（应用数学专业论文）某类上三角算子矩阵的谱.pdf

s p e c t r ao fs o m ek i n d so fu p p e r t r i a n g u l a ro p e r a t o rm a t r i x s ur o n g s u p e r v i s e db yp r o f e s s o ra l a t a n c a n gp h d s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ， i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y , h o h h o t ，0 1 0 0 2 1 m a y ，2 0 11 中文摘要 英文摘要 主要符号表 l i i i i i 第一章绪论 1 1 1 关于上三角算子矩阵补问题的研究现状 1 1 2 本文的主要结果 7 第二章一类无界2 2 上三角算子矩阵的谱 8 2 1 预备知识 8 2 2 有界算子扰动下谱保持不变的充分条件 9 2 3 例子1 2 第三章3 3 阶上三角算子矩阵的固有谱 1 4 3 1 预备知识1 4 3 23 3 阶上三角算子矩阵的固有谱1 5 总结与展望 1 8 参考文献 1 9 致谢 2 1 本文共分为三章，第一章简要概述了算子矩阵补问题的研究背景，发展概 况和本文的主要结果；第二章基于算子扰动理论，研究了一类无界2x2 上三角 算子矩阵的谱，并得到其谱可由对角块刻画的若干充分条件，并举例说明的结 果的合理性；在第三章中，对3 3 阶上三角型算子矩阵m d f ) 的固有谱，固有 左( 右) 谱进行了描述 关键词：上三角型算子矩阵；谱；左( 右) 谱；谱扰动； 中图分类号：0 1 7 5 3 主题分类号：4 7 ba m s ( 2 0 0 0 ) 1 国家自然科学基金项目( 1 0 9 6 2 0 0 4 ，1 1 0 6 1 0 1 9 ) 资助 a b s t r a c t e r 1 t h e r ea r et h r e ec h a p t e r si nt h i st h e s i s a n dt h em a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n d ，a d v a n c eo fc o m p l e t i o np r o b l e m so fo p e r a t o rm a t r i c e s a n dt h em a i nr e s u l t so b t a i n e di nt h et h e s i sa r ed e s c r i b e d i nc h a p t e r2 ，b a s eo nt h et h e o r yo fs p e c t r a lp e r t u r b a t i o n ，t h es p e c t r u mo ft h ea n b o u n d e d2 2u p p e rt r i a n g u l a ro p e r a t o rm a t r i c e si si n v e s t i g a t e d i ti ss h o w nt h a tu n d e r s o m ea s s u m p t i o n s ，t h e i rs p e c t r u mc a nb ed e t e r m i n e db yt h ed i a g o n a le l e m e n t s m o r e o v e r ， s o m ee x a m p l e sa r ep r e s e n t e dt oi l l u s t r a t eo u rr e s u l t s i nc h a p t e r3 ，t h ei n t e r s e c t i o n so fl e f t ( r i g h t ) s p e c t r a ，t h es p e c t r ao f3x3u p p e rt r i a n g u l a ro p e r a t o rm a t r i c e sa r ed e s c r i b e d k e y w o r d s - u p p e rt r i a n g u l a ro p e r a t o rm a t r i x ，s p e c t r u m ，l e f t ( r i g h t ) s p e c t r u m ，p e r t u r b a t i o no fs p e c t r u m c l a s s i f i c a t i o nn u m b e r ：( c l ) 0 1 7 5 3 a m s ( 2 0 0 0 ) ：4 7 b 1 p r o j e c t1 0 1 6 2 0 0 4 ，11 0 6 1 0 1 9s u p p o r t e db yn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a 丁+ 勿( 丁) 勿( 丁) 勿( 丁) a ( t ) c r e 。( 丁) 钆( t ) a , s ( t ) a p ( t ) ( 丁) c r r ( 丁) c r c ( t ) 线性算子丁的共轭算子 线性算子丁的定义域 线性算子丁的值域 定义在空间x 上的有界线性算子全体组成的空间 线性算子t 的谱集 线性算子丁的本质谱 线性算子t 的w e y l 谱 线性算子t 的半f r e d h o l m 谱 线性算子丁的点谱 线性算子丁近似点谱 线性算子t 的剩余谱 线性算子t 的连续谱 第一章绪论 1 1关于上三角算子矩阵补问题的研究现状 线性算子的谱理论是解决数学物理方程和其他一些数学问题的重要手段之一，近年 来，算子理论已经引起越来越多的数学家，力学家，物理学家乃至工程技术人员的关注，并 且得到了迅速发展，形成了一批经久不衰的研究课题算子矩阵是以算子为元素的矩阵， 缺项算子矩阵就是一些元素是已知的，其余元素都是未知的算子矩阵而算子扰动问题 就是对缺项算子矩阵进行研究，讨论其所缺项对整个算子矩阵的影响，如谱的扰动问题 算子补问题是近年来算子论中最活跃的研究方向之一在换位提升理论，插值理论中一些 问题的影响下，这一问题已经被许多学者从各个方面所研究而2 2 阶，3 3 阶上三角 算子矩阵是最简单且最基本的缺项算子矩阵，因此这两类算子矩阵补的研究有着特别重 要的意义在有限维空间，上三角算子矩阵的性质仅由其对角块决定但在无穷维空间， 2 2 上三角算子矩阵 肛醐 的性质较为复杂近年来，对于b a n a c h 空间上定义的有界算子a ，b 和c ，算子矩阵m e 各 类谱的刻画及其谱的稳定性研究吸引了一大批学者 本文中，x ，y 表示无穷维h i l b e r t 空间，对于x 到y 的线性算子t ：x y ，勿( t ) ， 历( 丁) 和( 丁) 分别表示算子丁的定义域，值域和零空间( 或核空间) 记 n ( t ) = d i m 一4 ( t ) ，d ( t ) = d i m ( y 勿( a ) ) ， 其中y 纫( a ) 表示算子t 的商空间n ( 丁) 称为算子t 的零度，d ( 丁) 称为算子t 的亏度 定义1 1 1 设x 是b a n a c h 空间，a c ，如果t 一入不是满射，则称a 是丁的亏谱丁的 全体亏谱记作c r s ( 丁) ，即 仉( 丁) = 入c ：r ( t a ) x ) 如果存在z n 勿( t ) ，i lx nl i = 1 使得i | ( 丁一a ) z ni l 一0 ，则称a 是丁的近似点谱t 的全体近 似点谱记作哂( 丁) ，即 ( t ) = 入c ：存在z n 9 ( t ) ，i lz ni i = 1 使得0 ( t 一入) z n0 _ o ) 上三角算子矩阵谱的稳定性研究 不难发现，( t ) u 吼( t ) = a ( t ) 并且 入隹o a p ( 丁) t a 左可逆， a 隹c r s ( 丁) 铮t a 右可逆 在文【1 中，作者对h i l b e r t 空间上定义的有界算子a ，b ，给出了n盯( 帆) 的刻画 c 留( y x ) n 仃( 耽) = a a p ( a ) ua 。( b ) u 入c ：n ( b a ) d ( a a ) ) ( 1 1 1 ) c e 留( e x ) 对于任意的c 留( x ) ，显然有 盯( 舰) co ( a ) u 盯( b ) ， 于是，下面的问题自然会引起人们的重视 问题1 当算子月，b 满足怎样的条件时，对任意的c 留( vx ) ，有 口( 尬) = o ( a ) uo ( b )( 1 1 2 ) 问题2 给定算子a ，b ，哪些算子c h - 匕b 够满足( 1 1 2 ) 式? 对于其他类型的谱( 如本质谱，近似点谱，w e y l 谱) 也有类似的问题文【2 】将( 1 1 1 ) 式 推广为 no ( m o ) = o r 印( a ) u 吼( b ) c 留( y x ) u 入c ：n ( b a ) 一1 ( o ) y ( a 一入) ( x ) 并进而给出当o ( a ) n 盯( b ) 没有内点，特别当 ( a ) nc r s ( b ) = d 时，( 1 1 2 ) 式成立文 3 】将其推广至 【仃。( a ) no a p ( b ) a a n ( a ) uc r 5 ( b ) 】 没有内点的情形 如果复函数，( 入) = o 是唯一的满足( 入j 一t ) f ( a ) = o 且在a 的某领域内解析的函数， 则算子丁彩( x ) 称为在入c 上有单值延伸性如果t 留( x ) 在复平面内的每一点都 有单值延伸性，则称丁有单值延伸性( 简写为s v e p ) 记 s ( t ) = 入c l t 在入没有s v e p 2 内蒙古大学硕士学位论文 文 4 ，5 】分别证明了当b 或月+ 有s v e p 时，( 1 1 2 ) 式成立文 6 将让结果更加精确地刻画为： 对于给定的a 劈( x ) ，b 留( y ) ， 莎( a 亿) u ( s ( a + ) ns ( b ) ) = 盯( a ) uo ( b )( 1 1 3 ) 对任意的c b ( x ，y ) 成立 对丁留( x ) ，若n ( t ) 且r ( t ) 是闭的，算子丁被称作z ：1 e d h l o m 算子( 上半 f r e d h l o m 算子) 若t + 是左f r e d h l o m 算子，t 称为右f r e d h l o m 算子( 下半f r e d h l o m 算子) 若丁既是左f r e d h l o m 算子，又是右f r e d h l o m 算子，则称丁是f r e d h l o m 算子t 的左本质 谱，右本质谱和本质谱的定义如下： 砚。( 丁) = 入c ：t 一入不是；主f r e d h l o m ， 听。( t ) = 入c ：t a 不是右f r e d h l o m ， 吼( t ) = 入c ：t a 不是f r e d h l o m 令( ) 表示之前提及的任意一种谱，定义集合 d e = ( e ( a ) ue ( b ) ) e ( m c )( 1 1 4 ) 文 7 】证明了 d 矿。cs ( a + ) ns ( b ) n 吼( a ) nc r e ( b ) ( 1 1 5 ) 特别，当s ( a + ) ns ( b ) n ( a ) n 吼( b ) = d ，或者，当唧( a ) 或( b ) 没有内点时，对于任 意的c 召( x ) ，有 仃。( m e ) = 吼( 4 ) uc r e ( b )( 1 1 6 ) 文 8 定义如下集合： s ( x ) = 丁t c ( x ) ：n ( t p ) d ( t p ) ) ， s 一( x ) = 丁b ( x ) ：n ( t p ) d ( t p ) ) ， 并给出，当a 耳( x ) 或b ( x ) 时，( 1 1 7 ) 式成立 当有界线性算子丁是f r e d h l o m 算子，且i n d ( t ) = 0 ，则称丁为w 匆1 算子w e y l i 徽 为 乱( 丁) = a c ：t a p 混w e y l 算予) 3 性研究 x ) ，有 ) ns ( b ) ( 1 1 7 ) u ( b ) ， ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) 文 7 将d 口。，的范围更加精确的刻画为 d p s ( a ) no o a b ) ，( 1 1 1 0 ) 特别地，当a + 有s v e p 或a 是拟三角算子时， o p ( m c ) = ( a ) u ( b ) ， ( 1 1 1 1 ) 类似地，也可以得到 d 盯s a s ( a ) ns ( b ) ， ( 1 1 1 2 ) 特别地，当b 有s v e p 或b + 是拟三角算子时， a s ( m c ) = a s ( a ) u 叨( b ) ( 1 1 1 3 ) 对于入c ，若存在入的开邻域d ( a ，r ) ，对于任意的开集vcd ( a ，7 ) ，以及任意的 ( ) n o ( c r , x ) ( 记汐( 以x ) 为定义于u 上的全体x 一值解析函数组成的f r 色c 危e 空间) ，若 ( 丁一p ) 厶( p ) _ o 可以推出厶( p ) _ o ，则称t 在a 满足b i s 危o p s ( 简记为p ) 性质记 即( t ) = 入c lt 在a 不满足卢性质) ， 称算子t 在入具有谱分解性质( s p e c t r a ld e c o m p o s i t i o np r o p e r t y 文 9 】，简记为6 性质) ，如果 存在入的开邻域u ，对于复平面c 的任一满足o ( t ) u 仉的有限开覆盖 u 1 ，巩 ， 有 x t ( u 1 ) + + x t ( u n ) = x ， 这里许( f ) 表示所有满足如下条件的向量z x 组成的集合：存在解析函数，：c f _ x ， 使得当c f 时，有( 丁一p ) 厂( p ) = z 文 7 】证明了对于任意a b ( x ) ，b b ( y ) ， 及c 尽( y ，x ) ，有 即( a ) u 即( b ) u ( 月) = a 卢( m c ) u ( a ) ， ( 1 1 1 4 ) 4 进而有 d 即a 6 ( a ) v i 即( b ) ( 1 1 1 5 ) 特别地，当a 6 ( a ) = o 或a 6 ( a ) 没有内点时 a z ( m c ) = 即( a ) u 即( b ) ( 1 1 1 6 ) 由于p 谱与6 谱的对称性，也有如下结果 d 盯6c 仃6 ( a ) n p ( b ) 文【3 】对于前面提到的问题2 作出了解答，证明了对于给定的a b ( x ) ，和b 召( y ) ， 若 c c z 【r ( 以，b ) + ( 以，b ) + u a c n ( l a a ) + u a o n ( r b a ) ，( 1 1 1 7 ) 则( 1 1 2 ) 式成立其 l a 与r b 分别表示左乘算子 a ( ) ：召( x ) _ 召( vx ) 和右乘算子 ( ) b ：1 3 ( x ) 一召( vx ) 由于以，b = l a 一兄b ，文【9 将式( 1 1 1 8 ) 推广为 c c l r ( 6 a ，b ) + ( 6 a ，b ) + u a c ( l a a ) + u a c ( r b a ) 】，( 1 1 1 8 ) 并且对于所有的 盯，o e ，( t a p ，o s ，即，) ，由m ( m o ) = m ( a ) u ( b ) ，有 ( 慨) = ( a ) u ( b ) 对于所有满足( 1 1 1 8 ) i 约c b ( y ，x ) 均成立特别的是，由于钆( ) 钆( a ) u 钆( b ) ， 故上式对于= o w 时不成立 基于文 1 】的结果，很多学者对2x2 上三角算子矩阵的谱扰动进行了更加深入的研究 2 0 0 1 年，i ns u n gh w a n g 和w o oy o u n gl e e 对上三角型算子矩阵的左谱( 近似点谱) 和右 谱( 亏谱) 的扰动进行了研究【1 4 】；近两年，李愿等人给出上三角型算子矩阵的左( 右) 、y l 谱 的扰动f 15 】，左( 右) 谱的扰动f 1 6 j 以及本质近似点谱的扰动 1 7 】；张海燕给出上三角型算子 矩阵的b r o w d e r 谱的扰动【1 8 】；侯国林对上三角算子矩阵的点谱，剩余谱和连续谱的扰动 分别做出了刻画 1 9 】 5 上三角算子矩阵谱的稳定性研究 然而，上述结论仅限于有界2 2 算子矩阵情形，于是人们试图将其推广到无界情形 文【1 0 利用算子的扰动理论证明当a ，b 均为无界可闭算子且c 是b 一紧算子时， o e 。( m c ) = o e 。( a ) uo e 。( b ) 对于3x3 阶算子矩阵，也有人进行了研究侯国林在 1 1 中研究了h i l b e r t 空间线。i t - 次最优控制问题中的一个算子的可逆性；曹小红在文 1 2 】中研究3 3 3 阶上三角型算子矩 阵 m ( d ，e ，f ) = a? 0b? 00c 之本质谱的扰动，海国君在文 1 3 1 中研究t 3 3 阶上三角型算子矩阵可能的剩余谱，连续 谱，点谱以及各类可能谱之间的关系 6 的固有谱，固有左谱，固有右谱 进行了刻画 m c d ，e ，f ) = 0b? 00c ( 线性) 算子1 和口，( 1 1 2 ) 式 算子矩阵的谱，并得到其谱 理性 no ( m ( o ，e ，f ) ) ，no l ( m ( o ，e ，) ) ，n “( a 致d ，e ，f ) ) ( d ，e ，f )( d ，e ，f )( d ，e ，f ) 7 2 1 下面给出文中涉及的基本概念 定义2 1 1 2 0 i 设x 是h i l b e r t 空间， 日= 三一b 月。 ： 预备知识 阵的谱 其谱可由对角线元素的 勿( 日) cx x x xx 若a 为x 内的稠定闭算子，a + 为a 的共轭算子，b 和c 均为自伴算子，则称日为无穷 维h a m i l t o n 算子 定义2 1 2 2 1 】对丁的谱集盯( t ) 做分类： 1 ) 称a 为丁的点谱，如果t a ，不是单射点谱的全体记为唧( 丁) ，即 唧( t ) = a c ：t 一入j 不是单射 ； 2 ) 称a 为t 的剩余谱，如果丁一a ，是单射并且r ( 丁一h i ) x 剩余谱的全体记 为听( t ) ，即 c r r ( 丁) = a c ：t 一入，是单射，r ( t h i ) x ) ； 3 ) 称a 为丁的连续谱，如果t 一入，是单射并且万f 呵= x ，但是它的逆算子不是 连续的连续谱的全体记为c r c ( 丁) ，即 c r c ( 丁) = 入c ：t a ，是单射，瓦f 面= x ，但是( 丁一入，) 一1 不是连续的 显然，唧( t ) ，c r r ( t ) ，c r c ( t ) 是互不相交的且 ( t ) u 听( 丁) uc r c ( 丁) = 盯( 丁) 注2 1 1 当丁是闭算子，特别是有界线性算子时，利用b a n a c h 逆算子定理以及闭图像 定理可推出：丁的预解集p ( 丁) 和连续谱c r c ( 丁) 分别为 p ( t ) = a c ：t 一入，是单射，r ( t h i ) = x ) ； 吼( 丁) = 入c ：t a ，是单射，r ( t m ) 冗( 丁一h i ) = x ) 8 囱蓥直杰堂堡主堂鱼迨銮 注2 1 2 闭算子的定义，b a n a u c h 逆算子定理以及闭图像定理的叙述与证明可参阅 2 1 】 2 2 有界算子扰动下谱保持不变的充分条件 定理2 2 1 设x 是b a n a c h 空间，是定义于x 上的有界线性算子，t 是定义在x 的子 空间q x 中的闭线性算子，且七= n t = 0 ( n j o ，j = 1 ，2 ，k 1 ) ，则 o ( t + n ) = 仃( 丁) 证明设a c o ) 若( 一a ) z = 0 ，则由忌= 0 ，知 n 七z = a k x = 0 所以 z = 万1 。v k z = 0 这表明一入是单射i n n n 定义域为全空间，n n k = 0 ，记 七一1 p ( a ，) = a 一， i = 0 则 ( n a ) p ( a ，n ) = n 七一入七= 一a 七 进而，对任意z x 均有 z = 一去( 一a ) ，) ( ) z ， 这蕴含一a 是满射，故j 7 、r a 可逆利用关系式丁= 0 ，经计算可得 于是有 一a 一1 ( 一a ) ( t a ) = t + n 一入， a o ( t + n ) a 盯( 丁) 现设入= 0 若丁具有定义于全空间的有界逆，则勿( 丁) = x 由t = o 可得勿( ) = o ) ，即算子将全空间映射为零向量，这与o 矛盾，所以。隹j d ( t ) 而若丁+ 具有定 义于全空间的有界逆，则历( 丁+ n ) = x 注意到七一1 ( 丁+ n ) = o 可有纺( 七一1 ) = o ) ， 这与七一1 o 矛盾，所以。圣p ( t + ) 于是 0 o ( t + n ) n 口( 丁) 9 注2 2 2 文【3 】在有界情形下证明了满足丁= o 且2 = o 的算子，t 也满足 a ( t + n ) = 仃( 丁) ， 本文将其推广至更为一般的情形此外，在文【3 】中，对于有界的线性算子z ，将条件丁= 0 改为丁= 0 时，定理2 2 1 仍然成立，但在本文中，这样不一定成立 定n 2 2 2 设a ，b 均：n b a n a c h 空n x 中的闭算子若c ：豸( x ) j t c b = 0 ，则 盯( 坦) = a ( a ) u 仃( b ) 丁= ：三 ，= 兰司， 则留( xxx ) 且 丁= 三司 a 。三 = 兰警 = 。， 肚阿姐 这样，定理2 2 16 0 的条件得到满足，由此可得 盯( 帆) = o ( t + n ) = a ( t ) = a ( a ) u 盯( b ) 作为定理2 2 1 的直接推论，可得到如下结果 日= ：一c a 。 ：勿c a ，9 c a + ，_ x x 为上三角无穷维h a m i l t o n 算子若c 有界且c a + = 0 ，则 其中集合 o ( h ) = 矿( a ) ua ( - a + ) = 仃( a ) u 一盯( 1 ) + ， - o ( a ) = a c ：一入盯( a ) ) 显然，此时盯( ) 关于虚轴对称，并且可由口( a ) 刻画 推论2 2 2 设a ，g 均为b a n a c h 空间x 中的闭算子，且b 绍( x ) 若存在 n o ，1 】- ，使得b 七= o 且0 ( j = 1 ，2 ，k 一1 ) ，则 证明取 a ( m c ) = o ( a ) u o t = ：司，= 兰三 易知，定理2 2 i t 的条件得到满足注意到盯( t ) = o ( a ) u o ) ，有 仃( 尥) = 仃( 丁+ n ) = o ( t ) = o ( a ) u o ) 推论2 2 3 算子a ，b 是定义在b a n a c h 空间x 中的稠定闭线性算子，若算子c ，d 留( x ) ，且满足d a = 0 ，d c = o 且c b = 0 ，记 m = 匕 则 o ( m ) = o ( a ) u 盯( b ) 1 1 ，u ( o ) = u ( 1 ) ，u i x ) 定 4 = | 芋习，b = 罡0 d lc = ：习， 并且勿( a ) = qxx ，9 ( b ) = 9 ( c ) = x xx 显然，勿( 帆) = 9 ( a ) x 勿( b ) 易知，c 召( x ) 且c b = 0 注意到 由定理2 2 2 知 a ( a ) = 2 七7 r ：k z ) ，o ( b ) = o ，d ) ， 仃( 疋) = a ( a ) uo ( b ) = o ，d ，2 k l r ：k z ) 例2 3 2 设x = 1 2 【1 ，o o ) ，岛，s 分别表示x 上的左、右移算子，即对任意x = ( x l ，x 2 ，x 3 ，) x ， 取 易知 但0 p ( h ) ，从而 岛z = ( x 2 ，x 3 ，) ； s z = ( 0 ，x l ，x 2 ，x 3 ，) 日= ：一c a 。 = 言，二量s 盯( s ) = 仃( 筑) = a ( - s 1 ) = a ：i 入i 1 ) ， a ( h ) 盯( 母) u 盯( 一s ：) 1 3 第三章3 3 阶上三角算子矩阵的固有谱 3 1预备知识 设x 1 ，托，尥为无穷维复的可分h i l b e r t 空间，彩( 冠，玛) ( i ，j = 1 ，2 ，3 ) 表示从置到恐 的所有有界线性算子构成的b a n a u c h 空间，纺( 墨，码) 简记为勿( k ) f f l f ( d ，e ，f ) 表示3 3 阶 上三角型算子矩阵 m ( d ，e ，f ) = ade ob f oqc 其中d 历( 恐，x x ) ，e 历( 恐，x 1 ) ，f 历( 恐，局) 显然，m d ，e ，f ) 为缺项算子矩阵 m ( d ，e ，f ) = a? 0b? 00c 的一个补，是x 1o e x 3 _ t = 的有界线性算子为叙述方便，我们对给定的算子a 留( x 1 ) 和b 勿( 托) ，p f l , m d 表示2 2 阶上三角型算子矩阵 = 醐。m 其中d 历( 兄，x 1 ) 现在罗列本章中用到的基本定义 定义3 1 1 设x 和y 是h i l b e r t 空间，奴和一分别为x 和y 上的恒等算子，丁是从xf u y i 的有界线性算子 1 ) t 称为左可逆，如果存在y 到x 的有界线性算子l 使得t = i x 成立， 2 ) 丁称为右可逆，如果存在y 到x 的有界线性算子r 使得丁兄= i y 成立， 3 ) t 称为是可逆的，如果丁既是右可逆，又是左可逆，此时l = r ，记为丁一。 注3 1 1 t 的右可逆性和左可逆性具有如下等价描述： 1 ) t 是左可逆的当且仅当丁是下有界的，即t 为单射并且丁的值域纫( 丁) 是闭的 2 ) 丁是右可逆的当且仅当丁是满射，f l 吻( t ) = y 算子称 na ( m o ，e ，f ) ，na z ( m d ，e ，f ) ，n 西( i 幻，e ，f ) d ，e ，fd ，e ，fd ，e ，f 为缺项算子矩阵m d ，e ，f ) = a? 0b 00 ( 或a 致d ，e ，f ) ) 的固有谱，固有左谱，固有右谱 3 2 3 3 阶上三角算子矩阵的固有谱 定理3 2 1 设置( i = 1 ，2 ，3 ) 为n - - j 分无限维h i l b e r t 空间，若存在d 历( 兄，x 1 ) ，e 刀( ，墨) ，f 留( 恐，) ，使得3 3 算子矩阵 m ( d ，e ，f ) = ade qb f 00c 为左可逆算子的充要条件是a 是左可逆的，且下列条件之一成立 1 ) 勿( b ) 闭，砑( g ) 闭，g n ( c ) + 几( b ) d ( b ) + d ( a ) 且佗( b ) d ( a ) 。o ； 2 ) 留( b ) 闭，留( g ) 不闭，且n ( b ) d ( a ) d ( b ) = o o ； 3 ) d ( a ) = 引理3 2 1 设x ，y 为可分无限维h i l b e r t 空间，若存在d 留( x ) ，使得2x2 算子矩 l 习 为左可逆算子的充要条件是a 是左可逆的，且 d ( 创独) ，翔) 闭 ( 3 2 1 ) id ( a ) = 。o ，当纺( b ) 不闭 引理的证明参见【1 6 】 引理3 2 2 【2 2 】设a 2 ( x 1 ) ，b 纺( 恐) 为给定算子且a 是左可逆，n ( b ) d ( m ) o 。如果存在d 勿( ，x 1 ) ，使得 幻为单射，则 d ( m1 ：j d ( 曰) ，如果d ( a ) = n ( b ) ()o 3 22 ) = ， () id ( b ) + d ( a ) 一n ( b ) ， 如果勿( b ) 闭 1 5 e ，f 使得m ( d ，e ，f ) 是左 业 存在d ，e ，f 使得m ( d ，e ，f ) 是左可逆算子兮 历( c ) 不闭且n ( b ) d ( a ) d ( b ) = 。或者， 勿( c ) 闭且n ( c ) + n ( b ) d ( b ) + d ( a ) 且孔( 口) d ( a ) o o 充分性：设存在d ，e ，f ，使得m ( d ，e ，f ) 是左可逆算子，于是左可逆且由引理可 9 i , i l n ( b ) sd ( a ) 若勿( c ) 闭，贝1 j n ( c ) d ( m d ) 由引理3 2 2 知，当勿( b ) 闭时， d ( 三三 ) = d c b ，+ d c a ，一佗c b ， n ( c ) + n ( b ) sd ( b ) + d ( a ) 若历( c ) 不闭，贝j j d ( m d ) = o 。又由勿( b ) 闭可知n ( b ) d ( 4 ) 且是左可逆，那么 所以 d ( a ) + d ( b ) 一n ( b ) = o o ， 几( b ) d ( a ) d ( a a ) 或者d ( b 一入) o o ) 与之类似，对于m w ，e ，f ) 的固有右谱有如下结果 推论3 2 1 对于任意的a 留( x ) ，b 劈( 恐) ，c 历( 尥) 有 n 田( m ( d ，e ，f ) ) = c r r ( c ) u a c ：留( b 一入) 不闭，n ( c 一入) = o o d ，e ，f u a c ：历( a 一入) 闭，n ( c 一入) 4 - n ( b 一入) n ( c a ) 或者n ( b a ) 。) 也得到关于m d ，e ，f ) 固有谱的相关结果： 推论3 2 2 对于任意的a 留( x 1 ) ，b 留( 托) ，c 留( 恐) 有 na m d ，e ，f ) ) = c r r ( c ) u 砚( a ) u 入c ：纺( b a ) 不闭，n ( c 一入) = 。或者d ( a 一入) = 0 0 u a c ：勿( b a ) 闭，_ f i n ( c 一入) + n ( b a ) d ( b 一入) + d ( a 一入) ) 总结与展望，d ：日| 兀：三e 缺项算子矩阵的补问题是近年来算子理论中最活跃的研究课题之一，在算子理论中 有着重要的理论价值和应用价值对它们的研究涉及到基础数学与应用数学的许多分支， 诸如代数学、几何理论、算子扰动理论、矩阵理论，通过对它们的研究可以使得算子结构 的内在关系变得更加清晰，在控制论、系统论、稳定性理论以及插值理论等学科中得到 广泛的应用缺项算子矩阵的补问题中比较重要的一个方向是谱补问题，其包括缺项算子 矩阵的固有谱和可能谱等内容 作为本文的展望，还有许多问题可以进一步研究，譬如： 无界2x2 上三角算子矩阵的谱可由其对角算子刻画的充要条件 3 31 - _ 三角型算子矩阵的其他固有谱的描述 由于时间原因，文中难免存在疏忽和不妥之处，敬请翻阅本文的各位专家和学者批 评指正 1 8 参考文献 【1 】h k d ua n dj p a n p e r t u r b a t i o no fs p e c t r u m so f2 2o p e r a t o rm a t r i c e s j p r o c a m e r m a t h s o c ，1 9 9 4 ，1 2 1 ：7 6 1 一，7 ， 6 【2 】j k h a n ，h y l e ea n d w y l e e i n v e r t i b l ec o m p l e t i o n so f2 2u p p e rt r i a n g u l a ro p e r a t o r m a t r i c e s ，p r o c a m e r m a t h s o c 1 2 9 ( 2 0 0 0 ) 1 1 9 1 2 3 f 3 】m b a r r a aa n dm b o u m a z g o u r an o t eo nt h es p e c t r u mo fa nu p p e rt r i a n g u l a ro p e r a t o r m a t r i x j 】，p r o c a m e r m a t h s o c ，2 0 0 3 , 1 3 1 ：3 0 8 3 - 3 0 8 8 【4 】m h o u i m d i ，h z g u i t t i ，p 7 0 _ 矿治芭ss p e c t r a l e sl o c a l e sd u n em a t r i c ec a r r d ed e so p d r a t e u r s ， a c t am a t h v i e t n a m 2 5 ( 2 0 0 0 ) ：1 3 7 - 1 4 4 【5 】5 s v d j o r d j e v i 6 ，y m h a r t ，an o t eo nw e y l st h e o r e mf o ro p e r a t o rm a t r i c e s ，p r o c a m e r m a t h s o c 1 3 0 ( 2 0 0 3 ) 2 5 4 3 - 2 5 4 ， f 6 】h e l b j a o u i ，e h z e r o u a l i ，l o c a l s p e c t r a l t h e o r y f o r2 2o p e r a t o r m a t r i c e s ， n t j m a t h m a t h s c i 彳2 ( 2 0 0 3 ) 2 6 6 7 - 2 6 7 2 【7 】e 1h a s s a nz e r o u a l i ，h a s s a n ez g u i t t i p e r t u r b a t i o no fs p e c t r ao fo p e r a t o rm a t r i c e sa n dl o c a l s p e c t r a lt h e o r y ，m a t h a n a l a p p l , 3 2 4 ( 2 0 0 6 ) 9 9 2 1 0 0 5 【8 】8 d s d j o r d j e v i d ，p e r t u r b a t i o no fs p e c t r ao fo p e r a t o rm a t r i c e s ，j o p e r a t o rt h e o r y4 8 ( e o o e ) 4 6 7 - 4 8 6 【9 】 c b e n h i d a ，e h z e r o u a l ia n dh z g u i t t i s p e c t r ao fu p p e rt r i a n g u l a ro p e r a t o rm a t r i c e s j p r o c a m e r m a t h s o c ，2 0 0 5 , 1 3 3 ：3 0 1 3 3 0 2 0 【1 0 】c t r e t t e r ，s p e c t r a lt h e o r yo fb l o c ko p e r a t o rm a t r i c e sa n da p p l i c a t i o n s m l o n d o n ：i m - p