（应用数学专业论文）抽象空间中非线性微分方程边值问题的解.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文鬣抽象空间中非线性微分方程边值问 题的解，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研 究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成 果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注 明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：埠静静 日期。 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 抽象空间中非线性微分方程边值问题的解系本人在曲阜师范大学攻读硕 士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范 大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师 范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的 复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用 影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名，谗籀镩日期。 导师签名，弓教自胬日期t 曲阜师范大学硕士学位论文 抽象空间中非线性微分方程边值问题的解 摘要 随着科学技术的不断发展，在物理学、化学、数学等科学领域出现了各种各 样的非线性问题，这些非线性问题日益引起了人们的广泛重视而非线性泛函分 析为解决这些问题提供了富有成效的理论工具非线性泛函分析是既有深刻理论 又有广泛应用的研究学科，它以数学和自然科学中出现的非线性问题为背景，建 立处理非线性问题的若干一般性理论和方法，而且能处理实际问题所对应的各种 非线性微分、积分方程和偏微分方程中发挥着不可替代的作用，非线性分析已成 为现代数学中的重要研究方向之一而且在物理学、化学、生物学、经济学、工程 学等诸领域中出现了各种各样的非线性问题气体动力学、流体力学、边界层理 论等中的很多非线性问题，都可以用奇异常微分方程来描述鉴于奇异常微分方 程广泛的应用背景和深刻的数学意义，对它的理论研究引起了许多学者的关注 而且它是近年来学者们讨论的热点，是目前微分方程研究中的一个十分重要的领 域带有p - l a p l a c e 算子微分方程边值问题，在非牛顿力学，宇宙物理，血浆问 题，弹性力学，气体涡流，天体物理及p l a p l a c i a n 的径向对称解等实际问题和理 论研究中都有广泛的应用关于p l a p l a c e 算子边值问题的研究已有不少成果， 但是在抽象空间中，结果并不多，所以很有必要去研究抽象空间中的p l a p l a c e 算 子微分方程边值问题 。 本文利用锥理论和不动点理论研究了几类非线性微分方程边值问题的解并把 得到的主要结果应用到非线性微分方程的边值问题 在第一章中，我们应用非紧性测度的性质和广义凝聚映像的s a d o v s k i i 不动点 定理，获得了抽象空间中一类含有一阶导数的非线性二阶奇异微分方程m 点边 值问题 i ( 亡) + ( t ) ，( t ，u ( t ) ，( 亡) ) = 0 ，0 t 1 ， m 一2 lt ( o ) = 口，t i ( 1 ) = e 屈u ( 吼) ， 、i i = 1 m - 2m - 2 非平凡解的存在性，其中p 是e 的零元，0 屈 1 ，0 屈班 1 ，0 ， 1 ( i = 1 ，2 ，m - 2 ) ，c x e e ，司，i = 【o ，1 】，f ( t ，p ，0 ) 护，h ：( 0 ，1 ) 冗 连续且h ( t ) 在t = 0 ，1 两点奇异 曲阜师范大学硕士学位论文 在第二章中，我们主要研究了抽象空间中具有p l a p l a s e 算子的多点边值问 题 l 一( 如( ( t ) ) ) + i c t ，让( t ) ，u 7 ( t ) ) = 0 ，0 t l ， 1 关键词： m 点边值问题；锥；p - l a p l a s e ；不动点；非紧性测度；抽象空 间 f a b s t r a c t a l o n gw i t hs c i e n c e sa n dt e c h n o l o g y 8d e v e l o p m e n t ，v a r i o u sn o n - l i n e a rp r o b - l e mh a sc o m eu pf r o mt h ef i e l d so fp h y s i c s ，c h e m i s t y , m a t h e m a t i c s ，b i o l o g y , m e d i c i n e ，e c o n o m i c s ，e n g i n e e r i n g ，c y b e r n e t i c s ，a n dt h e s ep r o b l e m sh a sa r o u s e d p e o p l e 8w i d e s p r e a da t t e n t i o nd a yb yd a y h o w e v e r t h en o n l i n e a rf u n c t i o n a l a n a l y s i so f f e r se f f e c t i v et h e o r e t i ct o o l sf o rt h e s ep r o b l e m s ，a n di ti sas u b j e c to f p r o f o u n dt h e o r i e sa n db r o a da p p l i c a t i o n s t h en o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sb a s e s o nn o n l i n e a rp r o b l e m so fm a t ha n ds c i e n c e ，c o n s t r u c t sg e n e r a lt h e o r i e sa n dm e t h - o d s ，a n dp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nd e a l i n gw i t ha l lk i n d so fn o n l i n e a ri n t e g r a lo r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s ot h en o n l i n e a ra n a l y - 8 i sh a sb e c o m eo n ei m p o r t a n tr e s e a r c hd i r e c t i o n si nm o d e r nm a t h e m a t i c s w i t h t h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , t h e r ea p p e a r sa l lk i n d so fn o n l i n e a r p r o b l e m si nt h e 舶l d 8o fp h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y , e c o n o m i c s ，e n g i n e e r i n ge t c n u m e r o u sn o n l i n e a rp r o b l e m si n v o l v i n gg a s d y n a m i c s ，f l u i dm e c h a n i c s ，b o u n d a r y l a y e rt h e o r ye t c ，c a nb ed e s c r i b e db yo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hs i n g u l a r - i t ya n di na b s t r a c ts p a c ei ti sa l s ot h eh o ts p o tw h i c hh a sb e e nd i s c u s s e di nr e c e n t y e a r s s oi tb e c o m eav e r yi m p o r t a n td o m a i no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o nr e s e a r c ha t p r e s e n t w i t ht h ep - l a p l a c eo p e r a t o rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mh a v eaw i d er a n g e o fa p p l i c a t i o n s ，i nt h en o n - n e w t o n a nm e c h a n i c s ，s p a c ep h y s i c s ，p l a s m ap r o b l e m ， e l a s t i c i t y , g a sv o r t e x ，a s t r o p h y s i c sa n dt h ep l a p l a c i a no ft h er a d i a ls y m m e t r i c s o l u t i o no fp r a c t i c a lp r o b l e m sa n dt h e o r e t i c a ls t u d i e s a n dt h e r ea r em a n yr e - s e a r c hr e s u l t sa b o u tt h ep l a p l a c eo p e r a t o rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，h o w e v e r ，w e f i n df e wr e s u l t si na b s t r a c ts p a c e s t h e r e f o r e i ti sn e c e s a r yt od os o m er e s e a r c h o nd i f e r e n t i a le q u a t i o nb o u n d a r yp r o b l e mw i t hp l a p l a c eo p e r a t o r i nt h i sp a p e r ，w eu s et h ec o n et h e o r ya n dt h ef i x e dp o i n tt h e o r yt os t u d y s o m ek i n d so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n d w ea p p l yt h em a i nr e s u l t st ot h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot w oc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w eo b t a i n e dac l a s so fm - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e me x i s - t e n c er e s u l t so ft h en o n l i n e a rs e c o n do r d e rs i n g u l a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc o n - t a i n i n gf i r s to r d e rd e r i v a t i v ei na b s t r a c ts p a c e s ，u s i n gt h ep r o p e r t i e so fn o n - 1 曲阜师范大学硕士学位论文 c o m p a c t n e s sm e a s u r ea n ds a d o v s k i if e dp o i n tt h e o r e mo ft h eg e n e r a l i z e dc o n - d e n s i n gm a p p i n g f ( 亡) + h ( t ) f ( t ，乱( t ) ，u 俅) ) = 0 ，0 亡 1 ， cm 一2 lu ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = 屈乱( 耽) ， li = l m - 2m - 2 w h e r e0i sz e r oe l e m e n ti ne ，0 展 1 ，0 屈啦 1 ，0 0 作者主要利用该问题相应的g r e e n 函数，将其转化为 h a m m e r s t e i n 型积分方程，借助锥上的不动点指数理论，得到了边值问题正解 的存在性与多重性的结果文【5 】研究t - - 阶仇点边值问题 l ) + f ( t ，z ，一) = 0 ，0 t 1 ， i z ( o ) ：，z ( 1 ) ：m - 2 0屈z ( 依) ( 1 j j ) i z ( o ) = ，z ( 1 ) = 屈z ( 依) 、。 的正解的存在性，其中，c ( 【o ，1 】 0 ，o 。) r ， 0 ，) ) ，0 l 已 如一2 1 ，屈0 ( i = 1 ，2 ，m 一2 ) ，0 e 展 1 ，该文主要是应用格林 函数及其性质和不动点定理【5 】，得到了边值问题( 1 1 1 ) 至少存在三个正解的结果 ( 当边界条件为( o ) = o ，z ( 1 ) = 屈z ) 时，此结果仍然成立) 近些年来，在 i = l 抽象空间中研究常微分方程边值问题成为一个新的重要理论分支，就笔者所知， 在抽象空间中研究多点边值问题解的存在性的文献尚不多见最近，文 6 】在抽 象空间中研究了边值问题 邶) + ，删- - o , o t 1 ，( 1 1 2 ) iz ( o ) = x ( 1 ) = 0 正解的存在性，其中0 是e 的零元，非线性项，不依赖于一阶导数项一( 亡) ，f 在 t = 0 ，z = 0 处是奇异的作者通过构造个特殊的锥，利用严格集压缩算子的不 动点指数理论，得到了其正解的存在性结果对于这个问题，文【7 】应用m s n c h _ 第一章抽象空间中二阶奇异微分方程m 点边值问题解的存在性 不动点定理，也得到了同样的结果文【8 】研究了边值问题 i ( 亡) + ，( 亡，位( 亡) ，u 7 ( 亡) ) = 口，0 亡 1 ， iu ( o ) = p ，仳( 1 ) = a u ( , 7 ) 的解的存在性， ，g 【f e e ，捌，i = 【0 ，1 】，0 q 1 ，1 7 五1 该文考 虑的是非线性项非奇异的情况 受以上文章的启发，本文主要研究抽象空间e 中二阶奇异微分方程m 点边 值问题 i 让”( 亡) + h ( 0 i ( t ，u ( t ) ，o ( t ) ) = 口，0 亡 1 ， 1 牡( 0 ) 钮珏( 1 ) ：m - 2 酬仇) ( 1 工3 ) l 牡( o ) = 口，珏( 1 ) = 屈u ( 仇) 、 非平凡解的存在性，其中p 是e 的零元，0 屈 1 ，0 反碾 1 ，0 眈 0 ：s = & ，使每个& 的直径d ( & ) 6 】，称口( s ) 是s 的非 i - - - 1 紧性测度 定义1 2 3 ( 严格集压缩映像) 设易和易是实b a n a c h 空间，dc 局，设 a ：d 一易连续，有界，( i ) 如果存在常数k 芝0 ，使对任何有界集scd ，都满 足q ( a ( s ) ) 七q ( s ) ，则称a 为d 上的缸集压缩映像特别k l 时的缸集压 缩映像称为严格集压缩映像( i i ) 如果对任何非相对紧的有界集scd ，都满足 q ( a ( s ) ) q ( s ) ，则称a 是d 上的凝聚映像 显然若a 是严格集压缩映像，则a 一定是凝聚映像 2 曲阜师范大学硕士学位论文 引理1 2 1 m 若日cc i ，e 】有界且等度连续，那么q ( 日( t ) ) 在j 上连 续，并且0 f c ( 日( 亡) ) = 觋擎q ( 日( t ) ) ，0 f ( 止z ( t ) 蹴：$ h ) a ( h ( t ) ) d t ，这里 i = 【a ，6 j ，h c t ) = z ( 亡) ；z 日) ，亡j ，o z 。( ) ，a ( ) 分别表示日在c i ，e l 和 e 中的非紧性测度 引理1 2 2 ( s a d o v s k i i ) 令d 是b a n a c h 空间e 中的有界凸闭集( d 不一定 有内点) ，a ：d _ d 是凝聚映像，则a 在d 中必具有不动点 关于锥的定义及性质可参见文献i l l l 令f c i ，e l = 伽c i ，司：8 u p 訾婴 + o o ) ，其中j ：【o ，1 】，在 f c i ，明上定义范数i i = i i f ：s u p 华婴，p l l jf c i ，明依此范数构成个b 矗础 空间 d c l 【j ，司： z c 1 【，明：8 u p 辈掣 + o o 且8 u pi i = ( t ) l l 0 ，【o l ，朋ci ，( t ，z ，耖) 在【q ，例xb f , o ，r 】xb s o ，r 】上致连 续，其中p 是e 的零元， b e e ，r 】= z e ：i i = 1 l r ) ( 风) jl l ，：2 n o ，+ 0 0 1 满足片【( 1 + 亡) 1 1 ( t ) - 4 - h ( t ) l l l h c t ) l l d t + o 。，且 1 - 4 - 屈 , 1 1 + 蕊d - - - - 1 上 ( i + t ) l i c t ) + 1 2 ( t ) l l h ( t ) l l d t 1 , 3 第一章抽象空间中二阶奇异微分方程m 点边值问题解的存在性 使得对v 亡i ，e 中的任意有界集d 1 ，d 2 ，有 a e ( f ( t ，d i ，忱) ) l l ( t ) c , v ( d 1 ) + 1 2 ( t ) a e ( d g ) 引理1 3 1 如果( 所) 满足，则边值问题( 1 1 3 ) 有唯一的解u ( t ) 满足 让( 芒) = 一( t s ) ( s ) ，( s ，让( s ) ，( s ) ) d s 触 ，仇 一了二靛z 讯一曲危。，。u ( s ) ( 3 ”d s + 去0 1 ( 1 - 3 町( s 小加，( s ) ) d s ( 1 3 1 ) 类似文【7 】引理1 的证明，我们可以证明引理1 3 1 ，在此略 对地d c l 【j ，明，定义算子a ( a u ) ( t ) = 一 一s ) h ( s ) f ( s ，u ( s ) ，( s ) ) d s 一羔r n - - 2 胁啪邝州“以圳如 + j 二：_ ；蠹0 0 1 ( 1 8 ) 九( s ) ，( s ，牡( s ) ，( s ) ) d 8 ( 1 3 2 ) ( 凰) ：h ( t ) c 【( o ，1 ) ，明，h ( t ) 0 ，并且 i l ( 1 + 亡) n ( 亡) + 6 ( 圳i 九 ) l l d t + 。o ， 小圳愀圳瞰悯 小+ 州) 1 1 亡) l l d t + o o 由条件( h 4 ) 易证a u 是良定义的 4 曲阜师范大学硕士学位论文 引理1 3 2 假设( h i ) ，( 岛) ，( 日4 ) 满足，则a ：d c l j ，捌_ d c l 【j ，司是 连续有界的 证明对v u d c l 【j ，明，由式( 1 3 2 ) 和( 凰) ，我们可以得到 l 紫i l _ i i - r 1 o 。( 阳) 郴) m 删，删如 一南毒i = l 屈新i , , , - 2 j o 町( s 吣w ( s ) ) d s 工 ，、t ，、f ，、，、， 1 + 亡1 一厶胁哺忡。”。惭”。 + _ 1 t 。f 0 1 ( 1 一s ) 九( s ) m ，u ( 州( 3 ) ) d s o 。1 上一厶脓仇、一”。惭“。 i i r 1 ( t 一8 ) 危( 8 ) m ，u ( 8 ) ，( s ) ) 讥i i + i i 南爰z 讯旷啪( s ) m “s ) 以s ) ) d s i i + i i 南表z 。_ m s 小m s 删i + l l 南去0 1 ( 卜s 彬( s 小批测 一 m - - 2 1 + f 展， ( 1 + 赢上l l h ( s ) l l l l f ( 刚( s ) ，( s ) ) i i 幽1 一展啦加 1 + 屈p 1 ( 1 + ；争) i i 九( s ) 0 【口( s ) i i u 0 + b ( s ) l l u 7 i i + c ( s ) 】d s 1 一屈琅j o ( 1 + 墨i = i) 小忡) i l 阪s ) ( ) 糕州s ) l l i + c ( s ) 】d s 1 + 丙咖俐忡卅s 龄州m 帕 1 + r & p 1 - - 4 , , - - , 4 r o + 了二赢上“ 。川k k 。1 + 曲+ 酞曲州训l 。+ c s j d s 5 第一章 抽象空间中二阶奇异微分方程m 点边值问题解的存在性 1 - i - 展 f l = ( 1 + ； ) 【a ( s ) ( 1 + s ) + b ( s ) l l h ( s ) l l d s l l u l l d 1 一屈仇j o t = 1 ，1 + 正c ( s ) l l h ( s ) l l d s ( 1 3 3 ) - ，0 由( 皿) 钏紫l i 0 ，jn 0 ，当礼n 时，有 l i f ( 8 ，( s ) ，u ：( s ) 一( 8 ，u ( 8 ) ，乱7 ( s ) ) 0 1 + e 展p 1 【3 ( 1 + ) ( 1 一s ) l l h c s ) l l d s 一1 s ， 1 一e 屈讯j o ( 1 3 5 ) ( 1 3 6 ) 由式( 1 3 5 ) ，( 1 3 6 ) 知 。紫一紫1i i 0 ，使得vu v ，vt l ，t 2 【0 ，1 】，当l t l t 2 l 0 ，j 如 0 ，使得vt v ，vt 1 ，亡2 【0 ，1 】，当l t l t 2 l 如，有 l ( a 钍) 俅1 ) 一( a u ) ( t 2 ) l i ( 1 3 1 0 ) 首先证明等弩笋是等度连续的事实上，对vu y ，九t 2 j ，假设 t l 亡2 ，由( 1 3 2 ) 知 。掣( a 上u 地) ( t o i i 1一e 2 = i l 赢卜o ( 亡2 一s ) 九( 8 ) 砷，乱( s ) ，( s ) ) 如 m - 2 f 展亡2 一 一二芎r ( 哺一s ) 九( s ) ，( s ，u ( s ) ，( s ) ) d s 1 一屈维d o + 忐m - - 2 肛啪( s ) ，( s 州s 加怡) ) d s 】 q a l l 一击【z b 却，- s ) 郴s “s 批) ) d s m - 2 风亡1 ，班 一蕊i = l 上( r l i - s ) h ( s ) f ( s , u ( s ) , u ( s ) ) d s 9 第一章抽象空间中二阶奇异微分方程m 点边值问题解的存在性 + ：二：- ；蠹：1 一s 危s ，s ，钍( s ) t ( s ) ) d s l ” | l 彘f o t 2h ( s ) ，( s ，让( s ) ，u ，( 8 ) ) d s - 上1 - i - t 1z “郴) 加，u ( s ) ，诉) ) d s i i 刘赢上s(s)m，u(s)，(s)如一南上s危(s)m，u(s)，u，(s)dsill 1，2，l 屈( t 2 一t 1 ) r 仇 + l i 旦焉f 一厶( 耽一s ) h ( s ) f ( s ，t ( s ) ，u ( s ) ) d s l l 1 一屈侬朋 + l i 导 1 ( 1 - - s ) 九( s ) m ，u ( s ) ，( s ) ) d s i i 1 - 三屈吼州 i l 熹z “弘) ，( s 似s 胁+ 惫2 ) ，( s 似s n ，( 8 ) ) d 8 一而t lf o t ! h ( s ) ，( s ，u ( s ) ，嘶) ) d s l l 击f o 1s h ( 8 ) m ，u ( s ) ，娟) ) d s 1，21l t l + 赢上。s ( s ) ，( s ，让( s ) ，( s ) ) d s 一南上s 危( s ) m ，u ( s ) ，( 8 ) ) d s i i 1 + 反 f l + 素三卜一( 亡2 一亡t ) i l ( 1 8 ) 九( s ) ，( s ，u ( 8 ) ，( s ) ) d s l l 1 一屈仇 j o ，l，t 2 ( 亡2 一t 1 ) i i h ( s ) l l l l f ( s ，乱( s ) ，u ( s ) ) l l d s + t 2 l i h ( s ) l l l l ( s ，u ( s ) ，4 ( + ) ) l i d s j 0 ，t 1 ，- 1，t 2 + ( t 2 一t t ) i i h ( s ) l l l l ( s ，u ( s ) ，u 7 ( s ) ) i l d s + i i h c + ) l l l l f c s ，u ( s ) ，( s ) ) i l 如 j o j t l ，幻1 + 屈 f l + 小s 川邝删m 而1 - - - - i o i i h ( s ) l l i i f ( s , u ( s ) , u ( s ) ) l i d s ，i，t 2 ( t 2 一t 1 ) i i h ( s ) l l l l f ( + ，u ( s ) ，牡7 ( s ) ) i i d s + 亡2 l i h ( + ) l l l l f ( 8 ，让( s ) ，u ( s ) ) l l d 8 ，0 ，t | ，上，c 2 + ( t 2 一1 ) l i h ( s ) l l l l f ( s ，牡( s ) ，u ( s ) ) i i d s + i i h ( s ) l l l l f ( s ，钆( s ) ，( s ) ) i i d s j 0 j 幻 1 + 屈p 1 + 一( 亡2 一t 1 ) i i h ( 8 ) l l l l ( s ，u ( s ) ，u 7 ( + ) ) d s l l d s 1 一ra 仡 j o 1 0 曲阜师范大学硬士学位论文 1 + 屈 f l 2 ( t z t 1 ) + ： ( 亡z t 1 ) 】i i h ( 8 ) l l l l f ( 8 ，u ( s ) ，o ( s ) ) i i d s 1 一屈吼 j o i - - - 1 ，幻 + 2 l i h ( s ) l l l l f ( ，t ( s ) ，o ( s ) ) 怕 1 + 屈 , 1 ( 2 + ；薹 一) ( t 2 一t 1 ) i i h ( 8 ) l l l l f ( s ，u ( s ) ，( s ) ) l i c f s 1 一屈仇 j o i = 1 ，幻 + 2 i i h ( s ) l ll ( f ( s ，u ( s ) ，f f ( s ) ) l l d s 【2 + 罴m ( t 2 1 ) 九”3 ) 0 ( 8 ) + b ( s ) l l h ( e ) l l d s + 厂1 c(8)llhcs)llds1 o j o 口+ i 】 一亡1 ) 【( 1 + 8 ) o ( 8 ) + 一屈仇 + 2 l i h ( s ) l l l l j ( s ，u ( s ) ，u ( 8 ) ) l l d s i t 2o llh(s)111(jt s ，u ( s ) ，o ( s ) ) | | d 8 砉，l o 由( 凰) 知j 尬，尬，使得 i l ( 1 + s ) a ( s ) + 6 ( s ) 】i l 危( 8 ) i i d s 舰， f o c ( s ) 1 1 九( s ) 1 1 d s ， l i 裂一样怄凇+ 罴m 州拟删侧 1 1 第一章抽象空间中二阶奇异微分方程m 点边值问题解的存在性 1 + 展 令如= 【( 2 + 1 争) ( 舰硝+ ) 】_ 1 三，取6 = i n j n 6 1 ，屯) ，故由式( 1 3 1 0 ) ， 1 一屈仇 1 对vu v ，vt l ，t 2 i 且t l t 2 ，当( t 2 一亡1 ) 6 时，有 躜一铧i i c ) 出 ( 1 + ： ) 一1 一 ( 1 + t ) 口 ) + 一1 ， j o 1 一屈仇 b = ：n o ( e ，r ) = 缸d c l 【j ，e l ；l i t 0 r ) 首先证a bcb ，事实上，对任意让b ，由( 1 3 2 ) 和( 1 3 3 ) ，得 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 1 - t - 屈 ，1 1 + 蕊i = 1 咖酬m 刚s m s 舭s 鲫+ 罴f o 圳眦m m 卅冰舭s l l 训。+ z 1 c ( s ) d s s o + 衰h “ 。h o + s a 。+ “曲弘3 l m ”。+ 上 1 + 屈 f l ( 1 + 二石 ) i l 九( 粤) l l ( 1 + s ) a ( 8 ) + b ( s ) d s r 1 一危琅d o 1 + 屈，l +r(1-i-盏)一1一足lib(s)o【(1十s)。(s)+6(s)】ds】)1 一屈仇 j u = r ( v t j ) ( 1 4 1 ) 同理可得l ic a u ) 他) 0 r ，所以由引理1 3 2 ，a bcb 令q ：= f l o p ( a b ) ，记q 是a b 在d c l 口，e 】的凸闭包显然q 是b 的非 空、有界的凸闭包由引理1 3 3 知雨a b ( t ) ，( a b ) ( 亡) 在【0 ，1 】上等度连续，由q 的定义，知器，( q ) 他) 在 0 ，1 】上等度连续 下面我们来证a 是q 到q 的严格集压缩首先qcb 并且a ，bcq ，所 以a 是映q 到q 的一个算子其次由引理1 3 2 知，a 是映q 到q 的有界连 续映射最后我们来证vvcq ，a d ( a v ) j q d ( y ) ，其中 1 + 屈1 。= 1 + 而i = 1 o ( 1 - - i - s ) l , ( s ) + h ( s ) l l h ( s ) l l & , 由( 凰) 知，z 1 事实上。由引理1 3 4 ，我们只需证 譬p 知( 鱼兰半) z 口。( y ) ，和翟；) q e ( ( a v ) 他) ) z 幻( y ) 先证s u p c 堙( 掣) z 口。( y ) ，由( 日2 ) 和q 的定义，我们知道 ，( s ，t ( s ) ，( s ) ) ： t j 1 卜6 u q 在【0 ，1 】上等度连续，由引理1 2 1 和( 风) 有 1 3 第一章抽象空间中二阶奇异微分方程m 点边值问题解的奁茎呈堡 q e f 丝l + 塑t ) 冬厅删l ( 罱) q 矾m ，u ( 8 ) ，) ) 让q ) ) d s + 南意a t 小删川吲州s 州s n b m u 叫 + 而 厶脓哺，0 1 ( 1 8 ) o 九( s ) i | q e ( | 【，( s ，t ( 8 ) u 7 ( s ) ) ：t q ) ) d s m - 2 1 + 展 r l ( 1 + 争) 厶i i h ( s ) l l a e c i c s ，u ( 8 ) ，u ，( s ) ) ：u q ) ) 如 1 一屈碾川 m - 2 1 + 屈p l ( 1 + 笺l 一) 厶l i 危( s ) l l 【f 1 ( s ) q e ( y ( s ) ) + j 2 ( 8 ) q e ( y ( s ) ) 】d s 1 一屈仇朋 ( 1 + 等i = 1咖) i i 【( 1 + s ) f 1 ( s ) 吲鬻) + f 2 ( s ) q e ( 川妣s 1 + 蕊训俐m s m m 揣州s 脚 1 + 侥 f l ( 1 + ；善争一) | i i h ( s ) l l ( 1 + 8 ) z i ( 8 ) + 2 ( 8 ) d s o l d ( v ) ( 1 4 2 ) 1 一f l i r i j o 因为t 是任意的，所以 8 u po r e ( 耸掣) _ l a d ( y ) ( 1 4 43 ) t e l io 同理可证 s u p ( 1 e ( ( a v ) ) ) 2 q d ( y ) ( 1 4 4 ) t e l 所以由引理1 3 4 和( 1 4 3 ) ( 1 4 4 ) ，我们得到a 是q 到q 的严格集压缩映 像，显然a 是凝聚映像由引理1 2 知a 在q 中至少有一个不动点，即边值问 题( 1 1 3 ) 在d c lm ，e 1 上至少有个非平凡解 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 1 5例子 例5 1 在e 中考虑二阶m 点奇异边值问题 11 + 屈 硪d +