（应用数学专业论文）随机微分方程解的存在性和有界性理论.pdf

摘要 本文主辫研究了随机微分方程解的存在往和寿器往理论，蓄毙将随机微分方程 和随机泛函微分方程解的释在唯一性的究分条件进行了相应的改进接下来，系统 给出了趟枧微分方程解的备抻有界性定义，剩用l y a p u n o v 直接方法，建立了一舔列 逮撬徽努方穰解静有赛瞧窥瑾，著绘毒液篱举镶，表麓了掰获瑾沦缩栗酶胃实褒瞧， 最后引入随机微分方程解的增长阶估计的定义，将随机微分方程解的有界性问题统 一为随机微分方程解的增长阶估计问蹶，并建立了一系列随机微分方程解的增妖阶 傣诗定理，霹l 雩给窭了应薅举囊， 全文菸分成四章： 第一章作为准备知识给出了本文骚用到的相关内容，其中包括随机微分方税的 主要基本撅念秘论文孛要耀爨豹基本定理及重要不等式； 第二章介绍了现有陡视微分方程及随机泛函敷分方程解的存梅唯一性定瑗，并 将随机微分方程及随机泛麟微分方程解的存在唯一蚀定理进行了棚成的改进； 第三章绘出随枧微分努程鳃的各种甫再性定义，利用l y a p u n o v 直接方法，建焱 了一系列随梳微分方程解静有界往定联，并给窭应蘑鬻镯； 第四章给出随机微分方程解的增长阶估计的定义及随机微分方程解的增长阶估 计定理，将随机微分方程解的有界性问麟统一为随机微分方程解的增长阶估计问题， 字 绘密应怒举翻。 在论文的最后，总结了论文的创新点，并提出了论文的改进方向以及研究中所 参考的主要文献 关键词：i t 6 积分；随机过程；停时；鞅；l y a p u n o v 露按方法；存张唯一性；有界性 a b s t r a c t 彗x i s 艟n e 轴撼b o 鞋乳莲e d 鞋e s s 波e o r y 勤rt 巍es t o h 3 s t i e 瘫嚣e e n t i a 圭e 链强a t i 蕊毽a r e m 甜n l yi n v e s t i g 魏t e di nt h i st h e 8 i s ，w h i c hi m p r o v et h ee x i s t e n c e u n i q u e n e s st h e o r e m f o rt h es t o c h a s t i cd i f r e r e n t i a ie q u a t i o n sa l ds t o c h a s t i cf u n c t i o n a jd i 行b r e n t i a je q u a 一 毛i 鼬8 。as e r i e s l l 鲫d e 鑫珏i t i o n sh g ￥eb e e ne s t a b l i s h 酿，ai l 垃翻b e rd f 歉e w f i t 褴唾a o nt h eb o u n d e d n e 8 sf o rt h es o l u t i o n so fs t o c h o 【s t i cd i f 糙r e n t l a le q u a t i o n sa r eo b t a i n e d b yu s i n gl y 印u n o vs t r a i g h tm e t h o d t h en e wr e s u l t 8w i l lb em u 8 t r a t e db ym a n y e x 巍m p l e s n e wd e 鑫n i t i o n sa n dt h e o r e mh 8 v eb e e ne s 曲i 主8 h e do nt h ei n c 耀a s eo r d e r e s 鲢黼a 毒e 孙rt h es o l u t i o n so fs t 似蠡毳8 t i ed i f r e n i a le q 醢懿i o n s t h ew h o l et h 姻i si sd i v i d e di n t o6 v ec h a p t e r 8 e 趋氇p t 黯l 。池。歉瑙s 。m e 揩l 魏囊v e 妇瀚r l 礤g ei 套痰醢蘸i 歉gb a 8 主e o 疑e p 挺，臻e 旌e m a n di n e q u a i i t yf o rt h es t o c h a 8 t i cd i 髓r e n t i a le q u a t i o n s a h a p t e r2 i to 髓r st h er e 8 u j t so fe x i s t e n c e - u n i q u 衄e s st h e o r e mf o r 协es t o c h a s 一 l e 琏濂r e 矗t i a le h 8 t l 。璐o b t 翻缱谤嘲，冁糕绍l l 鼎sw e 疰o 醯鲤溉p 凇e m e 撼 t oe x i 8 t e n c e - u n i q u e n e 8 st h e o r e mf o rt h es t o c l l a 8 t i cd i 疏r e n t i a le q u a t i o n sa n ds t o c h a s - t i cd i 舵r e n t i a li u n c t i o n a le q u a 七i o n s 繇鞠t e r3 1 to 蠹e 捧珏e w 琏疆珏 t i o 鞋s 髓蝮eb 陇珏d 礤靛e 豁妇蛀es 蕊毪曩so f 8 t o c h a s t i cd i r e n t i a ie a u a t i o n sa 8 、耽na sn e wt h e o r e mo nt h eb o u n d e d n e s sf o rt h e s 0 1 u t i o n so fs t o c h a 8 t l cd i 圩色r e n t i a le 口u a t i o n 8 g h a p t e r4 。 o & f s 鞋e wd e 鑫娃l t i 鼹s 黼硅臻e o r e mo n 凌e 姆i 撒懿ei n e r e 繇e o r d e rf o rt h es o i u t i o n so fs t o c h a s t i cd i 髓r e n t i a le q u a t i o n 8 w h i c ha r ei l l u s t r a t e db y e x a m p l e s 。 a tt h ee n d0 f h e 癌e s l s ，鼍氇ei 鞋珏o v 拄1 0 娃瓤耘r h e rs h 硅y 症i f e c 垃。鞋a 毪am 删 r e l a t e dr e f b r e n c e 8a r ei i s t e d 鼍( e yw a r d s ：! 硒i n t e g r a i ；p r 。e e s so fs t o c h a s t i e ；s t o p p i n gt i m e s ；m a r t i n g a l e ； l y a p u n 。￥d i r e e tf 髓e h 。d ；e x i 8 t e n c e u 鞋i q h e n e s s ；b 。u n d e 畦n e s s l 独创性声明 本人声麓t 瑟呈交翡学位论文是我令人在要疼撩褥下送行懿繇究王裾爱取彳薅 的研究成果除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包禽其他人已经发 液的研究成果，也不包含他人为获得东北师范大学或戴它教学机构的学位或证书丽 取得翡戮究蘑l 皋。与我一慰工传鲍霹恚对零磅究瑟傲熬经鳄贡献垮跫农论文孛终了 明确的说孵并浚示谢意。 学位论文作者签名：蛊迄壹日期。兰! ! 垒姻兰f & 学位论文版权使用授权书 本人了解并遵守东北师范大学有关保留、使用学使论文的规定，即t 学校有权 保留、向国家有关部门送交举位论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以 公零论文戆垒郝或部分瘛雾，霹戳采曩影臻、壤窜鬟冀宅复霉手段绦移沦文。 懈密的论文在解密后应遵守此规定) 学位论文雩# 者签名：蠢盘指导教爆篾名：墨垦 期：塑堡! ：! ! 学位论文作者毕业后去向： 工髂举位：盏量耋邂语：塾堑翟兰 通讯地址 邮编 引言 微分方程是人们刻画客观事物变化的重要工具，确定性微分方程分为常微分方 程、偏微分方程和泛函微分方程对于确定性微分方程的研究已经取得了丰硕成果， 其基本理论日趋完善 确定性微分方程对实际问题建模时、当随机干扰相对较小时，确定性模型有很 好的效果，然而当随机干扰很强时，效果不尽人意对物理的或组织化的系统实际处 理时，经常涉及环境和建模的不确定性，如通信设备中的噪声、未知系统的参数、或 者排队网络中的随机访问，都会引起不确定性，这些不确定性的因素会对事物的运 动本质产生根本性的影响，在建立数学模型时必须加以考虑，才能真实完全反映事 物运动的实际状态 一个比较典型的例子是l o g s i t i c 人口增长模型 1 】= 掣：n ( t ) j v ( t ) ，( o ) ：o ， ( 1 ) 其中n ( t ) 表示t 时刻的人口的数量，a ( t ) 表示t 时刻的人口增长率，在考虑到外部 环境随机变化的影响时，增长函数往往不能确定下来，因此有。( t ) = r ( t ) + “噪声* ， 这里r ( t ) 为确定性函数通过实验研究，很多模型中的噪声项可由高斯自噪声替代， 当i t 6 建立了随机积分定义后，用b ( t ) 表示一维b r o w n i a n 运动，i t 6 于1 9 5 1 年首 先提出i t 6 型随机微分方程方程( 1 ) 表为下列随机微分方程 d ( t ) = r ( t ) ( t ) 出+ o ( t ) d b ( t x 此时方程( 3 ) 变为如下的随机微分方程 圣= d i 建g 蘸+ 二8 巧岛j f 矗十矗s ( ) ) 糜黜f ) 蠡国 蛰 ，￥9 酗 t = l 这撼斟= ( 吼，) 。，研究表明，档适当的条件下，通过小量的噪声扰动，隧机微分方程 ( 5 ) 是鸯唯一全竭鼹解在露煨时淘内不发生爆玻) 并诞载了方程的鳃楚最终有晏， 揭零了嚣境噪声对耪嚣凌力系凌瑟莛蘸襻鼹 对确定性常微分方程系统懑当加上随机扰动，可使原_ ；糨不稳定系统变成稳定系 统蛾赣使得稳定的系统强稳定，也可使原来稳定系统变成不稳定系统，关乎这方面 魏骈究莛近嚣每方程赛骚突栽霪要谍题，交常褒势方程瓣 骜述黪尘嵇释嚣模登，臻 上融帆扰动顼詹嶷为随机生物举模型更加符合实际，东j e 师范大学蒋达清教授在这 方掰的研究已取得了一定成果陟”】 鹪毽瑟鞠零钱竣寒兴器翡髓橇敲努方程，是蒙学孛妁令摹常潺歉、荨l 太疆嚣 静镶域，匡际土许多著名的数学家投入餮 这领域辩研究井获得了辉建静成果人 们附于自然界无处不在的随机辄象有了深劁的理解，随机微分方程是介带微分方程 与缀率谂之弱鹣逑缘分支，它燕薄个数学分支童襁渗透黪绩寮毛莲枧微分穷覆翦霹 究领域及其广媾，在数学戳囊谗多英蔻镁螭赢蓉广泛懿波飘宅黠数掌矮域酶诲多 分发起着有效的滤接作用，下筒我们仅对髓机微分方程的发展研究状况作以简单介 绍 1 。随辊微分方程解稔存在唯一馥璎沦 对于一般的随机微分方樾 出翰= 豫善酬。十譬蹶匀) 描磅，。氇翰 l ( o ) 黜o o 锵的存在唯性已有一拨成果，a r n o l d 【l l j ，g 盯df 1 2 l ，g i k h m a n f l 3 】，均给出了在i 覆努慧文下，穷獠存在灌一黎鹩充分条绝农淡菪静疆多文藤中，蠡x 辩瓣i 蜩藓究 了随机时滞微分方程孵酶存寇曜性，x 础a 。在也纶密了保证解存谯唯一的充 分饿条件 对手疆蘸鬣爨徽方程 j d 嚣( 。) = ，( 。，。) d 。十g ( 。，茁) d b ( ) ，o t ( 7 ) 【名( o ) 踹f 叠 解的存在啦性已有一些成果| 1 5 2 靛糠徽分方獠稳定性静礤究 自从一百年以前，l y a p u n o v 引入动力系统的稳窳性概念，并创立了l y a p u n o v 方 法研究稳怒性以来，l y a p u n o v 方法显泳了强大的动力，刺激了动力系统稳定性理论 静发曩f 强。“，确定往豢徽分方程纛凝溺微分方程都楚在蘧蓦疆上发震超寒懿1 骝 年b e r t r a m 等人，首先掇出用l y a p u n o v 稳定性的概念和方法来研究随机微分方程 的稳定性；随后，主要由美国的b u c h k u s h n e r k o z i n 等人的努力，随机l y a p u n o v 稳定性理论褥裂了鞍力遮速戆发浸谗多学者剃露毛p 强n o v 方法处理了莲投徽分 方程稳定能 坞q “，从7 0 年代后，乙y a p u n o v 方法又被发展到研究髓机泛函微分方程 稳定性对于随机微分方程解的随机稳定性、指数稳定性、渐近稳定性、吸引性及方 程解的p 除矩的稳定性的瓣究，获撙了有意义的成举【4 2 q “ 对于随机时滞微分方程 矗。( t ) = ，( t ，卫( 曲，x ( t r ) ) 疵+ 9 ( t ，o ( t ) ，髫( 一了_ ) ) d 四( t )( 8 ) 旱麓懿磷究均集中农矩稳定上，一般燕通过梅建l y a p u n o v 缀数释l y a p 娃娃o v 泛 函去判别方程解的稳定性，众所周知，对于具体的方程，构造符合条件的l y a p u n o v 函数和l y a p u n o v 泛函熬相当困难的，芷是由于这个原因，在目蔺的文献中，关于 兵薅方程稳定懿磷究戚袋还不多翌醒a l e 溺，r z ，至( 瓣毪s 矗i 珏s 【i i f 5 麓，薮。l m 8 珏。v s 撩裙 m y 8 h k i s ，l a d d e 和l a k 8 h m i k a n t h a m 5 5 l ，文献 5 6 一删研究了非缎墩泛函时滞的随机 微分方程的稳定性，1 9 9 6 簪，x m a o 【6 0 建照了应用于随机时滞微分方程的r a z u m i k h i n t y 辨定理，缭毽了稳定豫麓裁撵。x 。鹾a o 矧绘出了荧予辩游蓬援微分方程指数稳定 的充分条件，并将结论推广到具有多个时滞随机微分方程的稳定性中，关于随机时 滞微分方稷稳定性的研究也取得了丰磷成果( 6 2 0 j 尽蓉砖予邃壤微分方程瑾论翦疆突琢缮7 一定瓣戚粟，翟警蹙越极微分方程静 发展历史较斑，其理论还不够完善，如荧于随机微分方程的有界憔的研充随机徽分 方程存在唯一性定理的掰分条件、充要条件等诸多问题有待于进一步的研究 对予薅撬微分方程黪戆骞舅蛙阉熬黪醣究是一个重要熬理论瀑题，在实黪攘滔 中具有十分熬要的意义，特别是在研究生物种群闯题时，生物稀释系统存在缆解加 上有界构成种群持续生襻的条件不仅如此，在诸多应用领域中楫界性及这种界估 计是至关受黉的，东j 魉范大学黄癌最教授、王克教授对泛函微分方程有努健磷究 3 已取得定的成果陟“o ，吉林大学李勇教授程l ” 中研究了微分方程解的最终有 界性问题，给出了很好的结果近年采、关于随机微分方程有猝性问题的研突相对较 步，x + 醚拄。在 中，绘蹬了蘧视l 。妇一l e f r 8 模墅舞黪毒努瞧绫杀x 麓8 0 在洚4 l 中，给出了利用多个l y a p 咖o v 溺数判别有界憾准则胡宣遮在 ”7 j 中，给出了条件 随机有界性的定义，弗应用比较定理建立了有界性的比较原则， 零文将麸疆下三个方嚣缭予耱究： 第一是改进了随机微分方程解存在唯一性定理的充分条件，并给出相成的结果； 第二怒系统给出一般随机微分方襁解的几种有界性定义，利用l y a p u n o n 黢接方法， 建立了系藏逮税徽分方程辫懿饔爨牲定理；繁兰是蓄竣孳| 入歹淹魂徽努穷程薅魏 增长阶估计的定义，建立了随机微分方程解酶增长阶估计寇理，将随机徽分方程解 的有：翳性问题统一为随机微分方程解的增长阶估计问题本文所获得的结论都是随 极擞分穷程理论黪薪残暴。 和箭人的工作桶比，本文的斑翳特点在于所建立的随枧微分方程解的有界性定 义及随机微分方程解的有界性定瑕系统完整，定理的证明方法具有一定的创新性，所 获褥酶缝暴是随撬微分方程理论趣凝缝暴+ 本文的结构安j j # 如下： 第一章作为准错知识给出了本文要用到的相关内容，其中包括随机微分方程的 主要熬零概念秘论文孛要霞瑟魏蔟本定理及蘩溪不等式； 簿= 章介绍了璐有的随机微分方程及随机泛函微分方程解的存在曦一往定理， 并将随机微分方程投随机泛函微分方程解的存在唯一性定瑷进行了相应的一点改 进； 第三章缔蹬随橇徽分方程解静各稀有界惶懋义，稠薅l y a p 娃n o v 壹按方法，建立 了一系列随机微分方程解的有界性定理，并给鼬融用举例； 第蹒章给出随机微分方程躲的增长酚估计的定义及随机微分方程解的增长阶佑 诗囊鬓，将隧梳鼗努方程释懿有器穗瓣蘧统一势籀穰皴努方程解翡增睾乏狳镳诗闻踅， 并给出应用举例 = e 论文的最后，总结了论文的创新点，并提出了论文的改进方向 4 第一章预备知识 本章主要介绍在后面将要用到的随机微分方程的濑本概念和主鼹定理这部分 内容来自文献f 1 5 1 圭。王主要基本概念及籀号说明 样本空间：q = u ，其中u 称为样本点或基本事件称q 的子集类，为一个盯 代数，如果： ( i ) 露只箕串0 表汞空集； ( i i ) a 净a 。，其中a 。= n a 是n 中a 的补集； ( i i i ) a 1 ) l lc ，j u 蕊la ， 歹串翡寨称为随机事韩；扩代数，叉称为事释俸。魏元素称热芦溅集。隳 聚岔是，的一个子集族，以盯( g ) 表示戗含g 的最小的盯一代数，称盯旧) 是由婷 生成的盯一代数 b o r e l f 代数：e 是嚣申翡所有秀集，称蓐= 盯f g ) 为b o r e 盯代数，8 中静嚣 称为是b o r e l 可测集 概率粼凌空溺：定义在上鹃一个嚣受、可戮可觏势寝得p 翁= l 鲍集函数 玟称为一个戳率测度浑涮庹空阗，习上的概率镶渡p 是一个函数p ：f - f o ，l 】 使得 ( 玲p ( 国一l ( i i ) 对任何个互不楣容序列 a ) ；tcf ( 即a n 匀= 函，如果i ) 0 0。 p ( u a ) 一p ( a ) 。 ；= l = i 将样本空间q ，q 子集的仃代数芦殿芦上的概率测度p ，三者联系起来构成 的三元组；( q ，芦，p ) 称为概率测度空闻 称概率测爱p 在，上麓完备的，如袋芦含有所蠢轮懿p - 尹 测发为零静子囊， 即若g q 且 p + ( g ) ：一i n p ( ，) ：f f ，g f ) = o ， 5 则g ，任何一个概率空间都可以通过把所有的外测零子集加入丽德矮成为完备 的掰以本文总锻设所涉及的撅率空弼为完餐的。 随机变量：一个实值函数x ：q - r 称为是f 一可钡的，如果 叫：x ) 曼也 ， 对任意的o r 函数x 称为实傻可测的随机变量 一个屁“一戗函数x ) = ( x - ) ，甄) ) r 称为怒芦一可测的，如果所有 的分爨墨是芦可测静，越融x ) = ( 置p ) ，忍铷) ) t 也弦为是愆量毽毂隧 梳交慧 b o r e l 可测函数：可测空间( 就。，) 上别的可测函数称为b o r e l 可测函数 隧橇过程：设l 蔻参鼗囊或猎稼集) 嚣舞蔽不爱鹚霹，遗索取为是+ = 泠，) ， 或所有自然数集若对每一t j ，就对成一个定义在( q ，目上的随机变量 x ( t ，划) ，则称随机变量族x ( 以“) ；t ，为( 取只尸) 上的一个随机过程简记为 墨 。辩霆定貔“q ，称邈数x t ，搿) 努戆蘧辊过程瓣一条撵本孰瀵，簿记为 五沁) 或一个样本晒数 荸代数流：随机过程x ； 噩，兄+ 烂基本概率空间上的一族随机变量，和 它掇联系藜一蔟予秘鼗数蕃x 一 曩2 ，t 嚣十) ，其孛簦避仃 墨，s 甥袭录过程 进行列t 时刻以前的事件盯代数，它是一族随时间t 递增的仃一代数，称为由过程 x 产生的口一代数流或者称为怒一个滤子 雾是弱静藜秀壹，爨够鼹瀵弱静事 争戆全簿 假定f 的个子一代数流苫= ( 五，t 墨- ，满足以下条件( 通常祭件) 如果 以下条件成立： ( i ) 递增性；s t 呻五c 五； ( i i ) 完备性：蜀包含，中切p 零裳； ( i 蛀) 右连续魏：蛾f ，最一五+ 三喁 l 咒；蘩，只蛰髂鸯漏砖澎壤率空 间，简称概率空闻个随机道獠尬称为燕五自适应的，如果对r + ，舰都 是五可测的 鑫 条件数学期望：设x 上1 ( n ，r ) ，好c ，是，的一个口子代数，于是( q ，够) 是 一令可灞室鬻。一簸来| 甍，x 不一定爨多哥溺魏。凌瘸要筏一令霹獠熬蛋可淄戆蘧 机变量，使得它在如下意义下、和x 舆有相同的均值 厂， 露( 如l ) = e ( 坛x ) z e 7 ，( “) d p ( 埘) = x ( u ) d p ( u ) + j g g 对所有的g 毒岔成立斑鼗a d o n n j k o d y m 定理，对绘定的隧礁黛澄x 尼乎礴定唯 一地存在糟个满足上述螫求的随机变量y 我们称随机变量y 为随机变量肖在 条件9 之下的条件数学期望，并记为 y e ( x l 岔) 如果夕是由随机变量y 艇成的，即毋一口( y ) ，则霹为 露( x l 孚) = 露( x l y ) 由定义显然有 e ( e ( 爿l 营) ) = e ( x ) 以及 e ( x 1 9 ) l 曼e ( i x f f g ) o 羔 我织把条绛数学期望的其他一些重要燃鹱捌在下嚣，所骞的性质都是在且乎确定的 意义下成立， ( e ) 鸟= 彩，q ) 辛e ( 义i 移) = e x ； 汹) x o 婶e ( x i 蛋) o ； ( 灏艾楚爹可溅懿= 争嚣x | 翁= x ； ( 抽) x = c c d n 酣辛脬( x f 卯= c ； ( ) n ，6 r 净四( 优x 十6 yj g ) = 口e ( xj 毋) + 6 e ( y j ) ； 口i ) xsy 肆e x | ) 嚣y l 蛋) ； ( 口瓿) x 是可测的净露( x y g ) = x 嚣( y f 9 ) ， 特别：魄，e ( e ( xj 舀) y 1 9 ) = e ( xj 够) e ( yj g ) ； # 搬) g ( 菇) 嚣孬独立砖嚣( x | 孚) = 嚣x ； 梅剐地，若x ，y 独立，则有e ( x | 均= e x ； ( 妇) 9 1c 编c 芦辛刀( 露( x f 岛) i 吼) 一层( x j 9 i ) ； 7 如果x = ( x - ，x d ) r l 1 ( 2 ) ，则其条件数学期望定义为 要菇 g ；= ( 雪x ，| g ) 、。置秘 多；j r 鞅：定义在概鬻空间( n ，p ) 的 五) 自造应过程 慨) ) 0 满足 ( i ) 对于每一个t o ，g a 如 。； ( i i ) 霹嚣毒静s ， o ，ss ，露( 倒锺五净朋。+ 则称 舰) 晓。为鞅 个五相容的实徨的随机过程 舰) t o 称为是关于再的上鞅，如聚 露( 五磊 五) 磊靠。矗v0 曼s 女 称为熙一个下鞅，如果 霸：舞磊| 五) 芝矗磊8 矗￥g s ；，b r 。w n 逶渤的样本孰遂是无处置巍d 8 r 连续的 ( g ) ( 重对数律) 对几乎所有的u q 我们有 ( i ) t ；罂p 蒜= t ( i i ) ，鹳群蒜一 ，；訾p 器= ， 鑫v ，t 嘶n r 器叫 一个d 线淹枧过程最一( 逮，蜀 ) 筝，t o ，称巍建d 维b r d w n 运动，如聚 冀每个分量丑；都是一维b r 。w n 运动，并髓霹，剧楚独立的 对d 维b r o w n 运动，我们有 t i 罂高乩则。缸黧p 万赢刮，弧文 d 维b r o w n 遥劝是d 维连续鞅，其联合二次变分为 召，嚣o ) = 如，o ，1 j ，j 量峨 其中如是d i r a c 的d 函数，即 ”； 这是b r a w 珏逡动与其缝鼹部连续鞍相聪嬲的一个本壤属缝，p 现她在1 9 4 8 年 证骥：若尬= ( 磊露，舞帮) ? 怒个关于滤予磊酶硒郝涟续获赡聚舞稚= o ，虽 ( ，m 。) t = 6 l j t ，t o ，l i ，j 曼d ， 聪磁，0 美予滤子五是一个d 维b r o w n 运凌 停时：定义谯概率空间( n ，芦，只上的非负随机变避r ：q - + o ，o 。】( 可能取 僮力) 嚣；为 霸 一傅对，魏聚慰任留t o 蠢 “：7 - ( ) 墨t ) 关于搏时具有螺下结论： ( 站若x = ( 五，四e o 为一涟续过程，对实数点 o ，定义隧梳变蛩张 7 1 ( 叫) = t o ：l x t ( ) l a ) u q 蠢a 楚停融 ( i i ) 若7 - ，s 摄两个 芦) 停时，则 f 嚣，r vs ，暑丁，黯3 ( 驻) 为停时 蒋r ，p 是两个停地且_ r 鼽定义随机赋间 f f r ，p 硅= ( # ，w ) 兄+ q ：r ( u ) t p ( u ) 类似地可以定义随机区间f p ，p j ，”7 ，棚和驴，p f ，如果丁熄停时，定义 再= a 芦：an “：7 - ( 埘) st 五，t 芝o 它是芦的一个盯- 予代数如果r ，p 是两个停时，且r p ，则只c 乃 】0 羹磊篓雾琴鬻蠹羹鬟鋈羹蘩蒸墓一薹萋囊攀鍪篓羹 磅瞧磁藤鏊再赛强鬻誉鬻焱誉墅雯嚣霉凹酥骐一是璎囊赫7 基薹j 孽袖葛鋈 萼羹鬻残鸯鹱囊娶羹；| 篓鞫囊黧 警? 一薹鳗鬻彗簦錾羹蠹囊霪鬟蓊鋈蓁霎嚣萋篓 浠滢臻勰堡葡戮争鬈錾釜覃豁一繁型睡j 回禽篓籍豢豢竖霎毳擎务羹滔渗凌 蠹二舅t 一搿錾氅羹踊蓉鬟蓑黼懿冀萎黧鬻霉i 髫囊萋蠹雾娆霞墼箕驸躺：由f 的一 耀鐾蹲琴赛薹嚣饕鬈璧蠹蓿囊蕊一需茧羹j 鹣西黎藿篓塑善辇甍鼯j 鼋j 薹童毒! 薹耋霉 季p 霪瑟聪函囊篓霪i i ! ； 萋：t ；带趣粥鳊塑赫融蔬羹霆“鬻未 蠢鬓溶翼瑶蔼；签i 互；肇! 警落邈鬻馨器i 惹i t * ；盛霞亩骚蘩蓑耄墨ji 爱耋薹 囊耋盘赣j 蒜篓霎囊的麓嚣硝巍i 壶i ；一! 薄i i i ：妻a l ! ；一。蚕毳! i l i 蓬爨囊 攀关王萎霎蓄 嚣酬= 鲫燃雾，军麦! 爱| i 孽靠二醢羹；i 鋈醛l 鍪：鬟l 骚熏凰 ! i 鬟誉i ? 薹；，西囊6 8 瞪囊q j ；雾妇霉。 惹舅箩塑l 鞣蹩差裙霖豁薅蕊 l 矛叁1 2 i 薯萋i 荐毳i j ；i 箩；翥冀! 曼i ：；j ! 鼍妻茎i i ；蚕；喜羹 i 喜一：i ! ! 零i ；j i 。喜i 孑i 曙 x c 2 f 一，r j ：冠“) 表示游是7j x ( ) 1 2 d 。n s 的最“谯五一提容的 薅极过程 x ( ) 。 7 ，的全俸； p 丁 m 2 ( r 】；r 8 ) 表示满足e l x ( t ) r m o 。的c 2 ( ，t 】；髓“) 中的随机过 程 x 固 蜓t r 戆垒箨； p r 州2 ( ( 一。，卅；r 4 ) 表示满足e | x ) 2 d t o 。的2 ( ( 一o o ，r 】；r 。) 中的隧 机过程 x ( t ) ) 一o 。 s ? 的全体； e 皇( 【一oo 】铲) 表拳五添，g ( ，o 】；努) 值随税嶷鲞酶全体。 c ( 【_ r ，o 】；r 。) 表示所肖有界正可测，g ( 【r ，o 】；r “) 值随机变量的全体 集会a q 翡示睦嚣数数定义为 r 薯 示性函数如是f 一可溯的当且仅囊a 是一个f 一可测集，邵 芦 1 2 预备寇理 攀调收敛定理如果 焉 是一个非受攀调隧枫变嫩序列，则 ”m e x 女= 曰( j i m x # ) 。t o o 控制收簸定理设筘l ， 蕊 c 扩，) 且y 护，置) ，若l j | y8 。$ 黩甄袄概率收敛臻x 。粥x p ( 轮，彤) ， 蕊 在酽中妖敛嚣x ，娃有 e x k = e x 菪y 是有赛酶，这个定瑾毽常被称作有幕收敛定理 强犬数定律设 尬) 晓。是一个实值的连续局部鞅，且坻= o ，则 怒掰，甜) t 一。8 矗净怒丽考= 。矗 以及 l i m 幽 。8 j s 号i i m 丝：o8 s _ o 。 i - 更一般地，如果_ 一 a t ，t ! o 足一个连续适应的增加过程，使得 ；魄耻。、z 。筹案 s ， 则有 i i m 华：o ， 呻。a 2 b o r e l - e a n t e l l 诏f 毽 ( 1 ) 若 4 c 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公式的等价积分形式中，如果把积分的上限t 和下限如分 别替换成停时p 和t ，p r ，定理仍然有效。 随机积分的性质 若，g m 2 ( f n ，6 】；r 。) 且令q ，口为两实数，则 ，o ( i ) ，( t ) d 日( t ) 是，0 一可测的； j n ，o ( i j ) e ，( ) d b ( f ) = o ； j n ( i i i ) e l z6 ，。) d 日( j 2 = e z 6 l ，( t ) | 2 出； ( v i ) z6 陋，( 力+ 口9 ( 力 d b ( 力= n z6 ，( 砷d b ( 。十p z 6 雪( 力d b ( 牡 b u r k l h o i d e r d a v i s - g u n d y 不等式 令g m 2 ( 【o ，? 】；础) 使得 e z t 叭s 胪出如 则 e i 小s ) d 酬一( 掣) 5 t 宁e 小m b ( s ) e ( 。茹l 小s ) d b ( 8 妒) s ( 南) 5 丁学e 小b ( s ) | 指数鞅不等式 设9 = 渤，) 2 ( 蜀i 尉，z 口，是任何常数则 p 0 翌眙( s ) 删一新叭驯2 卢) g 。口 d 0 0 b 下鞅不等式 设p 1 ，替 材 垃。 是一个实值的菲负下鞅，使褥 瞄 晓o 妒( q ，r ) ，受 在挖+ 的有限蹑阉( 8 ，翻上有 引。恶蝴曼( 者归蟛 l 且 m 郅鬯妒，r 8 ) ，则 甄s u p 鹅一s = 鲁) 嗣鹄曩 8 t b p i 1 8 蹴理2 1 1 假设存在两个j e 数k 和詹方程( 21 1 ) 的系数，和f 满足 ( i ) ( l i p s c h i t z 祭传) 对所有z ，窖霆。和、习 i ，( 。) 一，( 量，t ) 2v 9 ( 茹，) 一g ( 叠、) 2 露 算一孟f 2 ：( 2 1 3 ) ( “) ( 线| 生增长祭件) 对所有( 。，) r “ 。，引 l ，( 。， ) | 2 vl 尊( 。，t ) p 必( 1 + f 茹1 2 ) ： f 2 1 4 ) 则方程( 2 1 1 ) 存猩嘴一一个解搿( t ) ，而且z ( o ) m 2 即；r “) 霉| 毽2 。l 。2 缎设线淫增长条 譬( 2 ，i ，4 戒烹，魏栗菩( t ) 建方程f 2 。i ，i ) 戆察，烈 日fs u p 陋o ) 1 2 1 曼( 1 + 3 e l z o l 2 ) e 3 k t f o ) ( ，、一1 0 + 4 】 糊l 她，茗( 易朋2 ( 渤，奠；霞8 ；。 纛遵2 1 3 如槊定理2 1 1 的假设成立蓿茹为方程( 2 土1 ) 的嚷一解，。( ) 是由 如( 妁一韶。z 。，( 茹。“珐s ) 如十z 孽“珐s ) d 丑( s )j 缸，趣 定义的p i c a r d 迭代序弛则对所有扎l ， e f 。u p 。( 一$ ( t ) ! 。) s 里羔堡翌警掣。s m c r 一埘 、b o 潴烈通常的条绺令b ( 曲= 墩缘珐臻，磊瘁；? ，i 芝e