（概率论与数理统计专业论文）具有非因果性的二值二元时间序列.pdf

中文摘要 本文讨论了具有非因果性的z 元7 - 值时间序列，建立了一动态离散时间的二元概率模 型，在本文模型假定下可以考虑两因素间的因果关系并在此模型基础上讨论了g r a n g e r 非因果关系重点讨论了齐次总体下模型的性质，同时考虑了推广了的马尔科夫动态模 型与含有外生变量的模型，同时考虑了在以上几种模型假定下g r a n g e r 非因果成立的条 件文章讨论了模型的极大似然估计，并针对模型的参数估计问题，给出了模型参数估 计的牛顿算法最后讨论了模型的模拟计算应用 关键词极大似然估计 牛顿算法i 非因果l 多元模型 i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s sg r a n g e rn o n - c a u s a l i t yi nb i v a r i a t eb i n a r yt i m es e r i e s ，c o i l - s t r u e tad y n a m i cd i s c r e t e 4 i m eb i v a r i a t ep r o b i tm o m e i nw h i c hc a u s a l i t yb e t w e e nt h e b i v a r i a t ev a r i a b l ev a i lb ed i s c u s s e d g r a n g e rn o n - c a u s a l i t yw i t ht h eb i v a r i a t ep r o b i tm o d l e i sd i s c u s s e d t h em o d l ew i t he x o g e n o u sp r o c e s s e s ，a n dt h eg e n e r a l i z e dm a r k o vd y n a m i c m o d ki sd e s c u s s e d t h ec o n d i t i o n sf o rg r a n g e rn o n - c a u s a l i t yu n d e rt h o s ea s s u m p t i o ni s w o r ko u t ，t h ep r o p o s e dm o l lc a nb ee s t i m a t e db ym a x i m u m l i k e l i h o o d t h ep r o p e r - t i e so ft h em o d l ef o rh o m o g e n e o l l 8p o p u l a t i o ni sd i s c u s s e d t h ep a r a m e t e re s t i m a t e sa r e w o r k e do u tb yt h en e w t o n - r a p h s o na l g o r i t h m e x a m p l ei 8a n a l y z e db yt h ep r o p o s e d m e t h o d k e yw o r d s ：m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o n ； n e w t o n - r a p h s o na l g o r i t h m n o n - c a u s a l i t y ；m u l t i v a r i a t em o d e l 1 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意 学位论文作者签名。j l 埤 日期j ! 主l 么! 工 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留，使用学位论文的规定，即东北 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被 查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 土 学位论文作者签名，盎镒指导教师签名。醴 。 1 日 期t 丝z 丘王日期t 盈丝二! ：厶一 学位论文作者毕业后去向 工作单位t 通讯地址- 电话 1 引言 多维时间序列因果关系在经济学，社会学等很多领域都有广泛的应用，因此成为众 多学者广泛关注的一门课题著名计量经济学家g r a n g e r 在1 9 6 9 年在经济模型中提出 了基于平稳时间序列的因果关系及其检验方法 g r a n g e r 的检验想法是- 给定一个信息集，它至少包含( z 。，矶) ，如果我们利用 轨的过去影响可以更好地预测肌，称执为轨的g r a n g e r 原因在此基础上即可进行建 模与检验他提出的检验可写为t ( 1 ) 把轧不是引起挑变化的原因作为原假设 ( 2 ) 把玑对y t 的滞后值及砘的滞后值进行回归，建立无限制条件的回归模型。 ”ik y t = 瓯统一i + z j = , - j + 矗t = 1 ，竹 ( 1 1 ) i = l j = l ( 3 ) 把玑只对y t 的滞后值进行回归。建立有限制条件的回归模型t m 鞔= 幽执一i + + s t = 2 ，n ( 1 2 ) = 1 其中 缸) 为白噪声序列，n ，p 为系数，n 为样本量，m ，k 分别为变量y t ，x t 的滞后阶数令 ( 1 1 ) 式的残差平方和为e s s l ，( 1 2 ) 式的残差平方和为e s & 原假设为凰：岛= 0 ； 备择假设为三 ：岛o u = 1 ，2 ，功若原假设成立_ 掰 f=笺雾堕生三黔一f(k,n-k-es(n k1 m 一1 ) s 1一一m 一) 、 即统计量的渐进分布为自由度为k ，珏一k + m + 1 的f 分布。若f 检验值大于标准f 分 布的临界值，则拒绝原假设，说明x 的变化是y 变化的原因g r a n g e r 因果一般应用于 v a r 模型中，尤其在表达二维系统( v a r 模型) 的因果关系问题中比较简便g r a n g e r 这一研究方法对传统的研究进行了修正，他提出的这类因果关系基于序列的可预测性基 础之上，对模型的建立，估计与应用提供了实用的具有可操作性的依据由于其分析的细 致和严谨性受到国际经济学界的普遍接受，成为这领域实证分析的主流研究工具但 g r a n g e r 的这一研究方法也具有缺陷性，一般的只有平稳的时问序列，才能进行格兰杰 因果检验，如果随机变量是非平稳序列时，进行格兰杰因果检验时有可能出现伪回归的 现象，从而可能导致错误的结论因此，进行格兰杰因果检验之前应当先对时间序列的 平稳性进行检验如果变量是平稳序列，则可以进行因果性检验；如果变量是非平稳序 1 列，则需对变量进行差分或取对数，直到变量变成平稳序列为止，而这一过程不可避免的 的造成信息丢失在g r a n g e r 最早的研究中，五，k 的即期因果性并未讨论，g r a n g e r 因果关系提出之后，不断有人对其进行修正，g r a n g e r 也与1 9 8 8 年提出进一步的结论 ，同时g r a n g e r 非因果关系，五，k 的即期因果性问题亦从不同方面进行了考查( 其中 最筒单的关系为x t ，k 同时独立) ，关于时间序列的因果性问题， s i m ( 1 9 7 2 ) 给出了一 个著名的例子，投入的变化是产出变化的g r a n g e r 原因，而产出的变化不是投入变化的 g r a n g e r 原因d i k s d e g o e d e ( 2 0 0 1 ) 讨论了g r a n g e r 因果的非参数的b o o t s t r a p 检 验，a b h y a n k a r ( 1 9 9 8 ) 讨论了线性与非线性的g r a n g e r 因果应用，h e & k o i c h i ，对的 g r a n g e r 因果检验做出了综合的评述 相对于因果问题，非因果问题的研究也有大量成果出现 b o u i s s o u ( 1 9 8 6 1 讨论了 m a r k o v 假设下定性面板数据的g r a n g e r 非因果检验问题二元时间序列问题由l i u a r d 。 p e r t s o n ( 1 9 9 5 ) 研究过，但他们的研究只讨论转移独立的假定，即期因果性未考虑在前 人的研究中，针对二值二元时间序列( 其二值二元时间序列可对两分量的时问序列的状 态进行表示，如一分量表示产品的产量，一分量表示投入的货币量二者的状态刻画为随 着投入的增加，单位产量相对于投入货币量比值的增加或降低) 的非因果检验问题只有 y a m a g u c h i 于1 9 9 0 年进行了讨论，但他所讨论的因果关系已不是严格意义上的g r a n g e r 非因果关系，而他的讨论也较缺乏信服力m o s c o n i ( 2 0 0 6 ) 讨论了非因果的二值二元时 间序列他的讨论基于前人基础上，改进的给出了二值二元时间序列的一种g r a n g e r 非 因果的定义，同时考虑到了强同时独立性。因二值二元时间序列为一离散时间的时间序 列，故般的g r a n g e r 因果检验在此类特殊的时间序列时不再适用，m o s c o n i 给出了该 序列条件下g r a n g e r 非因果检验的一种方法 m o s c o n i 针对此类的二元时间序列的因 果问题建立了一潜在回归模型，通过此模型描述了将研究的时间序列和在此= 元系统中 的一种g r a n g e r 非因果关系的定义，在m o s c o n i 的文章中，他将外生变量引入模型，不 同于以往的讨论，他所建立的不再是关于连续过程的，而外生变量的引入使得模型的信 息集能更大限度的反应实际在这一点上他所建立的模型弥补了以往模型的将变量看成 服从v a r i m a 模型的在反应数据变化上所体现的不足m o s c o n i 讨论了二元时间序列 在服从m a r k a v 过程的假定下g r a n g e r 非因果关系成立的条件和该过程的一些性质 本文在前人研究基础上考虑二值二元时间序列中的非因果问题，即二元时间序列的 两分量之间基于可预测基础上的关系问题此类非因果关系问题，最早由g r a n g e r 提 出，s t o l n i t z ( 1 9 8 3 ) ，l i i l a r d ( 1 9 9 3 ) ，p e t e r s o n ( 1 9 9 5 ) ，m o s c o n i ( 2 0 0 6 ) 对相关同题进行了研 究 2 全文结构布局t 第1 部分。在可预测过程的条件下给出g r a n g e r 非因果与强同时独 立的概念，同时给出m a r k o v 过程下非因果与强同时独立的概念第2 部分，建立一齐 次总体下的马尔可夫二元动态模型，在此模型条件下考虑非因果问题，并对模型进行了 两方面的推广第3 部分，考虑了模型的估计问题，证明了极大似然估计的存在性。同 时考虑了极大似然估计的渐进性质第4 部分，给出了参数的牛顿算法并根据一定样 本应用该算法得出模型参数的估计，讨论了模型的模拟计算 3 2 定义 记 m = ( k 1 ，野) ，t 6 i = ( 1 ，2 ，) ) ，其中 m 卜谁可看成定义在概率空问m ，a ，p ) 一离散时间的随机过程，有效信息集由域 五，t 毋= 矗) 定义，记 曩) ，f 碍) 为适 应过程t k l ， 野，的典型一域，则珂五，砰五 本文考虑以下因果关系t 定义l ：强一步g r a n g e r 非因果( s t r o n go n es t e pg r a n g e rn d 佗一c a u s a l i t y l 给定 ，尝l ，如存在曩上，尝tl 豫l ，v t i ，则 野 非强的促使下一步 - ) 发 生，记为y 1 乒p 给定 ，毫1 ) ，如存在砰上，尝ll 雉l ，托i ，则 玲) 非强的促使下一步 蹭 发 生，记为y 1 y 2 定义2 ：强同时独立( s t r o n gs i m u l t a n e o u si n d e p e n d e n c e ) 给定 五一1 ，如存在刀上砰l 五一l ，耽i ，则 印) 与f k l ) 强同时独立，记为 y 1 乒y 2 本文中对任意时刻t 1 ，? ) ，k = ( v 1 ，2 ) 的状态空间规定为： ( 0 ，o ) ，( 0 ，1 ) ，( 1 ，0 ) ，( 1 ，1 ) ) 对实际问题而言，信息集 五) 与随机过程 k ) 需要给出严格的定义。对于最简单 的情形，不妨限定信息集 曩) 为相伴 m ) 的典型域，同时假定 k ) 为一阶m a r k o v 过程，即p 饥l 轨一1 ，1 ) = p 玑1 ) 更进一步，例如假设该m a r k o v 过程的转移概 率不随时间变化，即该过程为一平稳m a r k o v 链在这样的假定下，定义1 ，定义2 有 简单的表述形式 定义3t 平稳m a r k o v 链下强一步g r a n g e r 非因果 给定堙1 ，如p 掰l 虢一1 ) = p 口 i 娃1 ) ，v t 2 t 成立，则i 三i 非强的促使玲 发生 给定k 1 1 ，如p 费i 玑一1 ) = p 贸i 旺1 ) ，v t ( 2 ，丁成立，则k 二l 非强的促使印 发生 定义4 ：平稳m a r k o v 链下强同时独立 给定 k 一- ) ，如尸t 玑i 肌一1 ) = p 计l 玑一1 ) p 珥2 l 玑一1 ) ，v t 2 ，t ) 成立，则 y 2 ) 与 k 1 强同时独立 4 a i c 准贝! i 与b i c 准则 a i c 准则是1 9 7 1 年日本学者赤池a k a i k e 给出了一种适用面非常广泛的统计模型 选择准则称为最小信息准则( a k a i k ei n f o r m a t i o nc r i t e r i o n ) 本文中定义a i c = 一l o g l + 劲，b i c = l o g l 一；l o g m 其中l o gl 为对数似然函数，p 为模型的阶数，m 为样本容量 5 3 齐次总体下的马尔可夫二元动态模型 在实际生活中，类似于结婚，生子这类二者是否存在关系的问题大量存在，如果将 结婚，生子的状态只看成是或否，则该类问题可转化为数学问题我们关心的离散时间 下的取值为二元二值( 如ty t = ( 谚，谚尸，掰取值。或1 ，毋取值0 或1 ) 的n 个个体的 信息集是否存在非因果关系的问题r o c c o 给出了这类问题二元动态模型 在本文中我们做以下假定。 1 总体是齐次的( 个体数量无变化) 2 所研究问题为一阶m a r k o v 过程( 时刻t 的转移概率只与时刻t 一1 相关) 为表示在一1 时刻信息已知下m t = ( i ，：) r 的分布情况，将时刻t 一1 的状态 表示为8 一1 = ( 1 ，y l , h ，鳢，踮缘一1 ) 7 每一个体i 在时刻t 均取值为二元二值序列，为表示二元二值向量k t ，建立一潜 在回归关系， 班= 卯s 一1 + 也 ( 3 1 ) 姥= f l t s _ , t l + 2 f 玑，t 满足 ! j ：= 。= 1 ，当硅： 0 ，城。= 1 ，当谚； 0 鞋。= 0 ，当鞋；0 ，程。= 0 ，当口象s0 对于最简单的情形，假定k ，。服从标准l o g i s t i c 分布，对任意固定的i ，s 采，味相 互独立，即6 船= ( e k ，酲。) t 独立同分布在此假定下，该模型表示一阶m a r k o v 过程， 即时刻t 的状态只与时刻t 一1 时的信息相关 模型简记为 皖t = b r s i ，t l + e i ，t( 3 ，2 ) 其中虻。= ( 畦：，城：) r ，5 印= ( 1 t ) r ，b = ( 风，岛) m t 的条件分布可表示t p ( 玑。t = ( 1 ，1 ) ri 献， - 1 ) = p ( b t s i , t - - 1 + 5 o ) = p ( e i ，t 一b t s l ，t 一1 ) = p ( 4 t 一卯8 “一1 ) 尸( e 氧 一g s , 卜1 ) p ( 弘t = ( o ，o ) tl 仉，t 1 ) = p ( 口r s 讲一l + 矗t o ) = p ( e 甜s 一口f 8 t 卜1 ) = p ( 毛 一z t s , ，t 一1 ) tp ( e 氧s 一劈s l , t - - 1 ) 6 p ( 弘，t = ( 1 ，o ) ri 城“1 ) = p ( 畦。 砑8 蚶一1 ) + p ( 。一霹s 。， - 1 ) p ( 弘，l = ( o ，1 ) ti 矾t 1 ) = p ( 4 t - f l ( s , ，t 1 ) 十p ( 氧 一鳄s i t 1 ) 上式可通过引入对角阵b ，产2 d 缸g ( y , ，f ) 一1 写为统一形式 p ( 挑，ti 鼽，t 1 ) = p ( d i ，t b t ( s ，t 一1 + 矗，t ) 0 ) = p ( 一现，t e i t d i ，t b t s l 卜1 ) ( 3 3 ) 注意到b 为4 2 型矩阵，故( 2 3 ) 的分布中含有8 个参数同时在给定玑t t - 1 下，瑶 的边际分布可求为t p ( 以tz l i , t - i ) = f ( ( 2 娃t 一1 ) 卯巩t 1 )( 3 4 ) p ( 缱。l 弘，t 1 ) = f ( ( 2 城 一1 ) 绔5 蚶一1 )( 3 5 ) 其中f ( z ) 为标准l o g i s t i c 分布的分布函数 在该模型假定下强一步非因果成立的条件相当于以下等式成立。 y 1 产y 2 ：p y * , i y t 一1 ) = p 以i 址1 ) y 1 y 2 ：p ；l 轨一1 = p 9 ；l 0 1 ) 如令觑；( 角l ，历2 ，角3 ，尻4 ) t 岛= ( 岛l ，届堙，卢b ，届m ) 7 则该模型假定下强一步非因果成 立的条件相当于 y 1 产护：伍3 = 0 ，角4 = 0 y 1 y 2 ：触= 0 ，触= 0 由于模型本身的假定，此时强同时独立不再考虑( 显然成立) 对强一步非因果的检验， 相当于检验参数具有以下形式t y 1 产y 2 ：角3 = 0 ，岛4 = 0( 3 6 ) y 1 p ：砌= 0 ，勉= 0 ( 3 7 ) 即 凰产2 ( y 1 乒y 2 ) ：历= 玩妒l( 3 8 ) 马舯( y 1 声y 2 ) ：屁= 趣如( 3 9 ) 7 其中h 1 = 1o 01 00 凰= 10 0o 01 00 0 0 实际上模型残差对任意固定的i ，e k ，酲。相互独立的假定一般较难办到，k ，冬之 间有交互作用存在当k ，不之间不独立时，关于强同时独立成立的条件为t p 矾t i 玑，t 一1 ) = p 玩。f 玑，t 一1 ) p 谚t 玑，t 一1 ) 8 4 模型的推广 实际问题中，模型满足一阶m a r k o v 过程的假定不一定成立，同时总体为齐次的假 定也不一定满足故将模型进行推广 假设1 ：模型服从l 阶m a r k o v 过程 在该项假定下，模型可写为- j 瞻t = p + 如鼽。t - i + 自，t j = l 另一种等价表示形式为( 3 2 ) 式中的8 。- 1 项记为 ( 1 ，越，醒。，鞋。一。醒；一- ，破。一。，醒。一，畦。2 醒。一：，醍h ，城“，鞋h 城州) 7 模型简记为t 昵t = b 18 t ，t 一1 + e ， 以上两种模型中，第一种模型a 为2 2 参数矩阵，模型中需要考虑的参数为4 f + 2 个，如果残差项s 毛，s 象之间不独立，需要增加考虑残差项e 朱，s 毛之间的相关系数第 二种模型中系数阵b 参数为2 ( 3 1 + 1 ) 个，以上两种模型等价 模型的另一类推广方式为将s t 。i 项进行改进，考虑每一时刻之间可能出现交互的 影响记i “l = 8 i , t - 1 8 ”一2 0 o 魂，h 其中8 扯一1 0 8 甜一2 表示8 甜一1 和8 q 一2 的 k r o n e c k e r 积模型简记为； 昧= b t s ：t i l + 旬，t 此时模型的系数阵b 参数为4 1x2 个显然，第二类模型在实际操作中。当z 的真实值 较大时，运算较复杂，实际问题中根据给定的数据选定何种模型，模型的阶的确定可通过 a j ab i c 准则来判定在以上两种模型条件下，强一步g r a n g e r 非因果成立的条件为 玩= 污，凰= 常 h 。：h p l h l ；h 擎t 其中日02 表示量的1 次k r o n e c k e r 积 9 假设2 ：总体不严格要求为齐次总体且模型中可包括外生变量 在该项假定下，首先应对模型的信息集进行扩张，在此假定下，记信息集为只v 咒， 其中，疋是包含外生变量的信息集五表示外生变量在模型满足一阶m a r k o v 过程的 的假定下，疋包含的信息为在给定咒一1 下所有与t 时刻转移概率相关的信息在这样 的假定下，如给定。“考虑转移概率问题则( 3 2 ) 中的模型可将8 i , t 一1 项改写为t 臻一。= k 8 t 。程，】7 此时模型简记为。 城# = b t z ：, t l + i ，t 其中， z i 。为x i , t - 1 中与8 i 卜线性无关的部分，如x 甜一l 的维数为k ，则实际在模型 中考虑的维数为k ，即实际问题操作中，如将所考虑问题相关的信息看成外生变量，则 此时模型中引入的外生变量并不是所有的相关信息的变量，有部分相关信息不应引入模 型 弓f 入外生变量的另一种方式是将( 2 2 ) 中的模型中的8 讲一l 项改写为t z i , t - l28 i , t - lqx i , t - - 1 此时模型简记为t 珐t = 日r z i , t - - l + s t 通过以上两种变化建立的模型分别称为非饱和模型与饱和模型显然非饱和模型可 看成饱和模型的特例，实际选择何种模型需经过判定，如采用a ，eb i c 准则或通过考 察似然比检验的方式决定在以上两种模型条件下，强一步g r a n g e r 非因果成立的条件 为i 非饱和模型：田= t 。t l 厶0 。】，蟛= 言三 饱和模型：研= 磊q 风，h i = 厶q 飓 本文考虑的模型的特别之处就在于模型中可以考虑加入外生变量，在以前的文献中， g r a n g e r 因果关系的讨论只能在给定的两变元的信息集下考察，而实际上相关信息可能 对因果关系判定产生影响，从而得到错误的结论本模型避免了这方面的不足，模型含 有的信息可在某方面最大化 5 参数估计 我们首先考虑齐次总体下模型的参数估计，在这样的假定下，我们研究指定长度为 t = 1 ，t ，每个体t 在任意时刻t 均可观察到的一类问题参数的对数似然函数( 首时劾的状态巳知情况下) 可表示为， l o gl n t ( e )= l o g p ( y i ty i 卜1 ) 扛= l t = 2 ? = t o gp ( - v , ，t f 玩，t 砑岛，t - 1 ) t = 1 t ；2 r = l o gf ( ( 2 y , 1 t 一1 ) 砑8 讲一1 ) f ( ( 2 唬一1 ) 砑巩，t - 1 ) 未知参数向量口由岛，岛组成。估计的渐进性由以下三种情况分别讨论t t o o ，n 有限 _ 0 0 ，t 有限 _ 0 0 ，t _ o o ， 对于第二种情形，问题可以看成独立同分布随机变量的极大似然估计问题，该估计的渐 进性质可参看茆诗松，王静龙( 1 9 9 8 ) ，故我们讨论第一种情形下的模型的极大似然估计 对于第一种情形，不妨令n = 1 ，即i 固定再将结论推广到任意i 的情形在此种假定 下似然函数为， l o gb r ( 0 ) = l o gp ( y i ，tly l 卜1 ) t = 2 j = l o gp ( - d i t n ，。日f 以t - 1 ) t 2 t l = l o gf ( ( 2 y t l 一1 ) j 3 s 一1 ) f ( ( 2 缘一1 ) 鳄8 i , t - 1 ) 其中l o gl 可看成同分布变量l o gp ( y ty i , t - 1 ) 的和 定理1 似然方程在t 一时以概率1 有解，且此解关于口是相合的 证明t 显然l o g p ( y ，ty i 卜t lp ) 在e 上可微，且w 7 口，p ( 玑。ti 弘, t - l ；目) 可识别， 由j e n s e n 不等式 ee(，og；：1f；：；：；i矾，t一，) 0 ，硐( e o 一6 ，0 0 + 6 ) c e ，且 剐唱搿i 辄_ 。 聊。s 畿糌缸，) 0 似然函数满足， y n r ( 1 0 9 l ) ：y ( t 0 9 p ( 玑tiy i , * - 1 ) ) 其中y w ( 1 。g p ( 鼽，ty , 。- - i ) iy i , t - 1 ) t = 2 1 ，同时协方差项为t 一2 项，由马尔科夫大数定律 知，当t 一时， ： 1 0 9 l ( e o - & y t ) 一1 。g 工( 如；玑) 一e ( 岛( 1 。g ! 警舞孑搿i 鼽，t 一- ) ) 。 ：口o s + 6 ；肌) - l o gl ( ；玑) 】一e ( 易( 唱等畿塞署薏曼甓产一) ) 0 ，y 1 2 , = 1 ，当鳐； 0 破。= 0 ，当踮：0 ，醒。= 0 ，当醒：0 考虑两分量是否具有强一步非因果关系问题 p y j i y t 一1 ) = p u ：j 吐i ) ， p 谚l 玑一1 ) = p ( y ；i 豇1 ) ( 7 1 ) 数据玑，t = ( 鲥1 m 识) 由上式的模型抽样得到样本取为5 组数据经i 0 0 次抽样得到 的5 0 0 个数据，其中5 组数据的初始值均取为( 0 ，0 ) 塞! ：垄( ! ：1 2 叠鲑工堡型塑叁墼鱼盐： 差墨竺! 熊! ! 丝：! 二! ! 差墨竺! 熊! 堕：t 二! ! 卢l l 1 1 2 1 0 如l l _ 2 5 3 2 风2 历3 历4 0 8 5 3 1 口如 0 8 8 5 2 0 9 5 4 5勉l 0 2 8 5 0 8 1 2 3触0 8 8 3 2 可以看到模型中的参数经抽样模拟后得到的值在真值附近 我们可考虑检验问题t 月j ，l 2 ( y 1 产y 2 ) ，月j 一2 ( y 1 扣y 2 ) 应用w a l d 检验，此时它的渐进分布为自由度为2 的p 分布 1 6 参考文献 1 m o s c o n i ，r ，n o n - c a n s a l i t yi nb i v a r i a t eb i n a r yt i m es e r i e s j 】j o u r n a lo fe c o n o m e t 一- 2 0 0 6 2 a n d e r s o n tt w ，s t a t i s t i c a li n f e r e n c ea b o u tm a r k o v 吐a 咄脚a n n a l so fm a t h e m a t i c a l s t a t i 8 t i c s 1 9 5 7 3 b i i l i n 目s l e y , p ，s t a t i s t i c a lm e t h o d si nm a r k o v 出a i n s 【j 】a n n a l so fm a t h e m a t i c a ls t a f f s - t i c s 1 9 6 1 4 a n d e r s o n ，t w ，p r o b a b i l i t ya n dm e a s u r e 【m j w i l e y , n e wy o r k 1 9 9 5 5 m a r t i na t a n n e r ，t o o l sf o rs t s t i s t i c a li n f e r e n c e m 1 s p r i n g e r 1 9 9 6 6 d a v i d s o n ，j ，e c o n o m e t r i ct h e o r y m b l a c k w e l lp u b l i s h e r 2 0 0 0 7 b n s m a n n ，p ，c a u s a l i t yt e s ta n do b s e r v a t i o n a n ye q u i v a l e n tr e p r e s e n t a t i o n so f e c o n o m e t r i c m o d e l j j o u r n a lo fe c o n o m e t r i c e 8 1 0 8 8 8 p e t e r s o n ，g s ，m o d e l sf o ri n t e r d e p e n d e n te v e n t - h i s t o r yd a t a j 】j o u r n a lo fs o c i o l o g i c a l m e t h o d o l o g y 1 9 9 5 9 g r a n g e r ，c w i n v e s t i g a t i n gc a u s a lr e l a t o u sb ye c o n o m e t r i cm o d e l sa n dc r o s s - s p e c t r a l m e t h o d j e c o n o m e t r i c s 1 9 6 9 1 0 c o x ，d r ，p a r t i a ll i k d i h o o d 【j b i o m e t r i k a6 2 ，2 8 9 - 2 7 6 ，1 9 7 5 1 1 a m e m i y a ，t ，q u a l i t a t i v er e s p o n s em o d e l s ：as u r v e y j j o u r n a lo fe c o n o m i cl i t e r a t u r e x i x ，1 4 8 3 - 1 5 3 6 1 9 8 1 1 2 g o m i e r o u x ，c ，h o l l y , a ，m o n f o r t ，a ，l i k e l i h o o dr a t i ot e s t ，w a l dt e s t ，a n dk u h n - t u c k e r t e s ti ne q u a l i t yc o n s t r a i n t so nt h er e g r e s s i o np a r a m e t e r s j e c o n o n e t f i c a 1 9 8 2 1 3 b e n te 。e o n o m i c s 妣t e r j j 2 0 0 5 1 4 g r a n g e r ，c w j ，r e c e n td e v e l o p m e n t si n8c o n c e p to fc a u s a l i t y j j o u r n a l0 fs c o n o - m e t r i c s3 9 ，1 9 9 - 2 1 1 1 9 8 8 1 5 l i l l a r d ，l aw a r e ，l jaj o i n tm o d e lo fm a r i t a lc h i l d b e a r i n ga n dm a r i t a ld i s