（应用数学专业论文）陈吸引子riddled性质的研究.pdf

上海大学硕士学位论文 摘要 自从e n l o r e n z2 0 世纪6 0 年代在数值试验中发现第一个混沌吸引子以 来，混沌在许多领域中获得了巨大的发展。混沌现象作为非线性科学的主体之 一，三十年来一直得到各个科学领域众多研究人员的重视。它无论在自然科学 各个领域还是在音乐、经济、艺术等社会领域都得到了广泛的应用。 虽然有关混沌吸引子研究文献已经大量存在，但是这些文献的极大部份集 中于对混沌系统的动力学性质的研究，对于混沌吸引子的吸引性的研究相对就 少得多，这主要是因为对于混沌吸引子的吸引性内在本质问题一直没有很好的 解决。按照经典吸引子的理论，一个闭集合要成为一个动力系统意义下的吸引 子就必须存在一个包含它的吸引邻域。自从混沌吸引子发现以来，人们逐步认 识到这样要求太高了，于是m i l n o r 认为有必要提出吸引子的新概念来放松对吸 引性的要求。这个概念的主要思想是要求存在一个正测度的吸引集而不是要求 一个包含它的整个吸引邻域。按照这种定义如果一个集合的任何一个邻域都有 正测度的吸引集和正测度的排斥集，它仍是吸引子。在这种基础上混沌吸引子 的筛形性质被提出了，并引起了人们对其研究的兴趣。虽然通过十来年的研究， 人们在这方面己经取得了丰富的成果，但是从文献上看目前关于混沌吸引子的 筛形性质的工作主要集中在离散系统。本文把这一研究推广到连续系统，以陈 吸引子这个有代表性的例子来证实由连续系统产生的混沌吸引子也具有筛形性 质。 本文主要证明了陈吸引子是m i l n o r 意义下的吸引子并且具有筛性性质。第 一章主要介绍了混沌以及混沌吸引子的知识背景，并且扼要阐述了混沌吸引子 的研究现状。第二章和第三章分别介绍了混沌以及吸引子的基本概念和基本理 论。第四章是本文的主要结果，我们用几何的方法讨论了m i l n o r 意义下的陈吸 引子吸引盆的筛形性质。我们证明了陈吸引子的任何一个邻域都含有一个正测 度的排斥集，从吸引子的角度来看，陈吸引子具有奇怪的性质即筛形性质。第 五章则是对本文的一个扼要总结，并同时对进一步的研究做了一些展望。 关键词：陈系统，混沌吸引子，吸引盆，筛形性质。 上海大学硕士学位论文 a b s t r a c t s i n c ee ，n ，l o r e n zf o u n dt h ef i r s ts t r a n g ea t t r a c t o ri nan u m e r i c a le x a m i n a t i o n b yc h a n c ei n1 9 6 0 s ，c h a o sh a sg a i n e dg r e a ta n dp r o f o u n dd e v e l o p m e n ti nm a n y f i e l d s a so n em a i na s p e c to fn o n l i n e a rs c i e n c e ，c h a o sh a sb e e n g o t t e nm u c h a t t e n t i o n b yl o t s o fr e s e a r c h e r so fv a r i o u sf i e l d s ，a n di th a sc o m p r e h e n s i v e a p p l i c a t i o n si nn a t u r a ls c i e n c ea n ds o c i a ls c i e n c e a l t h o u g ht h e r ea r eq u i t eal o to fa r t i c l e sa b o u tt h er e s e a r c ho nc h a o t i ca t t r a c t o r si n t h ec u r r e n tl i t e r a t u r e ，m o s to f t h e ma r ef o c u so nt h es t u d yo f t h ed y n a m i c so f c h a o t i c s y s t e m s o nt h ec o n t r a r y , t h es t u d yo nt h ea t t r a c t i n gp r o p e r t yo fc h a o t i ca t t r a c t o ri s m u c hl e s s t h i si sm a i n l yd u et ot h ef a c tt h a tt h ei n t r i n s i cp r o p e r t i e so fa t t r a c t i o na r e s t i l ln o tv e r yc l e a rt ot h i sd a y a c c o r d i n gt ot h et r a d i t i o n a lt h e o r yo fa t t r a c t o r s ，a c l o s e ds e tb e i n ga na t t r a c t o rm u s th a v ean e i g h b o r h o o do fa t t r a c t i o n s i n c et h e c h a o t i ca t t r a c t o ri sf o u n d ，p e o p l eh a v eg r a d u a l l yr e a l i z e dt h er e q u i r e m e n ti st o os t r i c t f o rt h ep r o p e r t yo fa t t r a c t i o n s om i l n o rt h i n k si ti sn e c e s s a r yt op r o p o s ean e w d e f i n i t i o nt or e l a xi t t h em a i ni d e ao fm i l n o r sd e f i n i t i o ni st h a ti tr e q u i r e so n l ya n a t t r a c t i v es e tw i t l lap o s i t i v e l e b e s g u em e a s u r e b u tn o ta ne n t i r ea t t r a c t i v e n e i g h b o r h o o de n c o m p a s s i n gi t i nl i g h to fm i l n o r sd e f i n i t i o n ，i fa n yn e i g h b o r h o o d o fas e tc o n t a i n sb o t ha t t r a c t e da n dr e p e l l e ds e t sw i t hp o s i t i v el e b e s g u em e a s u r e s ， t h i ss e ti sa l s oa na t t r a c t o r o nt h eb a s i so ft h i sd e f i n i t i o n ，t h es o c a l l e dr i d d l e d p r o p e r t yo fa na t t r a c t o rw a sd e f i n e da n ds t u d i e di nt h eb a s i no fac h a o t i ca t t r a c t o r a l t h o u g hm a n yp r o d u c t i o n sh a v eb e e na c h i e v e di nt h i sa s p e c t ，t h ew o r ka b o u tt h e r i d d l e dp r o p e r t yo ft h ec h a o t i ca t t r a c t o ri sm o s t l yf o c u s e do nt h ed i s c r e t es y s t e ma t t h ep r e s e n tt i m e i nt h i st h e s i sw e , l le x t e n dt h es t u d yt oc o n t i n u o u ss y s t e ma n du s e c h e na t t r a c t o r , ar e p r e s e n t a t i v ee x a m p l eo fs 仃a n g ea t t r a c t o r , t op r o v et h a tt h eb a s i n o fa t t r a c t i o no fac h a o t i ca t t r a c t o rp r o d u c e db yac o n t i n u o u ss y s t e ma l s op o s s e s s e s r i d d l e dp r o p e r t y t h i st h e s i si sd e n o t e dt ot h ep r o o ft h a tc h e na t t r a c t o ri sa na t t r a c t o ri nm i l n o r s s e n s ea n dt h eb a s i no fa t t r a c t i o nt a k e so nr i d d l e dp r o p e r t y i nc h a p t e r1w em a i n l y t t 上海大学硕士学位论文 i n t r o d u c es o m eb a c k g r o u n dk n o w l e d g eo fc h a o sa n dc h a o t i ca t t r a c t o r s ，a tt h ee n do f t h ec h a p t e rw eg i v eab r i e fd e s c r i p t i o no fr e s e a r c hp r o g r e s so fc h a o t i ca t t r a c t o r ，i n c h a p t e r2a n dc h a p t e r3 ，w eg i v et h eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dt h e o r i e so fc h a o sa n d a t t r a c t o r s c h a p t e r4i s t h ec e n t r a lr e s u l to ft h i sp a p e r , i nw h i c h ，b yg e o m e t r i c a n a l y s i s ，w ed i s c u s st h er i d d l e dp r o p e r t yo ft h eb a s i no fa t t r a c t i o n o ft h ec h e n a t t r a c t o ru n d e rm i l n o r sd e f i n i t i o n ，a n dp r o v et h a ta n yn e i g h b o r h o o do ft h ec h e n a t t r a c t o rc o n t a i n sr e p e l l e ds e t sw i t hp o s i t i v el e h e s g u em e a s u r e f r o mt h ev i e w p o i n t o f a t t r a c t o r , t h i sr e s u rs h o w st h a tt h ec h e na t t r a c t o rh a s s t r a n g e ”p r o p e r t y l a s t l y , i n c h a p t e r5 ，w em a k eab r i e fs u m m a r yo nt h i st h e s i sa n dp r o s p e c tf u rf u t u r er e s e a r c h o nr i d d e dp r o p e r t y k e y w o r d s ：t h ec h e ns y s t e m s ，c h a o t i ca t t r a c t o r , b a s i no fa t t r a c t i o n ，r i d d l e d p r o p e r t y i i i 上海大学硕士学位论文 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：互l 导师签名： 稚日期： 盟 上海大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 二十世纪7 0 年代以来，非线性科学作为一门新兴学科迅速发展起来，它的 出现是人类认识自然的一次飞跃，标志着人类认识自然从线性时代进入了非线 性时代。 一般认为非线性现象有三大普适类：混沌( c h a o s ) 、孤立子( s o l i t o n ) 及分 形( f r a c t a l ) 。 1 9 6 3 年美国气象学家洛伦兹在数值天气预报中通过计算机数值实验发现确 定非线性方程存在非周期的有界解【lj ，后来被确认这样的解为混沌。 早在1 8 4 4 年，英国科学家r u s s e l l 在报告吲中记述了一种奇怪的水波现象： 在船停止运动的情况下，被船舶激起的水波仍然保持原先的形状与速度沿着运 河继续孤立前进直至运河拐弯处。1 8 9 5 年，数学家k o r t e w e g 在指导其学生d e v r i e s 的论文中提出了流体中单向波传播的数学模型，即k d v 方程3 1 ，并从中 解出了孤立子解；1 9 6 5 年n j z a b u s k y 和m ，d k n t k a l 将k d v 方程用于等离 子体的研究，借助电子计算机考察了等离子体中孤立子的互相碰撞过程【4 ，表 明两个孤立子经碰撞不改变波形和速度，这种奇特性质引发了孤立子研究的新 热潮。 1 9 7 5 年，数学家曼德勃罗特在研究大量无规则的几何形态时提出了英国的 海岸线有多长的这一引人深思的问题【5 1 ，阐述了海岸线具有标度不变性，后来 由此逐步发展建立了分形理论。 经过几十年的努力，人类在非线性科学的研究方面已经取得了丰富的成果， 并且发现它具有广泛的应用前景，几乎可以涉及到自然科学和社会科学的所有 领域。另一方面非线性科学的研究成果也改变了人们对客观世界的看法，对人 类的科学观产生了深远的影响。 非线性科学在近年来能得到迅速发展的一个极为重要的原因是在描述各类 自然现象的动力系统中发现了混沌运动。如果动力系统是耗散的，且在客观上 是可以观察到的，那么这类混沌运动在相空间应该表现为混沌吸引子。这样， 上海大学硕士学位论文 混沌吸引子既要讨论其动力学上的混沌性质，又要分析其的吸引性质，因而混 沌吸引子的研究是一个重要且困难的问题。 1 2 陈吸引子的研究现状 1 9 9 9 年陈关荣教授在工作中发现了一个新的而有趣的系统m 50 1 ，这个系 统后来被人们称为陈系统。陈系统是当l o r e n z 系统的参数不在混沌区域，即其 状态是非混沌的时候，利用反控制的基本方法和技巧强迫l o r e n z 系统产生混沌 时得出的一个混沌系统。陈教授率先作出了这种解析性的尝试。 考虑如下受控的l o r e n z 系统 出 _ _ 西 咖 疵 出 _ 一 出 = a ( y z 、 c z x z y + 挂 w 一6 z ( 1 2 1 ) 性状态反馈控制器【“1 ，即 其中，毛、岛、乜为系统待定的增益常数，受控系统在点( x + ，_ y + ，z ) 的j a c o b i a n 如内= 一岛引 z 司 为了寻找受控的l o r e n z 系统( 1 2 1 ) ( 1 2 3 ) 的平衡点，令 f a ( y x ) = 0 【x y b z = 0 显然，( o ，0 ，0 ) 是系统的平凡平衡点。 为了找到系统的非零平衡点，考虑系统( i 2 4 ) 的第一个方程，显然x = y 。 上海大学硕士学位论文 又由系统的第三个方程可以得到z = i 1 x 2 。因此，根据系统( 1 2 4 ) 第二个方程有 z = y = j 1k ，丢i i j i 西i i f i 面( 1 2 5 ) 显然，根据j o c a b i a n 矩阵( 1 2 3 ) ，如果j a c o b i a n 矩阵在平衡点 ( x + ，y + ，z + ) = ( 0 ，0 ，o ) 处取值，则特征根的取值与系数k 3 无关，这意味着系统的 l y 印u n o v 指数与岛无关。因此，为简单起见，令毛= 0 。为了选择合适的参数 和哎，从而使得系统( 1 ，2 ，1 ) 在反馈控制器中( 1 2 ，2 ) 的作用下出现混沌行为，我们 进一步考虑系统的j o c a b i a n 矩阵( 1 2 3 ) 在另两个非零平衡点( 1 2 5 ) 处的取值。为 了使反馈控制系统能够产生混沌，这些平衡点不能是稳定的，即这两个非零平 衡点至少有一个是不稳定的特征值。理论分析揭示了下面一种简单可行的选择， 即 毛= 一a ，k 2 = 1 + c 幸运的是，上田哲史( u e t a ) 协助计算机仿真验证了这些增益实际上产生 了一个成功的反馈控制器 “= 一a x + ( 1 + c ) y( 1 2 6 ) 这使得受控而当前非混沌的l o r e n z 方程( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 变成下列的c h e n 系统 【5 t7 ”，即 去刮h ) a 者y = ( c d ) x 一+ ( 1 2 7 ) 堕：删一幻 d t 。 根据v a n i c e k 和c e l i k o v s k y 提出的标准阮5 3 , ”，c h e n 系统与l o r e n z 系统 是对偶系统盼8 6 1 。对于三阶非线性系统按其线性部分4 = 【吩 3 3 可以为标准型 的分类提供一个i 临界条件，l o r e n z 系统满足q 2 啦l 0 ，而c h e n 系统却满足 n 。：0 2 。 o ，v x ，y s ，x y ( 2 ) l i m i n f p ( f ”( x ) ，厂”( y ) ) = o ，v x ，y s 月- - , i , ( 3 ) l i m s u p , o ( f ”( x ) ，f ”( y ) ) o ，v x ，v y p ( f ) 其中f 2 ( f ) 为厂的非游荡集，p ( f ) 为，的所有周期点集合。 2 ) d e v a n e y 定义： 定义2 2 2 设( 吖，p ) 为一度量空间，f ：m 斗时为连续映射，称离散系统 ( m ，- 厂) 为d e v a n e y 意义下的混沌，若 ( 1 ) f 对初值敏感，即存在j 0 ，使得对于m 上的任意一点x m 以及 任一邻域u ，有y u 和n 0 ，有p ( f ”( x ) ，f ”( y ) ) 占 上海大学硕士学位论文 ( 2 ) f 拓扑可迁，即对m 的任意非空子集u 、v ，存在k 0 ，使得 厂( iv 妒 ( 3 ) f 的周期点集e ( f ) 在m 上稠密。 3 ) m o r o t t o 定义： 定义2 2 3 设彤为n 维欧氏空间，川l 为彤范数，f ：r ”哼r ”为连续映射， ( 1 ) 存在一个正整数满足，对于任意的整数m n ，f 有周期m 的点 ( 2 ) f 存在s c r a m b l e d 集s ，即s 为一个不可数非周期点集，满足 ( i ) f “( s ) c s ，对于某一个n 0 ( i i ) v x ，y s ，x y ，l i m s u p | i 厂”( x ) 一，”( y ) l l 0 ( i i i ) v x s ，y p ( ，) ，l i m s u p | | ，“( x ) 一，”( y ) l b0 ( 3 ) 存在s 的一个不可数集& ，v x ，y s o ，l i m i n f i i 厂”( x ) 一厂”( _ y ) i i = 0 ， 则称，为m o r o t t o 意义下的混沌。 混沌从控制与应用研究的角度来看可以分为时间混沌、空间混沌、时空混 沌以及功能混沌：从物理角度来看可分为耗散系统的混沌、保守系统的混沌与 量子系统的混沌。 2 3 混沌的特性 相对于线性系统以及其它的非线性系统，混沌系统具有自己独有的特征： 1 ) 有界性 混沌系统是有界的，运动轨线始终局限于一个确定的区域，即混沌吸引域。 2 ) 遍历性 混沌轨道在其混沌吸引子中是各态历经的，即，在有限时间内混沌轨道经 过混沌域内每一个状态点。 上海大学硕士学位论文 3 ) 内在随机性 由于初值敏感性，混沌系统在不受外界干扰下，也具有类似“随机”眭。 4 ) 分形性 分形性是指混沌运动轨道在相空间中的几何特征，其表现为无限层次的自 相似结构。 5 ) 普适性 混沌运动不是完全杂乱无章的，存在内在规律性，不同系统趋于混沌状态 时表现出某些共同特征，其不会随某一类系统内的具体系统变化而变化，通常 称这种性质为普适性，如一维单峰映射所具有的f e i g e n b a u m 常数。 迄今已发现从有序运动转变混沌的三种普遍方式： 1 ) 倍周期分叉 这是由m a n d e l b r o t ，m a y 等一批科学家共同努力而发现的，随后， f e i g e n b a u m 又发现了倍周期分叉中的标度性及普适常数，有时也称f e i g e n b a u m 道路，即从周期不断加倍产生混沌。 2 ) 阵发混沌 这是由法国数学家yp o m e a u 及em a r m e v i l l e 于1 9 8 0 年提出的，又称p m 类间隙道路，其产生机制与切分叉密切相关。当系统某一参数r 未达到阀值时， 系统呈现规则周期运动；当r 渐渐接近阀值，系统在长时间内表现为明显的近 似周期运动，但近似周期运动形式将被短暂突发混乱运动打乱，突发过后仍是 近似周期运动，这种情况不断重复，呈阵发性；随r 突破阀值，突发现象越来 越频繁，近似周期运动几乎消失，最后系统完全进入混沌状态。 3 ) 准周期失稳 这是由法国数学家d r u e l l e 和et a k e n s 于七十年代提出的，认为进入混沌 状态并不需要经过无数次分叉，而是只要四次甚至三次即可，其特点大致为： 不动点( 平衡点) 一极限环( 周期运动) 一二维环面( 准周期运动) 一混沌吸 引子( 混沌运动) 。 描述混沌的特征量一般有l y a p t m o v 指数，测度熵，分数维，功率谱，标度 指数以及不变概率密度，自关联函数等等。在实际处理中如不能给予严格数学 证明的话，通常考察混沌的方法有：相图，p o i n c a r e 截面上的相图，自关联函 9 上海大学硕士学位论文 数，功率谱图，分维数的测量，概率密度分布图，k s 熵及l y a p u n o v 指数谱【1 8 珊】。 如要从严格的数学意义下来证明特定系统( x ，d 是否混沌，除了从上面的 定义直接出发证明外，也可通过证明该动力系统( x ，f ) 与( 。) 拓扑共轭来说 明，其中y 。为一切由有限元素集合a ( 称为字母表) 中元素( 称为符号) 构 成双向无限的符号序列的集合的拓扑空间，盯为定义在n 上的移位映射。实 际上，也可通过考察s m a l e 马蹄变换的存在以及横截同宿点理论，包括用梅尔 尼科夫方法和什尔尼科夫方法来讨论一些系统的混沌存在性口1 2 酊。 上海大学硕士学位论文 第三章吸引子简述 3 1 动力系统的吸引子 设( z ，) 为一动力系统，要想分析其动力学行为最完全结果应该来自所有 o r b f ( x ) ，因为由o r b ：( x ) 可知道在任意k z 时刻厂所处的状态。事实上，由 于，一般是非线性的，因而o r 6 ，( x ) 一般很难由解析式给出，所以想通过所有轨 道来细致分析厂在任意时刻k z 所处状态现阶段几乎是不可能的。事实上，对 大多数来自于实际问题的动力系统，往往并不关心其暂态过程，主要兴趣集中 在对其长时间以后所处的状态的研究。考虑到这种实际的需要，动力系统理论 也把研究动力系统长时间演化后的性质作为其主要研究内容。 从实际角度来看，“动力系统最终趋于什么状态的问题”的问题涉及到两 个问题：可观察性和重现性。对这两个问题的考虑引起了动力系统的吸引子问 题 2 7 】。 设一是动力系统( 工，) 的一个吸引子，按照可观察性和重现性，a 应有如 下性质： ( 1 ) 在一定条件下，动力系统长时间演化后进入a c x ，以后就一直留在 彳中，为了保持爿的重现性，a 应该为，的不变集，即f ( a ) = a 。因而不动点、 周期点、c o ( x ) 、q ( ，) 都有可能表现为动力系统的吸引子。 ( 2 ) 为了保证可观察性，就应该在相空间存在一个正测度区域，使得由该 区域出发的轨道最终都能进入4 ：也就是说以应该表现出一定的吸引性。从数 学上，这种吸引性通常理解为存在4 的一个邻域u ，使得u 中出发的轨道最终 都吸引到a 中去，换句话彳= i 。f ( 。近年来，对于吸引性要求也提出了一 些新的看法，j m i l o r 在1 9 8 5 年把上述条件放宽【2 8 1 ，他认为不一定要求上述性 质的4 的邻域u 存在，而仅要求a 存在一个正测度的吸引盆，即要求 上海大学硕士学位论文 p ( a ) = x xc o ( x ) ca 有正测度。由于吸引性要求，f 的不变集就仅仅成为 吸引子的候选对象，它们不一定能成为厂的吸引子。 就目前的认识而言，动力系统的吸引子可分成正规吸引子和混沌吸引子两 大类。 3 2 正规吸引子 正规吸引子是指吸引子在相空间x 上的几何图形是正规的，且厂在其上的 动力学是规则的。具体说来，正规吸引子又可分为三种类型。 1 ) 定态吸引子 所谓定态吸引子是指不随时间变化的吸引子。考虑一个离散动力系统 x n + l = ，( 矗) x n r ” ( 3 2 1 ) x 为m 维向量函数。显然( 3 _ 2 1 ) 的定态吸引子来自于f ( f ) ，( 3 2 1 ) 的任一定态 吸引子在相空间上表示一个点。 为了具体求( 3 - 2 1 ) 定态吸引子就是先从 x = - 厂( x ) 求出不动点，然后再计算该点处j a c o b i 阵的特征值，如果特征值模全部小于1 ， 则该不动点就成为一个定态吸引子【2 9 3 0 l 2 1 周期态吸引子 所谓周期态吸引子是指随时间周期变化的吸引子。同样考虑离散系统 x n + 1 = 厂( )r ” ( 3 2 1 ) ( 3 2 1 ) 的周期态吸引子来自于p ( f ) f ( f ) 。一个周期为k 的周期态吸引子在 相空间是由孤立的k 个点组成。 类似地，为了讨论( 3 2 1 ) 的周期为k 的周期态吸引子，先要从下列方程组求 出所有可能的周期为k 的周期轨道 上海大学硕士学位论文 z 2 = 厂( 置) 墨= ，( ) ( 3 _ 2 2 ) 由( 3 2 2 ) 求出的，的周期解能否成为吸引子还得决定于其是否有吸引性。设 m = x i o ，x 2 0 ，) 是( 3 2 2 ) 的解，注意至l j v x i 。m ( i = 1 ，2 ，k ) ，都满足 2 f k ( x i 。) 2 ! ：! ! 二：旦! 弛) ( 3 2 - 3 ) 攻 即t o 是，的不动点。因而，可以通过计算，。在x i 。处的j a c o b i 阵 d 厂( 。) 巧( x ：。) d f ( x k 。) 的特征值来决定能否成为吸引子。+ 如果 巧( x l 。) o f ( x 2 。) d f ( 。) 的特征值模全小于l ，那么m 就成为，的周期态吸 引子。 3 ) 准周期态吸引子 这类吸引子比上述两种吸引子来得复杂一些，它随时间的变化是非周期的。 般来说，考虑动力系统 x n “= 厂( 矗) x n r “ ( 3 2 1 ) 很难判断其是否存在r ( r m ) 胎面上的稠密轨道。如果这种轨道是存在的话， 其能否成为一个吸引子，可以通过计算轨道的m 个l y a p u n o v 特征指数加以判 断。如果m 个特征指数分别为 涟! 恣i i 兰l e 2 ? 0 其中f 是l e b e s g u e 测度，喀( x ) 是x 的占邻域。 定义3 3 4 告诉我们吸引盆有筛形性质的吸引子的任何一个邻域都包含具 有正测度的吸引集和正测度的排斥集。 为了更好地理解m i l n o r 吸引子背后的思想，我们给出图示来更形象直观地 解释该定义。在平面上考虑一个定义在一维圆周上的动力系统。设圆周上的点 上海大学硕士学位论文 o 是该动力系统的一个平衡点，弧a o b 是点0 的任意一个邻域，箭头表示轨 道的走向( 图2 ) 。 按照经典吸引子的定义即定义3 3 1 ，点0 不是该系统的吸引子，因为不存 在吸引邻域。但是如果按照m i l n o r 对吸引子的定义即定义3 3 3 ，点o 是该系 统的一个吸引子，因为点0 的任何一个邻域都含有一个正测度的吸引集；并且 依据定义3 3 4 点0 的吸引盆具有筛形性质，因为点o 的任何一个邻域都含有 正测度的吸引集和正测度的排斥集。 a 0 b 图2m i l n o r 意义下吸引子示意图 定义3 3 5 称c 7 同胚f ：u 斗f ( u ) c m 的紧致不变集ac 7 _ u 为双曲的，若 切丛删在a 上的限制t m = ( 肼) i a 可以分解为w h i t n e y 和 满足 瓦m = e “o e 5 ( 3 3 1 ) ( 1 ) d f , ( e j ) = e 5 f ( x ) d l ( e ) = e “f ( x ) 其中e 、e “为切空间r , m 相对于分解( 3 3 1 ) 的直和分解。 ( 2 ) 存在常数c 0 和0 五 o ，o 0i ja x i 和a x 2 满足： 。 等缸 峨 0 。 证明：由“的表达式显然可以得出结果。 在下面条件中辞、x ! 和a x ；、蝇都满足引理中的条件。 我们的主要结果如下： 定理1 如果存在陈系统( 1 ) 的混沌轨线厶上的一段l ，x 0 = ? ，o ，譬) 7 是 l 上得任一点。则在超平面口上存在一有正l e b e s g u e 测度的区域v ，使得 上海大学硕士学位论文 v x l v ，在葺处的向量场的方向向外偏离x o 处的向量场方向，只要l 满足以 下两个条件： 1 ) 5 0 ( 2 ) 把= l o + a i o 代入( 2 ) 得 ( 厶，) = ( 毛) 2 ( f ：) 一( 1 2 ，o ) ( f 0 ) = ( o ) 2 ( 1 2 ( t o + a l o ) ) 一( 1 2 f 0 ) ( 矗( 1 0 + f o ) ) = ( f o ) 2 ( 1 2 f 0 ) 一( 1 2 毛) ( 乇a o ) 0 即要求 ( f 0 ) 2 ( 1 2 a l o ) 一( 1 2 - z o ) g a t o ) 0 ( 3 ) 把乇，f o ，f 2 的表达式代入( 3 ) 得 ( ( 站) 2 + ( 茗) 2 + ( 譬) 2 ) ( 一芘+ 砭瑶) 一( 一嚣+ 缸d 0 1 ) g g o + 芘2 n 。2 + 磊3 n 如3 ) = ( 露) 2 血：譬十( 露) 2 h 矗+ ( 露) 2 a 瞎+ ( 譬) 2 _ 砧一一呓i f 0 2 f 0 2 一一砧譬露 一心矗2 f 0 1 l o i a x 2 2 f 0 3 凸f 0 3 0 显然当下面( 4 ) 中三个式子成立，则( 3 ) 式就成立： ( 砧) 2 工2 碍一缸。站t 2 2 0 l ( 瑶) 2 一砧一一岛菇2 f o i i 0 i ( 臂) 2 x 2 碍+ ( 露) 2 _ 站一一砧i 3 凸b 3 一b 譬露露 0 因此，一旦证明( 4 ) 成立，( 3 ) 的结果就自然成立。 ( 4 ) 上海大学硕士学位论文 由( 4 ) 的前曲个式于得： !i2i1 2 l t 哗i 一! 蝇) o ( 5 ) i 碍鲥( 碍缸。一砖k ) 0 由条件2 ) 知：砧 0 ，曙 0 取x i ，a x 2 满足引理条件，则有：站 0 所以( 5 ) 等价于： 矗蝇一譬缸 0 事实上 站等她 譬她营( - 3 5 # + 3 5 ) 等 0 ，于是只需证明 ( 1 j 1 2 a t o a l ；1 2 1 0 ) 0 首先由条件2 ) 及a x i ，a x ：的取法知i a = t l ；a x l + 1 0 2 a x 2 ( 一3 5 她+ 3 5 缸：) 她+ 【- ( 7 + 霹) 蝇+ 2 8 血： 写血。 = ( 4 2 均峨- ( 3 5 + 譬) 缸1 1 6 x ： 上海大学硕士学位论文 取岭篱郇贿之即。 所以有 譬之厶 0 a 1 3 0 1 2 1 0 即( 6 ) 式成立。 综上可证，对满足条件1 ) ，2 ) 的轨线段工取 矿= 一i 。 鬻( 爿一砰) 毫一逆 0 。很明显v x l 是三维空间的一个正测度集，这样 就完成了对定理的证明。 附注：事实上完全可片j 类似的方法，我们也可以证明陈吸引子的任何一个邻域都 含有一个正测度的吸引集。 图3 定理1 的证明思路示意图 上海大学硕士学位论文 4 4 陈吸引子吸引域的筛形性质 为了证明陈吸引子吸引域的筛形性质，我们必须证明陈吸引子上满足定理 一中条件1 ) 和2 ) 的混沌轨线段三的存在性。因为在严格数学意义上混沌吸引 子的存在性仍然是一个没有解决的问题，于是对目前来说要严格地证明三的存 在性几乎是不可能的。因此，我们用数值结果来证明的存在性。 首先，我们假定存在混沌轨线段上，它在置方向投影为线段【7 ，1 4 。图4 和图5 中两条射线之间部分分别是当= 7 和矗0 = 1 4 时矿所表示的区域，显然此 时v 是过且平行于平面( 五，互) 的超平面口上的正测度集。这样，由连续性 可知，对每一个取定的弓0 其相应的v 在过且平行于平面( x i ，五) 的超平面口 上都有正测度。因此v 三在三维空间是正测度集。 图4 取霹= 7 时，矿表示的区域 上海大学硕士学位论文 性。 图5 取霹= 1 4 时，矿表示的区域 于是剩下的闯题就是证实上述提到的混沌轨线段三在陈吸引子上的存在 首先，图2 给出了陈吸引子的三维图，我们可以发现轨道上的确存在满足 定理一中条件1 ) 5 0 2 1 的轨线段部分。 然后，图6 、图7 我们分别给出了陈吸引子在玛一五和五一萎相空间的 投影，显然定理一中的条件( 2 ) 也是满足的。 上海大学硕士学位论文 图6 陈系统在( 五，五) 相平面上的投影 图7 陈系统在( 五，置) 相平面上的投影 上海大学硕士学位论文 由图5 、图6 、图7 ，以及图3 和图4 ，我们可以看到定理一中的混沌轨线 段三确实存在。这就导致了下面的结论： 定理2 陈吸引子的吸引盆具有筛形性质。 4 5 结论 本文证明了陈吸引子的吸收盆具有筛形性质，这导致了陈系统的吸引子是 一个m i l n o r 意义下的吸引子。值得注意的是这个结论不能用传统吸引子的定义 来证明，因为陈吸引子不存在规则的吸引邻域。通过这个有代表性的例子，我 们相信m i l n o r 的定义对于证明大部分混沌吸引子的吸引性比传统的定义可能更 为合适。 上海大学硕士学位论文 第五章混沌吸引子研究的展望 5 1 本文总结 本文就陈系统吸引子的吸引盆的筛形性质问题进行了研究。首先在第一章 绪论中，我们简要回顾了非线性科学的发展，其主题之一就是混沌理论研究的 背景和发展历史，并简要阐述了混沌吸引子的发现及研究状况。第二章中，我 们介绍了混沌的起源及发展以及三种比较常用的混沌定义和相对于线性系统以 及其它的非线性系统来蜕混沌系统的独有特性，还介绍了从有序运动到混沌运 动的演变方式以及描述混沌的一些量。在第三章中，我们给出了动力系统吸引 子的相关概念及一些基本理论。其中包括经典意义下的正规吸引子和m i l n o r 意 义下的吸引子，以及吸引盆的筛形性质。并且用图示的方式迸一步直观地解释 了经典吸引子和m i l n o r 吸引子的区别。 陈吸引子作为一个公认的混沌吸引子，对于它的动力学上的混沌性、它的 控制和反控制都已经有大量工作，但对于它的吸引性研究几乎是空白的，因而 我们认为为了加深对它的理解也必须对其吸引性作此探索0 我们的工作主要反 映在第四章中，我们用几何的方法来研究陈吸引子的吸引域问题，从数学上严 格证明了陈吸引子的吸引盆具有筛形性质，并用数值模拟进一步更直观地观察 了其筛形性质。通过这个例子我们相信m i l n o r 的吸引子定义是一个描述奇怪吸 引子的恰当的定义。 5 2 本问题的展望 国际著名动力系统专家曾在有关文章中指出混沌吸引子问题是属于数学皇 冠性质的问题，可见这个问题即是重要的又是非常因难的。就我们的认识而言， 困难主要来自于三个方面：动力学上的混沌性、吸引域上的筛形性和结构上的非 双曲性。近几十年来，虽然己经有大量工作，但真正解决问题还是非常遥运的事。 可以讲除了对混沌动力学上认识相对有了较大收获外，在其它方面工作是很少 上海大学硕士学位论文 的。 m i l n o r 对于吸引子概念的推广从一个方面大大促进了对混沌吸引子吸引性 的研究。混沌吸引子的吸引域具有筛形( r i d d l e d ) 现象自1 9 9 2 年发现以来，也 逐渐引起了科研工作者的极大兴趣，科学家们从实际工作中体会到真实混沌吸引 子的吸引域应该具有这种性质。因而这为解决混沌吸引子的吸引性开辟了一条可 能道路。所谓筛形吸引域，就是混沌吸引子的邻域内即具有正的勒贝格测度的吸 引集也具有正的勒贝格测度的推斥集。因此，要讨论混沌吸引子爿的吸引域是 否是筛形的，必须要保证：首先，存在一个被4 吸引的具有正勒贝格测度的点集： 其次，爿的邻域中有正测度的点被爿所排斥。这样我们自然要提出的一