（应用数学专业论文）环和半环上近似算子的研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 于葡斐 本文将粗糙集理论与抽象代数相结合。在前人研究工作的基础上，借助同 余关系诱导近似算子，形成相应的近似空间，进而对环和正则半环上近似算子 的构造方法及基本性质展开研究。具体研究成果如下： 在粗糙环研究方面，本文基于环中若干形式的同余关系分别建立了环上的 粗糙近似算子，讨论了近似算子的结构及相关性质。对同态映射下环中近似集 合的变化规律进行了讨论，得到了粗糙子环、粗糙理想同态象的若干性质。另 外，本文在环的直积结构上通过模糊理想的直积诱导近似算子，对相关近似算 子的性质进行了研究。 在粗糙半环研究方面，本文给出了拟满理想及拟k 一理想的概念，借助满自 共轭闭理想生成的同余关系诱导了正则半环和拟正则半环上的近似算子，并讨 论了它们的基本性质。 本文属于粗糙集基础理论研究，研究结果是粗糙环中已经研究结果的补充 与完善，对于粗糙集理论与抽象代数的结合研究具有一定理论意义。 关键词：近似空间：粗糙子环：粗糙理想：同余关系：k 一理想 西南交通大学硕士研究生学位论文第t i 页 a bs t r a c t t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oe x p l o r et h et h e o r yo ft h ec o m b i n a t i o no fr o u g h s e t sa n da b s t r a c ta l g e b r a b ye m p l o y i n gt h ec o n g r u e n c er e l a t i o n st oi n t r o d u c e a p p r o x i m a t i o no p e r a t o r s ，t h ec o n s t r u c t i o nm e t h o d sa n dt h eb a s i cp r o p e r t i e so ft h e a p p r o x i m a t i o no p e r a t o r so nt h er i n g sa n dr e g u l a rs e m i r i n ga r es t u d i e db a s e do n t h ew o r ko fp r e v i o u sr e s e a r c h t h es p e c i f i cr e s e a r c hr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： o nt h er e s e a r c ho fr o u g hr i n g s ，w ec o n s t r u c tt h er o u g ha p p r o x i m a t i o n o p e r a t o r so nr i n gb a s e do ns o m ek i n d so fc o n g r u e n c er e l a t i o n so nr i n ga n dd i s c u s s t h e i rr e l a t e dp r o p e r t i e s t h ep r o p e r t i e so ft h eh o m o m o r p h i ci m a g e so fr o u g h s u b r i n g s a n d r o u g hi d e a l s a r eo b t a i n e d b yd i s c u s s i n gt h ev a r i a t i o no f a p p r o x i m a t i o no p e r a t o r su n d e rh o m o m o r p h i cm a p p i n gi nt h er i n g i na d d i t i o n ，o n t h ed i r e c tp r o d u c to fr i n g s ，t h ea p p r o x i m a t i o no p e r a t o r sa r ei n t r o d u c e db yu s i n g t h ed i r e c t p r o d u c to ff u z z yi d e a l sa n dt h er e l e v a n tp r o p e r t i e so fa p p r o x i m a t i o n o p e r a t o r sa r ed e r i v e d o nt h er e s e a r c ho fr o u g hs e m i r i n g s ，t h en o t i o n so fq u a s i f u l li d e a la n d q u a s i k i d e a la r eg i v e n b yu s i n gt h ec o n g r u e n c er e l a t i o n sg e n e r a t e db yt h ef u l l s e l f - c o n j u g a t ec l o s e di d e a l ，w ei n t r o d u c et h ea p p r o x i m a t i o no p e r a t o r so nt h e r e g u l a rs e m i r i n ga n dq u a s ir e g u l a rs e m i - r i n ga n dd i s c u s st h e i rb a s i cp r o p e r t i e s t h i sa r t i c l ef o c u s e so nt h er e s e a r c ho ft h ef u n d a m e n t a lt h e o r yo fr o u g hs e t t h er e s u l t so fi ta r et h er e c r u i t m e n ta n dp e r f e c t i o nf o rt h ep r e v i o u sw o r ko fr o u g h r i n g ，w h i c hh a st h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ef o rt h es t u d yo ft h ec o m b i n a t i o no ft h e r o u g hs e tt h e o r ya n da b s t r a c ta l g e b r a k e yw o r d s ：r o u g hi d e a l ；a p p r o x i m a t es p a c e ；c o n g r u e n c er e l a t i o n s ；k i d e a l 西南交通大学曲南父逋大罕 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密影使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名： 弓盍至多 指导老师签名： 日期：砷。、皇了 寿乏- 2 、, 日期：如，哆f7 尸 西南交通大学硕士学位论文主要工作( 贡献) 声明 本人在学位论文中所做的主要工作或贡献如下： ( 1 ) 基于环中不同的同余关系建立了环上的粗糙近似算子，讨论了近似 算子的结构及相关性质。 ( 2 ) 在环的直积结构上通过模糊理想的直积诱导近似算子，对相关近似 算子的性质进行了研究。 ( 3 ) 在已有研究工作的基础上，借助半环上的同余关系在半环上诱导近 似算子，并讨论了它们的基本性质。 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作所 得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中作了明确说明。本人完全了解违反上述声明所引起的一切法律责任将由本 人承担。 学位论文作者签名：玛五珍 日期：- r 力l o ，y 、j 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1 研究背景和现状 1 1 1 研究背景 粗糙集理论是波兰数学家z p a w l a k n 吨1 于1 9 8 2 年提出的一种数据分析理 论，它是一种新的处理不确定性知识的数学工具，能有效地处数据库中的数据 约简、数据近似分类等问题。 粗糙集理论是建立在分类机制的基础上，它将分类理解为特定空间上的 等价关系，等价关系构成了对该空间的划分，每一被划分的集合称为概念。 粗糙集理论的主要思想是利用已知的知识库，将不精确或不确定的知识用已 知的知识库中的知识来( 近似) 刻画。该理论与其它处理不确定和不精确问题 理论的最显著区别是它无需提供问题所需处理的数据集合之外的任何先验信 息，所以对问题的不确定性的描述或处理相对比较客观。由于这个理论未能 包含处理不精确或不确定原始数据的机制，所以这个理论与概率论，模糊数 学等其它处理不确定或不精确问题的理论有很强的互补性。 近年来，许多学者对于粗糙集模型的抽象代数结构进行了系统的研究 3 - 12 。最近人们开始关注具有代数结构的集合的近似问题。用粗糙集的思 想刻画群、半群、环、理想和子环的各种性质，并不断有新的数学概念出现， 如“半群中的粗理想”、“粗糙不变子群”、“粗糙群和粗糙子群”和“粗糙 群的同态与同构”等。 模糊集理论是1 9 6 5 年由加里福尼亚大学控制论专家扎德( z a d e h ) 首先 提出的。它是一种研究模糊现象的数学方法。四十多年来，这一学科获得了 异常迅速的发展，已经被成功地应用到多个领域。 模糊集的隶属函数大多是专家凭经验给出的，因此往往带有很强的主观 意志，而粗糙集的近似算子是从被分析的数据中直接获得的，比较直观。正 因为如此，将粗糙集理论和模糊集理论进行某些“整合”后去描述知识的不 确定性和不精确性比它们各自描述知识的不确定性和不精确性可显示出较强 的功能。因此许多学者致力于研究粗糙集与模糊集之间关系与相互融合。本 文拟将模糊抽象代数与粗糙集理论相结合，研究相关近似空间中的近似算子。 1 1 2 研究现状 ( 1 ) 粗糙抽象代数中的相关概念 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 粗糙群和子群的定义方式很多，b i s w a s r n 4 1 给出了一种定义，苗夺谦n 5 1 等认为b i s w a s r 的定义存在不合理性，并对粗糙群和粗糙子群概念进行了改 进。王德松n 刚给出了粗糙环、粗糙理想、粗糙商环的定义。以上对粗糙群、子 群、粗糙环和粗糙理想的定义和抽象代数中的相关定义类似。肖旗梅n 对粗糙 素理想和主素理想的性质进行了研究，k u r o k in 副在模糊标准子群诱导的同 余关系下重新定义了粗糙子群，b d a v v a z n 钔在模糊理想诱导的同余关系下定 义了粗糙子环和粗粗糙理想。k u r o k in 和b d a v v a z 将粗糙子群、粗糙理想满 足特定条件的二元组。这与b i s w a s r 给出的定义是不相同的。 ( 2 ) 同态映射 张宗杰叫提出了粗糙群的同构问题，郭增晓心通过两个群的同态映射在 另一个群中构造了同余关系，讨论两个群中由模糊不变子群诱导的近似算子在 满同态映射下的相互关系。同时王德松等担23 构造了两个粗糙环之间的同态映 射，并且给出了粗糙理想、粗糙商环、粗糙环同构的概念，并讨论了它们的性 质。o s m a n 在两个交换环中，由象集所在环中的完备同余关系通过逆映射， 在原象集所在环中定义了一个完备的同余关系，在该同余关下讨论原象集的近 似算子与象集的近似算子的相互关系。 ( 3 ) 模糊集与抽象代数的结合研究 对模糊子群的研究较早的文献是 2 4 ，文献 2 5 在 2 4 】的基础上给出了模糊 子群映射的定义。姚炳学乜印给出模糊集的直积的定义，并在环的直积上推广了 模糊理想，指出模糊理想的直积仍是环直积上的模糊理想。彭维玲在群中通 过引入幂等区间范数，定义了t h 型区间值模糊子群。王贵钧【28 】和李晓萍引分 别定义了群上的区间值模糊子群，讨论了相关性质。同时冯启磊阳们给出了s h 型区间值模糊左( 右) 理想和s h 型区间值模糊理想的概念，研究了它们的一 些性质。j i a n m i n gz h a n 4 3 】研究了半环上的模糊理想的性质。 ( 4 ) 粗糙集、模糊集和抽象代数研究 j o h nn m o r d e s o n 4 6 】用粗糙集理论来研究模糊理想的性质。k u r o k in n 8 1 定 义了群中关于模糊不变子群在t 水平关系下的上、下近似算子，并对相关性质 进行研究。这些性质主要是关于两个集合上、下近似算子的积与积的上、下近 似算子之间的关系和不同模糊子群诱导的近似算子的关系等。b d a v v a z n 钉定 义了环中关于模糊理想在t 水平关系下的上、下近似算子，并证明了t 水平近 似算子的一些性质。张金玲等n 讨论了模糊粗糙子环的性质。b d a v v a z 阳引借助 理想诱导近似算子，此近似算子较模糊理想诱导的近似算子更加具体，因此具 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 有了一些特殊性质。b d a v v a z 臼们借助子模诱导了环上的同余关系，并定义了 上、下近似算子。胡凯等【4 4 1 研究了区间值模糊集上的近似算子的性质。 ( 5 ) 粗糙集与半环结合的研究 乔占科1 、张娟娟4 2 j i a n m i n gz h a n ，w i e s l a w 4 3 】在半环上定义了同余关系， 研究了近似算子的结构。段海婷5 1 曾提出粗糙半群和粗糙理想的概念，并指出 半环的左( 右，双侧，拟，双) 理想，就是半环的粗糙左( 右，双侧，拟，双) 理想。 n k u r o k i 3 6 研究了半群上的粗糙理想，唐文祥73 等、张友汹1 和朱天民m 1 讨论了 半环的粗糙予半环与粗糙商半环的性质。徐慧们利用半环的一类特殊理想，刻 划了正则半环与拟正则半环上的s k e w 同余。 1 2 本文研究的目标和内容 本文在粗糙代数相关研究结果的基础上，研究模糊粗糙环的结构及近似算 子的相关性质。研究结果是粗糙环中相应结果的补充与完善。具体研究内容包 括如下两个方向： ( 1 ) 环上近似算子的研究 由模糊理想可以诱导环中的近似算子，b d a v v a z 对此已经进行了研究。 本文基于环中不同的同余关系建立了环上的粗糙近似算子，讨论了近似算子的 结构及相关性质。对于同态映射下环中近似近似算子的变化规律进行了讨论， 得到了粗糙子环、粗糙理想同态象的若干性质。 另外，本文在环的直积结构上通过模糊理想的直积诱导近似算子，对相关 近似算子的性质进行了研究。 ( 2 ) 半环上近似算子的讨论 唐文祥等在半环上引入粗糙集并研究了粗糙子半环的性质，给出了半环的 粗糙子半环的定义，证明了半环的子半环、理想一定是半环的粗糙子半环、粗 糙理想。徐慧利用半环的一类特殊理想刻划了正则半环与拟正则半环上的同余 关系。本文在以上研究工作的基础上，借助半环上的同余关系诱导近似算子， 并讨论了它们的基本性质。 对于以上内容本文各章节的组织结构如下： 第l 章为绪论，主要介绍课题的研究背景、国内外研究现状以及本课题的 研究内容和组织结构等。 第2 章为本文的重点内容，主要研究环上不同的同于关系下近似算子的性 质。首先在已有研究工作的基础上对相关知识内容进行了拓展，将近似算子扩 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 曼曼曼! ! 曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼! 曼曼鼍曼皇曼曼曼曼- - m|。i m m ! 曼! 鼍曼 充到环的直积上，其次，讨论了s 型区间值模糊理想诱导的近似算子的性质， 这是本文的主要创新点。 第3 章讨论正则半环和拟正则半环上的近似算子。借助同余关系诱导近似 算子，并讨论它的们的基本性质。 最后，对全文进行总结，并对进一步工作进行展望。 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 曼鼍曼曼皇曼皇曼曼e e l i il i e i i i l 一e 曼l 曼鼍曼曼曼曼曼曼曼 2 1 预备知识 第2 章环上的近似算子 2 1 1 粗糙集基础知识 设u 是一个非空有限集合，称为论域，r 为u 上的一个等价关系，称二元 组( u ，r ) 为一个p a w l a k 近似空间，简称为近似空间。对于任意x u ，x 关于 近似空间( u ，尺) 的下近似墨( x ) 与上近似r ( x ) 分别定义为： 墨( x ) = 红u ；【x 】r 互x ) ， r ( x ) = x u ； z 】rn x a ) 。 下近似、上近似具有下面的等价表达形式： 星( x ) = u y ；】，x ) ， r ( x ) = u t ；y n x g ) 。 其中 x k = y ；( x ，y ) r ) 是石关于r 的等价类，= x r ；x u ) 是所有r 等价类 的集合，恰好构成对论域u 的划分。 在近似空间( u ，r ) 中，对于x 冬u ，分别称集合6 ( x ) = r ( x ) 一星( z ) 为石的 r 边界域，p o s r ( x ) = 墨( ) 为x 的r 正域，n e g r ( 彳) = u r ( x ) 为x 的r 负域。 这样，如果将r 理解为u 上的知识，等价类【x k 是相应的概念，那么，p o s r ( x ) 是由那些根据知识r 判断肯定属于x 的u 中元素构成的集合；r ( x ) 是那些根 据知识r 判断可能属于x 的u 中元素构成的集合；b n 。( x ) 是那些根据知识r 既 不能判断肯定属于x 又不能判断肯定属于x 的u 中元素构成的集合； n e g r ( j ) 是那些根据知识r 判断肯定不属于x 的u 中元素构成的集合。 p o s r ( x ) 、b n r ( x ) 与n e g 月( x ) 形成论域的划分。 在近似空间中，若x 能表示为某些只等价类的并，则称x 是r 精确集，或 尺可定义的，简称为可定义的；否则称x 是r 不可定义的，或尺粗糙集。粗糙 集所表示的概念具有不确定性。对于粗糙集x ，可以借助两个精确集r ( x ) 与 r ( 彳) 近似地刻画。 下图是集合x 、墨( x ) 以及r ( x ) 的简单图示。 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 曼量曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼皇! 曼! ! 曼! 曼曼鼍曼鼍曼曼皇! 曼蔓曼曼曼l 。 _ ；- - ；m e _i 鼍曼曼皇曼曼曼舅曼曼鼍 ( 8 ) r ( x ny ) 量r ( x ) n r ( r ) ； ( 9 ) 墨( 一x ) 一尺( x ) 。 ( 1 0 ) r ( x ) = 星( x ) 。 2 1 2 环的基本概念 定义2 1 一个代数系统( r ，+ ，) 称为一个环，如果 ( 1 ) ( r ，+ ) 是一个加法交换群； ( 2 ) ( r ，) 是一个半群； ( 3 ) 两个分配律都成立：v a ，b ，c r ，有 a ( b + c ) = a b + 口c ， ( 6 + c ) a = b a + c a l 。 定义2 2 环r 的一个非空子集，叫做一个理想，如果 ( 1 ) a ，b i a - b i ； ( 2 ) 口，r = ，口，r a i 定义2 3 一个半环s 是指满足下述条件的代数结构( s ，+ 坷： ( 1 ) ( s ，+ ) 和( s 珂均为半群； ( 2 ) a ( b + c ) = a b + a c ，( 6 + c ) 口= 6 口+ ( 口，b ，c r ) 。 半环s 的非空子集4 叫做半环s 的子半环，如果么+ a a ，州么。半环 s 的非空子集彳叫做半环s 的左( 右) 理想，如果彳是s 的子半环且黝冬4 ( a s a ) 。如果么既是s 的左理想，又是s 的右理想，则称么是s 的双侧理想 ( 理想) 。 2 2 由模糊理想诱导的近似算子 本节首先讨论模糊理想诱导的近似算子的一般性质，接着研究近似算子的 同态性质，最后在环的直积上讨论近似算子。 2 2 1 模糊理想诱导的近似算子的一般性质 定义2 4 m 3 设是环r 的模糊子集，称是月的模糊理想，如果对于任意 x ，y r ， ( 1 ) i u ( x - y ) m i n z ( x ) ，( 少) ) ； ( 2 ) 4 x y ) m a ) 【 ( x ) ，( y ) ) 。 如果满足( 1 ) 和 西鬲交通大掌硕士研究生学位论文第8 页 曼曼曼皇曼曼! 曼曼! 曼曼曼皇曼曼舅曼皇璺皇曼舅曼曼曼毫曼皇! ! 曼曼曼曼! 量曼曼曼曼i i i 鼍皇皇曼鼍曼曼! 曼鼍曼曼! 曼曼曼! 曼曼曼曼皇! 曼曼皇! 曼曼皇曼蔓曼曼 ( 3 ) 4 x y ) m i n ( x ) ，( y ) ) ， 则称为环r 的模糊子环。 定义2 5 “们设是环r 的模糊理想，对于f 0 ，1 】，称 u ( ，) = ( 口，6 ) r xr ：( 口一b ) f 为r 关于的f 水平关系。 定义2 6 n 鲫设p 是环r 上的等价关系，称p 为r 上的同余关系，如果对 于v ( a ，6 ) p ，x r ，都有( a + x ，b + x ) p ，( x + a ，x + b ) p ，( 加，x b ) p ， ( a x ，b x ) p 。 定理2 3 n 们设是环r 的模糊理想，t o ，1 ，则u ( ，r ) 是r 上的同余关系。 我们用【x 】，1 表示r 的包含x 的u ( ，f ) 等价类。 引理2 1 3 设是r 的模糊理想，如果口，b r ，t o ，1 ，则 ( 1 ) 【口】( ，) + 【6 】( ，) = 【口+ 6 】( ，) ； ( 2 ) 【一口】似，) = 一( 【口 ( ，) ) ； ( 3 ) 【口】( 户，) 【6 】( ，) 【口6 】( ，) 。 证明只需证明( 3 ) 。假设c 【口】( ) 【6 k ，) ，则c = c l c ：，其中c l 【口k ，) ， c 2 【b l ( ) 。因此( q ，口) u ( ，f ) ， ( c z ，6 ) u ( ，f ) 。于是( q c ：，口乞，) v ( u ，f ) ， ( 口乞，a b )u ( ，f ) 。由传递性知( q c 2 ，a b ) u ( ，r ) ，于是c = q 乞 口6 】( ) ， 因此 口k 】 6 】( p ，) c 【叫( 圹 如果【口】( ) p 】( 彬) = 幻】( ) ，则称该等价关系是完备的等价关系。 下面的例子说明( 3 ) 中的等号一般不成立。 例1 设r = o ，a ，b ，c ) ，定义它们的加法和乘法如下： + o口b c 0oo 0o 口0口bc b0 口 b c coo oo 0口 b c ooo00 口a0cb bbcoa ccba0 那么r 是一个环。定义( o ) = 岛，( c ) = f 1 ，( 口) = ( 6 ) = 如；【o ，1 】， f = 0 ，1 ，2 ，并且t 2 。很明显是r 的模糊理想。我们得到： u ( ， ，) = ( o ，o ) ，( 口，口) ，( 6 ，6 ) ，( c ，c ) ，( 1 ，6 ) ，( 6 ，口) ，( o ，c ) ，( c ，o ) ， 西南爻通大学硕士研究生学位论文第9 页 【o 】( ) = o ，c ) ，【口】扣，。) = 口，6 ) ， 【0 a ( ，h ) = o 】( ， ) = o ，c ) ， 【o k h 蹦) = 0 ) ， 于是【o k 【口b 【o 叱矿 令是环r 的模糊理想，且r o ，l 】，u ( ，f ) 是环r 上的f 水平同余关系，那 么( r ，u ( ，r ) ) 为一个近似空间。 定义2 7 n 们设是环r 的模糊理想，且f 【o ，1 ，u ( ，f ) 是环r 上的f 水平 同余关系，彳是r 的非空子集，我们称 堑( ，) 2 卜r ：【x bc _ x ， v ( a 工x ) 2 x e r ：m 川n x 分别为x 关于u ( ，r ) 的上近似集合和下近似集合。 命题2 1 设是环r 的模糊理想，且t 0 ，1 ，若彳和b 是环r 的非空子集， 则u ( ，t ，彳) + u ( ，t ，b ) = u ( ，t ，a + b ) 。 证明对于任意x u ( ，f ，么) + u ( ，r ，b ) ，有x = 五+ x 2 ，其中 x a u ( ，f ，么) ，x 2 u ( ，t ，b ) ， 于是 五】( 刖) n 么o 且【x 2 ( 声，) m b * o ，故存在 口【五】( 力n a ，6 恐】( 刖) nb ，则a + b 【五】( 一，) + 恐 ( ) = 【五+ 恐】( ) = x 】( 卢，) 。由 a + b e a + b 得 口+ 6 h 川m a + b ，x u ( j a f ，a + b ) ， 因此 u ( ，f ，彳) + u ( ，f ，b ) 【，( ，t ，a + b ) 。 另一方面，v xe v ( u ，r ，a + b ) ，有【x 】( 雕) n ( 彳+ 召) o 于是存在 c x 】( 川n ( 彳+ b ) ，则c = 口+ 6 ，口么且6 b 。又由c 【x k ，) 我们得到 x 【c 】( ，) = 【口+ 叱，) = 【口 ( 刖) + 6 】( 故x = x 1 + x 2 ，五 口b ，而【6 】( 由口【而】( ，) ，be 【而】( ) ，于是【五】( ) ma * o 且【x 2 ( ，) n b o 。由定义可得 五u ( ，f ，彳) ，而u ( ，f ，b ) ，x = _ + x 2 u ( ，f ，彳) + 己厂( ，t ，b ) ，因此有 u ( ，f ，彳) + u ( ，t ，b ) 2 u ( ，f ，a + b ) 。 如果a 和b 是环r 的非空子集，本小节中规定a b = a b ：ae 么，b b ) 。 命题2 2 设是环r 的模糊理想，且f 0 ，1 ，若彳和b 是环尺的非空子 集。则 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 u ( ，f ，么) u ( ，t ，b ) v ( a ，f ，彳b ) 。 证明对于任意的x u ( ，t ，彳) u ( ，t ，b ) ，x = x l x 2 ，其中五u ( ，f ，彳) ， x 2 万( ，f ，b ) 。由定义知 五】( 川n 彳g ，【x ：k ，) m b o 。则存在 口【五】( 刖) n 彳，6 而】( ) nb 。因此，口6 【五】( 刖) 【恐】似，) ( = x l x 2 】( ) = z 】( ) 。 又a b 4 b ，于是【x l ( 芦，1f l ( a b ) o ，则x u ( ，t ，么b ) 。 命题2 3 设是环尺的模糊理想，且f o ，1 ，若彳和召是环r 的非空子集， 那么 望( ，f ，彳) + 型( ，b ) 型( ，f ，彳+ b ) 。 证明若x 型( ，r ，彳) + 型( ，f ，b ) ，则存在五型( ，t ，a ) ， 而旦( ，f ，b ) 使 得x = x 1 + x 2 。有定义得【而】( ，) 么，【恐】( ，) sb ，于是 【而】( ，) + 【恐】( 雕) = 【而+ 而】( ) = 【z 】( 卢，) ( 彳+ b ) ， 故x u ( ，t ，a + b ) ，即型( ，f ，彳) + 型( ，t ，b ) 型( ，f ，彳+ b ) 。 下面的例子说明命题2 3 中的等号一般不成立。 例2 设r = z 6 ，a = 1 ，3 ，4 ，5 ) ，b = 1 ，3 ，5 ) ：定义模糊子集：z 6 _ 【o ，1 】， ( o ) = ，( 1 ) = ( 3 ) = ( 5 ) = 岛，k t ( 2 ) = ( 4 ) = t 2 ，f l 【o ，1 】，1 f 3 ， 乞 f ， 故( 琊) u ( 。曼彬) o 对称性：对于任意x ，y 。要r ，设x = x i ，x 2 ) ，y2 ( 乃，y 2 ) ，如果 ( x ，y ) u ( 。曼：鸬，) ，那么( ，要从) ( y z ) = i 。n ，f 。“, ( y , 一五) = i 。n ，f 。2 i ( x ，一只) r ； 即( y ，x ) u ( 。曼彬j o 传递性：设( x ，y ) u ( 。曼从，) ，( 少，z ) u ( 。曼：鸬，) ，那么 ( ，矍：鸬) o z ) = ( 。塾：以) ( ( 工一y ) + ( y z ) ) 班“( 薯一只) i 。n 。f 2 , ( y , 一刁) r ， 于是( 舻) u ( ，婴：彬) o + 曲南父逋大字坝士由卅究生字1 互论文 第1 5 贞 若( 口，6 ) u ( ，曼以，眇 ( 。曼从) ( ( 口+ x ) 一( 6 + x ) ) = ( 。曼以炯+ x ) + ( 一6 一x ) ) = ( 。曼鸬) ( 口+ ( x x ) 一6 ) = ( ，曼：以) ( 口一6 ) 狐 则( ( 口+ x ) ，( 6 + x ) ) u ( 。里：i , t ) 。 由于置坞是关于加法的交换群，所以( ( x + 口) ，( x + 6 ) ) u ( 。曼“，7 ) 。 若( 口，b ) u lf i a i ，f l ，则、 l 自s 2， ( 。曼肛) ( 似一k ) = ( 。曼：鸬) ( ( 口一6 ) x ) ( 。里：鸬) ( 口一6 ) v ( 。里：鸬) ( x ) ，。 故( 锻，b x ) u ( 。曼：“，f ) 。同理可证( 翮，柏) u ( ，曼“，f ) 。因此该等价关系是同余 关系。 我们记【z 】( 凸h ，) 是同余关系u ( 。曼鸬，7 ) 的包