（应用数学专业论文）随机kuramotosivashinsky方程解的存在性、唯一性及指数稳定性.pdf

宁夏大学硕十学位论文 中文摘要 摘要 k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程因其可以描述复杂的非平衡态物理过程近年来倍受关注，许多学者 做了大量的研究，并已取得重要的理论成果本文在假设随机外界环境对系统有影响的条件下，在 前人工作的基础上，运用两种方法讨论了随机k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程解的存在唯一性 在第一章中介绍了当前随机微分方程以及k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程的研究现状第二章在假 设随机外界环境对系统有影响的条件下，首先构造序列，根据i t 6 公式，b u r k h o l d e r - d a v i s g u n d y 不 等式、h f l d e r 不等式和g r o n w a u 引理讨论了该系统解的存在性；其次，证明了该序列是柯西列 及柯西列的有界性，进而证明了解的唯一性在第三章中，利用连续鞅的性质，i t 6 公式和广义的 g r o n w a l l 引理讨论了该系统的指数稳定性，并给出了相关的一些准则在文章的第四部分，用半 群理论的方法研究了随机k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程解的存在性、唯一性及几乎指数稳定性通 过半群方程解的连续性，b a n a c h 不动点定理证明了解的存在性、唯一性然后利用h f l d e r 不等 式、y o u n g 不等式等讨论了解的p 次指数稳定性，给出p 次指数稳定的充分条件及相关的结论和 证明在文章的最后进行了总结，并对今后的研究工作提出了一些独到的见解 关键词：随机k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程；i t 6 公式；存在性；唯一性；指数稳定性 宁夏大学硕十学位论文英文摘要 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，t h e r eh a sb e e nm u c hr e c e n ti n t e r e s ti na p p l i c a t i o no fk u r a m o t o - s i v a s h i n s k ye q u a - t i o n i nt h i st h e s i s ，o nt h eb a s eo ft h ef o r m e r , w ec o n s i d e r e dt h ek u r a m o t o - s i v a s h i n s k ye q u a t i o nw h e n i ti sp e r t u r b e db yr a n d o me x t e r n a le n v i r o n m e n t ，a n dw es t u d i e dt h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n de x p o n e n t i a l s t a b i l i t yo fs o l u t i o n st os t o c h a s t i ck u r a m o t o - s i v a s h i n s k ye q u a t i o nb yt w om e t h o d s w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h es t o c h a s t i cd i f f u s i o ne q u a t i o na n dt h ep r e s e n ts m d yo fk u r a m o t o - s i v a s h i n s k ye q u a t i o na th o m eo ra b r o a di nc h a p t e ro n e a n di nc h a p t e rt w o ，f i r s t ，t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n s t ot h i ss t o c h a s t i ck u r a m o t o s i v a s h i n s k ye q u a t i o ni sc o n s i d e r e db yc o n s t r u c t i n gc a u c h ys e q u e n c e ，u s i n g i t 5f o r m u l a ，b u r k h o l d e r - d a v i s g u n d yi n e q u a l i t y ，h 刮d e ri n e q u a l i t ya n dg r o n w a l l t y p el e m m a ；t h e n ，t h e b o u n d e d n e s so fc a u c h ys e q u e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n sa r ep r o v e da n dt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n s i sd i s c u s s e d i nc h a p t e rt h r e e ，t h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fs o l u t i o n st os t o c h a s t i ck u r a m o t o s i v a s h i n s k y e q u a t i o ni sc o n s i d e r e db yt h ec o n t i n u o u sm a r t i n g a l e ，i t 5f o r m u l a ，e x t e n d e dg r o n w a l l t y p el e m m a ，t h e n s o m ec r i t e r i af o rt h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h es y s t e ma r es h o w n i nt h ef o u r t hc h a p t e ro ft h et h e s i s ，t h e e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n da l m o s te x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fs o l u t i o n sa r es t u d i e df o rs t o c h a s t i ck u r a m o t o s i v a s h i n s k ye q u a t i o nw i t hd e l a y ，u s i n gs e m i g r o u pa p p r o a c h t h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa l ep r o v e db yt h e c o n t i n u o u so fs e m i g r o u pe q u a t i o n ss o l u t i o n ，b a n a c hf i x e dp o i n tt h e o r e m 。s e c t i o nf o u ri sd e v o t e dt ot h e s t u d yo fp t he x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h es o l u t i o nb yu s i n gh f l d e ri n e q u a l i t y ，y o u n gi n e q u a l i t ya n ds o o n ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n ，s o m ec o n c l u s i o na l ee s t a b l i s h e d i nt h ee n do ft h et h e s i s ，t h ei n n o v a t i o n sa n d f u r t h e rs t u d yd i r e c t i o na l eo f f e r e d k e yw o r d s ：s t o c h a s t i ck u r a m o t o - s i v a s h i n s k ye q u a t i o n ；i t bf o r m u l a ；e x i s t e n c e ；u n i q u e n e s s ；e x p o n e n t i a l s t a b i l i t y i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：时 间：弦髟年月乡日 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传 播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名： 导师签名： 时间：好年月多日 时 间：勿。待6 月归 奠逸 塑旅一 挝强 宁夏大学硕十学位论文第章引言 1 1 随机微分方程概述 第一章引言弟一早ji 苗 随机微分方程的研究是随着随机过程理论与常微分方程理论的发展而迅速发展起来的1 8 2 7 年，英国生物学家布朗( b r o w n ) 首先注意到浸入液体中的胶体微粒或质点的永不停歇的不规则运 动，这就是著名的布朗( b r o w n ) 运动b r o w n 运动的起因是粒子受到周围液体分子不平衡的碰撞， 由于分子极微小，因此粒子每秒钟所受到的碰撞次数很多，达到1 0 2 1 次，碰撞又极为不规则，故而 微粒的精确路径不能详细得到，但能进行统计描述，可以认为粒子因受到很多微小的随机力的作用 而作随机运动 1 9 0 5 年e i n s t e i n 首次对这一现象的物理规律给出了一种数学描述，使这一课题有了显著的发 展这方面的物理工作在s m o l u c h o w s k i ，f o k k e r , p l a n c k ，b u r g e r , f u r t ho r n s t e i n ，u b l e n b e c k 等人的努 力下迅速发展起来了，但数学方面却由于精确描述太困难而进展缓慢例如1 9 0 8 年，l a n g e v i n b 在 研究b r o j 】v n 运动时就得到形如 ，l m m 蚩= 一触+ 秒( t ) 的微分方程，其中z 表示液体微粒在某一方向的运动速度，一口z 表示介质对微粒的影响，即为摩 擦力作用项，v ( t ) 表示介质中分子运动对微粒的碰撞构成的随机作用力这种形式的方程称为 l a n g e v i n 方程在具体的物理问题的研究中，虽然经常遇到l a n g e v i n 方程，然而对它缺乏确切而又 严格的数学描述 直到1 9 1 8 年才由美国数学家维纳( w e i n e r ) 对这一现象在理论上作出了精确的数学描述并进 一步研究了布朗运动轨道的性质，提出了在布朗运动空间上定义测度与积分这些工作使对布朗 运动及其泛函的研究得到迅速而深入的发展，并逐灏渗透到概率论及数学分析的各个领域中，使之 成为现代概率论的重要部分 1 9 4 2 年k i t 5 引入随机微分方程，它的一般形式为 似( 归f ( x ( 州m + g ( x ( 州删 ) ( 0 丑拉1 ) lx ( o ) = x o ， 这里称f ：r + r n _ r n 为漂移系数，g ：r + r ”一r 似”为扩散系数w ( t ) 是有独立增量的 i l l 维标准w i e n e r 过程，x o 是一随机变量( 1 1 ) 仅是一种形式写法，应将其理解为等价的随机积分 方程 ，t x ( t ) = + ，( x ( t ) ，s ) d s + 夕( s ) ，s ) d w ( s ) ( 1 2 ) - ，0 与常微分方程的本质区别在于随机积分露9 ( x ( s ) ，s ) d w ( s ) ，- f l 不能理解为普通的l e b e s g u e - s t i e l t j e s 积分，原因在于对几乎所有的“，维纳过程的轨迹w ( t ，u ) ( t 【o ，卅) 是不可微的且在t 的 任意小区间内没有有界变差历史上对随机积分的定义有多种，但在理论和应用上广为接受的只 宁夏大学硕十学位论文第章引言 有的积分和s t r a t o n o v i c h 积分，分别记为名夕( x ( s ) ，s ) d w ( s ) 和9 ( x ( s ) ，s ) 。d w ( s ) ，二者的关 系是 知碱s ) o 州s ) = o 。椰) ，s m ( s ) + 珂塞仙 二十世纪四十年代i 佑和i g i h m a n 分别独立研究了随机微分方程的基本理论，之后在电子工 程学的控制问题、生物学的人口动力问题等实际需要的推动下，随机微分方程的基本理论得到不 断完善和发展i t 6 方程是目前随机微分方程研究的一个重要的方面，因为它的解过程是m a r k o v 过 程，因此它对随机过程理论和控制理论的应用都具有重大的意义通常一般文献中以”s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ”指l t 6 型方程( 仍译作随机微分方程) 1 2k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程的研究现状 k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y ( k - s ) 方程分别f l ：t k u r a m o t o 1 3 1 在1 9 8 0 年和s i v a s h i n s k y 【1 4 】在1 9 7 7 年独立地 研究反应扩散系统和建立火焰传播模型时提出的k s 模型可以描述化学湍流、火焰蔓延、液态膜 在重力作用下的动力学行为、离子溅射表面的演化等复杂的非平衡态物理过程而倍受关注 以下是随机k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程 ， id u - i - ( 缸z z z 霉+ u 黝：+ u u z ) 砒一g d w = 0 ， u ( o ，z ) = 咖( z ) ， 一z z 0 ， 其中g c t ，_ 1 1 ) d ( ) 是随机外界环境的扰动函数，u ( t ) 为b r o w n i a n 运动 确定的k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程( 即9 三0 ) ，这类没有考虑随机因素对系统影响的方程，许多 学者已经做了大量的研究工作，并己取得的重要的理论成果【1 5 - 3 0 多年来，国内外学者从不同形式，运用各种方法对k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程的解进行了探讨 1 9 9 9 年，s h i n b a t a 1 5 】运用l y a p u n o v 指数给出了k s 方程的相关特征 2 0 0 0 年，c h r i s t o f i d e s 1 6 1 讨论了k s 方程的全局稳定 2 0 0 1 年。刘【17 】介绍了k s 方程的边界控制；李【1 8 】给出了二维稳态k - s 方程g a l e r k i n 方法附注； 张【1 9 l 给出了具色散效应的广义k s 方程的精确解 2 0 0 3 年，d a n i e l 2 4 l 通过一种计算机法介绍了k - s 方程 2 0 0 4 年。陈和张【2 5 】给出了一般的b u r g e r s f i s h e r 方程和k - s 方程的多重解 2 0 0 5 年。k u k a v i c a 2 6 1 给出了k s 方程的相反行为解；a k r i v i s l 2 r l 介绍了k s 方程的隐式及显式 的b d f 方法 2 0 0 6 年，k a i k i n a 2 8 l 介绍了半线上的亚临界k - s 型方程；c a o 2 9 1 给出了k s 方程以及确定的非线 性椭圆方程的平凡稳定解：w a z w a z t a 0 贝j j 讨论了k s 方程和k a w a a h a r a 方程的一种新的惟一波形解： 徐【3 l 】运用了局部非连续g a l e r k i n 方法讨论了k - s 方程 目前，对确定的k u r a r n o t o - s i v a s h i n s k y 方程的研究己日趋完善，然而，对于随机的k s 方程的研 究却很少由- 于k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程所描述的那些复杂的非平衡态物理过程经常会受到外界 一2 一 宁夏大学硕十学位论文第章引言 诸多因素的影响，因此，把外界环境对系统的扰动考虑至l j k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 模型中去更符合实 际意义d u a n 1 7 】利用半群理论的方法研究了当9 = 1 时，随机k s 方程解的存在唯一性然而，未见到 有关研究9 1 的文章 1 3 本文的主要内容和创新点 主要工作如下 第一章主要介绍了随机微分方程；随机k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程的发展现状：简要总结了有 关方面的主要成果 第二章首先，给出随机k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程及相关的预备知识，然后应用i t 6 公 式，b u r k h o l d e r - d a v i s g u n d y 不等式和h 舀l d e r 不等式，g r o n w a l l 引理，给出了随机k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程解的存在性、唯一性 第三章在第二章的基础上又研究了该系统的解的稳定性，利用连续鞅的性质，通过a 6 公式， 广义的g r o n w a l l 引理讨论了系统的指数稳定性，得到系统指数稳定的充分条件 第四章用半群理论研究了带时滞的随机k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程解的存在性，唯一性及几乎 指数稳定首先通过半群方程解的连续性，其次利用b a n a c h 不动点证明解的存在唯一性然后利 用h f i l d e r 不等式等讨论了解的几乎指数稳定性 一3 一 宁夏大学硕十学位论文 第_ 章随机k u r a m o n s i v a s h i n s b 方程解的存在唯一性 第二章随机k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程解的存在唯一性 2 1 引言 近几年随机分析理论得到了迅速的发展，人们将其广泛的应用于人口，生态等领域 2 5 2 8 ，5 6 - 6 2 我们考虑以下随机k u r a m o t m s i v 雏h i i l s l ( y 方程 ， i 施+ ( 乱z 拓霉4 - u z z + u 让$ ) 出一9 踟= 0 ， t ( o ，z ) = u o ( z ) ， - 1 0 使得 9 ( ；u 1 ) 一9 ( ；u 2 ) 1 1 2 g l l u l u 2 1 1 c ，a e t ( 日3 ) 存在常数q 0 ， 0 ，入r ，y ( t ) 是一非负的连续函数t r + ， 9 ( t ；u ) 1 1 2 一q i l 札l i 移+ a 0 u l | 备+ ，y ( ) e o ，u k 口e t ( 凰) 存在常数p o ，使得i | u ( t ) | il 4 ( j ) p 引理2 1 存在常数c 1 ，c 2 ，使得i i 札( t ) | | 至t c l c 2 1 1 u ( t ) i i h i i u ( t ) i i v 成立 证明由s o b o l e v 嵌入定理( 见【l ，p 2 1 7 ) ，我们有日( ，) 日 ( j ) l 4 ( j ) ，存在常数a ，使得 i l u ( t ) i i l t c xl l u ( t ) 1 1 日墨， 运用插值不等式，存在常数岛，x c t 【0 ，卅，有 所以，我们得到 2 3 解的唯一性 ll u c t ) l l h 圭c 2 1 1 u ( t ) l l 主z ( z ) l l u ( t ) l l 吾- ( 妒 u ( t ) l l l t c x c ：l l 乱( 酬至1 ：( 州) 嗜1 ，( 驴 定理2 1 若之前的假设成立，方程( 1 ) 在空间l ( o ，t ；h ) n l 2 ( o ，正v ) 上至多有一个解 证明 若“，t ，l ( o ，t ；h ) nl 2 ( o ，t ；v ) 是方程( 1 ) 的两个解对陋一u 0 备运用i t 5 公式，得 i i u v l l , = 2 f ： u t ，一乱z 。霉霉+ 。) d s + 2 ( u 一钉，一u 霉霉+ 钐。) d s + 2 ( u 一”，一u t 正。+ v v z ) d s + 2 ( t 一 ，( 9 ( s ，z ，t 正) 一9 ( s ，z ，v ) ) d w s ) + | 1 9 ( s ，z ，t ) 一g ( s ，z ，v ) l l ；d s 一5 一 宁夏大学硕十学位论文 第_ 章随机k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程解的存在唯性 ( 珏一移，一缸。z 。+ 王= ( 一珏。z 霉。+ 。z ) ( 珏一v ) d x 因为 所以 = li u t l , 嚣嚣t 茁t k + ll 一1 ) z z z z ( h + li 删z z z z d x li 1 l z z z 嚣c h = 一正u ：z d x 一厶u ：。d x + 儿? - t x x 秽z 。d x4 - 以t 1 2 z z z d x( 2 2 ) = 一( 让霉z 一。) 2 d x = - 1 1 ( 一 ) z 。悟 u 。1 2 - - - - 喇。如= 一u 出 ( 2 ) ；( 吾 24 - c l c 2蚶+ 率阮 u 。1 2 ( 2 + 芸c c z ) i u ? 1 2 一 ( 24 丁- i c l c 2 ) 2 4 ( 2 3 ) u t ，一乱。嚣+ v z 2 。) 一( 2 + i c l c 2 ) i l ( 钍一移) 。o 刍+ 垡掣l l ( 牡一u ) l l 备( 2 4 ) ( t l t ，一t 2 + ) = 正( 一仳z z - 4 - t 7 土z ) ( u v ) d z = 一l l 眦z z d 茁一1 1 1 j ”嚣z d x + l l 圳嚣z d x4 - l l u z z d x = l l 碡如七l i 畦妇一2l i u z v z d x = 正( ( u 一秒) 。) 2 d x = i l ( u t ，) z 瞻 ( t 一口，- - 7 t u 霉4 - 口) = 互1l ( t i + 口) ( t 一t ，) ( t 一t ，) 。如 ( 正( u + t ，) 2 ( t t 一口) 2 d z ) 吾( l ( ( u t ，) 士) 2 d z ) j 1 ( 2 5 ) ( 以( u + v ) 4 d x ) l ( f i ( u - t ，) 4 如) 告( 以( ( t 一t ，) 霉) 2 + ( t 一移) 2 如) 吾( 2 6 ) 2 1 ( 1 l u l l l t ( ，) + 0 口0 l t ( f ) ) l l u 一可i l l t ( ，) j i t 一v u v ， 一6 一 宁夏大学硕十学位论文 第二章随机k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程解的存存唯一性 根据引理2 1 由( 2 7 ) 及假设条件( - 4 ) 得 1l “一r i l l c l c 2 l l u 一秽i i 吾i | u 一钉0 吾 m c a c 2 1 1 u 一训i y ， ( t 一t j ，- - u u z + t ，) 2 1 m c ：2 ( 1 l u l l l t ( ，) + i i v l i l t ( j ) ) i i u 一口l | 移 l c l c 2 p l l u 一移悖， 记z = 2 2 孑1m e h ( 2 1 ) - ( 2 7 ) 可得 l i 牡一u i | 备后( 一2 一c 。c 2 ) o ( u 一口) $ 1 1 2 d s + 后垒掣i f ( u 一可) l l 备d a + 石( 一2 一c l c 2 ) l l u v l l 备d 8 + 石( 2 + c l c z ) i i 让一u i i 备d s + 2 f ol c l c 2 p l l u r i l e d 8 + 名i i g ( 8 ，z ，t 1 ) 一o ( 8 ，z ，v ) l l ；d s + 2 后( t 一u ，( 9 ( s ，z ，u ) 一g ( s ，z ，钉) ) d w 名) 由假设条件( - 3 ) ，两边取期望，对任意的t 0 ，卅 = 刍，则有 es u pi i t 一移悟 o s t ( - 2 一c 1 1 2 2 + 2 l c l c 2 p ) f te u u v l l 移d s + k 2j ； e l l , , 一v l l 刍e s + ( 2 +c l c 2 + 垡掣) 片e o u 一口。备玉 + 2 e ( s u pj 孑( t i t ，( g ( 8 ，z ，u ) 一g ( 8 ，z ，v ) ) d w ，) ， 0 s t 。 es u p | i t i 一训备 o s t ( - 2 一c l c 2 ) 后e l | t 一叫l 移d s + k 2j 苫e 0 t 一r i l e d 8 + ( 2 +c l c 2 + 垡掣) e o u v o 备d s + 2 剧。s u 。p t 石( u 一可，( 9 ( s z ，t 1 ) 一g ( s ，z ，u ) ) 训 7 e 0 u 一训备d s + k 2 e l i 一训i 刍如 + 2 e ( s u p 孑( u 一口，( 9 ( s ，z ，t ) 一9 ( s ，z ，v ) ) d w r ) ， o s 0 ，使得 洲) 三州t ) + c - - l ( s ) d s 因此，存在k 0 矿( t ) k 妒n - - 1 ( s ) d s 整理( 2 2 2 ) ，我们得到 m ) 丽k n - l t n - 1 妒1 ( t ) ， 1 ，耽【o ，刁 即有 e 。s u r t pi l u - + x _ u n l i t 1 o r tl ，一工j ： 通过上式可知， z n ) 在l 。( o ，t ；h ) 中是柯西列 引理2 j 若前面的假设成立，则序列 u n ) 在l 2 ( o ，t ；v ) 中有界 证明对l l u n i l 备运用i t 6 公式，两边取期望n 2 时有 因此 e l l u ”( t ) 0 备= e l l u o l l 备一2 e ( 一乱孙。茁，扩) d 34 - 2 e f o 0 ，使 引理2 3 得证 r e l l u n 一1 慷如七7 定理2 2 若条件h ( 1 ) 一日( 4 ) 之前的假设成立且p = 0 ，则存在唯一的u ( t ) l o o ( o ，t ；h ) n l 2 ( o ，t ；y ) ，使得 u ( t ) = u o + f 一一一一乱+ f l ( s ) d s + m ( t ) ，n 矗，v t 【0 ，卅，+ ( 2 2 4 ) 一u 这里 l 2 ( o ，t ；日) ，u 0 五2 ( q ，凡，p ；日) ，舰是日一值连续、且平方可积的兀一鞅另外，方程 ( 2 2 4 ) 也可表示为： i l u c t ) l l 备= 0 u 0 0 备+ 2 石t ( 一u z z 黝，一。z 一牡u z ，札) 幽 + 2 石t ( ( s ) ，u ) d s + 2 ( u ，d m ) + 打( ( m ) ) t ，o s v t f o ，列 这里( ( m ) ) t 表示舰的二次变分 证明见m & i v i e r 和p e l l a u m a i l 1l 】 下面我们证明方程( 1 ) 解的存在性 定理2 3 若前面的假设( h 2 ) 一( 凰) 成立，则对每个u o l 。( o ，t ；h ) n l 2 ( o ，t ；v ) 方程 ( 1 ) 在l ( o ，r ；h ) nl 2 ( o ，t ；y ) 上存在唯一解 证明首先，由定理2 1 可得其唯一性 下面我们只需证方程解的存在性即可 a l ( 厶u ) ：v _ y 7 ，定义为a l ( t ，u ) = 一t 正z z 。z t 一u t i 。一譬u ，满足定理2 2 的假设相应地，方 程( 2 1 0 ) 有唯一解, t t i ( t ) l ( o ，t ；h ) n l 2 ( o ，t ；y ) 根据定理2 2 可知，存在唯一的 u 2 ( t ) l o o ( o ，t ；h ) n l 2 ( o ，正y ) 是方程( 2 1 1 ) 当佗= 1 时的解这样循环下去我们可得 方程( 2 1 1 ) 的一个解序列 t ”( t ) ) n 1c 三o o ( o ，正h ) nl 2 ( o ，瓦y ) 现在要证明序列 u n ( t ) ) 在己。( o ，t ；h ) nl 2 ( o ，t ；v ) 上收敛到方程( 2 i1 ) 的解t 上 在引理2 2 中我们已经证明了 t n ) 是柯西列，故存在u l o o ( o ，正h ) ，使得在l o o ( 0 ，t ；日) 上有 矿_ u 根据假设( 日2 ) 我们有在l 2 ( q ；l ( 0 ，t ；c ( k ，日) ) ) 上g ( u n ) _ 9 ( u ) 1 2 宁夏大学硕十学位论文 第_ 章随机k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方 程解的存在唯一性 因此 很容易得到 b u = t + u 霉z 王2 + 缸。霉+ u u z b 仳n = u n + u x x + u 乏 f u n u 2 = 一鲁u “出+ 鲁u n - - i d h 夕( u n - - 1 ) d w t b u ”i i y ，m 0 0 另外，根据引理3 2 ， u ”】在l 2 ( o ，t ；y ) 上有弱收敛的子列，同时，因为在l o 。( o ，t ；日) 上u ”一牡， 所以可以保证在三2 ( o ，z ；y ) 上 铲) 弱收敛于u 因此，我们可以得到以下结论： u n _ u 在l o o ( o ，t ；日) ， g ( u ”) _ g ( u ) 在l 2 ( q ；三o 。( 0 ，t ；c ( k ，日) ) ) ， t ”一u 在l 2 ( 0 ，t ；y ) ， b u ，lj 钍+ t 正z z z + u z z + u u z ， 定理得证 2 5 本章小结 本章首先用i t 6 公式，b u r k h o l d e r - d a v i s g u n d y 不等式和g r o n w a l ll 理对方程进行了处理，通过 构造序列讨论了该系统解的存在性；然后利用i t 5 公式和b u r k h o l d e r - d a v i s g u n d y 不等式证明了序 列是柯西列，并进一步证明柯西列有界，进而证明了解的唯一性 一1 3 宁夏大学硕士学位论文第一章随机k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程解的指数稳定性 第三章 随机k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程解的指数稳定性 3 1 引言 在随机微分方程基本理论中，稳定性是一个被普遍关注的问题，有重大的理论和应用价 值它考虑的是初值、系统函数或某些参数的微小扰动，对方程解的影响问题已被广泛研究 已经有不少学者对确定的k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程( 即夕三0 ) 的稳定性做了研究然而，有关