 ) ( j i 一2 ) ， 因此口h t1 ，且 堡主生兰垡丝苎 ，。苎三兰i 塑! 塑塑! 塑兰 i m l ：触一o 1 ) + ( h - q - 1 ) ( 9 0 2 ) + ，) + q ( q - 1 ，) ( k - 2 ) ：肚一( _ i l 1 ) + ( h - q - 1 ) r + q ( 2 h - q ；- 1 ) ( k 一- 2 ) 如果6 ：1 ) 一2 ) ，则有：当( ，= l ，。，f ) ，( h - o ( q 一2 ) s q i ) ( g 一2 ) i a + i b i 一，p + 丑h 叫+ 妙l - f 且阻b i - - t l a i + 阱，p + 直砩i = ，i p | + b 砷卜 一 l = f 营妒) ) f = ， 现在我们不妨设彳= 群砷，矗= 曰，此时则有：一+ 口= u 0 + 巧) 为无交并， 从而： p + 目 卜哆i e ( i a i + m 1 ) = t l a l + l s l - , 等号成立曹p + 只| 一h + 阿卜l ， 夥= 1 2 ， 由引理2 2 2 ：若a ，b 是有限整数集，上t l a l = k ，i b = l ，如果阻+ 叫= 七+ ，l ， 则a ，b 是有相同公差的等差级数。铮a 与e ( w = l ，2 ，f ) 有相同公差的等差级数， f 且曰= u 马 ，t l 推论2 3 2 设彳= 嘞，q ，”，q l ，占= ，岛，钆 ，且满足下面的条件： 0 = a o q q l ， 0 = b o 6 l t i a i + i b i - t 几点说明： 当a = b 时，t = l ，此定理为引理2 2 1 1 4 硕士生学位论文 第二章关于整数的和集 当t = l 时，此定理即为引理2 2 2 此定理即为引理2 2 2 中i i ) 的一般化推广 扣l 存在正整数，i ，t 2 , - - , f d ，使得1 4 + 4 + + 4 i 陋i + f 2 h i + + - 1 4 一。| + h 卜， j l l 且等号成立铮4 ，4 ，4 包含在公差相同的算术级数中。 2 4 1 2 一j 在几种特殊情形下的计算 2 4 1a 集合是一个算术级数并上一个元素的情形 命题2 4 1 若a = 【0 , k z u k 一1 + 砖( 其中x 为非负整数，k 3 ) ，则 陋i = 譬j 羞一 ， 证明：因为2 彳= ( 2 f o ，, - z 1 ) u ( o , k 一2 + k - l * x ) u ( 2 k - l + x ) = 0 , 2 k - 4 l u k - l + x , 2 k - 3 + x l o 2 k - 2 + 2 x 【o , 2 k 一3 * x u z k 一2 + 2 x ) o 2 ) ， 则有：i m i = 阻i ，4 - 【o ，k - 2 u k - l + x 证明：令4 = a + k - 2 - a = o ，k 一2 u k l + x ，则有： 硕士生学位论文 第二章关于整数的和集 i h 4 = l h ( a + k - x 一彳) 卜i m i ( 由平移性) 从而得到：如果( 1 ) 中a 集合是一个算术级数并上左边一个元素：( 2 ) 中a 集合是一 个算术级数并上右边一个元素。则( 1 ) 与( 2 ) 的基数相等。 2 4 2 a 集合为一个算术级数在右边并上两个元素的情形 命题2 4 3 如果彳= 【o ，k - 3 u k 一2 + x ，k 一1 + ) ， ( 其中k 5 ，x ，y 为非负整数， 且x s y ) 贝0 有： i ) 当x = y = 0 时，1 2 a i = 2 k - 1 ； i i ) 当x = 0 ，o g y - k - 2 时，j 2 a i = 3 k 一3 ： f 2 七一l + 占+ y善七一4 ，y 一工s 七一4 iv)当工1时，12彳l=13k一-4+x一工：_七k一-3k3y k 3y4 3 l一+ 一工x 一，x 七一 l 4 j i 一7 + j 工2 七一3 ，y 一工2 七一3 ( 其中万；oy 2 x 由此可知：当x 与y x 较大时，1 2 4 i = 常数： 综上可知：1 2 a 9 4 k - 6 ： h 3 之情形较复杂 证明：2 a = 2 o , k - 3 u ( 0 , k - 3 + k 一2 + 弗) u “0 ，七一3 卜 j j 一1 + 力) u ( 2 k 一2 + x ) u ( i 一2 + x ) + 七一l + y ) u ( 2 七一1 + y ) ；【o ，2 k - 6 u k - 2 + x ，2 k s + x l u k l + y ，2 k 一4 + y 】 u 2 七一4 + 2 砖u 2 七一3 + 工+ ) ，) u 2 七一2 + 2 y 。 1 )当石k - 4 且y x k - 4 9 y s 2 x 时有： 2 4 = 【o ，2 后一4 + y 】u 2 _ j 一4 + 2 x u 2 七一3 + x + y u 2 k 一2 + 2 y ， j 1 2 a i _ 2 k 一4 + y 一0 + 1 + 3 = 2 k + y 1 6 ! 坠兰垡丝苎 苎三兰差三些墼堕塑塞 当) ，2 x 有：2 a = 【o ，2 | i 一4 + y 】u 2 _ | 一3 + x + y ) u 2 七一2 + 2 y ， = l m a l = 2 k l + y 2 ) 当x k - 4 且y x k - 3 时( 此时一定有) ， 2 x ) ： 2 a = 0 ，2 k 一5 + ，】u 【七一1 + 乃2 七一4 + 刀u 2 七一3 + j + 舛u 2 七一2 + 2 y ：争1 2 4 i = 2 | | 一4 + z + ( 2 七一4 + y ) 一( 七一l y ) + l + 2 = 1 2 a l = 3 k + x 4 = 3 k - 4 + x 3 ) 当x 2 七一3 且j ，一x s 七一4 时( 此时一定有y 2 x ) 2 a = 0 ，2 k 一6 u k 一2 + x ，2 七一4 + y 】u 2 | | 一4 + 2 对 u 2 七一3 + 善+ ) ， u 2 七一2 + 2 j ， ：净1 2 4 i = 2 七一5 + ( 2 七一4 + y ) 一( 七一2 + 工) + 1 + 3 j 1 2 彳i = 3 _ i 一3 + y x 。 4 ) 当x 七一3 且y x 七一3 时，同理可霹： 当y k 一2 当x 2 0 ，即a = a - 1 ，口+ 七一2 】u 口+ 七一2 + 力，由推论2 4 2 可得： 1 2 七一l + x0 工k - 3 1 2 a 1 2 1 3 七一3 工_ j 一2 2 ) 当x o , y o 时，则有： 1 7 硕士生学位论文 第二章关于整数的和集 f 2 4 1 = 2 k + x + v 一1 3 k + 工一4 3 k + y - 4 4 k 一7 3 k + y - 3 4 k 一6 3 七+ x 一3 4 k - 6 i x - y l k - 3 ，x k - 4 ，y - k - 4 i x - y l _ k - 3 ，x - k - 3 i x - y l _ k - 3 ，y - k - 4 i x - y i _ k - 3 x - y k - 2 ，y s k - 4 x y 七一2 y k - 3 x - y s 一( k - 3 ) ，x 一3 ) ，x 2 k - 3 证明：2 a = ( 2 扣一l 一对) u ( d l 一砖+ 【口，口+ k - 3 ) u ( 2 k + a 一2 + 力) u ( d i x + 七+ 口一2 + y ) ) u ( 2 【口，a + k 一3 】) u ( 【口，a + k 一3 】+ 七+ 4 2 + y ) ) = ( 2 口一2 2 x ) u ( 【2 口一1 一x ，2 a + k - x 一4 】) u 2 4 + 七一x + y 一3 u ( 2 a i 2 a + 2 k 一6 1 ) u ( 2 a + k + y - 2 ，2 d + 2 七+ _ ) ，一5 】) u 2 口+ 2 七+ 2 j ，一4 分三种情形来证明： c a s e l ) 当x - y k - 3 时，( 即2 a + k - x 一4 2 a + k x + y 一3 七一4 时 2 a = 2 a 一2 2 x u 2 a 一1 一工，2 a + k x 一4 u 2 a + k - x + y 一3 u 2 a ，2 口+ 2 七一6 】u 2 口+ 2 七+ 2 y 一4 = ，1 2 a i = 4 , t - 6 c a s e 2 ) 当工一， 一( k - 3 ) 时， ( 即2 a + 2 k - 6 知+ k - x + y - 3 七一4 时 2 4 = 2 口一2 2 工) u 【2 口一l 一工，2 口+ j 一工一4 】u 2 口+ 七一x + y 一3 u 【2 a , 2 a + 2 k - 6 u 2 a + k + y 一2 ，2 口+ 2 七+ y 一5 】u 2 口+ 2 七+ 2 j ，一4 = ，1 2 4 i = 1 + ( 七一2 ) + ( 2 七一5 ) + l + ( j | 一2 ) + l j 1 2 a l = 4 t - 6 c a s e 3 ) 当 x - y k - 3 时，( 即2 口 2 a l = 3 k + x - 4 当x k - 4 ，y k - 4 时 2 a = 2 口一2 2 x u 【2 口一l x ，2 a + k - x - 4 u 2 a ? 2 a + 2 k - 6 u 【2 a + k + y - 2 ，2 a + 2 k + y - 5 】u 2 a + 2 k + 2 y - 4 1 2 4 = 1 + ( k 一2 ) + ( 2 七一5 ) + ( 七一2 ) + l j | 2 “l = 稚一7 2 4 4a 集合是两个算术级数并上两个元素的情形 命题2 4 5 设4 = 【o ，口一2 】u 口一1 一x ) u 【6 ，k - a + b 一2 u k - a + b - l + y ， ( 其中七8 口4 , b a - - 1 + 五七4 + 3 ，x ，y 为非负整数) 我们不妨令： f ( x , y ) = 3 k + 2 x + y - 4z s a - 1 ，y s a - 3 ，x - y k - a 一2 , y 茎k - a - 3 4 七一a + 2 x 一7 茸s a l , y a - 3 , x - y k a - 2 , y k - a - 2 4 k a + x + 2 y - 5x a - 1 ，y s a - 3 ，x - y k a - 1 ，y 蔓k - a - 3 5 k 一2 a + x + y - 6工a - 1 ，y a - 3 ，x - y k - a - 1 ，) ，k - a - 2 硕士生学位论文 g ( x ，j ，) = 则有： 1 2 4 = 第二章关于整数的和集 3 k + a + 2 x 一6 x 口一1 ，y 口一2 , x - y k - a -