（应用数学专业论文）旋量群的陪集结构.pdf

摘要 利用数学归纳法，可以把1 矩阵的定义推广到高维，本文首先回顾了高维7 矩阵的这种 定义以及利用1 矩阵构造的任意高维m i n k o w s k y 空间上的旋鼍群的一种表示；然后由这种 表示的具体形式，研究和分析它的陪集结构；最后由一个例子出发，具体地来看旋量群与其 陪集及子群之间的关系。 关键词：旋量群群表示陪集结构 a b s t r a c t 2 t h i sa r t i c l ec o n s i d e r st h ec o s e ts t r u c t u r eo fs p i ng r o u pv i aa n a l y z i n gt h ee x p r e s s i o no f i t sr e p r e s e n t a t i o n o n ee x a m p l ei sa l s og i v e nt ot a k eac l o s e rl o o ka tw h a tt h ec o s e ta n dt h e s u b g r o u pa r e k e y w o r d s ：s p i ng r o u pg r o u pr e p r e s e n t a t i o n c o s e ts t r u c t u r e 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑_ 罩= 声明：所呈交的学位论文，是本人存导师的指导下，独立进行研究上作所取得 的成果。除文中已经注明g l 用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写 过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：；池驴 r 日期：砷年e 6 月，o 日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并 向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目 的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库 进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名： 日期：计。加f d 日 i 引言 1 引言 旋量群s 研n ( 1 ，q ) 是劳伦兹群s d ( 1 ，口) 的二重覆盖，并且旋量群【1 j 可以在c l i 肋r d 代数中 定义【2 ，3 】。众所周知，2 对1 的群同态，且局部同构，如 s l ( 2 ，r ) 一s 0 ( 1 ，2 ) ，s l ( 2 ，c ) 一s o ( 1 ，3 ) 告诉我j f f s l ( 2 ，豫) 与s l ( 2 ，c ) 分别是3 和4 维空间上旋量群s p i n ( 1 ，2 ) 和s 加佗( 1 ，3 ) 的矩阵 表示。在5 维和6 维空间上的s p i n 群，也有相应的经典李群表示，r j s p ( i ，1 ) 和s l ( 2 ，仰) 分别 是s p i n ( 1 ，4 ) 和s p i n ( 1 ，5 ) 群的矩阵表示。对于高维情况一般没有经典矩阵李群和s p i n ( 1 ，g - q 5 ) 相对应，只有通过c l i f f o r d 代数给出旋量群s p i n ( 1 ，口) 的定义和构造| 3 】。 c l i f f o r d 代数和s p i n o r 的理论在物理和数学中起着很重要的作用，数学方面，e c a r - t a n 在1 9 1 3 年利用s p i n o r 给出了转动群的线性表示 4 1 ；物理方面，p a u l if 5 】和d i r a c 【6 】利 用s p i n o r 来求波函数的表示【7 | 。近来由于超弦理论的发展f 8 】，人们对高维空间的兴趣日益加 深。有必要进一步研究高维旋量群的表示，为了找出更高维的s p i n ( 1 ，q ) 群的表示，陆启铿 及其合作者【9 ，1 0 先后给出了s p i n ( 1 ，4 ) 和s p i n o ，q ；q 4 ) 群的表示，其中构造的方法是 数学归纳法，从低维旋量群出发导出高一维的旋量群。由于从奇数维到偶数维和从偶数维 到奇数维具有一些原则的区别，凼而要分别进行归纳推导。但是在证明中有一个共同性质， b j s p i n ( 1 ，q ) 群是s p i n ( 1 ，q + 1 ) 群的真子群。因此 s p i n ( 1 ，q + 1 ) 勖饥( 1 ，q )( 1 1 ) 是一个陪集结构，在文献【1o 】用的是左陪集结构，但该文没有给出证明。本文的主要目的是 证明该左陪集结构并且给出其乘法结果。为叙述本文的主要结论，在第二节我们给出要用 的记号和简述文献 9 ，lo 】的结论；第三节给出我们结论的证明；在第四节用一个例子加以说 明旋量群的左陪集结构。 驴预备知识 2 2 预备知识 在开始讨论旋量群s p i n ( 1 ，q ) 的陪集结构之前，我们先来回顾一下要在本文中用到的 些概念及其相关性质。 2 1 c l i f f o r d 代数和c l i f f o r d 群 j 我们约定：在无特殊说明的情况下，文章中出现的字母p 和口均表示正整数集中的元 素。 定义1 ：实c l i f f o r d 代数c ( p ，g ) = c l i f f ( p ，q ) 是实数域豫上由p + q 个元素矿生成的 代数，其中p ( 1 ，2 ，p + q ，并且矿之间有如下的关系： 当p 1 ，2 ，p 时，( 1 p ) 2 = 1 ； 当p p + 1 , p + 2 ，p + 口 时，( r ) 2 = 一1 ； 当p p ，v l ，2 ，p + q 时，r r ”+ r l p = 0 。 由上面的定义，我们可以得到，c l i f f o r d 代数的维数是2 f l ，那么作为一个向量空间，它 和外代数是同构的。 我们知道：当号差是欧氏的时，根据行列式的符号，群l = d m ) 分成连通的两部分：l = l + u l 。，当号差为任意的0 ，口) 时，三= d p ，g ) 分为四个连通的部分：l = l t + u l t + u l t _ u l i ， 在欧氏号差下，s d ( n ) 是连通的，并且群s 却n ( n ) 是其整体二重覆盖，而在任意号差( p ，q ) 下， 群s o ( p ，q ) 本身不连通，这时我们只考虑包含单位元的连通部分l i = s o r ( p ，q ) ，它的二重 覆盖是s v n tc 口，q ) 。 现在，我们在c l i f f o r d 中来具体的刻画旋量群跚竹p ，g ) ，引入向量空间e ，其号差为 ( p ，口) ，基底是，把e 中的元素口= “和c l i f f o r d 代数c o , ，q ) 中的元素t ，= 口”等同起 来，这样我们就把引获入到了c l i f f o r d 代数c ( p ，q ) 中。 定义2 ：c l i f f o r d 群r 是 扫c l i f f o r d 代数c = c ( p ，q ) 中满足如下关系的可逆元s 组成的 群： 忱e ，8 x 8 - 1 e( 2 1 ) 这时，e 中的每个可逆元都属于c l i f f o r d 群。事实上，我们可以计算： 1 口册= 去( 一口口嚣 4 - 2 v g ( v ，茁) ) = - x + 2 9 扣，x ) v v 2 ( 2 2 ) 更一般的情况下，任意的s r ，变换：x ( s ) ：z e 一8 x 8 “都是正交群o ( p ，q ) 中的元素。 弘预备知识 3 2 2p i n 群和s p i n 群 首先，我们定义d i r a c “拔”算子，它作用在复数上等于这个数的复芪轭，而作用在，y p 及 它们的乘积上 酽= 一矿 ( 2 3 ) 衍= ( 一1 ) p 垆f ，y 1 ( 2 4 ) 我们定义c l i f f o r d 群的子群p i n 群为： p i n = 0 钤x ( s ) 三i k 是偶数且拈 0 兮x ( s 1 l t _ k 是奇数黾拈 0 铮x ( 8 1 吐 那么 s _ 嘶n = s r n c o l i s = 1 ) ( 2 6 ) 我们用符号g 表示c l i f f o r d 代数中由偶数个u 。相乘得到的元素组成的集合。这时，我们可以 看到，如果s 是旋量群s 却n 中的元素，那么一8 也是该旋量群中的元素，并且x ( 8 ) = x ( 一s ) ， 所以有 k e r x = - 1 ，+ 1 ) 作为一个例子，我们具体地来看旋量群s 研n ( a ，1 ) ，c l i f f o r d 代数c l ( 1 ，1 ) 是由四个元素 生成的，并且它们之间的关系是 e ；= 1 ，= 一1 ，e l e 2 = 一e 2 e l( 2 7 ) 5 2 预备知识 4 设以e l ，e 2 为基底张成的线性空间为e ，则旋量群s p i n ( 1 ，1 ) 中的元素都可以写成偶数个e 中 的元素的乘积，也就是，该旋量群中的每个元素都具有如下的形式： 2 k ( 啦e 1 + 玩e 2 ) ( 2 8 ) t = 1 并且参数a i ，政满足：一砰+ 醒= 1 根据e i 之问的关系，具有如上形式的旋量群s p 饥( 1 ，1 ) 中的每一个元素都可以写成 并且要满足骀= 1 ，即是 也就是 s = a l + b e l e 2 ( 2 9 ) 0 l + b e l e 2 ) ( a l + b e 2 e t ) = 1( 2 1 0 ) n 2 6 2 = 1 ( 2 1 1 ) 所以旋量群s p i n ( 1 ，1 ) 可以写成 s p i n ( 1 ，1 ) = n 1 + b e l e 2 1 a 2 一b 2 = 1 ( 2 1 2 ) 3 旋量群的矩阵表示粤( 1 ，q ) 3 旋量群的矩阵表示固( 1 ，g ) 在给出9 ( 1 ，口) 的具体形式之前，利用数学归纳法，我们来定义高维的1 矩阵 3 1高维7 矩阵的构造 对于任意的2 2 复矩阵a ，我们定义 琵= a t 5 仁0 。11 c 3 其中a 表示a 的转置，3 表示a 的复共轭。 引入2 2 的p a u l i 矩阵 印= ( ：) ，盯- = ( ：) ，砚= ( ：言) ，以= ( ：三) c s z ， 它们都是厄米矩阵，并且满足： q 盯：+ a k a ；= 西u k + 吩= 2 仍k ( 1 ，3 ) i i ，j ，k = 0 ，l ，2 ，3 ，( 3 3 ) 其中似( 1 ，3 ) 构成对角矩阵，对角线上第一个元素为1 ，其余为一1 。类似的，对于任意大 于3 的正整数q ，r b k ( 1 ，q ) 也是对角矩阵，其对角线上第一个元素为1 ，其余为一1 。沿用文 献 1 0 l 中的记号，我们也约定：i 。表示弘妒的单位矩阵，其中1 1 为2 2 的单位矩阵 定义四维1 矩阵为： c ，s ，= ( 町0 吩0 ) ，= 。，t ，z ，3 ， c s 4 ， 四维，y 矩阵是4 4 阶的矩阵，由4 个2 2 的分块矩阵组成，由西矩阵的性质容易验证 ( 1 ，3 ) 满足： ( 1 ，3 ) 7 k ( 1 ，3 ) + 饥( 1 ，3 ) 7 j ( 1 ，3 ) = 2 仍i ( 1 ，3 ) 1 2( 3 5 ) j ，k = 0 ，1 ，2 ，3 定义五维，y 矩阵为： 枷h s 砒z ，s 州，= ( 等三。) ， b 。， 3 旋量群的矩阵表示习( 1 ，q ) 6 即前四个五维的7 矩阵与四维的相同，最后一个五维的，y 矩阵是对角的分块矩阵，反对角线 上为0 ，主对角线上是i l l ，一i 1 1 因为( i 1 1 ) 2 = ( 一i 1 1 ) 2 = 一i l ，所以对于任意的j ，ko ，k = 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ) 都有： y j ( 1 ，4 ) 7 k ( 1 ，4 ) + k ( 1 ，4 ) ( 1 ，4 ) = 2 f j k ( 1 ，4 ) 1 2 ( 3 7 ) 类似于四维和五维，利用数学归纳法，我们定义更高维的，y 矩阵： ( i ) 当q 为奇数时，取q = 2 n 一1 , 其e e n 是大于等于3 的整数， 竹c ，z 佗一t ，= ( 。，三一。，1 畜一2 ) ，= 。，z 竹一z ； c 1 , 2 n - 1 ，= ( 三：) s ， ( i i ) 当q 为偶数时，取q = 2 n ，其中n 是大于等于3 的整数， ( 1 ，2 n ) = ( 1 ，2 n 一1 ) ，p = 0 ，1 ，2 n 一1 ； 诽，z 护i i 三。) p 。， 由以上7 矩阵的定义及其性质的讨论，我们可以得到：对于任意大于等于3 的正整数q ，其 对应的7 矩阵是2 l ! 笋1 2 【! 争】阶的矩阵，其r f ，f 字】表示字的整数部分，并且利用归纳法，可 以证明以上定义的任意维的，y 矩阵都满足： 竹( 1 ，g ) 讥( 1 ，q ) + 讯( 1 ，q ) ( 1 ，q ) = 2 仍女( 1 ，q ) i f ! 笋l ， j ，七= 0 ，1 ，一，口 ( 3 1 0 ) 3 2 毋( 1 ，g ) 的具体形式 我们知道，在低维情况下，旋量群s 讲n ( 1 ，g ) 可以用经典李群来刻画，比如： s p i n ( 1 ，2 ) = s l ( 2 ，r ) ，s 研n ( 1 ，3 ) = s l ( 2 ，c ) ( 3 1 1 ) 并且很容易验证： ( 吾：) a s l c 。，c ，) 同构于s l ( 2 ，c ) ，所以得到：该群是号差为( 1 ，3 ) 的四维空间上的s 研n 群的矩阵表示，记此群 为固( 1 ，3 ) 3 旋量群的矩阵表示f 1 3 ( 1 ，口) 7 定义： 州，= 冲= ( 。( i 坩+ k 州* t k ) - z 篇孳+ ) ( ：暑) 其中u s l ( 2 ，c ) ，k = i 乃 由文献【9 】中定理1 的证明，我们知道固( 1 ，4 ) 构成群，且其中的任意元素t 都满足： 其中 t ( 0 e e 0) = ( ： e 0 t明叫= 1 2 ，d e t t = 1 ， ( 3 1 3 ) l ( 1 ，4 ) = ( 蟛( 1 ，4 ) ) o 甄，4 s o ( i ，4 ) 并且映射t 一工( 1 ，5 ) 是2 对1 的群同态映射以及局部同构。 当q 是大于等于5 的整数时，定义9 ( 1 ，q ) 为： ( i ) 当g 为奇数时，取q = 2 n 一1 ，其中几是大于等于3 的整数， 唧，凯叫= t i t = 3 ( a ) u 吕) ) 其中 以及 其中 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) u 固( 1 ，2 n 一2 ) ， 3 c 口，= 南( 1 + 譬2 n 一2 1 ，一暑，。n 一。，) c s 。， d t j ( 1 ，轨一2 ) = d t j ( 1 ，2 n 一2 ) j = o 在本文中约定：当1 与7 矩阵相加减时，1 表示与1 矩阵一j 阶的单位矩阵 ( i i ) 当q 为偶数时，取q = 2 n ，其中礼是大于等于3 的整数， 彩( 1 ，2 n ) = t i t = 。j ( 。) 矿) u 9 ( 1 ，2 n 一1 ) 哇lo | | p 吣0勺0够 ；脚 ir 妨0巩 及以 3 旋量群的矩阵表示9 ( 1 ，q ) 8 和 3 c n ，= 南( 一i 日。，+ i 。一。，日。i n “一1 7 ) c 3 - ， 以及 日( n ) = a d d j ( 1 ，孰一2 ) 由文献【1 0 】我们可以得到：彩( 1 ，g ) 是一个由2 l 字】2 i 字】阶的矩阵组成的连通的李群，且 h ，10 p 王，口 是李代数r ( 1 ，口) 的一组基，所以对于任意的t 固( 1 ，口) ，有： 并且 ：r ( 1 ，q ) t 一1 = f ：( 1 ，q ) ，趾( 1 ，q ) ，= 0 ，1 ，q ； l ( 1 ，口) = ( 蟛( 1 ，q ) ) 0 5 0 则l r _ i j x 也大于0 所以 其中令 五疋 很容易验证 1 1 ( n a t j ) ( i + d y j ) u 1 v 2 0 、 f ：萨v 露0( 一) u 一一) 矾如 1 li + 一0、 、，1 一r l i j x i x j 以j 面硒0j z 嘞川j 云丽v i - r ，k c j c k ( 警讹0 嘶) ( 警巩0 踢) 万杀( h 机h 0 10 v 1 + 2 a c 一+ a 。c 2 川= 丽乃k，一 ( 警伽0 咖) ( 警巩0 巩) 南(7+，一：)(u。)(仉巩00 0u 0 巩) r i 泌，一| 巩巩 u = 了f i 1 2 a c i 专a 一2 c 2 ( 1 + 一c 讥)1 + 、 ”7 了亍f 丢1 丽( 1 + 一扩饥了亍南( 1 + 一扩饥) = j 所以u 的逆矩阵为 矿= , = 1 军= 2 a 赢ca 2 c 2 ( 1 + 一似) + 、 一 此时如果有矿霉( 1 ，2 n 一2 ) ，则u 巩巩习( 1 ，2 n 一2 ) ，所以乃正可以表示为陪集代表元3 ( x ) 4f f a ( 1 ，g ) 的陪集结构 与子群的元素乘积的形式。下面我们证明u 习( 1 ，2 n 一2 ) u u 一1 = 了f 芦翥1 丽( 1 + 0 j 矿饥) 了f 南( 1 + 矿九) = 丁干南( + 一扩协) ( 1 + 0 p 萨饰) = 丁干乏云1 干：虿( ，y 。+ n ，1 h 饥+ c 饥，y 。+ 扩一饥饰) 1 。+ 。2 。a 。c 。+ 。a 。e 。c 2h m 4 - a j c k ( 2 7 , k 一1 订凶1 j + dp l j l 1 m + 甜毋毋毋1 i l k ( 2 叩r ，| 叮一) ) i _ 军互晶( ( 1 + 2 a c + 0 2 c 2 ) + ( 2 f l m k a n c k 一2 聃耐一矿+ 她0 n c 叮 - 2 a 2 田w 矿一2 c 2 吩w ”n p ) ) = 1 3 弘觋+ 墼丝鱼坐半瓮髻孑纽竺型 把镌代入哆吼卸碍计算可以得到： 薯k ，脚。p q = 仍口 ( 4 1 0 ) 所以有 u y m u 一1 = f ：l h ，( z 。n ) s 0 ( 1 ，2 n 一2 )( 4 i i ) 故矿固( 1 ，2 n 一2 ) ，所以当q 是奇数时，结论成立。 ( 2 ) 当q 是偶数时，取口= 2 n ，n 为整数。仅在此证明的第二部分中约定：把( 1 ，2 n ) 简写 为，由3 ( o ) 的表达式可得： 3 c 。，= 南( 一i 日。，：。和一。，日 t 缸2 ”v ) = 考嘉卜+ 薯一( 吉1 点) ( 们，b 以1 ) + n 舫一1 ( 吉1 一。三一。) ( 一一。1 ) = 杀嘉( 厶+ 薯嘞) 42 j ( 1 ，口) 的陪集结构 把蒿1 省略，所以： 鼬) 2 南( 厶+ ) 取群勿( 1 ，2 n ) 中的元素五，t 2 丑= 3 ( 口) 巩，t 2 = 3 ( 6 ) 巩 其中巩，巩钐( 1 ，2 n 一1 ) ，则巩是分块矩阵，所以有 并且 仉讹。听。1 = 巩m 叶1 = 露，i , j = 0 ，2 n 一1 且矩阵( 踞) o ! 幻茎孙一l s o ( 1 ，2 n - - 1 ) ，令= 巧驴，l ，j = 0 ，2 n 一1 ，有 所以 11 ；= = = = = = = = = = ；= = = = = = = = = 、，1 一码k d o、1 一仍k b j b k t i t 2 = 3 ( a ) u 1 3 ( b ) u 1 町1 = 南3 ( n ) ( 厶+ 6 7 巩协听1 以町1 ) 以巩 。南3 ( n ) ( 厶+ 驴弓m ) 巩巩 2 ：i j 南3 ( n ) ( 厶+ 仇n ) 巩观 = 3 ( n ) 3 ( c ) 仉观 1 4 ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) 我们令 一= + 云署警耄! ；曷端 e a z z ， 以下约定：分别把一，锄，e ，简写为舻，a c ，c 2 ，把的表达式带入计算，可以得到下 面的式子成立： ( 厶+ 矿仇。饰) ( 厶+ 一m ) = ( 厶+ o 协m ) ( 厶+ 仇。) ( 4 1 8 ) 4 彩( 1 ，q ) 的陪集结构 与此证明的第一部分类似，我们也可以计算得出： 1 一q t 窖p ( 1 一a 2 ) ( 1 一c 2 ) 取3 ( n ) ，3 ( c ) 在单位元附近 1 2 。1 。+ 2 a c 1 。+ 。“。a 2 c 2 ( 4 1 9 ) l a l 0 ，a 2 6 2 一c 2 + d 2 0 的 群甥( 1 ，3 ) 的元素 任意l u 段 三= a + b t 0 7 l + c 7 0 协+ d 7 1 7 2 + o l 饷，y 1 讹加+ 6 1 蚀柏+ c v a h + d l y 3 ；“o 4 彩( 1 ，q ) 的陪集结构 其中参数满足： 令 fa 。2 。- - 一b 2 6 6 l - 一c 2 + 。d + 2 - 础( 。a 2 ：- 。砖一奄+ 研= 1 18 o 【2 6 2 一c 2 - 4 - d 2 0 l = a 1 + 6 l 加饥+ c l 伽他- 4 - d v l 仇- 4 - ( x o , ) , s - r o + x 1 仇饥+ x 2 7 3 7 2 ) ( 0 1 + b 1 3 0 7 1 + c l 伽仇4 - d 1 7 1 7 2 ) 其中x 0 ，z 1 ，z 2 为待定参数，比较上面的三的两个表达式可得： fa l x o 4 - b l z l + c l x 2 = d 2 ib l 护- 4 - a l x l - 4 - d l z 2 = c 2 l c l z o d l z l - 4 - a l z 2 = 一5 2 id l x o c l 9 9 1 + h 妒= 一a 2 上面的方程组在a 0 时有解( z o ，z 1 ，x 2 ) 冷 所以 l $ 。孺夏虿i 孬露 ( 4 2 3 ) ( 4 2 4 ) l = ( 1 + x ”7 3 7 04 - z 1 舶1 l - 4 - 石2 他仇) ( 0 1 + b 1 1 0 7 1 + c l t o ? 2 4 - d l t t 7 2 ) = z ( 1 + ) ( ；+ ；饷m + c 7 0 7 z + ! 饥蚀) 令 钍：兰+ - 6 7 0 7 1 + - 。3 0 7 2 + 曼m 他 钍= 一十十 十一m 他 容易看出，札是甥( 1 ，3 ) 中的元素，鼻f g - 等于 ( 吉：) 其中 u 。= ；+ ：加( 1 ，2 ) ，y 。( 1 ，2 ) + c 7 0 ( 1 , 2 ) 7 2 ( 1 ，2 ) + ；m ( 1 ，2 ) ( 1 ，2 ) 是霉( 1 ，2 ) 的元素，所以说钍与u 1 在同构意义下是一样的。并且由z o ，z 1 ，舻表达式知道， 1 一( 护) 2 + ( x 1 ) 2 + ( z 2 ) 2 = 互1 弘习( 1 ，口) 的陪集结构 1 8 l = 了亍三1 丽( 1 + 他) 饥 u = 8 + 饥+ c l b 他+ 嘶l 他( 4 2 5 ) 因为映射妒是群9 ( 1 ，3 ) 到群s 三( 2 ，c ) 同构映射，所以妒( u ) 是群s l ( 2 ，c ) 的单位元附近的 连通区域，且妒( u ) 中任意元素l 1 都在u 中能找到唯一的原像l ： 妒( l ) 3 万磊1 雨( 1 + i x 。e a + i x l e 2 - i x 2 e 1 ) ( a 1 1 + b e l + c e 2 + d e 3 ) = 乒1 舻讣( 1 + 柑i x 2 - - x 一0 - - x x o 1 i x 2 1 ) ( 置：)一乒蒯一+ z 1 一八c d 口舶 所以群s l ( 2 ，c ) 的单位元附近的连通区域妒( u ) 中任意元素都可以分解为陪集代表元 了f 1 驴( 一l 护+ + i x z 2 。- - ，x 一0 - - ；护x 1 ) 与子群s l ( 2 ，r ) 元素为 ( 川a - b 川c + d ) 5 结束语 5 结束语 1 9 本文回顾了如何利用归纳法来定义高维的7 矩阵，简单介绍了号差分别为( 1 ，2 ) 和( 1 ，3 ) 的 空间上的旋量群的表示、以及如何利用归纳法来构造更高维的旋量群的表示。然后根据此 种表示的具体表达形式，探讨了它的陪集结构，并得到如下结论： ( 1 ) 它的子群在同构意义下是比它低一维的旋量群的表示； ( 2 ) 它的陪集代表元是文章中定理( 1 ) 里定义的3 ( n ) ，且对此群中的任意元素乃，b ，若 设它们对应的陪集代表元分别是3 ( 口) ，3 ( 6 ) ，那么群2 3 ( 1 ，口) 的元素五乃对应的陪集代表元 是3 ( z ) ，其中z 与口，b 的关系如文中定义。这是此种表示的一个性质，有关该表示的其他 性质今后将继续探讨。 参考文献 参考文献 | 1 】1w k c l i f f o r d ，ap r e l i m i n a r ys k e t c ho fb i q u a t e r n i o n s ，m a t h e m a t i c a lp a p e r s ( l o n d o n ，1 8 8 2 ) ， p 1 7 1 ， 1 2 】j g a u i e r ，c l i f f o r da l g e b r a s ，c l i f f o r dg r o u p s ，a n d8g e n e r a l i z a t i o no ft h eq u a t e r n i o n s ：t h e p i na n ds p i ng r o u p s ，p h i l a d e l p h i a ，2 0 0 4 【3 】v v v a r l a m o v ，c l i f f o r da l g e b r a sa n dl o r e n t zg r o u p ，p r e p r i u ta r x i v ：m a t h - p h 0 1 0 8 0 2 2 1 4 】s i v a c a r u ，n ，a v i c o l ，n o n l i n e 盯c o n n e c t i o n sa n ds p i ng e o m e t r y , a x x i v ：m a t h - p h 0 4 0 6 5 8 8 【5 】w p a u l i ，z u rq u a n t e n m e c c h a n l kd e sm a g n e t i a c h e ne l e k t r o n sz p h y s i k4 3 ( 1 9 2 7 ) 6 0 1 【6 】p a m d i r a c ，p r o c r o y s o c a ，1 1 7 ( 1 9 8 2 ) 6 1 0 1 7 】i t p e r l r o s e , as p i n o ra p p r o a c ht og e n e r a lr e l a t i v i t y , a n n p h y s ，( n y ) ，l o ( 1 9 6 0 ) ，1 7 1 2 0 1 ( 8 ij p o l c h i n s k i ，“s t r i n gt h e o r y ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，1