（应用数学专业论文）时标上的二阶方程解的振动性和脉冲追捕系统的周期解.pdf

j“馏l_j o，硼， 摘要 本文共分三章，分别研究了二阶时滞动力方程的解的振动准则及时标上的脉冲 半比率依赖的追捕系统的周期解的存在性，所得结果丰富和发展了现有文献的相关 工作 第一章为绪论，介绍了时标动力方程的研究背景、发展概况、基本概念理论以 及本文的主要工作 第二章用序列的方法，研究了二阶时滞动力方程 ( r ) z ) ) + p ( ) ，( z ( 7 ) ) ) = o 的解的振动准则，所得结果丰富和发展了时标动力方程振动性研究领域的结论 第三章运用同伦不变性和迭合度的理论，研究了时标上的脉冲半比率依赖的追 捕系统 f 。拿( ) = o ) 一6 ) e 。- ( t ) 一妒( t ，e l z ( t ) ，e x 2 ( ) e ( x ：( ) 一x - ( 。) ) ，亡t 如， jz 争 ) = d ( t ) 一( t ) e ( 1 。( ) 一1 - ( ) ) ， 亡t 如， i z 1 ) = l n ( 1 + c l 知) ， t = 缸，七n ， 【z 2 ) = l n ( 1 + c 2 知) ， 亡= 如，忌n ， 的周期解的存在性，所得结果推广和改进了相关文献的结论 关键词：二阶；时标；时标动力方程；振动；时滞微分方程；序列法；周期解； 追捕系统；功能性反应函数 1 a b s t r a c t t h i st h e s i si sc o m p o s e do ft h r e ec h 印t e r s i nt h i st h e s i s ，w es t u d yo s c i l l a - t i o nc r i t e r i af o rs e c o n d - o r d e rd e l a yd y n 砌ce q u a t i o n 8a n dp e r i o d i cs o l u t i o n sf o r i m p u l s i v es e r n i - r a t i o l d e p e n d e n tp r e d a t o r - p r e y8 y s t e i 瑚o nt i m es c 出e s ，t h er e s u l t s o b t a i n e di nt h i st h e s i se 】c t e n da n di m p r o v et h er e l a t e dr e s u l t si nt h el i t e ra t l 旧e s i nt h ea r 8 tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h eb 瓠4 呵o m l d ，t h eg e n e r a ls i t u a t i o n ，t h e f u n d a m e n t a lc o n c e p t sa n dt h e o 巧o f d y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e sa 肛dt h em a i n w o r ko ft 1 1 i 8t h e s i s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，b yu s i n gs e q u e n c en l e t h o d ，w ec o n s i d e rt h eo s c i l l a t i o n c r i t e r i ao fs o l u t i o i l so fs e c o n d - o r d e rd e l a yd y n 删ce q u a t i o n ( r ( 亡) z ( 舌) ) + p ( t ) ，( z ( 7 0 ) ) ) = o ， t h er e s u l t se n r i c h e da n dd e v e l o p e dt h ed e l a yd y n a m i ce q u a t i o n sv i b r a t i o no ft h e c o n c l u s i o n so fr e s e a r c ha r e a s i nt h et h i r dc h a p t e r ，b yu s i n gt h et h e o 巧o fi n v a r i a n c ea n dc o i n c i d e n c ed e g r e e ， w ec o l l 8 i d e rt h e 既i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o 璐o fi m p u l s i v es e 血一r a t i o _ d e p e n d e n t p r e d a 土o r - p r e ys y s t e i i l so nt i m es c a l e s fz 拿 ) = o ) 一6 ( 亡) e x ，( ) 一妒( t ，e x t ( ，e 弘( ) e ( x ：( ) 一x t ( t ) ) ，z - 如， jz 争 ) = d ) 一p ( t ) e ( x 。( ) 一1 - ( t ) ) ，t t 如， i z 1 ( t ) = 1 n ( 1 + c 1 知) ， t = 如，忍n ， 【z 2 ( t ) = l n ( 1 + c 2 知) ，t = 觑，七n ， t h er e s u l t sg i v e ni nt h i sp a p e re x p e n da n di m p r o v et h ec o r r e s p o n d i n go n e si nt h e l i t e r a 七u r e s k w o r d s ：s e c o n do r d e r ；t i m es c a l e 8 ；d y n a m i ce q u a t i o no nt i m es c 以e ；0 s - c i l l a t i o n ；d e l a y 出艉r e n t i a le q u a t i o n ；s e q u e n c em e t h o d ；p e r i o d i cs o l u t i o n ：p r e d a t o r p r e ys y s t e m s ；f u n c t i o n a lr e s p o n s e s 2 第一章绪论 1 1 引言 随着差分方程的研究深入，人们发现很多微分方程的经典结果都可以直接应用 到差分方程上去睁9 】但在某些结论上，微分方程与差分方程又有着本质的不同 为了统一微分方程与差分方程，1 9 8 8 年德国数学家h i l g e r 在其博士论文中首次提 出时标的概念，并在1 9 9 0 年发表了测度链分析 1 0 一一个连续与离散的计算的统 一方法此文发表后，引起了国内外许多学者的广泛关注，并取得了一些很好的研 究成果，如a g a r w a l 1 1 ，1 2 等人的工作以及b o h n e r 和p e t e r s o n 的专著 1 3 ，1 4 本 文所用关于时标的导数和积分运算及一些记号均来自于 1 4 】为方便使用，在下节 我们将列出其主要符号以及定义和定理。时标上的动力方程不仅仅包括微分方程 和差分方程两种特殊情况，而且在应用上有着巨大的潜力自然界中有一些过程有 时候依赖于连续变量，有时候依赖于离散变量用时标上的动力方程就可以恰当地 给出这些现象的数学模型美国p e t e r s o n 和t h o m a s 用它拟合了西尼罗河病毒传 播的连续方面和离散方面的空隙( 见文献 1 5 】) t h o m a u s 认为这种数学模型是理解 和控制这种疾病的最有效工具。时标动力方程不仅在生态动力学上，而且在机械动 力学、经济学、物理学、神经网络和社会科学等众多领域上有着广泛的应用总之， 时标上的动力方程是一个较新的有着广泛应用前景的应用数学分支，值得数学家， 自然学家和社会科学研究者广泛关注近三十年来，动力方程的解的振动性的研究 受到越来越多的重视，并取得丰硕的成果( 见文献 1 6 3 2 ) 本文第二章研究了二阶时滞动力方程 ( r ) z ) ) + p ) 厂( z ( 7 ( 亡) ) ) = 0( 1 1 1 ) 的振动性 第三章研究了脉冲半比率依赖的追捕系统 fz 拿( t ) = o ( t ) 一6 ( ) e x - ( t ) 一妒( t ，e 。- ( ，e x 。( ) e ( 1 z ( t ) 一。- ( 。) ) ， 如， jz 拿( ) = d ( ) 一p ) e ( 。( ) 一。，( ) ) ， t 面如， i z 1 ) = l n ( 1 + c l 七) ， 亡= 如，七n ， 【z 2 ( t ) = l n ( 1 十c 2 七) ， 亡= ，后n ， ( 1 1 2 ) 3 的周期解的存在性 方程( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 通过选择不同的时标，包含了连续型和离散型两种特殊 情况例如，当面= r 时，方程( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 则分别变为二阶非线性微分方程 ( r ( t ) z 7 ( ) ) 7 + p ( 亡) ，( z ( 7 ) ) ) = o( 1 1 3 ) 和脉冲半比率依赖的追捕系统 fz ： 壕 i z 1 【z 。 = 口( 亡) 一6 ( ) e x ，( 。) 一妒( t ，e x ，( ，e x ：( ) e ( 。( ) 一。- ( ) ) ，t 如， = d ) 一p ( 亡) e ( 1 。( ) 一。( ”，t t 如， t ) = l n ( 1 + c l 七) ，t = 如，七n ， t ) = l i l ( 1 + c 2 知) ，t = 如，七n ， ( 1 1 4 ) 或者其等价的形式 fz 7 ( t ) = z ( ) 口( t ) 一6 ) z ) 】一妒( t ，z ( t ) ，秒 ) ) 秒( t ) ，t t 如， p ( 归删酢) 一帮】， 徙m ， ( 1 1 5 ) i z ( t ) = c l 七z ( 亡) ， t = 亡知，七n ， 、7 【秒( ) = c 2 知( 舌) ，t = 亡知，七n ， 当t = n 时，方程( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 则分别变为二阶非线性差分方程 ( r ( 竹) z ( 扎) ) + p ( n ) ，( z ( 7 ( n ) ) ) = o( 1 1 6 ) 和脉冲差分方程 f z l j 以竹 1 z 1 ( 佗 【z 。( 竹 n ( n ) 一6 ( 礼) e 1 1 ( n ) 一妒( n ，e x l ( 圳，e x 2 ( n ) e ( x 。( n ) 一x 1 ( n ) ) ，礼t 佗七，尼n ， d ( n ) 一p ( 竹) e ( 1 z ( n ) 一。，( n ) ) ，n t 佗知，忌n ， h l ( 1 + c 1 知) ，n = 几七，七n ， l n ( 1 + c 2 后) ，佗= ，尼n ， ( 1 1 7 ) 其中，z ( 礼) = z ( 扎十1 ) 一z ( n ) 当 = g + = 亡：t = 矿，n 4 ，g 1 】，方程就成为了g 一差分方程 q ( 7 ( 亡) g z ) ) + p ( t ) ，( z ( 7 - ) ) ) = o ，口( 1 1 8 ) 4 其中。z ( t ) = 帮 近三十年来，时滞微分方程和时滞动力方程已经引起人们的广泛关注，并且取 得了丰硕的成果l e r b e 2 3 】用硒c c a t i 变换和构造函数的方法得到了一些新的振 动准则；y j 眦 3 3 】应用如下函数序列 o ( t ) = p ( t ) = p ( s ) 如， 州归。0 等如， a 竹+ ，( t ) = ! 兰旦9 铲d s ，佗= 1 ，2 ， 得到了方程( r ( t ) 砂( z ) z ，) ，+ p ( t ) ，( z ) = o ，o o 的一些振动准则；x u 3 4 】应用 如下函数序列 ，i 玩( t ) = 尸( 亡) = p ( s ) 叼( s ) d s ， t ，t 酬= 一。鬻晰灿+ ”鬻晰灿+ 。考州如 玩“d = 一瑞慨( s ) + 风( s ) 】幽+ 。鬻陬( s ) + 风( s ) 】幽+ 丽吾雾笔笔两【b 。( s ) + b 。( s ) 】2 d s ，礼= l ，2 ， 得到了方程( ? ( t ) z 他) ) 7 + q ( t ) z ) + p ( t ) ，( z ( 夕( t ) ) ) = o ，t o o 的一些振动准 则；c h e n 和y e n 3 5 应用如下函数序列 ， a o ( z ) = j d ( z ) = p ( s ) d s ， ，z 州加z 。0 搿旭 。匆+ ，( z ) = 0 。垦兰区铲d s ，p = 1 ，2 ， 得到了方程( r ( z ) 可，) ，+ p ( z ) 厂( ) = o 的一些振动准则；j o h n s o n 和y a n 3 6 应用如 5 下函数序列 邮一= z 。口( s 油， = 等氓 “归垃莆巡d s ，一，2 ， 得到了方程( r ( t ) z ，) ，+ o ( t ) 厂 ) = o 的一些振动准则，受这些方法的启发，本文用 序列方法在时标上得出了方程( 1 1 1 ) 的一些振动准则，推广了 2 3 ，3 3 _ 3 6 的一些 结果 探求非自治的脉冲半比率依赖的追捕系统的周期解是一个很让人感兴趣的问 题，【4 0 4 4 ，4 7 ，5 4 已经考虑了这个问题对于没有脉冲( q 七= 0 ，i = 1 ，2 ) 时的周 期解的存在性已经有很多学者在研究，例如：h u o 和l i 4 7 ，在妒( t ，z ，y ) = 妒1 时 考虑了( 1 1 5 ) ，称之为l e s h 争g o w e r 系统。对于更一般的关于( 1 1 5 ) 的单调的功 能性反应，w a n g ，f a n 和w n g 5 4 建立了一些周期解的存在准则，d i n g 4 1 】建 立了( 1 1 5 ) 的周期解存在准则，在功能性反应函数为非单调的妒4 f a n 和w a n g 4 2 ，f a z l y 和h e s a a u r a l 【i 【4 3 】建立了离散的函数( 1 1 7 ) 的周期解的存在准则最 近，b o h n e r 【4 0 ，f a z l y 和h e s a a u r a k 4 4 】考虑了( 1 1 2 ) 在单调的功能性反应函数 妒l 一妒3 和妒5 一妒7 尤其，对于更广泛的功能性反应函数，例如：妒4 ， 4 4 】给出了一 些周期解的准则有众多的学者如b o h n e r ，和z h a n g 4 0 】，f a z l y 和h e s a 盯出 4 4 等，对以下系统做出了周期解的存在性的一些定理 iz 争( t ) = o ( 亡) 一6 ( t ) e x ( ) 一f ( t e 】【( ) e ( x 。( ) _ x l ( ) ) iz 参( t ) = c ( t ) 一d ( t ) e ( 1 。( ) 嘲( ) ) ， 然而，他们的结果大多使用指数函数或者单调性来做，本文在此基础上，受这些方 法的启发，得到了含有脉冲项的系统( 1 1 2 ) 的周期解的存在的充要条件，并分别 得到了含脉冲的微分和差分系统的周期解的存在的充要条件本文在时标上做出的 周期解的存在性判断准则不仅可以用于单调的功能性反应函数，而且可以用于非单 调的功能性反应函数 6 1 2 时标动力方程的基础知识 定义1 2 1 设t 为时标( t i m es c a l e ) ，对t 口，定义前跳算子盯：t t ，盯( t ) ：= i n f s - ：s 亡) ，后跳算子p ：_ t ，p ( 亡) ：= s u p s - - ：s 芒，亡t ，称t 是右离散的 ( r i g h t - s c a t t e r e d ) ；而如果p ( 亡) o ，存在的一个邻域u ( 即u = 一6 ，t + 6 ) n - ，其中6 o ) 使得对所有 s 矿，有i ，( 盯( t ) ) 一，( 8 ) 一产( t ) p ( t ) 一s 】i e i 仃( t ) 一s i ，则称厂( t ) 为，在t 点 得导数我们说，如果对所有t 俨，产( ) 存在，则称厂在俨上是可导的( 简 称可导) ，且有如下公式 ，( 盯( t ) ) = ，( t ) + p ) ， ) 特别地， ( 1 ) 当，= 酞时，= ，7 为普通的导数； ( 2 ) 当t = z 时，= ，为普通的向前差分算子 若，在 o ，6 t 上可微，且对任意t n ，6 t 有， o ， o ； ( a 3 ) 上高s = 。，e r ( s 珍( s ) 8 = o 。 并假设函数r ，是光滑的，方程的每一个解z ( t ) 是右连续的 通过建立如下的函数序列【口n ( 亡) ) 铲 酬_ p ( 牡厂瞄掣一掣】s 0 ，使得 酬_ p ( 归。【k 掣一掣 s 孚， 揣犰 。一一l r ( t ) 6 2 ( t ) 盯( t ) 一“一v ”一 则( 1 3 1 ) 是振动的 定理1 3 6 如果下列条件之一满足，则( 1 3 1 ) 是振动的 ( 1 ) 。( t ) ，n = o ，1 ，2 ，m 一1 确定，但是q m ( 亡) 不存在，m 是大于等于1 的整 数； ( 2 ) a 。( t ) ) 铲是确定的，但是对于任意大的t t 1 ，存在矿t ，使得l i m 竹。q 。( 矿) = 。 定理1 3 7 假设( a 3 ) 成立且方程( 1 3 1 ) 有一个在上陆o ，o 。) t 的非振动解 z ( t ) ，则 熙邮槲鬻揣 o 有，( 亡，o ) = o ，岳，( t ，z ) o ，且对于t ，番厂( 亡，z ) o 是有界的； ( a 2 ) 存在一个一周期的函数夕g d ( - ，r + ) ，对所有的t ，z o 有，( t ，z ) 9 ( t ) 茹； ( a 3 ) 唧( ( 瓦+ i a i + 石+ i cj ) u ) o 有，( t ，o ) = o ，差厂( t ，z ) o ，且对于t ，岳厂( t ，z ) o 是有界的； ( a 2 ) 存在m n 且u 一周期的r d - 连续的函数q i ：一r + u o ) ，z = o ，m 一1 使得对于任意的亡，z r + ，( t ，z ) q o ) z m + + a m 一1 ( t ) 茁 则，系统( 1 3 4 ) 至少有一个周期解 本文在此基础上，得到了含有脉冲项的系统( 1 3 2 ) 的周期解的存在的充要条 件，并分别得到了含脉冲的微分和差分系统的周期解的存在的充要条件 假设以下条件成立： ( h 1 ) n ( t ) ，b ( t ) ，d ( t ) 和p ( ) 是正的u 一周期的r d 连续的实函数且a o ，d o ； ( h 2 ) 功能性反应函数妒( t ，z ，耖) ：t r + r + 一r + 是关于t 的r d - 连续u 一周 期的函数且对于任意的t 卫，可0 ，妒( t ，0 ，y ) = 0 另外，存在m n 且正 的u 一周期的r d - 连续的函数口i ：i _ r + ，z = 0 ，m 一1 使得对于任意 的t t ，z 0 ，! ，0 妒( t ，z ，可) 血o ) z ”+ + q 。一1 ) z 定理1 3 1 2 若( h 1 ) 和( h 2 ) 成立，则，( 1 3 2 ) 至少有一个u 一周期解的充 要条件是 此结果对于功能性反应函数是单调和非单调的都适用 1 5 0 0 q +1 n p 腻 +西0 0 q + 0 n p 脚 +钆 第二章二阶时滞动力方程的解的振动准则 2 1 研究背景、基本假设和引理 考虑时标t 上的时滞动力方程 ( r ( t ) z ) ) + p ) ，( z ( 7 ) ) ) = o( 2 1 1 ) 本章总是假设以下条件成立：， ( a 1 ) r ( 舌) ，p ( t ) g d ( ，r + ) ，7 g d ( t ， ) ，7 ( 亡) t ，l i m t 7 ) = o o ； ( a 2 ) ，g d ( r ，r ) ，z ，( z ) o ，z o ，掣k o ； ( a 3 ) 厅南s = 。o ，e 丁( s ) p ( s ) s = 并假设函数r ，是光滑的，方程的每一个解z ( t ) 是右连续的若方程的解有无穷 多个零点，则称为方程的振动解，否则称为方程的非振动解，如果方程的所有解都 是振动解，则称方程是振动的，否则是非振动的我们知道，在生物工程，化学反 应和物理系统等众多领域都涉及到许多不同时标的数学模型，例如：当 = r 时， 方程就成为了时滞常微分方程 ( r ( ) z 7 ( t ) ) 7 + p ( t ) ，( z ( 丁( t ) ) ) = o( 2 1 2 ) 当= n 时，方程就成为了时滞差分方程 ( ) + ，( z ( ) ) = o ，亡n( 2 1 3 ) 其中，z ( n ) = z ( n + 1 ) 一z ( n ) 当t = g = 亡：t = 矿，n + ，g 1 ) ，方程就成为了g 一差分方程 q ( r ( t ) 口z ( 亡) ) + p ) 厂( z ( 丁( 亡) ) ) = o ，t g ( 2 1 4 ) 其中。z ( t ) = 背 近几十年来，时滞微分方程和动力方程已经引起了人们越来越多的重视，并取 得了丰硕的成果，见【1 6 3 2 s a h i n e r 2 4 】考虑了二阶时滞动力方程 z ( t ) + p ( ) 厂( z ( 7 ) ) ) = 0( 2 1 5 ) 1 6 z h a n g 和z h u 【2 5 】考虑了二阶时滞动力方程 z ) + p ( t ) ，( z 一下) ) = o( 2 1 6 ) 并且用比较定理得出它与方程 z ) + p ) 厂( z ( 口 ) ) ) = o( 2 1 7 ) 具有相同的振动性，l e r b e 2 3 用瞰c c a t i 技术和构造函数的方法得到了( 2 1 1 ) 的 振动性本章我运用函数序列的方法得到了新的振动准则 为了得到本章的主要结果，先给出下面的引理 引理2 1 1 2 3 】设( a 3 ) 成立，z ( 亡) 为方程( 2 1 1 ) 在 t o ，o 。) t 上的正解，则存 在充分大的t ，o o ) t ，使得， ( 1 ) t 【z 。) t ，z ) o ，z ( t ) z ) ； ( 2 ) 在e ) t 上，z ( t ) 严格单调递增，掣严格单调递减 2 2 主要结果 定理2 2 1 假设( a 3 ) 成立，存在正的可微的函数6 ( 亡) ，并且萨( t ) o ，使 得对于充分大的t 1 h 黑p 肛以咖( s ) 等一掣 8 一( 2 2 1 ) 成立，则( 2 1 1 ) 的解在陋o ，。) t 上都是振动的 证明；假设z ( t ) 是方程的非振动解，不失一般性，假设z ( t ) 0 ，若z ( t ) o ，z ( 7 - ( t ) ) o 由引理( 2 1 1 ) ， 存在2 l ，使得 z ( t ) o ，( r ) z ( 亡) ) o ，将( 2 2 2 ) 的两边微分，运用( 2 l l j 和z z j 侍 等椰) 【等】 ：等川唧) 【掣】 ：尝m t ) 地哮铲 ：尝舯以骘茅圳，糍筹 ：尝盼以学圳，糍筹 由掣k o ，可得 以惦鬻朴础泓幻帮圳) r ( t ) 嘉 等】2 ( 2 2 3 ) 由下( t ) t 仃( 亡) 和引理2 1 1 ，可得到 和 等华等 盯( t ) 一t 一7 等= 揣 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 把( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 代入到( 2 2 3 ) ，得到 掣埘唧从亡) 器一揣 ( 2 2 6 ) 由( 2 2 6 ) 和鬈簧瑶o ，可得 划唧) p ( 幻器一 扩( t ) 缸2 ( 亡) 萨( t ) r ( t ) r ( t ) 盯( t ) 6 2 ( t ) t 堋他) p ( t ) 蔫+ 掣 ( 2 2 7 ) 从t 2 到t 积分( 3 2 7 ) ，可得 肛一加沁m s ，端一掣汹 1 8 llllllillllllllllllliliiiii 于是 胁( 铲( 妒( s ) 如) 高一掣汹 。( 舌) u ( 如) 一瞄j 盯( s ) p ( s ) ：芋兰一兰j ! ：；二! 】s ，t 2【，6 ， d 则 肛州咖器一掣m 洲+ r 妙( s ) p ( s ) 等一半】8 妣) 对这个不等式的两边取极限亡一。，则得出了和( 3 2 1 ) 相矛盾的结果证毕 口 取6 ( 亡) = 1 在定理中，得到 推论2 2 1 假设( a 3 ) 成立，对于充分大的亡1 h 罂p 脚) 鬻s = 。， 成立，则( 2 1 1 ) 的解在o 。) t 上都是振动的 取6 ( ) = t 在定理中，得到 推论2 2 2 假设( a 3 ) 成立，对于充分大的t 1 1 1 罂p 。 脚( 8 ) 丁( s ) 一华】s = o 。， l i ms u p 脚( 8 ) 7 ( s ) 一二孚】s = o 。， t _ ，t 1 5 成立，则( 2 1 1 ) 的解在，。) t 上都是振动的 取6 ( t ) = t 2 在定理中，得到 推论2 2 3 假设( a 3 ) 成立，对于充分大的芒1 h m s u p 口( 8 ) p ( s ) 7 - ( s ) 一盯( s ) r ( s ) s = o o ， 成立，则( 2 1 1 ) 的解在，) t 上都是振动的 引理2 2 1 假设( 2 1 1 ) 有个在) t 上非振动的解z ( t ) ，上了币鲁篙丽t = 。，( a 3 ) 和 - ；罂p 肛州咖( s ) 焉一掣 8 o o ，( 2 2 8 ) 1 9 成立，则 其中 f 揣瞅o 。厶盯( t ) 6 2 ( t ) r ( t ) 一 j i mu ( t ) = 0 + o o ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) ，揣蚺m 咖高一半阻 = 。端s + 尸 ，以盯( s ) 6 2 ( s ) 7 ( s ) 一一r 7 ( 2 2 n ) ) = 学删= 。吲咖( s ) 端一半汹 证明：求导。( t ) ，由定理2 1 1 的证明过程可以得到 u ( t ) = 一 矿( t ) 亡u 2 ( 亡)矿(t ) p ( t ) ，( z ( 7 - ( t ) ) ) z 盯( ) + 驾骅 ( 2 2 1 2 ) 6 ( 亡) 、。7 蝴一掰篇一k 瓮掣+ 掣 从t o 到t 积分上述不等式 u c d u c ，一r 揣s k 掣8 + 竺号塑s 可得 舯r 嬲篇岖一石【学一掣汹批， 由( 2 2 8 ) ，存在c 0 ，使得 熙) + 石揣s = c o ( 2 2 舶) 2 0 假设 则 熙希黼址o o ，u l ) 熙焉彝一1 因此存在l ，使得对于任意的亡亡1 ， 于是 恕赫一1 o ，t 2 1 ，使得对于任意的2 ， l 矿t 五币赫 矿( t ) t u 2 ( 芒) 1 仃( ) r ( t ) ( 需莉 从t 2 到z 积分并取极限_ o o 1 石而 f 三茄酞f 赤虮o o ，t 。4 盯( t ) 铲( t ) 7 ( 亡) 一。、以。五而= _ i f 凸5 。 此与e 币筹铹岛t = 。o 矛盾，所以( 2 2 9 ) 成立。 假设1 i m t 。u ( t ) = c o ，则由( 2 2 9 ) 可以得到 l ：器醚= e 器甑 幻矿 ) j 2 ) r ( t ) “。一以。孑瓦雨可丽；丽 o 。 此与e 不等铩丽越= o o 矛盾，所以( 2 2 1 0 ) 成立 从到t 积分( 2 2 】2 1 枷心一e 然j ：世学阱j ：8 于是 越文曼一e 揣小kl 二掣阱e 掣8 因为 之l ：器阱kl ：掣吣e 半8 所以，( 2 2 1 1 ) 成立证毕 口 定义如下函数序列 口n ( 亡) ) 铲 酬= p ( 归畔掣一掣】s o 有引理2 1 1 ， 得到u ) a o ) o ，则u 2 ) q 3 ( t ) ， 删= 。搿揣岖”等端畎o 。 由( 2 2 1 1 ) 得到 u ( 亡) 口1 ) + a o ( t ) 则 u 2 ( ) ( q 1 ( t ) + q o ) ) 2 吐啦酬= z 学瑞邮，错揣畎o o 由数学归纳法可以得到a 。( t ) 口n + 1 ( ) 令p ( 亡) = r 等着筠8 由( 2 2 1 1 ) 得到u ( ) p ( 舌) + q 。( 亡) 则 雕) 。搿瑞一q 以) 故u ) 1 ( t ) + o ，o ( ) 雕) 。继等巡端一酬 由甄字归纲法口j 以得剑2a n 则，u 之q n + q o 故 础胁州= 。鳢寄逖瑞岖”等瑞s 则， ( t ) ) 萨是非减且有界的，故( 2 2 1 5 ) 成立证毕 口 定理2 2 3 如果( a 3 ) 成立且存在m 1 0 ，m 2 0 ，使得 州叫归。陋学一掣】s 孚， 揣犰 。一一1 则( 2 1 1 ) 是振动的。 证明：假设z ( t ) 是方程的非振动解，不失一般性，假设z ( 芒) o ，若z ( t ) ( 1 “m 。孚 ( m 1 + 入l m l ) 2 m 2 去s ( 1 + 入1 ) 2 a 1 半 ，t ob 令a 2 = ( 1 + 入1 ) 2 a 1 ，所以q 2 ( t ) a 2 挚 由( 2 1 1 4 ) 可得 口s = 。掣 a 3 = ( a 1 + 入2 ) 2 入1 一般地 端啦。6 2 ( s ) 盯( s ) 一。以 ( a l m l + 入2 m 1 ) 2 m 2 a 竹+ l = ( a n 一1 + 入n ) 2 a 1 ， ( 入- 孚“字) 2 m 。击厶sss s o 南s 邓t “) 2 a - 孚 n 2 i 晰( 右) 执+ - 孚 因为a 1 l ，