（应用数学专业论文）拟线性非严格双曲组cauchy问题经典解的整体存在性及奇性形成理论.pdf

摘要 本文的主要内容由四个部分组成 第一部分考虑一类拟线性非严格双曲组，其最左或最右特征为单特征，但 重特征不限制为常重特征的情形在最左或最右特征不为弱线性退化的假设 下，对衰减初值得出c a u c h y 问题经典解的破裂结果 后面三部分均考虑常重特征的情形分别为 i 1 对常重特征不加任何限制，只要存在一个单特征是真正非线性，在初值 及其一阶导数均具有一定衰减性时得出有关解的破裂结果 i i ) 若常重特征在u = o 为毯挂退出，只要存在一个单特征是真正非线性，初 值的一阶导数具有一定的衰减性就得出有关解的破裂结果，并且此时可得出 生命跨度的渐近表达式 i i i ) 在常重特征为线性退化的假设下，放宽对单特征的限制( 即或为弱线性 退化或不为弱线性退化) ，在一定的附加条件下，得出c a u c h y 问题c 1 解的整体 存在性及破裂现象两方面的结果 关键词 拟线性非严格双碧组：c a u c h y 多题；整锋罄多解；奇苎形成：生命 跨度 a b s t r a c t t h ep a p e ri sc o m p o s e do ff o u rp a r t s p a r to n ed e a l sw i t hak i n do fq u a s i l i n e a rn o n s t r i c t l yh y p e r b o l i cs y s t e m sf o rw h i c ht h e l e f t m o s to rt h er i g h t m o s tc h a r a c t e r i s t i ci s s i m p l e u n d e ra p p r o p r i a t ea s s u m p t i o nt h ec 1 s o l u t i o nt ot h ec a u c h yp r o b l e mf o ral a r g ec l a s so fs m a l la n dd e c a y i n gi n i t i a ld a t am u s t b l o wu pi naf i n i t et i m e t h eo t h e rt h r e ep a r t sc o n s i d e rq u a s i l i n e a rn o n s t r i c t l yh y p e r b o l i cs y s t e m sw i t hc h a r a c t e r i s t i c sw i t hc o n s t a n tm u l t i p l i c i t y i ) t h e r ei s n or e s t r i c t i o no nc h a r a c t e r i s t i c sw i t hc o n s t a n tm u l t i p l i c i t y s u p p o s et h a t t h e r ei sa g e n u i n e l yn o n l i n e a rs i m p l ec h a r a c t e r i s t i ca n di n i t i a ld a t ap o s s e s sc e r t a i nd e c a y i n g p r o p e r t i e s ，w eo b t a i nt h eb l o w u pr e s u l t sf o rt h eg 1s o l u t i o nt ot h ec a u c h yp r o b l e m i i ) s u p p o s et h a tc h a r a c t e r i s t i c sw i t hc o n s t a n tm u l t i p l i c i t ya r el i n e a rd e g e n e r a t eo n l ya t u = 0a n dt h e r ei sag e n u i n e l yn o n l i n e a rs i m p l ec h a r a c t e r i s t i cf o ral a r g ei n i t i a ld a t a w e g e t t h ef o r m a t i o no fs i n g u l a r i t ya n dt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o m o fl i f e s p a no ft h ec l a s s i c a l s o l u t i o n i i i ) s u p p o s et h a tc h a r a c t e r i s t i c sw i t hc o n s t a n tm u l t i p l i c i t ya r el i n e a rd e g e n e r a t ea n d t h e r ei sn or e s t r i c t i o no nt h es i m p l ec h a r a c t e r i s t i c s ，t h eg l o b a le x i s t e n c ea n dt h eb l o w u p p h e n o m e n o no fc 1s o l u t i o na r eo b t a i n e du n d e ra na d d i t i o n a lh y p o t h e s i s k e yw o r d sq u a s i l i n e a rn o n s t r i c t l yh y p e r b o l i cs y s t e m ；c a u c h yp r o b l e m ；g l o b a lc l a s s i c a l s o l u t i o n ；f o r m a t i o no fs i n g u l a r i t y ；l i f es p a n 第一章引言 1 1 问题的提出及研究现状 我们知道，在大量的实际问题中，特别是在物理、力学和其他自 然科学中，经常会提出具两个自变数的一阶拟线性双曲型方程组， 例如弹性弦的运动方程组，一维空气动力学方程组，非线性弹性动 力学方程组等等 一阶拟线性双曲型方程组的一般形式为： 筹+ a ( u ) 筹= f ( u ) ， ( 1 1 1 ) 其中u = ( u 。，u 。) z 是自变数t 和z 的未知向量函数；a ( u ) = ( n 。( u ) ) 是 未知向量函数“的元素适当光滑的n n 阵；f ( “) 是未知向量函数u 的n 维列向量函数如果f ( u ) e0 ，称( 1 1 1 ) 为齐次的；如果f ( u ) 0 ，称 ( 1 1 1 ) 为非齐次的 由双曲性知，对所考虑范围上任一给定的“值，a ( “) 有n 个实的特 征值a 。( “) ，a 。( u ) 和一个完备的左( 右) 特征向量组对于i ：l ，扎， 令f 。( u ) = ( f 。- ( “) ，f 。( u ) ) ( 相应地，r ，( “) = ( r f l ( u ) ，( “) ) 7 ) 是对应于a 。( “) 的左( 相应地，右) 特征向量 我们有 k ( u ) a ( u ) = 。( “) “( “) ( 相应地，a ( “) n ( “) = k ( u ) n ( u ) ) d e t i l l j ( * ) l 0( 等价地，d e “p i j ( u ) | o ) 不失一般性，假设在所考虑的区域上成立 f t ( u ) 勺( u ) jj l j ( i ，j = 1 ，n ) ， 且 一( u m ( “) 兰l ( i = l ，n ) ， 其中6 。是i ( r o n e c k e r 符号 许多数学物理海趱郝哥魍终为求嬲上述方程组毂耀感定解趣题 一般蔼言，拟线性双麴型方程缎( 1 。i 1 ) 的c a u c h y 问题的经典解只能 在时阈l 的一个局部范围内存桎，即使初值棚当光滑，甚至相港小， 也是如此也就是说，解在有限时间内会发生奇性而失去原有的光 滑性，即解本身或其某种阶数的偏导数会在有限时间内趋于无穷( 称 为解的破裂) 于是人们自然会提5 下面两方面的问题： 1 ) 在仟么条件下c a u c h y 问题存在整体经冀解? 2 ) 在仟么条件下c a u c h y 润越经典解一定发生缓裂? 对这两个溺题静研究。方瑟整数学建论本巍的罴疆，另一方嚣 是实骣阉题懿需要怼方瑕组f l ，1 1 ) 经典解的整体链态的研究以及数 值汁算或者数值模拟郡是以经典解的整体存在为前提的：如果经典 艇在有限时间内发生奇性，而这种破裂现象不建相应的物埋模型所 允许的，这就说明所归结的数学模型不能准确地描述实际问题而需 要修改：如粟这种破裂现象是相应的物理攒型所允许的但槠应的 物理过程又不可能在某个时刻终止，而簧继续发展，遮就需簧在更 广的函数类中去求解 因韭乇，肘撅线性取盏整方程维f 1 1 1 ) 静经典解豹整体存奁性及破裂 现象豹礤究，在理论上彀实际中郯其有燕要兹意义。 对一卜述嚣方露豹问题，到尽兹为止都已有楣当的硬究。 下湎仅考虑齐次的拟线性双曲趔方程组 筹+ a ( u ) 毖：o b 搐 的c a u c h y 问题，设其初值为 早期的研究大多集中予可亿约方程组( n = 2 ) 及对角登方程组对于 一般形式的拟线经双稀组( 1 t 6 j ，如栗是严格双鞠豹，舔对所考虑范 围上任意给定的“毽，”) 瞧有n 令不增的实特往氇 ，f 。j ， 。 不妨设 a l “) 2 “) + ”一i ( # ) o 是一个 小参数，且妒( o ，。) = o ) 的情况下，重新证明了f , j o h n 的结果，并给出 生命跨度( 解的最大存在区间) 的一个精确估计 1 9 9 4 年，李大潜、周忆和孔德兴【3 4 】利用所引入的弱线性退化的概 念，在具紧支集g t 初值的条件下，对上述问题重新进行了研究，得 到了c a u c h y 问题( 1 16 ) 及( 1 1 7 ) 的c - 解的整体存在性及其破裂现象的 完整结果这儿，第i 特征凡( “) 称为是弱线性退化的，如果沿过“+ 空 间原点的第i 特征轨线u = “( t ( s ) ： 成立 即 筹= q ， 1 s = o ：“= o ， v a ( “) “( “) ；0 ，v 小， f ( “ ( s ) ) ；a 。( o ) ，v 小 6 1 9 9 7 年，他们f 3 5 】将上述结果推广到衰减初值，即 0 垒s u p ( ( 1 + k i ) 1 + “( ) i + i ( z ) i ) ) 0 为一常数，并在 2 8 】中得到相应结果的奇性形成 机制在2 0 0 0 年 1 7 】，孔德兴又考虑了p = 0 的情况 方程组( 1 1 6 ) 如果满足如下条件称为是非严格双曲的，对所考虑范 围上任意给定的u 值，a ( “) 有n 个实的但可能相重的特征值a t ( u ) ，a 。( “) 和一个完备的左( 右) 特征向量组 对具常重特征( 即每一个特征都具有常的重数) 的双曲组，不失一 般性，可设 a ( u ) 垒a 1 ( “) 三三a p ( u ) a p + l ( “) 1 ) 的非严格双曲组对具常重特征的 守恒律双曲组，李大潜、周忆和孔德兴【2 9 】于1 9 9 6 年得到了经典解的 整体存在性及其破裂现象具常重特征的守恒律双曲组一定存在正 规化坐标( 【2 9 】) ，而对一般的拟线性非严格双曲组并不知道正规化坐 标的存在性为了避免使用正规化坐标，1 9 9 7 年李大潜和孔德兴 2 6 】 就常重特征均为线性退化而其余特征或为线性退化或为真正线性的 情形得到 2 9 中的相应结果 2 0 0 0 年，孔德兴f 1 8 利用连续g l i n m ，泛函的方法将 2 6 】中的相应结果 推广到初值( 。) 满足 0 垒s u p 。 ( 1 + i 1 ) 1 + “i ( ) 1 ) m o 使得u = u ( t ，。) 的生命跨度于( s ) 满足 于( e ) g e f 1 + 引，( 1 27 其中 坻= ：旷丛瓣塑k 0 ( f n ( 0 ) 俐( 0 ) 州) ) _ 后面的讨论均限于拟线性双曲组( 1 i 6 ) 具常重特征的情况 在第四章中，对常重特征不加任何限制，得到 定理1 2 2 假设在“：0 抟一个邻域中，a ( “伊，方程缀隽双魏型 爨1 1 。l 铸成立，势缮袭m p + l ，n 使德a 。旧是真正非线性的， 即成立 v a 。( ) r 。( “) 0 鳃果 j 。( 0 ) 妒( ) 喾0 ，( 1 2 8 ) 鄹么毒在适当小的鞠 0 ，锼缮对任意绘定的( o ，。 c a u c h y 闽题( 1 。t 。8 ) 粳( 1 ，2 。4 ) 妒 z ) 满足( 1 ，2 5 ) 式) 的c - 解“= “( f ，。) 的一黔偏导数“。必农有 限时间内破裂，且生命跨度于( s ) 满足 女l 一1 爹缸) 女2 s 1 ， ( 1 ，2 9 其中女，和b 是不依赖于e 的正常数 这一定理说鞠，对予具常重特征的撅线性双曲组( 包括拟线性严格 双曲缍) ，只要育一个革特征为粪正非线性就可得蓟有关解的谈裘结 巢，裾不需要对其他特征控上限篱。这推广了r j o l t n i i l 3 ) ，l i ut p ( f 3 6 j ) 及l 蠼5 ；。d e r ( 8 】在严格双越级憾况下豹结聚，也掺广了夸大潜零蝣孔 德兴在1 2 6 】中对具常重特征双曲缎的结果， 在第五章中，仅要求常重特征在“= 0 为线性退化，即 v a n f 罅= 0 ；= l ，力，1 2 。1 8 ) 得到的主要结采为 定理1 2 3 假设在“= 0 的一个邻域中，a ( “) g 。，且对常重特征成 立f 1 2 1 0 ) 式记gc p 十l ，n ) 为使( u ) 是粪正菲线性特征的指标i 熬集合，假设g g 魏果对v m g 及比翟， 均不恒为j # 正聪数，那么存在适当小的s 。 o ，使缮对任意绘定的 f o ，o ，c a u c h y 问题( 1 1 6 ) 及( 1 2 4 ) ( 其中廿) 满足( 1 1 。1 7 ) 式) 的e i 解 “= t t ( t ，。) 的阶偏鼯数u 。必在有限时间内破裂，且生命跨度于( s ) 满 足 ! 甄( t ( ) ) = m o ， ( 12 * 1 2 ) 其中 m o = m 。a 。x s 。u e p l t i “( o ) k ( 0 ) 妒( 。) 】) 一1 ( 1 2 1 3 ) 对单个守恒律方程 筹州u ) 筹钏 具初值。l 。：s 妒( z ) 的c a u c h y 问题，若 ( u ) 为真正非线性的，例如设 ，( u ) 0 ，则在t 兰0 上存在整体g - 解的充要条件为妒弘) 0 定理1 1 是此结果在一般双曲组情形的推广 定理1 2 4 在定理1 2 3 中，如果对任意给定的m g ，有 f 。( o ) 妒( z ) 三0v 酞，( 1 2 1 4 ) 那么存在适当小的s 。 0 ，使得对任意给定的e ( o 翩 ，c a u c h y 问题 ( 1 1 6 ) 及( 1 2 4 ) ( 其中妒( 。) 满足( 1 i 1 7 ) 式) 的c 1 解u = u ( c ，z ) 的生命跨度 咏j 满足 亍( ) 琵，( 1 2 1 5 ) 其中i 是一个不依赖于s 的正常数 第六章在常重特征为线性退化，即对所考虑范围上的u 成立 v ( “) q ( “) ；0 ，v i l ，p )( 1 2 1 6 ) 并放宽对单特征的限制的假设下，利用广义正规化坐标考察问题， 在一定的附加条件下得到解的整体存在性及破裂现象，将 2 9 及【2 6 中的结果统一起来主要结果为 定理1 2 5 假设在u = 0 的一个邻域内，a ( u ) e 。且( 1 1 1 6 ) 及( 1 21 6 ) 成立，且所有单特征是弱线性退化的进一步假设在t 。0 的一个邻 域内如下的附加条件成立： 卢“k ( u ) 三0 ，v j ，k l ，。，p ， ( 1 21 7 ) 其中f l i j k ( u ) 由( 2 1 7 ) 式定义如果( 。) 是满足( 1 1 1 5 ) 的g ，向量函数，那 么存在适当小的0 0 0 ，使得对任意给定的口f 0 ，o o j ，c a u c h y 问题( i i 6 ) 及( 1 1 7 ) 对一切t 豫存在唯一的整体c i 解 定理1 2 5 可视为李大潜及孑l 德兴( 2 6 】中的结果的某变体或推广 如果常重特征对应的右特征向量均是常向量，或更一般地常重特 征对应的右特征向量的梯度是数量阵，条件( 1 2 1 7 ) 成立 若k ( 。) ( i p + l ，n 】) 不全是弱线性退化的，那么一定存在非空集 ， p + 1 ，。) 使得当且仅当i j 时， ( “) 不是弱线性退化的对任 意给定的i j ，或存在一个整数o t 0 使得 业警出k 0 _ 0 ( f _ a a ( 1 2 1 8 】 但 型业骅b o ，(1舢)d s a , + l一 、 或 掣k 。- 0 1 ( f - 1 ，2 ) ， ( 1 22 。) 记为a ，= + 。 定理1 2 6 假设在“= 0 的一个邻域内，a ( u ) 适当光滑且( 1 1 1 6 ) 及 ( 1 2 1 6 ) 成立，并且( 1 2 1 7 ) 成立设( 。) - e 廿( z ) ，其中e 0 是一个小 参数，妒( 。) 满足( 1 2 5 ) 若方程组( 1 1 6 ) 不是弱线性退化的，即单特征 九( “) ( 注p + l ，n ) 不全是弱线性退化的，且 o = r n i n c * i l i j ) 0 ，使得对任意给定( o 栅 ，c a u c h y 问题( 1 1 6 ) 及 ( 1 1 7 ) 的g - 解“= “( ，。) 的一阶偏导数u 。必在有限时间破裂，且生命 跨度于( s ) 满足 。! 裂( s 州j ：( e ) ) = m o ， ( 122 4 ) 其中 如= m 。a 。x 。s u 。p 一五1 i ! ：! ! ：；- ! ；! ；! 业i 。：。( f i ( 。) 妒( 。) ) 。“( 。) 妒( 。) 一1 ( 1 2 2 5 ) 为了得到本文的结果，考虑到所研究问题的特点，采取了按区域 进行精细估计的办法 第二章预备事项 在这一章我们给出f j o h n 所导入的波的分解公式，同时给出本文 所要用到三个重要引理 及 2 1 波的分解公式 令 由( 1 1 4 ) 有 及 v i = h ( u ) u ( i = 1 ，n ) w i = f ，( “) u 。( i = 1 ，1 2 ) u = ( u ) 令 丢= 瓦0 “( u ) 鑫 表示沿第i 特征关于t 的方向导数，我们有( 参见 3 4 】一 3 5 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 f 21 6 其中 展斗( “) = ( a 女( u ) 一a ，( u ) ) f ，( “) v r j ( “) 7k ( u ) ( 2 1 7 注意到( 2 1 4 ) 及( 2 1 6 ) ，我们有( 参见 2 7 ) 其中 m ( 出一a ，( u ) d ” - b i j k ( u ) v j 机d t ad z ， ( 2 1 8 j = l b i j k ( u ) = 口。仆( “) + v a i ( u ) ，k ( “) j ” ( 2 19 1 2 u kb u 。 l | # u 0 k 。卢j = 妣面 另一方面，我们有( 参见【1 3 】【3 4 】【3 5 】) 其中 面d w i = 熹。似q 饥 ( 2 1 1 0 ) 弼 ( u ) = ； ( 一k ) 厶( u ) v r k ( u ) 。( u ) 一v h ( u ) 。( “) 6 时( 州) ，( 2 1 a 1 ) 而( i l k ) 表示将前面各项交换j 与k 后所得的项 注意到( 2 1 4 ) 及( 2 1 1 0 ) ，有( 参见【8 】或【2 7 】) 其中 ( 2 1 1 2 ) r 谢( u ) = ；( b ( u ) 一h ( “) ) r k ( u ) r j ( u ) 一v r j ( u ) r k ( u ) 1 ( 2 1 1 3 ) 2 2 几个重要引理 利用s t 。k 。公式，由( 2 1 8 ) 及( 2 1 1 2 ) 容易证明( 参见 s l 或【2 7 j ) 引理2 , 2 1 假设“：“( ) 是方程组址1 】) 的c t 解，r - 和吨是两段永 不相切于第i 特征方向的g - 弧，而d 是由r 。、r 2 和两条第i 特征曲 线玎及所围成的区域( 参见图2 1 ) ，那么 ，p n 州。一凡( u ) d t ) l i v ( d z a ；( “) d f ) i + ni b q k ( u ) v j w k l d t d ( 2 叫 及 ( 出一( “) d c ) 1 3 u k ( “) q k l d t d x ( 2 22 ) dd k 叫 0 uu 仆 r 。忙j = 出u一d山d 下面两个引理的证明见【8 】或 2 8 引理2 2 2 假设”= ”( t ) 是常微分方程 ( 2 2 3 ) 在区间【o ，卅上的c t 解，其中丁是一个给定的正数，a i ( t ) ( i = 0 ，l ，2 ) 是 o ，卅上的连续函数，且 令 如果 0 ( ) 兰0 ，v t 【0 ，邪 k = z 7f n ：( 1 ) f e z p ( 一z 。- ( s ) d s ) d w 0 k ， ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 那么 上7a 。( t ) e z p ( j ( n ，( s ) d s ) d 0 ，则 ( 咿) ) 一l _ ( w o - k ) 一一f o t a 扣) e 叫z 1 ( s ) 出) 以 如果, o ( 7 3 0 ，则 m 驯。1 一一上吲啪州z n - ( 州州f ( 2 2 8 ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) f 2 2 1 1 ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) 。 + ， 一 u 膨 m 出 埘 咖 叽 啦 z 厂厶 叫 胁 孙 + o 叮 ，时f r厶 有且 及 第三章一类拟线性非严格双曲组的奇性形 成 3 1 引言及主要结果 考虑下面的一阶拟线性双曲组 象十小) 象= o ， ( 3 ) 其中。：( 。，u 。) ，是变量( f ，z ) 的未知向量函数，而a ( u ) = ( a 。，( “) ) 是 元素适当光滑的n n 阵 由双曲性知，对所考虑范围上任一给定的“值，a ( u ) 有n 个实的特 征值 。( u ) ， 。( “) 和一个完备的左( 右) 特征向量组对于i = 1 ，n ， 令f 。( u ) ：( f 。( u ) ，u “) ) ( 相应地，r ，( u ) = ( r n ( u 卜- ，t i n ( u ) ) 7 ) 是对应于a 。( u ) 的左( 右) 特征向量： f i ( “) a ( u ) = a d u ) t ( u ) ( 相应地，a ( u ) r i ( u ) = ( u ) r i ( u ) ) ， ( 3 1 2 ) 我们有 d e t l l 。j ( u ) i 0( 等价地，d e t l r “( u ) f o ) ( 31 3 ) 在本章中，恒假设所有凡( u ) ( 江1 ，n ) ，l i j ( “) 及，u ( u ) ( i ，j = 1 ，n ) 均 与n l j ( u ) 有同样的正规性 不失一般性，我们假设在所考虑的范围上 k ( u ) 0 ( u ) 兰幻( i ，j = 1 ，n ) ， ( 31 4 ) 且 一( u ) r f ( “) 三l ( i = l ，n ) ，( 31 5 ) 其中j 。是k r o n e c k e r 符号 在方程组( 3 1 1 ) 是严格双曲的情况下，即设a ( “) 有n 个不同的实特 征值 a 1 ( u ) a 2 ( “) 。( u ) ， 早期的结果可见f j o h n 1 3 】，t p l i u 3 6 1 和l h s r m a n d e r 【8 利用弱线性退化 的概念，李大潜、周忆和孔德兴在【3 4 _ 3 5 中，对方程组( 3 i 1 ) 具一定 衰减性的小g - 初值的c a u c h y 问题给出了g - 解的整体存在性和破裂 现象的完整结果同时，a b r e s s 一【2 】和闫萍 4 0 】已经分别在线性退化 或弱线性退化的情况下对具紧支集的初值证明了有小初始全变差的 c a u c h y 问题e - 解的整体存在性在【3 4 _ 3 5 】中的结果后来又被推广到具 常重特征的非严格双曲的情况( 【2 9 】及【2 6 ) 然而，在非线性弹性动力 学中( 【5 】 3 8 】) ，其平面弹性波解所满足的方程组般是具重特征的非 严格双曲组，且在u = 0 处的特征值满足 a d o ) 2 ( o ) 茎a d o ) 0 是一个小参数，且妒( z ) c 1 满足 s u p ( 1 + i z i ) ( 1 妒( ) i + i 妒( z ) 1 ) ) 0 ，使得对任意给定的( o ，e o 】，c a u c h y 问题( 3 1 1 ) 和( 3 1 i o ) 的c i 解u = u ( t ，。) 的一阶导数“。必在有限时间内破裂，且存 在不依赖于。的正常数g m o 使得“= “( t ，z ) 的生命跨度于( s ) 满足 其中 于( ) c e 一( 1 + ， ( 3 1 1 3 ) = ：驴击警搽塑k o ( f n ( 0 m 圳( 0 ) 州 ) _ 1 注3 1 1 关于c l 解u = u ( f ，。) 的生命跨度的下界，已知有 于( 引盈， 其中口是一个不依赖于s 的正常数 3 2 预备事项 由 3 4 中引理2 5 知，一定存在适当光滑的可逆变换u = “( i ) ( “( o ) = o ) 使得在空间对每一个i = 1 ，吼过i = 0 的第i 特征轨线至少在吲 小时与i 轴重合，即成立 n ( 磁e ，) e 。v 陬f 小( 汪l ，n ) ，( 32 1 ) 其中 q ：( o ，o ，t 0 ，一，o ) 7( 3 2 2 ) 这种变换称为标准化变换，相应的未知变量i = ( i 。一，i 。) 称为标准 化变量或标准化坐标 及 令 佻= f 。( u ) u ( i = 1 ，一，n ) w i = “( u ) u 。( i = 1 ，n ) 由( 3 1 4 ) 有 “= ”k r k ( “) 及 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 令 磊d d = 击+ 州u ) 未 ( 3 - 2 7 ) t 一批”、“7 舭 7 表示沿第i 特征关于t 的方向导数，我们有( 参见【3 4 】( 3 5 ) ( 3 2 8 ) 其中 助k ( u ) = ( a k ( u ) 一a ，( u ) ) k ( ) v o ( u ) “( u ) ( 3 2 9 ) 因此，有 且在标准化坐标下，有 t ( “) 三0 ，v i ， ( 3 2 1 0 ) 卢；打( u j e j ) 三0 ，v h i 小， v i ，j( 32 1 1 ) 注意到( 3 2 6 ) 及( 3 2 8 ) ，我们有( 参见 2 7 j ) 如州一心悱【鲁+ 掣础 如= ，挚州咖册抓峨 ( 3 。- z 其中 b u k ( u ) = 向 ( u ) + v ( ) “( u ) 屯 ( 3 2 1 3 由( 3 2 1 0 ) 易知 且f 。( u ) 三0 ，v j i ，( 3 , 2 1 4 1 8 u k r k 口 。 = f u “ 叶 “ k 助 。扣，j j | 如| 寻 且 b i ( u ) = v ( ) n ( “) ，v i 注意到( 3 2 t 1 1 ) ，在标准化坐标下，有 ( 3 2 1 5 ) b i j j ( 嘶勺) i0 ，v l “s l d ，w i ( 3 2 1 6 ) 另一方面，我们有( 参见【1 3 或【3 4 ) 等：甜l ：。 i j k 帅c ，咄 慨。吲 其中 1 泓( u ) = ； ( ( “) 一k ( u ) ) k ( u ) v 代( u ) 。( “) 一v “( u ) q ( u ) 最k + ( j l 奄) ) ， ( 32 1 8 ) 而( j l k ) 表示在前面各项中交换j 与i 后所得的项因此，有 且 饥打( u ) = 0 ， i ， ( 3 2 1 9 ) f i l l ( u ) = 一v 凡( “) n ( u ) ( i = 1 ，n ) ( 32 2 0 ) 注意到( 3 2 6 ) 及( 3 2 1 7 ) ，有( 参见 8 或【2 7 ) m 1 ( d 小尬) 】- 警+ 锚掣 d t , a d x ：卅l ：，r l j k ( u 咖础胁( 3 卫2 ) 其中 于是 r i j k ( u ) = ；( ( u ) 一k ( “) ) “) 【v “( u ) 。( “) 一v 。( “) “( “) ( 3 2 2 2 ) f o j ( u ) = 0 ，v i ， 3 3 定理3 1 1 的证明 ( 322 3 ) 不妨碍一般性，定理3 1 1 的证明将在标准化坐标下进行且与【3 5 中类似，可以假设 。( o ) 0 由( 3 16 ) 知，存在适当小的正常数d 及d 。，使得 a n ( u ) 一a i ( v ) 4 j o ，v 】“j ，l p l 曼j ( i = l ，一，n 1 ) ，( 3 3 1 1 9 | 知“ 一 ( # | 要￥垮| ，泌 5 ( i = l ，一，n ) 。 令。：。1 ) 是秩原点发密的第n 特雒： j 掣= 州印m ) ) 1 1 t = o ：2 。= o 并记 $ ：驻) = k o ) 十如) # 羔 0 逶当，j 、酵，。= 。必在壹线。= 。# f 1 ) 的表铡。 对任惑绘定的t 0 ，令f 参见图3 ，1 ) d ：= o ，) f0 s ts tz 。o ) 墨s j p ) ) 及 d ：= “t ，蚓0 ts t 三j ( t ) ) 3 3 2 ) 3 3 ，3 ) 3 3 。4 ) ( 3 , 3 5 ) ( 3 3 6 ) 今后将在由z o 上的初值所决定的最大决定区域职u d ；上考察 问题， 对任意给定鹩t o ，记 y ( d ；) = f ：黪i 。1 1 ( 1 十l 。1 ) ；( ，z ) i i 一 。：) ， 阿f 。；= 鬈j 。阳+ ”；，。；淞瞄 ， 捧盎( 3 0 嚣m a x s u p f l 斗滓一 f ( o ) 黼链) t 往，) | 仁1 ，一t “一1i 滞) d ： w l ( ? ) = 。s s u # s p rj 。p j l ”h ( ，。) l 。， n ( 3 3 7 ) 3 , 3 8 f 3 , 3 + 锇 3 3 1 跳 三一 1 ( t ) = 。嚣。j ( ( f 圳d 2 ， 其中a 表示任一在碟上的第i 特征， ( t ) 2 逻鉴( s u p 。i 忡圳 ( t ) 2 1 m 蚴a x ( 。棚s u p m 哪。) | ( 3 3 1 2 ) ( 3 3 1 3 ) 我们先假设在e l 解“= u ( ，z ) 的任一给定的存在区域d t ud t 上， 恒成立 i u ( t ，) i 6 ( 3 3 1 4 ) 在引理3 3 3 的证明最后，我们将解释此假设的合理性 引理3 3 1 对于i ：1 ，n 一1 ，在区域醒上成立 及 k 1 兰。一a ，( 0 ) z k 2 z ，( 3 3 1 6 ) 其中一。和x 。是不依赖于r 的正常数 证明对任意给定的点( t ，z ) d 罩，在j 适当小时，由d ：的定义及 ( 3 32 ) 易知 ( a 。( o ) 一如) s ( a 。( o ) + 如) t ，( 3 3 1 7 ) 再注意到( 3 3 1 ) 即得( 3 3 1 5 ) ( 3 3 1 6 ) 相似于f 35 1 中引理3 2 ，我们有 引理3 3 2 假设( 3 1 6 ) 成立，且在“= 0 的一个邻域内a ( “) c 2 进 步假设初值满足f 3 1 1 1 ) ，那么一定存在适当小的e 0 0 ，使得对于任 意给定的e ( o ，e 。 ，在c a u c h y 问题( 3 1 1 ) 及( 3l j l 0 ) 的cz 解u = u ( t ，。) 的任 一给定的存在区域d j 上，存在不依赖于s 及丁的正常数一。使得 y ( d ：) ，( d ：) s q e ( 33 1 8 ) 引理3 3 3 在引理3 3 2 的假设下，一定存在适当小的印 o ，使得对 于任意给定的e ( o ，。】，在c a u c h y 问题( 3 1 1 ) 和( 3 1 1 0 ) 的c - 解“= “( ，z ) 的任一给定的存在区域碟u 磁上，存在不依赖于e 及2 1 的正常数 “：“：4 ，5 ，6 ) 使得下面的一致先验估计式成立： n 乞( t ) 墨k 4 e ，( 33 1 9 ) 2 1 及 其中 眦( ? ) ，惭( t ) ! 螂e 1l o ge 、 - ( r ) ，u * ( r ) 茎k 6 l l o g e t s 2 + 。 0 适当小时，有 兰二sa 。( o ) + 塑 (3327)tt o 一。、 2 、 于是注意到( 3 3 1 7 ) ，易得 g l o ( 3 3 2 s ) 沿f = x i ( s ；t ，) 从t o 到f 积分( 3 2 1 7 ) 得 。( z ，z ) = i ( o ，) + 7 啪( “) u 。“，k ( s ，i ( s ；z ，。) ) d s ( 332 9 ) j oj 1 = 1 由引理3 3 2 并注意到( 3 3 2 s ) ，有 i 仲。0 0 ，y ) l k l e ( 1 + ) 一1 茎g e ( 1 + t o ) 一1 茎c 售e ( 1 + t ) 一1( 3 3 3 0 ) 于是，注意到( 3 2 1 9 ) 和( 3 3 1 4 ) 并利用引理3 3 1 和( 3 3 2 8 ) ，从( 3 3 2 9 ) 得 】”。( ，) | ! 岛e + c b ( 计乞( t ) ) 2l o g ( 1 + 了1 ) + c 1 0 w l ( t ) l ( 7 1 ”( 1 + c ) 一1 ( 3 3 3 1 ) 由此，利用引理3 3 1 并注意到( 3 3 2 2 ) ，易得 - 笔毋s e l l 妇。 ( i 乞f t ) ) 2 l o g ( 1 + ? ) + 瞧t 溉( ? ) s ( 矗2 e + ( 嘿了 ) ) 2 | l o g e l + w l ( t ) 两( 丁) ) 3 3 3 2 ) 下面我们来证明f 3 3 1 9 ) 和( 3 32 0 ) 注意到( 3 i 1 1 ) 及( 3 3 1 4 ) ，由 3 2 4 ) 易知 l ( 0 ，$ ) lsc 1 3 e ( 1 + k 1 ) 一1 ( 1 = 1 ，n ) 。 f 3 3 3 3 ) 予是易撂 w l ( o ) sg 3 5 1强3 3 4 ) 及 影l 0 = 弧( 妨= 0 3 3 3 鼙 蠹连续性，存农正数勺，使缮在0 s t 曼r o 上，存在不依赖子e 静芷常数 s 和x 。使缮f 3 3 1 9 ) - ( s 。3 2 8 ) 成立爨此，为了涯明 3 ，3 1 9 h 3 3 2 0 ) ，我们仅 嚣证明能选取蛳秘她傻襁对任意绘定的t o 【o 罔 奘中? 满足f 3 3 2 2 ) 当s 。 0 充分小时，由 w 矗( 孙) 2 a “( 3 - 3 3 6 ) 及 w ( 妈) ，眠( 弱) 2 k 盼 l o g e l ，3 3 3 7 ) 可导提 h 惫( ) 茎q g( 3 ，3 。3 8 ) 及 w l 弱) ，h 7 l 霸) ss 辞ll 0 9 6 1 3 ，3 3 9 ) 为此，熔( 3 3 鹞) ( 3 ，3 3 z ) 代入( 3 、3 、2 5 ) 。( 3 ，3 2 8 及强3 3 2 1 ( 羹中取r = 诧) 的右 边，即褥 w t ) q e li o ge i l + 4 ( k ：十k 4 k 5 列t o g e ，3 3 4 0 ) 弧岱# l l o g c i 1 + 4 硝+ k 榔矧i o g t f 3 3 。4 1 ) 及 群鼍f 筠) c 1 2 a 1 + 4 k ；+ k 4 k 5 ) f l o g 3 3 4 2 ) 取翮 0 适当小，由( 3 3 4 0 ) 一( 3 3 4 2 ) 就得到 及 1 ( ) 2 c 4 e 1l o g e l ( t o ) 2